概率论中生日问题
概率论与数理统计答案(汇总版)
概率论与数理统计答案(汇总版)篇一：概率论与数理统计教程答案(徐建豪版)习题1、写出下列随机试验的样本空间.（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.（2）在单位园中任取一点记录其坐标.（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和.解：（1）??{4,5,6,7,8?}（2）??{()x2?y2?1}（3）??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18}2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?A，BC，B?C.解：B?A?{(),(),(),(),(),()}BC?{(),(),(),()}B?C?{(),(),(),(),(),(),(),(),(),()}3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?1,2,3），试用语言描述下列事件.（1）A1?A2 （2）(A1?A2)A3 （3）A1A2?A2A2解：（1）第1，2次都没有中靶（2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶（3）第二次中靶4．设某人向一把子射击三次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i=1，2，3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：（1）“至少有一次击中靶子”可表示为；（2）“恰有一次击中靶子”可表示为；（3）“至少有两次击中靶子”可表示为；（4）“三次全部击中靶子”可表示为；（5）“三次均未击中靶子”可表示为；（6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 . 解：（1）A1?A2?A3;(2) A123?1A23?12A3;(3)A1A2?A1A3?A2A3; (4) A1A2A3; (5) 123(6) 12A35.证明下列各题（1）A?B?A （2）A?B?(A?B)?(AB)?(B?A)证明：（1）右边=A（??B）?A?AB=A且??B??A?B=左边（2）右边=（AB)?(AB)?(BA）=A或??B??A?B习题1.设A、B、C三事件，P(A)?P(B)?P(C)?14P(AC)?P(BC)?18,P(AB)?0，求A、B、C至少有一个发生的概率.解：?P(AB)?0?P(ABC)?0P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) =3?11 4?2?8?122.已知p()? ，P(B)? ， P(B)?，求（1）P(AB)(2)P(A?B)，(3)P(A?B)， (4)P(AB).解：（1）?A?B,?AB?A?P(AB)?P(A)?（2）?A?B,?A?B?B?P(A?B)?P(B)?3.设P(A)=(A?B)= 互斥，求P(B).解：?A,B互斥，P(A?B)?P(A)?P(B), ，故P(B)?P(A?B)?P(A)4.设A、B是两事件且P(A)=,P(B)?（1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：由加法公式P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)=?P(A?B)（1）由于当A?B时A?B?B，P(A?B)达到最小，即P(A?B)?P(B)?，则此时P(AB)取到最大值，最大值为（2）当P(A?B)达到最大，即P(A?B)?P(?)?1，则此时P(AB)取到最小值，最小值为5.设P(A)?P(B)?P(C)?1115,P(AB)?P(BC)?P(AC)?,P(??)?, 4816求P(A?B?C). 解：P(ABC)?1?P(ABC)?1?P(??)?1?151?, 1616P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) =3?1117?3 481616习题1.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.解：设事件A={3张中至少有2张花色相同} 则A={3张中花色各不相同}3111C4C13C13C13P(A)?1?P(A)?1?? 3C52只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.3解法一随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有C50种取法，而发生“某3C31一个部件强度太弱”这一事件只有C这一种取法，其概率为3?，而10C501960033个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为p??pi?i?110101 ?1960019603解法二样本空间的样本点的总数为C50，而发生“一个部件强度太弱”这13一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有C10C3种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为13C10C31 p??31960C503.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.解法一设A表示“取出的3个数之积能被10整除”，， A1表示“取出的3个数中含有数字5”， A2表示“取出的3个数中含有数字偶数”P(A)?P(A1A2)?1?P(A1A2)?1?P(A1?A2)?1?P(A1)?P(A2）?P(A1A2)?8??5??4??11???9??9??9?解法二设Ak为“第k次取得数字，Bk为“第k次取得偶数”，5”k?1,2,3。
对一个五人学习小组考虑生日问题(1)求五个人的生日都在星期日的概率(2)求五个人的生日都不在星期日
3028108.对一个五人学习小组考虑生日问题:
(1)求五个人的生日都在星期日的概率;
(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;
(3).
求五个人的生日不都在星期日的概率
大学数学云课堂
大学数学云课堂3028108.对一个五人学习小组考虑生日问题:
(1)求五个人的生日都在星期日的概率;
(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;
(3).求五个人的生日不都在星期日的概率1(1){}A =解设五个人的生日都在星期日，
571基本事件总数为,有利事件仅个,故51()1/7.
P A =2(2){}A =设五个人生日都不在星期日，55526()6/7.
P A =有利事件数为,故3(3){},A =设五个人的生日不都在星期日故
531()1()11/7.
P A P A =-=-故:点睛都不在与不都在的区别。
抽屉原理的三个公式
抽屉原理的三个公式引言抽屉原理，又称鸽笼原理，是数学中常用的一个基本原理。
它是由德国数学家伊尔迈尔提出来的，用来解决集合论问题。
抽屉原理的应用非常广泛，特别在计算机科学、密码学和概率论中有着重要的地位。
本文将介绍抽屉原理的三个公式，并探讨其在实际问题中的应用。
第一个公式：抽屉原理抽屉原理的首个公式是：对于任意的正整数n和正整数m，如果n个物体放入m个抽屉中（n>m），则至少有一个抽屉中至少有两个物体。
这个公式的直观意义是，如果我们有n个物体需要分配到m个抽屉中，而n 大于m，那么至少有一个抽屉中必然会装有至少两个物体。
这个公式的证明非常简单。
假设每个抽屉中最多只能放置一个物体，那么n个物体最多只能分配到n个抽屉中。
由于n大于m，所以至少有n-m个物体不能放置在抽屉中，这与假设矛盾。
因此，至少有一个抽屉中必然会装有至少两个物体。
第二个公式：广义抽屉原理广义抽屉原理是抽屉原理在更一般情况下的推广。
它的表述如下：如果将n个物体分配到m+1个抽屉中（n > m），则至少有一个抽屉中至少有⌈n/m⌉个物体。
其中，⌈n/m⌉表示不小于n/m的最小整数。
这个公式的证明可以通过数学归纳法来完成。
当n=1时，结论显然成立。
假设当n=k时，结论成立，即将k个物体分配到m+1个抽屉中至少有⌈k/m⌉个物体在某个抽屉中。
当n=k+1时，根据归纳假设，k个物体分配到m+1个抽屉中至少有⌈k/m⌉个物体在某个抽屉中。
如果将第k+1个物体分配到这个抽屉中，那么该抽屉中至少有⌈k/m⌉+1个物体。
如果将第k+1个物体分配到其他抽屉中，根据抽屉原理，至少有一个抽屉中至少有两个物体。
综合起来，将k+1个物体分配到m+1个抽屉中至少有⌈(k+1)/m⌉个物体在某个抽屉中。
第三个公式：生日悖论生日悖论是抽屉原理在概率论中的一个应用。
它的表述如下：在一个房间里，如果有至少两个人，他们的生日相同的概率至少为50%，当房间里的人数超过23人时，这个概率将超过50%。
浅谈“生日攻击”和“生日悖论”
密码学课程报告学生姓名：xxxxxx学号： xxxx浅谈“生日悖论”与“生日攻击”在开始正文之前，我想先简单地说明一下，我选择这个话题的原因，主要有三点：第一，比较贴近生活和实际；第二，趣味性较强，便于讨论；第三，容易理解。
既然是谈到“生日悖论”和“生日攻击”，那么肯定是少不了“生日”二字了。
众所周知，我们每个人都有自己生日，在生活中，如果能够遇到与自己同一天生日的人，大多数的我们都会很惊喜，觉得这种缘分似乎很少见，又或者说这是一个很小的机率。
那我们是否有想过，假若在23个人当中，出现两个人是同一天生日的这种缘分的概率有多大呢？是5%？10%？还是20%？又或者是更多呢？下面我来一一和大家说明。
文章开始我不想长篇大论地把很多公式给搬上来，那样没意思，吊足了大家的胃口，却不受待见。
所以，在开始的时候，我就不打算写那么多计算过程，留着后面慢慢讨论和解释。
那么我告诉各位：23个人中，有两个人生日是同一天的概率约为50%（甚至比这个数值还高出那么一丢丢），在50个人中有相同生日的概率，竟然高达97%，这两个数值，这两个结果，各位是不是有点不太敢相信？哈哈......其实这个结果并没有算错，是经过科学计算而得出来的结果，是有理有据的，只是我们的直觉错了，科学与生活，就好比梦想和现实是一样：梦想往往是丰满的，现实呢，却常常是骨感的。
正因为经过科学方法计算出来的结果与我们日常生活的经验产生了如此大的落差，所以我们把这类问题称为“生日悖论(Birthday Paradox)”[1][2]。
什么是“生日悖论”？在很多课程中，常用“生日悖论来说明一些违背直觉的结果”。
生日悖论是指：要想使得k个人中至少有两个人生日相同的概率大于0.5的话，k最小可以是多少？[1]我们不把某一年有2月29日或者某两人是双胞胎这样的或者类似的外界因素算在内，只考虑纯粹的随机概率，也就是说每个人出生的日子都随机分布在一年365天的任何一天。
从概率论角度解决生活中的悖论
从概率论角度解决生活中的悖论随着科学技术的进步，概率论（Probability Theory）越来越成为解决生活中悖论的可靠工具。
概率论是研究事件发生的可能性，利用数学模型对事情发展趋势进行预测，手段丰富而广泛。
以下，我们将从概率论角度对一些常见的生活悖论进行探讨。
1. 生日悖论在一个有23个人的房间里，至少两个人生日相同的概率是多少呢？在直觉上，我们可能会认为这个概率很小，但实际上，这个概率达到了50%以上。
这种常见的悖论就被称为生日悖论（Birthday Paradox）。
为什么会有这种结果呢？这是因为我们通常只关注自己的生日和亲近的人的生日，但忽略了其他人之间的可能性。
在一个23人的房间里，任意两个人之间的生日组合有253种，这就增加了生日相同的可能性。
根据组合数学原理，我们可以计算出这个概率约为50.7%。
2. 遗产悖论遗产悖论（The Inheritance Paradox）是由于父母的财富分配不平等，导致子女财富差距日益扩大的悖论。
该悖论产生于最简单和最公平的场景，即只有两个孩子，父母把100万均分给他们。
根据概率分布，由于是等概率分配，两个孩子同时拥有50%的概率得到50万。
然而，在现实中，只要其中一个孩子已经拥有了一定的财富，他们就更有可能获得比另一个孩子更多的遗产。
这是因为更富有的子女更容易得到父母更多的关心和帮助，这样就会创造一个更大的财富优势。
3. 游戏悖论游戏悖论（The Gambler's Fallacy）是指人们认为某些事件的发生概率会随着它们的出现而改变的悖论。
这种悖论经常发生在赌博、彩票等场所。
例如，在轮盘游戏中，当一个颜色（红色或黑色）多次连续出现时，有些人会认为另一个颜色出现的概率会增加，也就是所谓的“攒运气”。
然而，事实上，轮盘每次自主进行，在每次游戏中，每个颜色的出现概率始终都是50%。
4. 归纳悖论归纳悖论（Induction Paradox）是指我们容易从有限数量的样本中得出不准确的结论。
《概率论与随机过程》第1章习题答案
《概率论与随机过程》第一章习题答案1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn S 100,,1,0 ，其中n 为小班人数。
（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
解：{}18,,4,3 =S 。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
解： {}10,,4,3 =S 。
（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
解： {} ,11,10=S 。
（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。
解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。
（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。
（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。
概率论与数理统计实验报告
概率论与数理统计实验报告题目1：n个人中至少有两人生日相同的概率是多少？通过计算机模拟此结果。
问题分析：n个人生日的组合为a=n365，n个人中没有生日相同的组合为b=365*364*......*(365-n+1),则n个人中至少有两个人生日相同的概率为1-b/a。
编程：n=input('请输入总人数n=');a=365^n;m=n-1;b=1;for i=0:1:mb=b*(365-i);endf=1-b/a输出结果：（令n=50）结果分析：当人数为50人时，输出结果为0.9704，此即说明50人中至少有两人生日相同的概率为0.9704。
题目2：设x~N(μ,σ2)，（1）当μ=1.5，σ=0.5时，求p｛1.8<X<2.9｝;（2）当μ=1.5，σ=0.5时，若p{X<x}=0.95,求x;（3）分别绘制μ=1,2,3，σ=0.5时的概率密度函数图形。
问题分析：（1）、（2）题直接调用相应函数即可，（3）题需要调用绘图的相关函数。
编程：x1=[1.8,2.9];x2=-2.5;x3=[0.1,3.3];p1=cdf('Normal',x1,1.5,0.5);p2=cdf('Normal',x2,1.5,0.5);p3=cdf('Normal',x3,1.5,0.5);f1=p1(2)-p1(1)f2=1-p2f3=1-p3(2)+p3(1) %2(1)x=icdf('Normal',0.95,0,1) %2(2)x=[-4:0.05:10];y1=pdf('Normal',x,1,0.5);y2=pdf('Normal',x,2,0.5);y3=pdf('Normal',x,3,0.5);y4=pdf('Normal',x,4,0.5);plot(x,y1,'K-',x,y2,'K--',x,y3,'*',x,y4,'+')输出结果：f1 = 0.2717f2 = 1.0000f3 = 0.0027x = 1.6449（右图为概率密度函数图像）题目3：已知每百份报纸全部卖出可获利14元，卖不出去将赔8元，设报纸的需求量的分布律为试确定报纸的最佳购进量。
趣味统计学经典案例
趣味统计学经典案例1. 生日悖论生日悖论是指在一个房间里，只需要23个人，就有50%以上的概率至少有两个人生日相同。
这个案例经典的体现了概率论中的鸽巢原理和生日悖论的概率计算。
2. 蒙提霍尔问题蒙提霍尔问题是指一个选手会面对三扇门，其中一扇门后面有奖品，另外两扇门后面是空的。
选手先选择一扇门，然后主持人会打开剩下两扇门中的一扇门，露出一扇空门。
选手是否应该换门以增加获奖的概率，这个问题引发了很多争议和讨论。
3. 红绿灯问题红绿灯问题是指在一个红绿灯路口，红灯亮的时间为60秒，绿灯亮的时间为90秒。
假设一个人随机到达这个路口，他等待的时间有多长？这个问题可以用概率统计的方法来解答，并且可以拓展到更复杂的情况。
4. 奇偶校验奇偶校验是一种常用的错误检测方法，常用于计算机数据传输中。
它利用二进制数中1的个数的奇偶性来检测错误。
比如，一个字节中有奇数个1，则奇偶校验位为1，否则为0。
这个案例可以帮助我们理解错误检测的原理和应用。
5. 投掷硬币投掷硬币是统计学中最基础的实验之一。
通过投掷硬币的结果，我们可以计算出正面和反面出现的概率，进而进行概率分布的推断和假设检验。
6. 高尔夫球洞问题高尔夫球洞问题是指在一个高尔夫球场上，有一个球洞和一个标杆。
如果球员将球随机击打，求平均击打到球洞的距离。
这个问题可以通过统计模拟和概率分布计算来解答。
7. 疾病筛查疾病筛查是统计学在医学领域的重要应用之一。
通过对人群进行检测和筛查，可以计算出疾病的发病率、敏感性、特异性等指标，对疾病的预防和控制起到重要作用。
8. 艾滋病传播模型艾滋病传播模型是指通过数学模型和统计方法，研究艾滋病在人群中的传播规律和预测。
通过对不同人群的感染率、传播速度等指标的估计，可以制定有效的防控措施。
9. 电影评分电影评分是一种常见的统计学应用，通过对观众的评分和评论进行统计分析，可以计算出电影的平均评分、评分分布、观众对电影的满意度等指标，对电影的推广和市场研究具有重要意义。
概率论与数理统计教案第二章.docx
概率论与数理统计教学教案第二章随机变量及其分布教学基本指标教学课题第一章第一节随机变量及其分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点随机变量教学难点随机事件的运算参考教材高教版、浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求理解函数的概念及性质；理解复合函数和反函数的概念。
熟悉基本初等函数的性质及其图形。
会建立简单实际问题屮的函数关系式。
教学基本内容—、基本概念：1、在随机试验E屮，O是相应的样本空间，如果对。
屮的每一个样本点⑵，有一个实数X{co）与它对应，那么就把这个定义域为O的单值实值函数X = X（co）称为（一维）随机变量。
2、设X是一个随机变量，对于任意实数兀，称函数F（x）= P（X <x）, —oo<x<+oo为随机变量X的分布函数。
3、设E是随机试验，X为随机变量，若X的取值范围（记为钱）为有限集或可列集，此吋称X为（一维）离散型随机变量.4、若维离散型随机变塑X的取值为西，兀2，，暫，，称相应的概率P（X =x i） = p i , Z = l,2,■KO为离散型随机变量X的概率函数(或分布律)且满足(1)非负性i = l,2, ;(2)正则性= 1•-1=15、设E是随机试验，O是相应的样木空间，X是0上的随机变量，F(x)是X的分布函数，若存在非负函数 /(兀)使得巩―(忙,则称X为(一维)连续性随机变量，/(X)称为X的概率密度函数，满足：(1) /(%)> 0-00< X< +00 ； (2) j f{x)dx = 1。
二、定理与性质1、分布函数F(x)有如下性质：(1)对于任意实数兀，有OWF(0W1, lim F(x) = O, lim F(x)=l；x—>-x)x—»-KO(2)F(x)单调不减，即当%j < x2时，有F(x1)< F(X2)；(3)F(x)是兀的右连续函数，即lim F(x)=F(x())0x->x o+O2、连续型随机变量具有下列性质：(1)分布函数F(x)是连续函数，在/(兀)的连续点处，F z(x) = f(x)；(2)对任意一个常数C,YOVC<_HR,P(X= C)=0,所以，在事件{a<X<b}中剔除X=G或剔除X=b,都不影响概率的大小，即P(a < X <b) = P{ci < X <b) = P(a < X <b) = P(a < X <b).注意的是，这个性质对离散型随机变量是不成立的，恰恰相反，离散型随机变量计算的就是“点点概率”。
概率论经典难题汇编
概率论经典难题汇编概率论是一门重要的数学分支，其理论和应用广泛应用于各个领域。
在研究概率论的过程中，解决一些经典的难题可以帮助加深对概率论知识的理解。
本文将汇编一些概率论中的经典难题，供大家参考。
1. 蒙特霍尔问题问题描述：有三扇关闭的门，其中一扇门后面有一辆汽车，另外两扇门后面是两只山羊。
参赛者选择一扇门。
主持人打开剩下两扇门中的一扇，露出一只山羊。
现在参赛者是否应该更换选择？解答：参赛者应该更换选择。
初始时，参赛者选择正确门的概率为1/3，选择错误门的概率为2/3。
当主持人打开一扇门后，参赛者更换选择后，选择正确门的概率为2/3，而选择错误门的概率为1/3。
因此，更换选择是有利于参赛者的。
2. 生日悖论问题描述：在一个房间中，至少需要多少人才能使得至少两个人生日相同的概率大于50%？解答：当人数为23时，至少有一对人生日相同的概率已经超过50%。
这个悖论的解答涉及到概率计算和组合数学的知识。
3. 孟哥问题问题描述：有两个孩子，其中一个是男孩。
已知男孩顺序无关，即男孩在前女孩在后和女孩在前男孩在后被视为同一情况。
那么，两个孩子都是男孩的概率是多少？解答：设事件A为两个孩子都是男孩，事件B为至少一个孩子是男孩。
则事件A发生的前提是事件B发生，因此概率P(A|B)是事件A发生在事件B发生的条件下的概率。
由于事件A和B是相互独立的，有P(A|B) = P(A) = 1/2。
以上是概率论中的一些经典难题，通过研究和解答这些问题，可以提高对概率论的理解和应用能力。
*注意：以上解答仅供参考，具体问题的解答需要根据具体条件和情况进行分析。
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概率论与数理统计公式及习题答案
第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ)概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp (θ)分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法联合密度函数 联合分布函数联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望 )()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==nk k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤badxx f b X a P )()()0(1)(/≥=-x e x f x θθ∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=⎰+∞∞-=dyy x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dxy x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k kkP xX E )(⎰+∞∞-⋅=dx x f x X E )()(∑=kkk p x g X g E )())(()(1)(b x a ab x f ≤≤-=)()('x f x F =常用公式方差 定义式常用计算式常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数协方差的性质独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章正态分布标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章 卡方分布∑∑=ijiji p x X E )(dxdyy x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=ijijj i p y x XY E )(dxdyy x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dxx f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=)()(),(Y D X D Y X Cov XY=ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =),(),(),(Z Y Cov Z X Cov Z Y X Cov +=+),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x ex f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔)()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P )(~)1,0(~212n X N X ni i χ∑=，则若t 分布F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比第六章点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计最大似然估计 似然函数均值的区间估计——大样本结果正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知两个正态总体方差比的置信区间第七章假设检验的步骤① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1 ② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值 ③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
概率论与数理统计 老师总结经典习题总汇
由于第k+1个球是白球，可先从m个白球中取一个留 1 Cm m种保留下来的取法， 下来作为第k+1个球，一共有 其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的排 k 列，总数为 Pmn1 k 事件B所包含的基本事件总数为 mP n1 m
在实际中，有许多问题的结构形式与抽球 问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地 抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个 ，求“被抽出的若干个事物满足一定要求”的 概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的 选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择 抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突 出，而不必过多的交代实际背景。
1.3 古典概型与几何概型
一、古典概型的定义(p.11)
设随机实验E满足下列条件
1.有限性：试验的样本空间只有有限个可能的结果，即
S {1, 2 ,..., n}
2.等可能性：每个样本点的发生是等可能的，即
P(1 ) P(2 ) ... P(n ) 1/ n
则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型。
设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个 事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合 函数P(· )具有如下性质： ①非负性：对任意一个事件A，均有P(A)≥0 ； ②完备性：P(S)=1； ③ 可列可性质 ：若A1 ，A2 ，…，An ，…是两两互不相 容的事件序列，即Ai∩Aj=φ(i≠j, i, j=1,2,…)，有 P(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2) +…+ P(An)+… 则称P(A)为事件A的概率。
2、全概率公式(P.21) 定理1.1 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。
概率论模型——精选推荐
第三篇概率论模型在概率论的应用实例中，通过对应用问题建模主要培养处理随机问题的能力，掌握归纳和处理随机现象的思想方法。
学会应用期望值和标准差衡量随机现象的特征、归纳随机现象的基本规律和特征、解决在不确定环境下的风险管理和决策问题。
解决不确定问题首先遇到概率的计算问题，常用到的计算方法有古典概型、加法公式、条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式等。
与此相关的应用实例有：彩票中奖概率的计算，至少两人生日在同一天，有趣的蒙特莫特（Montmort）问题，论掷骰子游戏中的概率计算，意料之外“数理”之中！敏感性问题调查，抽签（抓阄）公平吗，对于疑难病症要进行综合检查，说谎的孩子，如何追究责任等。
描述随机现象的常用方法是用随机变量，这样就便于用分析的方法来处理，许多不确定应用问题可以用常见的随机变量来描述，如二项分布、泊松分布、均匀分布和正态分布等；计算不确定性问题的平均值和波动程度用随机变量的数学期望与方差（或标准差）才比较客观。
关于随机现象分布的归纳和随机变量的数学期望的应用实例有：泊松(Poisson)分布与突发事件概率的计算，选择题的给分标准，分赌本问题，奖品的诱惑下切勿上当，选择题能考出真实成绩吗？“摸大奖”真的免费吗？赌徒输完问题，考试成绩的标准分，几种保险理赔的概率分布及其在保险实务中的应用，计算机网络病毒随机传播的概率模型，求职面试问题(动态决策问题)，减少验血的工作量，报童的策略(随机存储问题)，建大厂还是建小厂？应该定购多少本挂历，可使总利润最大？正态分布的应用，如何有效安排人力等。
有些不确定性问题需要用多个随机变量来描述和解决，根据多维随机变量的分布与数字特征对所要解决问题进行优化，如组合证券投资决策的均值——方差模型等。
应用多维随机变量解决应用问题的实例有：这样找庄家公平吗？配对问题——蒙特莫特问题的继续讨论，组合证券投资决策模型等。
大数定律反映相互独立的随机变量的平均值依概率收敛于一个常数的特征，中心极限定理反映的是一系列相互独立的随机变量和的极限分布为正态分布的特征，大数定律与中心极限定理在保险精算等方面有着广泛的应用。
逻辑推理题张老师的生日答案及详解
逻辑推理题张老师的生日答案及详解某天，在某个班级中，学生们得知了他们班主任张老师即将过生日，为了给张老师一个特别的惊喜，他们想要猜出张老师的生日。
于是，他们开始研究张老师给出的线索，希望能够正确地推理出张老师的生日。
首先，张老师和学生们共享了一张表格，表格上标注有12个月份与31个日期，学生们注意到张老师在该表格上画下了两个圈圈，一个圈圈包含了一个月份，另一个圈圈包含了一个日期。
学生们之间展开了讨论，试图找出这两个圈圈所代表的具体日期。
在进行推理之前，学生们必须先排除一些不可能的日期。
首先，学生们知道2月份没有31号，所以圈圈中的日期不可能为31。
接着，他们又注意到张老师注明了月份是“不连续的”，即月份与日期没有直接的数学关系。
通过细致的观察和逻辑推理，学生们逐步缩小了日期范围。
首先，学生们发现月份的范围可以被缩小到7、8、10和12这四个月份中。
这是因为只有这四个月份中的日期可以出现在31号之后。
接下来，学生们找到了进一步的线索。
他们还知道，通过第一次的线索，他们可以将日期的范围缩小到18、19、20和21这四个日期中。
这是因为只有这四个号码在大部分月份中都出现了。
此外，学生们还了解到，通过第二个线索，他们可以将月份的范围缩小到7和8这两个月份中。
这是因为只有在这两个月份中，日期范围与其他月份的区别才变得明显。
最后，学生们既然已经找到了限制日期和月份范围的线索，他们只需进一步观察，通过第三个线索即可得出准确的结果。
他们发现，张老师的生日是8月20日。
为了更好地解释这个答案，让我们回顾一下推理过程。
首先，学生们排除了年份和2月份的31号，并发现了4个有可能的月份（7、8、10和12）。
其次，他们缩小了日期的范围为（18、19、20和21）。
然后，学生们发现，只有7月和8月这两个月份的日期范围存在明显差异。
最后，通过最后一个线索，他们得出了准确的生日答案：8月20日。
在这个推理题中，学生们通过仔细观察线索，并进行逻辑推理，成功地猜测出了张老师的生日。
生日相同的概率
生日相同的概率(一)教学目标(一)教学知识点能用实验的方式估量一些复杂的随机事件发生的概率.(二)能力训练要求经历实验、统计等活动进程，在活动中进一步进展学生合作交流的意识和能力.(三)情感与价值观要求通过对切近学生生活的有趣的生日问题的实验、统计，提高学习数学的兴趣.而且有助于破除迷信，培育学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观.教学重点：用实验的方式估量一些复杂的随机事件的概率.教学难点：经历用实验频率估量理论概率的进程，并初步感受到50个同窗中有2个同窗生日相同的概率较大.教学方式：探讨——实验——合作交流法.本课时选择了切近学生生活的生日问题，旨在通过具体搜集数据.进行实验，统计结果，合作交流的进程，丰硕学生的活动经验，并初步感受到频率与概率的关系.教具预备：每一个同窗课外凋查10个人的生日、生肖；多媒体课件；教学进程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]《红楼梦》62回中有如此一段话：探春笑道：“倒有些意思.一年十二个月，月月有几个生日.人多了，就如此巧，也有三个一日的，两个一日的……过了灯节，就是大太太和宝姐姐，他们娘儿两个遇的巧，”宝玉又在隔壁补充，一面笑指袭人：“二月十二日是林姑娘的生日，他和林妹妹是一月，他所以记得.”关于生日问题，还有几个很有趣的故事：(1)有一次，美国数学家伯格米尼去观看世界杯足球赛，在看台上随意挑选了22名观众，叫他们报出自己的生日，结果竟然有两个人的生日是相同的，使在场的球迷们感到吃惊.(2)还有一个人也作了一次实验.一天他与一群高级军官用餐，席问，大家天南地北地闲聊.慢慢地，话题转到生日上来，他说：“咱们来打个赌.我说，咱们之间至少有两个人的生日相同.”“赌输了.罚酒三杯！”在场的军官们都很感兴趣.“行!”在场的各人把生日一一报出.结果没有生日刚巧相同的.“快!你可得罚酒啊!”突然，一个女佣人在门口说：“先生.我的生日正巧与那里的将军一样”.大家傻了似的望望女佣.他乘隙赖掉了三杯罚酒.那么，在几个人中，有2个人生日相同的可能性到底有多大，即几个人中，有2个人生日相同的概率是多少呢?故事中情境是一种必然仍是一种偶然呢?下面，咱们就带着那个问题，学习研究一个历史上很出名的趣味性问题——生日相同的概率.Ⅱ.经历实验、统计等活动进程，估量复杂随机事件(生日相同)的概率[师]400个同窗中，必然有2个同窗的生日相同(能够不同年)吗?[生]必然![师]依据是什么呢?[生]抽屉原理——把m个东西任意放进n个空抽屉里(m>n).那么必然有一个抽屉中放进了至少2个东西.在上面的问题小，由于一年最多有366天，因此，在400个同窗中必然会出现至少2个人诞生在同月同日.就相当于把400个东西放到366个抽屉里，必然至少有2个东西放在同一抽屉里.[师]这位同窗解释得很出色!同窗们可接着试探：300个同窗中，必然有两个同窗的生日相同吗?[生]这就不敢保征了.[师]但我以为咱们班50个同窗中极可能就有2个同窗的生日相同.[生]不可能吧？！(惊讶)[师]不相信吗?咱们此刻就来调查一下全班同窗的生日，看看有无2个同窗的生日是相同的.为了节约时刻，写生日时，能够进行必然的简化，如可将“2月16日”记为“0216”.然后，咱们请两位同窗把结果板演在黑板上.同时，请同窗们想一想：在结果未出来之前，你能猜想到什么？[生]没有2个同窗的生日相同.[生]有2个同窗的生日相同.[生]或许会有3个同窗的生闩相同，……[师]有3个同窗的生日固然也必然有2个同窗的生日相同了.这节课咱们研究的只要有2个同窗的生日相同即可.可是，若是咱们班50个同窗中市两个同窗的生日相同，那么能说明这50个同窗中有2个同窗生日相同的概率是1吗?若是咱们班没有两个同窗的生日相同，能说明其相应概率为0吗?[师]调查的结果出来了.同窗们按照调查的结果，反思并评判一下上面的两个问题.[生]咱们班50个同窗中有2个同窗的生日相同，并非能说明50个同窗中行2个同窗生日相同的概率是1；而50个同窗中没有2个同窗生日相同.也不能说明其相应概率为0.[生]我也如此想的.例如“随意抛掷一枚硬币.落地后国徽朝上，咱们就说同徽朝上的概率为1，国徽朝下的概率是0，很显然是错误的.概率的意义应是成立在大量的重复实验的基础上，用事件发生的频率近似地表示概率.因此.咱们要真正体验随机选取的50个同窗中有2个同窗生日相同的概率，必需通过大量的重复的实验去体会、感受.活动一：每一个同窗课外调查10个人的生日，从全班的调查结果中随机选择50个被调查人，看看他们中有无2个人的牛日相同.将全班同窗的调查数据集中起来，设计一个方案.估量50个人中有2个人生日相同的概率.(1)设计目的：旨在通过具体搜集数据、进行实验、统计结果等进程，进一步丰硕学生的数学活动经验，同时对本节问题有比较自观的感知，经历用实验频率估量理论概率的进程，并初步感受到体问题的概率较大.(2)预备工作：每一个同窗课外调查10个人的生日，为了节约时刻，可仿照前面的办法，进行必然的简化，如可将“3月8日”记为“0308”.(3)设计方案：(可由学小生自主设计，这里的方案，在具体实验时仅供参考)方案一：在具体实验时，能够将学生所调查的生日写在纸条上并放在箱子里随机抽取.方案二：将每一个同窗所调查的生日随机排列成某一适当的形式(如方阵)，然后，再依照某规则从当选取50个进行实验，例如排成20×25的方阵，由学生随机说出从某行某列的一个数开始，从左往右，自上而下地数出50个数，进行实验.方案三：要求学生每次随机地写下自己查的一个生日，再汇总.(4)进程指导：(a)搜集数据为了节约时刻，能够对生日的表示方式简化，还能够以小组的形式参与整理、搜集数据，以保证时刻的充分利用.(b)鼓励学生斗胆地发言，交流、讨论从大量重复实验进程中初步感受到本问题的概率较大.(c)在活动和分析的基础上，鼓励学生提出更好的活动方案，例如，可发动大家随机地写出1～365之间的某一个自然数代表生日进行实验；让同窗们分工合作制作365个依次写有1～365的自然数的卡片，放入纸箱，然后随机抽取1张，记下号码放，归去；再随机抽取1张，记下号码，放归去；再从中抽取，一张……直至抽取第50张.记下号码为一次实验.重复多次实验，即可估量出50个人中有2个人生日相同的概率，实际上这就是模拟实验.(5)评价指导(a)主要评价学生的参与程度、活动进程中的思维方式、与同窗合作交流的情形.(b)鼓励学生思维的多样性.(c)关注学生可否用实验的方式估量一些较复杂的随机事件发生的概率.(d)关注学生对概率的理解是不是全面.[师]通过大量重复的实验，你能估算一下50个人中有2个人生日相同的概率吗?[师生共析]咱们可从实验的频率估量理论概率，并使咱们感受到本问题的概率较大。
概率论与数理统计习题解答
第一章 随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和; (2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标;（3）10件产品中有三件是次品,每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度。
解 所求的样本空间如下(1)S= ｛2，3，4，5，6，7，8,9,10，11,12｝ （2）S= ｛（x ， y ）｜ x 2+y 2<1} （3）S= ｛3，4，5,6，7，8，9，10} （4）S= {v ｜v>0｝2. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件: （1）A 发生,B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生，而C 不发生； （3）A 、B 、C 都发生； （4)A 、B 、C 都不发生; (5）A 、B 、C 不都发生； （6)A 、B 、C 至少有一个发生； （7）A 、B 、C 不多于一个发生； （8)A 、B 、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ABCABC ABC ABC ABCAB CAB BC AC ABBC CA3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生,事件B 表示该生是三年级学生，事件C 表示该学生是运动员,则 （1）事件AB 表示什么？(2)在什么条件下ABC =C 成立？（3)在什么条件下关系式C B ⊂是正确的? (4）在什么条件下A B =成立? 解 所求的事件表示如下(1）事件AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员。
（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC =C 成立。
（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B ⊂是正确的。
(4)当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立。
4．设P (A ）＝0.7,P （A －B )＝0。
用概率论解决生日问题教案
用概率论解决生日问题教案
一、教学目标
1.了解生日问题的概率计算方法；
2.掌握生日问题的基本概念及其应用；
3.培养学生运用概率论解决实际问题的能力。
二、教学内容
1.生日问题的基本概念；
2.生日问题的概率计算方法；
3.生日问题在实际中的应用。
三、教学重点与难点
1.理解生日问题的基本概念；
2.掌握生日问题的概率计算方法。
四、教学方法
1.讲授法：通过讲解理论知识，使学生了解基本概念和相关公式；
2.案例分析法：通过实例分析，帮助学生理解和应用知识。
五、教学过程设计
第一步：导入新课
引入“同月同日”、“同月不同日”、“不同月不同日”等概念，让学生思考这些事件发生的可能性大小，并引出“生日问题”。
第二步：讲授“生日问题”的基本概念
1.“n个人中至少有两个人生日相同”的定义；
2.“n个人中没有两个人生日相同”的定义。
第三步：讲授“生日问题”的概率计算方法
1.“n个人中至少有两个人生日相同”的概率计算方法；
2.“n个人中没有两个人生日相同”的概率计算方法。
第四步：案例分析
以班级为例，让学生自己计算班级中至少有两个人生日相同的概率，并讨论如何降低这种概率。
第五步：总结与拓展
1.总结“生日问题”的基本概念和概率计算方法；
2.拓展应用，如在抽奖、选举等活动中运用生日问题的知识。
六、教学评价
1.通过教学实践检验学生是否掌握了基本概念和概率计算方法；
2.通过作业检查，评价学生对于实际问题的解决能力。
匹配问题概率论
匹配问题概率论
匹配问题概率论是经典概率论中的一种，主要研究如何根据不同条件和概率进行最优决策的问题。
以下是一些常见的匹配问题概率论的例子：
1.生日问题：假设在一个房间里，有N个人，每个人有一个不同的
生日。
问至少有两个人生日相同的概率是多少？
2.秘书问题：公司招聘了N个秘书，每个秘书都有自己的偏好，即
他们更喜欢与某些人合作。
现在公司要分配这些秘书到N个岗位上，问至少有一个秘书被分配到他/她最喜欢的岗位的概率是多少？
3.匹配问题：在婚配市场中，有N个男性和N个女性，每个人都对
另一半有一定的要求。
现在要随机匹配这N对男女，问至少有一对男女彼此满足对方要求的概率是多少？
解决这些问题的关键在于计算对立事件的概率，即没有发生特定事件的概率。
然后，通过计算对立事件的概率，可以得出所求事件的概率。
在解决匹配问题时，可以使用排列组合、二项式定理等数学工具来计算概率。
计算员工生日公式
计算员工生日公式
【原创版】
目录
1.计算员工生日的公式
2.公式的推导过程
3.公式的实际应用
4.公式的局限性和改进方法
正文
计算员工生日的公式是一种用于计算员工生日的算法，它可以帮助公司和组织在员工生日时为他们庆祝，提高员工的满意度和归属感。
下面我们来详细了解一下这个公式的推导过程、实际应用以及局限性和改进方法。
首先，我们来看公式的推导过程。
计算员工生日的公式基于一个假设：员工的生日是随机分布在一年中的。
这个假设基于一个前提，即员工的生日是等概率分布在一年中的。
基于这个假设，我们可以使用概率论的方法来计算员工生日的公式。
具体来说，我们可以使用以下公式来计算员工生日：
生日 = 1 + (365/365) * 员工编号
其中，员工编号是从 1 开始的整数，365 是一年中的天数。
接下来，我们来看公式的实际应用。
在实际应用中，公司和组织可以根据员工的编号来计算他们的生日，然后在员工生日时为他们庆祝。
例如，如果一个员工的编号是 100，那么他的生日就是 100 年 1 月 1 日。
然而，这个公式也存在一些局限性和改进方法。
首先，这个公式假设员工的生日是等概率分布在一年中的，但实际上员工的生日可能是有偏分布的，例如某些月份的生日人数可能更多。
其次，这个公式没有考虑到员工的生日可能是在闰年或平年中的。
为了改进这个公式，我们可以使用更
复杂的概率模型来考虑这些因素。
总之，计算员工生日的公式是一种用于计算员工生日的算法，它可以帮助公司和组织在员工生日时为他们庆祝。