集合论与图论set theory and graph theory课件
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集合论与图论PPT资料(正式版)
k 0
在(x+y)2的展开式中令x=y=1得：
5、集合的运算
x∈A (x∈ A x∈ B)) (x∈A x∈ A) (x∈A x∈ B)）
定义1 设Ａ、Ｂ为两个集合，则Ａ与Ｂ的交集Ａ∩Ｂ、并 A-B=A-(A∩B)
定义１ 给定集合Ａ和Ｂ，如果Ａ中每个元素都是Ｂ中的元素，则称Ａ为Ｂ的子集，记作 Ａ Ｂ或Ｂ Ａ，读作“Ａ包含于Ｂ”或“
定理２ 空集是任意集合的子集。
证明：任给集合Ａ，Φ是空集。则（x)(x∈Φ→x∈A) 永
真。这是因为条件式的前件(x∈Φ)永假，所以该条件式对
一切ｘ皆为真。按子集的定义，ΦA为真。
8
3、集合间的关系（续2）
例1 证明对于任何集合A、B、C都有 (AB)∧(BC)(AC)
证：(AB)∧(BC) (x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈C) (x)（(x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈C)） (x)(x∈A→x∈C) AC
如果ａ是集合Ｓ的元素,记作ａ∈Ｓ,读作“ａ属于 Ｓ”。如ｂ不是Ｓ的元素，记作 bＳ，读作“ｂ不属于 Ｓ”，它等价于 （b∈s）。若一个集合的元素个数是 有限的，则称为有限集，否则称为无限集。
4
2、集合的表示
列举法：列出集合的所有元素，并用花括号括起来，元素 之间用逗号隔开。例如： S={e1 ,e2 ,…,en} (具有n个元素的有限集) Ａ＝{a,{b,c},{{d}}} （ a,{b,c},{{d}}是该集合的元素）
7
3、集合间的关系（续1）
定理１ 设Ａ、Ｂ为两个集合，Ａ＝Ｂ当且仅当 ＡＢ 且ＢＡ。即 (A＝B)AB∧BA。
证明：两个集合相等，则它们有相同的元素。 (A＝B)(x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈A) (AB)∧(BA)。
在(x+y)2的展开式中令x=y=1得：
5、集合的运算
x∈A (x∈ A x∈ B)) (x∈A x∈ A) (x∈A x∈ B)）
定义1 设Ａ、Ｂ为两个集合，则Ａ与Ｂ的交集Ａ∩Ｂ、并 A-B=A-(A∩B)
定义１ 给定集合Ａ和Ｂ，如果Ａ中每个元素都是Ｂ中的元素，则称Ａ为Ｂ的子集，记作 Ａ Ｂ或Ｂ Ａ，读作“Ａ包含于Ｂ”或“
定理２ 空集是任意集合的子集。
证明：任给集合Ａ，Φ是空集。则（x)(x∈Φ→x∈A) 永
真。这是因为条件式的前件(x∈Φ)永假，所以该条件式对
一切ｘ皆为真。按子集的定义，ΦA为真。
8
3、集合间的关系（续2）
例1 证明对于任何集合A、B、C都有 (AB)∧(BC)(AC)
证：(AB)∧(BC) (x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈C) (x)（(x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈C)） (x)(x∈A→x∈C) AC
如果ａ是集合Ｓ的元素,记作ａ∈Ｓ,读作“ａ属于 Ｓ”。如ｂ不是Ｓ的元素，记作 bＳ，读作“ｂ不属于 Ｓ”，它等价于 （b∈s）。若一个集合的元素个数是 有限的，则称为有限集，否则称为无限集。
4
2、集合的表示
列举法：列出集合的所有元素，并用花括号括起来，元素 之间用逗号隔开。例如： S={e1 ,e2 ,…,en} (具有n个元素的有限集) Ａ＝{a,{b,c},{{d}}} （ a,{b,c},{{d}}是该集合的元素）
7
3、集合间的关系（续1）
定理１ 设Ａ、Ｂ为两个集合，Ａ＝Ｂ当且仅当 ＡＢ 且ＢＡ。即 (A＝B)AB∧BA。
证明：两个集合相等，则它们有相同的元素。 (A＝B)(x)(x∈A→x∈B)∧(x)(x∈B→x∈A) (AB)∧(BA)。
北大集合论与图论1PPT课件
第1讲 命题逻辑基础
1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
1
命题符号化
简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词：
合取联结词： 析取联结词： 否定联结词： 蕴涵联结词： 等价联结词：
附加律 化简律
A(AB) (AB)A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
23
常见推理定律（续）
假言推理 (AB ) AB
拒取式 (AB ) B A
析取三段论 (AB )B A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
24
常见推理定律（续）
假言三段论 (AB)(BC)(AC)
同一律(identity laws)
A0A A1A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
11
常用逻辑等值式(关于0,1)
排中律(excluded middle)
AA1
矛盾律(contradiction)
AA0
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
12
常用逻辑等值式(关于)
蕴涵等值式(conditional as disjunction)
19
等值演算（举例）
例：(pq)rpqr 解：
(pq)r (pq)r (pq)r pqr
（蕴涵等值式） （德●摩根律） （结合律）
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
20
推理定律(deduction laws)
推出： AB
读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真
1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
1
命题符号化
简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词：
合取联结词： 析取联结词： 否定联结词： 蕴涵联结词： 等价联结词：
附加律 化简律
A(AB) (AB)A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
23
常见推理定律（续）
假言推理 (AB ) AB
拒取式 (AB ) B A
析取三段论 (AB )B A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
24
常见推理定律（续）
假言三段论 (AB)(BC)(AC)
同一律(identity laws)
A0A A1A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
11
常用逻辑等值式(关于0,1)
排中律(excluded middle)
AA1
矛盾律(contradiction)
AA0
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
12
常用逻辑等值式(关于)
蕴涵等值式(conditional as disjunction)
19
等值演算（举例）
例：(pq)rpqr 解：
(pq)r (pq)r (pq)r pqr
（蕴涵等值式） （德●摩根律） （结合律）
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
20
推理定律(deduction laws)
推出： AB
读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真
图论的介绍ppt课件
chedules
工程项目的任务安排，如何满足限制条件，并在最短时 间内完成？
Program structure
大型软件系统，函数（模块）之间调用关系。编译器分 析调用关系图确定如何最好分配资源才能使程序更有效 率。
Graph Applications
Graph Problems and Algorithms
图论的介绍ppt课件
欧拉路径 解決哥尼斯保七桥问題
原來是一笔画问题啊！
数学家欧拉(Euler, 1707-1783) 于1736年严格的证明了上述哥尼斯堡 七桥问题无解，并且由此开创了图论的典型思维方式及论证方式
实际生活中的图论 Graph Model
电路模拟
例：Pspice、Cadence、ADS…..
哈密頓（Hamilton） 周遊世界问題
正十二面体有二十个顶点 表示世界上20个城市 各经每个城市一次 最后返回原地
投影至平面
哈密頓路径至今尚无有效方法來解決！
最短路径问題
(Shortest Path Problem)
最快的routing
最快航線
B 2
1
E
3
A
C 1
3 2F
1
3
D
3 3
G
最短路径算法Dijkstra算 法
二分图（偶图） Bipartite graphs
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite
It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
工程项目的任务安排，如何满足限制条件，并在最短时 间内完成？
Program structure
大型软件系统，函数（模块）之间调用关系。编译器分 析调用关系图确定如何最好分配资源才能使程序更有效 率。
Graph Applications
Graph Problems and Algorithms
图论的介绍ppt课件
欧拉路径 解決哥尼斯保七桥问題
原來是一笔画问题啊！
数学家欧拉(Euler, 1707-1783) 于1736年严格的证明了上述哥尼斯堡 七桥问题无解，并且由此开创了图论的典型思维方式及论证方式
实际生活中的图论 Graph Model
电路模拟
例：Pspice、Cadence、ADS…..
哈密頓（Hamilton） 周遊世界问題
正十二面体有二十个顶点 表示世界上20个城市 各经每个城市一次 最后返回原地
投影至平面
哈密頓路径至今尚无有效方法來解決！
最短路径问題
(Shortest Path Problem)
最快的routing
最快航線
B 2
1
E
3
A
C 1
3 2F
1
3
D
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G
最短路径算法Dijkstra算 法
二分图（偶图） Bipartite graphs
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite
It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
GRAPH THEORY 图论
一筆畫問題 (Euler Tour)
哥尼斯堡(Konigsberg)七橋問題
一筆畫問題 (Euler Tour)
中國郵路問題
可以一筆畫
不能一筆畫
更複雜的一筆畫問題
哈密頓（Hamilton）環遊世界問題
如何一次歷遍二十個城市 而不重覆？
這是一個NP Complete的問題
References
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
一些基本的圖形
Graph (無向圖) Digraph (有向圖)
loop
Multigraph (多圖)
Pseudograph
loop
Path and Cycle
路徑(path):是一個有限非空的點和邊的交錯序列， 其中的點兩兩不相同 迴圈(cycle):起點和終點相同的路徑
E.g.
路徑P=fdabce 迴圈C=abca
The three graphs above are isomorphic 這三個圖表示相同的概念
生活中的一些例子
台大網路架構圖
一些特殊的圖
完整的圖 Complete graphs
任意兩點之間都有一個邊與其相連的圖稱為完整的圖，以 Kn 來表示，n為點數，邊數為 n C 2
运筹学--图论 ppt课件
4
5
4 9 8
v1
v3
2
v6
[8,v2]
v8
5 33
1
[2,v1]
v4
v7
[10,v4]
33
Dijkstra算法示例1
3）迭代计算(c)—更新与永久标号节点v2相连的节 (d2+w25=3+7=)10< ∞ (=d5) 点的临时标号。
[3,v1]
v2
[0,-]
7
v5
[10,v2]
2 [+∞,v1] 6
v4
v7
[+∞,v1]
22
Dijkstra算法示例1
2）迭代计算(a)—从临时标号中找到距离上界dk最 小的节点v4，d4=min{dk}，将其变换为永久编号。
[3,v1] [+∞,v1]
v2
[0,-]
7
v5
2 [+∞,v1] 6 1 2 [+∞,v1]
3
5 2 [5,v1]
4
5
4 9 8
v1
v3
最小树问题不一定有唯一解。
10
10
最小支撑树问题的解法
破圈法 算法
初始化 将图G的边按权值从大到小的次序排列，从 原图开始迭代； 迭代
第1步(删边) 从排列中顺序选择一条与图中剩余边构成圈 的边，则将此边从图中删除，进入第2步(结束判断)； 第2步(结束判断) 若图中剩下n-1条边，则已经得到最小支 撑树；否则，进入下一轮迭代，返回第1步(加边)；
柯尼斯堡七桥问题
柯尼斯堡市区横跨普雷格尔河两岸，在河中心有两 个小岛。小岛的两岸共有七座桥将岛与岛、岛与河 岸连接起来。一个人怎样才能一次走遍七座桥，每 座桥只走过一次，并最后回到出发点？
集合与图论映射27页PPT
集合与图论映射
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷
集合论与图论课件2
nnmrmr2211又由已知条件知道又由已知条件知道r1212n22mm3322将式22的结果代入式的结果代入式11得得2222mm33mm1212得得mm303033若所有的面均至少由若所有的面均至少由55条边围成条边围成则则55r2mm得得r22mm5544将式2244的结果代入式的结果代入式11得得2222mm33mm22mm55得得m303055式式33与式与式55矛盾矛盾因而必存在至多由因而必存在至多由44条边围成的面条边围成的面
K3，3的子图。
平面图还存在着若干其他特征。
为了描述另外的特征，引入下面定义。
2.2 收缩图
定义3 设G=(V，E)是一个图，则
(1)若uw和wv是图G的两条边且deg(w)=2，用一条边uv代替uw和wv时，则称uw和wv被 缩减。
第十一页，共21页。
(2)若G的某些条边被缩减，产生的图称为G的缩减图，也称二度顶点内缩
第八页，共21页。
一个最大可平面图是一个可平面图，对此可平面图中不能再加入边而不破坏
可平面性。 推论2 设G=(p，q)是一个最大可平面图，则G的每个面都是三角形，而且q=3p-6。
推论3 若G=(p，q)是一个可平面连通图，而且G的每个面都是一个长为4的回路
围成的，则q=2p-4
推论4 若G=(p，q)是一个连通的平面图，p≥3，则q≤3p－6。
证：在每个区域放一个顶点，当两区域相邻时，就在相邻的两个顶点间连一条边，如此构造了一个
平面图且是完全平面图，而最大的完全平面图为K４，所以n最大为4。
例９给出平面图G的对偶图G*为欧拉图的一个充分必要条件。并证明之。
第十五页，共21页。
分析：当且仅当G中每个面均由偶数条边围成，因为平面图G的每个面对应G*的每个顶， 而G*为欧拉图的充要条件是G*每个顶点的度数为偶数，围成G每个面的边数与对应的G*中
K3，3的子图。
平面图还存在着若干其他特征。
为了描述另外的特征，引入下面定义。
2.2 收缩图
定义3 设G=(V，E)是一个图，则
(1)若uw和wv是图G的两条边且deg(w)=2，用一条边uv代替uw和wv时，则称uw和wv被 缩减。
第十一页，共21页。
(2)若G的某些条边被缩减，产生的图称为G的缩减图，也称二度顶点内缩
第八页，共21页。
一个最大可平面图是一个可平面图，对此可平面图中不能再加入边而不破坏
可平面性。 推论2 设G=(p，q)是一个最大可平面图，则G的每个面都是三角形，而且q=3p-6。
推论3 若G=(p，q)是一个可平面连通图，而且G的每个面都是一个长为4的回路
围成的，则q=2p-4
推论4 若G=(p，q)是一个连通的平面图，p≥3，则q≤3p－6。
证：在每个区域放一个顶点，当两区域相邻时，就在相邻的两个顶点间连一条边，如此构造了一个
平面图且是完全平面图，而最大的完全平面图为K４，所以n最大为4。
例９给出平面图G的对偶图G*为欧拉图的一个充分必要条件。并证明之。
第十五页，共21页。
分析：当且仅当G中每个面均由偶数条边围成，因为平面图G的每个面对应G*的每个顶， 而G*为欧拉图的充要条件是G*每个顶点的度数为偶数，围成G每个面的边数与对应的G*中
集合论与图论SeTheoryandGraphTheory
集合论与图论
REPORTING
https://
• 集合论基础 • 图论基础 • 集合论与图论的联系 • 集合论与图论的应用 • 集合论与图论的未来发展
目录
PART 01
集合论基础
REPORTING
WENKU DESIGN
集合的定义与性质
总结词
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。集合具有确定性、互异性和无序性等基本 性质。
离散概率论
离散概率论是计算机科学中研究离散随机事件的数学分支，集合论 为其提供了数学框架，用于描述概率空间和随机事件。
计算机科学中的图论应用
01
02
03
计算机网络
图论在计算机网络中用于 描述网络拓扑结构、路由 算法、最短路径算法等问 题。
操作系统
操作系统的进程管理和通 信可以通过图论进行建模 和分析，例如进程间的依 赖关系和通信路径。
集合论与图论的结合将在计算机科学中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思路 和方法。
集合论与图论的交叉研究在其他学科的应用前景广泛
集合论与图论的交叉研究将在其他学科中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思 路和方法。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
集合论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着计算机科学的飞速发展，集合论在数据结构、算法设计、离散概率论等领域的应用将更加广 泛和深入。
图论的发展趋势
图论与其他数学分支的结合将更加紧密
图论与代数、拓扑、组合数学等分支的结合将更加紧密，推动图论理论的进一步丰富和发展。
图论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着大数据和人工智能的兴起，图论在数据挖掘、机器学习、社交网络分析等领域的应用将更加广泛和深入。
REPORTING
https://
• 集合论基础 • 图论基础 • 集合论与图论的联系 • 集合论与图论的应用 • 集合论与图论的未来发展
目录
PART 01
集合论基础
REPORTING
WENKU DESIGN
集合的定义与性质
总结词
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。集合具有确定性、互异性和无序性等基本 性质。
离散概率论
离散概率论是计算机科学中研究离散随机事件的数学分支，集合论 为其提供了数学框架，用于描述概率空间和随机事件。
计算机科学中的图论应用
01
02
03
计算机网络
图论在计算机网络中用于 描述网络拓扑结构、路由 算法、最短路径算法等问 题。
操作系统
操作系统的进程管理和通 信可以通过图论进行建模 和分析，例如进程间的依 赖关系和通信路径。
集合论与图论的结合将在计算机科学中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思路 和方法。
集合论与图论的交叉研究在其他学科的应用前景广泛
集合论与图论的交叉研究将在其他学科中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思 路和方法。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
集合论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着计算机科学的飞速发展，集合论在数据结构、算法设计、离散概率论等领域的应用将更加广 泛和深入。
图论的发展趋势
图论与其他数学分支的结合将更加紧密
图论与代数、拓扑、组合数学等分支的结合将更加紧密，推动图论理论的进一步丰富和发展。
图论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着大数据和人工智能的兴起，图论在数据挖掘、机器学习、社交网络分析等领域的应用将更加广泛和深入。
集合论与图论
答疑
时间： （待定） 地点： 理科楼群#1，1625室 电话： 62765818 Email：
liu_tian@ liutian@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田北京大学计算机系 2001年2月
教材
《集合论与图论》，离散数学二分册， ， 耿素云，北大出版社，1998年2月
参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 ， 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
内容介绍
《离散数学》
《集合论与图论》 《代数结构与组合数学》 《数理逻辑》
内容介绍
《集合论与图论》
第一部分 集合论
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 集合 二元关系 函数 自然数 基数
内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章 图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
进度安排
第1周 第2--7周 第8--17周 第8、15周 第18周 预备知识（数理逻辑） 集合论（6周） 图论（10周） 测验（2次） （机动）
成绩评定
书面作业占10%，4--5题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
作业
时间：每周日交上周作业，下周日发回 顺序：每次交一个班，1、2、3班轮流 讲解：每次作业都有课上讲解 要求：正确、完全、简洁、清楚 Correct，Complete，Concise，Clear 提示：独立完成作业，可以讨论，但要 杜绝抄袭
【正式版】集合的概念及其表示PPT
若AB,且BC, 则AC 证明: 要证AC，即证AC并且AC 首先证明AC
AB AB 并且 AB AB 同理 BC BC, 所以AC.
反证法证明AC 假设A=C, 则BCBA, 又AB, 故A=B, 此与AB矛盾, 所以A=C不成立，因而AC成立.
所以, AC.
集合的相等关系
相等关系定义1：由外延公理, 集合A与 集合B的元素完全相同时, A = B。
1.1 集合论(set theory)
十九世纪数学最伟大成就之一 给定一个有限集, 要保证不重复和不遗漏地写出它的全部子集, 办法之一就是将子集按基数由小到大地分类, 相同基数类的子集再按字母
数字顺序逐个地写出。 A B A B 并且 A B A B
集合论体系 集合：是一种原始概念，不能精确定义。
“”与“”“”的区别:
符号“”表示元素与集合间的隶属关系;
例： 1N
/* 1{N}，正确与否？*/
“” “”是集合之间的包含关系, “” “”的两边均是集合, 地位平等。
集合之间可以没有任何关系。
包含关系的性质
设A、B、C为3个集合, 由定义可知集合 的包含关系有如下性质：
(1) A A。
同理 B C B C, 所以A C.
创始人康托(Cantor) Q：有理数(整数商Quotient : i/j, j 0)
一些具有某种特点的对象的整体就构成集合，这些对象称为元素(element)或成员(member)。 P(A)={x|x A}
1 集合论(set theory)Georg Ferdinand Philip Cantor 1845 ~ 1918 对任何集合S, 有{S} S；
例 ：设集合A是方程 x2 – x = 0 的解的集合, A = {x | x2 – x = 0}; x2 – x = 0 的解为0和1 B = {0, 1}; 则 A = B。
AB AB 并且 AB AB 同理 BC BC, 所以AC.
反证法证明AC 假设A=C, 则BCBA, 又AB, 故A=B, 此与AB矛盾, 所以A=C不成立，因而AC成立.
所以, AC.
集合的相等关系
相等关系定义1：由外延公理, 集合A与 集合B的元素完全相同时, A = B。
1.1 集合论(set theory)
十九世纪数学最伟大成就之一 给定一个有限集, 要保证不重复和不遗漏地写出它的全部子集, 办法之一就是将子集按基数由小到大地分类, 相同基数类的子集再按字母
数字顺序逐个地写出。 A B A B 并且 A B A B
集合论体系 集合：是一种原始概念，不能精确定义。
“”与“”“”的区别:
符号“”表示元素与集合间的隶属关系;
例： 1N
/* 1{N}，正确与否？*/
“” “”是集合之间的包含关系, “” “”的两边均是集合, 地位平等。
集合之间可以没有任何关系。
包含关系的性质
设A、B、C为3个集合, 由定义可知集合 的包含关系有如下性质：
(1) A A。
同理 B C B C, 所以A C.
创始人康托(Cantor) Q：有理数(整数商Quotient : i/j, j 0)
一些具有某种特点的对象的整体就构成集合，这些对象称为元素(element)或成员(member)。 P(A)={x|x A}
1 集合论(set theory)Georg Ferdinand Philip Cantor 1845 ~ 1918 对任何集合S, 有{S} S；
例 ：设集合A是方程 x2 – x = 0 的解的集合, A = {x | x2 – x = 0}; x2 – x = 0 的解为0和1 B = {0, 1}; 则 A = B。
集合论（Settheory）
集合论（Settheory）作用按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。
从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础。
历史集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一，是在19世纪末由德国的康托尔（1845－1918）创立起来的。
但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前。
编辑本段无穷集合的早期研究概念集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。
集合作为数学中最原始的概念之一，通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体。
例如美国国会图书馆的全部藏书，自然数的全体以及直线上所有点的总体等等。
集合论的全部历史都是围绕无穷集合而展开的。
创立之前早在集合论创立之前两千多年，数学家和哲学家们就已经接触到了大量有关无穷的问题，古希腊的学者最先注意并考察了它们。
公元前5世纪，埃利亚学派的芝诺（约公元前490－前430），一共提出45个悖论，其中关于运动的四个悖论：二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论尤为著名，前三个悖论都与无穷直接有关。
芝诺在悖论中虽然没有明确使用无穷集合的概念，但问题的实质却与无穷集合有关。
在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注，一种是无穷过程，称为潜在无穷，一种是无穷整体，称为实在无穷。
希腊哲学家亚里士多德（前384－前322）最先提出要把潜在的无穷和实在的无穷加以区别，这种思想在当今仍有重要意义。
他认为只存在潜在无穷，如地球的年龄是潜在无穷，但任意时刻都不是实在无穷。
他承认正整数是潜在无穷的，因为任何正整数加上1总能得到一个新数。
对他来说，无穷集合是不存在的。
哲学权威亚里士多德把无穷限于潜在无穷之内，如同下了一道禁令，谁敢冒天下之大不韪，以至于影响对无穷集合的研究达两千多年之久。
创立过程公元5世纪，拜占庭的普罗克拉斯（410－485）是欧几里德《几何原本》的著名评述者。
集合与关系学习课件SetsandRelations
则xiR＋xj表示从xi出发，经过多次连续推导而得的字符串，其第一个字符恰为xj的关系，此关系即是上例中计算的MR+。 因此R＋ ＝{<A，A>，<A，B>，<A，D>，<B，B>，<B，D>，<C，e>，<D，B>，<D，D>}
3.8关系的闭包运算
定理 设R，S是非空集合A上的关系，且RS，则 (1) r（R） r（S）； (2) s（R） s（S）； (3) t（R） t（S）。
Q＝{P∩E，P∩F，A∩E，A∩F} 其中P∩E表示史前植物，P∩F表示史后植物 A∩E表示史前动物，A∩F表示史后动物。
证明 a ) 如果R是自反的； 因为RR， 且任何包含R的自反关系R″，有R″R， R就满足自反闭包的定义，即 r(R)＝R 反之，如果r(R)＝R， 根据定义的第一条a )，R必是自反的。 b)和c)的证明完全类似。
1 划分 定义: 若把一个集合A分成若干个叫做分块的非空子集，使得A中每个元素至少属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合叫做A的一个覆盖。如果A中每个元素属于且仅属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合叫做A的一个划分(或分划)。 上述定义与下面的定义是等价的。 定义′: 令A为给定非空集合，S＝{ S1，S2，…，Sm}，其中SiA， Si 如果除以上条件外，另有Si∩Sj＝Φ(i≠j)则称S是A的划分<或分划>。
3.8关系的闭包运算
分析： 条件1）确定了新关系的性质 条件2）决定新关系是在原关系的基础上产生的 条件3）确定新关系是具备该性质的最小集合 例 设A={1,2,3}，R={<1,1>,<1,2>,<2,3>} 求r(R)，s(R)，t(R)。 r(R)= s(R)= t(R)=
集合论和图论
◼ ◼
研究对象：集合、关系、函数、自然数、基数 研究思想：
以逻辑为基础、以集合为工具、表示和构造各种数学对象
◼
研究内容：
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集合的基本概念：集合之间的关系、运算、恒等式
二元关系：表示、性质、函数、等价关系、序关系
自然数：皮亚诺系统、自然数的运算、性质 基数：有穷集与无穷集、基数的比较 序数：良序、超限归纳法
16
教材及参考书
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◼
《离散数学教程》，耿素云 屈婉玲 王捍贫编著， 北京大学出版社 《离散数学》，左孝凌，李为鉴，刘永才编著， 上海科技文献出版社 《Elements of Set Theory》(集合论基础), Herbert B. Enderton, 人民邮电出版社 《Discrete Mathematics and Its Applications》 (离散数学及其应用), Kenneth H.Rosen, 机械工 业出版社
支配集、点覆盖集、点独立集（1学时） 边覆盖集与匹配（1学时） 二部图中的匹配（1学时）
◼
*带权图（1学时）
中国邮递员问题、货郎担问题 （1学时）
◼
图论总结复习（2学时）
图论的总结（1学时） 图论习题课（1学时）
◼
课程总结（2学时）
23
本课程的要求
◼
计算机系本科生作为必修课
◼
本课程也适合信息学院其他各系及理工科 各系有志于在计算机科学领域打下坚实理 论基础的本科生及研究生选修
•
集合论总结复习（1.5学时）
集合论的总结（0.5学时） 集合论习题课（1学时）
20
课程进度（7-10章）
◼
图（4学时）
图的基本概念（1学时） 通路与回路（1学时） 连通性与连通度（2学时）
研究对象：集合、关系、函数、自然数、基数 研究思想：
以逻辑为基础、以集合为工具、表示和构造各种数学对象
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研究内容：
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集合的基本概念：集合之间的关系、运算、恒等式
二元关系：表示、性质、函数、等价关系、序关系
自然数：皮亚诺系统、自然数的运算、性质 基数：有穷集与无穷集、基数的比较 序数：良序、超限归纳法
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教材及参考书
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《离散数学教程》，耿素云 屈婉玲 王捍贫编著， 北京大学出版社 《离散数学》，左孝凌，李为鉴，刘永才编著， 上海科技文献出版社 《Elements of Set Theory》(集合论基础), Herbert B. Enderton, 人民邮电出版社 《Discrete Mathematics and Its Applications》 (离散数学及其应用), Kenneth H.Rosen, 机械工 业出版社
支配集、点覆盖集、点独立集（1学时） 边覆盖集与匹配（1学时） 二部图中的匹配（1学时）
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*带权图（1学时）
中国邮递员问题、货郎担问题 （1学时）
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图论总结复习（2学时）
图论的总结（1学时） 图论习题课（1学时）
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课程总结（2学时）
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本课程的要求
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计算机系本科生作为必修课
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本课程也适合信息学院其他各系及理工科 各系有志于在计算机科学领域打下坚实理 论基础的本科生及研究生选修
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集合论总结复习（1.5学时）
集合论的总结（0.5学时） 集合论习题课（1学时）
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课程进度（7-10章）
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图（4学时）
图的基本概念（1学时） 通路与回路（1学时） 连通性与连通度（2学时）
集合概念与符号.ppt
集合的基数
• 定义4 令S为集合。若S中恰有n个不同元 素，n是非负整数，就说S是有限集合， 而n是集合S的基数，用| S |表示。
• 例 令A为小于10的正奇数集合，则| A | = 5
• 空集Φ 没有元素，所以| Φ | = 0 • 定义5 如果一个集合不是有限的，就说
它是无限的。
幂集合
• 很多问题都要检查一个集合的元素的所 有可能的组合，看它们是否具有某种性 质。为了考虑集合元素所有可能的组合， 我们构造一个新集合，它以S的所有子集 作为它的元素。
• P(Φ )={Φ } P({Φ })={Φ ,{Φ }}
• 如果一个集合有n个元素，那么它的幂集 合有2n个元素。
2. 笛卡尔积
• 定义7 有序n元组（a1,a2,…,an)是以a1为第 一个元素，a2为第2个元素，…，an为第n 个元素的有序组。
• 2元组特称为有序偶。 • 集合A和B的笛卡尔积C=AB表示所有有
集合的计算机表示
• 例 集合{1,2,3,4,5}和{1,3,5,7,9}的位串分别是 11111 00000和10101 01010，用位串求出它们 的并集和交集。
• 解：这两个集合的并集合的位串是 11111 00000 ∨ 10101 01010 = 11111 01010，表示集合{1,2,3,4,5,7,9} 这两个集合的交集的位串是 11111 00000 ∧ 10101 01010＝ 10101 00000，表示集合{1,3,5}
笛卡尔积
• 什么是笛卡儿积A×B×C，其中 A={0,1},B={1,2},C={0,1,2}?
• 解： A×B×C={(0,1,0),(01,1),(0,1,2),(0,2,0),(0, 2,1),(0,,0),(1, 2,1),(1,2,2)}
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