1.2 传输线波动方程及其解
第1章 传输线理论
TEM波传输线通常采用“路”的分 析方法，即： 场问题 分布参数 等效电路 传 输线方程 线上U、I变化规律 分析 传输特性 分布参数是指：在高频工作时，传 输线上沿线各处都显著存在电感、电容 以及电阻和漏电导。以平行双线为例：
第1章 6
线上电流 I产生磁通Φ，Φ/I＝L，可见 线上存在电感效应；两导线间存在V，由 于C＝ Q/V，可知有电容效应；此外，线 上还存在损耗电阻和漏电导。这些参数 在传输线上是沿线分布的，故称为分布 参数。如果分布参数是沿线均匀的，则 称该传输线为均匀传输线。
U ( z ) A1 e
j
A2 e
j
将U(z)代回均匀无耗传输线方程第二式：
dU dz
第1章 22
j LI
得
[ A1 j e
j
A2 j e
C L
j
)] j LI
L
LC
L
令
Zc
1 Zc
L C
( A1 e
1 U L I L Z c j U L I L Z c j I (z) [ e e ] Zc 2 2
U ( z ) U L cos z jI L Z c sin z I ( z ) I L cos z j UL Z
c
sin z
有了沿线的电压电流分布，我们就 可以分析传输线的传输特性。
cos x , e
jx
)e
j
(1 (1
Zc ZL ZL Zc
)e
j
]
)e
j
)e
j
]
利用
传输线方程及解
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
电流波解：
特征导纳Yc
反射电压波与反射电流波在相位上相差180º
传输线纵向V(z)、I(z)分布与终端负载阻抗ZL有关
不同的ZL
有耗传输线方程的解
传输线有损耗，即R’=0，G’=0
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：
无耗传输线方程的解
如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
dV/dz=-jL’I, dI/dz=-jC’V
d 2V dz2
2L'C'V
k 2V
d 2V dz2
k 2V
0
该方程的解为：
无耗传输线方程的解I
定义本征阻抗和导纳：
电流为 注意：这里得到的电压、电流波均为复数形式！
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为
方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
第二讲 传输线方程及解
复习要点
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔 霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与
特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
无耗解的初步解释
讨论电压波情况： 传播常数
入射波 入射波的相速：vi = dz/dt = /k
反射波 (+z方向)
反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向） 传播速度就是填充介质中的光速 无损耗传输线上波的传播速度为：
v p 1/ L'C ' 1 /
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解 注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为 方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。 传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。 从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
第二讲
传输线方程及解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V ( z, t ) z
V (z z, t) V (z, t) z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
第1章传输线理论
电流反射系数 终端反射系数
A2 j 2 z i z e u z I i z A1
I r z
A2 j 2 1 A2 L e L e j L A1 A1
L 2 z
传输线上任一点反射系数 z e j 2 z e j L L 与终端反射系数的关系
R0 jL0 G0 jC0 j
C0 G0 L0 2 L0 c d C0
对于低耗传输线有(无耗传输线 R0 0, G0 0 )
R0 2
无耗
L0 C0
0 L0 C0
第1章 传输线理论---描述传输线特性的参数
)，则
Z0
L0 C0
在无耗或低耗情况下，传输线的特性阻抗为一实数， 它仅决定于分布参数L0和C0，与频率无关。
第1章 传输线理论---描述传输线特性的参数
三、相速和相波长
相速是指波的等相位面移动速度。 dz 入射波的相速为 v p dt 对于微波传输线
vp 1 L0 C0
所谓相波长定义为波在一个周期T内等相位面沿传输线 移动的距离。即
1）长线理论
传输线的电长度：传输线的几何长度 l 与其上 工作波长l的比值（l/l）。
长线 Long line
当线的长度与波长 可以比拟
l/l > 0.05
短线 Short line
当线的长度远小于线 上电磁波的波长
l/l < 0.05
短线
输出电压 uout≈uin
集总参数电路表示
输入电压 uin
二、特性阻抗 传输线的特性阻抗定义为传输线上入射波电压Ui (z) 与入射波电流Ii (z)之比，或反射波电压Ur (z)与反射波 电流Ir (z)之比的负值，即
(优选)第二讲传输线方程及解
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：无耗传来自线方程的解如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
复习要点
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
传输线公式整理
1.传输线方程传输线方程 波动方程 通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)()()()(11z U C j dz z dI z I L j dz z dU ωω → ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0)()(0)()(222222z I dzz I d z U dz z U d ββ → ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--)(1)()(21021zj z j z j z j e A e A Z z I e A e A z U ββββ终端边界条件()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-lj lj e I Z U A e I Z U A ββ202220212121 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--+=+=-++=--)'()'(22)'()'()'(22)'('0202'0202'202'202z I z I e Z I Z U e Z I Z U z I z U z U e I Z U e I Z U z U r i z j z j r i z j z j ββββ ⎪⎩⎪⎨⎧+=+='cos 'sin )'('sin 'cos )'(202202z I z Z U j z I z I jZ z U z U ββββ 始端边界条件 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=101210112121I Z U A I Z U A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--+=+=-++=--)()(22)()()(22)('0101'0101'101'101z I z I e Z I Z U e Z I Z U z I z U z U e I Z U e I Z U z U r i z j z j r i z j z j ββββ ⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=z I z Z U j z I z I jZ z U z U ββββcos sin )(sin cos )(1011012.特性参数相位常数 相速度 相波长11C L ωβ= 111C L dtdz v p ===βω rp p T v ελβπλ02===特性阻抗 驻波系数 行波系数 110)()()()(C L z I z U z I z U Z r r i i =-==Γ-Γ+===11m i nm a x m i nm a x II UU ρ ρ1=K输入阻抗'cos 'sin 'sin 'cos )'()'((202202z I z Z U j z I jZ z U z I z U Z in ββββ++==输入阻抗与负载阻抗的关系'')'(000z tg jZ Z z tg jZ Z Z z Z L L in ββ++= 周期性：)'()2/'(z Z m z Z in g in =+λ反射系数（反射系数与该参考面的输入阻抗有一一对应的关系）电压、电流反射系数：)'()'()'(z U z U z i r V =Γ ； )'()'()'(z I z I z i r I =Γ → )'()'(z z I V Γ-=Γ)]'(1)['()'()]'(1)['()'(z z I z I z z U z U Γ-=Γ+=++终端、任意点反射系数：'2)'(z j L e z β-Γ=Γ； 20ϕj L L L L e Z Z Z Z Γ=+-=Γ → )'2(2)'(z j L ez βϕ-Γ=Γ周期性： )'()2'(z mz g Γ=+Γλ反射系数与驻波系数关系：ρρ+-=Γ11反射系数与阻抗关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=ΓΓ-Γ+=000)'()'()'()'(1)'(1)'(Z z Z Z z Z z z z Z z Z → z ’=0时，负载情况 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=ΓΓ-Γ+=00011Z Z Z Z Z Z L LLL L L传输功率())()()(12)()(22z P z P z Z z U z P rii -=Γ-=电压波腹点 K Z U IUz P 02maxminmax2121)(==传输线功率容量 K Z U P br br 0221=3.传输线工作状态（见附件PPT ）4.阻抗圆图θπφλθ∆=∆=∆4l5.阻抗匹配4/λ匹配 L Z Z Z 001=。
传输线理论
传输线理论§1.1 引言微波传输线是传输微波能量和信息的电磁装置，也可用来构成各种微波元件。
本节主要讲述两点：传输线的基本概念以及分布参数的概念一、传输线的基本概念微波传输线是传输微波能量和信息的电磁装置，也可用来构成各种微波元件。
矩形波导圆形波导同轴线波导按其传播的被导电磁波的特征，大致可分为三种类型：(1)TEM波传输线(2)波导传输线(3)表面波传输线传输线的分析方法有“场”和“路”两种方法。
二、分布参数的概念分布参数是相对于集总参数而言的。
微波传输线与集总参数电路不同，当高频信号通过传输线时将产生如下一些分布参数效应分布电阻效应分布电导效应分布电感效应分布电容效应所以在高频情况下，传输线是具有分布参数的电路。
§1.2 传输线方程及其解传输线方程是研究传输线的电压、电流及其相互关系的方程。
本节主要讲述三个问题：传输线方程、传输线方程的解以及传输线的特性参量一、传输线方程传输线方程是研究传输线的电压、电流及其相互关系的方程。
对于均匀传输线，由于参数是沿线均匀分布的，所以只需考虑线元dz的情况，并把它看成集总参数电路。
dV(z)/dz=ZI(z) (1-3a)dI(z)/dz=YV(z) (1-3b)二、传输线原理传输线之电路表示方式一般以两条等长的导线表示，如图1.1(a)。
其中一小段长度为Δz的传输线，可以用1.1(b)的集总组件电路模型描述，其中图1.1 传输线之等效电路图R=两导体中单位长度的串联电阻，单位Ω/m。
L=两导体中单位长度的串联电感，单位H/m。
G=两导体中单位长度的并联电导，单位S/m。
R=两导体中单位长度的并联电容，单位F/m。
图1.1(b)中，由柯希荷夫电压定律可得为一组行进波，其中项表示往方向传播，项表示往方向传播。
将(1.6a)代入(1.3a)，可得传输在线的电流波三、参数说明1.传播常数2.特性阻抗定义：传输线上任一点的行波电压与行波电流之比，即入射波电压与入射波电流之比，或反射波电压与反射波电流之比的负值。
传输线方程及其解
对于无耗传输线 ， 0 ，此时 j
LC
无耗传输线传播常数为纯虚数 对于损耗很小的传输线 R L G C ，其传播常数为
( R jL) /(G jC ) j LC (1 R / jL)(1 G / jC )
j LC (1 R / 2 jL)(1 G / 2 jC ) j LC (1 R / 2 jL G / 2 jC R C G L R G j LC j LC 2 L 2 C 2 Z 0 2Y0 R G 2 Z 0 2Y0
d 2U ( z ) 2U ( z ) 0 2 2 ZY dz 其中 d 2 I ( z) ( R jL)(G jC ) 2 I ( z) 0 dz 2
入射波 反射波
通解
U z A1ez A2 e z U U I z A1e A2 e
什么叫色散？均匀无耗传输线上的导行波为无色散波，
有耗线的波为色散波，为何？重点掌握四个物理量的意义
微波工程基础
17
微波工程基础
10
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
i ( z, t ) u ( z z, t ) u ( z, t ) Rzi ( z, t ) Lz t u ( z z, t ) i( z z, t ) i ( z, t ) Gzu ( z z, t ) Cz t 将上式整理，并忽略高阶小量，可得： u ( z, t ) i( z, t ) Ri( z, t ) L z t i( z, t ) u ( z, t ) Gu ( z, t ) C z t 对于角频率为 的正弦电源，传输线方程 为
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式中，a为同轴线内导体的外半径，b为外导体的内半径。 常用的同轴线的特性阻抗多为50Ω或75 Ω， 个别情况也有用60 Ω或其它值的。
小结：
一.传输线方程及其解 ●正向行波、反相行波、电磁波的叠加性 ●电压波、电流波 ●γ=α+jβ的意义，无耗时： j , LC ●相速、等相面 L U ( z) U ( z) 二. 特性阻抗的概念： Z c
1.2.1 传输线波动方程
（一） 时域传输线方程
对于Δz的集总元件电路等效: 由Kirchhoff’s 电压定律
i ( z, t ) u ( z, t ) Rzi ( z, t ) Lz u ( z z, t ) 0 t
由Kirchhoff’s 电流定律
i ( z, t ) Gzu ( z z, t ) Cz
(1-26)
——均匀无耗传输线的特性阻抗 它是一个实数（纯电阻），单位为Ω（欧姆）
注意：特性阻抗的单位虽然为Ω，但它并不表示损耗，而是反映传输线在 行波状态下电压与电流之间关系的一个量，其值仅取决于传输线的L和C， 即所填充的介质和线的横向尺寸，而与线的长度无关，而且，可近似地认 为与频率无关。
1.2.3 传输线的特性阻抗
U ( z ) U1e
I ( z ) I1e
jz
U 2e
jz
(1-23)
jz
I 2e
jz
(1-24)
其中A、B为电压和电流的复振幅，是待定积分常数，由边界条件（这 里是传输线始端和终端的电压和电流）确定。
e
jz
e jz 沿+z方向传播的波，相位是滞后的 分别表示相应的相位： e jz 沿-z方向传播的波，相位是超前的
（二）时域传输线方程的解
（由频域解直接得出） 复振幅A、B，可以表示为绝对值和其相位因子的乘积：
A1 | A1 | e j1
A2 | A2 | e j 2
B1 | B1 | e j3
B2 | B2 | e j 4
电压、电流瞬时值形式为 ：
u ( z, t ) Re[U ( z )e jt ] | A1 | cos( t 1 z ) | A2 | cos( t 2 z )
dz
d 2 I ( z) 2 I ( z) 0 dz 2
(1 8)
( R jL)(G jC ) j
γ 是复传播常数，是频率ω的函数.
(1 9)
1.2.2 传输线波动方程的解
（一）频域传输线方程的解
U ( z ) U1ez U 2ez (1 10)
即：
jU1e jz jU 2e jz jLI1e jz jLI 2e jz
1.2.3 传输线的特性阻抗
上式对任何的z值都应成立，因此必须有：
U1 LI1
即：
U 2 LI 2
U 1 L L ； I1 C
U2 L L I2 C
(1-29) (1-30)
由边界条件确 定常数U1和U2
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
可以分为以下3种情况：
1.已知传输线的终端电压和电流 2.已知传输线始端电压和电流； 3.已知信号源的电动势、内阻抗和负载阻抗。
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
1. 已知传输线终端电压Uℓ和电流I ℓ (重点）
/
——波阻抗
描述TEM波
●均匀无耗传输线上的行波电压和行波电流之比 ——均匀无耗传输线的特性阻抗
Zc
描述均匀无耗传输线
1.2.3 传输线的特性阻抗
将式(1-23)和式(1-24)重写如下
U ( z ) U1e j z U 2e j z
I ( z ) I1e
将上两式代入式
Δz的集总等效电路
R = 串联电阻 （Ω/m） L = 串联电感 （H/m） G = 并联电导 （S/m） C = 并联电容 （F/m）
导体损耗 介质损耗 返回
1.2.1 传输线波动方程
i(z,t)
i( z l , t ) + u( z l, t )
u(z,t)
-
传输线l的集总元件电路等效
举例：双导线特性阻抗的计算
将表1.1-1中所列的双导线传输线的L和C值带入到式(1-26）中，得：
Zc
1
2 2 D D2 d 2 1 ln D D d ln 两导体之间的距离， / 匀、线性、各项同性无界介质
(1 3)
i( z, t ) u ( z, t ) Gu( z, t ) C z t
(1 4)
分布参数电路的偏微分方程
时域传输线方程
电报方程
return
1.2.1 传输线波动方程
（二）频域传输线方程
对于时谐电磁波：
u( z, t ) Re[U ( z )e jt ]
是电磁波在均
( , ) 中的波阻抗。
1.2.3 传输线的特性阻抗
●自由空间中： 0 则波阻抗 特性阻抗 ●一般介质中： 相对介电常数为
120
1 10 9 F • m-1； 36
0 4 10 7
H • m-1
0 377 120
(1 6)
E j H
H j E
1.2.1 传输线波动方程
d ( Eq1 5) 计算 , 并代入 公式（1－6）得： dz d 2U ( z ) 2U ( z ) 0 (1 7) 2 dz d(Eq1 6) 计算 , 并代入 公式（ 5) 得： 1
1.2.3 传输线的特性阻抗
A1是正向行波电压U+(z)的复振幅，B1是正向行波电流I+(z) 的复振幅，A1/B1的值具有阻抗的量纲；
A2是反向行波电压U-(z)的复振幅，B2是反向行波电流I-(z) 的复振幅。A2/B2的值也具有阻抗的量纲。
因此定义一个阻抗： L U ( z) U ( z) Zc C I ( z) I ( z)
i( z, t ) Re[ I ( z )e jt ] | B1 | cos( t 3 z ) | B2 | cos( t 4 z )
结论： 传输线上任意一点的电压和电流是正向和反向 传播的电磁波的叠加;
1.2.3 传输线的特性阻抗
●在无界介质中，TEM波的电场和磁场之比等于
注意：坐标原点取在线的终端（负载处），用 z 做坐标变量.
由1.2节求得的线上任意位置U(z) 和I(z)，坐标原点在负载端 时U(z)和I(z)为： (1-31) U ( z ) U 1e j z U 2 e j z
1 I ( z) (U 1e j z U 2 e j z ) Zc
Zc 1
D D2 d 2 ln d
2 2 120 ln D D d d
r ，相对导磁率为 r ( r 1)，则由式(1-27)可得：
D D 2 d 2 276 D D 2 d 2 Zc ln lg r d r d
由此可以看出，待定常数 U、I不是孤立的，已知一个可以求出另一个。 因此式(1-23)和式(1-24)可写为：
U ( z ) U1e j z U 2e j z U ( z ) U ( z )
(1-12) (1-13)
返回
U1 j z U 2 j z I ( z) e e I ( z) I ( z) Zc Zc
C I ( z) I ( z)
同轴线的特性阻抗
未解决的问题 确定常数A和B 三.均匀无耗传输线的边界条件
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
说明：如图先把坐标原点取在线的 始端，坐标用d表示，求出电压和 电流表达式 然后再换算为坐标原点取在终端 （负载处），坐标为z的表示式。
Zg Eg ~
内阻抗
Zc
α为衰减常数，表明电压或电流经过单位长度传输线后振幅减小的常数；
β叫做相位常数，表示单位长度上电压和电流相位的变化量，单位为rad/m。
1.2.2 传输线波动方程的解
在微波波段由分布电阻和分布电导的影响相对于电感 和电容来说很小，即R<<ωL，G<<ωC，故
j , LC
通解为
(1-32)
式中， U1ejβz项：随着z的增加相位是超前的，说明波是 由始端(信号源）向终端传播的，称为入射波；
U2e-jβz项：随着z的增加相位是滞后的，说明波是
由终端向始端传播的 ，称为反射波。
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
终端电压和电流为：
U (0) U 1 U 2 U l
j z
(1-23) (1-24)
I 2e
j z
0
(1 5)
(1 6)
dU ( z ) ( R jL) I ( z ) dz dI ( z ) (G jC )U ( z ) dz
得到：
U1 je jz U 2 je jz jL( I1e jz I 2e jz )
双线传输线：两根铜导线，条件：
l
a
1.2.1 传输线波动方程
i(z,t) + u(z,t) i(z+Δi,t) + u(z+Δz,t) i(z,t) + u(z,t) z Rz i ( z z , t ) +
Lz
Gz
u ( z z, t ) Cz
-
z
z