1.2 传输线波动方程及其解
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特性阻抗
Zl
负载
l
d 0
信号源 电动势
z0
接有任意负载的均匀无耗传输线
前面得出的U(z)和I(z):
U ( z ) U1e j z U 2e j z U ( z ) U ( z )
I ( z) U1 j z U 2 j z e e I ( z) I ( z) Zc Zc
注意：坐标原点取在线的终端（负载处），用 z 做坐标变量.
由1.2节求得的线上任意位置U(z) 和I(z)，坐标原点在负载端 时U(z)和I(z)为： (1-31) U ( z ) U 1e j z U 2 e j z
1 I ( z) (U 1e j z U 2 e jБайду номын сангаасz ) Zc
Δz的集总等效电路
R = 串联电阻 （Ω/m） L = 串联电感 （H/m） G = 并联电导 （S/m） C = 并联电容 （F/m）
导体损耗 介质损耗 返回
1.2.1 传输线波动方程
i(z,t)
i( z l , t ) + u( z l, t )
u(z,t)
-
传输线l的集总元件电路等效
/
——波阻抗
描述TEM波
●均匀无耗传输线上的行波电压和行波电流之比 ——均匀无耗传输线的特性阻抗
Zc
描述均匀无耗传输线
1.2.3 传输线的特性阻抗
将式(1-23)和式(1-24)重写如下
U ( z ) U1e j z U 2e j z
I ( z ) I1e
将上两式代入式
举例：双导线特性阻抗的计算
将表1.1-1中所列的双导线传输线的L和C值带入到式(1-26）中，得：
Zc
1
2 2 D D2 d 2 1 ln D D d ln d d
(1-27)
式中，d为导体直径，D为两导体之间的距离， / 匀、线性、各项同性无界介质
1.2.1 传输线波动方程
（一） 时域传输线方程
对于Δz的集总元件电路等效: 由Kirchhoff’s 电压定律
i ( z, t ) u ( z, t ) Rzi ( z, t ) Lz u ( z z, t ) 0 t
由Kirchhoff’s 电流定律
i ( z, t ) Gzu ( z z, t ) Cz
1.2.3 传输线的特性阻抗
A1是正向行波电压U+(z)的复振幅，B1是正向行波电流I+(z) 的复振幅，A1/B1的值具有阻抗的量纲；
A2是反向行波电压U-(z)的复振幅，B2是反向行波电流I-(z) 的复振幅。A2/B2的值也具有阻抗的量纲。
因此定义一个阻抗： L U ( z) U ( z) Zc C I ( z) I ( z)
Zc 1
D D2 d 2 ln d
2 2 120 ln D D d d
r ，相对导磁率为 r ( r 1)，则由式(1-27)可得：
D D 2 d 2 276 D D 2 d 2 Zc ln lg r d r d
(1-32)
式中， U1ejβz项：随着z的增加相位是超前的，说明波是 由始端(信号源）向终端传播的，称为入射波；
U2e-jβz项：随着z的增加相位是滞后的，说明波是
由终端向始端传播的 ，称为反射波。
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
终端电压和电流为：
U (0) U 1 U 2 U l
i( z, t ) Re[ I ( z )e jt ] | B1 | cos( t 3 z ) | B2 | cos( t 4 z )
结论： 传输线上任意一点的电压和电流是正向和反向 传播的电磁波的叠加;
1.2.3 传输线的特性阻抗
●在无界介质中，TEM波的电场和磁场之比等于
C I ( z) I ( z)
同轴线的特性阻抗
未解决的问题 确定常数A和B 三.均匀无耗传输线的边界条件
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
说明：如图先把坐标原点取在线的 始端，坐标用d表示，求出电压和 电流表达式 然后再换算为坐标原点取在终端 （负载处），坐标为z的表示式。
Zg Eg ~
内阻抗
Zc
由此可以看出，待定常数 U、I不是孤立的，已知一个可以求出另一个。 因此式(1-23)和式(1-24)可写为：
U ( z ) U1e j z U 2e j z U ( z ) U ( z )
(1-12) (1-13)
返回
U1 j z U 2 j z I ( z) e e I ( z) I ( z) Zc Zc
i( z, t ) Re[ I ( z )e jt ]
d (e jt ) / dt je jt
带入方程 (1-3) 和 (1-4)(电报方程）:
dU ( z ) ( R jL) I ( z ) dz
dI ( z ) (G jC )U ( z ) dz
(1 5)
I ( z ) I1e z I 2ez
U1e z
(1 11)
e z
为相位项
项表示 +z 方向传播的电压波， U1为幅度, e z 为相位项
项表示 -z 方向传播的电压波， U2为幅度,
U 2e
z
( R jL)(G jC ) j
(1 9)
（二）时域传输线方程的解
（由频域解直接得出） 复振幅A、B，可以表示为绝对值和其相位因子的乘积：
A1 | A1 | e j1
A2 | A2 | e j 2
B1 | B1 | e j3
B2 | B2 | e j 4
电压、电流瞬时值形式为 ：
u ( z, t ) Re[U ( z )e jt ] | A1 | cos( t 1 z ) | A2 | cos( t 2 z )
(1 3)
i( z, t ) u ( z, t ) Gu( z, t ) C z t
(1 4)
分布参数电路的偏微分方程
时域传输线方程
电报方程
return
1.2.1 传输线波动方程
（二）频域传输线方程
对于时谐电磁波：
u( z, t ) Re[U ( z )e jt ]
α为衰减常数，表明电压或电流经过单位长度传输线后振幅减小的常数；
β叫做相位常数，表示单位长度上电压和电流相位的变化量，单位为rad/m。
1.2.2 传输线波动方程的解
在微波波段由分布电阻和分布电导的影响相对于电感 和电容来说很小，即R<<ωL，G<<ωC，故
j , LC
通解为
(1-1)
u ( z z, t ) i ( z z, t ) 0 (1-2) t
图示
1.2.1 传输线波动方程
(1.1a) : z 0 z (1.1b) : z 0 z lim lim
u ( z, t ) i ( z, t ) Ri ( z, t ) L z t
dz
d 2 I ( z) 2 I ( z) 0 dz 2
(1 8)
( R jL)(G jC ) j
γ 是复传播常数，是频率ω的函数.
(1 9)
1.2.2 传输线波动方程的解
（一）频域传输线方程的解
U ( z ) U1ez U 2ez (1 10)
(1-29) (1-30)
由边界条件确 定常数U1和U2
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
可以分为以下3种情况：
1.已知传输线的终端电压和电流 2.已知传输线始端电压和电流； 3.已知信号源的电动势、内阻抗和负载阻抗。
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
1. 已知传输线终端电压Uℓ和电流I ℓ (重点）
1.2.3 传输线的特性阻抗
若D>>d，则有 Z c
120 2 D 276 2 D lg d r d
r
ln
双导线传输线的特性阻抗一般约在250-700Ω之间。
同轴线本质上也是双导线传输线，利用表1-1可求得其特性阻抗为
b 138 b Zc ln lg r a r a
60
(1-28)
§1.2 传输线波动方程及其解
本节的主要内容： 1.2.1 1.2.2 传输线波动方程 ●建立双导线传输线的波动方程 传输线波动方程的解 ●求波动方程的解 ●求解相速及相移常数的表达式 传输线的特性阻抗 ●求解均匀无耗传输线的特性阻抗表达式 均匀无耗传输线的边界条件
1.2.3 1.2.4
1.2.1 传输线波动方程
(1 6)
E j H
H j E
1.2.1 传输线波动方程
d ( Eq1 5) 计算 , 并代入 公式（1－6）得： dz d 2U ( z ) 2U ( z ) 0 (1 7) 2 dz d(Eq1 6) 计算 , 并代入 公式（ 5) 得： 1
即：
jU1e jz jU 2e jz jLI1e jz jLI 2e jz
1.2.3 传输线的特性阻抗
上式对任何的z值都应成立，因此必须有：
U1 LI1
即：
U 2 LI 2
U 1 L L ； I1 C
U2 L L I2 C
是电磁波在均
( , ) 中的波阻抗。
1.2.3 传输线的特性阻抗
●自由空间中： 0 则波阻抗 特性阻抗 ●一般介质中： 相对介电常数为
120
1 10 9 F • m-1； 36
0 4 10 7
H • m-1
0 377 120
(1-26)
——均匀无耗传输线的特性阻抗 它是一个实数（纯电阻），单位为Ω（欧姆）
注意：特性阻抗的单位虽然为Ω，但它并不表示损耗，而是反映传输线在 行波状态下电压与电流之间关系的一个量，其值仅取决于传输线的L和C， 即所填充的介质和线的横向尺寸，而与线的长度无关，而且，可近似地认 为与频率无关。
1.2.3 传输线的特性阻抗
1 I (0) (U 1 U 2 ) I l Zc
U ( z ) U1e
I ( z ) I1e
jz
U 2e
jz
(1-23)
jz
I 2e
jz
(1-24)
其中A、B为电压和电流的复振幅，是待定积分常数，由边界条件（这 里是传输线始端和终端的电压和电流）确定。
e
jz
e jz 沿+z方向传播的波，相位是滞后的 分别表示相应的相位： e jz 沿-z方向传播的波，相位是超前的
j z
(1-23) (1-24)
I 2e
j z
0
(1 5)
(1 6)
dU ( z ) ( R jL) I ( z ) dz dI ( z ) (G jC )U ( z ) dz
得到：
U1 je jz U 2 je jz jL( I1e jz I 2e jz )
式中，a为同轴线内导体的外半径，b为外导体的内半径。 常用的同轴线的特性阻抗多为50Ω或75 Ω， 个别情况也有用60 Ω或其它值的。
小结：
一.传输线方程及其解 ●正向行波、反相行波、电磁波的叠加性 ●电压波、电流波 ●γ=α+jβ的意义，无耗时： j , LC ●相速、等相面 L U ( z) U ( z) 二. 特性阻抗的概念： Z c
双线传输线：两根铜导线，条件：
l
a
1.2.1 传输线波动方程
i(z,t) + u(z,t) i(z+Δi,t) + u(z+Δz,t) i(z,t) + u(z,t) z Rz i ( z z , t ) +
Lz
Gz
u ( z z, t ) Cz
-
z
z
双导线传输线
Zl
负载
l
d 0
信号源 电动势
z0
接有任意负载的均匀无耗传输线
前面得出的U(z)和I(z):
U ( z ) U1e j z U 2e j z U ( z ) U ( z )
I ( z) U1 j z U 2 j z e e I ( z) I ( z) Zc Zc
注意：坐标原点取在线的终端（负载处），用 z 做坐标变量.
由1.2节求得的线上任意位置U(z) 和I(z)，坐标原点在负载端 时U(z)和I(z)为： (1-31) U ( z ) U 1e j z U 2 e j z
1 I ( z) (U 1e j z U 2 e jБайду номын сангаасz ) Zc
Δz的集总等效电路
R = 串联电阻 （Ω/m） L = 串联电感 （H/m） G = 并联电导 （S/m） C = 并联电容 （F/m）
导体损耗 介质损耗 返回
1.2.1 传输线波动方程
i(z,t)
i( z l , t ) + u( z l, t )
u(z,t)
-
传输线l的集总元件电路等效
/
——波阻抗
描述TEM波
●均匀无耗传输线上的行波电压和行波电流之比 ——均匀无耗传输线的特性阻抗
Zc
描述均匀无耗传输线
1.2.3 传输线的特性阻抗
将式(1-23)和式(1-24)重写如下
U ( z ) U1e j z U 2e j z
I ( z ) I1e
将上两式代入式
举例：双导线特性阻抗的计算
将表1.1-1中所列的双导线传输线的L和C值带入到式(1-26）中，得：
Zc
1
2 2 D D2 d 2 1 ln D D d ln d d
(1-27)
式中，d为导体直径，D为两导体之间的距离， / 匀、线性、各项同性无界介质
1.2.1 传输线波动方程
（一） 时域传输线方程
对于Δz的集总元件电路等效: 由Kirchhoff’s 电压定律
i ( z, t ) u ( z, t ) Rzi ( z, t ) Lz u ( z z, t ) 0 t
由Kirchhoff’s 电流定律
i ( z, t ) Gzu ( z z, t ) Cz
1.2.3 传输线的特性阻抗
A1是正向行波电压U+(z)的复振幅，B1是正向行波电流I+(z) 的复振幅，A1/B1的值具有阻抗的量纲；
A2是反向行波电压U-(z)的复振幅，B2是反向行波电流I-(z) 的复振幅。A2/B2的值也具有阻抗的量纲。
因此定义一个阻抗： L U ( z) U ( z) Zc C I ( z) I ( z)
Zc 1
D D2 d 2 ln d
2 2 120 ln D D d d
r ，相对导磁率为 r ( r 1)，则由式(1-27)可得：
D D 2 d 2 276 D D 2 d 2 Zc ln lg r d r d
(1-32)
式中， U1ejβz项：随着z的增加相位是超前的，说明波是 由始端(信号源）向终端传播的，称为入射波；
U2e-jβz项：随着z的增加相位是滞后的，说明波是
由终端向始端传播的 ，称为反射波。
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
终端电压和电流为：
U (0) U 1 U 2 U l
i( z, t ) Re[ I ( z )e jt ] | B1 | cos( t 3 z ) | B2 | cos( t 4 z )
结论： 传输线上任意一点的电压和电流是正向和反向 传播的电磁波的叠加;
1.2.3 传输线的特性阻抗
●在无界介质中，TEM波的电场和磁场之比等于
C I ( z) I ( z)
同轴线的特性阻抗
未解决的问题 确定常数A和B 三.均匀无耗传输线的边界条件
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
说明：如图先把坐标原点取在线的 始端，坐标用d表示，求出电压和 电流表达式 然后再换算为坐标原点取在终端 （负载处），坐标为z的表示式。
Zg Eg ~
内阻抗
Zc
由此可以看出，待定常数 U、I不是孤立的，已知一个可以求出另一个。 因此式(1-23)和式(1-24)可写为：
U ( z ) U1e j z U 2e j z U ( z ) U ( z )
(1-12) (1-13)
返回
U1 j z U 2 j z I ( z) e e I ( z) I ( z) Zc Zc
i( z, t ) Re[ I ( z )e jt ]
d (e jt ) / dt je jt
带入方程 (1-3) 和 (1-4)(电报方程）:
dU ( z ) ( R jL) I ( z ) dz
dI ( z ) (G jC )U ( z ) dz
(1 5)
I ( z ) I1e z I 2ez
U1e z
(1 11)
e z
为相位项
项表示 +z 方向传播的电压波， U1为幅度, e z 为相位项
项表示 -z 方向传播的电压波， U2为幅度,
U 2e
z
( R jL)(G jC ) j
(1 9)
（二）时域传输线方程的解
（由频域解直接得出） 复振幅A、B，可以表示为绝对值和其相位因子的乘积：
A1 | A1 | e j1
A2 | A2 | e j 2
B1 | B1 | e j3
B2 | B2 | e j 4
电压、电流瞬时值形式为 ：
u ( z, t ) Re[U ( z )e jt ] | A1 | cos( t 1 z ) | A2 | cos( t 2 z )
(1 3)
i( z, t ) u ( z, t ) Gu( z, t ) C z t
(1 4)
分布参数电路的偏微分方程
时域传输线方程
电报方程
return
1.2.1 传输线波动方程
（二）频域传输线方程
对于时谐电磁波：
u( z, t ) Re[U ( z )e jt ]
α为衰减常数，表明电压或电流经过单位长度传输线后振幅减小的常数；
β叫做相位常数，表示单位长度上电压和电流相位的变化量，单位为rad/m。
1.2.2 传输线波动方程的解
在微波波段由分布电阻和分布电导的影响相对于电感 和电容来说很小，即R<<ωL，G<<ωC，故
j , LC
通解为
(1-1)
u ( z z, t ) i ( z z, t ) 0 (1-2) t
图示
1.2.1 传输线波动方程
(1.1a) : z 0 z (1.1b) : z 0 z lim lim
u ( z, t ) i ( z, t ) Ri ( z, t ) L z t
dz
d 2 I ( z) 2 I ( z) 0 dz 2
(1 8)
( R jL)(G jC ) j
γ 是复传播常数，是频率ω的函数.
(1 9)
1.2.2 传输线波动方程的解
（一）频域传输线方程的解
U ( z ) U1ez U 2ez (1 10)
(1-29) (1-30)
由边界条件确 定常数U1和U2
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
可以分为以下3种情况：
1.已知传输线的终端电压和电流 2.已知传输线始端电压和电流； 3.已知信号源的电动势、内阻抗和负载阻抗。
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
1. 已知传输线终端电压Uℓ和电流I ℓ (重点）
1.2.3 传输线的特性阻抗
若D>>d，则有 Z c
120 2 D 276 2 D lg d r d
r
ln
双导线传输线的特性阻抗一般约在250-700Ω之间。
同轴线本质上也是双导线传输线，利用表1-1可求得其特性阻抗为
b 138 b Zc ln lg r a r a
60
(1-28)
§1.2 传输线波动方程及其解
本节的主要内容： 1.2.1 1.2.2 传输线波动方程 ●建立双导线传输线的波动方程 传输线波动方程的解 ●求波动方程的解 ●求解相速及相移常数的表达式 传输线的特性阻抗 ●求解均匀无耗传输线的特性阻抗表达式 均匀无耗传输线的边界条件
1.2.3 1.2.4
1.2.1 传输线波动方程
(1 6)
E j H
H j E
1.2.1 传输线波动方程
d ( Eq1 5) 计算 , 并代入 公式（1－6）得： dz d 2U ( z ) 2U ( z ) 0 (1 7) 2 dz d(Eq1 6) 计算 , 并代入 公式（ 5) 得： 1
即：
jU1e jz jU 2e jz jLI1e jz jLI 2e jz
1.2.3 传输线的特性阻抗
上式对任何的z值都应成立，因此必须有：
U1 LI1
即：
U 2 LI 2
U 1 L L ； I1 C
U2 L L I2 C
是电磁波在均
( , ) 中的波阻抗。
1.2.3 传输线的特性阻抗
●自由空间中： 0 则波阻抗 特性阻抗 ●一般介质中： 相对介电常数为
120
1 10 9 F • m-1； 36
0 4 10 7
H • m-1
0 377 120
(1-26)
——均匀无耗传输线的特性阻抗 它是一个实数（纯电阻），单位为Ω（欧姆）
注意：特性阻抗的单位虽然为Ω，但它并不表示损耗，而是反映传输线在 行波状态下电压与电流之间关系的一个量，其值仅取决于传输线的L和C， 即所填充的介质和线的横向尺寸，而与线的长度无关，而且，可近似地认 为与频率无关。
1.2.3 传输线的特性阻抗
1 I (0) (U 1 U 2 ) I l Zc
U ( z ) U1e
I ( z ) I1e
jz
U 2e
jz
(1-23)
jz
I 2e
jz
(1-24)
其中A、B为电压和电流的复振幅，是待定积分常数，由边界条件（这 里是传输线始端和终端的电压和电流）确定。
e
jz
e jz 沿+z方向传播的波，相位是滞后的 分别表示相应的相位： e jz 沿-z方向传播的波，相位是超前的
j z
(1-23) (1-24)
I 2e
j z
0
(1 5)
(1 6)
dU ( z ) ( R jL) I ( z ) dz dI ( z ) (G jC )U ( z ) dz
得到：
U1 je jz U 2 je jz jL( I1e jz I 2e jz )
式中，a为同轴线内导体的外半径，b为外导体的内半径。 常用的同轴线的特性阻抗多为50Ω或75 Ω， 个别情况也有用60 Ω或其它值的。
小结：
一.传输线方程及其解 ●正向行波、反相行波、电磁波的叠加性 ●电压波、电流波 ●γ=α+jβ的意义，无耗时： j , LC ●相速、等相面 L U ( z) U ( z) 二. 特性阻抗的概念： Z c
双线传输线：两根铜导线，条件：
l
a
1.2.1 传输线波动方程
i(z,t) + u(z,t) i(z+Δi,t) + u(z+Δz,t) i(z,t) + u(z,t) z Rz i ( z z , t ) +
Lz
Gz
u ( z z, t ) Cz
-
z
z
双导线传输线