1.2 传输线波动方程及其解
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第1章 传输线理论
第1章 5
TEM波传输线通常采用“路”的分 析方法，即： 场问题 分布参数 等效电路 传 输线方程 线上U、I变化规律 分析 传输特性 分布参数是指：在高频工作时，传 输线上沿线各处都显著存在电感、电容 以及电阻和漏电导。以平行双线为例：
第1章 6
线上电流 I产生磁通Φ，Φ/I＝L，可见 线上存在电感效应；两导线间存在V，由 于C＝ Q/V，可知有电容效应；此外，线 上还存在损耗电阻和漏电导。这些参数 在传输线上是沿线分布的，故称为分布 参数。如果分布参数是沿线均匀的，则 称该传输线为均匀传输线。
U ( z ) A1 e
j
A2 e
j
将U(z)代回均匀无耗传输线方程第二式：
dU dz
第1章 22
j LI
得
[ A1 j e
j
A2 j e
C L
j
)] j LI
L
LC
L
令
Zc
1 Zc
L C
( A1 e
1 U L I L Z c j U L I L Z c j I (z) [ e e ] Zc 2 2
U ( z ) U L cos z jI L Z c sin z I ( z ) I L cos z j UL Z
c
sin z
有了沿线的电压电流分布，我们就 可以分析传输线的传输特性。
cos x , e
jx
)e
j
(1 (1
Zc ZL ZL Zc
)e
j
]
)e
j
)e
j
]
利用
TEM波传输线通常采用“路”的分 析方法，即： 场问题 分布参数 等效电路 传 输线方程 线上U、I变化规律 分析 传输特性 分布参数是指：在高频工作时，传 输线上沿线各处都显著存在电感、电容 以及电阻和漏电导。以平行双线为例：
第1章 6
线上电流 I产生磁通Φ，Φ/I＝L，可见 线上存在电感效应；两导线间存在V，由 于C＝ Q/V，可知有电容效应；此外，线 上还存在损耗电阻和漏电导。这些参数 在传输线上是沿线分布的，故称为分布 参数。如果分布参数是沿线均匀的，则 称该传输线为均匀传输线。
U ( z ) A1 e
j
A2 e
j
将U(z)代回均匀无耗传输线方程第二式：
dU dz
第1章 22
j LI
得
[ A1 j e
j
A2 j e
C L
j
)] j LI
L
LC
L
令
Zc
1 Zc
L C
( A1 e
1 U L I L Z c j U L I L Z c j I (z) [ e e ] Zc 2 2
U ( z ) U L cos z jI L Z c sin z I ( z ) I L cos z j UL Z
c
sin z
有了沿线的电压电流分布，我们就 可以分析传输线的传输特性。
cos x , e
jx
)e
j
(1 (1
Zc ZL ZL Zc
)e
j
]
)e
j
)e
j
]
利用
传输线方程及解
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
电流波解：
特征导纳Yc
反射电压波与反射电流波在相位上相差180º
传输线纵向V(z)、I(z)分布与终端负载阻抗ZL有关
不同的ZL
有耗传输线方程的解
传输线有损耗，即R’=0，G’=0
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：
无耗传输线方程的解
如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
dV/dz=-jL’I, dI/dz=-jC’V
d 2V dz2
2L'C'V
k 2V
d 2V dz2
k 2V
0
该方程的解为：
无耗传输线方程的解I
定义本征阻抗和导纳：
电流为 注意：这里得到的电压、电流波均为复数形式！
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为
方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
第二讲 传输线方程及解
复习要点
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔 霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与
特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
无耗解的初步解释
讨论电压波情况： 传播常数
入射波 入射波的相速：vi = dz/dt = /k
反射波 (+z方向)
反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向） 传播速度就是填充介质中的光速 无损耗传输线上波的传播速度为：
v p 1/ L'C ' 1 /
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解 注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为 方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。 传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。 从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
第二讲
传输线方程及解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V ( z, t ) z
V (z z, t) V (z, t) z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
第1章传输线理论
电流反射系数 终端反射系数
A2 j 2 z i z e u z I i z A1
I r z
A2 j 2 1 A2 L e L e j L A1 A1
L 2 z
传输线上任一点反射系数 z e j 2 z e j L L 与终端反射系数的关系
R0 jL0 G0 jC0 j
C0 G0 L0 2 L0 c d C0
对于低耗传输线有(无耗传输线 R0 0, G0 0 )
R0 2
无耗
L0 C0
0 L0 C0
第1章 传输线理论---描述传输线特性的参数
)，则
Z0
L0 C0
在无耗或低耗情况下，传输线的特性阻抗为一实数， 它仅决定于分布参数L0和C0，与频率无关。
第1章 传输线理论---描述传输线特性的参数
三、相速和相波长
相速是指波的等相位面移动速度。 dz 入射波的相速为 v p dt 对于微波传输线
vp 1 L0 C0
所谓相波长定义为波在一个周期T内等相位面沿传输线 移动的距离。即
1）长线理论
传输线的电长度：传输线的几何长度 l 与其上 工作波长l的比值（l/l）。
长线 Long line
当线的长度与波长 可以比拟
l/l > 0.05
短线 Short line
当线的长度远小于线 上电磁波的波长
l/l < 0.05
短线
输出电压 uout≈uin
集总参数电路表示
输入电压 uin
二、特性阻抗 传输线的特性阻抗定义为传输线上入射波电压Ui (z) 与入射波电流Ii (z)之比，或反射波电压Ur (z)与反射波 电流Ir (z)之比的负值，即
(优选)第二讲传输线方程及解
（优选）第二讲传输线方程 及解
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：无耗传来自线方程的解如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
复习要点
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：无耗传来自线方程的解如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
复习要点
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
传输线公式整理
1.传输线方程传输线方程 波动方程 通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)()()()(11z U C j dz z dI z I L j dz z dU ωω → ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0)()(0)()(222222z I dzz I d z U dz z U d ββ → ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--)(1)()(21021zj z j z j z j e A e A Z z I e A e A z U ββββ终端边界条件()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-lj lj e I Z U A e I Z U A ββ202220212121 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--+=+=-++=--)'()'(22)'()'()'(22)'('0202'0202'202'202z I z I e Z I Z U e Z I Z U z I z U z U e I Z U e I Z U z U r i z j z j r i z j z j ββββ ⎪⎩⎪⎨⎧+=+='cos 'sin )'('sin 'cos )'(202202z I z Z U j z I z I jZ z U z U ββββ 始端边界条件 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=101210112121I Z U A I Z U A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--+=+=-++=--)()(22)()()(22)('0101'0101'101'101z I z I e Z I Z U e Z I Z U z I z U z U e I Z U e I Z U z U r i z j z j r i z j z j ββββ ⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=z I z Z U j z I z I jZ z U z U ββββcos sin )(sin cos )(1011012.特性参数相位常数 相速度 相波长11C L ωβ= 111C L dtdz v p ===βω rp p T v ελβπλ02===特性阻抗 驻波系数 行波系数 110)()()()(C L z I z U z I z U Z r r i i =-==Γ-Γ+===11m i nm a x m i nm a x II UU ρ ρ1=K输入阻抗'cos 'sin 'sin 'cos )'()'((202202z I z Z U j z I jZ z U z I z U Z in ββββ++==输入阻抗与负载阻抗的关系'')'(000z tg jZ Z z tg jZ Z Z z Z L L in ββ++= 周期性：)'()2/'(z Z m z Z in g in =+λ反射系数（反射系数与该参考面的输入阻抗有一一对应的关系）电压、电流反射系数：)'()'()'(z U z U z i r V =Γ ； )'()'()'(z I z I z i r I =Γ → )'()'(z z I V Γ-=Γ)]'(1)['()'()]'(1)['()'(z z I z I z z U z U Γ-=Γ+=++终端、任意点反射系数：'2)'(z j L e z β-Γ=Γ； 20ϕj L L L L e Z Z Z Z Γ=+-=Γ → )'2(2)'(z j L ez βϕ-Γ=Γ周期性： )'()2'(z mz g Γ=+Γλ反射系数与驻波系数关系：ρρ+-=Γ11反射系数与阻抗关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=ΓΓ-Γ+=000)'()'()'()'(1)'(1)'(Z z Z Z z Z z z z Z z Z → z ’=0时，负载情况 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=ΓΓ-Γ+=00011Z Z Z Z Z Z L LLL L L传输功率())()()(12)()(22z P z P z Z z U z P rii -=Γ-=电压波腹点 K Z U IUz P 02maxminmax2121)(==传输线功率容量 K Z U P br br 0221=3.传输线工作状态（见附件PPT ）4.阻抗圆图θπφλθ∆=∆=∆4l5.阻抗匹配4/λ匹配 L Z Z Z 001=。
传输线理论
传输线理论§1.1 引言微波传输线是传输微波能量和信息的电磁装置，也可用来构成各种微波元件。
本节主要讲述两点：传输线的基本概念以及分布参数的概念一、传输线的基本概念微波传输线是传输微波能量和信息的电磁装置，也可用来构成各种微波元件。
矩形波导圆形波导同轴线波导按其传播的被导电磁波的特征，大致可分为三种类型：(1)TEM波传输线(2)波导传输线(3)表面波传输线传输线的分析方法有“场”和“路”两种方法。
二、分布参数的概念分布参数是相对于集总参数而言的。
微波传输线与集总参数电路不同，当高频信号通过传输线时将产生如下一些分布参数效应分布电阻效应分布电导效应分布电感效应分布电容效应所以在高频情况下，传输线是具有分布参数的电路。
§1.2 传输线方程及其解传输线方程是研究传输线的电压、电流及其相互关系的方程。
本节主要讲述三个问题：传输线方程、传输线方程的解以及传输线的特性参量一、传输线方程传输线方程是研究传输线的电压、电流及其相互关系的方程。
对于均匀传输线，由于参数是沿线均匀分布的，所以只需考虑线元dz的情况，并把它看成集总参数电路。
dV(z)/dz=ZI(z) (1-3a)dI(z)/dz=YV(z) (1-3b)二、传输线原理传输线之电路表示方式一般以两条等长的导线表示，如图1.1(a)。
其中一小段长度为Δz的传输线，可以用1.1(b)的集总组件电路模型描述，其中图1.1 传输线之等效电路图R=两导体中单位长度的串联电阻，单位Ω/m。
L=两导体中单位长度的串联电感，单位H/m。
G=两导体中单位长度的并联电导，单位S/m。
R=两导体中单位长度的并联电容，单位F/m。
图1.1(b)中，由柯希荷夫电压定律可得为一组行进波，其中项表示往方向传播，项表示往方向传播。
将(1.6a)代入(1.3a)，可得传输在线的电流波三、参数说明1.传播常数2.特性阻抗定义：传输线上任一点的行波电压与行波电流之比，即入射波电压与入射波电流之比，或反射波电压与反射波电流之比的负值。
传输线方程及其解
对于无耗传输线 ， 0 ，此时 j
LC
无耗传输线传播常数为纯虚数 对于损耗很小的传输线 R L G C ，其传播常数为
( R jL) /(G jC ) j LC (1 R / jL)(1 G / jC )
j LC (1 R / 2 jL)(1 G / 2 jC ) j LC (1 R / 2 jL G / 2 jC R C G L R G j LC j LC 2 L 2 C 2 Z 0 2Y0 R G 2 Z 0 2Y0
d 2U ( z ) 2U ( z ) 0 2 2 ZY dz 其中 d 2 I ( z) ( R jL)(G jC ) 2 I ( z) 0 dz 2
入射波 反射波
通解
U z A1ez A2 e z U U I z A1e A2 e
什么叫色散？均匀无耗传输线上的导行波为无色散波，
有耗线的波为色散波，为何？重点掌握四个物理量的意义
微波工程基础
17
微波工程基础
10
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
i ( z, t ) u ( z z, t ) u ( z, t ) Rzi ( z, t ) Lz t u ( z z, t ) i( z z, t ) i ( z, t ) Gzu ( z z, t ) Cz t 将上式整理，并忽略高阶小量，可得： u ( z, t ) i( z, t ) Ri( z, t ) L z t i( z, t ) u ( z, t ) Gu ( z, t ) C z t 对于角频率为 的正弦电源，传输线方程 为
第2讲 传输线方程及其解
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u ( z, t ) Re U ( z )e jt jt i ( z, t ) Re I ( z )e
式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z处的电 压或电流的复值。
dU ( R j L) I ZI dz dI (G jC )U YU dz
当典型Δz→0时，有 i( z, t ) u ( z z, t ) u ( z, t ) Ri ( z , t ) L t z i ( z z , t ) i ( z , t ) Gu ( z , t ) C u ( z , t ) z t 式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
J 传 输 空 间
D
H S E
d
J
二 长线与分布参数电路
1. 长线与短线 L 时，传输线为长线 L 时，传输线为短线
例： 电源与负载间的铜导线长1.5CM L 1 短线 若 f1 1MHZ，则 1 94.86m 若 f 2 10GHZ，则 2 0.949cm L 1.52 长线
Z 0 Zl j 2 l A1 e A2 0 Z 0 Zl
构成线性方程组
A1 A2 g Eg Z 0 Z0 0
其中 g 最后得到
Z g Z0 Z g Z0
, l
很易得到
C j z j z I ( z) ( A1e A2e ) ( A1e j z A2e j z ) L L
1 j z j z ( A1e A2e ) z0
其中，特性阻抗 Z
0
传输线方程式
假想多段傳輸線問題解答：步驟7
Y ( z3 ) = Y ′ + Y pa ≈ 0.01533 j 0.00373
( )
正規化導納 (對第二段傳輸線而言)
0.7665 j 0.1865
對應之正規化阻抗
1.23 + j 0.30 (C點)
1- 106
106
電磁波
傳輸線(電路觀點) 第1章 傳輸線(電路觀點)
電磁波
傳輸線(電路觀點) 第1章 傳輸線(電路觀點)
z = z2
假想多段傳輸線問題解答：步驟9
處的阻抗為
Z se 和 Z ′ 串聯
z2 = 2 3
Z ( z2 ) = Z ′ + Z se ≈ 40.0 + j15.0
() 對第一段傳輸線的正規化阻抗 0.53 + j 0.20 (E點)
1- 108
1- 100
100
電磁波
傳輸線(電路觀點) 第1章 傳輸線(電路觀點)
假想多段傳輸線問題解答：步驟2
各段傳輸線均無耗損故傳到
Z ( z1 ) 的功率亦必傳到 z = z 2
+ 送到 Z ( z 2 ) 的功率佔送到
z = z2
z = z2 處的等效電路
+
處功率的比例為
e2 =
Re{Z se + Z ( z 2 + )} Re{Z ( z 2 + )}
(A點 ) 連接O點和A點，其距離移至 駐波比標尺即得電壓駐波比為2.4
1- 93
93
電磁波
傳輸線(電路觀點) 第1章 傳輸線(電路觀點)
Smith圖使用例解答：步驟2
延長 OA 與波長標尺相交，讀值 mo = 0.192 距負載端3.87波長處應位於 波長標尺上
微波技术_1_2
U ( z′) = jI 2 Z 0 sin β z′ = j 2U i 2 sin β z′ I ( z′) = I 2 cos β z′ = 2 I i 2 cos β z′
沿线电压和电流的瞬时值表示式为 π ′ ′ cos(ωt + ϕ 2 + ) u( z , t ) = 2 U i 2 sin β z 2 i ( z′, t ) = 2 I i 2 cos β z′ cos(ωt + ϕ 2 )
(ωt1 − β z1 ) − (ωt1 − β z3 ) = 2π
f
综上所述，无耗长线的特性参数可归纳如下
L 1 Z0 = = C v pC
λp =
2πβຫໍສະໝຸດ =λ0 εrβ = ω LC
STE_A.J.YUE
ω c vp = = β εr
西安电子科技大学通信工程学院 5
§1.2 均匀无耗长线的工作状态
西安电子科技大学通信工程学院
STE_A.J.YUE
13
§1.2 均匀无耗长线的工作状态
根据上述关系式作出的电压、电流行波的瞬时分布和 振幅分布曲线如图所示。
由ZL=Z0，则可得 此时负载吸收的功率为
该式表明：由源馈送到长线的能量，全部被负载吸收。
STE_A.J.YUE 西安电子科技大学通信工程学院 14
STE_A.J.YUE 西安电子科技大学通信工程学院 11
§1.2 均匀无耗长线的工作状态
由此可得到驻波系数和反射系数的关系式为
U max 1 + Γ L = ρ= U min 1 − Γ L
，
ΓL =
ρ −1 ρ +1
行波系数K定义为沿线电压(或电流)的最小值与最大值 之比,即驻波系数的倒数。 1 1 − ΓL K= = ρ 1 + ΓL 因此,传输线的反射波的大小,可用反射系数的模、驻波 系数和行波系数来表示。 反射系数模的范围为0≤|Γ|≤1;驻波系数的范围为1≤ρ≤∞; 行波系数的范围为0≤K≤1。 当|Γ|=0、ρ=1和K=1时,表示传输线上没有反射波,即为 匹配状态。
讲1传输线方程
A1 z A2 z i ( z, t ) | | e cos(t z 1 ' ) | | e cos(t z 2 ' ) Z0 Z0
Z R j L Z0 Y G j C Z
ZY ( R jL)(G jC ) j
几种传输线的分布参数的计算公式
【1】 射频电路设计——理论与应用，【美】 Reinhold Ludwig著，王子宇等译，电子工业出版社2004，P38. 【2】电磁场与电磁波，Bhag Singh Guru著，周克定等译，机 械工业出版社，2000年，P296.
表1.2-1 双导线和同轴线的分布参数的计算公式
行驻波
u ( z z, t ) i( z, t ) i( z z, t ) Gzu ( z z, t ) Cz t
u ( z, t ) i( z, t ) Ri( z, t ) L z t
i( z, t ) u ( z, t ) Gu ( z, t ) C z t
低频传输线：电流几乎均匀的分布在导线内部， 电流和电荷可等效地集中在轴线上。只须用电压、 电流和欧姆定律解决即可，无须用电磁场理论。 低频传输线可以采用“路”的方法分析。低频传 输线有“长线”与“短线”之分。 微波传输线：频率升高时，出现集肤效应（skin effect）。电流、电荷和场集中在导体表面，导体内 部几乎没有能量传输。微波功率只能在导体之外的 空间传输，导线只是引导的作用。需要采用场的方 法分析。 传输线要求：能量损耗小，传输效率高，功率容量 大，工作频带宽，尺寸小且均匀。
微條線（microstrip）
方形波導（rectangular waveguide）
條線（stripline）
Z R j L Z0 Y G j C Z
ZY ( R jL)(G jC ) j
几种传输线的分布参数的计算公式
【1】 射频电路设计——理论与应用，【美】 Reinhold Ludwig著，王子宇等译，电子工业出版社2004，P38. 【2】电磁场与电磁波，Bhag Singh Guru著，周克定等译，机 械工业出版社，2000年，P296.
表1.2-1 双导线和同轴线的分布参数的计算公式
行驻波
u ( z z, t ) i( z, t ) i( z z, t ) Gzu ( z z, t ) Cz t
u ( z, t ) i( z, t ) Ri( z, t ) L z t
i( z, t ) u ( z, t ) Gu ( z, t ) C z t
低频传输线：电流几乎均匀的分布在导线内部， 电流和电荷可等效地集中在轴线上。只须用电压、 电流和欧姆定律解决即可，无须用电磁场理论。 低频传输线可以采用“路”的方法分析。低频传 输线有“长线”与“短线”之分。 微波传输线：频率升高时，出现集肤效应（skin effect）。电流、电荷和场集中在导体表面，导体内 部几乎没有能量传输。微波功率只能在导体之外的 空间传输，导线只是引导的作用。需要采用场的方 法分析。 传输线要求：能量损耗小，传输效率高，功率容量 大，工作频带宽，尺寸小且均匀。
微條線（microstrip）
方形波導（rectangular waveguide）
條線（stripline）
传输线波动方程及其解
U (z) Ul IlZc e j z 表示传输线上任意位置z处的反射波电压
2
U (0) Ul IlZc
表示传输线上终端负载处z=0的入射波电压
2
U (0) Ul IlZc 2
表示传输线上终端负载处z=0的反射波电压
则U(z)可表示为
U (z) U (z) U (z) U (0)e j z U (0)e j z (1-34)
U2 LI 2
即：
U1 I1
L ；
L C
U2 L L
I2
C
由此可以看出，待定常数 U、I不是孤立的，已知一个可以求出另一个。
因此式(1-23)和式(1-24)可写为：
U (z) U1e j z U 2e j z U (z) U (z)
I (z) U1 e j z U 2 e j z I (z) I (z)
2. 已知传输线始端电压和电流时的表示式
注意：同样，坐标原点取在线的始端（信号源处），坐标用d表示.
上一节得到的电压电流表达式:
U (z) U 1e j z U 2e j z U (z) U (z) (1-29)
I (z) U1 e j z U 2 e j z I (z) I (z)
则始端电压和电流Zc可写为: Zc
解
方
U (0) U 1 U 2 U0
程 组
1
得
I (0)
Zc
(U
1U 2 ) I0
第25页/共31页
(1-30)
U
1
1 2
(U 0
I0Zc
)
U
2
1 2
(U 0
I0Zc )
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
微波 第一章 上
注意：分布参数在低频和微波应用时都存在，只是在 低频时，传输线分布参数的阻抗影响远小于线路中集 中参数元件的阻抗影响，通常忽略而已。 例如，单位长度上电感为 L1 、电容为 C1 的无耗平行双 线在低频应用时单位长度上的串联阻抗很小，并联导 纳也很小，因此，完全可以忽略分布参数的影响，认 为传输线本身没有串联阻抗和并联导纳。 但是，同样的平行双线，用在微波波段时，单位 长度上的串联阻抗和并联导纳则不能忽略不计，传输 线的每一部分都存在着分布电感和分布电容。这种情 况下传输线本身已经和阻抗元件融为一体，它们构成 的是分布参数电路。 正因为如此，微波传输线的作用除传输信号外， 还可以用来构成各种微波电路的元、器件。
dV Z1 I， dz d 2V dI Z Z1Y1V， 1 2 dz dz d 2V 2 V 0， 2 dz
dI Y1V dz d2I dV Z1Y1 I Y 1 2 dz dz d2 I 2 I0 2 dz
Z1Y1 ( R1 j L1 )(G1 jC1 ) j
Z0
传输线上电压和电流通解 V(z) = Aez + Bez = Vi(z) + Vr(z) A z B z I (z) e e I i (z) I r (z) Z0 Z0 上式中，A 和 B 是待定常数，由给定的边界条件来确定。 在负载 z = 0 处，V(0) = VL，I(0) = IL，即 VL A B，
Z1Y1 2 L1C1 j L1C1 j
3．传输线方程解的物理意义
对于无耗传输线，电压、电流的复数解为
V(z) = Aejz + Bej z = Vi(z) + Vr(z) A j z B j z I (z) e e I i (z) I r (z) Z0 Z0
第10讲_传输线方程及其解
dU z R ' j L ' I z dz
dI z G ' j C 'U z dz
成为
dU ( z ) jkZ c I ( z ) dz
dI ( z ) jkYcU ( z ) dz
传输线上电压、电流的解仍取
F/m
说明： 对于同轴线：2b—外导体内直径，2a—内导体外径 对于平行双导线 2a—导线直径，d—两导线中心间距 、、属于填充介质的量， Rs πf c / c ，c、c 属于导体的量 10
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
传输线方程
利用基尔霍夫电压、电流定律，可得
除以z，并重新排列得到
u z z, t u z, t i z, t R ' i z, t L ' z t i z z, t i z, t u z z, t G ' u z z, t C ' z t
将上式代入传输线方程
i z, t u z, t G ' u z , t C ' z t
u z, t i z, t R ' i z, t L ' z t
就得到复数形式的传输线方程（注意：U(z)、I(z)不是时间t的函数）。
18
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
第10讲复习
复习要点
– 将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔霍夫定律仍适用。
– 传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与特征阻抗Zc（或特
传输线方程及其解ppt课件
化为只含一个待求函数的方程。
d2U (z) dd2zI2(z)
dz 2
ZYU (z) 0 ZYI(z) 0
一维齐次波动方程
令 2 ZY (R0 jL0 )(G0 jC0 ) ，解式为
U (z)
I(
z)
A1e z B1e z
A2ez B2ez
式中积分常数A1, A2, B1, B2须由传输线始端或终端的电压、
传输线上任意点处的电压，都是这一点上入射波电压与反 射波电压的叠加；传输线上任意点处的电流，也是该点处入射 波电流与反射波电流的叠加。
电磁场、微波技术与天线
2-2 传输线方程及其解
12
霍夫电路定律可写出Δz端口上的电压、电流关系：
u(
z,
t
)
u(
z
z,
t
)
R0zi(
z,
t)ຫໍສະໝຸດ L0zi(z, t
t
)
i(
z,
t
)
i(
z
z,
t
)
G0
zu(
z
z,
t
)
C0
z
u(
z
z, t
t)
电磁场、微波技术与天线
2-2 传输线方程及其解
4
2 传输线电报方程（2/2）
上式可整理为：
u ( z, t )
1 2
ZL Z0
1ILe d
电磁场、微波技术与天线
2-2 传输线方程及其解
10
4 对传输线方程解的讨论（1/2）
为方便分析而假定式中Z0, ZL都为纯阻，代入 =α+jβ，相应
的瞬时值表达式
u(d, t) Re U (d )e jt
射频电路理论与设计第1章 传输线理论
（1.5）
式（1.5）称为均匀传输线方程，又称 为电报方程。
dV R jL I dz dI G jC V dz
（1.7）
1.3.2 均匀传输线方程的解
V z A1e jz A2 e jz 1 I z A1e jz A2 e jz Z0
传输线属长线，沿线各点的电压和电 流（或电场和磁场）既随时间变化，又随 空间位置变化，是时间和空间的函数，传 输线上电压和电流呈现出了波动性，所以 长线用传输线理论来分析。
传输线理论是对长线而言的，用来分 析传输线上电压和电流的分布，以及传输 线上阻抗的变化规律。在射频频段，必须 使用传输线理论取代电路理论。传输线理 论是电路理论与电磁场波动理论的结合， 传输线理论可以认为是电路理论的扩展， 也可以认为是电磁场波动方程的解。
分布电导G——传输线单位长度上的 总电导值，单位为S/m。
分布电感L——传输线单位长度上的 总电感值，单位为H/m。 分布电容C——传输线单位长度上的 总电容值，单位为F/m。
1.2.3 传输线的等效电路
图 1.5 传输线的等效电路
1.3 传输线方程及其解
1.3.1 均匀传输线方程
传输线方程是研究传输线上电压、电 流的变化规律，以及它们之间相互关系的 方程。
对于均匀传输线，由于分布参数是沿 线均匀分布的，所以只需考虑线元dz的情 况。
图 1.6 传输线上电压和电流的定义及其等效电路
v z , t i z , t Ri z , t L z t i z , t v z , t Gv z , t C z t
图 1.1 平行双导线
图 1.2 同轴线
微波技术1章传输线方程及其解
从麦克斯韦方程组出发，考虑电 磁波在传输线中的传播特性，通 过求解波动方程得到传输线方程 。
02
传输线方程是描述电磁波在传输 线中传播特性的偏微分方程，包 含了电场和磁场分量以及时间和 空间变量。
传输线方程的形式
传输线方程的一般形式为：∂E/∂t=c^2*∂^2E/∂x^2+σE，其中E为电场强度，t为时间，x为空间变量，c 为光速，σ为电导率。
数值解的概念
数值解是通过数值计算方法求解方程的方法。数值解可以提供精确的结果，但需要使用 数值计算软件或算法。
数值解的求解过程
数值解通常采用迭代方法、有限差分法、有限元法等数值计算技术来求解方程。在传输 线方程中，数值解可以通过离散化传输线并使用数值算法来求解。
数值解的应用场景
数值解适用于大规模复杂系统和实际工程应用。通过数值计算软件或算法，可以高效地 处理复杂的传输线问题，并提供精确的结果。
05 结论
本章总结
传输线方程是描述微波传输线中电磁波传播的基本方 程，通过求解该方程可以得到微波信号在传输线中的
传播特性。
输标02入题
本章介绍了传输线方程的基本形式和求解方法，包括 时域和频域的求解方法。
01
03
传输线方程的求解方法在实际应用中具有广泛的应用， 如微波测量、微波通信、雷达系统等领域。
04 传输线的应用
微波传输系统
微波传输系统概述
微波传输系统是利用微波波段电磁波进行信息传输的系统，广泛 应用于通信、广播、电视等领域。
微波传输系统的组成
微波传输系统主要由发射机、传输线路、接收机三部分组成，其中 传输线路是实现信号传输的关键部分。
微波传输系统的特点
微波传输系统具有频带宽、容量大、抗干扰能力强等优点，但也存 在传输损耗大、传输距离短等局限性。
02
传输线方程是描述电磁波在传输 线中传播特性的偏微分方程，包 含了电场和磁场分量以及时间和 空间变量。
传输线方程的形式
传输线方程的一般形式为：∂E/∂t=c^2*∂^2E/∂x^2+σE，其中E为电场强度，t为时间，x为空间变量，c 为光速，σ为电导率。
数值解的概念
数值解是通过数值计算方法求解方程的方法。数值解可以提供精确的结果，但需要使用 数值计算软件或算法。
数值解的求解过程
数值解通常采用迭代方法、有限差分法、有限元法等数值计算技术来求解方程。在传输 线方程中，数值解可以通过离散化传输线并使用数值算法来求解。
数值解的应用场景
数值解适用于大规模复杂系统和实际工程应用。通过数值计算软件或算法，可以高效地 处理复杂的传输线问题，并提供精确的结果。
05 结论
本章总结
传输线方程是描述微波传输线中电磁波传播的基本方 程，通过求解该方程可以得到微波信号在传输线中的
传播特性。
输标02入题
本章介绍了传输线方程的基本形式和求解方法，包括 时域和频域的求解方法。
01
03
传输线方程的求解方法在实际应用中具有广泛的应用， 如微波测量、微波通信、雷达系统等领域。
04 传输线的应用
微波传输系统
微波传输系统概述
微波传输系统是利用微波波段电磁波进行信息传输的系统，广泛 应用于通信、广播、电视等领域。
微波传输系统的组成
微波传输系统主要由发射机、传输线路、接收机三部分组成，其中 传输线路是实现信号传输的关键部分。
微波传输系统的特点
微波传输系统具有频带宽、容量大、抗干扰能力强等优点，但也存 在传输损耗大、传输距离短等局限性。
SJ 2012 第02讲 传输线方程及解(1)
1.
一维波动方程： U z ZI ( z ) U z ZI ( z ) I z YU ( z ) I z YU ( z )
2 ZY R j L G jC 令：
U ( z ) A1e A2e
z
z
2.2.2 均匀传输线方程的解
2.
电压和电流通解：
U ( z ) A1e A2e
1 dU z I ( z) Z dz
z
z
Z 1 z z ( A1e A2e ) Z0
( A1e z A2e z )
2 2
4.
无耗时：
j
2
j L jC
LC
1 vp LC
2.2.2 均匀传输线方程的解
4.
根据边界条件确定待定系数：
U 0 U L 已知： I 0 I L
Vg
Z in z
Ii
IL
Z0 ,
Vi
VL
ZL
真空、空气电容率：
1 9 单位：F/m 0 10 36
一般物质：
0 r r 1
补充材料:材料的参数
真空、空气磁导率：
非磁性材料： 磁性材料：
0 4 10
7
单位：H/m
0 4 10
7
0 r
2.2.1 均匀传输线方程
2.2.1 均匀传输线方程
传输线方程（或电报方程）
i z , t u z , t Ri z , t L z t i z , t Gu z , t C u z , t t z
一维波动方程： U z ZI ( z ) U z ZI ( z ) I z YU ( z ) I z YU ( z )
2 ZY R j L G jC 令：
U ( z ) A1e A2e
z
z
2.2.2 均匀传输线方程的解
2.
电压和电流通解：
U ( z ) A1e A2e
1 dU z I ( z) Z dz
z
z
Z 1 z z ( A1e A2e ) Z0
( A1e z A2e z )
2 2
4.
无耗时：
j
2
j L jC
LC
1 vp LC
2.2.2 均匀传输线方程的解
4.
根据边界条件确定待定系数：
U 0 U L 已知： I 0 I L
Vg
Z in z
Ii
IL
Z0 ,
Vi
VL
ZL
真空、空气电容率：
1 9 单位：F/m 0 10 36
一般物质：
0 r r 1
补充材料:材料的参数
真空、空气磁导率：
非磁性材料： 磁性材料：
0 4 10
7
单位：H/m
0 4 10
7
0 r
2.2.1 均匀传输线方程
2.2.1 均匀传输线方程
传输线方程（或电报方程）
i z , t u z , t Ri z , t L z t i z , t Gu z , t C u z , t t z
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式中，a为同轴线内导体的外半径，b为外导体的内半径。 常用的同轴线的特性阻抗多为50Ω或75 Ω， 个别情况也有用60 Ω或其它值的。
小结：
一.传输线方程及其解 ●正向行波、反相行波、电磁波的叠加性 ●电压波、电流波 ●γ=α+jβ的意义，无耗时： j , LC ●相速、等相面 L U ( z) U ( z) 二. 特性阻抗的概念： Z c
1.2.1 传输线波动方程
（一） 时域传输线方程
对于Δz的集总元件电路等效: 由Kirchhoff’s 电压定律
i ( z, t ) u ( z, t ) Rzi ( z, t ) Lz u ( z z, t ) 0 t
由Kirchhoff’s 电流定律
i ( z, t ) Gzu ( z z, t ) Cz
(1-26)
——均匀无耗传输线的特性阻抗 它是一个实数（纯电阻），单位为Ω（欧姆）
注意：特性阻抗的单位虽然为Ω，但它并不表示损耗，而是反映传输线在 行波状态下电压与电流之间关系的一个量，其值仅取决于传输线的L和C， 即所填充的介质和线的横向尺寸，而与线的长度无关，而且，可近似地认 为与频率无关。
1.2.3 传输线的特性阻抗
U ( z ) U1e
I ( z ) I1e
jz
U 2e
jz
(1-23)
jz
I 2e
jz
(1-24)
其中A、B为电压和电流的复振幅，是待定积分常数，由边界条件（这 里是传输线始端和终端的电压和电流）确定。
e
jz
e jz 沿+z方向传播的波，相位是滞后的 分别表示相应的相位： e jz 沿-z方向传播的波，相位是超前的
（二）时域传输线方程的解
（由频域解直接得出） 复振幅A、B，可以表示为绝对值和其相位因子的乘积：
A1 | A1 | e j1
A2 | A2 | e j 2
B1 | B1 | e j3
B2 | B2 | e j 4
电压、电流瞬时值形式为 ：
u ( z, t ) Re[U ( z )e jt ] | A1 | cos( t 1 z ) | A2 | cos( t 2 z )
dz
d 2 I ( z) 2 I ( z) 0 dz 2
(1 8)
( R jL)(G jC ) j
γ 是复传播常数，是频率ω的函数.
(1 9)
1.2.2 传输线波动方程的解
（一）频域传输线方程的解
U ( z ) U1ez U 2ez (1 10)
即：
jU1e jz jU 2e jz jLI1e jz jLI 2e jz
1.2.3 传输线的特性阻抗
上式对任何的z值都应成立，因此必须有：
U1 LI1
即：
U 2 LI 2
U 1 L L ； I1 C
U2 L L I2 C
(1-29) (1-30)
由边界条件确 定常数U1和U2
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
可以分为以下3种情况：
1.已知传输线的终端电压和电流 2.已知传输线始端电压和电流； 3.已知信号源的电动势、内阻抗和负载阻抗。
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
1. 已知传输线终端电压Uℓ和电流I ℓ (重点）
/
——波阻抗
描述TEM波
●均匀无耗传输线上的行波电压和行波电流之比 ——均匀无耗传输线的特性阻抗
Zc
描述均匀无耗传输线
1.2.3 传输线的特性阻抗
将式(1-23)和式(1-24)重写如下
U ( z ) U1e j z U 2e j z
I ( z ) I1e
将上两式代入式
Δz的集总等效电路
R = 串联电阻 （Ω/m） L = 串联电感 （H/m） G = 并联电导 （S/m） C = 并联电容 （F/m）
导体损耗 介质损耗 返回
1.2.1 传输线波动方程
i(z,t)
i( z l , t ) + u( z l, t )
u(z,t)
-
传输线l的集总元件电路等效
举例：双导线特性阻抗的计算
将表1.1-1中所列的双导线传输线的L和C值带入到式(1-26）中，得：
Zc
1
2 2 D D2 d 2 1 ln D D d ln 两导体之间的距离， / 匀、线性、各项同性无界介质
(1 3)
i( z, t ) u ( z, t ) Gu( z, t ) C z t
(1 4)
分布参数电路的偏微分方程
时域传输线方程
电报方程
return
1.2.1 传输线波动方程
（二）频域传输线方程
对于时谐电磁波：
u( z, t ) Re[U ( z )e jt ]
是电磁波在均
( , ) 中的波阻抗。
1.2.3 传输线的特性阻抗
●自由空间中： 0 则波阻抗 特性阻抗 ●一般介质中： 相对介电常数为
120
1 10 9 F • m-1； 36
0 4 10 7
H • m-1
0 377 120
(1 6)
E j H
H j E
1.2.1 传输线波动方程
d ( Eq1 5) 计算 , 并代入 公式（1－6）得： dz d 2U ( z ) 2U ( z ) 0 (1 7) 2 dz d(Eq1 6) 计算 , 并代入 公式（ 5) 得： 1
1.2.3 传输线的特性阻抗
A1是正向行波电压U+(z)的复振幅，B1是正向行波电流I+(z) 的复振幅，A1/B1的值具有阻抗的量纲；
A2是反向行波电压U-(z)的复振幅，B2是反向行波电流I-(z) 的复振幅。A2/B2的值也具有阻抗的量纲。
因此定义一个阻抗： L U ( z) U ( z) Zc C I ( z) I ( z)
i( z, t ) Re[ I ( z )e jt ] | B1 | cos( t 3 z ) | B2 | cos( t 4 z )
结论： 传输线上任意一点的电压和电流是正向和反向 传播的电磁波的叠加;
1.2.3 传输线的特性阻抗
●在无界介质中，TEM波的电场和磁场之比等于
注意：坐标原点取在线的终端（负载处），用 z 做坐标变量.
由1.2节求得的线上任意位置U(z) 和I(z)，坐标原点在负载端 时U(z)和I(z)为： (1-31) U ( z ) U 1e j z U 2 e j z
1 I ( z) (U 1e j z U 2 e j z ) Zc
Zc 1
D D2 d 2 ln d
2 2 120 ln D D d d
r ，相对导磁率为 r ( r 1)，则由式(1-27)可得：
D D 2 d 2 276 D D 2 d 2 Zc ln lg r d r d
由此可以看出，待定常数 U、I不是孤立的，已知一个可以求出另一个。 因此式(1-23)和式(1-24)可写为：
U ( z ) U1e j z U 2e j z U ( z ) U ( z )
(1-12) (1-13)
返回
U1 j z U 2 j z I ( z) e e I ( z) I ( z) Zc Zc
C I ( z) I ( z)
同轴线的特性阻抗
未解决的问题 确定常数A和B 三.均匀无耗传输线的边界条件
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
说明：如图先把坐标原点取在线的 始端，坐标用d表示，求出电压和 电流表达式 然后再换算为坐标原点取在终端 （负载处），坐标为z的表示式。
Zg Eg ~
内阻抗
Zc
α为衰减常数，表明电压或电流经过单位长度传输线后振幅减小的常数；
β叫做相位常数，表示单位长度上电压和电流相位的变化量，单位为rad/m。
1.2.2 传输线波动方程的解
在微波波段由分布电阻和分布电导的影响相对于电感 和电容来说很小，即R<<ωL，G<<ωC，故
j , LC
通解为
(1-32)
式中， U1ejβz项：随着z的增加相位是超前的，说明波是 由始端(信号源）向终端传播的，称为入射波；
U2e-jβz项：随着z的增加相位是滞后的，说明波是
由终端向始端传播的 ，称为反射波。
1.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
终端电压和电流为：
U (0) U 1 U 2 U l
j z
(1-23) (1-24)
I 2e
j z
0
(1 5)
(1 6)
dU ( z ) ( R jL) I ( z ) dz dI ( z ) (G jC )U ( z ) dz
得到：
U1 je jz U 2 je jz jL( I1e jz I 2e jz )
双线传输线：两根铜导线，条件：
l
a
1.2.1 传输线波动方程
i(z,t) + u(z,t) i(z+Δi,t) + u(z+Δz,t) i(z,t) + u(z,t) z Rz i ( z z , t ) +
Lz
Gz
u ( z z, t ) Cz
-
z
z