2016考研数学：矩阵二项式分析及其应用

2016考研数学：矩阵二项式分析及其应用

来源：文都教育

线性代数是考研数学的一个科目，而矩阵是线性代数中最基本、最重要的一个工具，其它内容都需要用到矩阵作为分析和解决问题的工具。矩阵的一些运算在形式上与数的运算有些相似之处，如逆矩阵的定义与数的倒数有些相似，线性方程组AX b =的求解，在系数矩

阵A 可逆时，其解为1X A b -=，这与一元一次方程ax b =的解1

x a b -=（0a ≠）相似；

与数的二项公式0

()n

n

k n k

k n

k a b C a

b -=+=

∑相应的也有矩阵的二项公式，下面我们就来分析一

下矩阵的二项公式及其应用。

一、矩阵二项式公式

公式：如果矩阵A 和B 可交换，即AB BA =，则

112221

10

()n

n

k n k k n n n n n n n n n n k A B C A B A C A B C A B C AB B -----=+==+++++∑ ，n 为正

整数，(1)(1)!

k

n n n n k C k --+=

为排列组合中的组合数（注：00

A B E ==）.

证

：

当

1

n =时，

等式显然成立

；当

2

n =时，

22

2

2

222()()()2A B A B A B A A B

B A B A A B B A

+

=

++=+

++=+

+=

+； 假设对n 时等式成立，则对1n +时，

1112221

1()()()()()n n n n n n n n n n n A B A B A B A B A C A B C A B C AB B +----+=++=++++++= 1121211111()()()n n n n n n n n n n n n n A C A B BA C A B BC A B AB BC AB B +----+=++++++++ ，

∵AB BA =，∴223223

,()()BA BAA ABA AAB A B BA BA A A B A A B =======，

一

般地

k k BA A B

=，因此，

1111111

()k n k k k n k k k k n k k k n n n n n C A B BC A B C C A B C -+--+---+++=+=，于是

1

1112

1111

()

n

n k n k k n n n n n n n n n n k A B C A B A C A B C A B C AB B ++-+-+++++=+==+++++∑ . 推论：11221

()n

n

k

n k n n n n n n n n k A E C

A A C A C A C A E ----=+=

=+++++∑ .

二、典型例题

例1、若1101B ⎛⎫=

⎪

⎝⎭

，则100B = 解：由111001010100B E A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，20,0,2k

A A k ==≥， 得1001

100110001B E C A ⎛⎫

=+=

⎪⎝⎭

.

例2、已知110011001A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，求n

A .

解：由1000100100001001000A E B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2

2

010001001000000000B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

30B =，一般地，0,3k B k =≥，因此，

122

11(1)2

()01

001

n n n n n n n A E B E C B C B n ⎛

⎫- ⎪ ⎪=+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

.

例3、设A 是n 阶方阵，且2

A A =，证明：()(21)k k

A E E A +=+-，其中：k 是正

整数，E n 是阶单位阵.

证：由2322

A A A A A A A A A =⇒=⋅=⋅==，一般地，,1i A A i =≥，再由二项公式得11

2210

()n

k

i k i

k k k k k

k k k i A E C A

A C A C A C A E ----=+=

=+++++=

∑

1211

21(1)(1)k k k k k k k k k k C C C A E C C C C A E --=+++++=++++++=

[(11)1](21)k k E A E A =++-=+-.

从上面对矩阵二项式的分析中可以看出，矩阵二项公式虽然与数的二项公式在形式上类似，但二者还是有些区别：数的二项公式具有普遍性，即对任何两个数a b 和，都成立

()n

n

k

n k

k

n

k a b C a

b -=+=∑，但矩阵二项式0

()n

n

k n k k

n k A B C A B -=+=∑，仅在AB BA =、即在二者的乘积可交换的条件下才成立，例如，若AB BA ≠，则222()2A B A AB B +≠++。最后说明一点，矩阵的二项式一般用于矩阵高次幂的计算。