20.3.1极差和方差1
极差、方差、标准差
课程解读一、学习目标：1. 掌握极差、方差、标准差的概念。
2. 理解极差、方差、标准差均可反映一组数据的稳定性大小。
二、重点、难点：重点：掌握极差、方差和标准差的概念，理解极差、方差、标准差是刻画数据离散程度的几个统计量；会求一组数据的极差、方差、标准差，并会判断这组数据的稳定性。
难点：理解数据的离散程度与三个“差”之间的关系。
三、考点分析：近几年来，与统计相关的知识以解答题的形式出现且逐年增多，从试题内容上看，由原来简单的求平均数、中位数、众数、方差等到要求用所学统计知识分析和处理数据，解决实际问题，试题考查从知识立意转向能力立意，选取与实际生活有关的问题，关注社会热点，题型越来越新颖。
知识梳理一、极差定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫这组数据的极差. 表达式：极差=最大值－最小值 总结：1. 极差是刻画数据离散程度的最简单的统计量2. 特点是计算简单3. 极差利用了一组数据两端的信息，但不能反映出中间数据的分散状况注意：极差反映一组数据两个极端值之间的差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不科学的，还要了解其他的统计量。
二、方差的概念：在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“2s ”表示，即：()()()[]2222121xx x x x x n s n -++-+-= ．方差的计算： （1）基本公式：()()()[]2222121x x x x x x ns n -++-+-=．（2）简化计算公式（I ）：])[(12222212x n x x x n s n -+++=．也可写成2222212)(1x x x x n s n -+++=．此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． （3）简化计算公式（II ）：]')'''[(12222212x n x x x n s n -+++=．当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a ，得到一组新数据a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='，那么，])'''[(12222212x n x x x n s n'-+++=，也可写成2222212)(1x x x x n s n '-'++'+'= ．此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方． （4）新数据法：原数据1x ，2x ，…，n x 的方差与新数据a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得1'x ，2'x ，…，n x '的方差就等于原数据的方差．三、标准差的概念和计算方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s ”表示，即：])()()[(1222212x x x x x x n s s n -++-+-== ．方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况．方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小．典型例题知识点一：极差例1.（1）一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是 ，一组数据1736、1350、－2114、－1736的极差是 。
方差和极差的概念
方差和极差的概念嗨，朋友们！今天咱们来聊聊数学里两个特别有趣的概念——方差和极差。
先来说说极差吧。
想象一下，你和一群小伙伴参加一场投篮比赛。
有个小伙伴，就叫小明吧，他发挥得超级稳定，每次投篮不是进了就是差一点点。
再看另一个小伙伴，小红，她有时候能连续投进好几个，可有时候又会连着好几个都不进。
这时候，极差就能派上用场了。
极差就像是在看这两个小伙伴投篮成绩波动的最大差距。
比如说，小明投中的个数最少是3个，最多是5个，那他的极差就是5 - 3 = 2个。
而小红呢，投中最少是1个，最多是7个，她的极差就是7 - 1 = 6个。
哇塞，你看，这个极差一下就把他们成绩的波动范围给表示出来了。
你就想啊，极差就像是用一把尺子，量出了一组数据里最大和最小的那两个数之间的距离。
这多简单明了啊！这时候你可能会问了，那这个极差就能完全代表数据的波动情况了吗？嘿嘿，先别急，咱们接着看方差。
方差啊，可就更有意思了。
咱们还是拿投篮这件事来说。
方差就像是一个特别细心的裁判，它不仅仅看最大和最小的差距，而是要看看每个成绩和平均成绩之间的关系。
比如说，还是小明，他的平均投中个数是4个，他每次的成绩是3个、4个、5个这样波动。
那方差的计算就像是在给每个成绩和4个这个平均数做比较，看看每个数偏离平均数有多远，然后把这些偏离程度综合起来。
怎么综合呢？这就有一套计算方法了。
要是按照公式算下来，小明成绩的方差可能比较小，因为他的成绩波动不大，离平均数都比较近。
再看小红，平均投中个数假设是4个，可她一会儿1个，一会儿7个，这样和平均数的偏离就比较大，算出来的方差也就大得多。
这方差就像是一个放大镜，把数据内部的波动细节都给放大出来了。
你想啊，如果只看极差，可能会忽略掉很多中间数据的波动情况。
就好比只看两个人的最高和最低身高差，但是不知道他们其他时候身高波动的更细致情况一样。
这方差是不是超级有用呢？我给你们再举个例子吧。
有个班级进行数学考试。
老师想知道同学们的成绩波动情况。
方差与极差的关系
方差与极差的关系
《方差与极差的关系》
嘿，朋友们！今天咱来聊聊方差和极差这俩家伙的关系。
咱先来说说极差哈，它就像是班级里那个最高个和最矮个的差距，简单明了，一下子就能看出来。
比如说一组数里最大的和最小的一减，嘿，极差就出来啦！
而方差呢，就稍微有点复杂啦，它就像是在仔细观察班级里每个同学的特点，综合起来衡量一下整体的波动情况。
它要考虑每个数和平均数的差距，然后再算算算。
你说这方差和极差像不像一对欢喜冤家呀！极差比较直接爽快，方差就有点磨叽，但又很细心。
有时候极差很大，方差也会跟着大，就好像一个热闹的派对，大家都很活跃。
但也有特殊情况哦，就像有时候班级里虽然最高个和最矮个差距大，但其他同学都差不多，那方差也不会特别大。
想象一下哈，极差就像是一阵风，来得快去得也快，一下子就让你感受到它的存在。
而方差呢，更像是一场细雨，慢慢滋润着，让你慢慢体会到它的重要性。
它们俩呀，在数据分析的世界里可都有着重要的地位呢！没有极差，我们可能就少了那份直接的对比；没有方差，我们就难以深入了解数据的波动细节。
就像我们的生活一样，有时候需要直接爽快地面对一些事情，就像极差一样给我们一个直观的感受；但有时候也需要像方差那样，细细琢磨，才能真正理解其中的奥妙。
哎呀呀，说了这么多，其实方差和极差的关系就是这么有趣又重要呀！它们相互配合，让我们能更好地理解那些数字背后的故事。
下次再看到一组数据，咱就可以同时想想极差和方差啦，看看它们能给我们带来什么样的信息。
好啦，今天就聊到这儿啦，朋友们，下次再一起探讨这些有趣的知识哟！
咋样，是不是对方差和极差的关系有点感觉啦？哈哈！。
数据分析极差和方差
如果一组数据的方差较大，可能存在异常值，需 要进一步检查。
预测模型评估
在预测模型中，可以使用历史数据的方差来评估 模型的预测准确性。
方差在数据分析中的作用
描述数据分布
方差可以用来描述数据分布的情况， 了解数据的集中趋势和离散程度。
比较数据集
决策依据
在数据分析中，方差可以作为决策的 依据，例如在市场调研中，可以根据 不同产品的方差大小来决定产品的市 场策略。
提高效率
数据分析有助于优化业务流程，提高工作效率，降低 成本。
极差和方差的定义
极差
极差是一组数据中的最大值和最小值之差，用于描述数 据的离散程度。
方差
方差是一组数据与其平均值之差的平方的平均值，用于 描述数据的离散程度。
02
极差
极差的计算方法
01 极差定义
极差是一组数据中最大值与最小值之差，用于衡 量数据的离散程度。
通过比较不同数据集的方差大小，可 以了解它们之间的差异。
04
极差和方差的比较
极差和方差的优缺点
极差 优点：计算简单，容易理解，能够反
映数据的变化范围。
缺点：对异常值敏感，容易受到极端 值的影响，不能反映数据的离散程度。
方差
优点：能够反映数据的离散程度，不 受极端值影响，可以用于比较不同数 据集的离散程度。
极差和方差的计算方法
目前极差和方差的计算方法主要是基于统计学的理论，未来可以 考虑结合机器学习算法，提高计算效率和准确性。
极差和方差的应用领域
目前极差和方差主要应用于统计学和数据分析领域，未来可以考虑 将其应用ห้องสมุดไป่ตู้其他领域，如金融、医学等。
极差和方差的优化算法
目前极差和方差的计算算法较为简单，未来可以考虑优化算法，提 高计算效率。
【精品】2020年中考数学复习 --《极差、方差和标准差》知识点
【精品】2020年中考数学复习 --《极差、方差和标准差》知识点 极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标．一、定义理解1、极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差．极差＝最大值－最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义．2、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况．求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均．”通常用2S 表示一组数据的方差，用x 表示一组数据的平均数，1x 、2x 、…n x 表示各数据． 方差计算公式是： s 2=1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2]；3、标准差在计算方差的过程中，可以看出2S 的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差． 标准差＝方差，方差＝标准差2．一组数据的标准差计算公式是S =其中x 为n 个数据12n x x x ，，…，的平均数． 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同．在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况．二、例题讲析例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102（1） 求甲、乙两队的平均分和极差？（2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？解：（1）3.100100101101104103102969997100101）＝（＝甲+++++++++⨯x 3.10010210310410410010295999797101）＝（＝乙+++++++++⨯x甲队的极差＝104－96＝8； 甲队的极差＝104－95＝9（2）61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(1012222＝甲-++-+-=S 21.9])3.100102()3.10097()3.10097[(1012222＝乙-++-+-= S 甲队的标准差：37.261.5≈； 乙队的标准差：03.321.9≈ 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些．例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25，23，28，22，27乙组：27，24，24，27，23（1）10盆花的花期最多相差几天？（2）施用何种花肥，花的平均花期较长？（3）施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！ 解：（1）28－22＝6（天） 所以，10盆花的花期最多相差6天．（2）由平均数公式得：252722282325(51）＝＝甲++++x252327242427(51）＝＝乙++++x得乙甲＝x x ，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．（3）由方差公式得： 2.5])2527()2522()2528()2523()2525[(101222222＝甲-+-+-+-+-=S 8.2])2523()2527()2524()2524()2527[(51222222＝乙-+-+-+-+-=S 得22S 乙甲<S 故施用乙种花肥，效果比较可靠三、反馈练习1.一组数据5，8，x ，10，4的平均数是2x ，则这组数据的方差是________．2.五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm ）：2，－2，－1，1，0， 则这组数据的极差为______cm ．方差是_______，标准差是______3.若样本1，2，3，x 的平均数为5，又样本1，2，3，x ，y 的平均数为6，则样本1，2，3，x ，y 的极差是_______，方差是_______，标准差是______．4.已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20，21，22，23，24的方差为_____， 标准差为________．5.一组数据－8，－4，5，6，7，7，8，9的极差是______，方差是_____，标准差是______．6.若样本x 1，x 2，……，x n 的平均数为 ＝5，方差S 2＝0.025，则样本4x 1，4x 2，……，4x n 的平均数x ＇＝_____，方差S ＇2＝_______．。
(文章)极差、方差、标准差知识辨析及应用
极差、方差、标准差知识辨析及应用极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标．一、极差、方差、标准差比较 1、极差：极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差． 极差＝最大值－最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义． 2、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况．求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均．”通常用2S 表示一组数据的方差，用x 表示一组数据的平均数，1x 、2x 、…n x 表示各数据．公式（1）：])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-=方差的两个简化公式：公式（2）：用2S 表示一组数据的方差，用x 表示一组数据的平均数，1x 、2x 、…n x 表示各数据．])[(12222212x n x x x nS n -+++=， 公式（3）：用2S 表示一组数据的方差，用x 表示一组数据的平均数，1x 、2x 、…n x 表示各数据．若将每个数据同时减去一个与样本平均数接近的常数a ，并设：11x a x '=- 22x a x '=-，…n n x a x '=-，记)(121n x x x nx '++'+'=' 则])[(12222212x n x x x nS n '-'++'+'=3、标准差：在计算方差的过程中，可以看出2S 的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差．标准差＝方差，方差＝标准差2．方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同．在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况．二、极差、方差、标准差应用例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下： 甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100 乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102 （1） 求甲、乙两队的平均分和极差？（2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？ 解：（1）3.100100101101104103102969997100101）＝（＝甲+++++++++⨯x 3.10010210310410410010295999797101）＝（＝乙+++++++++⨯x 甲队的极差＝104－96＝8； 甲队的极差＝104－95＝9 （2）61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(1012222＝甲-++-+-=S 21.9])3.100102()3.10097()3.10097[(1012222＝乙-++-+-=S 甲队的标准差：37.261.5≈； 乙队的标准差：03.321.9≈所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些．注：（1）极差仅只表示一组数据变化范围的大小，而不能表示其它更多的意义． （2）本题利用公式（3）： ])[(12222212x n x x x nS n '-'++'+'=计算更方便． 例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25，23，28，22，27 乙组：27，24，24，27，23 （1）10盆花的花期最多相差几天？ （2）施用何种花肥，花的平均花期较长？ （3）施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！ 解：（1）28－22＝6（天） 所以，10盆花的花期最多相差6天． （2）由平均数公式得：252722282325(51）＝＝甲++++x252327242427(51）＝＝乙++++x得乙甲＝x x ，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．（3）由方差公式得：2.5])2527()2522()2528()2523()2525[(101222222＝甲-+-+-+-+-=S 8.2])2523()2527()2524()2524()2527[(51222222＝乙-+-+-+-+-=S得22S 乙甲<S 故施用乙种花肥，效果比较可靠 例3、(2004河北实验区中考题)在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶.图1是其中的甲、乙段台阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题： （1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？ （2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于 这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出 合理的整修建议.图1中的数字表示每一级台阶的高度(单位:cm).并且数据15,16, 16,14,14,15的方差223S =甲,数据11,15,18,17,10,19的方差235.3S =乙解：（1）1(151616141415)15;6x =+++++= 甲 1(111518171019)15.6x ∴=+++++=乙 ∴相同点：两段台阶路高度的平均数相同．不同点：两段台阶路高度的中位数、方差和极差均不相同．（2）甲路段走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差小．（3）整修建议：使每个台阶高度均为15cm （原平均数），使得方差为0．16 1414 161515 甲路段17 1910 18 15 11 乙路段图1。
极差、方差和标准差教案
20.2 极差、方差与标准差【教学目标】一、知识目标1．理解极差、方差与标准差的概念及应用．2．学会用极差、方差与标准差来处理数据．3．学会用计算器求标准差。
二、能力目标1．学生通过主动思考与探索，发现方差计算的合理性．2.培养学生的探索知识的能力．三、情感态度目标学生在经历独立思考、合作探索与发现的过程中，初步体验极差、方差与标准差来分析数据，然后作出决策；体验用现代算工具处理数据的作用。
【重点难点】重点：方差计算式的导出过程．难点：方差概念的引入．【教学设想】课型：新授课．教学思路：从复习旧知入手（平均数、中位数和众数的概念）-观察导图-研究用什么数据来表示数据高低起伏的变化大小-得出极差、方差和标准差的概念-导出方差的计算式—利用计算器或计算机求标准差。
【课时安排】4课时。
【教学设计】第一课时【本课目标】1．理解极差的概念及应用．2．明确极差是刻画数据离散程度的一个统计量．3．能够举出一些利用极差进行比较的例子．【教学过程】1.情境导入播放多媒体—教材中的导图“你喜欢住在哪个城市？”（或用投影幻灯片或由教学挂图展示）．观察导图，讨论用什么样的数来反映数据的高低起伏的变化大小比较合适2、课前热身刻画数据平均水平的统计量有哪些，它们有什么作用？举例说明。
3、合作探究（1）整体感知从观察导图、复习旧知入手，引导学生自主探索，理解极差的概念及其应用，明确极差是刻画数据离散程度的一个统计量。
（2）四边互动互动1：师：用平均数、中位数、众数代表数有什么不同？生：思考、交流。
明确：通过复习旧知，导入本节课的内容。
互动2：师：在导图中，为什么说北京“四季分明”而新加坡“四季温差不大”。
生：观察，思考，交流。
明确：通过讨论，学生初步感知：最大值与最小值的差可以用来表示数据高低起伏的变化大小。
出示投影：课本么135页表20.1.1 上海每日最高气温统计表（单位：℃）表20.2.1上海每日最高气温统计表（单位：℃）互动3：师：表20.2.1显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温．从表上看，2002年和2001年2月下旬的气温相比，有4天的温度相对高些，有3天的温度相对低些，还有1天的温度相同．我们是否可以由此认为2002年2月下旬的气温比2001年高呢？生：小组交流、发表意见．师：比较两段时间气温的高低，求平均气温是一种常用的方法．请你计算其平均数。
初中数学8年级下册20.2.1 极差和方差课件人教版课件
（3）3 3 4 6 8 9 9
s2 (3 6)2 (3 6)2 (4 6)2 (6 6)2 (8 6)2 (9 6)2 (9 6)2 48
7
7
x 32 4 6892 6 7
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
（4）3 3 3 6 9 9 9
s2 (3 6)2 (3 6)2 (3 6)2 (6 6)2 (9 6)2 (9 6)2 (9 6)2 54
7
7
x 33 693 6 7
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
2、下面是两名跳远运动员的10次测验成绩（单位：m）
为什么常用方差来衡量一组 数据的波动情况呢？有兴趣 的同学可以参考本节的“阅 读与思考数据波动的几种度 量”
数据的分析 20
习题20.2
1、2、4
P141 练习
1.用条形图表示下列各数，计算并比较 它们的平均数和方差，体会方差是怎样 刻画数据的波动程度的 (1) 6 6 6 6 6 6 6 (2) 5 5 6 6 6 7 7 (3) 3 3 4 6 8 9 9 (4) 3 3 3 6 9 9 9
上述求差的方法是怎样的？
归纳
极差的定义： 一组数据中的最大数据与最小数
据的差叫做这组数据的极差。
巩固 1.数据 -3，-2，1，2，4，4 的极差 是；
2.数据 -4，-3，-1，4，4，6 的极差 是；
范例 例1.已知数据 1，-3，0， x 的极差 是 5，求 x 的值。
你能确定最大值和最小值吗
分类讨论方法
探究
0︰00 4︰00 8︰00
12︰ 00
16︰ 00
极差方差标准差
极差方差标准差极差、方差和标准差是统计学中常用的三种描述数据分散程度的指标。
它们可以帮助我们更好地理解数据的分布特征，对于数据分析和决策具有重要意义。
本文将分别介绍极差、方差和标准差的概念、计算方法以及在实际应用中的意义，希望能帮助读者更好地理解和运用这三个重要的统计指标。
首先，我们来介绍极差。
极差是用来衡量数据的离散程度的指标，它是一组数据中最大值与最小值之间的差距。
计算极差非常简单，只需要将数据中的最大值和最小值相减即可得到。
例如，对于一组数据{3, 5, 7, 9, 11}，最大值为11，最小值为3，因此极差为11-3=8。
极差越大，说明数据的离散程度越大，反之则表示数据的离散程度较小。
在实际应用中，极差可以帮助我们了解数据的波动范围，对于评估数据的稳定性和波动性具有重要作用。
接下来，让我们来介绍方差。
方差是描述数据离散程度的一个更加精确的指标，它是各个数据与数据均值之差的平方的平均值。
方差的计算公式为，。
\[ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i \bar{x})^2 \]其中，\( \sigma^2 \)表示方差，n表示样本容量，\( x_i \)表示第i个数据点，\( \bar{x} \)表示数据的均值。
方差的计算涉及到数据的平均值，因此它能够更准确地描述数据的离散程度。
在实际应用中，方差可以帮助我们比较不同数据集的离散程度，进而进行数据分析和决策。
最后，让我们来介绍标准差。
标准差是方差的平方根，它是描述数据离散程度的常用指标之一。
标准差的计算公式为：\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i \bar{x})^2} \]标准差与方差一样，能够帮助我们更好地理解数据的离散程度。
与方差相比，标准差更容易理解和解释，因为它的单位与原始数据相同。
在实际应用中，标准差常常用来衡量数据的稳定性和波动性，对于风险评估和决策分析具有重要作用。
极差和方差 PPT课件 人教版
解:甲、乙两团演员的平均身高分别是
—
163 164 2 165 3 166 167 甲 165 x 8 — 163 164 2 165 166 167 2 168 x 乙 166 8
2 2 2 2 甲
（ 163 165 ） （ 164 165 ） （ 167 165 ） 1 . 36 s 8
甲，乙两名同学的测试成绩统计如下：
甲
乙
85
95
90
85
90
95
_
90
85
95
90
_
⑴ 请分别计算两名同学的平均成绩；x 90 ( 分 ) 甲
⑵ 请根据这两名同学的成绩在 下图中画出折线统计图； ⑶ 现要挑选一名同学参加竞 赛，若你是老师，你认为挑 选哪一位比较适宜？为什么？
100 95
成绩（分）
都是求极差的例子．
跟踪练习一
1.在数据统计中,能反映一组数据变化范围大小的指标是 ( D ) A 平均数 B 众数 C 中位数 D 极差
5 2.数据 0 , -1 , 3 , 2 , 4 的极差是＿＿＿＿＿ . -5 ℃. 3. 某日最高气温是4 ℃, 温差是 9 ℃,则最低气温是＿＿＿ - 2 或 4. 4.数据 -1 , 3 , 0 , x 的极差是 5 ,则 x =＿＿＿＿＿
老师的烦恼 ？
下星期三就要数学竞赛了，甲，乙两名同学只 能从中挑选一个参加。若你是老师，你认为挑 选哪一位比较适宜？ 甲、乙两个同学本学期五次测验的数学成绩分别 如下（单位：分）
甲 乙
_
85 95
90 85
90 95
_
90 85
95 90
20.2.1数据的波动— 极差和方差(第一课时)
例如：数据6，7，4，6，5，8
求：平均数和极差？
极差的作用是什么呢？ 1、反映一组数据的大 概变化范围；
2、反映一组数据离平 均数的离散程度；
3、反映一组数据大概 的整齐度；
9 8 7 6 5 4 0
a b cde f g
观察下面图形，那个天气温度更为稳定
数据的波动—— 极差和方差（第一课时）
观察下面表格回答问题：
温度
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
地区
玉环 22℃ 20℃ 21℃ 19℃ 20℃ 22℃ 21℃ 杭州 24℃ 18℃ 23℃ 23℃ 22℃ 20℃ 22℃
哪个地区的温度比较稳定？变化范围比较小？ 你的依据是什么？
新定义和知识点
说明：方差的计算是为了说明数据是 否稳定，也可以说明每个数值离平均 数距离的差距的大小
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
123 4 5 6 7 8 9
123 4 5 6 7 8 9
由上述计算的过程中，你是否知道了方差是如何计算的呢？
步骤介绍：
第一步：先算出平均数 第二步：把每组数减去各自的平均数得到新的数据 第三步：对新的数据各自平方求平均数
ห้องสมุดไป่ตู้
例如：两组10个数据 1）、5，6，5，4，5，1, 4，5，6 ，4
2）、4，3，7，3，2，5，2，5，7, 7
求：出两组的平均数和极差 比较两组的稳定性。
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
数学数据的波动极差和方差
数据的波动——极差与方差一、一周知识概述1、极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差．极差能够反映数据的变化范围，生活中经常用到极差．说明：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，但它受极端值的影响较大．2、方差（1）在一组数据x1、x2、…、x n中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“s2”表示，即：（2）方差的计算方法：①定义法，就是用上面方差的定义公式进行计算；②原始数据简化计算法：；③新数据简化计算法：当一组数据中的数据较大且比较集中时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x′=x1－a,x′2=x2－a,…x′n=x n－a；那么13、标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，即标准差=．详解：(1)极差、方差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，方差越小的，波动越小，即与其平均值的离散程度较小，从而它比较稳定；极差计算方便，但只对极端值较为敏感；(2)求方差的步骤可以概括为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”，得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况；(3)方差的数量单位是原数据单位的平方．4、用计算器求一组数据的标准差、方差：具体操作应由不同型号的计算器的功能决定．二、典型例题剖析例1、在2005年的高考中，参加高考的考生年龄最大的68岁，年龄最小的是13岁，求2005年高考考生年龄的极差，说明了什么?你有什么感慨，用一句话表述．分析：极差＝最大值－最小值．解答：年龄极差=68－13=55(岁)从年龄极差看，我国高考制度已日趋完善，考生不再受年龄诸多因素的限制．感慨：大学的校门永远向你敞开．例2、为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近．质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量如下(单位：g)：甲厂：7574747673767577777474757576737673787772 乙厂：7578727774757379727580717677737871767375 把这些数据整理成图．(1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量吗?(2)求出它们的平均质量，并在图中画出表示平均质量的直线；(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少?最小值又是多少?它们相差几克?乙厂呢?(4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂的鸡腿?与同学交流．分析：(1)根据数据组和分布图易估计这两个厂家鸡腿的平均质量，它们都接近75 g；(2)利用平均数可以表示一组数据的平均水平；(3)平均质量只能反映总体的集中趋势，并不能反映个体的变化情况．从上图看出，甲厂的产品更符合要求．解答：(1)估计平均质量都是75 g．(2)[(75－75)＋(74－75)＋…＋(72－75)]＋75=75[(75－75)＋(78－75)＋…＋(75－75)]＋75=75．(3)甲厂鸡腿质量的极差：78－72=6 (g)；乙厂鸡腿质量的极差：80－71=9 (g)．(4)应购买甲厂的鸡腿．方法总结：极差是刻画数据离散程度的一个统计量，极差越大，偏离平均数越大，产品的质量性能越不稳定．例3、从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640问：(1)哪种玉米的苗长得高?(2)哪种玉米的苗长得齐?分析：长得高和长得齐是两个不同的概念，看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的平均高度即可；要比较哪种玉米苗长得整齐，只要看两种玉米的苗高的方差即可．解答：(1) (25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)=×300=30(cm)．(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)=×310=31(cm)．因为，所以乙种玉米的苗长得高．(2) [(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋…＋(42－30)2]= ×1042=104.2(cm2)[(27－31)2＋(16－31)2＋(44－31)2＋…＋(40－31)2]= ×1288=128.8(cm2) 因为，所以甲种玉米的苗长得整齐．例4、设一组数据x1，x2， (x)n，其标准差为sx，另一组数据3x1＋a，3x2＋a， (3x)n＋a，其标准差为s y，求s x与s y的关系式．分析：分别利用标准差的计算公式进行整体代换．解答：设x1、x2…xn的平均数为，则3x1＋a，3x2＋a， (3x)n＋a的平均数为3＋a．点评：一组数据x1，x2， (x)n的方差为s2,则x1±b,x2±b,…x n±b的方差为s2；ax1±b,ax2±b,…ax n±b的方差为a2s2．方法技巧：方差反映了数据的波动大小，在实际问题中，如长得是否速度一致，是否稳定等都是波动的体现，方差越大，波动越大．例5、为迎接世界无烟日的到来，小明对10名戒烟成功者戒烟前和戒烟5星期后的体重作了认真统计，(1)求这(2)求这10人在戒烟前和戒烟后的体重的方差；(3)通过上述数据，你能得到什么结论?分析：用计算器求一组数据的平均数、方差，要严格按教材上的说明和不同型号的计算器的不同功能进行操作，否则极易出错；问题(3)具有一定的开放性，要注卷找出数学问题与实际问题的结合点，确定思考的方向，并用简洁和准确的语言加以表述．解答：(1)将数据按大小重新排列：戒烟前：52，52，55，55，60，60，64，67，69，80；戒烟后：52，54，55，57，58，62，67，68，70，81；用计算器求得：=61.4(kg), =62.4(kg)．(2) =70.44, =73.84．(3)从戒烟前后两组数据的统计量知：①从平均数看戒烟后这10人的平均体重增加了l kg；②从方差看，戒烟后数据的波动比戒烟前数据的波动大，说明戒烟对不同的人所发生的变化程度是不同的，通过对这两组数据的统计分析，得出结论：吸烟有害健康，戒烟对身体健康是有益的．例6、竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由．分析：这是一道开放型问题，要判断这两个组竞赛成绩的优次，应从众数、方差、中位数、高分段人数等多角度分析．解答：(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些；(2) [2(50－80)2＋5(60－80)2＋10(70－80)2＋13(80－80)2＋14(90-80)2＋6(100－80)2]=172同理可算出=256．因为，所以甲组成绩较乙组成绩好．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人，从这一角度看甲组的成绩总体较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩高于90分的人数为14＋6=20(人)，乙组成绩高于90分的人数为12＋12=24(人)．所以乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好．方法总结：(1)解这类题目要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算，而不能习惯性地仅由方差的大小决定哪一组的优劣，应从实际出发做多角一度的分析；(2)要在恰当地作出评估后组织好正确的语言作出结论；(3)这类开放型题是知识的综合运用，必须要有扎实的功底、综合解题的能力和较好的语言表述能力．。
§21.3.1 极差、方差与标准差
=____________________________________ 2.规律一：若一组数据 X1、X2......Xn 的方差是 S ，则一组新数据 X1+a，X2+a，......Xn+a 方差是 S 。 规律二：若一组数据 X1、X2......Xn 的方差是 S ，则一组新数据 aX1，aX2，.......aXn 方差是 a S
）
8
C.3 , 8
D.
8 ， 5
解析：由平均数可知（3+6+a+4+2）÷( )==5,得 a==（ ） 2 所以 S =___________________________________;S=_________ 3、计算一组数据：8，9，10，11，12 的方差为（ ） 4、 （2011•湛江）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人 10 次射箭成绩的平均数都是 8.9 环，方差 分别是 S 甲 =0.65，S 乙 =0.55，S 丙 =0.50，S 丁 =0.45，则射箭成绩最稳定的是（
A、甲 B、乙 C、丙 D、丁
2 2 2 2
）
5、如果一组数据 x1、x2、„x5 的方差是 3，那么另一组数据 2x1-1、2x2-1、„2x5-1 的方差是 ( ) A、3 B、6 C、11 D、12 6、数据 X1、X2......Xn 的方差是 4，则数据 3X1+2，3X2+2，......，3Xn +2 的方差_______________ 7.若样本 x1， 2， x „„， n 的平均数为 x =5， x 方差 S =0.025， 则样本 4x1， 2， 4x „„， n 的平均数 x =_____， 4x 方差 S =_______． 三、知识巩固与运用（15 分钟左右 学生独立完成后小组互评及分组展示） 1、用一组数据中的_________来反应这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差． 2、 （2006，长春市）5 名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（•单位：cm） ：2，-2，-1， 1，0，则这组数据的极差为______cm． 3、 （2006，芜湖市）一组数据 5，8，x，•10，•4•的平均数是 2x，•则这组数据的方差是________． 4、甲、乙二人在相同情况下，各射靶 10 次，两人命中环数的平均数 x 甲= x 乙=7， 方差 S 甲 =3，S 乙 =1.2，则射击成绩较稳定的是（ ） A．甲 B．乙 C．一样 D．不能确定 5、若样本 1，2，3，x 的平均数为 5，又样本 1，2，3，x，y 的平均数为 6，则样本 1，2，3，x，y 的 极差是_______，方差是_______，标准差是______． 6、甲、乙两八年级学生在一学期里多次检测中，其数学成绩的平均分相等，•但他们成绩的方差不等， 那么正确评价他们的数学学习情况的是（ ） A．学习水平一样 B．成绩虽然一样，但方差大的学生学习潜力大 C．虽然平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定 D．方差较小的学习成绩不稳定，忽高忽低 7、数据 x1，x2， xn 的平均数为 x ，方差为 s 中位数为 a，则数据 3x1 +5，3x2 +5， 3xn +5 的平均数、
八年级数学《极差、方差和标准差》知识点教学文案
解： （ 1） 28－ 22＝6（天）
所以， 10 盆花的花期最多相差 6 天．
（ 2） 由 平 均 数 公 式 得 ：
x乙＝ 1 (27 24 24 27 23）＝25 5
1 x甲＝ (25
5
23 28
22 27）＝25
得 x甲＝x乙 ，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．
（ 3）由方差公式得：
(102 100.3) 2 ]＝9.21
甲队的标准差：
5.61 2.37 ； 乙队的标准差：
9.21 3.03
所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发 挥更为稳定一些． 例 2、对 10 盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把 10 盆花分成两组，每组 5 盆，记录其 花期：
标准
差的单位与原数据的单位相同． 在解决实际问题时， 常用样本的方差来估计总体方差方法去
考察总体的波动情况．
二、例题讲析
例 1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行
10 次比赛得分如下：
甲队： 100， 97， 99， 96， 102， 103， 104，101， 101， 100
乙队： 97， 97，99， 95，102， 100， 104，104， 103， 102
2
S甲
1 [( 25 25) 2 (23 25) 2 (28 25) 2 ( 22 25) 2 (27 25)2 ]＝5.2
10
S乙 2 1 [( 27 25) 2 (24 25)2 (24 25) 2 5
得 S甲2 S乙2 故施用乙种花肥，效果比较可靠
(27 25)2
(23 25) 2 ]＝2.8
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义务教育课程标准实验教科书
八年ห้องสมุดไป่ตู้下册
复习
1.数据-3，-2，1，2，4，4的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；
2.数据-4，-3，-1，4，4，6的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；
导入 1.数据-3，-2，1，2，4，4的平均数是 1 ，中位数是 1.5，众数是 4 ；
广州 20℃ 22℃ 23℃ 25℃ 23℃ 21℃
分别求出这一天两地的温差。
探究
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乌鲁木 齐
10℃ 14℃ 20℃ 24℃ 19℃ 16℃
广州 20℃ 22℃ 23℃ 25℃ 23℃ 21℃
乌鲁木齐：24-10=14(℃) 广州： 25-20=5(℃)
乌鲁木 齐
10℃ 14℃ 20℃ 24℃ 19℃ 16℃
广州 20℃ 22℃ 23℃ 25℃ 23℃ 21℃
乌鲁木齐：24-10=14(℃) 广州： 25-20=5(℃)
Ⅲ.极差受什么影响较大？
归纳
极差的意义：
极差能够反映数据的变化范围， 它是最简单的一种度量数据波动情况 的量，但它受极端值的影响较大。也 就是说，极差只能反映数据的波动范 围，而不能具体反映所有数据的波动 情况。
上述求差的方法是怎样的？
归纳
极差的定义： 一组数据中的最大数据与最小数
据的差叫做这组数据的极差。
巩固
1.数据 -3，-2，1，2，4，4 的极差
是
；
2.数据 -4，-3，-1，4，4，6 的极差 是；
范例 例1.已知数据 1，-3，0， x 的极差 是 5，求 x 的值。
你能确定最大值和最小值吗
分类讨论方法
探究
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乌鲁木 齐
10℃ 14℃ 20℃ 24℃ 19℃ 16℃
广州 20℃ 22℃ 23℃ 25℃ 23℃ 21℃
乌鲁木齐：24-10=14(℃) 广州： 25-20=5(℃)
Ⅰ.由上述计算你能得到什么信息？
探究
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乌鲁木 齐
10℃ 14℃ 20℃ 24℃ 19℃ 16℃
广州 20℃ 22℃ 23℃ 25℃ 23℃ 21℃
乌鲁木齐：24-10=14(℃) 广州： 25-20=5(℃)
Ⅱ.极差反映了数据的什么情况？
探究
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16︰ 00
20︰ 00
2.数据-4，-3，-1，4，4，6的平均数是 1 ，中位数是 1.5，众数是 4 ；
这两组数据所刻画的内容或所反 映的性质一样吗？
探究
某日在不同时段测得乌鲁木齐和 广州的气温情况如下：
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12︰ 00
16︰ 00
20︰ 00
乌鲁木 齐
10℃ 14℃ 20℃ 24℃ 19℃ 16℃
什么是一组数据的极差? 极差反映了这组数据哪方面的特征?
一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫做这 组数据的极差，极差反映的是这组数据的变化范 围或变化幅度．