第20讲数论综合二完整版

三年级数学思维训练[1]1

50-三年级期末复习与检测4
整数计算综合
还原问题
数阵图初步
竖式问题
几何图形简拼
路程、时间、速度
01-整数计算综合（1）
02-整数计算综合（2）
03-还原问题（1）
04-还原问题（2）
05-数阵图初步（1）
06-数阵图初步（2）
07-竖式问题（1）
08-竖式问题（2）
09-竖式问题（3）
10-竖式问题（4）
37-长度计算1
38-长度计算2
39-长度计算3
40-角度的计算1
41-角度的计算2
42-角度的计算3
43-找位置1
44-找位置2
火柴棍算式与生活趣题
三年级期末复习与检测
45-火柴棍算式与生活趣题1
46-火柴棍算式与生活趣题2
47-三年级期末复习与检测1
48-三年级期末复习与检测2
49-三年级期末复习与检测3
11-几何图形简拼（1）
12-几何图形简拼（2）
13-几何图形简拼（3）
14-几何图形简拼（4）
15-路程、时间、速度（1）
16-路程、时间、速度（2）
17-路程、时间、速度（3）
18-路程、时间、速度（4）
行程中的线段图
简单抽屉原理
基本直线形面积公式
底、高的选取与组合
变倍问题
和差倍中的分组比较
19-行程中的线段图（1）
复杂数阵图
有特殊要求的挑选
捆绑法与插空法
最值问题一
40-多次往返相遇与追与1
41-多次往返相遇与追与2
42-多次往返相遇与追与3
43-多次往返相遇与追与4
44-从洛书到幻方1
45-从洛书到幻方2

数论2

扩展的辗转相除法的一个应用
• 二元一次不定方程的概念：ax+by=c • 如何解二元一次不定方程？
– 当ax+by=gcd(a,b)时同余方程
• 问题的提出：Vijos1009 • 线性同余方程的概念：ax≡b (mod n) • 如何解线性同余方程？
– 无解的情况 – 求一个解 – 求出所有解
扩展的辗转相除法
• 结论：对于互素两数a和b，总存在两数x和 y，使得ax+by=1 • 更强的结论：对于任意正整数a和b，总存在两数x和y，使得ax+by=gcd(a,b) • 证明：以273和110为例 • 1=53-4x13 • 4=110-53x2 • 将后式代入前式
扩展的辗转相除法
type rec=record v,x,y:integer; end; function extended_gcd(a,b:integer):rec; var t:rec; begin if b=0 then begin gcd.v:=a;gcd.x:=1;gcd.y:=0;end else begin t:=gcd(b,a mod b); gcd.v:=t.v; gcd.x:=t.y; gcd.y:=t.x-(a div b)*t.y; end; end;
同余运算
• • • • 余数的概念同余的概念同余的表示方法同余的性质
– 同余关系：等价关系 – 若a ≡b，c ≡d (mod m)，则……
• 一个例题
– 证明：63!≡61! (mod 71)
解线性同余方程的代码
解ax≡b (mod n)：
d:=extended_gcd(a,n) if b mod d.v<>0 then no_answer; e:=d.x*(b div d.v) mod n; for i:=0 to d.v-1 do ans[i+1]:=(e+i*n div d.v)mod n;

数论综合二

学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

学科培优数学“数论综合二”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。

翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。

在小学各类数学竞赛和小升初考试中，我们系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。

知识梳理涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．例题精讲【试题来源】【题目】一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算．为了显示出222222，最少要按“7”键多少次?【答案】21【解析】222222÷7＝31746，即222222＝70000×3+7000×1+700×7+70×4+7×6，而70000，7000，700，70，7均只用按一次7，所以222222最少只用按3+1+7+4+6＝21次“7”键即可显示．【知识点】数论综合二【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本．那么这批图书共有本．【答案】670【解析】经分析发现，原书的本书如果多2本，那么原来书的数目就会同时是24，28，32的倍数，而，[24,28,32]=672，且原书的本书不超过1000本，所以原来的书有672-2=670(本)【知识点】数论综合二【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是 .【答案】2007×18和2007×27【解析】这个五位数等于各位数字之和乘以2007，2007是3，3，223，三个数字之积，所以这个五位数是9的倍数，各位数字之和也是9的倍数（一个数是9的倍数，那么它的各位数字之和也是9的倍数，）所以这个五位数可能是2007×9，2007×18，2007×27，2007×36……容易得出：2007×18和2007×27符合题目.【知识点】数论综合二【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99.一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面.例如一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而两次操作后得到7，8，…，98，99，6，15.这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是 .【答案】4950【解析】观察规律发现，最后一个数字即为1到99的和，为4950.【知识点】数论综合二【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】有两种规格的9箱钢珠，每箱300个，甲种钢珠每个10克，乙种钢珠每个11克，将这9箱钢珠编为1~9号，然后依次从1~9号箱中取出20，21，22，23，24，25，26，27，28，个钢珠，这些钢珠共重5555克。

数论2

但是5^6546640仍旧有400多万位
但是我们可以利用同余模定理在o（n）的时间里算出来
在这里介绍求元素的幂 X^n （ X和 n均为非负整数）的两种算法，一个是递归求解，另外一个是用反复平方法
递归求解：
当我们计算 X^n 时，当n=0，结果为 1，这可以看做递归的基准情况，当n为偶数时，X^n=(X^2)^(N/2)，当n是基数时， X^n=(X^2)^((n-1)/2)*X。
将其改变形式为：
X mod lcm(m[1], m[2]) = x。
令M = lcm(m[1], m[2]), R = x，则有新的模方程X mod M = R。此时，可以发现我们将x mod m[1] = r[1]，x mod m[2] = r[2]合并为了一个式子X mod lcm(m[1], m[2]) = x。满足后者的X一定满足前两个式子。每两个式子都可以通过该方法化简为一个式子。那么我们只要重复进行这个操作，就可以将 n个方程组化简为一个方程，并且求出一个最后的解了。
若N是质数p的k次幂(即N=p^k)，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。
(2)mn型欧拉函数
设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。 (3)特殊性质: 若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。对于任何两个互质的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)此公式即欧拉定理当n=p 且 a与素数 p 互质 ( 即 :gcd(a,p)=1) 则上式有 : a^(p-1)=1 mod n (恒等于)此公式即费马小定理
05
元素的幂

高斯小学奥数四年级下册含答案第20讲_复杂抽屉原理

第二十讲复杂抽屉原理在《简单抽屉原理》中，我们学习了运用抽屉原理处理一些简单问题，以及最不利原则的一些简单应用．抽屉原理：把m个苹果放入n个抽屉（m大于n），结果有两种可能：（1）如果m n÷”个苹果；÷没有余数，那么一定有抽屉至少放了“m n（2）如果m n÷的商再加1”个苹果．÷有余数，那么一定有抽屉至少放了“m n例题1（1）口袋里有四种颜色的球，每种颜色足够多，一次至少要取几个球，才能保证其中一定有两个颜色相同？（2）口袋里有四种颜色的球，每种颜色足够多，一次至少要取几个球，才能保证其中一定有四个颜色相同？「分析」第（1）题中，好好思考一下，如果要想取出的球颜色都不相同，那么最多可以取出多少个球呢？练习1箱子里有12种形状不同的积木，每种都足够多，一次至少要取几个，才能保证其中一定有三个形状相同？本讲，我们要学习抽屉原理在计数、数字、表格、图形等具体问题中较复杂的应用．要能根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还要构造出能达到最佳效果的例子．例题2盒子里有四色球各100个，每次从中摸出2个球，请问：至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出球的颜色情况是相同的？「分析」从盒子中取出2个球，颜色情况一共有多少种可能呢？练习2小高把一副围棋混装在一个盒子里，然后每次从盒子中摸出4枚棋子，请问：他至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）例题3将下图3行7列的方格纸的每格染成红色、黄色或绿色，要求每列的三个方格所染的颜色互不相同．请说明不管怎么染，至少有两列染色方式是一样的．「分析」题目要求我们说明有两列的染色方法一样，因此我们应该先考虑每列能够怎么染色．方格纸一共有5列，根据抽屉原理，只要每列染色的方法少于5种，就会有两列染色方式一样．那每列有哪些不同的染色方式呢？练习3将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明不管怎么染，至少有两列染色方式是一样的．有很多抽屉原理的题目是与数字结合的，运用数字相关的一些知识来构造抽屉，这也是我们本讲要学习的重要内容．例题41至30这30个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于31？至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于3？「分析」第（1）要求取出的数中，才能保证一定有两个数和为31，那么我们应该首先考虑一下，要想使得任意两数之和都不等于31，我们最多可以取出多少数呢？练习41至20这20个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于21？至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于5？除了利用与数字相关的知识来构造抽屉之外，还有一些与图形周长、面积相关的问题．这类问题往往需要根据图形特点进行分割，从而构造出抽屉．例题5（1）在一个边长为2的正方形里随意放入3个点，这3个点所能连出的三角形面积最大是多少？（2）在边长为4的正方形中随意放入9个点，这9个点中任何三点不共线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过2．（本题中的点都可以放在正方形的边界上）「分析」（1）在边长为2的正方形中放入3个点，我们比较容易想到正方形的三个顶点，三个顶点构成的三角形面积为2．那能否说明放在任意位置三角形面积都不超过2呢？（2）由（1）的结论，正方形内3个点构成的三角形面积不超过正方形面积的一半．应该如何来构造抽屉呢？例题6试说明：任意六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人．「分析」我们不妨画个图来分析一下六个人之间的关系，用实线表示认识，用虚线表示不认识．思考一下，根据抽屉原理，你会发现其中的一个人“甲”与其他5个人的关系可能会是什么情况呢？课堂内外狄利克雷狄利克雷（Dirichilet，Peter Gustay Lejeune）德国数学家，1805年2月13日生于德国迪伦，1859年5月5日卒于格丁根．狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以高斯为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期．狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，称为高斯之后与C.G.J.雅强比（Jacobi）齐名的德国数学界的一位核心人物．狄利克雷出身于行政官员家庭，他父亲是一名邮政局长．狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣，据说他在12岁前就自己攒零钱购买数学图书．1987年入波恩的一所中学，除数学外，他对近代史有特殊爱好，人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生．两年后，他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校，在那里曾师从物理学家欧姆，学到了必要的物理学基础知识．16岁通过中学毕业考试后，父母希望他攻读法律，但狄利克雷已选定数学为其终身职业．当时的德国数学界，除高斯一人名噪欧洲外，普遍水平较低；又因高斯不喜好教学，于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学，那里有一批灿如明星的数学家．1822年5月，狄利克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读．1825年，狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文；1826年，狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的A.洪堡的影响下，返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格，后升任编外教授．1828年，狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术氛围较浓厚的柏林，任教于柏林军事学院．同年，他又被聘为柏林大学编外教授，开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯．由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，淳淳善诱，培养了一批优秀数学家，对德国成为19世纪后期国际上又一个数学中心产生了巨大影响．1831年，狄利克雷称为柏林科学院院士．1855年高斯去世，狄利克雷被选定作为高斯的继任到格丁根大学任教．1858年夏，他去瑞士蒙特勒开会，做纪念高斯的演讲，突发心脏病．他安全返回了格丁根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于1859年春与世长辞．作业1. 箱子里有5种颜色相同的积木，每种都足够多，那么一次至少要取多少个，才能保证一定有5个颜色相同？2. 小高把一副围棋棋子混装在一个盒子里，然后每次从盒子里左右手各摸出1枚棋子，那么他至少要摸多少次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）3. 从1至50中，至少取出多少个数，才能保证一定有两个数的和是奇数？4. 能否在4行4列的方格表的每个空格中分别填上1、2、3这三个数之一，而使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数之和互不相同？5．任意写一个由数字1，2，3组成的十一位数，从这个十一位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，至少有两个相等．第二十讲复杂抽屉原理1.例题1答案：5；13详解：（1）利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的球中，每种颜色都有且仅有1个，再任意取一个就可以满足要求．所以至少要取415+=个才能保证一定有两个颜色相同．（2）利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的球中，每种颜色都有且仅有3个，再任取一个就可以满足要求．所以至少要取43113⨯+=个才能保证一定有四个颜色相同．2.例题2答案：21详解：摸出两个球，颜色共有10种可能（枚举可得），即10个抽屉．利用最不利原则，最倒霉的情况是，摸出的所有球中，每一种颜色情况都出现了2次，再任意取一次就可以满足要求．所以至少要取102121⨯+=次才能保证一定有三次摸出球的颜色情况是相同的．3.例题3答案：证明略详解：每一列三个方格染色情况共有333216A=⨯⨯=种可能．一共有7列，7611÷=，所以一定至少有两列染色方式是一样的．4.例题4答案：16个；16个详解：（1）把1~30这30个数分为如下15组——（1，30）、（2，29）、（3，28）、……、（15，16），每一组的两个数之和都是31，而且不是同组的两个数之和一定不等于31．利用最不利原则，最倒霉的情况是，所取的所有数恰好是每组中各一个，那么再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出15116+=个数，才能保证一定有两个数的和等于31．（2）把1~30这30个数进行如下分组：（1，4，7，10，13，16，19，22，25，28）（2，5，8，11，14，17，20，23，26，29）（3，6，9，12，15，18，21，24，27，30）共3组，每组有10个数，连续两个数的差都是3，不连续的3个数的差都不为3，而且不同组的两个数之差一定不是3．利用最不利原则，每组都先隔一个取，即各取5个，那么再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出53116⨯+=个才能保证一定有两个数的差为3．5. 例题5答案：（1）2；（2）证明略详解：面积最大为正方形的一半，即2222⨯÷=．此时，其中两个点恰好为某一条边的两个端点，第三个点在该边的对边上．把边长为4的正方形分成4个22⨯的小正方形．9个点放进去，9421÷=，那么一定至少有3个点是在同一个小正方形中的．那么这3个点所构成的三角形面积一定不超过2（即第1问）．6. 例题6答案：不能详解：用实线相连表示认识，虚线相连表示不认识，如图，A 和其他5个人，要么认识，要么不认识，所以一定有三条线是相同的，假设有3条是实线：接下来连接B 、C 、D 三个人，每两个人只有两种连接方法，要么实线、要么虚线．如果有实线，则这两个人与A 三人互相认识；如果全是虚线相连，则B 、C 、D 三人互相不认识．即证．7. 练习1答案：25简答：利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的积木中，每种形状都有且仅有2个，再任取一个就可以满足要求．所以至少要取122125⨯+=个才能保证一定有四个颜色相同．8. 练习2答案：11简答：摸出4枚棋子，颜色共有5种可能（枚举可得），即5个抽屉．利用最不利原则，最倒霉的情况是，摸出的所有棋子中，每一种颜色情况都出现了2次，再任意取一次就可以满足要求．所以至少要取52111⨯+=次才能保证一定有三次摸出棋子的颜色情况是相同的．9. 练习3答案：证明略简答：每一列两个方格染色情况共有224⨯=种可能．共5列，5411÷=．10.练习4答案：11个；11个简答：（1）把1~20这20个数分为如下10组——（1，20）、（2，19）、（3，18）、……、（10，11），每一组的两个数之和都是21，而且不是同组的两个数之和一定不等于21．利用最不利原则，最倒霉的情况是，所取的所有数恰好是每组中各一个，那么+=个数，才能保证一定有两再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出10111个数的和等于21．（2）把1~20这20个数进行如下分组：（1，6，1，16）（2，7，12，17）（3，8，13，18）（4，9，14，19）（5，10，15，20）共5组，每组有4个数，连续两个数的差都是5，不连续的2个数的差都不为5，而且不同组的两个数之差一定不是5．利用最不利原则，每组都先隔一个取，即各取2个，那么再任意取一个即可满足要⨯+=个才能保证一定有两个数的差为3．求，所以至少要取出2511111.作业1答案：21简答：应用最不利原则，要保证一定有5个颜色相同，则首先每种颜色都取4个，⨯+=个．再任取1个即可．所以至少要取5412112.作业2答案：9简答：从盒子里左右手各摸出1枚围棋棋子，共有黑黑、黑白、白黑、白白四种可能．要保证有三次摸出棋子颜色情况相同，应用最不利原则，当每种情况都出现了两次时，再随意摸出一次，就一定有三次的颜色情况是相同的，即至少要摸出⨯+=次．241913.作业3答案：26简答：要保证一定有两个数的和是奇数，即要保证一定有两个数奇偶性不同，1至50中，共有25个奇数、25个偶数，所以至少要取出25126+=个数，才能保证一定有两个数奇偶性不同．14.作业4答案：不能简答：44⨯的方格表，行和、列和、对角线和共有10个．当把1、2、3填进去时，4个数的和最小为144⨯=，最大为3412⨯=，共有9种可能，所以行和、列和、对角线和这10个数不可能互不相同．15.作业5答案：证明略简答：由数字1、2、3组成的十一位数，任意截取相邻两位，所得的两位数所包含的十位、个位两个数字只可能是1、2、3，所以这样的两位数一共有339⨯=种可能．而从十一位数字中截取的两位数一共会有10个，10911÷=，所以至少有两个所截两位数是相等的．。

小学五年级下同步奥数20讲(五年级秋季同步奥数校外培训资料)

第一讲：分数计算技巧（裂项）第二讲：分数计算技巧第三讲：圆和扇形的周长与面积（一）第四讲：圆和扇形的周长与面积（二）第五讲：分数应用题第六讲：燕尾模型第七讲：工程问题第八讲：因数与倍数——公因数公倍数第九讲：解分数系数方程第十讲：列分数系数方程解应第十一讲：多人相遇与追及第十二讲：多人相遇与追及第十三讲：因数与倍数——约数倍数综合运用第十四讲：游戏与对策（二）——数论类游戏第十五讲：比例应用题（一）——份数的应用第十六讲;完全平方数（一）第十七讲：数字谜综合（一）第十八讲：完全平方数（二）第十九讲：进位制与位值原第二十讲：本期重、难点归(美国长岛小学数学竞赛)111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯(第五届《小数报》数学竞赛初赛计算题第3题)计算11111123420261220420+++++111111118244880120168224288+++++++(2009年迎春杯初赛六年级)计算111125=1335572325⎛⎫⨯++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭(第三届祖冲之杯邀请赛填空题第12题、人大附中入学测试题) 计算36579111357612203042++++++计算57911131517191612203042567290-+-+-+-+知识小结：1．黄金数列2．裂差：先裂再碎，掐头去尾。

抵消3．裂和凑整在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．1111112612203042+++++A．167B．117C．17D．672．111111112345676122030425672++++++A．12818B．72718C．12918D．728183．11111111111111 3610152128364555667891105120+++++++++++++A．18B．98C．78D．7104．2222......1335579799++++⨯⨯⨯⨯A．9899B．98199C．199D．11995．12＋56＋1112＋……＋109110A．101011B．91011C．9111D．101116．179111315131220304256-+-+-A．18B．98C．78D．710(10＋876＋312)×(876＋312＋918)－(10＋876＋312＋918) ×(876＋312)2009年第14届华杯赛决赛试题C 卷1111111111111111())()5791179111357911137911+++⨯+++-++++⨯++（）（1．(迎春杯竞赛试题)1111111111112200723200822008232007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2．(迎春杯竞赛试题)621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(祖冲之杯竞赛试题)111111212312100++++++++++1＋2＋4＋8＋…＋512 ＝？知识小结：1、换元抵销法2、通项抵消找规律3、借来还去在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．(1＋0.12＋0.23)⨯(0.12＋0.23＋0.34)－(1＋0.12＋0.23＋0.34)⨯(0.12＋0.23) A．0.12 B．0.34 C．0.23 D．0.562．11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++A．12B．13C．14D．153．321345432345432123321345432123345432 ()()()() 123234543234543321123234543321234543 ++⨯++-+++⨯+ A．1 B．2 C．3 D．44．573734573473()()()() 123217321713123217133217 ++⨯++-+++⨯+A．512B．413C．395D．5265．11111212312341299+++⋅⋅⋅+++++++++⋅⋅⋅+A．14950B．1150C．4950D．11506．计算：12＋14＋18＋116＋132＋164A．16364B．1164C．6364D．164圆是最美的图形1．圆上各点到圆心的距离相等。

高斯小学奥数四年级下册含答案第20讲_复杂抽屉原理

第二十讲复杂抽屉原理在《简单抽屉原理》中，我们学习了运用抽屉原理处理一些简单问题，以及最不利原则的一些简单应用．抽屉原理：把m个苹果放入n个抽屉（m大于n），结果有两种可能：（1）如果m n÷”个苹果；÷没有余数，那么一定有抽屉至少放了“m n（2）如果m n÷的商再加1”个苹果．÷有余数，那么一定有抽屉至少放了“m n例题1（1）口袋里有四种颜色的球，每种颜色足够多，一次至少要取几个球，才能保证其中一定有两个颜色相同？（2）口袋里有四种颜色的球，每种颜色足够多，一次至少要取几个球，才能保证其中一定有四个颜色相同？「分析」第（1）题中，好好思考一下，如果要想取出的球颜色都不相同，那么最多可以取出多少个球呢？练习1箱子里有12种形状不同的积木，每种都足够多，一次至少要取几个，才能保证其中一定有三个形状相同？本讲，我们要学习抽屉原理在计数、数字、表格、图形等具体问题中较复杂的应用．要能根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还要构造出能达到最佳效果的例子．例题2盒子里有四色球各100个，每次从中摸出2个球，请问：至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出球的颜色情况是相同的？「分析」从盒子中取出2个球，颜色情况一共有多少种可能呢？练习2小高把一副围棋混装在一个盒子里，然后每次从盒子中摸出4枚棋子，请问：他至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）例题3将下图3行7列的方格纸的每格染成红色、黄色或绿色，要求每列的三个方格所染的颜色互不相同．请说明不管怎么染，至少有两列染色方式是一样的．「分析」题目要求我们说明有两列的染色方法一样，因此我们应该先考虑每列能够怎么染色．方格纸一共有5列，根据抽屉原理，只要每列染色的方法少于5种，就会有两列染色方式一样．那每列有哪些不同的染色方式呢？练习3将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明不管怎么染，至少有两列染色方式是一样的．有很多抽屉原理的题目是与数字结合的，运用数字相关的一些知识来构造抽屉，这也是我们本讲要学习的重要内容．例题41至30这30个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于31？至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于3？「分析」第（1）要求取出的数中，才能保证一定有两个数和为31，那么我们应该首先考虑一下，要想使得任意两数之和都不等于31，我们最多可以取出多少数呢？练习41至20这20个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于21？至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于5？除了利用与数字相关的知识来构造抽屉之外，还有一些与图形周长、面积相关的问题．这类问题往往需要根据图形特点进行分割，从而构造出抽屉．例题5（1）在一个边长为2的正方形里随意放入3个点，这3个点所能连出的三角形面积最大是多少？（2）在边长为4的正方形中随意放入9个点，这9个点中任何三点不共线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过2．（本题中的点都可以放在正方形的边界上）「分析」（1）在边长为2的正方形中放入3个点，我们比较容易想到正方形的三个顶点，三个顶点构成的三角形面积为2．那能否说明放在任意位置三角形面积都不超过2呢？（2）由（1）的结论，正方形内3个点构成的三角形面积不超过正方形面积的一半．应该如何来构造抽屉呢？例题6试说明：任意六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人．「分析」我们不妨画个图来分析一下六个人之间的关系，用实线表示认识，用虚线表示不认识．思考一下，根据抽屉原理，你会发现其中的一个人“甲”与其他5个人的关系可能会是什么情况呢？课堂内外狄利克雷狄利克雷（Dirichilet，Peter Gustay Lejeune）德国数学家，1805年2月13日生于德国迪伦，1859年5月5日卒于格丁根．狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以高斯为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期．狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，称为高斯之后与C.G.J.雅强比（Jacobi）齐名的德国数学界的一位核心人物．狄利克雷出身于行政官员家庭，他父亲是一名邮政局长．狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣，据说他在12岁前就自己攒零钱购买数学图书．1987年入波恩的一所中学，除数学外，他对近代史有特殊爱好，人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生．两年后，他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校，在那里曾师从物理学家欧姆，学到了必要的物理学基础知识．16岁通过中学毕业考试后，父母希望他攻读法律，但狄利克雷已选定数学为其终身职业．当时的德国数学界，除高斯一人名噪欧洲外，普遍水平较低；又因高斯不喜好教学，于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学，那里有一批灿如明星的数学家．1822年5月，狄利克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读．1825年，狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文；1826年，狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的A.洪堡的影响下，返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格，后升任编外教授．1828年，狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术氛围较浓厚的柏林，任教于柏林军事学院．同年，他又被聘为柏林大学编外教授，开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯．由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，淳淳善诱，培养了一批优秀数学家，对德国成为19世纪后期国际上又一个数学中心产生了巨大影响．1831年，狄利克雷称为柏林科学院院士．1855年高斯去世，狄利克雷被选定作为高斯的继任到格丁根大学任教．1858年夏，他去瑞士蒙特勒开会，做纪念高斯的演讲，突发心脏病．他安全返回了格丁根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于1859年春与世长辞．作业1. 箱子里有5种颜色相同的积木，每种都足够多，那么一次至少要取多少个，才能保证一定有5个颜色相同？2. 小高把一副围棋棋子混装在一个盒子里，然后每次从盒子里左右手各摸出1枚棋子，那么他至少要摸多少次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）3. 从1至50中，至少取出多少个数，才能保证一定有两个数的和是奇数？4. 能否在4行4列的方格表的每个空格中分别填上1、2、3这三个数之一，而使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数之和互不相同？5．任意写一个由数字1，2，3组成的十一位数，从这个十一位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，至少有两个相等．第二十讲复杂抽屉原理1.例题1答案：5；13详解：（1）利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的球中，每种颜色都有且仅有1个，再任意取一个就可以满足要求．所以至少要取415+=个才能保证一定有两个颜色相同．（2）利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的球中，每种颜色都有且仅有3个，再任取一个就可以满足要求．所以至少要取43113⨯+=个才能保证一定有四个颜色相同．2.例题2答案：21详解：摸出两个球，颜色共有10种可能（枚举可得），即10个抽屉．利用最不利原则，最倒霉的情况是，摸出的所有球中，每一种颜色情况都出现了2次，再任意取一次就可以满足要求．所以至少要取102121⨯+=次才能保证一定有三次摸出球的颜色情况是相同的．3.例题3答案：证明略详解：每一列三个方格染色情况共有333216A=⨯⨯=种可能．一共有7列，7611÷=，所以一定至少有两列染色方式是一样的．4.例题4答案：16个；16个详解：（1）把1~30这30个数分为如下15组——（1，30）、（2，29）、（3，28）、……、（15，16），每一组的两个数之和都是31，而且不是同组的两个数之和一定不等于31．利用最不利原则，最倒霉的情况是，所取的所有数恰好是每组中各一个，那么再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出15116+=个数，才能保证一定有两个数的和等于31．（2）把1~30这30个数进行如下分组：（1，4，7，10，13，16，19，22，25，28）（2，5，8，11，14，17，20，23，26，29）（3，6，9，12，15，18，21，24，27，30）共3组，每组有10个数，连续两个数的差都是3，不连续的3个数的差都不为3，而且不同组的两个数之差一定不是3．利用最不利原则，每组都先隔一个取，即各取5个，那么再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出53116⨯+=个才能保证一定有两个数的差为3．5. 例题5答案：（1）2；（2）证明略详解：面积最大为正方形的一半，即2222⨯÷=．此时，其中两个点恰好为某一条边的两个端点，第三个点在该边的对边上．把边长为4的正方形分成4个22⨯的小正方形．9个点放进去，9421÷=，那么一定至少有3个点是在同一个小正方形中的．那么这3个点所构成的三角形面积一定不超过2（即第1问）．6. 例题6答案：不能详解：用实线相连表示认识，虚线相连表示不认识，如图，A 和其他5个人，要么认识，要么不认识，所以一定有三条线是相同的，假设有3条是实线：接下来连接B 、C 、D 三个人，每两个人只有两种连接方法，要么实线、要么虚线．如果有实线，则这两个人与A 三人互相认识；如果全是虚线相连，则B 、C 、D 三人互相不认识．即证．7. 练习1答案：25简答：利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的积木中，每种形状都有且仅有2个，再任取一个就可以满足要求．所以至少要取122125⨯+=个才能保证一定有四个颜色相同．8. 练习2答案：11简答：摸出4枚棋子，颜色共有5种可能（枚举可得），即5个抽屉．利用最不利原则，最倒霉的情况是，摸出的所有棋子中，每一种颜色情况都出现了2次，再任意取一次就可以满足要求．所以至少要取52111⨯+=次才能保证一定有三次摸出棋子的颜色情况是相同的．9. 练习3答案：证明略简答：每一列两个方格染色情况共有224⨯=种可能．共5列，5411÷=．10.练习4答案：11个；11个简答：（1）把1~20这20个数分为如下10组——（1，20）、（2，19）、（3，18）、……、（10，11），每一组的两个数之和都是21，而且不是同组的两个数之和一定不等于21．利用最不利原则，最倒霉的情况是，所取的所有数恰好是每组中各一个，那么+=个数，才能保证一定有两再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出10111个数的和等于21．（2）把1~20这20个数进行如下分组：（1，6，1，16）（2，7，12，17）（3，8，13，18）（4，9，14，19）（5，10，15，20）共5组，每组有4个数，连续两个数的差都是5，不连续的2个数的差都不为5，而且不同组的两个数之差一定不是5．利用最不利原则，每组都先隔一个取，即各取2个，那么再任意取一个即可满足要⨯+=个才能保证一定有两个数的差为3．求，所以至少要取出2511111.作业1答案：21简答：应用最不利原则，要保证一定有5个颜色相同，则首先每种颜色都取4个，⨯+=个．再任取1个即可．所以至少要取5412112.作业2答案：9简答：从盒子里左右手各摸出1枚围棋棋子，共有黑黑、黑白、白黑、白白四种可能．要保证有三次摸出棋子颜色情况相同，应用最不利原则，当每种情况都出现了两次时，再随意摸出一次，就一定有三次的颜色情况是相同的，即至少要摸出⨯+=次．241913.作业3答案：26简答：要保证一定有两个数的和是奇数，即要保证一定有两个数奇偶性不同，1至50中，共有25个奇数、25个偶数，所以至少要取出25126+=个数，才能保证一定有两个数奇偶性不同．14.作业4答案：不能简答：44⨯的方格表，行和、列和、对角线和共有10个．当把1、2、3填进去时，4个数的和最小为144⨯=，最大为3412⨯=，共有9种可能，所以行和、列和、对角线和这10个数不可能互不相同．15.作业5答案：证明略简答：由数字1、2、3组成的十一位数，任意截取相邻两位，所得的两位数所包含的十位、个位两个数字只可能是1、2、3，所以这样的两位数一共有339⨯=种可能．而从十一位数字中截取的两位数一共会有10个，10911÷=，所以至少有两个所截两位数是相等的．。

M06A+025 数论综合(二)

数论综合（二）（整除）姓名：日期：成绩：1．六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和，一个人是另一个人的2倍，则丙手中卡片上的数是多少？2．在□里填上恰当的数字，使七位数□1992□□能同时被9，25，8整除。

3．用1～6六个数字组成一个六位数abcd能被4整除，abcde能是6的倍数，求这样的六位数有几个，各是多少？4．在93后面补上三个不同的数字，组成一个五位数使它能分别被3，4，5整除，并且使这个数尽可能小。

这个五位数是多少？5．用5、6、7、8四个数字组成各个数字互不相同的四位数，其中，能被11整除的有哪几个？6．已知整数1a2a3a4a5a能被11整除，求所有满足这个条件的整数。

7．七位数175□62□的末位数字是什么数时，不管千位是几，这个七位数都不是11的倍数。

8．将自然数10，11，12，…，99从左至右依次排列成一个多位数101112…9899，求这个多位数除以11的余数？9．有一个五位数15□□6是99的倍数，且其百位数上和十位数上的数字都小于7，求这个五位数。

10．四位数b a 47能被18整除，要使这个四位数尽可能小，a 和b 各是什么数字？11．一年级有72名学生课间加餐共交□52.7□元（□辨认不清）。

每人交了多少钱？12．若六位数□1234□能被66整除，则这个除法所得的商是多少？13．要使六位数615ABC 能被36整除，而且所得的商最小，那么A 、B 、C 各是多少？14．有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除。

它们的前四位都是9867，而末位数字不同。

求这两个五位数的和。

15．用1～9这九个数字组成没有重复数字的九位数，且能被11整除，这个九位数最小是多少？最大是多少？16．在小于5000的自然数中能被11整除并且数字和为13的数共有多少个？17．用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每个数字用一次）组成3个能被9整除的和尽可能大的三位数，求这三个三位数各是多少？18．已知a、b、c、d是各不相同的数字，a+b+c=18，b+c+d=23，四位数badc被5除余3，求abcd是多少？19．一个能被11整除的最小的四位数，去掉它的千位上和个位的上的数字以后，是一个同时能被2、3、5整被的最大的两位数。

数论详细讲解

1秒内单次判断1 ~ 1016以内的任意一个数是否是素数
素数筛
• 可以提前处理出来1~n的全体素数，之后每次都能”瞬间”知道1~n中的某个数是否是素数。
素数筛
1. 把1~n列出来 2. 去掉不是特殊的1 3. 从小到大，枚举每一个没有删掉的数字i 4. 把i的2倍，3倍，4倍，…，删掉 5. 剩下的没被删掉的都是素数
枚举i=2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
读作a与c在模b下同余
整除
a n q a 0modn n a,读作n整除a
n称为a的约数 a称为n的倍数
素数与合数
• 只含有1和本身两个约数的正整数，称为素数(约数个数=2)
• 除了1和本身还有其它约数的正整数，称为合数(约数个数>2)
• 1(约数个数<2) • 正整数=1+素数+合数
71
73
75
77
79
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
把i的2倍，3倍，4倍…删除
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六年级奥数讲义-数论综合(含答案)

学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。

请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。

【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。

已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。

如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。

【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。

高斯小学奥数含答案三年级(上)第20讲等差数列初步

o6 <依此类推而相邻两项称为末项首项第5项第17项比第9项大几个公差呢?第5项比第2项大几个公差呢?第7项比第1项大几个公差呢?在等差数列中，首先要寻找这四个关键量（即最后1 liii 儿秋中北五事少离捱事少囁 j 蚤少載睛第少腿宪？ /在上图中，你能看出第 3项比第1项大几个公差吗?项的的差则被称为公差首项、末项、项数和公差）之间的关系•请看下图第二十讲等差数列初步大，要么每一项都比前一项小，不能出现既有后一项比前一项大，又有后一项比前一项小的情况在等差数列中，称第1个数为第1项，第一只Ittt-张瞬’两只眼睛四条腿卜晋貝高吐两张嘴，四只駁睛八奈腿；三只有吐三张HL 亢只眼睛十二衆胪四只片魁四张喷，八貝臥隔I 人象亚2个数为第2项，第3个数为第3项别要注意的是，类似于 1 , 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1,…和1, 0, 1 , 0, 1, 0,…的数列，虽然相邻两个数的差都相等，但这样的数列不是等差数列，因为在同一个等差数列中，必须要么每一项都比前一项数列中所有数的个数称为项数在等差数列中，第n 项与第m 项之间相隔n m 个公差我们把等差数列第1项称为首项公差末项公差公差公差公差第2项第3项第4项一数列”就是一列数，也就是一些数排成一列.“等差”，就是差相等，也就是相邻两数的差都相等. 特就等于项数1 •由此，我们就知道末项减去首项等于项数1个公差的和，因此末项首项项数1 公差由此可以得到等差数列的通项公式：末项首项项数1 公差同时我们还可以得到以下这些公式：首项末项项数 1公差公差末项首项项数1 项数末项首项公差1在运用这些公式时，有一个共同的关键点：某两项之间相差的公差的个数.抓住这个关键点，很多问题便能迎刃而解.例题1(1) 一个等差数列共有 13项•每一项都比它的前一项大 2，并且首项为33,那么末项是多少？(2) 一个等差数列共有 13项•每一项都比它的前一项小 2，并且首项为33,那么末项是多少？分析：本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大呢？练习1一个等差数列共有10项•每一项都比它的前一项大例题2分析：本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大呢?更重要的是，首项其实就是第 1项，末项就是第“项数”项，那么首项和末项之间相隔的公差个数1,并且首项为21,那么末项是多少?(1) 一个等差数列共有 10项•每一项都比它的前一项大7,并且末项为 125,那么首项是多少? (2) —个等差数列共有 10项•每一项都比它的前一项小 7,并且末项为 125,那么首项是多少?一个等差数列共有12项•每一项都比它的前一项小4,并且末项为56,那么首项是多少? 例题3（1）一个等差数列首项为7,第10项为61,那么这个等差数列的公差等于多少？（2）—个等差数列第4项为7,第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？分析：第1项与第10项之间相差几个公差？第4项与第10项之间相差几个公差？7又与61差了几？相当于几个公差？练习3一个等差数列第5项为25，第16项为91,那么这个等差数列的公差等于多少？例题4（1）一个等差数列首项为5,末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？（2）一个等差数列第3项为50,末项为130,公差为8,那么这个等差数列一共有多少项？分析：首项和末项之间差几？相当于几个公差？公差的数量和项数是什么关系？练习4已知等差数列2、9、16、23、30,……那么709是其中的第几项？例题5一个等差数列的首项为11,第10项为200,这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？305是第几项？分析：第1项与第10项之间相差几个公差？与第19项呢？305又与200差了几？相当于几个公差？例题6下面的各算式是按规律排列的：1+ 1 , 2+ 3 , 3+ 5 , 1+ 7 , 2+ 9 , 3+ 11 , 1+ 13 , 2+ 15 ,3+ 17 ,……请写出其中所有结果为98的算式.分析：每个算式的第一个数有什么周期规律？第二个数是什么数列？分别求出第98个数是几？咼斯生平高斯，生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家.1799年高斯于黑尔姆施泰特大学因证明代数基本定理获博士学位.从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世•高斯和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家•高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称.18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法•通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果•在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线) •其函数被命名为标准正态分布(或高斯分布)，并在概率计算中大量使用.高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10德国马克的纸币上.高斯(Johann Carl Friedrich Gauss) (1777 年4 月30 日- 1855年2 月23 日),生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家•高斯被认为是最重要的数学家，并拥有“数学王子”的美誉.1792年，15岁的高斯进入布伦瑞克(Braunschweig )学院.在那里，高斯开始对高等数学作研究.独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的二次互反律” (Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理 (prime number theorem)及算术几何平均(arithmetic-geometric mean).1795年高斯进入哥廷根大学.1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世.作业一个等差数列共有10项•每一项都比它的前一项小2,并且末项为75,那么首项是几?1. 一个等差数列共有10项•每一项都比它的前一项大2,并且末项为75,那么首项是几?3. 一个等差数列首项为13,第9项为29,这个等差数列的公差为几？第20项为几?4. 一个等差数列的第5项为47,第15项为87,这个等差数列的公差等于几？63是第几项?1层有1块砖，第2层有5块砖，第3层有9 5. 如图所示，有一堆按规律摆放的砖•从上往下数，第（块砖，…….按照这个规律，第19层有多少块砖?188_ ,……, 125 差10 1 9 （个）公差 9 7 63 125 63 188 3. 例题3 答案：（1） 6; （2） 9 详解：如下：4. 例题4答案：（1） 12 ; （2） 13详解：如下：总差： 93 5 88总差： 130 50 80 公差数: :88 8 11公差数: :80 8 10 项数： 11 1 12项数： 10 1 2 13 5. 例题5答案：21; 389; 15详解：如下图：详解：如下图:第二十讲等差数列初步33 , 35 ,37 ,①33, 31, 29, ① 差13 1 12个公差12 2 2433 24 57差13 1 12 （个）公差 12 2 24 33 24 9 _62_,… •…, 125① ⑩差10 1 9 （个）公差9 7 63总差：61 7 54总差：61 7 54 公差数：10 1 9 （个）公差数：10 4 6 （个）公差：54 9 6公差：54 6 9 2.例题2答案：（1） 62 ；（2） 188详解：如下图：125 63 62第二十讲等差数列初步 1. 例题 1答案：（1）57；（2）9详解：如下图：33, 35, 37, …… , _57_ 33, 31, 29,… … , _9_① ①3. 例题 3答案：（ 1 ）6；（ 2） 9 详解：如下：4. 例题 4 答案：（1）12；（2）13 详解：如下：总差： 93 5 88 总差： 130 50 80公差数： 88 8 11 公差数： 80 8 10项数： 11 1 12 项数： 10 1 2 135. 例题 5答案： 21；389；15详解：如下图：差13 1 12个公差 12 2 24 33 24 57 2. 例题 2 答案：（1）62；（2）188详解：如下图：_62_, …… , 125①⑩ 差10 1 9（个）公差9 7 63 125 63 62 差13 1 12（个）公差 12 2 2433 24 9188_, …… , 125①⑩差10 1 9（个）公差 9 7 63125 63 188总差： 61 7 54 总差： 61 7 54公差数： 10 1 9 （个）公差数： 10 4 6 （个）公差： 54 9 6 公差： 54 6 9第二十讲等差数列初步 1. 例题 1答案： ( 1 ) 57 ；( 2) 9 详解：如下图： 33, 35, 37, …… , _57_33, 31, 29,… … , _9_ ①① 3. 例题 3答案：(1) 6；(2) 9 详解：如下：4. 例题 4答案：(1) 12；(2) 13 详解：如下：总差： 93 5 88 总差： 130 50 80 公差数： 88 8 11 公差数： 80 8 10 项数： 11 1 12 项数： 10 1 2 13 5. 例题 5答案： 21；389；15 差 13 1 12 个公差 12 2 2433 24 572. 例题 2答案：(1) 62；(2) 188 详解：如下图：_62_,……,125①⑩差10 1 9(个)公差 9 7 63125 63 62差13 1 12(个)公差 12 2 24 33 24 9 188_, …… , 125 ①⑩ 差10 1 9(个)公差 9 7 63 125 63 188 总差： 61 7 54 总差： 61 7 54 公差数： 10 1 9 (个) 公差数： 10 4 6 (个) 公差： 54 9 6 公差： 54 6 9详解：如下图：。

数论专题复习讲义

数论专题复习讲义介绍数论是研究整数及其性质的数学分支。

它在加密算法、密码学、计算机科学等领域中发挥着重要作用。

本文档将为你提供一个数论专题的复讲义，帮助你回顾数论的基本概念和常见应用。

1. 质数1.1 定义质数是指只能被1和自身整除的整数。

常见的质数有2、3、5、7等。

1.2 判断方法判断一个数是否为质数，可以使用试除法。

即从2开始逐个除以小于该数的数，若都不能整除，则该数为质数。

2. 最大公约数与最小公倍数2.1 最大公约数最大公约数是指两个或多个整数公有的约数中最大的那个。

可以使用辗转相除法来求解。

2.2 最小公倍数最小公倍数是指两个或多个整数的公共倍数中最小的那个。

可以通过最大公约数来求解，使用以下公式：最小公倍数 = (数1 * 数2) / 最大公约数(数1, 数2)3. 模运算模运算，又称为取余运算，是指在整数除法中求得的余数。

有以下性质：- (a + b) % m = (a % m + b % m) % m- (a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m模运算在密码学中广泛应用，特别是在数据加密和解密的过程中。

4. 素数定理素数定理是指当自然数趋向无穷大时，素数的数量大约等于自然数的对数。

这个定理在分析质数的分布和素数的性质时提供了重要的参考。

5. 快速幂算法快速幂算法是一种用于计算指数幂的高效算法。

它可以在较短的时间内计算出较大的幂，同时避免了重复计算的问题。

6. RSA加密算法RSA加密算法是一种常见的非对称加密算法，基于质因数分解的困难性。

它在信息安全和网络通信等领域得到广泛应用。

7. 练题1. 请判断以下数是否为质数：11、27、37。

2. 求以下数的最大公约数和最小公倍数：24和36、15和25。

3. 将10^9对7取模的结果求出。

以上内容是本次数论专题复习讲义的核心内容，希望能对你的复习有所帮助。

祝你学习顺利！。

jindai22数论

注：设A是一个环，S是A的一个子环；（1）若A有单位元，S可以没有单位元；（2）若S有单位元，A可以没有单位元；（3）若A与S都想
1．理想定义2：设A为环，I为A的非空子集，如果I满足：（1）∀a，b ∈I，a－b ∈ I；（2）∀a∈I 和 ∀x∈A，有ax，xa ∈ I；则称I为环A的一个理想. {0}与A本身这两个理想称为A的平凡理想. 在整数环Z中，任意取定m∈Z，则 I={mn|n∈Z}是Z的理想. 在域F上多项式环F[x]中，任意取定f(x)∈F[x]，则I={g(x)f(x)|g(x)∈F[x]}是F[x]的理想.
例2：在所有 2阶整数方阵做成的环 M 2 ( Z )中，（）所有元素恒为偶数的方阵集合 A 是 M 2 ( Z ) 1 的一个理想； ⎛ a 0⎞ ⎟ （2 ）所有形如 ⎜ ⎜ b 0 （ a ， b 为整数）的矩阵的 ⎟ ⎝ ⎠ 集合 B 是 M 2 ( Z )的子环，但 B 不是 M 2 ( Z )的理想 .
命题4：设A为环，I是A的理想，则：
（1 0 = I 为 A / I 的零元；）
）若 A 有单位元 1，且 1 ∉ I ，则（2 1 = 1 + I 为 A / I 的单位元；
（3）如果A是交换环，则A/I也是交换环.
例3 P127，例3 .2 .5 （）：设n ∈ Z，n > 1，n) = {nr | r ∈ Z}， ( 则Z /( n) = {a = a + ( n) | a = 0，，，，n − 1} 1 2L = { 0，，， − 1} = Z n . 1 L n
§6.2
一．子环二．理想三．商环四．环的同态
子环、理想和商环
一．子环
定义1（P123，定义3.2.1）：设（A，＋，·）是一个环，S是A的一个非空子集；若S对＋和·也构成一个环，则称S为A的一个子环，A 为S的一个扩环. 对于任意一个环A，都有两个子环：{0}与A. 这两个子环称为A的平凡子环. 命题1：设S是环A的一个非空子集，则 S是A的子环的充要条件是对任何a，b∈S，有a－b∈S和ab∈S.

六年级第20讲数论综合(教师版)

第20讲数论综合1 公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制，他们基本的数字符号仅有两个：“．”和“一”，“．”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示1；“一”是豆荚的形状，表示5．用这两个符号的上、下排列，组成了1～19各个数字（如下图所示）．【答案】68097【分析】17+4×20+10×202+8×203=680972 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是——．【答案】36126或54189【分析】这个五位数为abcde，由题意abcde= 2007 (a+b+c+d +e）由于9¦ 2007，可得9¦abcde，则有9¦(a+b+c+d+e)， 2007×9=18063，这个五位数是18063的倍数，只可能为：18063,36126,54189,7225290315.经检验，36126和54189符合题意．3 (1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？【答案】 (1)999个，(2)999个．【分析】(l)由于每连续4个自然数中必有一个能被4整除，3998÷4=999……2．因此从1到3998这3998个自然数中能被4整除的一共有999个‘(2)为了方便，将0到3999这4000个整数都看成四位数abcd（不是四位则在前面补零，如12=0012）．由于b.c，d各有10种数字可任意选择，而且当b.c.d选定后．为满足a+b+c+d 能被4整除，千位数字“必唯一确定．事实上，若b+c+d=4K时，则a=o；若b+c+d=4K+l 时．则a=3 ：若b+c+d=4K+2时，则a=2；若b+C+d=4K+3，则a=1．（K为整数）综上所述，在o到3999这4000个整数中有1×10 ×10×10=1000（个）数的各位数字之和能被4整除．因此，从1到3998这3998个自然数中有1ooo-1=999(个）数的各位数字之和能被4整除，4 如下图所示，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棒；摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棒．小明用1300根火柴棒，恰好摆放成一个m×m的“m-宫格”，问m =？76田4宫格 9宫格【答案】25【分析】m2向的火柴棒有m+1列，每列有m根，也共有m(m+1)根．所以，摆放”，m2宫格”共用了2m( m+1) 根火柴棒．由2m(m+ l) =1300，得到m(m+1)=650=2×52×13=25×26．因此m=25 ．5 二十多位小朋友围成一圈做游戏，他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有——人．【答案】24【分析】情况一：．．跳过去不报”指一个小朋友报了6，下一个小朋友不报数而是拍手．再下一个小朋友报8．此时，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数（报出来或者拍手跳过）之间的差等于总人数．小明本次应当拍手，而不是报出91．所以”总人数是91—19=72的约数．有72．36．24，18，……，其中是“二十多”的只有24．情况二：，．跳过去不报”指一个小朋友报了6，下一个小朋友直接报8．此时．把所有i 的倍数和带有数字7的数去掉之后，剩余的数排成一列，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数在这个数列中的位置号之差等于总人数．从19到90这72个数中，含有数字7的有27,37,47,57,67,70到79.87．共16个．是i 的倍数且不含有数字7的有21,28,35,42,49,56,63,84共8令，所以排除掉之后剩下48个．总人数应当是48的约数，有48,24,16，……，其中是“二十多”的也只有24。

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