辅助角公式的推导讲解学习
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sin = = ,
cos Hale Waihona Puke Baidu .
所以asin +bcos == cos sin + sin cos
= .(其中tan = )
2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角 的终边经过点P(b,a),设OP=r,则r= .由三角函数的定义知
sin = = ,
（２）
在本例第（１）小题中， ， ，我们并没有取点Ｐ（ ，－１），而取的是点Ｐ（ ，１）．也就是说，当 、 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（ ， ），或者Ｐ（ ， ）．这样确定的角 （或 ）是锐角，就更加方便．
例6已知向量 , ,
,求函数 = 的最大值及相应的 的值.
解:
=
=
=
=
这时 .
此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.
=
=
= ,其中 , , .
,
, .
所以当 时,矩形的对角线 的最小值为 .
辅助角公式的推导
辅助角公式 的推导
在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化 为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 = 或 = ·
,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.
五.与辅助角有关的应用题
与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.
例7如图3,记扇OAB的中心角为 ,半径为1,矩形PQMN内接于这个扇形,求矩形的对角线 的最小值.
解:连结OM,设∠AOM= .则MQ= ,OQ= ,OP=PN= .
PQ=OQ-OP= .
经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式
asin +bcos = ( sin + cos )= ,(其中tan = ).或者
asin +bcos = ( sin + cos )= ,(其中tan = )
我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asin +bcos 凑成 ( sin + cos )的道理,以及为什么只有两种形式的结果.
其中 的大小可以由sin 、cos 的符号确定 的象限,再由tan 的值求出.或由tan = 和(a,b)所在的象限来确定.
推导之后,是配套的例题和大量的练习.
但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令 =cos , =sin 让学生费解.二是这种“规定”式的推导,学生难记易忘、易错!
二.让辅助角公式 = 来得更自然
设满足条件的最小正角为 ,则 .由诱导公式(一)知
．其中 ， ， 的具体位置由 与 决定， 的大小由 决定．
类似地， ， 的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为 ，则 由诱导公式有
，其中 ， ， 的位置由 和 确定， 的大小由 确定．
注意：①一般地， ；②以后没有特别说明时，角 （或 ）是所求的辅助角．
例4化 为一个角的一个三角函数的形式.
解法一:点(1,- )在第四象限.OP=2.设角 过P点.则 , .满足条件的最小正角为 ,
解法二:点P(- ,1)在第二象限,OP=2,设角 过P点.则 , .满足条件的最小正角为 ,
三.关于辅助角的范围问题
由 中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).
cos = = .
asin +bcos =
= .(其中tan = )
例3化 为一个角的一个三角函数的形式.
解:在坐标系中描点P( ,1),设角 的终边过点P,则OP=r= =2.sin = ,cos = .
∴ =2cos sin +2sin cos =2sin( ).tan = .
,∴ =2sin( ).
四．关于辅助角公式的灵活应用
引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为
的形式或 的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．
例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．
（１） ；
（２） ．
解： （１）
2.辅助角公式的推导
例2化 为一个角的一个三角函数的形式.
解:asin +bcos = ( sin + cos ),
1令 =cos , =sin ,
则asin +bcos = (sin cos +cos sin )
= sin( + ),(其中tan = )
2令 =sin , =cos ,则asin +bcos = (sin sin +cos cos )= cos( - ),(其中tan = )
一.教学中常见的的推导方法
教学中常见的推导过程与方法如下
1.引例
例1求证： sin +cos =2sin（ + ）=2cos（ - ）.
其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:
可见, sin +cos 可以化为一个角的三角函数形式.
一般地,asin +bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢
能否让让辅助角公式来得更自然些这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.
首先要说明，若a=0或b=0时， 已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab≠0.
1.在平面直角坐标系中,以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角 ,它的终边经过点P.设OP=r,r= ,由三角函数的定义知
cos Hale Waihona Puke Baidu .
所以asin +bcos == cos sin + sin cos
= .(其中tan = )
2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角 的终边经过点P(b,a),设OP=r,则r= .由三角函数的定义知
sin = = ,
（２）
在本例第（１）小题中， ， ，我们并没有取点Ｐ（ ，－１），而取的是点Ｐ（ ，１）．也就是说，当 、 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（ ， ），或者Ｐ（ ， ）．这样确定的角 （或 ）是锐角，就更加方便．
例6已知向量 , ,
,求函数 = 的最大值及相应的 的值.
解:
=
=
=
=
这时 .
此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.
=
=
= ,其中 , , .
,
, .
所以当 时,矩形的对角线 的最小值为 .
辅助角公式的推导
辅助角公式 的推导
在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化 为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 = 或 = ·
,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.
五.与辅助角有关的应用题
与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.
例7如图3,记扇OAB的中心角为 ,半径为1,矩形PQMN内接于这个扇形,求矩形的对角线 的最小值.
解:连结OM,设∠AOM= .则MQ= ,OQ= ,OP=PN= .
PQ=OQ-OP= .
经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式
asin +bcos = ( sin + cos )= ,(其中tan = ).或者
asin +bcos = ( sin + cos )= ,(其中tan = )
我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asin +bcos 凑成 ( sin + cos )的道理,以及为什么只有两种形式的结果.
其中 的大小可以由sin 、cos 的符号确定 的象限,再由tan 的值求出.或由tan = 和(a,b)所在的象限来确定.
推导之后,是配套的例题和大量的练习.
但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令 =cos , =sin 让学生费解.二是这种“规定”式的推导,学生难记易忘、易错!
二.让辅助角公式 = 来得更自然
设满足条件的最小正角为 ,则 .由诱导公式(一)知
．其中 ， ， 的具体位置由 与 决定， 的大小由 决定．
类似地， ， 的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为 ，则 由诱导公式有
，其中 ， ， 的位置由 和 确定， 的大小由 确定．
注意：①一般地， ；②以后没有特别说明时，角 （或 ）是所求的辅助角．
例4化 为一个角的一个三角函数的形式.
解法一:点(1,- )在第四象限.OP=2.设角 过P点.则 , .满足条件的最小正角为 ,
解法二:点P(- ,1)在第二象限,OP=2,设角 过P点.则 , .满足条件的最小正角为 ,
三.关于辅助角的范围问题
由 中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).
cos = = .
asin +bcos =
= .(其中tan = )
例3化 为一个角的一个三角函数的形式.
解:在坐标系中描点P( ,1),设角 的终边过点P,则OP=r= =2.sin = ,cos = .
∴ =2cos sin +2sin cos =2sin( ).tan = .
,∴ =2sin( ).
四．关于辅助角公式的灵活应用
引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为
的形式或 的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．
例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．
（１） ；
（２） ．
解： （１）
2.辅助角公式的推导
例2化 为一个角的一个三角函数的形式.
解:asin +bcos = ( sin + cos ),
1令 =cos , =sin ,
则asin +bcos = (sin cos +cos sin )
= sin( + ),(其中tan = )
2令 =sin , =cos ,则asin +bcos = (sin sin +cos cos )= cos( - ),(其中tan = )
一.教学中常见的的推导方法
教学中常见的推导过程与方法如下
1.引例
例1求证： sin +cos =2sin（ + ）=2cos（ - ）.
其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:
可见, sin +cos 可以化为一个角的三角函数形式.
一般地,asin +bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢
能否让让辅助角公式来得更自然些这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.
首先要说明，若a=0或b=0时， 已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab≠0.
1.在平面直角坐标系中,以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角 ,它的终边经过点P.设OP=r,r= ,由三角函数的定义知