辅助角公式的推导

辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+的推导

在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ

θ+为一个角

的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学

生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式

sin cos a b θθ+

)θϕ+或sin cos a b θθ+

cos()θϕ-,让

一.教学中常见的的推导方法

教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1

α+cos α=2sin （α+

6π）=2cos （α-3

π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出

结论: 可见

α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.

一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θ

θ+为一个角的一个三角函数的形式.

解: asin θ+bcos θ

sin θ

cos θ),

①

=cos ϕ

=sin ϕ,

则asin θ+bcos θ

θcos ϕ+cos θsin ϕ)

θ+ϕ),(其中tan ϕ=

b a

) ②

=sin ϕ

=cos ϕ,则

asin θ+bcos θ

θsin ϕ+cos θcos ϕ

θ-ϕ),(其中tan ϕ=a

b

)

其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求

出.或由tan ϕ=b

a

和(a,b)所在的象限来确定.

推导之后,是配套的例题和大量的练习.

但是这种推导方法有两个问题:

一是为什么要令

=cos ϕ

=sin ϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推

导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θ

θ+

)θϕ+来得更自然

能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.

首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角

函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设

由三角函数的定义知 sin ϕ=

b r

cos ϕ

=a r

=

.

所以asin θ+bcos θ

ϕ sin θ

ϕcos θ

)θϕ+.(其中tan ϕ=b

a

)

2.若在平面直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角ϕ的终边经过点P(b,a),设OP=r,则

由三

角函数的定义知

sinϕ=a

r

,

cosϕ=b r

asinθ+bcosθ

sin cos cos ϕθϕθ

+

s()

θϕ

-. (其中tanϕ=

a

b

)

例3

cos

θθ

+为一个角的一个三角函数的形式.

解:在坐标系中描点

P(,1),设角ϕ的终边过点P,则OP

ϕ=1

2

,cosϕ=

2

.

∴

cos

θθ

+=2cosϕsinθ+2sinϕcosθ=2sin(θϕ

+).tanϕ=

3

.

2

6

k

π

ϕπ

=

+,cos

θθ

+=2sin(

6

π

θ+).

经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式

asin

θ+bcosθ=

(

sinθ+

cosθ)=

)

θϕ

+,(其中tanϕ=

b

a

).或者

asinθ

+bcosθ=

(sin

θ+

cosθ)=

)

θϕ

-,(其中tanϕ=

a

b

)

我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asin

θ+bcosθ

sinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果

.

例4 化sinαα

-为一个角的一个三角函数的形式.

解法一:点

(1,-)在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.

则

sin

2

ϕ=-,

1

cos

2

ϕ=.满足条件的最小正角为

5

3

π,

5

2,.

3

k k Z

ϕππ

=+∈

1

sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)

22

55

2sin()2sin(2)2sin().

33

k

αααααϕαϕ

αϕαππαπ

∴-=-=+

=+=++=+

解法二:点

P(-,1)在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则

1

sin

2

ϕ=

,cos

2

ϕ=-.满足条件的最小正角为

5

6

π,

5

2,.

6

k k Z

ϕππ

=+∈

1

sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)

22

55

2cos()2cos(2)2cos().

66

k

αααααϕαϕ

αϕαππαπ

∴-=-=+

=-=--=-

三.关于辅助角的范围问题

由sin cos)

a b

θθθϕ

+=+中,点P(a,b)的位置可知,终

边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).

设满足条件的最小正角为

1

ϕ,则

1

2k

ϕϕπ

=+.由诱导公式(一)知

1 sin cos))

a b

θθθϕθϕ

+=+=+．其

中

1

(0,2)

ϕπ

∈，

1

tan

b

a

ϕ=，

1

ϕ的具体位置由

1

sinϕ与

1

cosϕ决定，

1

ϕ的大

小由

1

tan

b

a

ϕ=决定．