2019年中考数学专题4：四边形证明及计算压轴题

2019年中考数学专题4：四边形证明及计算压轴题

1．把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠，使点A 与点E 重合，点C 与点F 重合（E 、F 两点均 在BD 上），折痕分别为BH 、DG 。

（1）求证：△BHE ≌△DGF ；

（2）若AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，求线段FG 的长。

2．以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ．

（1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当

四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）； （2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°），

① 试用含α的代数式表示∠HAE ； ② 求证：HE =HG ；

③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．

A B

C

D

H

E

F

G

（第23题图2）

E B

F

G

D

H

A

C

（第23题图3）

（第23题图1）

A B

C

D

H E

F

G

3．如图7，在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ，

（1）求证：△BEC ≌△DEC ：

（2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．

4.直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，6AB AD ==，DE DC ⊥交AB 于E ，DF 平分∠EDC 交BC 于F ，连结EF ． （1）证明：EF CF =； （2）当tan ADE ∠=

3

1

时，求EF 的长．

5．两个大小相同且含 30角的三角板ABC 和DEC 如图①摆放，使直角顶点重合. 将图①中△DEC 绕点C 逆时针旋转 30得到图②，点F 、G 分别是CD 、DE 与AB 的交点，点H 是DE 与AC 的交点.

（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF 全等的三角形；

（2）将图②中的△DEC 绕点C 逆时针旋转 45得△D 1E 1C ，点F 、G 、H 的对应点分别为

F 1、

G 1、

H 1 ，如图③.探究线段D 1F 1与AH 1之间的数量关系，并写出推理过程；

（3）在（2）的条件下，若D 1E 1与CE 交于点I ，求证：G 1I =CI.

D

B

C

A E 图①

D

A

图②

D

A

D 1

B

C

E F

G H

B C

E F

G 1

H 图③

H 1

E 1

I

G F 1

6．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F. （1）证明：∠DFA ＝∠FAB ； （2）证明：△ABE ≌△FCE ．

7、如图，在□ABCD 中，E,F 分别是BC ，AD 中点。 （1）求证：△ABE ≌△CDF

（2）当BC=2AB=4，且△ABE 的面积为3，求证：四边形AECF 是菱形。

8. 已知正方形ABCD 的边长为a ，两条对角线AC 、BD 交于点O ，P 是射线AB 上任意一点．过P 点分别作直线AC 、BD 的垂线PE 、PF ，垂足为E 、F 。 （1）如图l ．当P 点在线段AB 上时．求PE+PF 的值。

{2) 如图2．当P 点在线段AB 的延长线上时．求PE+PF 的值。

第18题

F

E A D

B C

9．如图，四边形ABCD 是矩形，直线l 垂直平分线段AC ，垂足为O ，直线l 分别与线段AD 、CB 的延长线交于点E 、F 。

（1）△ABC 与△FOA 相似吗？为什么？

（2）试判定四边形AFCE 的形状，并说明理由。

l

（第24题图）

E

F O

C

D A B

10.已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，BC=2AD ，E 是BC 的中点，连接AE 、AC 。 （1）点F 是DC 上一点，连接EF ，交AC 于点O （如图1），求证：△AOE ∽△COF ； （2）若点F 是DC 的中点，连接BD ，交AE 与点G （如图2），求证：四边形EFDG 是菱形。

11.如图，已知四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠A ＝90°，BC ＝BD ，CE ⊥BD ，垂足为E ． (1)求证：△ABD ≌△ECB ；

(2)若∠DBC

＝

50°，求∠DCE 的度数．

12.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．

（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；

（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．(写出你添加的条件，不要求证明)

13．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．连接BF、CD、AC．

（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；

（2）如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．

A

B

D

F C

E

14.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．

D G C

F

B

E

A

H

图（七）