五年级奥数.数论.因数与倍数(A级答案
人教版五年级数学下册《因数和倍数》解析(含答案)资料
人教版五年级数学下册《因数和倍数》解析(含答案)一、填空1．在4、9、36这三个数中：（）是（）和（）的倍数，（）和（）是（）的因数；36的因数一共有（）个，它的倍数有（）个。
考查目的：因数和倍数的意义，找一个数的因数和倍数的方法。
答案：36 4 9，4 9 36；9，无数。
解析：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
找一个数的因数可以一对一对地找，36的因数有：1、36、2、18、3、12、4、9、6，共9个；一个数的倍数的个数是无限的。
2．圈出5的倍数：15 24 35 40 53 78 92 100 54 45 88 60在以上圈出的数中，奇数有（），偶数有（）。
考查目的：能被5整除的数的特征，奇数和偶数的意义。
答案：15 35 45，40 100 60。
解析：先根据能被5整除的数的特征判断，一个数的个位是0或者5，这个数就是5的倍数；在圈出的数中，再根据奇数与偶数的意义判断，个位上是0的数是偶数，个位上是5的数是奇数。
3．从0、4、5、8、9中选取三个数字组成三位数：（1）在能被2整除的数中，最大的是（），最小的是（）；（2）在能被3整除的数中，最大的是（），最小的是（）；（3）在能被5整除的数中，最大的是（），最小的是（）。
考查目的：能被2、3、5整除的数的特征，简单的排列组合知识。
答案：（1）984，450；（2）984，405；（3）980；405。
解析：能被2整除的数，要求个位上是0、2、4、6、8，最大的应该是984，最小的是450；能被3整除的数，各个数位上的数的和是3的倍数，通过排列组合得到其中最大的是984，最小的是405；因为个位是0或者5的数能被5整除，所以最大的是980，最小的是405。
4．将2、10、13、22、39、64、57、61、1、73、111按要求填入下面的圈内。
考查目的：奇数和偶数、质数和合数的意义。
答案：解析：此题主要考查奇数、偶数、质数、合数的意义。
因数和倍数奥数题及标准答案
因数和倍数奥数题及标准答案因数和倍数奥数题荟萃总体难度有点⼤，如果有兴趣可以试试！1、某校举⾏数学竞赛，共有20道题。
评分标准规定，答对⼀题给3分，不答给1分。
答错⼀题倒扣1分，全校学⽣都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学⽣得分的总和是奇数还是偶数？2、有四个连续奇数的和是2008,则其中最⼩的⼀个奇数是___________ 。
3、张阿姨把相同数量的苹果和橘⼦分给若⼲名⼩朋友，每名⼩朋友分得1个苹果和3个橘⼦。
最后橘⼦分完了，苹果还剩下12个。
那么⼀共分给了____________ —名⼩朋友。
4、⼩华同学为了在“希望杯”数学⼤赛中取得好成绩，⾃⼰做了四份训练题（每份训练题满分为120分）。
他第⼀份训练题得了90分，第⼆份训练题得了100 分，那么第三份训练题⾄少要得___________才能使四份训练题的平均成绩达到105 分。
5、三个连续⾃然数的乘积是210,求这三个数.6⾃然数9是质数，还是合数？为什么？7、⼀个数⽤3、4、5除都能整除，这个数最⼩是多少？8、⼀个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
9、⼀个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,这个数是多少？10、甲、⼄两港间的⽔路长208千⽶，⼀只船从甲港开往⼄港，顺⽔8⼩时到达，从⼄港返回甲港，逆⽔13⼩时到达，求船在静⽔中的速度和⽔流速度。
答案:1、解：以⼀个学⽣得分情况为例。
如果他有m题答对，就得3m分，有n题答错，则扣n分，那么，这个学⽣未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m- n）分。
所以，这个学⽣得分总数为：3m-n+（20-m-n）=3m-n+20-m-n=2m-2n+20 =2（m-n+10）不管（m-n+10）是奇数还是偶数，贝U 2（m-n+10）必然是偶数，即⼀个学⽣得分为偶数。
由此可见，不管有多少学⽣参赛，得分总和⼀定是偶数。
2、解：499。
2008-4—3=4993、解：6。
五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题(附答案)
第二单元因数与倍数提高题和奥数题板块一因数和倍数例题1 •一个数在150至250之间，且是18的倍数，这个数可能是多少？最大是多少?练习1 •一个数是25的倍数，它位于110至160之间，这个数是多少?例题2•有一个数，它是40的因数，乂是5的倍数，这个数可能是多少?练习2•既是7的倍数，乂是42的因数，这样的数有哪些?例题3•妈妈买来30个苹果，让小明把苹果放入篮子里。
不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。
小明共有儿种拿法？每种拿法每次各拿多少个？练习3•五（1）班有学生42人，把他们平均分成儿个学习小组，每组多于2人且少于8人。
可以分成儿个小组呢？板块二2、3、3的倍数的特征例题1.一个五位数29ABC （A、B、C是0〜9中不同的数字）同时是2、5、3的倍数，这个数可能是多少？练习1•在17的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，乂同时含有因数3 和5。
这个五位数最大是多少？最小是多少？例题2.5口口0是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？练习2.4口□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？板块三奇数和偶数例题1.一只小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，不断往返。
已知小船最初在南岸。
（1）摆渡15次后，小船是在南岸还是在北岸？为什么？（2）小明说摆渡2016次后，小船在北岸。
他说得对吗？为什么？练习1 •傍晚小亮开灯做作业，本来拉一次开关，灯就该亮了，但是他连续拉了 5次开关，灯都没有亮，原来是停电了。
你知道来电的时候，灯应该亮着还是不亮呢？例题2•有36个苹果，把它们放在9个盘子里，每个盘子里只放奇数个苹果，能做到吗?练习2. (1) 1X2+3X4+5X6+-+199X200的和是奇数还是偶数？(2)有2016个烟花，每次燃放奇数个，想在9次后恰好全部放完，能做到吗？为什么？例题3•桌子上放着5个杯子，全部是杯底朝上，如果每次翻动2个杯子，称为一次翻动，经过多次翻动能使5个杯子的杯口全部朝上吗？如果每次翻动3个杯子呢？练习3.如家宾馆现在有10间客房的灯开着，每次同时拨动4个房间的开关，能不能把这10 个房间的灯全部关闭？如果能，至少需要儿次？板块四质数和合数例题1.三个不同质数的和是82,这三个质数的积最大是多少？练习1. (1)两个质数的和是小于100的奇数，并且是11的倍数，这两个质数可能是什么数?(2)两个质数的和是200b这两个质数的积是多少?(3)—个长方形的长和宽都是质数，并且周长是36厘米，这个长方形的面积最大是多少？例题2•用0、1、4、5这四个数字组成两个质数，每个数字只能用一次，求这两个质数。
小学奥数题库《数论》因数和倍数-最小公倍数-5星题(含解析)
数论-因数和倍数-最小公倍数-5星题课程目标知识提要最小公倍数•定义公倍数就是几个数公共的倍数。
最小公倍数就是其中最小的公倍数。
•求最小公倍数的方法〔1〕枚举法〔2〕分解质因数法〔3〕短除法〔4〕公式法•最小公倍数的性质〔1〕两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数；〔2〕两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积；〔3〕两个数具有倍数关系，那么它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．精选例题最小公倍数1. 某班共有30名学生去看电影，他们的学号依次为1,2,⋯⋯,30；他们手中的电影票恰好为某排的1号，2号，⋯⋯，30号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对于任意两人甲、乙，假设甲的学号能被乙的学号整除，那么甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．那么电影票共有种不同的发放方式．【答案】48【分析】1号学生有29人是其倍数，故1号学生只能拿1号电影票；2号学生有14人是其倍数，故2号学生只能拿2号电影票；3号学生有9人是其倍数，故3号学生只能拿3号电影票；4号学生有6人是其倍数，故4号学生只能拿4号电影票；5号学生有5人是其倍数，故5号学生只能拿5号电影票；6号学生有4人是其倍数，故6号学生只能拿6号电影票；7号学生有3人是其倍数，故7号学生只能拿7号电影票；8号学生必须是2号学生〔2〕的倍数，也必须是4号学生〔4〕的倍数，同时有2人是其倍数，综上，8号学生只能拿8号电影票；9号学生必须是3号学生〔3〕的倍数，还不能是6，同时有2人是其倍数，综上，9号学生只能拿9号电影票；10号学生必须是2号学生〔2〕的倍数，也必须是5号学生〔5〕的倍数，同时有2人是其倍数，综上，10号学生只能拿10号电影票；12号学生必须是3号学生〔3〕的倍数，也必须是4号学生〔4〕的倍数，同时有1人是其倍数，综上，12号学生只能拿12号电影票；同时24号学生只能拿24号电影票；14号学生必须是2号学生〔2〕的倍数，也必须是7号学生〔7〕的倍数，同时有1人是其倍数，综上，14号学生只能拿14号电影票；同时28号学生只能拿28号电影票；15号学生必须是3号学生〔3〕的倍数，也必须是5号学生〔5〕的倍数，同时有1人是其倍数，综上，15号学生只能拿15号电影票；同时30号学生只能拿30号电影票；之后的数，[2,9]=18，18必拿18号，同时是9的倍数的27号只能拿27；20=[4,5]，20必拿20；21=[3,7]，21必拿21号；24=[3,8]，24必拿24，同时是8的倍数的16号只能拿16；28=[4,7],28必拿28；30=[5,6],30必拿30，同时是5的倍数的25号只能拿25号．目前还没有确定的数有：11、22、13、26、17、19、23、29号．11、22互为一组成倍数，13、26亦互为一组成倍数，有两种拿法：11号拿11，22号拿22，13号拿13，26号拿26；或11号拿13，22号拿26，13号拿11，26号拿22．17、19、23、29是大质数，没有限制，可随意拿，有A44=24(种)拿法．故共有2×24=48(种)拿法．2. 鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A、B开始向另一端挖洞．鼹鼠每隔三米挖一个洞，老鼠每隔5米挖一个洞，老鼠对鼹鼠说：“你挖完后，我再挖．〞这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少个洞？【答案】10个【分析】因为157除以5的余数是2，可得下列图：由图中很明显可知，鼹鼠和老鼠重合的第一个洞在距离A点12米处．因为[ 3，5 ] =15，(157−12)÷15=145÷15=9⋯10，所以，老鼠和鼹鼠要挖的洞里重合的有9+1=10(个)． 3. ：A+B=667,[A,B](A,B)=120，求A,B的值．【答案】115与552或者232与435．【分析】 $\begin{gathered}m\left| \!{\underline {\,{\begin{array}{*{20}{c}}A&B\end{array}} \,}} \right. \hfill \\\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{}&a\end{array}}&b\end{array} \hfill \\\end{gathered}$，A=ma,B=mb．所以ma+mb=667．因此，mabm =120．解得：m(a+b)=667=23×29，ab=120=1×120=2×60=3×40=4×30=5×24=6×20=8×15=10×12.①当m=23时，a+b=29=5+24因此，A,B的值为115，552；②当m=29时，a+b=23=8+15因此，A,B的值为232，435；综上所述，满足条件的解有两组：115与552，232与435．4. A、B两个数的最小公倍数是1000；A、C两数的最小公倍数和B、C两个数的最小公倍数都是2000；满足这个要求的数C有四个，分别是多少？【答案】2000、400、80、16【分析】根据题意可知：1000=8×125,2000=2×8×125说明C一定多乘1个2，即C应该是16的倍数．所以16×125=2000；c=16×25=400；c=16×5=80；c=16×1=16，所以满足要求的数C分别是：2000，400，80，16．5. 用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B．请问：A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？【答案】最大公约数最大可能是21，最小公倍数最小可能是6930．【分析】〔1〕这三个数的最大公约数也是630的约数，630=2×32×5×7．由于1+2+3+4+5+6=21，所以不可能组成两个都是9的倍数的三位数；由于只有1个5，所以不可能组成两个都是5的倍数的三位数，因此该最大公约数至多为2×3×7=42，可能为21或6等．假设最大公约数为3的倍数，那么由同余法知两个三位数的三位除以3的余数分别是0、1、2；假设还为7的倍数，尝试可知231和546、315和462等都满足条件；而无法再满足为2的倍数，所以最大公约数为21．〔或者枚举出123∼654之间所有有符合题意的42的倍数也可以看出没有符合题意的，进一步枚举出123∼654之间所有符合题意的21的倍数即可找出符合的情况〕．〔2〕解法一：枚举最小公倍数为630、630×2、630×3、…的情况．假设最小公倍数为630，那么A、B均为630的三位约数，630的三位约数是105、126、210、315、630，没有符合题意的．假设最小公倍数为630×2，那么A、B均为630的三位约数，630×2的三位约数是105、126、140、180、210、252、315、420、630，没有符合题意的．……假设最小公倍数为630×11，那么A、B均为630的三位约数，630×11的三位约数是105、110、126、154、165、198、210、231、315、330、385、462、495、630、693、770、990，其中315和462符合题意．〔当然这组数在〔1〕中出现时分解质因数过的话，这种情况就可以直接写出来了．相信绝大多数在〔2〕中打算按这个方式来做的人都会提前分解一下231和546、315和462，同时一般多问的题目的前面问题的解决对后面问题会有帮助．〕所以最小公倍数最小可能为630×11=6930．解法二：1∼6这六个数字的分组有10种情况，分别为(123,456)、(124,356)、(125,346)、(126,345)、(134,256)、(135,246)、(136,245)、(145,236)、(146,236)、(156,234)，每一种分组中的两个三位数又各自有六种可能性，分别枚举这些情况，即可找到想要的答案．由于我们已经知道315和462这组可以让最小公倍数小到630×11，所以枚举其他组的时候只要看能不能使得最小公倍数更小即可．对于(123,456)，由于123这边的数字较小，所以考虑123的变化．123含41；132=22×3×11，最小公倍数最小也是630×22；213含71；231=3×7×11，可能使得最小公倍数是630×11；312含13；321含107．由于没有1个可以使得最小公倍数比630×11更小，所以(123,456)这种情况排除．同理，分别验证其他情况，发现最小公倍数最小只能到达630×11．6. 有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲的27倍．甲数是2、4、6、8、10、12、14、16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位数．乙数是多少？【答案】81【分析】设M是甲、乙的最大公因数，甲=Ma，乙=Mb，[甲,乙]=M×a×b．\[\begin{gathered}m\left| \!{\underline {\,{\begin{array}{*{20}{c}}甲&乙\end{array}} \,}} \right. \hfill \\\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{}&a\end{array}}&b\end{array} \hfill \\\end{gathered}\]甲：[2,4,6,8,10,12,14,16]=24×3×5×7，M×a×b÷Ma=b=27，18=2×32；因为甲内有3，但不能有32，所以乙内有3，综上乙数是27×3=81．7. a、b、c是三个非零自然数．a和b的最小公倍数是300，c和a、c和b的最大公约数都是20，且a>b>c．请问：满足条件的a、b、c共有多少组？【答案】7组．【分析】a和b都是20的倍数，且它们的最小公倍数是300．枚举a、b，共4种可能，依次是300和20；300和60；300和100；100和60．假设a、b分别是300、20时，c只能是20，但此时b=c，不符合题意．假设a、b分别是300、60时，c可以是20和40．假设a、b分别是300、100时，c可以是20、40和80．假设a、b分别是100、60时，c可以是20和40．综上，共7组．8. 两个自然数的和是72，它们的最大公因数与最小公倍数的和是216，这两个数分别是几？〔按由小到大的顺序写出〕【答案】30、42【分析】设这两个自然数分别是ad和bd，其中d是这两个自然数的最大公因数．由题意有(a+ b)d=72，(1+ab)d=216．所以1+ab=3(a+b)，化简得(a−3)(b−3)=8．由于a+b必是72的因数．所以a=5,b=7,d=6，所以这两个自然数分别是5×6=30和7×6=42．9. 甲、乙、丙三个人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米，如果三个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那几分钟之后，三个人又可以相聚？【答案】30【分析】由于每相遇一次，快者都比慢者多行300米，那么甲乙每次相遇时间是：300÷(120−100)=15(分钟)，甲丙每相遇一次需要300÷(120−70)=6(分钟)，乙丙每相遇一次需要300÷(100−70)=10(分钟)，那么他同时相遇需要的时间应是6、10、15的公倍数．6、10、15的最小公倍数是30，即至少30分钟后，三人又可相聚．10. 某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3,⋯,12．他们的号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的号码都能被这家的门牌号码整除．这些的首位数字都小于6，并且门牌号码是9的这一家的号码能被13整除．请问：这一家的号码是多少？【答案】388089【分析】设第一家住户的号码为n+1，那么1∣n+1,2∣n+2,3∣n+3,⋯,12∣n+12,由此可知n能被1∼12同时整除，而1∼12的最小公倍数为23×32×5×7×11=27720，那么n= 27720m，其中m为正整数．由条件“门牌号码是9的这一家的号码能被13整除〞可得，13∣27720m+9．而27720m+9≡4m+9(mod13)，所以m=14时满足条件，这一家的号码为27720×14+9=388089．11. 〔丢番图是古希腊数学家，被誉为“代数学之父〞．而丢番图的墓碑，就包含了一个很有趣的数学问题〕以下就是丢番图的墓碑原文，同学们能从其中看出丢番图一共活了多少岁吗？上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．【答案】84【分析】题目中的数量都与丢番图的年龄直接相关，因此可以考虑列方程求解：设丢番图活了x岁．可以根据题目条件列出方程1 6x+112x+17x+5+12x+4=x移项后得到328x=9，解得x=84．所以丢番图一共活了84岁．巧解：由题目条件也可简单地列出算术式：(5+4)÷(1−16−112−17−12)=9÷328=84(岁)或者利用6、12、7的最小公倍数是84．也可以快速算出！12. 定义运算“⊙〞如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b．比方：10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，那么10⊙14=70−2=68．〔1〕求12⊙21，5⊙15；〔2〕说明，如果c整除a和b，那么c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，那么c也整除b；〔3〕6⊙x=27，求x的值．【答案】〔1〕81；10；〔2〕见解析；〔3〕x=15【分析】〔1〕为求12⊙21，先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84，3，因此12⊙21=84−3=81，同样道理5⊙15=15−5=10．〔2〕如果c整除a和b，那么c是a和b的公约数，那么c整除a,b的最大公约数，显然c也整除a,b 最小公倍数，所以c整除最小公倍数与最大公约的差，即c整除a⊙b．如果c整除a和a⊙b，由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数，再由c整除a⊙b推知，整除a,b的最大公约数，而这个最大公约数整除b，所以c整除b．〔3〕由于运算“⊙〞没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小探索范围．因为6与x的最小公倍数不小于27+1=28，不大于27+6=33，而28到33之间，只有30是6的倍数，可见6和x的最小公倍数是30，因此它们的最大公约数是30−27=3．由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积〞，得到30×3=6×x．所以x=15．13. 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：〔1〕说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？〔2〕如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．【答案】〔1〕8和9；〔2〕60060【分析】〔1〕为了表达方便，不妨设1号同学写的自然数为a．根据2～15号同学所述结论，2∼15中只有两个连续的自然数不能整除a，其他的数都能整除a．由于2∼7中的每一个数的2倍都在15以内，如果2∼7中有某个数不能整除a，那么这个数的2倍也不能整除a，然而2∼7中的这个数与它的2倍不可能是两个连续的自然数，所以2∼7中每一个数都是a的约数．由于2与5互质，那么2×5=10也是a的约数．同理可知，12、14、15也都是a的约数．还剩下的四个数为8、9、11、13，只有8、9是两个连续的自然数，所以说的不对的两位同学，他们的编号分别是8和9．〔2〕1号同学所写的自然数能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15这12个数整除，也就是它们的公倍数．它们的最小公倍数是：22×3×5×7×11×13=60060．因为60060是一位五位数，而这12个数的其他公倍数都是它们的最小公倍数60060的倍数，且最小为2倍，所以均不是五位数，那么1号同学写的五位数是60060．。
完整五年级奥数第一讲因数与倍数
五年级奥数 第一讲：因数与倍数知识点拨1、 因数和倍数 ：如果a >b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。
例如6 >2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。
例如 10能被 5整除，那么 10 就是 5的倍数， 5就是 10的因数。
2、 一个数的因数的求法： ( 1 )列乘法算式找(2)列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是 1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15 的因数有哪些？ 方法一： 1215=15， 325=15(一般从自然数 1开始，一对一对的找) 方法二：15+1=15,15七=5 (计算时从除数1开始找，直到重复为止) 所以 15的因数就是 1, 3, 5, 15。
最大的因数就是 15，也就是它本身！最小的是 1。
3、 一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如： 3的倍数 36 9 1215 .... 3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征： 最小的倍数是本身，没有最大的倍数如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。
4、 2、5、3的倍数的特征 ：① 个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2的倍数。
② 个位上是 0或5的数，是 5的倍数。
③ 一个数各个数位上的数字之和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。
5、 常见数字的整除判定方法： ( 1) 2：个位是偶数的自然数(2) 5：个位是 0或5的自然数 注：若一个数同时是 2 和 5 的倍数，则此数的个位一定为 0 ( 3) 4、 25：末两位能被 4、25 整除 (4) 8、125：末三位能被 8、125整除 (5)3、9：各个数位上的数之和能被 3、9 整除(6) 7、11、13通用性质：① 一个数如果是 1001 的倍数，即能被 7、11、13整除.如201201=20121001，则其必能被 7、 ② 从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是 7、11、13的倍数，则其为 ③ 末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为 7、11、13的倍数，则其为(7) 11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11 整除 (8) 99：两位一段(从右往左) ，各段的和能被 99 整除 (9) 999：三位一段(从右往左) ，各段的和能被 999 整除6、 在自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数( 0也是偶数)，不是 2的倍数的数叫做奇数。
五年级奥数倍数问题讲座及练习答案
五年级奥数集训专题讲座（三）———倍数问题倍数问题是整个小学阶段很重要的一个问题，我们研究倍数问题主要从“和倍、差倍、和差”这三个方面来研究。
解答倍数问题我们要理解以下数量关系式：①和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数（和—小数=大数）②差÷（倍数—1）=小数小数×倍数=大数（小数＋差=大数）③（和－差）÷2=小数小数＋差=大数（和—小数=大数）④（和+差）÷2=大数大数－差=小数（和—大数=小数）例1：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑多少米？分析：把乙队的米数看作“1”份，甲队筑的米数是这样的2份，假设丙队多筑240米，三个队共筑了1360+240=1600（米），正好是乙队的4倍，所以用和倍问题来解答就很容易了。
乙队：（1360+240）÷（2+1+1）=400（米）甲队：400×2=800（米丙队：400－160=240（米）答：甲队筑了800米，乙队筑了400米，丙队筑了240米。
【巩固练习】：三个植树队植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵，三个队各植了多少棵？解:因为甲队植树的棵数是乙队的2倍，即是以乙队植树棵数为1倍量，乙队比丙队少植300棵，即丙队植树的棵数=乙队植树棵数+300棵，所以，三个队植树的总棵数是乙队的（1+1+2=）4倍多300棵，如果我们从植树总数里减去300，则正好是乙队的4倍所以乙队植树棵数=（1900－300）÷（1+1+2）=400（棵）甲队植树棵数=400×2=800（棵）丙队植树棵数=400+300=700（棵）。
答：甲队植了800棵，乙队植了400棵，丙队植了700棵。
例2：师徒两人加工同样多的一批零件，师傅加工了102个，徒弟加工了40个。
这时徒弟剩下的个数是师傅剩下的3倍，师傅要加工多少个零件？分析：徒弟比师傅少加工了102－40=62（个），相当于师傅剩下的3－1=2倍。
人教新课标数学五年级下学期《因数和倍数》解析(含答案)
人教新课标数学五年级下学期《因数和倍数》解析(含答案)一、填空1．在4、9、36这三个数中：（）是（）和（）的倍数，（）和（）是（）的因数；36的因数一共有（）个，它的倍数有（）个。
考查目的：因数和倍数的意义，找一个数的因数和倍数的方法。
答案：36 4 9，4 9 36；9，无数。
解析：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
找一个数的因数可以一对一对地找，36的因数有：1、36、2、18、3、12、4、9、6，共9个；一个数的倍数的个数是无限的。
2．圈出5的倍数：15 24 35 40 53 78 92 100 54 45 88 60在以上圈出的数中，奇数有（），偶数有（）。
考查目的：能被5整除的数的特征，奇数和偶数的意义。
答案：15 35 45，40 100 60。
解析：先根据能被5整除的数的特征判断，一个数的个位是0或者5，这个数就是5的倍数；在圈出的数中，再根据奇数与偶数的意义判断，个位上是0的数是偶数，个位上是5的数是奇数。
3．从0、4、5、8、9中选取三个数字组成三位数：（1）在能被2整除的数中，最大的是（），最小的是（）；（2）在能被3整除的数中，最大的是（），最小的是（）；（3）在能被5整除的数中，最大的是（），最小的是（）。
考查目的：能被2、3、5整除的数的特征，简单的排列组合知识。
答案：（1）984，450；（2）984，405；（3）980；405。
解析：能被2整除的数，要求个位上是0、2、4、6、8，最大的应该是984，最小的是450；能被3整除的数，各个数位上的数的和是3的倍数，通过排列组合得到其中最大的是984，最小的是405；因为个位是0或者5的数能被5整除，所以最大的是980，最小的是405。
4．将2、10、13、22、39、64、57、61、1、73、111按要求填入下面的圈内。
考查目的：奇数和偶数、质数和合数的意义。
五年级数学倍数与因数试题答案及解析
五年级数学倍数与因数试题答案及解析1.既是2的倍数，又是5的倍数的最小两位数是多少？最大两位数又是多少呢？【答案】10，90．【解析】既是2的倍数，又是5的倍数的特征是个位上必须是0，既是2的倍数，又是5的倍数的最小两位数是多少10，最大两位数是90．解：既是2的倍数，又是5的倍数的最小两位数是多少10，最大两位数是90．答：既是2的倍数，又是5的倍数的最小两位数是多少10，最大两位数是90．【点评】此题考查的目的是掌握2、5的倍数的特征．2.分一分，填一填．15、16、20、28、24、17、23、12、21、39．【答案】见解析【解析】根据是2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数；不是2的倍数的特征：个位上是1、3、5、7、9的数；写出符合条件的数即可．解：能被2整除的数：16、20、28、24、12；不能被2整除的数：15、17、23、21、39；故答案为：【点评】此题主要考查2的倍数特征，关键是用给出的三个数字写出所以的三位数，进而分类得解．3.说一说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数．32×2=6442÷3=14 ．【答案】64是2和32的倍数，2和32是64的因数；42是3和14的倍数，3和14是42的因数．【解析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．解：因为32×2=64，即64÷2=32，所以64是2和32的倍数，2和32是64的因数；因为42÷3=14，所以42是3和14的倍数，3和14是42的因数；故答案为：64是2和32的倍数，2和32是64的因数；42是3和14的倍数，3和14是42的因数．【点评】此题考查的是倍数和因数的关系，注意基础知识的积累．4.猜猜我是谁？两个数都是质数，两数之和是8，两数之积是15，这两个数是和．两个数都是质数，两数之和是15，两数之积是26，这两个数是和．【答案】3，5，13，2．【解析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；然后结合题意，进行依次解答即可．解：（1）两个数都是质数，两数之和是8，两数之积是15，这两个数是3和5；（2）两个数都是质数，两数之和是15，两数之积是26，这两个数是13和2；故答案为：3，5，13，2．【点评】明确质数的含义，是解答此题的关键．5.一个数的倍数一定比它的因数大．（判断对错）【答案】×【解析】根据因数、倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数．据此判断即可．解：因为一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，如：6的最大因数是6，6的最小倍数是6．所以，一个数的倍数一定比它的因数大的说法错误．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解因数、倍数的意义，明确：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身．6.在方格纸上画长方形，使它的面积是18cm2，边长要是整厘米数．（每个小方格的边长是1cm）【答案】见解析【解析】因为18=18×1=9×2=6×3，所以长方形的长和宽可以分别是18厘米和厘米，9厘米和2厘米，6厘米和3厘米，据此即可画出符合要求的长方形．解：据分析画图如下：【点评】此题主要考查长方形的面积公式的灵活应用，以及长方形的画法．7.一个三位数既是5的倍数，又是奇数，这个数最小是，这个数的因数有．【答案】105，1，3，5，7，15，21，35，105．【解析】根据5的倍数的特征可知：个位上是0，5的数是5的倍数；而且是奇数；据此找到其中最小的三位数解答；然后根据找一个数因数的方法，进行列举即可．解：一个三位数既是5的倍数，又是奇数，这个数最小是105；这个数的因数有1，3，5，7，15，21，35，105．故答案为：105，1，3，5，7，15，21，35，105．【点评】本题主要考查5的倍数的特征和找一个数因数的方法，注意熟练掌握．8.在1、2、4、5、8、17、20、51这几个数中，奇数有，偶数有，质数有，合数有．【答案】1、5、17、51；2、4、8、20；2、5、17；4、8、20、51．【解析】在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数，本题中的1、5、17、51不是2的倍数，是奇数；是2的倍数的数叫做偶数，本题中的2、4、8、20是2的倍数，是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，本题中的2、5、17只有1和它本身两个因数，是质数；一个数除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，如本题中的4.8.20.51除了1和它本身还有其它因数，是合数．解：由奇数、偶数、质数、合数的意义可知：奇数有：1、5、17、51；偶数有：2、4、8、20；质数有：2、5、17；合数有：4、8、20、51．故答案为：1、5、17、51；2、4、8、20；2、5、17；4、8、20、51．【点评】本题重点考查奇数、偶数、质数、合数的意义，只要掌握了意义，是很容易求出答案的．9. 30、50、96这三个数中，既是2的倍数又是5的倍数，既是2的倍数又是3的倍数．【答案】30、50，30、96．【解析】既是2的倍数，又是5的倍数，则是2和5的最小公倍数10的倍数，即只要个位数字是0；个位上的数是0、2、4、6、8且各个数位上的数的和是3的倍数；据此得解．解：30、50、96这三个数中，30、50既是2的倍数又是5的倍数，30、96既是2的倍数又是3的倍数．故答案为：30、50，30、96．【点评】本题主要考查2、5和3的倍数特征，注意牢固掌握2、5和3的倍数特征，灵活运用．10.把72分解质因数为．【答案】72=2×2×2×3×3．【解析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．解：72=2×2×2×3×3，故答案为：72=2×2×2×3×3．【点评】此题考查了求一个数的因数与分解质因数的方法．11.在1﹣20的自然数中，奇数有，偶数有质数有，合数有．【答案】1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；2，3，5，7，11，13，17，19；4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20．【解析】根据偶数及奇数的排列规律可知，奇数与偶数互邻，所以1～20的自然数中奇数有 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19偶数为2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；根据质数与合数的定义可知，质数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20共11个．解：1～20的自然数中奇数有1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，偶数为2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；质数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20共11个．故答案为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；2，3，5，7，11，13，17，19；4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20．【点评】在自然数中，奇数与偶数的排列是有规律的，质数与合数的排列没有规律．12.一个数3、5、7分别除都余1，这个数最小是．【答案】106．【解析】求出3、5、7的最小公倍数再加1即可．解：因为3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105；所以一个数3、5、7分别除都余1，这个数最小是105+1=106；故答案为：106．【点评】本题主要是灵活利用求最小公倍数的方法解决问题．13.除2以外所有的质数都是奇数．．（判断对错）【答案】√【解析】质数是除了一和本身以外没有别的约数．解：因为二是最小的质数，除2以外所有的质数都是奇数．故此题答案√．【点评】此题考查目的是：①质数的定义．②奇数的定义．③质数与奇数的区别．14.一个数，既是48的因数，又是16的倍数，这个数最小是；30以内既是合数又是奇数，这样的数有个．【答案】16，5【解析】①根据“一个数的最大的因数是它本身”可得：这个数最大是48；根据“一个数最小的倍数是它本身”可得：这个数最小是16；②根据奇数、合数的意义，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做合数．30以内既是奇数又是合数的数是9、15、21、25、27．解：①由分析知：一个数既是16的倍数，又是48的因数，这个数最大是48，最小是16；②30以内既是奇数又是合数的数是9、15、21、25、27共5个．故答案为：16，5．【点评】①此题根据因数和倍数的意义进行解答；②此题考查的目的是理解奇数、合数的意义，掌握奇数与合数的区别．15. 2 的所有因数有( )，从小到大15的5个倍数是( )。
五年级数学倍数与因数试题答案及解析
五年级数学倍数与因数试题答案及解析1.一个班的同学去春游，去时12个人坐一个车刚好，回来时8人坐一个车也刚好．问这个班最少有多少人？【答案】24人【解析】分析：即求12和8的最小公倍数是多少，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．解答：8=2×2×2，12=2×2×3，8和12的最小公倍数是2×2×2×3=24，即这个班至少有24人；答：这个班最少有24人．【考点】求几个数的最小公倍数的方法．2. 1～20的自然数中奇数有个，偶数有个，质数有个，合数有个．【答案】10，10，8，11．【解析】解：1～的自然数中奇数有 20÷2=10（个），偶数为20÷2=10（个）；质数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20共11个．所以1～20的自然数中奇数有10个，偶数有10个，质数有8个，合数有11个．故答案为：10，10，8，11．【点评】在自然数中，奇数与偶数的排列是有规律的，质数与合数的排列没有规律．3.有一篮子鸡蛋，二个一起拿，三个一起拿，五个一起拿都正好那完，这筐鸡蛋至少有（）A．30个 B．60个 C．120个【答案】A【解析】要求这筐鸡蛋最少有几个，根据题意，也就是求2、3和5的最小公倍数．解：因为2、3和5的最小公倍数是：2×3×5=30．答：这筐鸡蛋最少有30个．故选：A．【点评】关键是把生活问题转化成数学问题，2个2个拿，3个3个拿，5个5个拿，都正好拿完，求最少，也就是求2、3和5的最小公倍数．4.两个相邻自然数的公因数是1．．（判断对错）【答案】√【解析】相邻的两个自然数（0除外）它们的公因数只有1，举例证明．解：4和5、2和3、9和10都是连续的自然数，它们的公因数只有1，所以两个相邻自然数的公因数是1是正确的；故答案为：√．【点评】本题主要考查公因数的意义，注意两个连续自然数（0除外）它们的公因数只有1．5.将全班同学分成7人一组，8人一组，9人一组都差了一人，问全班有同学多少人？【答案】493人【解析】根据每7人一组，8人一组，9人一组都差了一人，要求全班至少有多少人，求出7、8、9的最小公倍数，然后减1即可．解：7、8、9的最小公倍数是7×8×9=494全班至少一共有494﹣1=493（人）答：全班一共有493人．【点评】完成此题，注意如果两个数是互质数，这两个数的最小公倍数就是它们的积．6.一个合数至少有（）个因数．A．2 B．3 C．4【答案】B【解析】自然数中，除了1和它本身外还有别的因数的数为合数．由此可知，一个合数除了1和它本身外，至少还要有一个因数即至少有3个因数，如4，共有1，2，4三个因数．解：根据合数的意义可知，一个合数除了1和它本身外，至少还要有一个因数，即至少有3个因数．故选：B．【点评】本题重点考查了学生对于合数意义的理解．7.自然数中除了质数就是合数．．（判断对错）【答案】×【解析】根据质数、合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数．据此判断即可．解：因为1既不是质数也不是合数，所以自然数中除了质数就是合数．这种说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解质数、合数的意义，明确：1既不是质数也不是合数．8.两个奇数相加的和一定是的倍数．【答案】2【解析】根据奇数、偶数的性质：奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，据此解答．解：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，奇数+奇数=偶数，因此，任意两个奇数的和都是2的倍数．故答案为：2．【点评】此题考查的目的是理解偶数的意义，掌握奇数、偶数的性质．9.因为2是偶数，所以2的倍数一定是合数．（判断对错）【答案】×【解析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，由此可知，最小的质数是2，而2是2的最小的倍数，所以2的倍数一定是合数说法错误．解：由于最小的质数是2，而2是2的最小的倍数，所以2的倍数一定是合数说法错误．故答案为：×．【点评】明确2是最小的质数同是也是2的倍数，是完成本题的关键．10.一个不为0的自然数不是质数就是合数．．【答案】×【解析】根据质数、合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．1既不是质数也不是合数．由此解答．解：自然数根据因数个数的多少可以分为：质数、合数和1三类．因此，一个不为0的自然数不是质数就是合数．此说法错误．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解质数、合数的意义，明确：1既不是质数也不是合数．11.三个连续的自然数中一定有一个合数．．（判断对错）【答案】×【解析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．由此可知，最小的质数是2，最小的合数是1，则三个连续的自然数1，2，3都不是合数，所以三个连续的自然数中一定有一个合数是错误的．解：最小的质数是2，最小的合数是1，则三个连续的自然数1，2，3都不是合数，所以三个连续的自然数中一定有一个合数是错误的．故答案为：×．【点评】自然数中从2开始，三个连续的自然数中一定有一个合数是正确的．12.若A=5B（A、B都是非零自然数），下列说法正确的是（）A．A和B的最大公因数是AB．A和B的最小公倍数是BC．A能被B整除，A含有因数5【答案】C【解析】A=5B（A、B都是非零的自然数），说明A是B的整数倍，求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；最小公倍数为较大的数；由此解答问题即可．解：由题意得，A=5B（A、B都是非零的自然数），可知A是B的倍数，所以：A 和B的最大公约数是B；A 和B的最小公倍数是A；A能被B整除，A含有约数5．只有C说法正确．故选：C．【点评】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；最小公倍数为较大的数．13.老师分糖，可以每人分5颗，可以每人分7颗，可以每人分9颗，那么老师最少有颗糖．【答案】315【解析】因为可以每人分5颗，可以每人分7颗，可以每人分9颗，所以糖的总颗数是5、7、9的最小公倍数，据此解答即可．解：因为5、7、9，两两互质，所以5、7、9的最小公倍数为5×7×9=315，答：老师最少有315颗糖．故答案为：315．【点评】此题属于求两个数的最小公倍数问题，求三个数的最小公倍数，先把这三个数分解质因数，它们公有质因数和独有质因数的连乘积计算它们的最小公倍数．由此解决问题．14.玫瑰花每6天浇一次水，兰花第8天浇一次水，仙人球30天才浇一次水，花匠今天给三种植物浇了水，至少要过多少天后才能给这三种花同时浇水？【答案】至少120天后才能给这三种花同时浇水【解析】此题属于最小公倍数问题，花匠今天给，三种花同时浇了水，求至少多少天后给这三种花同时浇水．也就是求6、8和30的最小公倍数．由此解答．解：6=2×38=2×2×230=2×3×56、8、30的最小公倍数是2×2×2×3×5=120；答：至少120天后才能给这三种花同时浇水．【点评】此题属于求两个数的最小公倍数问题，求三个数的最小公倍数，先把这三个数分解质因数，它们公有质因数和独有质因数的连乘积计算它们的最小公倍数．由此解决问题．15.能同时被2、3、5整除的数中，最小的两位数是，最大的三位数是．【答案】30，990【解析】（1）互质数的最小公倍数是它们的乘积，2、3、5三个数两两互质，所以它们的最小公倍数是它们的乘积，据此求出即可．（2）能同时被2、3、5整除的数中，最大的三位数的末尾应当是0，前两位应当是最大的自然数，据此求出即可．解：2×3×5=30，能同时被2、3、5整除的数中，最大的三位数的末尾应当是0，前两位应当是最大的自然数9，即990，恰好能被3整除；所以能同时被2、3、5整除的数中，最小的两位是30，最大的三位数是990．故答案为：30，990．【点评】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特征．16.最小的三位数合数是最小的质数的50倍．．（判断对错）【答案】√【解析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．则最小的质数是2，最小的三位数合数是100，所以最小三位数合数是最小质数的100÷2=50倍．解：最小的质数是2，最小的三位数合数是100，100÷2=50所以最小的三位数合数是最小的质数的50倍说法正确．故答案为：√．【点评】首先根据质数与合数的意义确定最小的质数与最小的三位数合数是几是完成本题的关键．17.自然数（0除外），按照因数的个数可分为、和三类．【答案】1，质数，合数【解析】一个自然数（0除外），只有1个因数的数是1，只有两个因数的数是质数，有3个或3个以上因数的数是合数；进而得出结论．解：由分析知：自然数（0除外）按它的因数的个数可以分为1，质数和合数；故答案为：1，质数，合数．【点评】解答此题的关键：结合题意，并根据质数和合数的含义，进行分析、解答即可．18.把一张长20厘米，宽16厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没剩余，最多可裁多少个？【答案】20个【解析】求长方形长与宽的最大公因数作为大正方形的边长，20与16的最大公因数是4，所以用4厘米作为大正方形的边长，长边可裁5个，宽可裁4个边长，本题可以裁20个．解：裁成的正方形的边长是20与16的最大公因数：所以正方形的边长是4厘米，20÷4=5（列），16÷4=4（行），5×4=20（个）．所以画图如下：答：最多可裁20个．【点评】考查了公约数问题，本题关键是运用求最小公因数的方法，求出最大正方形的边长的长度．19.有两个质数，和是18，积是65，这两个质数是（）。
五年级奥数.数论.因数与倍数（A级答案
五年级奥数.数论.因数与倍数（A级答案因数与倍数课前预习因数与倍数⼀天，因数和倍数⾛到了⼀起。
倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？”“我为什么要拜你，你算⽼⼏呀？”因数⽓愤地回答。
“我是⽼⼤呀。
”“你是⽼⼤？为什么”“你说，⼀个数的倍数有多少个呀？”“这我知道，⼀个数的倍数有⽆数个。
”只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，⼀个数的因数的个数就那么可怜的⼏个。
⽽⼀个数的倍数有⽆数个.你的家庭成员这么少，⽽我的家庭是这样的庞⼤。
你说，你不应该拜我吗？”“是的，你的家庭是庞⼤的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞⼤，你知道你是⽼⼏吗？我们的家庭成员是有限的，可是，我们都知道我们⾃⼰的位置。
再说，离开我们这些因数，你们这些倍数还成⽴吗？”因数理直⽓壮地回答。
只见倍数挠着⽿朵，想了想，说：“对，其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。
刚才是我不对，我向你道歉了。
”“没有关系，没有关系，你知道⾃⼰错了就好。
在⾃然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。
没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们⼜是谁的倍数呢？让我们共同携⼿，紧密团结在⼀起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。
因数和倍数两位好伙伴的⼿紧紧地握在了⼀起。
⼀、约数的概念与最⼤公约数0被排除在约数与倍数之外1．求最⼤公约数的⽅法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=?=；③辗转相除法：每⼀次都⽤除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最⼤公约数．⽤辗转相除法求两个数的最⼤公约数的步骤如下：先⽤⼩的⼀个数除⼤的⼀个数，得第⼀个余数；再⽤第⼀个余数除⼩的⼀个数，得第⼆个余数；⼜⽤第⼆个余数除第⼀个余数，得第三个余数；这样逐次⽤后⼀个余数去除前⼀个余数，直到余数是0为⽌．那么，最后⼀个除数就是所求的最⼤公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最⼤公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最⼤公约数是15．2．最⼤公约数的性质①⼏个数都除以它们的最⼤公约数，所得的⼏个商是互质数；②⼏个数的公约数，都是这⼏个数的最⼤公约数的约数；③⼏个数都乘以⼀个⾃然数n ，所得的积的最⼤公约数等于这⼏个数的最⼤公约数乘以n ．3．求⼀组分数的最⼤公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最⼩公倍数a ；求出各个分数的分⼦的最⼤公约数b ；b a即为所求．⼆、倍数的概念与最⼩公倍数1. 求最⼩公倍数的⽅法①分解质因数的⽅法；例如：2313711=??，22252237=??，所以[]22231,252237112772==；②短除法求最⼩公倍数；例如：2181239632，所以[]18,12233236==；知识框架③[,](,)a b a b a b ?=． 2. 最⼩公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最⼩公倍数的倍数．②两个互质的数的最⼩公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最⼤公约数是其中较⼩的数，最⼩公倍数是较⼤的数．3. 求⼀组分数的最⼩公倍数⽅法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分⼦的最⼩公倍数a ；求出各个分数分母的最⼤公约数b ；b a即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最⼤公约数不能是整数，最⼩公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3??== 三、最⼤公约数与最⼩公倍数的常⽤性质1．两个⾃然数分别除以它们的最⼤公约数，所得的商互质。
五年级奥数题：因数与倍数
五年级奥数题：因数与倍数因数与倍数相关习题（1）⼀、填空题1 ? 28的所有因数之和是 ______ .2. ⽤105个⼤⼩相同的正⽅形拼成⼀个长⽅形,有_______ 中不同的拼法?3. ⼀个两位数，⼗位数字减个位数字的差是28的因数,⼗位数字与个位数字的积是24.这个两位数是______ .4. 李⽼师带领⼀班学⽣去种树,学⽣恰好被平均分成四个⼩组，总共种树667棵，如果师⽣每⼈种的棵数⼀样多,那么这个班共有学⽣_____ ⼈.5. 两个⾃然数的和是50,它们的最⼤公因数是5,则这两个数的差是_________ .6. 现有梨36个,桔108个,分给若⼲个⼩朋友，要求每⼈所得的梨数，桔数相等,最多可分给 _____ ⼩朋友,每个⼩朋友得梨______ 个,桔______ 个.7. ⼀块长48厘⽶、宽42厘⽶的布，不浪费边⾓料，能剪出最⼤的正⽅形布⽚____ 块.8. 长180厘⽶,宽45厘⽶,⾼18厘⽶的⽊料，能锯成尽可能⼤的正⽅体⽊块（不余料）__ 块.9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若⼲个，⼜以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果_____ 个.10. 含有6个因数的两位数有_____ 个.11?写出⼩于20的三个⾃然数，使它们的最⼤公因数是1,但两两均不互质，请问有多少组这种解？12?和为1111的四个⾃然数，它们的最⼤公因数最⼤能够是多少？13. 狐狸和黄⿏狼进⾏跳跃⽐赛，狐狸每次跳4丄⽶，黄⿏狼每次跳2-⽶,2 4它们每秒钟都只跳⼀次.⽐赛途中，从起点开始每隔12-⽶设有⼀个陷井，当它们8之中有⼀个掉进陷井时，另⼀个跳了多少⽶？14. 已知a与b的最⼤公因数是12, a与c的最⼩公倍数是300,b与c的最⼩公倍数也是300,那么满⾜上述条件的⾃然数a, b, c共有多少组？（例如：a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个⾃然数----------------------------- 答案-----------------------------------------------答案：1. 5628的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为105 的因数有1,3,5,7,15,21,35,105 能拼成的长⽅形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长⽅形.3. 64因为28=2 2 7,所以28的因数有6个:1,2,4,7,14,28. 在数字0,1,2,…，9 中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，⼜6-4=2，8-3=5.故符合题⽬要求的两位数仅有64.4. 28因为667=23 29, 所以这班师⽣每⼈种的棵数只能是667 的因数:1,23,29,667. 显然,每⼈种667棵是不可能的.当每⼈种29棵树时,全班⼈数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.当每⼈种23棵树时,全班⼈数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题⽬要求.当每⼈种1 棵树时, 全班⼈数应是667-1=666, 但666 不能被 4 整除, 不可能. 所以, ⼀班共有28 名学⽣.5. 40 或20两个⾃然数的和是50,最⼤公因数是5,这两个⾃然数可能是5和45,15 和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20, 所以应填40或20.［注］这⾥的关键是依最⼤公因数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨36个、桔⼦108个分给若⼲个⼩朋友，要求每⼈所得的梨数、桔⼦相等，⼩朋友的⼈数⼀定是36的因数，⼜要是108的因数，即⼀定是36和108 的公因数.因为要求最多可分给多少个⼩朋友,可知⼩朋友的⼈数是36和108的最⼤公因数.36 和108的最⼤公因数是36,也就是可分给36个⼩朋友.每个⼩朋友可分得梨: 36 36=1( 只)每个⼩朋友可分得桔⼦: 108 36=3( 只)所以,最多可分得36个⼩朋友,每个⼩朋友可分得梨1只,桔⼦3只.7. 56剪出的正⽅形布⽚的边长能分别整除长⽅形的长48厘⽶及宽42厘⽶,所以它是48与42的公因数,题⽬⼜要求剪出的正⽅形最⼤,故正⽅形的边长是48与42 的最⼤公因数.因为48=2 2 2 2 3,42=2 3 7,所以48与42的最⼤公因数是 6.这样,最⼤正⽅形的边长是6厘⽶.由此可按如下⽅法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7 块,共可剪(48 6) (42 6)=8 7=56(块)正⽅形布⽚.8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和⾼分别能被正⽅体的棱长整除, 即正⽅体的棱长是1 80,45和1 8的公因数.为了使正⽅体⽊块尽可能⼤,正⽅体的棱长应是180、45和18的最⼤公因数.180,45 和18的最⼤公因数是9,所以正⽅体的棱长是9厘⽶.这样,长180厘⽶可公成20段,宽45厘⽶可分成5段,⾼18厘⽶可分成2段.这根⽊料共分割成(180 9) (45 9) (18 9)=200块棱长是9厘⽶的正⽅体.9. 150根据3与5的最⼩公倍数是 1 5,张⽼师傅以5元钱买进15个苹果,⼜以6元钱卖出15个苹果, 这样, 他1 5个苹果进与出获利 1 元. 所以他获利 1 0元必须卖出150 个苹果.10. 16含有6个因数的数，它的质因数有以下两种情况：⼀是有5个相同的质因数连乘；⼆是有两个不同的质因数其中⼀个需连乘两次，如果⽤M表⽰含有6个因数的数，⽤a和b表⽰M的质因数，那么M a5或M a2 b因为M是两位数，所以M= a5只有⼀种可能M=25，⽽M= a2 b就有以下15种情况：M223,M225,M227，M2211,M2213,M2217，M2219, M2223, M322，M325,M327,M3211M522,M523,M722.所以,含有6个因数的两位数共有15+1=16（个）11. 三个数都不是质数，⾄少是两个质数的乘积，两两之间的最⼤公因数只能分别是2,3和5,这种⾃然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.12. 四个数的最⼤公因数必须能整除这四个数的和，也就是说它们的最⼤公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解，得1111=11 101最⼤公因数不可能是1111,其次最⼤可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有1+2+3+5=11,即存在着下⾯四个数101,101 2,101 3,101 5,它们的和恰好是101 （1+2+3+5）=101 11=1111,它们的最⼤公因数为101.所以101为所求.13. 黄⿏狼掉进陷井时已跳的⾏程应该是2-与123的“最⼩公倍数” 99，4 8 499 11 1 3即跳了⼀⼀=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的⾏程应该是4-和12-的4 4 2 8“最⼩公倍数” 99，即跳了99-=11次掉进陷井.2 2 2经过⽐较可知，黄⿏狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的⾏程是14- 9=40.5（⽶）.14. 先将12、300分别进⾏质因数分解：212=2 32 2300=2 3 5⑴确定a的值.依题意a只能取12或12 5(=60)或12 25(=300).⑵确定b的值.当a=12时，b可取12,或12 5,或12 25;当a=60,300时，b都只能取12.所以,满⾜条件的a、b共有5组：a=12 - a=12 - a=12 a=60 - a=300b=12, 〔 b=60, 〔 b=300, I b=12, [ b=12.⑶确定a, b, c的组数.对于上⾯a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：2 2 2 2 2 2 2 25，5 2, 5 2，5 3, 5 2 3, 5 2 3, 即⼙25, 50, 100, 75, 150, 300. 所以满⾜条件的⾃然数a、b、c共有5 6=30 (组)因数与倍数相关习题(2)⼀、填空题1 .把20个梨和25个苹果平均分给⼩朋友，分完后梨剩下2个，⽽苹果还缺2个，⼀共有_________ 个⼩朋友.2. 幼⼉园有糖115颗、饼⼲148块、桔⼦74个，平均分给⼤班⼩朋友；结果糖多出7颗，饼⼲多出4块，桔⼦多出2个.这个⼤班的⼩朋友最多有 __________ ⼈.3. ⽤长16厘⽶、宽14厘⽶的长⽅形⽊板来拼成⼀个正⽅形，最少需要⽤这样的⽊板_____ 块.4. ⽤长是9厘⽶、宽是6厘⽶、⾼是7厘⽶的长⽅体⽊块叠成⼀个正⽅体，⾄少需要这种长⽅体⽊块_____ 块.5. ⼀个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发⼀次，第⼀次同时发车以后，_____ 钟⼜同时发第⼆次车.6. 动物园的饲养员给三群猴⼦分花⽣，如只分给第⼀群，则每只猴⼦可得12粒；如只分给第⼆群，则每只猴⼦可得15粒；如只分给第三群，则每只猴⼦可得20粒.那么平均给三群猴⼦,每只可得_________ 粒.7. 这样的⾃然数是有的：它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数，在这种⾃然数中除了 1 以外最⼩的是_____ .8. _________________________________________________ 能被3、7、& 11四个数同时整除的最⼤六位数是____________________________ .9. 把26,33,34,35,63,85,91,143 分成若⼲组,要求每⼀组中任意两个数的最⼤公因数是1,那么⾄少要分成________ 组.10. 210与330的最⼩公倍数是最⼤公因数的_______ 倍.⼆、解答题11. 公共汽车总站有三条线路，第⼀条每8分钟发⼀辆车，第⼆条每10分钟发⼀辆车，第三条每16分钟发⼀辆车，早上6: 00三条路线同时发出第⼀辆车.该总站发出最后⼀辆车是20:00,求该总站最后⼀次三辆车同时发出的时刻.12. 甲⼄两数的最⼩公倍数除以它们的最⼤公因数，商是12.如果甲⼄两数的差是18,则甲数是多少？⼄数是多少？5 15 113. ⽤-、些、1丄分别去除某⼀个分数，所得的商都是整数.这个分数28 56 20最⼩是⼏？14. 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号,1号同学写了⼀个⾃然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1 号作了检验：只有编号连续的⼆位同学说得不对，其余同学都对，问：(1) 说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续⾃然数？(2) 如果告诉你,1号写的数是五位数，请找出这个数.答案：若梨减少2个,则有20-2=18（个）;若将苹果增加2个,则有25+2=27（个）,这样都被⼩朋友刚巧分完?由此可知⼩朋友⼈数是18与27的最⼤公因数.所以最多有9个⼩朋友.2. 36根据题意不难看出,这个⼤班⼩朋友的⼈数是115-7=108,148-4=144,74-2=72 的最⼤公因数.所以,这个⼤班的⼩朋友最多有36⼈.3. 56所铺成正⽅形的⽊板它的边长必定是长⽅形⽊板长和宽的倍数，也就是长⽅形⽊板的长和宽的公倍数，⼜要求最少需要多少块，所以正⽅形⽊板的边长应是14与16的最⼩公倍数.先求14与16的最⼩公倍数.2 16 1⼻8 7故14与16的最⼩公倍数是2 8 7=112.因为正⽅形的边长最⼩为112厘⽶,所以最少需要⽤这样的⽊板112 112 _=7 8=56（块）16 144. 5292与上题类似，依题意，正⽅体的棱长应是9, 6, 7的最⼩公倍数，9, 6, 7的最⼩公倍数是126.所以,⾄少需要这种长⽅体⽊块126 126 126 , =14 21 18=5292（块）9 6 7［注］上述两题都是利⽤最⼩公倍数的概念进⾏“拼图”的问题，前⼀题是平⾯图形，后⼀题是⽴体图形，思考⽅式相同，后者可看作是前者的推⼴?将平⾯问题推⼴为空间问题是数学家喜欢的研究问题的⽅式之⼀?希望引起⼩朋友们注意?5. 90依题意知,从第⼀次同时发车到第⼆次同时发车的时间是3,5,9,15 和10的最⼩公倍数.因为3,5,9,15 和10 的最⼩公倍数是90, 所以从第⼀次同时发车后90 分钟⼜同时发第⼆次车.依题意得花⽣总粒数=12 第⼀群猴⼦只数=15 第⼆群猴⼦只数=20 第三群猴⼦只数由此可知, 花⽣总粒数是12,15,20 的公倍数,其最⼩公倍数是60.花⽣总粒数是60,120,180,……，那么第⼀群猴⼦只数是5, 10, 15,……第⼆群猴⼦只数是4, 8, 12,……第三群猴⼦只数是3, 6, 9,……所以，三群猴⼦的总只数是12, 24, 36,…….因此，平均分给三群猴⼦，每只猴⼦所得花⽣粒数总是 5 粒.7. 421依题意知, 这个数⽐2、3、4、5、6、7的最⼩公倍数⼤1,2、3、4、5、6、7的最⼩公倍数是420,所以这个数是421.8. 999768由题意知,最⼤的六位数是3,7,8,11 的公倍数,⽽3,7,8,11 的最⼩公倍数是1848.因为999999 1848=541……231，由商数和余数可知符合条件的最⼤六位数是1848的541 倍,或者是999999与231 的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据题⽬要求, 有相同质因数的数不能分在⼀组,26=2 13,91=7 13,143=11 13,所以,所分组数不会⼩于 3.下⾯给出⼀种分组⽅案:(1)26 , 33, 35; (2)34 , 91; (3)63 , 85, 143.因此，⾄少要分成3组.［注］所求组数不⼀定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3 5, 2仁3 7,35=5 7，3，5，7各出现两次，⽽这三个数必须分成三组，⽽不是两组除了上述分法之外，还有多种分组法,下⾯再给出三种：(1) 26,35 ；33，85，91；34，63，143.(2) 85,143,63 ；26，33，35；34，91.。
小学奥数数论(因数与倍数及整数裂项)试题及答案解析
小学奥数——因数与倍数与整数裂项一、选择题（共50小题）1.沿边长为20米的正方形花园四周每隔4米种一棵树，最多可种树()棵A.16B.18C.20D.222.一个挂钟，一点钟敲一下，两点钟敲两下，三点钟敲三下⋯⋯十二点钟敲十二下，每逢半点敲一下.这个挂钟一昼夜共敲()下.A.78B.102C.156D.1803.一根木头长24分米，要锯成4分米长的木棍.若每锯一次要3分钟，锯完一段休息2分钟，则全部锯完需要()分钟.A.23B.25C.28D.304.一块三角形地，三条边分别12米、15米、9米，每3米种一棵树，一共要种()棵树.A.9B.12C.15D.185.一根长2米的木棍，锯成每段长0.4米的木棍需要20分钟，那么锯成每段长0.5米的木棍需要()A.15分钟B.12分钟C.10分钟D.以上都不对6.一根水管锯成两段要2分钟，锯成6段要()分钟.A.6B.10C.12D.247.同学们做早操，81个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离时120米，相邻两个人的距离是()米.A.1B.约1.5C.1.5D.28.小明家住在9楼，他从底楼走到3楼用了1分钟，那么它从底楼走到9楼要用()分钟.A.4.5B.4C.3.5D.3E.2.59.奶奶出去散步，从第一根电线杆处走到第十根电线杆处共用了18分钟，照这个速度奶奶走了36分钟，她走到了第()根电线杆处.A.18B.19C.20D.2110.时钟3点敲3下，6秒钟敲完；那么7点敲7下，()秒钟敲完.A.10B.12C.14D.1811.在一座长1000米的长江大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏（相邻两盏之间的距离相等）.则相邻两盏彩灯之间的距离是()米.A.8B.9C.10D.1112.分母小于60，分子不大于6的最简真分数有()个.A.59B.87C.197D.21513.a，b和c是三个非零自然数，在a b c=⨯中，能够成立的说法是()A.b和c是互质数B.b和c都是a的质因数C.b和c都是a的约数D.b一定是c的倍数14.三个不同正整数的和为564，其中一个数除以3余数为1，另一个数除以5的余数为3，第三个数除以7的余数为5，商都相同，则相同的商为()A.15B.21C.35D.3715.商店有三种糖，甲种糖每袋1.5千克，乙种糖每袋2千克，丙种糖每袋2.5千克，为了方便顾客，将大袋改为小袋，把它们全改为0.5千克的小袋，这样奶糖正好装了126袋，水果糖正好装104袋，酥糖正好205袋，原来的甲、乙、丙三种糖的品种依次是()A.酥糖、水果糖、奶糖B.奶糖、水果糖、酥糖C.奶糖、酥糖、水果糖D.水果糖、奶糖、酥糖16.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是()A.32B.37C.55D.9017.你能根据以下的线索找出百宝箱的密码吗？（1）密码是一个八位数；（2）密码既是3 的倍数又是25 的倍数；（3）这个密码在20000000 到30000000 之间；（4）百万位与十万位上的数字相同；（5）百位数字比万位数字小2；（6）十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以千万位、百万位上数字组成的两位数，商是25.依据上面的条件，推理出这个密码应该是()A.25526250B.26650350C.27775250D.2887035018.从1~11这11个整数中任意取出6个数，则下面结论正确的共()个.①其中必有两个数互质；②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.A.3B.2C.1D.019.如果20132013201420142012nm⨯=⨯+（其中m与n为互质的自然数），那么m n+的值是()A.1243B.1343C.4025D.402920.某班有50多人上体育课，他们站成一排，老师让他们按1，2，3，4，5，6，7循环报数，最后一人报的数是4，这个班有()人上体育课.A.51B.50C.53D.5721.两个数的最大公约数是20，最小公倍数是100，下面说法正确的有()个.（1）两个数的乘积是2000.（2）两个数都扩大10倍，最大公约数扩大100倍.（3）两个数都扩大10倍，最小公倍数扩大10倍.（4）两个数都扩大10倍，两个数乘积扩大100倍.A.1B.2C.3D.422.用四个数码1，3，4和6所组成的没有重复数字的所有整数中，是6的倍数的有( )A.1B.2C.3D.423.若干位小朋友排成一行，从左面第一个人开始，每隔2人发一个苹果，从右面第一人开始，每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到了，那么这些小朋友最多有()人.A.16B.31C.158D.16624.一个电子钟，每9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点时，电子钟恰好又亮灯又响铃，问下次既亮灯又响铃是()A.2点B.3点C.4点D.5点25.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有()条.A.7B.8C.9D.1026.一根长木棍上刻有三种刻度，第一种刻度将木棍十等分，第二种刻度将木棍十二等分，第三种刻度将木棍十五等分，如果沿每条刻度线将木棍锯开，木棍总共被锯成()A.20段B.24段C.28段D.30段27.某加油站有二位员工，从今年l月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有()天要聘1个时工.A.26B.28C.30D.2428.一条公路由A经B到C.已知A、B相距280米，B、C相距315米.现要在路边植树，要求相邻两树间的距离相等.并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵.那么两树间距离最多有()A.35米B.36米C.17.5米D.18米29.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点是()A.32千米处B.37千米处C.55千米处D.90千米处30.有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是()A.56B.78C.84D.9631.在老区和新区之间一条路上安排公交站点，第一种安排将道路分成十等份；第二种安排将道路分成十二等份；第三种安排将道路分成十五等份.这三种安排分别通过三路不同的公交车实现，则此道路上其有多少个公交站点？（含起点和终点）()A.27B.29C.32D.3732.有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有()对.A.1B.2C.3D.433.如果a、b的最大公因数是21，那么a和b的公因数有()个.A.2B.3C.4D.534.同学们栽树，每行栽5棵，到最后一行只栽了4棵树，那么这些树的棵数是()A.5的倍数B.4的倍数C.5的倍数多4D.4的倍数多535.标有1到200的200张数字卡片，任意抽一张，号码是3的倍数的可能性是()A.33100B.67100C.310D.不确定36.7和8的最小公倍数是()A.1B.56C.11237.一块红砖长25厘米，宽15厘米，用这样的红砖拼成一个正方形最少需要多少块？( )A.15B.12C.75D.838.小丽用一排地砖创造了一种跳跃游戏.她将地砖标上l，2，3，4，⋯并沿这一排地砖跳跃，每两块地砖着地一次，第一步落在第2块地砖上，最后停在倒数第2块地砖上.转身后她从倒数第2块地砖开始向回跳跃，这一次是每三块地砖着地一次，最后停在第l块地砖上.最后她又转身从第l块地砖开始跳跃，每五块地砖着地一次.这一次她又停在倒数第2块地砖上.那么这一排地砖共有()块（从下列选项中选出符合条件的答案）.A.39B.40C.47D.49E.5339.a、b和c是三个自然数，在a b c=⨯中，不一定成立的是()A.a一定是b的倍数B.a一定能被b整除C.a一定是b和c的最小公倍数D.b一定是a的约数40.一个圆的直径缩小2倍，周长与面积分别缩小()A.2倍与4倍B.2倍与2倍C.4倍与4倍D.4倍与2倍41.下列四组数中，两个数只有公约数1的数是()A.13和91B.21和51C.34和51D.15和2842.五楼的王老师病了，小孙帮王老师送早点，从一楼到二楼用了34分钟，用同样的速度从一楼走到五楼王老师家要用( )分钟.A.154B.3C.203D.以上都不对43.校园内有一圆形花坛，花坛周围一共种了15棵月季花，每两棵月季花的距离都是2米，那么花坛的周长是( )A.30B.3C.28D.1544.奶奶折一个纸鹤用3分钟，每折好一个需要休息1分钟，奶奶从2时30分开始折，她折好第5个纸鹤时已经到了( )A.2时45分B.2时49分C.2时50分D.2时53分45.小明在正方形的边上标出若干个点，每条边上恰有3个，那么所标出的点最少有( )个.A.12B.10C.8D.646.一个木工锯一根长22米的木料，他先把一头损坏的部分锯下来2米，然后锯了4次，锯成同样长的短木条，每根短木条长( )米.A.2B.3C.4D.547.把25分拆成若干个不同正整数的和，其积的最大值设为A ，把26分拆成若干个不同正整数的和，其积的最大值设为B ，则(A B ) A.2526 B.78 C.56 D.1848.把自然数154写成若干个连续自然数之和（最少有两个数），共有( )种不同写法.A.2B.3C.4D.549.如图所示，将15个点排成三角形点阵或者梯形点阵共有3种不同方法（规定：相邻两行的点数均差1).那么将2014个点排成三角形点阵或者梯形点阵（至少两层）共有( )种不同的方法.A.3B.7C.4D.950.式子20141x为整数，则正整数x有()种取值.A.6B.7C.8D.9参考答案与试题解析一、选择题（共50小题）1.沿边长为20米的正方形花园四周每隔4米种一棵树，最多可种树()棵A.16B.18C.20D.22【解析】根据题意得⨯÷2044=÷804=（棵)20故选：C.2.一个挂钟，一点钟敲一下，两点钟敲两下，三点钟敲三下⋯⋯十二点钟敲十二下，每逢半点敲一下.这个挂钟一昼夜共敲()下.A.78B.102C.156D.180【解析】根据题意得+++⋯++⨯(1231212)2=⨯902=（下)180故选：D.3.一根木头长24分米，要锯成4分米长的木棍.若每锯一次要3分钟，锯完一段休息2分钟，则全部锯完需要()分钟.A.23B.25C.28D.30【解析】2446÷=（段)615-=（次)⨯=（分钟）5315⨯-=（分钟）2(51)815823+=（分钟）答：全部锯完需要23分钟.故选：A.4.一块三角形地，三条边分别12米、15米、9米，每3米种一棵树，一共要种()棵树.A.9B.12C.15D.18【解析】根据题意得(12159)3++÷=÷363=（棵)12故选：B.5.一根长2米的木棍，锯成每段长0.4米的木棍需要20分钟，那么锯成每段长0.5米的木棍需要()A.15分钟B.12分钟C.10分钟D.以上都不对【解析】20.45÷=（段)÷-20(51)=÷204=（分)5÷=（段)20.54⨯-5(41)=⨯53=（分钟）15答：需要15分钟.故选：A.6.一根水管锯成两段要2分钟，锯成6段要()分钟.A.6B.10C.12D.24【解析】2(21)(61)÷-⨯-=÷⨯215=（分钟）10答：锯成6段要10分钟；故选：B.7.同学们做早操，81个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离时120米，相邻两个人的距离是()米.A.1B.约1.5C.1.5D.2【解析】如果把人看做一个点，120(811)÷-=÷120801.5=（米)所以应该是约1.5米，但不是1.5米答：相邻两个人约隔1.5米.故选：B.8.小明家住在9楼，他从底楼走到3楼用了1分钟，那么它从底楼走到9楼要用()分钟.A.4.5B.4C.3.5D.3E.2.5【解析】1(31)(91)÷-⨯-=÷⨯128=（分钟）；4答：它从底楼走到9楼要用4分钟.故选：B.9.奶奶出去散步，从第一根电线杆处走到第十根电线杆处共用了18分钟，照这个速度奶奶走了36分钟，她走到了第()根电线杆处.A.18B.19C.20D.21【解析】18(101)2÷-=（分钟）÷+=（根)362119答：奶奶36分钟走到了第19根电线杆处.10.时钟3点敲3下，6秒钟敲完；那么7点敲7下，()秒钟敲完.A.10B.12C.14D.18【解析】根据分析可得，÷-⨯-，6(31)(71)=⨯，3618=（秒)；答：7点敲7下，18秒钟敲完.故选：D.11.在一座长1000米的长江大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏（相邻两盏之间的距离相等）.则相邻两盏彩灯之间的距离是()米.A.8B.9C.10D.11【解析】大桥一边挂彩灯的数量：2022101÷=（盏)灯与灯之间的间隔数：1011100-=（个)相邻2盏彩灯的距离：100010010÷=（米)，故选：C.12.分母小于60，分子不大于6的最简真分数有()个.A.59B.87C.197D.215【解析】根据题意可得：①当分子是1时，分母可以从2到59，共58个；②当分子是2、3、5时，因为他们都是质数，因此分母必须大于分子，且不是分子的倍数，当分子是2时，在1到59之间有偶数29个130+=个数不符合条件，所以有593029-=个；当分子是3时，在1到59之间有3的倍数18个321+=个，所以有592138-=个；当分子是5时，在1到59之间是5的倍数的11个415+=个，所以591544-=个；③因为当分子是4时是合数，分母不能为偶数，在1到59之间有偶数29个231+=，所以有593128-=个；④分子是6时，6是合数，分母不能为偶数，在1到59之间有偶数29个231+=个，又不能是3的倍数，1至59之间不是偶数且是3的倍数有10个，则所以共有--=个.59311018所以分子不大于6而分母小于60的不可约真分数有：582938442818215+++++=（个).故选：D.13.a，b和c是三个非零自然数，在a b c=⨯中，能够成立的说法是()A.b和c是互质数B.b和c都是a的质因数C.b和c都是a的约数D.b一定是c的倍数【解析】A、比如1226=⨯，2和6不互质，所以b和c是互质数的说法错误；B、比如4886=⨯，8和6不是48的质因数，所以b和c都是a的质因数的说法错误；C、因为a b c=⨯，所以b和c都是a的因数，所以b和c都是a的约数的说法正确；D、比如4886=⨯，8就不是6的倍数，所以b一定是c的倍数的说法错误；故选：C.14.三个不同正整数的和为564，其中一个数除以3余数为1，另一个数除以5的余数为3，第三个数除以7的余数为5，商都相同，则相同的商为()A.15B.21C.35D.37【解析】---÷++=(564135)(357)37故选：D.15.商店有三种糖，甲种糖每袋1.5千克，乙种糖每袋2千克，丙种糖每袋2.5千克，为了方便顾客，将大袋改为小袋，把它们全改为0.5千克的小袋，这样奶糖正好装了126袋，水果糖正好装104袋，酥糖正好205袋，原来的甲、乙、丙三种糖的品种依次是()A.酥糖、水果糖、奶糖B.奶糖、水果糖、酥糖C.奶糖、酥糖、水果糖D.水果糖、奶糖、酥糖【解析】由题意，甲种糖一袋改3小袋，乙种糖一袋改4小袋，丙种糖一袋改5小袋，因为奶糖正好装了126袋，水果糖正好装104袋，酥糖正好205袋，而126能被3整除，104能被4整除，205能被5整除，所以甲、乙、丙三种糖的品种依次是奶糖、水果糖、酥糖，故选：B.16.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是()A.32B.37C.55D.90【解析】同时经过两种设施时的里程数减3后，应是4的倍数，减10以后应是9的倍数.在19千米处第一次同时经过这两种设施，所以从这里开始以后再次经过这两种设施时，行驶的路一定是4和9的最小公倍数，所以第二次同时经过这两种设施时的里程数为194955+⨯=千米.故选：C.17.你能根据以下的线索找出百宝箱的密码吗？（1）密码是一个八位数；（2）密码既是3 的倍数又是25 的倍数；（3）这个密码在20000000 到30000000 之间；（4）百万位与十万位上的数字相同；（5）百位数字比万位数字小2；（6）十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以千万位、百万位上数字组成的两位数，商是25.依据上面的条件，推理出这个密码应该是()A.25526250B.26650350C.27775250D.28870350【解析】（1）四个选项都是8位数；（2）四选项都是25的倍数，C的数字和是35不是3的倍数.排除C；（3）都满足条件；（4）都满足条件；（5）A，D相等不满足条件；（6）B满足条件.故选：B.18.从1~11这11个整数中任意取出6个数，则下面结论正确的共()个.①其中必有两个数互质；②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.A.3B.2C.1D.0【解析】根据上面的分析可知：从1~11这11个整数中任意取出6个数，①其中必有两个数互质；此说法正确.③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.此说法正确.故选：B.19.如果20132013201420142012n m⨯=⨯+（其中m 与n 为互质的自然数），那么m n +的值是( )A.1243B.1343C.4025D.4029 【解析】2013201320136712014201420122016672n m ⨯===⨯+， 所以671n =，672m =，1343m n +=.故选：B .20.某班有50多人上体育课，他们站成一排，老师让他们按1，2，3，4，5，6，7循环报数，最后一人报的数是4，这个班有( )人上体育课.A.51B.50C.53D.57【解析】接近50的7的倍数有：49和56，49453+=，56460+=不符合题意，所以这个班有53人上体育课.故选：C .21.两个数的最大公约数是20，最小公倍数是100，下面说法正确的有( )个.（1）两个数的乘积是2000.（2）两个数都扩大10倍，最大公约数扩大100倍.（3）两个数都扩大10倍，最小公倍数扩大10倍.（4）两个数都扩大10倍，两个数乘积扩大100倍.A.1B.2C.3D.4【解析】根据题意，可知这两个数分别是20和100；（1）201002000⨯=，所以两个数的乘积是2000，所以原说法正确的；（2）两个数都扩大10倍，最大公约数变为2010200⨯=，是扩大了10倍，所以原说法错误；（3）两个数都扩大10倍，最小公倍数变为100101000⨯=，是扩大了10倍，所以原说法正确；（4）两个数都扩大10倍，变为200和1000，乘积变为200000，也即两个数乘积扩大100倍，所以原说法正确；正确的说法有3个.故选：C .22.用四个数码1，3，4和6所组成的没有重复数字的所有整数中，是6的倍数的有( )A.1B.2C.3D.4【解析】由分析可知，用四个数码1，3，4和6所组成的没有重复数字的所有整数中，是6的倍数的有36和6这两个数.故选：B.23.若干位小朋友排成一行，从左面第一个人开始，每隔2人发一个苹果，从右面第一人开始，每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到了，那么这些小朋友最多有()人.A.16B.31C.158D.166【解析】每(21)(41)15+⨯+=人就会有1人拿到两种水果.先让12人拿到两种水果，并且在这一行中，两端的两人都拿到了两种水果，因此共：15111166⨯+=（人)；然后从两端去掉最少的人就可以了，要满足左方第一个是苹果，那么左方最少去掉3人，要满足右方第一个拿到橘子，那么右方最少去掉5人；所以最多有：16653158--=（人)；答：这些小朋友最多有158人.故选：C.24.一个电子钟，每9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点时，电子钟恰好又亮灯又响铃，问下次既亮灯又响铃是()A.2点B.3点C.4点D.5点【解析】因为9和60的最小公倍数是180，所以180分后既亮灯又响铃，180分钟3=小时；12时3=时；+时15答：在下午3点既亮灯又响铃.故选：B.25.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有()条.A.7B.8C.9D.10【解析】从左往右每隔6厘米染的红点全是6的倍数，从右往左每隔5厘米染红点，100除以5能除尽，说明从左往右和从右往左是一样的，都是5的倍数.只要找出5厘米的倍数和6厘米的倍数就可以.100以内5的倍数是：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65，70，75，80，85，90，95，100.100以内6的倍数是：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96，5的倍数和6的倍数相差1的是：5和6，24和25，36和35，54和55，65和66，84和85，95和96，所以共有7段长1cm的短木棍.故选：A.26.一根长木棍上刻有三种刻度，第一种刻度将木棍十等分，第二种刻度将木棍十二等分，第三种刻度将木棍十五等分，如果沿每条刻度线将木棍锯开，木棍总共被锯成()A.20段B.24段C.28段D.30段【解析】由于10、12、15的最小公倍数是60，假定这根木棍的长为60.于是，各等分的刻度线的标记处是：十等分：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60.十二等分：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60.十五等分：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60.这样，把有三个刻度线标记处重合的(60)去掉，把有两个刻度线标记处的(12、24、36、48、20、30、40)只算一个，然后在4、5、6、8、10、12、15、16、18、20、24、25、28、30、32、35、36、40、42、44、45、48、50、52、54、55、56处将木棍锯断，共锯了27次.根据植树问题的原理可知：这根木棍共锯成27128+=（段).故选：C.27.某加油站有二位员工，从今年l月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有()天要聘1个时工.A.26B.28C.30D.24【解析】解；甲每到4的倍数就休息，而乙每到7的倍数和比7的倍数少一天都休息.因为4和7的最小公倍数是28，因为今年是平年，所以在28的倍数休息的日子时；÷=⋯（天)，36528131而每个28天中，第20天和第28天两人都休息，所以全年共有13226⨯=（天)需要聘请临时工.故选：A.28.一条公路由A经B到C.已知A、B相距280米，B、C相距315米.现要在路边植树，要求相邻两树间的距离相等.并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵.那么两树间距离最多有()A.35米B.36米C.17.5米D.18米【解析】因为157.5140117.5÷=⋯，14017.58÷=，所以140和157.5这两个数的最大公约数就是17.5.答：两树间距离最多有17.5米.故选：C.29.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点是()A.32千米处B.37千米处C.55千米处D.90千米处【解析】同时经过两种设施时的里程数减3后，应是4的倍数，减10以后应是9的倍数.在19km处第一次同时经过这两种设施，所以从这里开始以后再次经过这两种设施时，行驶的路一定是4和9的公倍数，所以第二次同时经过这两种设施时的里程数为194955km+⨯=.故选：C.30.有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是()A.56B.78C.84D.96【解析】8222=⨯⨯，=⨯⨯⨯⨯⨯，96222223所以这两个最大公约数8，最小公倍数是96的二位数只能是2222232⨯⨯⨯⨯=和⨯⨯⨯=；222324这两个二位数的和是：322456+=；故选：A.31.在老区和新区之间一条路上安排公交站点，第一种安排将道路分成十等份；第二种安排将道路分成十二等份；第三种安排将道路分成十五等份.这三种安排分别通过三路不同的公交车实现，则此道路上其有多少个公交站点？（含起点和终点）()A.27B.29C.32D.37【解析】第一种安排：10个站点；第二种安排：12个站点；第三种安排：15个站点.其中，三种安排的起点终点是相同的，要减掉4个站点又，第一种安排和第二种安排有一个站点重合，减掉1个站点（因为10和12在100以内只有一个公倍数60)第二种安排和第三种安排有一怠伐糙和孬古茬汰长咯个站点重合，减掉1个站点（因为12和15在100以内只有一个公倍数60)第一种安排和第三种安排有三个站点重合，减掉2个站点(10和15在100以内有三个公倍数30、60、90，其中60已经减过一次）所以总共是29个站点.故选：B.32.有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有()对.A.1B.2C.3D.4【解析】根据题干分析可得：=⨯⨯⨯，2102357符合题意的两个合数为：⨯；23⨯和57⨯；⨯和3725⨯；27⨯和35共有3对.故选：C.33.如果a、b的最大公因数是21，那么a和b的公因数有()个.A.2B.3C.4D.5【解析】a和b的公因数有1、3、7、21，共有4个；故选：C.34.同学们栽树，每行栽5棵，到最后一行只栽了4棵树，那么这些树的棵数是()A.5的倍数B.4的倍数C.5的倍数多4D.4的倍数多5【解析】根据分析可得，树的总棵数5=⨯行数4+，即树的总棵数比5的倍数多4；故选：C.35.标有1到200的200张数字卡片，任意抽一张，号码是3的倍数的可能性是()A.33100B.67100C.310D.不确定【解析】标有1到200的200张数字卡片，是3的倍数的有198366÷=个，可能性为：33 66200100÷=；答：号码是3的倍数的可能性是33 100；故选：A.36.7和8的最小公倍数是()A.1B.56C.112【解析】7和8的最小公倍数是；7856⨯=；故选：B.37.一块红砖长25厘米，宽15厘米，用这样的红砖拼成一个正方形最少需要多少块？( )A.15B.12C.75D.8【解析】(7525)(75150)÷⨯÷35=⨯15=（块)；答：用这样的红砖拼成一个正方形最少需要15块.故选：A.38.小丽用一排地砖创造了一种跳跃游戏.她将地砖标上l，2，3，4，⋯并沿这一排地砖跳跃，每两块地砖着地一次，第一步落在第2块地砖上，最后停在倒数第2块地砖上.转身后她从倒数第2块地砖开始向回跳跃，这一次是每三块地砖着地一次，最后停在第l块地砖上.最后她又转身从第l块地砖开始跳跃，每五块地砖着地一次.这一次她又停在倒数第2块地砖上.那么这一排地砖共有()块（从下列选项中选出符合条件的答案）.A.39B.40C.47D.49E.53【解析】第一次：因为每两块地砖着地一次，第一步落在第2块地砖上，最后停在倒数第2块地砖上，所以地砖数是2的倍数加上1；第二次：因为倒数第2块地砖开始向回跳跃，这一次是每三块地砖着地一次，最后停在第l块地砖上，所以地砖数是3的倍数减去1；第三次：因为从第l块地砖开始跳跃，每五块地砖着地一次.这一次她又停在倒数第2块地砖上，所以地砖数是5的倍数加上2；在答案39，40，47，49，53中，只有47符合要求；故选：C.39.a、b和c是三个自然数，在a b c=⨯中，不一定成立的是()A.a一定是b的倍数B.a一定能被b整除C.a一定是b和c的最小公倍数D.b一定是a的约数【解析】A、因为a b c=⨯，所以a一定是b的倍数，正确；B、因为a b c=⨯，所以a b c÷=，a一定能被b整除，正确；=⨯，a一定是b和c的最小公倍数，不成立；C、a b cD、a b c=⨯，所以a b c÷=，b一定是a的约数.故选：C.40.一个圆的直径缩小2倍，周长与面积分别缩小()A.2倍与4倍B.2倍与2倍C.4倍与4倍D.4倍与2倍【解析】根据圆的周长和面积公式可知，圆的周长和半径成正比例，圆的面积与半径的平方成正比例，所以圆的直径缩小2倍，即圆的半径缩小2倍，则圆的周长缩小2倍，圆的面积就缩小2=倍，24故选：A.41.下列四组数中，两个数只有公约数1的数是()A.13和91B.21和51C.34和51D.15和28【解析】A，13是质数，91713=⨯，它们的最大公因数是13；B，2137=⨯，51317=⨯，它们的最大公因数是3；C，34217=⨯，51317=⨯，它们的最大公因数是17；D，1535=⨯，28227=⨯⨯，它们的公因数只有1.故选：D.42.五楼的王老师病了，小孙帮王老师送早点，从一楼到二楼用了34分钟，用同样的速度从一楼走到五楼王老师家要用()分钟.A.154B.3C.203D.以上都不对【解析】3(51) 4⨯-344=⨯3=（分钟）答：用同样的速度从一楼走到五楼王老师家要用3分钟.故选：B.43.校园内有一圆形花坛，花坛周围一共种了15棵月季花，每两棵月季花的距离都是2米，那么花坛的周长是()A.30B.3C.28D.15【解析】根据题意可知：花坛的周长15230=⨯=（米)；故选：A.44.奶奶折一个纸鹤用3分钟，每折好一个需要休息1分钟，奶奶从2时30分开始折，她折好第5个纸鹤时已经到了()A.2时45分B.2时49分C.2时50分D.2时53分【解析】1(51)4⨯-=（分钟）3515⨯=（分钟）2时30分4+分钟15+分钟2=时49分答：她折好第5个纸鹤时已经到了2时49分；故选：B.45.小明在正方形的边上标出若干个点，每条边上恰有3个，那么所标出的点最少有(。
五年级数学倍数与因数试题答案及解析
五年级数学倍数与因数试题答案及解析1.在1~20的自然数中，最大的质数是（）；最下的合数是（）；是偶数但不是合数的是（）；是奇数也是合数的是（）。
【答案】19、4、2、9和15【解析】略2.在35的因数中，有（）个不同的质数。
A.1B.2C.3【答案】B。
【解析】质数是只有1和它本身两个约数的数，合数是除了1和它本身，还有别的约数的数，35的因数有1、5、7、35，其中1既不是质数也不是合数，根据质数、合数的意义可知：35的因数中有5、7两个质数。
3.有一个数，它既是8的因数，又是8的倍数，这个数是（）。
A.8B.16C.24【答案】A。
【解析】根据找一个数的因数的方法：一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；根据找一个数的倍数的方法，一个数的倍数是无限的，最小的一个倍数是它本身，可见一个数的本身既是其最大约数又是其最小倍数。
4.在方格纸上画长方形，使它的面积是16cm2，边长是整厘米数。
（每个小方格的边长表示1cm）16的全部因数：________________________________。
【答案】1，2，4，8，16。
据此画图如下：【解析】先把16写出两个数相乘的形式，即可画出这个面积是16平方厘米的长方形，再根据求一个数的因数的方法，进行依次列举即可。
5.深圳大运会闭幕式体操队表演时有48人。
如果体操队排成长方形队形（每队人数和排数都不小于4），可以有几种排法？【解析】此题实际是求48的因数，然后根据题意即可解答。
6.要使1280是3的倍数，至少要加上（）。
A.1B.3C.4【答案】A。
【解析】根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除；进行解答即可。
7.解答。
（1）是3的倍数的有：______________________。
（2）同时是2和3的倍数的有：___________________________。
（3）同时是3和5的倍数的有：____________________________。
五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题(附答案)
五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题(附答案)第二单元：因数和倍数提高题和奥数题板块一：因数和倍数例题1：一个数在150至250之间，且是18的倍数，这个数可能是多少？最大是多少？练1：一个数是25的倍数，它位于110至160之间，这个数是多少？例题2：有一个数，它是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少？练2：既是7的倍数，又是42的因数，这样的数有哪些？例题3：妈妈买来30个苹果，让XXX把苹果放入篮子里。
不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。
XXX共有几种拿法？每种拿法每次各拿多少个？练3：五（1）班有学生42人，把他们平均分成几个研究小组，每组多于2人且少于8人。
可以分成几个小组呢？板块二：2、5、3的倍数的特征例题1：一个五位数29ABC（A、B、C是～9中不同的数字）同时是2、5、3的倍数，这个数可能是多少？练1：在17的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，又同时含有因数3和5.这个五位数最大是多少？最小是多少？例题2：5□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？练2：4□□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？板块三：奇数和偶数例题1：一只小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，不断往返。
已知小船最初在南岸。
1）摆渡15次后，小船是在南岸还是在北岸？为什么？2）XXX说摆渡2016次后，小船在北岸。
他说得对吗？为什么？练1：傍晚XXX开灯做作业，本来拉一次开关，灯就该亮了，但是他连续拉了5次开关，灯都没有亮，原来是停电了。
你知道来电的时候，灯应该亮着还是不亮呢？例题2：有36个苹果，把它们放在9个盘子里，每个盘子里只放奇数个苹果，能做到吗？练2：（1）1×2+3×4+5×6+…+199×200的和是奇数还是偶数？有2016个烟花，每次燃放奇数个，想在9次后恰好全部放完，能做到吗？为什么？可以做到。
五年级数学因数和倍数试题答案及解析
五年级数学因数和倍数试题答案及解析1.有3个连续自然数，已知中间一个数是n，那么其他两个自然数分别是（）和（）。
【答案】n-1；n+1【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
2.三个连续自然数的和是45，这三个自然数分别是（）、（）和（）。
【答案】14；15；16【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
3.下列哪些是自然数，请把他们写在下边的横线上。
0.34，45，26，435， 8.45， 6.54， 20， 6.01【答案】45，26，435，20【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
4.下列哪些是自然数，请把他们写在下边的横线上。
0.43，342，12，40， 324.9， 6.34， 13， 0.01【答案】342，12，40， 13【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
5.没有最大的自然数。
（）【答案】正确【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
6.13和26的最大公因数是，最小公倍数是。
考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法。
分析：13和26是倍数关系，所以这两个数的最大公因数就是较小的数13，最小公倍数是较大的那个数，即26。
解答：解：因为26÷13=2，即26是13的倍数，所以13和26的最大公因数是13，13和26的最小公倍数是26。
故答案为：13，26。
【答案】13，26【解析】【考点】求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法。
五年级数学因数和倍数试题答案及解析
五年级数学因数和倍数试题答案及解析1.最小的自然数是（），排在它后边一个的自然数是（）。
【答案】0；1【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
2.有3个连续自然数，已知中间一个数是n，那么其他两个自然数分别是（）和（）。
【答案】n-1；n+1【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
3.下列哪些是自然数，请把他们写在下边的横线上。
0.8，223，0，0.001，400.1， 85.5， 6.768， 18【答案】223，0，18【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
4.连个相邻自然数之间的差是1。
（）【答案】正确【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
5.下列自然数可以表示重复次数的是（）。
A．2×6=12B．4＋4＋4=4×3C．小亚得了第2名D．我们家的邮政编码是200086【答案】B【解析】主要考查了对自然数的认识。
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
6.当a是自然数时，2a+1一定是（）A．偶数B．奇数C．质数D．合数【答案】B．【解析】根据偶数和奇数的含义可知：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数；可知：2a+1是奇数；进而选择即可．解答：解：a是自然数，那么2a+1表示的一定是奇数．故选：B．点评：此题考查的目的是理解奇数、偶数的意义．7.在3×4=12中，12是倍数，3和4是因数．【答案】错误．【解析】据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数；因为3×4=12，则12÷3=4，12÷4=3，所以3和4是12的因数，12是3、4的倍数；因数和倍数相互依存的，不能单独存在；进而判断即可．解答：解：3×4=12，只能说3和4是12的因数，12是3、4的倍数，因数和倍数不能单独存在；所以3、4是因数，12是倍数，说法错误，故答案为：错误．点评：解答此题的关键：应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在．8.既是24的因数，又是6的倍数的数有．【答案】6，12，24．【解析】先找出24的因数，然后找出24以内（包括24）的6的倍数，进而结合题意，得出结论．解答：解：24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；24以内的6的倍数有：6，12，18，24；所以既是24的因数，又是6的倍数的数有：6，12，24．故答案为：6，12，24．点评：解题的关键是：根据求一个数的倍数的方法和求一个数的因数的方法，进行分析、解答．9.一个数的最大因数是18，一个数的最小倍数是24，它们的最大公因数和最小公倍数分别是（）A．2，36B．6，72C．3，48D．72，6【答案】B【解析】因为一个数的最大因数是18，那么这个数就一定是18；一个数的最小的倍数是24，那么这个数就一定是24，再分别把这两个数分解质因数，即可求出最大公因数与最小公倍数．解答：解：一个数的最大因数是18，那么这个数就一定是18，一个数的最小的倍数是24，那么这个数就一定是24，18=2×3×3，24=2×2×2×3，所以，18和24的最大公因数是2×3=6，，最小公倍数分别是2×3×3×4=72，故选：B．点评：解答此题的关键是，根据题意，找出符合题意的两个数，再利用分解质因数的方法，即可求出最大公因数与最小公倍数．10.有24朵红花、9朵黄花要分给几个同学，要求每人分得的花的颜色和数量都相同，最多可以分给多少人？每人几朵红花？【答案】最多可以分给3人，每人8朵红花．【解析】每人分得的花的颜色和数量都相同，就是分得的红花和黄花的数量，既是24的因数也是9的因数，即是24和9的公因数，要求最多就是求24和9的最大公因数，因此求出24和9的最大公因数就是最多可分给几人，然后用红花和黄花的数量分别除以它们的最大公因数，就是每人红花、黄花各几朵．解答：解：24=2×2×2×3，9=3×3，所以24和9的最大公因数是：3；每人红花的朵数：24÷3=8（朵）．答：最多可以分给3人，每人8朵红花．点评：解答本题要先分析理解：每人分得的花的颜色和数量都相同，就是求24和9的公因数，注意掌握求最大公因数的方法．11. 16÷2=8，2和8都是16的，16是2的；16有个因数，最大的是，最小的是．【答案】因数，倍数，5，16，1．【解析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；列举出16的所有因数，即可找出最大或最小的因数．解答：解：16÷2=8，2和8都是16的因数，16是2的倍数；16的因数有：1、2、4、8、16，共有5个因数，最大的是 16，最小的是 1；故答案为：因数，倍数，5，16，1．点评：此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在．12.一筐橘子有若干个（个数在100之内），3个3个地数和5个5个地数都正好数完．这筐橘子最多有多少个？【答案】这筐橘子最多有90个．【解析】根据3个3个地数和5个5个地数都正好数完，说明橘子的数量是3和5的公倍数，个数在100之内的最大的公倍数，就是这筐橘子最多有多少个．解答：解：3和5互质，所以3和5的最小公倍数是3×5=1515×6=9015×7=105所以在100之内的3和5的最大公倍数是90；答：这筐橘子最多有90个．点评：灵活运用最小公倍数的求解方法来解决实际问题．13.一块长方形铁皮，长是84厘米，宽是56厘米．要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余，这种正方形边长最长是多少厘米？可以剪多少块这样的长方形？【答案】裁成的正方形边长最大是28厘米，可以剪成6个这样的正方形．【解析】根据题意，剪成的正方形边长最大是多少，是求84和56的最大公因数，求至少可以剪成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形的面积．由此解答即可．解答：解：84和56的最大公因数是28，84×56÷（28×28）=4704÷784，=6（个）；答：裁成的正方形边长最大是28厘米，可以剪成6个这样的正方形．点评：此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题．14.一个数的最大因数是18，另一个数的最小倍数是24，它们的最大公因数和最小公倍数分别是（）A．2，36B．6，72C．3，48D．4，54【答案】B【解析】解：一个数的最大因数是18，那么这个数就一定是18；另一个数的最小的倍数是24，那么这个数就一定是24，18=2×3×3，24=2×2×2×3，所以，18和24的最大公因数是2×3=6，最小公倍数分别是2×3×3×2×2=72，故选：B．【点评】解答此题的关键是，根据题意，找出符合题意的两个数，再利用分解质因数的方法，即可求出最大公因数与最小公倍数．15.下列各数中，既是偶数，又是质数的数是（）A．2 B．7 C．6【答案】A【解析】解：10以内的质数有：2、3、5、7，所以只有2是偶数．故选：A．【点评】在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数．16. 7和28的最小公倍数是（）A．7 B．28 C．196【答案】B【解析】解：因为28是7的倍数，所以7和28的最小公倍数是28．故选：B．【点评】此题解答关键是明确：如果两个数是倍数关系，较大数就是这两个数的最小公倍数．17. A×2=B，A与B的最大公因数是，最小公倍数是．【答案】A.B【解析】因为A×2=B，即B÷A=2，即B和A成倍数关系，所以A与B的最大公因数是A，最小公倍数是B．故答案为：A，B．【点评】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数．18.两个数的最大公因数是1，最小公倍数是221，这两个数是（和）或（和）．【答案】1、221，17、13．【解析】由题意可知：这两个数的最大公因数是1，说明这两个数是互质数，然后把221进行分解，找出符合题意的即可．解：221=1×221=17×131和221，17和13符合题意，所以这两个数是1和221，17和13；故答案为：1、221，17、13．【点评】此题求解最大公约数和最小公倍数的逆运算，有多种可能性，要细心解答．19.一块砖长20厘米，宽12厘米，在平地上拼一个正方形至少要这样的砖块．【答案】15．【解析】由题意可知求出20厘米与12厘米的最小公倍数即可求出拼成的正方形的边长，因为是密铺，所以用拼成的正方形的面积除以一块长方形的地砖的面积，即可求出需要的块数．解：20=2×2×512=2×2×3所以20和12的最小公倍数是：2×2×5×3=60，即正方形的边长最小是60厘米，则地砖的块数为：60×60÷（20×12）=3600÷240=15（块）；答：至少需要15块砖．故答案为：15．【点评】解答此题的关键是要明确用这样的砖铺成的最小正方形的边长，是长方形砖的长和宽的最小公倍数，从而可以再利用面积求解．20. 17是34和68的（）A．公因数B．公倍数C．最大公因数D．最小公倍数【答案】A【解析】根据公因数、最大公因数的意义，两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，其中最大的一个就是这两个数的最大公因数．据此解答．解：34的因数有：1、2、17、34；68的因数有：1、2、4、17、34、68；所以34和68的公因数有1、2、17、34，其中最大公因数是34．因此，17是34和68的公因数．故选：A．【点评】此题考查的目的是理解掌握公因数、最大公因数的意义，以及求两个数的公因数的方法及应用．21.写出60所有的因数，并指出：（1）这些数中能被2整除的数有．（2）这些数中能被5整除的数有．（3）这些数中能同时被2和5整除的数有．【答案】2、4、6、10、12、20、30、60；5、10、15、20、30、60；10、20、30、60．【解析】一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，找一个数的因数，可以一对一对的找；再根据能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数；能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，要同时能被2和5整除，这个数的个位一定是0．解答即可．解：60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；能被2整除的数有：2、4、6、10、12、20、30、60；能被5整除的数有：5、10、15、20、30、60；能同时被2和5整除的数有：10、20、30、60．故答案为：2、4、6、10、12、20、30、60；5、10、15、20、30、60；10、20、30、60．【点评】此题考查的目的是理解因数的意义和能被2、3、5整除的数的特征解决问的能力．22.所有奇数都是质数，所有偶数都是合数（判断对错）【答案】×【解析】首先明确奇数与偶数、质数与合数的定义，再比较奇数与质数、偶数与合数的区别，即可解答．解：奇数、偶数是按照能否被2整除分类；质数、合数是按照约数个数的多少分类；它们的分类标准不同，1是奇数它只有一个约数，1即不是质数也不是合数；2是偶数但它只有1和它本身两个约数，2是质数不是合数．故答案为：×．【点评】此题考查目的：①明确奇数与偶数、质数与合数的定义，②奇数与质数、偶数与合数的区别．23.一个自然数不是奇数就是偶数．（判断对错）【答案】√【解析】奇数与偶数是按能否被2整除划分的，两部分合在一起，构成了自然数，由此判定即可．解：自然数按能否被2整除分为奇数和偶数，所以所有的自然数不是偶数就是奇数是正确的．故答案为：√．【点评】这道题是考查自然数按能否被2整除进行分类，能被2整除的是偶数，不能被2整除的是奇数．24.把32个球装在盒子里，每个盒子装得同样多，需要几个盒子？有几种装法？【答案】6种装法【解析】先找出32的所有因数，再根据哪两个因数相乘是32，再根据这两个因数来确定每盒装几个，装几盒，即可解答．解：32的因数有：1、2、4、8、16、32；装法有：32=1×32；一盒32个，装一盒；或每盒装一个，装32盒；32=2×16，一盒装16个，装2盒；或每盒装2个，装16盒；32=4×8，一盒装8个，装4盒；或每盒装4个，装8盒；所有共有6种装法．答：共有6种装法．①一盒32个，装一盒；②每盒装一个，装32盒；③一盒装16个，装2盒；④每盒装2个，装16盒；⑤一盒装8个，装4盒；⑥每盒装4个，装8盒．【点评】此题主要考查求一个数的约数的方法，关键根据题意找出符合条件的数．25.两个质数的和是20．它们的积是91．这两个质数分别是和．【答案】7，13【解析】因为两个质数的乘积是91，把91分解质因数即可解决此题．解：因为91=7×13，又符合7+13=20，所以这两个质数分别是7、13．故答案为：7，13．【点评】此题考查根据两个质数的和与积，推算两个质数是多少，只要把乘积分解质因数即可解决问题．26. 3是因数，15是倍数．．（判断对错）【答案】×【解析】在研究倍数、因数时，只能说一个数是另一个数的倍数或者因数．据此判断．解：15是倍数，3是因数．这种说法是错误的．因为正确说法是15是3的倍数，3是15的因数．故答案为：×．【点评】这道题是一道基础题，需要记住只能说一个数是另一个数的倍数或者因数，不能单独说一个数是倍数或者因数．27.比2、3、5的倍数都多1的最小自然数是，最大的两位数是．【答案】31，91．【解析】2、3、5是互质数，它们的最小公倍数是2×3×5=30，再加上1就是比2、3、5的倍数都多1的最小自然数；100÷30=3…10，用100减去10再加上1就是比2、3、5的倍数都多1的最大两位自然数．解：2×3×5+1=30+1=31即比2、3、5的倍数都多1的最小自然数是31；100÷（2×3×5）=3 (10)100﹣10+1=91即比2、3、5的倍数都多1的最大两位自然数是91．故答案为：31，91．【点评】此题考查虽然简单，但考查的知识点较多，有：整数写法、整数大小比较、自然数的意义、最小公倍数的意义及求法等．28. 20以内既是奇数又是合数的有，既是偶数又是质数的数有．【答案】9、15，2．【解析】根据质数、合数的意义，20以内的质数有：3、5、7、11、13、17、19，合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18，再根据奇数、偶数的意义，进行筛选即可．解：20以内既是奇数又是合数的有：9、15，既是偶数又是质数的数有：2．故答案为：9、15，2．【点评】根据质数、合数的意义，奇数、偶数的意义，即可判定．注意，2是所有偶数中唯一的质数．29. 54的因数有它可以表示为 + 这两个质数的和．【答案】1、2、3、6、9、18、27、54，11，43．【解析】（1）求一个数的因数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，6…，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的约数，重复的只写一个，据此写出54的因数；（2）根据偶数、奇数、质数与合数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；由此解答．解：54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54，54=11+43；故答案为：1、2、3、6、9、18、27、54，11，43．【点评】本题主要考查求一个数的因数的方法以及奇数与偶数，质数与合数的含义．30. 10以内的整数中，所有质数和合数的和是所有偶数和奇数的积是．【答案】44，362880．【解析】10以内的整数中，质数有：2、3、5、7；合数有：4、6、8、9；奇数有：1、3、5、7、9；偶数有：2、4、6、8；根据条件由此即可得出答案．解：10以内的整数中，所有质数和合数的和是：2+3+5+7+4+6+8+9=44，所有偶数和奇数的积是：2×4×6×8×1×3×5×7×9=362880；故答案为：44，362880．【点评】此题考查的知识点有：质数、合数、奇数、偶数的意义，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．31.同时是2和5的倍数的数个位上一定是0．（判断对错）【答案】√【解析】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数，由此可知：同时是2和5的倍数的数个位上一定是0．据此判断．解：由分析得：同时是2和5的倍数的数个位上一定是0．此说法正确．故答案为：√．【点评】此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征．32.两个数的公因数一定是这两个数的因数．．（判断对错）【答案】正确【解析】解：根据公因数的意义，两个数的公因数一定是这两个数的因数．此说法是正确的．故答案为：正确．33.一块长方形铁皮，长96厘米，宽80厘米，要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余，这种正方形的边长最长是多少？被剪成几块？【答案】最长是16厘米，被剪成30块【解析】解：80=2×2×2×2×5，96=2×2×2×2×2×3，80和96的最大公因数是：2×2×2×2=16；（96÷16）×（80÷16），=6×5，=30（块）；答：这种正方形的边长最长是16厘米，被剪成30块．34.在下面几道算式中（）是整除．A．8.5÷0.5=17 B．38÷19=2 C．100÷80=1.25【答案】B【解析】整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说数a能被数b整除，或数b能整除数a．解：A、8.5÷0.5=17，被除数和除数都是小数，不是整除算式；B、38÷19=2，被除数、除数和商都是整数，是整除算式；C、100÷80=1.25，商是小数，不是整除算式；故选：B．【点评】本题考查了对整除含义的掌握及运用．35.一个数的倍数一定比这个数的因数大．．（判断对错）【答案】×【解析】根据“一个数的因数最大是它本身，一个数的倍数最小是它本身”，进行分析，例如：8的最小倍数是8，最大因数是8；进而得出结论．解：由分析知：一个数的因数最大是它本身，一个数的倍数最小是它本身，即一个数的因数和倍数有相等的情况；所以本题：一个数的倍数一定比这个数的因数大，说法错误；故答案为：×．【点评】此题应根据因数和倍数的关系进行解答．36.没有因数2的自然数一定是奇数．．（判断对错）【答案】√【解析】根据奇数与偶数的意义：是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；再根据因数与倍数的意义，如果甲数是乙数的倍数，那么乙数就是甲数的因数．由此解答．解根据分析：没有因数2的自然数就不是2的倍数，所以没有因数2的自然数一定是奇数．故答案为：√．【点评】此题考查的目的是使学生理解奇数与偶数、因数与倍数的意义．掌握奇数、偶数的特征．37.用24个同样大小的正方形可以拼成（）种长方形．A．3B．4C．5D．无数【答案】B【解析】根据24的因数可知：24=1×24，24=2×12，24=3×8，24=4×6．用24个大小一样的正方形可以拼成，长宽分别为（1，24，）、（2，12）、（3，8）、（4，6）的四种长方形，据此解答．解：根据分析可知，用24个大小一样的正方形可以拼成的长方形如下图故选：B．【点评】本题考查了学生利用因数的分解，来求小正方形组合成长方形的情况．38.同时能被2、3、5整除的最小自然数是（）A．0 B．60 C．30【答案】C【解析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；要想同时是2、3、5的倍数，这个数的个位一定是0，各位上数的和一定是3的倍数．解：2×3×5=30即同时能被2、3、5整除的最小自然数是30．故选：C．【点评】此题是考查2、3、5的倍数特征，属于基础知识，一个数要想同时被2、3、5整除，它必须同时具备2、3、5倍数特征．39.求下面各组数的最大公因数．4和163和8【答案】4；2【解析】两个数互质，则最大公约数是1；两个数为倍数关系，则最大公约数为较小的数；两个数除了1外还有其它公约数的，最大公约数是两个数公有质因数的连乘积．解：4和164和16是倍数关系，最大公约数是4；12和4212=2×2×342=2×3×7最大公约数是2×3=6；3和83和8是互质数，最大公约数是1；8和108=2×2×210=2×5最大公约数是2．【点评】考查了求几个数的最大公因数的方法的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，数字大的可以用短除法解答．40.同学们在操场上站队做操．五（1）班有54人．五（2）班有72人．如果两个班站成人数相同的队，一共至少要站多少队？【答案】7队．【解析】如果两个班分别站成每队人数相同的长方形队阵，求28和35的最大公因数，可得每队最多可以站几人，再求出两个班分别有几队，然后相加即可得一共至少要站多少队．解：54=2×3×3×3，72=2×2×2×3×3，所以72和54的最大公因数是2×3×3=18，即每队最多可以站18人；一共能站：54÷18+72÷18=3+4=7（队）；答：一共至少站7队．【点评】明确每队最多可以站的人数即54和72的最大公因数，是解答此题的关键．41.林和小军都到图书馆去借书，小林每6天去一次，小军每8天去一次，如果7月1日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？【答案】7月25日．【解析】由题意可知：要求下一次都到图书馆是几月几日，先求出6和8的最小公倍，因为6和8的最小公倍数是24，即7月1日再经24天两人都到图书馆，此题可解．解：6=2×3，8=2×2×2，6与8的最小公倍数是2×2×3=24，即再经24天两人都到图书馆，7月1日+24日=7月25日；答：下一次都到图书馆是7月25日．【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．42.两个质数的和一定是偶数．．（判断对错）【答案】×【解析】根据质数、偶数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数．据此解答．解：如：2+3=5，5是奇数，2+5=7，7也是奇数；所以，两个质数相加的和一定是偶数．此说法错误．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解质数、偶数的意义．43.两个因数的积是5.2，其中一个因数扩大到它的5倍，另一个因数缩小到它的，积是；若已知a÷b=5.2，当a乘以10，b除以2时，商是．【答案】13，104．【解析】①两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积就跟着扩大（或缩小）几倍，由此即可得出正确答案；②在除法算式中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变；除数不变，被除数扩大或缩小几倍（0除外），商就扩大或缩小相同的倍数；被除数不变，除数扩大则商反而缩小（0除外），除数缩小商就扩大，而且倍数也相同；据此解答即可．解：①两个因数的积是5.2，其中一个因数扩大到它的5倍，另一个因数缩小到它的，积是5.2××5=13；②若已知a÷b=5.2，当a乘以10，b除以2时，商是5.2×10×2=104．故答案为：13，104．【点评】①此题考查了积的变化规律的灵活应用；②此题考查了商的变化规律的灵活运用．44.如果一个数最大的因数是15，那么它最小的倍数是．【答案】15．【解析】根据一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身，以此即可得答案．解：因为：一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身，所以：一个数最大的因数是15，那么它最小的倍数是15．故答案为：15．【点评】此题主要考查了因数和倍数的意义，及其求法．45.一个数的倍数一定比它的因数大．（判断对错）【答案】×【解析】根据因数、倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数．据此判断即可．解：因为一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，如：6的最大因数是6，6的最小倍数是6．所以，一个数的倍数一定比它的因数大的说法错误．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解因数、倍数的意义，明确：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身．46.两个数的（）个数是无限的．A．公约数B．公倍数C．最大公约数D．最小公倍数【答案】 B【解析】一个数的约数是有限的，所以两个数的公约数一定是有限的；一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，但两个数的最大公约数和最小公倍数只有一个，由此解决问题即可．47. 17和21的（）是1．A．倍数B．公因数C．最大公因数D．最小公倍数【答案】 B【解析】根据互质数的含义：公因数只有1的两个数叫做互质数；据此依次解析、即可得出结论．48.下面哪一句话是正确的？（）A．12和45有公因数2B．12和45有公因数3C．12和45有公因数5【答案】B【解析】分别把12和45分解质因数，即可找出12和45的公因数，即可解析选择．49. 8的因数为；24与32的公因数为：．【答案】 1、2、4、8，1、2、4、8【解析】（1）根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，列举出8的所有因数；（2）求一个数的因数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，6…，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的因数，重复的只写一个，据此求出24和32的因数，然后从中找出它们的公因数，据此解答．50.在算式30=2×3×5中，2，3，5是30的（）A．质数 B．倍数 C．质因数【答案】 C【解析】根据算式30=2×3×5，可知2，3，5是30因数，2、3和5又都是质数，所以2、3和5是30的质因数．。
小学奥数题库《数论》因数和倍数-因数的个数定理-3星题(含解析)
数论-因数和倍数-因数的个数定理-3星题课程目标知识提要因数的个数定理•因数的个数定理因数的个数等于不同质因数的指数分别加1后再相乘的积。
•因数个数性质当因数个数为奇数的时候，这个数一定是完全平方数．精选例题因数的个数定理1. 一个自然数有10个不同的因数〔即约数，指能够整除它的自然数〕，但质因数〔即为质数的因数〕只有2与3．那么，这个自然数是．【答案】162或48【分析】设这个数为2a×3b〔a、b均为正整数〕，由题意可知(a+1)×(b+1)=10=2×5所以a=1,b=4或a=4,b=1所以这个自然数是21×34=162或24×31=482. 自然数N有20个正约数，N的最小值为．【答案】240【分析】先将20写成几个数相乘的形式，再写成几个和的积的形式，最后利用约数个数的公式解题：①20=20×1=19+1，N的最小值为：219=524288，②20=2×10=(9+1)×(1+1)，N的最小值为：29×3=1536，③20=4×5=(4+1)×(3+1)，N的最小值为：24×33=432，④20=2×2×5=(4+1)×(1+1)×(1+1)，N的最小值为：24×31×51=240．3. 自然数甲有10个约数，那么甲的10倍的约数个数可能是．【答案】40、22、18、30或24【分析】详解：甲含有约数2、5的情况与否，会影响最终的约数个数，分情况讨论，得约数个数有五种可能：40、22、18、30和24．例如：29、24×5、24×7、2×74、79的10倍分别有22、18、24、30、40个约数．4. 算式1×8×15×22×⋯×2010的乘积末尾有个连续的0．【答案】72【分析】详解：乘数15、50、85、⋯、2010中含有因数5，都除以5得到3、10、17、⋯、402；其中10、45、⋯、395还含有因数5，都除以5，得到2、9、16、⋯、79．其中30、65里还含有因数5．我们第一次除掉了2010−1535+1=58个5，第二次除掉了395−1035+1=12个5，最后还剩下两个因数5．说明1×8×15×22×⋯×2010含有58+12+2=72个约数5，由于其中含有的约数2是足够多的，因而的0的个数就等于约数5的个数，是72个．5. 一个正整数除以3!后所得结果中因数个数变为原来因数个数的13，那么符合条件的A最小是．【答案】12【分析】设A=2x×3y×p1a1×p2a2×p3a3×⋯⋯×p n a n,那么B=A÷3!=2x−1×3y−1×p1a1×p2a2×p3a3×⋯⋯×p n a n,那么(x+1)(y+1)(a1+1)(a2+1)⋯⋯(a n+1)=3[xy(a1+1)(a2+1)(a n+1)],即(x+1)(y+1)=3xyxy都取1不满足此式，所以取x=2，y=1，a1=a2=⋯=a n=0得到最小值126. A数有7个因数，B数有12个因数，且A、B的最小公倍数[A,B]＝1728，那么B=．【答案】108【分析】1728=26×33，所以A、B质因数只能有2和3，又由于A有7个因数，而7是一个质数，所以A分解质因数的形式只能有A=26，设B=2k×33，那么(k+1)×(3+1)=12，得k=2所以B=22×33=108．7. 整除2015的数称为2015的因数，1和2015显然整除2015，称为2015的平凡因数，除了平凡因数，2015还有一些非平凡因数，那么，2015的所有非平凡因数之和为．【答案】672【分析】〔解法一〕2015=5×13×312015所有的约数和为(50+51)×(130+131)×(310+311)=6×14×32=26882015的所有非平凡因数之和为2688−1−2015=672〔解法二〕由于该数比拟小，可以直接写出2015的所有约数2015=1×2015=5×403=13×155=31×652015的所有非平凡因数之和为5+403+13+155+31+65=6728. 数学小组原方案将72个苹果发给学生，每人发的苹果数量一样多，后来又有6人参加小组，这样每个学生比原方案少发了1个苹果．那么，原来有名学生．【答案】18【分析】前后两次每人分到的苹果数量相差1，且都是72的因数，72的相差1的因数对有(1,2)、(2,3)、(3,4)和(8,9)，经试因数对(3,4)符合要求：前后人数分别为72÷4=18(人)和72÷3=24(人).9. 60的不同约数〔1除外〕的个数是．【答案】11【分析】60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10.60的约数〔1除外〕有：2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，共11个．10. 1222×1223×1224×⋯⋯×2006×2007×2008的积的末尾有个零．【答案】198【分析】乘积结尾0的个数取决于乘积中2和5这两个因数的个数，由于是连续自然数的乘积，5的个数肯定少于2的个数，所以只需要计算乘积中5的个数即可．是5的倍数的：1225、1230⋯⋯2005，共157个数；是25的倍数的：1225、1250⋯⋯2000，共32个数；是125的倍数的：1250⋯⋯2000，共7个数；是625的倍数的：1250、1875，共2个数；所以因数5的个数是157+32+7+2=198(个)．11. 有一列数，第1个是1，从第2个数起，每个数比它前面相邻的数大3，最后一个数是100，将这些数相乘，那么在计算结果的末尾中有个连续的零．【答案】9【分析】这一列数为1，4，7，⋯，100，要求他们相乘的积中0的个数，找到因数2和5的个数即可，又因为因数2的个数远多于5的个数，所以找到5的个数即为积中末尾0的个数，5的倍数有10，25，40，55，70，85，100共9个5，所以有9个0．12. 恰好有12个不同因数的最小的自然数为．【答案】60【分析】12=12×1=6×2=4×3=3×2×2所以，有12个因数的数对应的质因数分解形式分别是：A11，A5×B，A3×B2，A2×B×C，这四种形式下的最小自然数分别是：2048，96，72，60，所以符合要求的数是60．13. 能被210整除且恰有210个约数的数有个．【答案】24个【分析】210=2×3×5×7，所以原数肯定含有2，3，5，7这四个质因子，而且幂次一定按照某种顺序是1，2，4，6，可以任意排列，所以有4!=24个14. 所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个因数？【答案】6【分析】设70的N倍恰有70个因数．70=2×5×7，有：(1+1)×(1+1)×(1+1)=23= 8，因为8不整除70，所以N内可能有2、5、7．假设有4个不同质因数，但70只能表示为2×5×7，所以N内必含2、5、7中几个，即70N=2a+1×5b+1×7c+1，(a+1+1)×(b+1+1)×(c+1+1)=70，a,b,c分别是0，3，5中一个．N为23×53，23×73，25×23，25×73，53×75，55×73，一共6组．15. 从2016的因数中选出不同的假设干个数写成一圈，要求相邻位置的两个因数互质，那么最多可以写出个因数．【答案】12【分析】2016=25×32×7,所以2016的奇因数有(2++1)×(1+1)=6个2016的偶因数有5×(2++1)×(1+1)=30个.假设排列最多的可能一定是“奇偶奇偶……〞，所以最多一圈有12个；假设有13〔或以上〕个因数，那么必有两偶数相邻，构造12个数的情况：1,2,3,14,9,4,7,8,21,16,63,32圈成一圈．16. 1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数．【答案】6个【分析】1001的倍数可以表示为1001k，由于1001=7×11×13，如果k有不同于7，11，13的质因数，那么1001k至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为(a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)⋯(a n+1),其中n⩾4．如果这个数恰有1001个约数，那么(a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)⋯(a n+1)=1001=7×11×13,但是1001不能分解成4个大于1的数的乘积，所以n⩾4时不合题意，即k不能有不同于7，11，13的质因数．那么1001k只有7，11，13这3个质因数．设1001k=7a×11b×13c，那么(a+1)(b+1)(c+1)=1001,a+1、b+1、c+1分别为7，11，13，共有3!=6种选择，每种选择对应一个1001k，所以1001的倍数中共有6个数恰有1001个约数．17. A和B是两个非零自然数，A是B的24倍，A的因数个数是B的4倍，那么A与B的和最小是．【答案】100【分析】{B=2A=48=24×3B的因数个数为2，A的因数个数为5×2=10不符合要求；{B=3A=72=23×32B的因数个数为2，A的因数个数为4×3=12不符合要求；{B=4=22A=96=25×3B的因数个数为3，A的因数个数为6×2=12,符合要求；可见A+B的最小值为4+96=10018. 在自然数中，恰好有4个约数的两位数共有个．【答案】30【分析】恰有4个约数的自然数形如：a3或ab．〔其中a、b为不同的质数〕满足题意的两位数从小到大有以下30个：〔枚举时最好按一定的顺序，还可以按其他顺序进行枚举〕10，14，15，21，22，26，27，33，34，35，38，39，46，51，55，57，58，62，65，69，74，77，82，85，86，87，91，93，94，95．19. 自然数N有45个正约数，N的最小值为．【答案】3600【分析】正约数个数的求法：分解质因数后，每个指数加1的连乘积45=3×3×5，容易知道，指数比拟小，原数比拟小．质因子比拟小，原数比拟小，因此原数最小是24×32×52=3600．20. [A]表示自然数A的约数的个数．例如4有1，2，4三个约数，可以表示成[4]=3．计算：([18]+[22])÷[7]=．【答案】5【分析】因为18=2×32，有约数个为(1+1)×(2+1)=6(个),所以[18]=6，同样可知[22]=4，[7]=2．原式=(6+4)÷2=5.21. 四位数双成成双的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数成双双成有个因数．【答案】12【分析】双成成双共有3＋39＝42个因数，且有3个质因数，所以它的质因数分解形式为双成成双＝a×b2×c6,而双成成双＝双00双+成成0̅＝双×1001＋成×110＝11×(双×91＋成×10)所以三个质因数中有一个是11，所以双成成双＝a×b2×c6,至少是11×32×26＝6336,稍微大一点点就是11×52×26＝17600,已经是五位数了，所以双成成双＝6336，双＝6,成＝3所以成双双成＝3663＝32×11×37,有3×2×2＝12个因数．22. S=19+199+1999+⋯+199⋯9⏟10000个9那么S的小数点后第2016位是．【答案】6【分析】首先，1 99⋯9⏟n个9=0.0⋅0⋯0⏟n−1个01⋅即小数点后第n，2n，3n，…位都是1，其它为都是0所以当n是2016的因数时，199⋯9⏟n个9化成小数后，小数点后第2016位是1，其余情况小数点后第2016位是0.2016=25×32×7,有36个因数，在不考虑进位的情况下，这一位上有36个1相加，这一位的数字是6，下面考虑进位，因为2017是质数，所以2017位上只有2个1相加，单独不构成进位，而2018=1009×2，有4个因数，本身也缺乏以向第2018位进位，显然2019位即以后都缺乏以进位到2016为，所以第2016位是6【解】23. 从1到400这400个自然数中，有奇数个因数的自然数有个，有且仅有3个因数的有个．【答案】20；8【分析】202=400，故拥有奇数个因数的数有20个；20以内的质数有8个，故有3个因数的数有8个．24. 有20个约数，且被42整除最小的自然数是．【答案】336【分析】因为被42整除，所以一定含有质因数2，3，7．20=1×20=2×10=4×5=2×2×5,有20个约数的自然数有：因为必须含有3个不同的质因数，所以最小的只能是：2×2×2×2×3×7=336;所以有20个约数且被42整除的最小自然数是336．25. 两数乘积为2800，而且己知其中一数的因数个数比另一数的因数个数多1，那么这两个数分别是、．【答案】16、175【分析】先将2800分解质因数：2800=24×52×7，由于其中一数的因数个数比另一数的因数个数多1，所以这两个数中有一个数的因数为奇数个，这个数必为完全平方数．又是2800的因数，故这个数只能为22、24、52、22×52或24×52，另一个数相应地为22×52×7、52×7、24×7、22×7或7．经检验，只有两数分别为24和52×7时符合条件，所以这两个数分别是16和175．26. 2010的全部约数有个，这些约数的和数是．【答案】16；4896【分析】详解：2010=2×3×5×67，约数有(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16个，约数之和是(1+2)×(1+3)×(1+5)×(1+67)=4896．27. 老师用0至9这十个数字组成了五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了A、B、C、D、E这五名聪明且老实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话：A说：“我的数最小，而且是个质数．〞B说：“我的数是一个完全平方数．〞C说：“我的数第二小，恰有6个因数．〞D说：“我的数不是最大的，我已经知道ABC三人手中的其中两个数是多少了．〞E说：“我的数是某人的数的3倍．〞那么这五个两位数之和是．【答案】180【分析】A的话可知，A的十位是1，又因为是质数，所以A有可能是13，17，19；C能断定自己的数第二小，且有6个因数，所以可能是20，28，32；B是完全平方数，但不能含有1和2，所以B有可能是36，49，64；D能断定自己不是最大的，说明他的数是53或54或十位数不超过4，但大于等于34；E是某人的数的3倍，由上面信息可知，只能是A，且推得A为19，那么E为57最后根据D能知道ABC三人手中两个数，试验可知，BCD手中数分别为36，28，40综上所述，五个两位数之和是18028. 能够被1到11的所有自然数整除的最小自然数为．【答案】27720【分析】1到11这11个数分解质因数后所包含的质数有2、3、5、7、11，因此这个自然数最少包含质因数2、3、5、7、11．1=11，2=21，3=31，4=22，5=51，6=2×3，7=71，8=23，9=32，10=2×5，11=111，所以这个自然数最小为23×32×51×71×111=2772029. 100名同学，编号为1～100，面向南站成一排，第1次全体同学向右转；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；如此下去；第100次编号为100的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有名？【答案】5【分析】转3次或者7次面向东，转的次数为该编号的因数个数，所以有3个因数的数为：4，9，25，49；有7个因数的数为64；共5名．30. 2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．那么这些自然数共有个．【答案】11个【分析】2008−10=1998一定能被这些数整除，且这些数一定大于10，1998=2×3×3×3×37．1998的因数一共有：(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个．其中小于10的有：1，2，3，6，9那么大于10的因数有16−5=11个．即这些自然数共有11个．31. 大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它们自身的2倍，那么这样的数称为完美数或完全数．比方，6的所有因数为1，2，3，6，1+2+3+6=12，6就是最小的完美数，是否有无限多个完美的数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81的所有因数之和为．【答案】121【分析】81的所有因数为：1，3，9，27，81，所以因数之和为1+3+9+27+81=121．32. 3600有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？【答案】45；30；27；21【分析】详解：3600=24×32×52，有(4+1)×(2+1)×(2+1)=45个约数．3600=3×(24×3×52)，有(4+1)×(1+1)×(2+1)=30个约数是3的倍数．3600=24×32×52=4×(22×32×52)，有(2+1)×(2+1)×(2+1)=27个．33. 3456共有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？【答案】32；24；24；11【分析】简答：3456=27×33，约数有8×4=32个．其中3的倍数有8×3=24个，4的倍数有6×4=24个，6的倍数有7×3=21个．那么有32−21=11个不是6的倍数．34. 数270的因数有多少个？这些因数中奇因数有多少个？【答案】16个，8个【分析】270=33×2×5，因数的个数为(3+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)，奇因数个数为(3+1)×(1+1)=8(个)．35. 数360的约数有多少个？这些因数中偶因数有多少个？【答案】24个，18个【分析】360=23×32×5，因数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个)，奇因数个数为(2+1)×(1+1)=6(个)，偶因数有24−6=18(个)．36. 数120的因数有多少个？这些因数中奇因数有多少个？【答案】16个；4个【分析】120=23×3×5，因数的个数为(3+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)，奇因数个数为(1+1)×(1+1)=4(个)．37. 数240的因数有多少个？这些因数中偶因数有多少个？【答案】20个；16个【分析】240=24×3×5，因数的个数为(4+1)×(1+1)×(1+1)=20(个)，奇因数个数为(1+1)×(1+1)=4(个)，偶因数有20−4=16(个)．38. 一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？【答案】74【分析】最大的约数是这个自然数本身，因此它是次大约数的倍数．它们的和也应该为次大约数的倍数．111=3×37，次大约数为37时满足条件，这个自然数为74．39. 在小于1000的正整数中，有多少个数有奇数个约数？【答案】31【分析】详解：平方数有奇数个约数．1000以内的平方数有12，22，32，⋯，312，因此有31个数有奇数个约数．40. 求出所有恰好含有10个因数的两位数，并求出每个数的所有因数之和．【答案】124或186【分析】10=9+1=2×5，表达式为a9或者ab4，29>100，2×34>100，只可能是24×3=48或24×5=80．48的因数之和：(20+21+22+23+24)×(30+31)=124，80的因数之和：(20+21+22+ 23+24)×(50+51)=186．41. A有7个约数，B有12个约数，且A、B的最小公倍数是1728，求B．【答案】108【分析】1728=26×33，由于A数有7个约数，而7为质数，所以A为某个质数的6次方，由于1728只有2和3两个质因数，如果A为36，那么1728不是A的倍数，不符合题意，所以A=26，那么33为B的约数，设B=2k×33，那么(k+1)×(3+1)=12，解得k=2，所以B=22×33=108．42. 偶数A不是4的倍数，它的约数个数为12，求4A的约数个数．【答案】24【分析】由于A是偶数但是不是4的倍数，所以A只含1个因子2，可将A分解成A=21×B，其中B奇数，根据约数个数定理，它的约数个数为(1+1)×N=12，那么4A=8B=23×B，所以它的约数个数为(1+3)×N=24个．43. 11个连续的两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？【答案】220【分析】末4位都是0．这个乘积分解质因数后，至少有4个因数2和4个因数5．而连续的11个数中至少有5个偶数，所以因数2的个数足够了，因而问题在于因数5是不是够4个．由于连续的11个自然数中，最多有3个数是5的倍数，而乘积中要出现4个因数5，说明这3个数中，至少一个数含有两个因数5，这个数最小是25，所以所求的11个连续自然数的总和最小是25+24+23+⋯+15=220．44. 算式(1+2+3+⋯+n)+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和．请问：共有多少个满足要求的自然数n？【答案】5个．【分析】1+2+3+⋯+n是项数为n的等差数列之和，我们考虑将2007平均分成n份，加到每一项上即可．2007=32×223，有6个约数，分别为1、3、9、223、669、2007．其中1舍去，有5个满足要求的自然数．45. 1000以内恰有10个因数的数有多少个？【答案】22【分析】10=1×10=2×5，对于第一种情况29=512；第二种情况为a4×b，a只能取2和3，经试验分别有17种和4种可能，综合共有22个．46. 一个房间中有100盏灯，用自然数1,2,⋯,100编号，每盏灯各有一个开关，开始时，所有的灯都不亮，有100个人依次进入房间，第一个进入房间后，将编号为1的倍数的开关按一下，然后离开．第2个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到100个人进入房间，将100的倍数的灯开关按一下，然后离开，问：第100个人离开房间后，房间的哪些灯还亮着？【答案】1，4，9，16，25，36，49，64，81，100．【分析】对于任何一盏灯，由于它原来不亮，那么当它的开关被按奇数次时，灯是开着的；当它的开关被按偶数次时，灯是关着的；根据题意可知，当第100个人离开房间后，一盏灯的开关被按的次数，恰等于这盏灯的编号的因数的个数；要求哪些灯还亮着，就是问哪些灯的编号的因数有奇数个．显然完全平方数有奇数个因数．所以用平方数编号的灯是亮着的．所以当第100个人离开房间后，房间里还亮着的灯的编号是：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100．47. 如果你写出12的所有因数，1和12除外，你会发现最大的因数是最小因数的3倍．现有一个整数n，除掉它的因数1和n外，剩下的因数中，最大因数是最小因数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？【答案】60和135．【分析】设整数n除掉因数1和n外，最小因数为a，可得最大因数为15a，那么n=a×15a= 15a2=3×5×a2．那么3、5、a都为n的因数．因为a是n的除掉因数1外的最小因数，那么a⩽3．当a=2时，n=15×22=60；当a=3时，n=15×32=135．所以满足条件的整数n有60和135．48. 求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数的个数．【答案】6个【分析】30=2×3×5，所以原数肯定只含有2，3，5，这三个质因子，并且指数分别为1，2，4，可以任意排列所以有3!=6个．49. 在1到100中，恰好有6个因数的数有多少个？【答案】16个【分析】6=1×6=2×3，故6只能表示为(5+1)或(1+1)×(2+1)，所以恰好有6个因数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：22×322×522×722×1122×1322×1722×1922×23⋯⋯8个32×232×532×732×11⋯⋯4个52×252×3⋯⋯2个72×2⋯⋯1个所以符合条件的自然数一共有1+8+4+2+1=16个．50. 以下各数分别有多少个约数？23、64、75、225、720【答案】2；7；6；9；30【分析】详解：23为质数，质数有两个约数．64=26，有6+1=7个约数，75=3×52，有(1+1)×(2+1)=6个约数．225=32×52，有(2+1)×(2+1)=9个约数．720=24×32×5，有(4+1)×(2+1)×(1+1)=30个约数．51. 2008÷a=b⋯⋯6，a、b均为自然数，a有多少种不同的取值？【答案】14【分析】由2008÷a=b⋯⋯6可知：ab+6=2008，ab=2002，又因为2002=2×7×11×13，而且a>6，所以a的取值有：7、11、13、2×7、2×11、2×13、7×11、7×13、11×13、2×7×11、2×7×13、2×11×13、7×11×13、2×7×11×13，共14种不同的取值．52. 数学老师把一个两位数的约数个数告诉了墨莫，聪明的墨莫仔细思考了一下后算出了这个数．同学们，你们知道这个数可能是多少吗？【答案】64或36【分析】假设约数个数为2个，是质数，这样的两位数有很多．假设约数个数为3个，可以用a2来表示，也有很多．约数个数为4个的两位数也有很多．约数个数为5个的数可以表示为a4，有16和81，不唯一．约数个数为6个的两位数也不唯一．约数个数为7个的两位数表示为a6，只有26=64，是唯一的．同样的，约数个数为9个的两位数也是唯一的，只有36．约数个数更多的两位数，或者不唯一，或者不存在．因此这个数可能为64或36．53. 200名同学编为1至200号面向南站成一排．第1次全体同学向右转〔转后所有的同学面朝西〕；第2次编号为2的倍数的同学向右转第3次编号为3的倍数的同学向右转；⋯⋯；第200次编号为200的倍数的同学向右转这时，面向东的同学有几名？【答案】8名【分析】转3次，7次，11次，15次面向东，转的次数为该编号的因数个数，所以有3个因数的数为：4，9，25，49,121，169；有7个因数的数为64；没有有11个因数的数；有15个因数为144；共8名．54. 算式1×2×3×⋯×15的计算结果的末尾有几个连续的0？【答案】3【分析】算式中因数5的个数有3个，所以结果的末尾有3个连续的0．55. 假设24表示一个正整数，那么满足要求的整数x共有多少个？x【答案】8【分析】根据题意可得x为24的因数，利用枚举或因数个数定理可得24有8个因数；故满足要求的正整数x共有8个．56. 在所有30的倍数中，共有个数恰好有30个因数？【答案】6【分析】设30的N倍恰有30个因数．因为30=2×3×5，所以N内可能有2、3、5．根据因数个数定理，(1+1)×(2+1)×(4+1)=30，所以N内必含2、3、5中几个，即30N=2a×3b×5c，(a+1)×(b+1)×(c+1)=30，a,b,c分别是1，2，4中一个．N为21×32×54，21×34×52，22×31×54，22×34×51，24×31×52，24×32×51，一共6个．57. 数160的因数个数是多少个？其中奇因数有多少个？【答案】12，2【分析】160=25×5，因数的个数为(5+1)×(1+1)=12(个)，奇因数个数为1+1=2(个)．58. 少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡．这200个灯泡按1−200的编号，它们亮或灭的规那么是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变灭；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮或灭的状态，即亮的变灭，灭的变亮；第N秒后，凡编号为N 的倍数的灯泡改变原来的亮或灭的状态．这样下去，每200秒一个周期．第200秒时亮的灯泡有多少个？【答案】14【分析】根据例2知，亮着的灯泡是按动奇数次的，所以完全平方数的奇因性，得亮着的灯为200以内的平方数：12−142．59. a，b均为质数且不相等，假设A=a3b2，那么a有多少个因数？假设B=9A，那么B有多少个因数？假设C有6个因数，那么C2有多少个因数？【答案】12；36个或18个或20个；11个或15个【分析】A有(3+1)×(2+1)=12个因数．B=9A=32a3b2，假设a和b都不是3，那么B有(2+1)×(3+1)×(2+1)=36个因数；假设a=3，那么B=35b2，那么B有(5+1)×(2+1)=18个因数，假设b=3，那么B=34a3，B有(4+1)×(3+1)=20个因数．综上B的因数可能有36个、18个或20个；6=2×3=1×6，那么假设C=p1×p22，C2=p12×p24，有(2+1)×(4+1)=15个因数；或C=p5，C2=p10，有11个因数．60. 240有多少个约数？其中有多少个奇约数？有多少个约数是3的倍数？【答案】20个；4个；10个【分析】简答：240=24×3×5，有(4+1)×(1+1)×(1+1)=20个约数．奇约数即不含有因子2，有(1+1)×(1+1)=4个奇约数，有(4+1)×(1+1)=10个约数是3的倍数．61. 有12个约数的数最小是多少？有多少个两位数的约数个数是12个？【答案】60；5【分析】详解：有12个约数的数分解质因数后，可能是▫11、▫×▫5、▫2×▫3、▫×▫×▫2；对应的最小数分别是2048、96、72、60，那么最小的就是60，其中两位数除了60、72、96之外还有84和90，共5个．62. 16200有多少个因数？因数中有多少个奇因数？有多少个偶因数？因数中有多少个是3的倍数？有多少个是6的倍数？有多少个不是5的倍数？【答案】60；15；45；48；36；20【分析】把16200分解质因数：16200=23×34×52，根据因数个数定理，16200的因数个数为：(3+1)×(4+1)×(2+1)=60个；奇因数：(4+1)×(2+1)=15个；偶因数：60−15=45个；因数中3的倍数：3×1×4×(2+1)=48(个)；因数中6的倍数，也就是2，3都得选；3×4×(2+1)=36(个)；不是5的倍数，(3+1)×(4+1)=20(个)．63. 10000以内的自然数中，有且仅有3个因数的自然数有多少个？【答案】25个【分析】只有质数的平方有3个因数，因为1002=10000，只需知道100以下的质数的个数，100以内共有25个质数，因此，10000以内的自然数中，有且仅有3个因数的自然数有25个．64. 79、128、180分别有多少个约数？【答案】2；8；18【分析】简答：提示，牢记计算约数个数的公式．并能准确分解质因数．65. 一个数的完全平方数有39个约数，求该数的约数个数是多少？【答案】14个或者20个．【分析】设该数为p1a1×p2a2×⋯×p n a n，那么它的平方就是p12a1×p22a2×⋯×p n2a n，因此(2a1+1)×(2a2+1)×⋯×(2a n+1)=39．由于39=1×39=3×13，⑴所以，2a1+1=3，2a2+1=13，可得a1=1，a2=6；故该数的约数个数为(1+1)×(6+1)=14个；⑵或者，2a1+1=39，可得a1=19，那么该数的约数个数为19+1=20个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．66.在小于200的正整数中，有多少个数有偶数个约数？【答案】185【分析】简答：平方数有奇数个约数．小于200的平方数有12，22，⋯，32，142，共14个，因此有偶数个约数的数有185个．67. 以下各数分别有多少个约数？18、47、243、196、450【答案】6；2；6；9；18【分析】简答：分解质因数后，指数加1连乘即可．68. 在2000到3000的整数中，有多少个数有奇数个约数？【答案】10【分析】简答：2000∼3000之间的平方数有452，462，⋯，542，共10个，只有这10个数有奇数个约数．69. 有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，⋯，3599，开始时头都朝东．第1秒钟，编号为1的倍数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，⋯，如此进行．那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？【答案】东．【分析】要求编号为n的甲虫转动的次数实际上是要求n的因数的个数，先将3599分解质因数：3599=3600−1=602−12=59×61，所以3599只有(1+1)×(1+1)=4个因数，那么在1小时即3600秒内，第3599号甲虫共转动了4次，由于每次转90度，所以共转了360度，还是朝向原来的方向，所以1小时后，第3599号甲虫头朝东．70. 28有多少个因数？和28因数个数相同的两位数还有那些？【答案】6个；共16个，分别是：12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.【分析】28=22×7，共6个因数，枚举6个因数的两位数．6=1×6=2×3，原数为a5或b2c形式共16个，分别是：12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.71. 一个正整数，它的2倍的约数恰好比自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个，那么这个正整数为多少？【答案】12【分析】这个数只能含2和3的因子，因为如果它还有别的因子，例如5，那么最后增加的个数要比给定的数字大．设x=2a⋅3b，它的约数有(a+1)(b+1)个，它的2倍为2a+1⋅3b，它的约数有(a+1+1)(b+1)个．(a+1+1)(b+1)−(a+1)(b+1)=b+1=2，b=1同样的，它的3倍为2a⋅3b+1，它的约数为(a+1)(b+1+1)个，比原数多3个(a+1)(b+1+1)−(a+1)(b+1)=a+1=3，a=2，所以这个数的形式是22×3=12．72. 有一个整数，它恰好是它约数个数的2012倍，这个正整数的最小值是多少？【答案】40220【分析】设这个数为x，其约数的个数为n，那么有x=2012×n=22×503×n，其约数个数总大于(2+1)×(1+1)=6个，经试验当n=20时，那么x=24×5×503⇒n=5×2×2= 20成立因此x=2011×20=40220．73. 写出从360到630的自然数中有奇数个因数的数【答案】361，400，441，484，529，576，625【分析】一个合数的因数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数〔次数〕加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为23×52×7，所以它的因数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个．〔包括1和它自身〕如果某个自然数有奇数个因数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个．这样它们加1后均是奇数，所得的乘积才能是奇数．而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数．即完全平方数〔除0外〕有奇数个因数，反过来，有奇数个因数的数一定是完全平方数．由以上分析知，我们所求的问题即为360～630之间有多少个完全平方数．18×18=324，19×19=361，25×25=625，26×26=676，所以在360～630之间的完全平方数为361，400，441，484，529，576，625．即360到630的自然数中有奇数个因数的数为361，400，441，484，529，576，625．74. 有一个自然数，它的个位是零，并且它有8个因数，这个数最小可能是多少？【答案】30【分析】因数个数定理：8=1×8=2×4=2×2×2，分解质因数后：a7、ab3、abc，因为这个自然数的个位是零，因此必有质因数2和5，因此可能是23×51或21×31×51，比拟可知最小的数是21×31×51=30．75. 有一个整数，它恰好是它约数个数的2011倍，这个正整数的最小值是多少？【答案】16088【分析】设这个数为x，其约数的个数为n，那么有x=2011×n，因为2011是质数，那么n的最小值的约数个数大概率为偶数，经试验当n=8时，那么x=2011×23⇒n=2×4=8成立因此x=2011×8=16088．76. 200以内恰有10个因数的数有多少个？【答案】5【分析】10=1×10=2×5，对于第一种情况29=512>200；第二种情况为a4×b，a只能取2和3：24×3、24×5、24×7、24×11、24×13=208>200；34×2、34×5=405> 200，综上，共有5个．77. 在三位数中，恰好有9个因数的数有多少个？【答案】7个【分析】由于9=1×9=3×3，根据因数个数公式，可知9个因数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有28=256符合条件，后者中符合条件有22×52=100、22×72=196、22×112=484、22×132=676、32×52=225、32×72=441，所以符合条件的有7个．表示的是正整数，那么满足要求的正整数X共有多少个？78. 12x+3【答案】3【分析】因为12的因数有：1，2，3，4，6，12；当x+3=4时，x=1；当x+3=6时，x=3；当x+3=12时，x=9；故满足要求的正整数X共有3个．79. 360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？【答案】6、78【分析】360=23×32×5，奇约数有：(2+1)×(1+1)=6(个)，奇约数的和是：(30+31+32)×(50+51)=78．80. 10000的所有因数的和为多少？所有因数的积为多少？【答案】24211；1000012×100【分析】10000=24×54，因数和：(20+21+22+23+24)×(50+51+52+53+54)=24211因数积为(1002)n×100，其中n=[(4+1)×(4+1)−1]÷2=12所以因数的积为1000012×10081. 数360的因数有多少个？这些因数的和是多少？【答案】24个；1170【分析】360分解质因数：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的因数可以且只能是2a×3b×5c，〔其中a，b，c均是整数，且a为0～3，b为0～2，c为0～1〕．因为a、b、c。
因数和倍数奥数题及标准答案(有难度)
因数和倍数奥数题荟萃总体难度有点大，如果有兴趣可以试试！1、某校举行数学竞赛，共有20道题。
评分标准规定，答对一题给3分，不答给1分。
答错一题倒扣1 分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？2、有四个连续奇数的和是2008，则其中最小的一个奇数是_________。
3、张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得1个苹果和3个橘子。
最后橘子分完了，苹果还剩下12个。
那么一共分给了________ _名小朋友。
4、小华同学为了在“希望杯”数学大赛中取得好成绩，自己做了四份训练题(每份训练题满分为120分)。
他第一份训练题得了90分，第二份训练题得了100分，那么第三份训练题至少要得_________分才能使四份训练题的平均成绩达到105分。
5、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.6、自然数123456789是质数，还是合数？为什么？7、一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？8、一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
9、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？10、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
答案：1、解：以一个学生得分情况为例。
如果他有m 题答对，就得3m 分，有n题答错，则扣n分，那么，这个学生未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m-n）分。
所以，这个学生得分总数为：3m-n+（20-m-n）=3m-n+20-m-n=2m-2n+20 =2（m-n+10）不管（m-n+10）是奇数还是偶数，则2（m-n+10）必然是偶数，即一个学生得分为偶数。
由此可见，不管有多少学生参赛，得分总和一定是偶数。
2、解：499。
2008÷4—3=4993、解：6。
12÷(3—1)=6(名)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因数与倍数课前预习因数与倍数一天，因数和倍数走到了一起。
倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？”“我为什么要拜你，你算老几呀？”因数气愤地回答。
“我是老大呀。
”“你是老大？为什么”“你说，一个数的倍数有多少个呀？”“这我知道，一个数的倍数有无数个。
”只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，一个数的因数的个数就那么可怜的几个。
而一个数的倍数有无数个.你的家庭成员这么少，而我的家庭是这样的庞大。
你说，你不应该拜我吗？”“是的，你的家庭是庞大的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞大，你知道你是老几吗？我们的家庭成员是有限的，可是，我们都知道我们自己的位置。
再说，离开我们这些因数，你们这些倍数还成立吗？”因数理直气壮地回答。
只见倍数挠着耳朵，想了想，说：“对，其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。
刚才是我不对，我向你道歉了。
”“没有关系，没有关系，你知道自己错了就好。
在自然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。
没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们又是谁的倍数呢？让我们共同携手，紧密团结在一起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。
因数和倍数两位好伙伴的手紧紧地握在了一起。
知识框架一、 约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15．2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；ba即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数 1. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=； ②短除法求最小公倍数；例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=；③[,](,)a ba b a b ⨯=． 2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；ba 即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4==注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是A 、B 、A B +、A B -及最小公倍数的约数． 2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a )奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数b )偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：678336⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷=性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
四、求约数个数与所有约数的和1． 求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。
(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。
难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
2．求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。
重点：分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。
难点：在对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。
【例1】用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？【巩固】一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？重难点例题精讲【例2】有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？【巩固】加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？【例3】一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？【巩固】一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？【例4】用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。
【巩固】求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？【例5】求21672和11352的最小公倍数。
【例5】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？【巩固】一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？【例7】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？:这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数．【巩固】用19【例8】两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．【巩固】一次考试，参加的学生中有17得优，13得良，12得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？【例9】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【例10】已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．【巩固】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？1、教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？课堂检测在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？2、用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是___________．3、一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？4、一次考试，参加的学生中有17得优，14得良，13得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有多少人？5、有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米．已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以首次相聚？6、已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．（★）1、质数与合数:一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2、质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
1、有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？（★）2、把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？（★）3、已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．（★）4、两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数．（★）复习总结家庭作业5、从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：。