2018苏锡常镇一模(十)数学
江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学答案
江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. 32. 63. 474.5. 216.50π7. 58.9. 1 02410. 1911. 812. 613. (-2,0)14. (-∞,-1]∪15. (1) 因为DE⊥平面ABCD,(第15题)所以DE⊥AC.(2分) 因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.(4分) 因为DE∩BD=D,所以AC⊥平面BDE.(6分) (2) 如图,设AC∩BD=O,取BE的中点G,连接FG,OG,所以OG∥DE且OG=DE.(8分)因为AF∥DE,DE=2AF,所以AF∥OG且AF=OG,从而四边形AFGO是平行四边形,FG∥AO.(10分) 因为FG⊂平面BEF,AO⊄平面BEF,所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.(14分) 16. (1) 因为cos A=,所以cos C=cos2A=2cos2A-1=2×-1=.(3分) 在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=.(4分) 因为cos C=,所以sin C=-=, (5分) 所以cos B=-cos(A+B)=sin A sin B-cos A cos B=.(7分) (2) 根据正弦定理=,得=.又ac=24,所以a=4,c=6, (10分) b2=a2+c2-2ac cos B=25, b=5,所以△ABC的周长为15.(14分) 17. (1) 由题意知∠CAP=-θ,所以=-θ,又PQ=AB-AP cosθ=1-cosθ,所以观光专线的总长度为f(θ)=-θ+1-cosθ=-θ-cosθ++1,0<θ<.(3分) 因为当0<θ<时,f'(θ)=-1+sinθ<0, (5分) 所以f(θ)在上单调递减,即观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小.(6分) (2) 设翻新道路的单位成本为a(a>0),则总成本g(θ)=a--=a--,0<θ<, (8分) g'(θ)=a(-1+2sinθ), (9分) 令g'(θ)=0,得sinθ=,因为0<θ<,所以θ=.(10分) 当0<θ<时,g'(θ)<0,当<θ<时,g'(θ)>0.(12分) 所以当θ=时,g(θ)最小.(13分) 答:当θ=时,观光专线-PQ的修建总成本最低.(14分) 18. (1) 因为椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,所以a2=2c2,b=c, (1分) 所以直线DB的方程为y=-x+b.又O到直线BD的距离为,所以=,所以b=1,a=(3分) 所以椭圆E的方程为+y2=1.(4分) (2) 设P(,t),t>0,直线PA的方程为y=(x+), (5分) 由整理得(4+t2)x2+2t2x+2t2-8=0,解得x C=-,则点C的坐标是-,.(7分)(第18题)因为△ABC的面积等于四边形OBPC的面积,所以△AOC的面积等于△BPC的面积,S△AOC=××=,S△PBC=×t×--=,则=,解得t=.(9分) 所以直线PA的方程为x-2y+=0.(10分) (3) 因为B(,0),P(,t),C-,所以BP的垂直平分线为y=,BC的垂直平分线为y=x-,所以过B,C,P三点的圆的圆心为, (12分) 则过B,C,P三点的圆的方程为+-=+, (14分) 即所求圆的方程为x2-x+y2-ty+=0.(16分) 19. (1) 因为--…-=,n∈N*,所以当n=1时,1-=,a1=2, (1分) 当n≥2时,由--…-=和--…--=-,两式相除可得,1-=-,即a n-a n-1=1(n≥2),所以数列{a n}是首项为2,公差为1的等差数列,于是a n=n+1.(4分) (2) 因为a p,30,S q成等差数列,a p,18,S q成等比数列,所以于是或(7分) 当时,解得当时,无正整数解,所以p=5,q=9.(10分) (3) 假设存在满足条件的正整数k,使得=a m(m∈N*),则=m+1,平方并化简得,(2m+2)2-(2k+3)2=63, (11分) 则(2m+2k+5)(2m-2k-1)=63, (12分) 所以--或--或--(14分) 解得m=15,k=14或m=5,k=3,m=3,k=-1(舍去),综上所述,k=3或14.(16分) 20. (1) 设切点为(x0,y0),f'(x)=e x(3x+1),则切线斜率为(3x0+1),所以切线的方程为y-y0=(3x0+1)(x-x0).因为切线过点(2,0),所以-(3x0-2)=(3x0+1)(2-x0),化简得3-8x0=0,解得x0=0或.(3分) 当x0=0时,切线的方程为y=x-2, (4分)当x0=时,切线的方程为y=9x-18.(5分) (2) 由题意,对任意的x∈R,有e x(3x-2)≥a(x-2)恒成立,①当x∈(-∞,2)时,a≥--⇒a≥--,令F(x)=--,则F'(x)=--,令F'(x)=0得x=0,当x变化时,F(x),F'(x)所以F(x)max=F(0)=1,故此时a≥1.(7分) ②当x=2时,恒成立,故此时a∈R.(8分)③当x∈(2,+∞)时,a≤--⇒a≤--,令F'(x)=0,得x=,当x变化时,F(x),F'(x)所以F(x)min=F=9,故此时a≤9.综上,1≤a≤9.(10分) (3) 因为f(x)<g(x),即e x(3x-2)<a(x-2),由(2)知a∈(-∞,1)∪(9,+∞),令F(x)=--,则当x变化时,F(x),F'(x)(12分) 当x∈(-∞,2),存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0),等价于a<--存在唯一的整数x0成立.因为F(0)=1最大,F(-1)=,F(1)=-,所以当a<时,有两个整数成立,所以a∈.(14分) 当x∈(2,+∞),存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0),等价于a>--存在唯一的整数x0成立.因为F=9最小,且F(3)=7e3,F(4)=5e4,所以当a>5e4时,有两个整数成立,所以当a≤7e3时,没有整数成立,所有a∈(7e3,5e4].综上,a∈∪(7e3,5e4].(16分)江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21.由矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为α1=-可得-=λ1-,即---(2分)得a=2b=10.(4分) 由矩阵A属于特征值λ2的一个特征向量为α2=-,可得-=λ2-,即---(6分)得2a-3b=9, (8分)解得--即A=--.(10分)22.由ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4x,即圆C的方程为x2+(y-2)2=4.(3分) 又由消去t,得x-y+m=0, (6分) 由直线l与圆C相交,得-<2,即-2<m<6.(10分)23. (1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A,则为该公司在星期四最多有一辆汽车出车,P()=++=,所以P(A)=1-P(=.(3分) 答:该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为.(2) 由题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,4,P(ξ=0)==;P(ξ=1)=+·=;P(ξ=2)=++·=;P(ξ=3)=+=;P(ξ=4)==.(8分) 所以ξ的分布列为故E(ξ)=+2×+3×+4×=.答:ξ的数学期望为.(10分) 24. (1) 因为PE⊥底面ABCD,过点E作ES∥BC,则ES⊥AB.以E为坐标原点,EB方向为x轴的正半轴,ES方向为y轴的正半轴,EP方向为z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A(-1,0,0),D(-1,2,0),P(0,0,),=(-2,1,0),=(1,1,-).(2分) 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n·=-2x+y=0,n·=x+y-z=0,令x=1,解得n=(1,2,).又平面ABCD的法向量为m=(0,0,1), (3分)所以cos<n,m>===, (4分)所以sin<n,m>=.(5分)(第24题)(2) 设M点的坐标为(x1,y1,z1),因为EM⊥平面PCD,所以∥n,即==,也即y1=2x1,z1=x1.(6分) 又=(x1,y1,z1-=(-1,2,-),=(1,1,-所以=λ+μ=(λ-μ,λ+2μ,-λ-μ),解得x1=λ-μ,y1=λ+2μ=2x1=2(λ-μ),即λ=3μ, (8分) z1-=-λ-μ,λ=,所以μ=, (9分)所以点M的坐标为.(10分)。
2018年苏锡常镇一模解析高三模拟考试试卷
2018届苏锡常镇一模点评+每道题解析+对2018年高考的启示引言：此次苏锡常镇一模难点在阅读的单选，完型，阅读C篇和写作。
突出考查学生使用对比的思维去对待事物，比如完型讲作者刚开始全部依赖自己到后面开始依赖他人，阅读C 篇也在对比新技术相比老技术有突破的地方，任务型也有3个空凸显对比思维。
建议考生做一下2013年和2017年江苏卷真题，体会什么是对比型思维。
此套试卷79分算合格，100分算高分。
单选此次单选陷阱题比较多,比如第27题的旅行青蛙，应该选择被动，是被大家读之意。
第29题,大家可能会选that, 但是如果选that , 后半句应该是个贬义句，这样才可以和problem 这个否定词在情感色彩上保持一致。
第33题的情景交际，选here yougo 相当于here youare. 大家可能会误选there it is.there it is 表示它就在那里。
不符合语意。
所以，如果单选大家错了2-3个不要自责。
但是如果错到5-6个，那就好好好反省自己了，规划接下来自己的学习之旅了。
答案：21-25 DDCBA 26-30 ABCCB 31-35 DACCA第21题考查名词词义辨析。
A名声，B期望，C娱乐，D基础。
根据句意可知，此处表达的是每一项伟大的成就都依赖于之前所有的根基；故选D。
第22题考查固定搭配。
句意：我们国家已经推行了一项在公共场所禁烟的运动，这关系到了很多烟民。
Be concerned with与…有关，故选D。
第23题考查动词语态。
根据句意：这个旨在帮助人们参与到学习中的终身学习计划已经在全欧洲取得重大成功。
在这里，designed过去分词做后置定语修饰programme，故选C。
第24题考查定语从句。
Some worry为插入语可略去不看，which指物指代an increase intechnology use among children这个现象；故选B。
第25题考查动词短语。
精品解析：【全国市级联考】江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题(解析版)
徐州市2017～2018学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．.1. 已知集合，，则__________．【答案】【解析】，所以。
2. 已知复数（为虚数单位），则的模为__________．【答案】1【解析】，所以。
3. 函数的定义域为__________．【答案】【解析】，解得定义域为。
4. 如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为__________．【答案】13【解析】根据题意得到：a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不满足条件，故得到此时输出的b值为13.故答案为：13.5. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在内的学生共有__________人．【答案】750【解析】因为，得，所以。
6. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】，所以，得离心率。
7. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为__________．【答案】【解析】总事件数为，目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有，共8种；当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有种；所以目标事件共20中，所以。
8. 已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是__________．【答案】54【解析】Aa设正四棱柱的高为h得到故得到正四棱柱的体积为故答案为：54.9.若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数的值为__________．【答案】4【解析】由三角函数的图象可知，直线与正弦函数图象交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期，则，所以。
江苏省苏北四市(徐州、连云港、宿迁、淮安)2018届高三第一次模拟考试 数学试卷(含答案)
苏北四市2018届高三一模数学试卷2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ▲ ．2．已知复数2iz +=（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．函数y 的定义域为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．（第5题） （第17题） 012While 62End While Pr int a b I I a a b b a b I I b ←←← ←+ ←+ ←+ … （第4题）8．已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ．9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线:C xy =P到直线:0l x =的距离的最小值为 ▲ ．11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ．13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．14．如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC = = ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =,1tan()3B A -=.⑴求tan B 的值；⑵若13c =，求ABC △的面积.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：⑴//MN 平面11ABB A ；⑵1AN A B ⊥.17．(本小题满分14分)B （第14题） A DC E （第16题）1A 1B NM1C CBA某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2． ⑴求S 关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BFFD的值；⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k求出m 的值；若不存在，请说明理由.图1 图2（第17题）（第18题）19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n …，n *∈N ，λ，μ∈R .⑴若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值； ⑶若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅A C D E F(第21－A 题) O .B ．[选修：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，若矩阵=M BA ，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x tl y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．D ．[选修：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和11AC 的中点．以{,,}FA FB FG 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -． ⑴求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值；⑵求二面角1F BC C --的余弦值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．⑴求曲线E 的方程；⑵若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 67．598．54 9．4 1011．11 12．1] 13．[2,2]- 14．277-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A ==，所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. ………………………………4分1433314133+==-⨯ …………………………………………………………6分 （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B ==， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，…………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C =，………………………12分 所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =. …………………………………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分 而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分（2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ， …………………8分 又因为90ABC ∠=，所以1111B C B A ⊥， 面11ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面，所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分 又因为1A B ⊂面11ABB A ， 所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ， 所以11AB A B ⊥， 又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分 而AN ⊂面1AB N ，所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<<……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分 设3(),(01)f x x x x =-<< 则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x =当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '< 所以()f x在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以()f x在x =所以当sin θ=时，侧面积S 取得最大值， …………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ===答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB．…………14分（第16题）1A 1B NM1C CB AP18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………2分解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y += ……………………………4分 （2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分 由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --， 直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=，因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +， ……………………………………………14分 所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =． ………………………………………………………16分19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x -+'=+-=………………………………………………2分 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值；…………………4分 （2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- ……………………………………6分 所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得：222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= ………………………………………………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++= 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+-设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分又当2a x e+=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++-- 2211()04a a e+=-≥ ……………………………………14分 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--<所以12(0,1)y x x =-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分 20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-， 即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=， ……………………………………………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠，所以12nn b b -=， 故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分 （2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ），当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ① 当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得2213q q q q ++=+λμ， ② 当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ， ③②①q ，得21q =λ ，③②q ，得31q =λ ， 解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列，故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分 （3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=λμ，解得112==，λμ．…………………………………………………12分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-， ……………………………………14分因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ， 所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． …………10分B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………5分 所以131********M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分 C .把直线方程12:12x t l y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分 将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分圆心C 到直线l的距离d == 所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分D ．证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥ 2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=， 所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分 22．（1）因为11,2AB AA ==，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -， 所以(1,0,0)=-AC，1(,2=BE ， ………………………………………2分 记直线AC 和BE 所成角为α，则11cos |cos ,|4α-⨯=<>==AC BE ， 所以直线AC 和BE………………………………………4分 （2）设平面1BFC 的法向量为111(,,)x y z =m ，因为(0,FB =，11(,0,2)2FC =-， 则1111301202FB y FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩m m ，取14x =得：(4,0,1)=m ……………………………6分 设平面1BCC 的一个法向量为222(,,)x y z =n ， 因为1(2CB =，1(0,0,2)CC=， 则221210220CB x y CC z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩n n ，取2x =1,0)=-n ………………………8分cos ,∴<m n 根据图形可知二面角1F BC C --为锐二面角，所以二面角1F BC C -- ……………………………………10分 23．（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n，点P 2(,2)n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，………………………2分n =，又,0m n ≠， 所以22211m n n --=+，即210n m -+=， 所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠ ………………………………………………4分（2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ， 由（1）知，点Q处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'=y 121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+ 所以1122=-t y t，3223=+y t t ， ……………………………………………………6分 所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t=+-+=++>．……………………………………8分 令351()222f t t t t=++，0t >， 则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t'<得0t<<，f t'>得t>()0所以()f t在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t=时，()f t取得极小值也是最小值，即AB取得最小值s t=+=．……………………………………………………………10分此时21。
2018江苏常州一模数学及答案解析
常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2018年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．若集合2{2,0,1},{|1}A B x x =-=>，则集合A B =I ▲ ．2．命题“2[0,1],10x x ∃∈-≥”是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）． 3．若复数z 满足22i 1(i )z z ⋅=+其中为虚数单位，则z = ▲ ． 4．若一组样本数据2015，2017，x ，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为 ▲ ．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ ． 6．函数1()ln f x x=的定义域记作集合D ．随机地投掷一枚质地均匀的 正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1,2,,6L ），记骰子 向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为 ▲ ．7．已知圆锥的高为6，体积为8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为 ▲ ．8．各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，设直线:10l x y ++=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ▲ ．（第5题）10．已知实数,x y 满足0,220,240,x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥则x y +的取值范围是 ▲ ．11．已知函数()ln f x bx x =+，其中b ∈R ．若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为 ▲ ．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数sin()(0,0π)y x ωϕωϕ=+><<的图象与x 轴的交点,,A B C 满足2OA OC OB +=，则ϕ= ▲ ．13．在ABC ∆中，3,7,5===BC AC AB ，P 为ABC ∆内一点（含边界），若满足)(41R ∈+=λλBC BA BP ，则BP BA ⋅的取值范围为 ▲ ． 14．已知ABC ∆中，3AB AC ==，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆中，a b c ,, 分别为三个内角A B C ,, 的对边，3sin cos b C c B c =+． （1）求角B ； （2）若2b ac =，求11tan tan A C+的值． 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PC ABCD ⊥平面，PB PD =，点Q 是棱PC 上异于P ，C 的一点． （1）求证：BD AC ⊥；（2）过点Q 和AD 的平面截四棱锥得到截面ADQF （点F 在棱PB 上），求证：QF BC ∥．（第16题）1-1（第12题）17．（本小题满分14分）已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM 高3.6米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O ．点光源从M 发出，小明在地面上的影子记作AB'．（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积； （2）若3=OA 米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ，3π1=∠OAA ，且101=AA 米．t 秒时，小明在地面上的影子长度记为)(t f （单位：米），求)(t f 的表达式与最小值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的右焦点为F ，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于N M ,两点（M 在第三象限），与椭圆的右准线交于P 点．已知MN AM ⊥，且243OA OM b ⋅=u u u r u u u u r ． （1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若103AMN POF S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程．（第17题）xy（第18题）19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），1(1)(1)n n nS n S n n +=+++*()n ∈N ．数列{}n b满足n b =(*)n ∈N ．（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n ∈N ，数列{}n b 中总存在两个不同的项s b ，t b （*,s t ∈N ），使得s n t b c b ≤≤，求{}n c 的公比q ．20．（本小题满分16分） 已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数． （1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在(0)a -，上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在(01)，上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2018年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在ABC ∆中，N 是边AC 上一点，且2CN AN =，AB 与NBC ∆的外接圆相切，求BCBN的值． B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵421a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 不存在逆矩阵，求： （1）实数a 的值； （2）矩阵A 的特征向量． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的参数方程为2cos 1,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的极坐标方程为πsin()24ρθ+=，直线l与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长． D ．选修4—5：不等式选讲注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． （选修4—1）已知0,0a b >>，求证：3322a b a b ++【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知正四棱锥ABCD P -的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则0=ξ；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）． （1）求)0(=ξP 的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望)(ξE ．23．（本小题满分10分）记11(1)()()2x x x n+⨯+⨯⨯+L （2n ≥且*n ∈N ）的展开式中含x 项的系数为n S ，含2x 项的系数为n T ． （1）求n S ； （2）若2nnT an bn c S =++，对2,3,4n =成立，求实数a b c ,,的值； （3）对（2）中的实数a b c ,,，用数学归纳法证明：对任意2n ≥且*n ∈N ，2n nT an bn cS =++都成立．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．{2}- 2．真 3．1 4．2 5．7 6．567．38．3 9．(1,2)10．4[,8]3 11．1e 12．34π 13．525[,]84 14．523二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由正弦定理得3sin sin cos sin sin B C B C C =+，ABC ∆中，sin 0C >，所以3sin cos 1B B -=，所以1sin()62B π-=，5666B πππ-<-<，66B ππ-=，所以3B π=； （2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，11cos cos cos sin sin cos sin()sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C A C B BA C A C A C A C A C A C π++-+=+==== 所以，211sin 123tan tan sin sin 3B AC B B +====． 16．（1）证明：PC ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面，所以BD PC ⊥，记AC BD ，交于点O ，平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点，又PBD ∆中，PB PD =，所以BD OP ⊥， 又=PC OP P I ，PC OP PAC ⊂，平面，所以BD PAC ⊥平面，又AC PAC ⊂平面，所以BD AC ⊥；（2）四边形ABCD 是平行四边形，所以AD BC ∥，又AD PBC ⊄平面，BC PBC ⊂平面，所以AD PBC 平面∥， 又AD ADQF ⊂平面，ADQF PBC QF =I 平面平面，所以AD QF ∥，又AD BC ∥，所以QF BC ∥． 17．解：（1）由题意AB OM ∥，' 1.81' 3.62AB AB OB OM ===，3OA =，所以'6OB =，小明在地面上的身影AB'扫过的图形是圆环，其面积为226327()πππ⨯-⨯=平方米；（2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由（1）知000'12A B AB OB OM ==，所以22000000()'2cos f t A B OA OA AA OA AA OAA ===+-⋅∠，化简得2()39,010f t t t t =-+<≤，2327()24f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当32t =时，()f t 的最小值为33， 答：2()39,010f t t t t =-+<≤，当32t =（秒）时，()f t 的最小值为33（米）．18．解：（1）由题意22222221()()22x y a b a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，消去y 得22220c x ax b a ++=，解得2122ab x a x c =-=-，， 所以22(,0)M ab x a c =-∈-，22243M A ab OA OM x x a b c ⋅===u u u r u u u u r ，2234c a =，所以e ；（2）由（1）2(,)3M b -，右准线方程为x ， 直线MN的方程为y，所以)P ，212POF P S OF y ∆=⋅=，222AMN AOM M S S OA y b ∆∆==⨯=，所以2210+33a =2203b =，所以b a == 椭圆C 的标准方程为12822=+y x ． 19．解：（1）方法一：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++①， 所以21(1)(2)(1)(2)n n n S n S n n +++=++++②，由②-①得，211(1)(2)(1)2(1)n n n n n S nS n S n S n ++++-=+-+++， 即21(1)(22)(1)2(1)n n n n S n S n S n +++=+-+++，又10n +>， 则2122n n n S S S ++=-+，即212n n a a ++=+．在1(1)(1)n n nS n S n n +=+++中令1n =得，12122a a a +=+，即212a a =+． 综上，对任意*n ∈N ，都有12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以2为公差的等差数列． 又1a a =，则22n a n a =-+．方法二：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++，所以111n n S S n n +=++，又11S a a ==，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以a 为首项，1为公差的等差数列，因此1nS n a n=-+，即2(1)n S n a n =+-． 当2n ≥时，122n n n a S S n a -=-=-+，又1a a =也符合上式，故22n a n a =-+(*)n ∈N ，故对任意*n ∈N ，都有12n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公差的等差数列． （2）令12122n n n a e a n a +==+-+，则数列{}n e 是递减数列，所以211n e a<+≤． 考察函数1y x x =+(1)x >，因为2221110x y x x -'=-=>，所以1y x x=+在(1,)+∞上递增． 因此1422(2)n n e e a a <+++≤，从而n b =． 因为对任意的*n ∈N ，总存在数列{}n b 中的两个不同项s b ，t b ，使得s n t b c b ≤≤，所以对任意的*n ∈N都有n c ∈，明显0q >．若1q >，当1log q n +≥有111n n n c c q --=>不符合题意，舍去；若01q <<，当1log qn +≥111n n n c c q --=，不符合题意，舍去；故1q =． 20．解：（1）当0a =时，2ln ()xf x x =，定义域为(0)+∞，． 312ln ()xf x x-'=，令()0f x '=，得x =∴当x =()f x 的极大值为2e，无极小值． （2）312ln ()()ax x f x x a +-'=+，由题意()0f x '≥对(0)x a ∈-，恒成立． ∵(0)x a ∈-，，∴3()0x a +<， ∴12ln 0ax x+-≤对(0)x a ∈-，恒成立． ∴2ln a x x x -≤对(0)x a ∈-，恒成立．令()2ln g x x x x =-，(0)x a ∈-，， 则()2ln 1g x x '=+， ①若120ea -<-≤，即120ea ->≥-，则()2ln 10g x x '=+<对(0)x a ∈-，恒成立，∴()2ln g x x x x =-在(0)a -，上单调递减，则2()ln()()a a a a ---≤-，∴ln()a -0≤，∴1a -≤与12e a -≥-矛盾，舍去；②若12ea -->，即12ea -<-，令()2ln 10g x x '=+=，得12ex -=，当120e x -<<时，()2ln 10g x x '=+<，∴()2ln g x x x x =-单调递减，当12ex a -<<-时，()2ln 10g x x '=+>，∴()2ln g x x x x =-单调递增，∴当12ex -=时，1111122222min [()](e)2eln(e )e 2eg x g -----==-=-g ，∴122e a --≤． 综上122ea --≤．（3）当1a =-时，2ln ()(1)xf x x =-，312ln ()(1)x x x f x x x --'=-． 令()12ln h x x x x =--，(01)x ∈，， 则()12(ln 1)2ln 1h x x x '=-+=--，令()0h x '=，得12e x -=．①当12e1x -<≤时，()0h x '≤，∴()12ln h x x x x =--单调递减，12()(02e 1]h x -∈-，，∴312ln ()0(1)x x x f x x x --'=<-恒成立，∴2ln ()(1)x f x x =-单调递减，且12()(e )f x f -≤， ②当120ex -<≤时，()0h x '≥，∴()12ln h x x x x =--单调递增，其中1111()12ln()02222h =--⋅=， 又222225(e )e 12e ln(e )10e h ----=--⋅=-<， ∴存在唯一201(e ,)2x -∈，使得0()0h x =，∴0()0f x '=，当00x x <<时，()0f x '>，∴2ln ()(1)xf x x =-单调递增，当120ex x -<≤时，()0f x '<，∴2ln ()(1)x f x x =-单调递减，且12()(e )f x f -≥， 由①和②可知，2ln ()(1)xf x x =-在0(0)x ，单调递增，在0(1)x ，上单调递减，∴当0x x =时，2ln ()(1)xf x x =-取极大值．∵0000()12ln 0h x x x x =--=，∴0001ln 2x x x -=， ∴00220000ln 11()112(1)(1)2()22x f x x x x x ===----， 又01(0)2x ∈，，∴201112()(0)222x --∈-，，∴0201()2112()22f x x =<---．常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解：记NBC ∆外接圆为圆O ，AB 、AC 分别是圆O 的切线和割线，所以2AB AN AC =⋅， 又A A ∠=∠，所以ABN ∆与ACB ∆相似，所以BC AB ACBN AN AB==，所以 23BC AB AC AC BN AN AB AN ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，BC BN = B ．选修4—2：矩阵与变换 （2）42=021λλ----，即(4)(1)40λλ---=，所以250λλ-=，解得120,5λλ== 10λ=时，42020x y x y --=⎧⎨--=⎩，2y x =-，属于10λ=的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；25λ=时，20240x y x y -=⎧⎨-+=⎩，2x y =，属于10λ=的一个特征向量为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦．C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线22:(1)4C x y -+=，直线:20l x y +-=，圆心(1,0)C 到直线l 的距离为d ==MN =D ．选修4—5：不等式选讲证明：0,0a b >>，不妨设0a b >≥，则5522a b ≥，1122a b ≥，由排序不等式得5151515122222222a ab b a b b a ++≥，所以51515151222222222222a ab b a b b aa b a b ++++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到PAC ∆，PBD ∆为等腰直角三角形．ξ的可能取值为：ππ0,,32，共2828C =种情况，其中：0ξ=时，有2种；π3ξ=时，有34+24=20⨯⨯种；π2ξ=时，有2+4=6种；（1）141282)0(===ξP ； （2）7528164)3π(=+==ξP ，143286)2π(===ξP ．再根据（1）的结论，随机变量ξ的分布列如下表：根据上表，π8414273140)(=⨯+⨯+⨯=ξE ． 23．解：（1）1122!(1)!nn n S n n ++++==-L ．（2）222=3T S ，3311=6T S ，447=2T S ， 则2=42311=93671692a b c a b c a b c ⎧++⎪⎪⎪++⎨⎪⎪=++⎪⎩，，， 解得1114126a b c ==-=-，，． （3）①当2n =时，由（2）知等式成立；②假设*(N ,2)n k k k =∈且≥时，等式成立，即21114126k k T k k S =--； 当1n k =+时，由2111()(1)()()()21111[(1)()()]()2111()()!1k k f x x x x x k k x x x x k k S x T x x k k =+⨯+⨯⨯+⨯++=+⨯+⨯⨯+⨯++=+++++L L L知211111112[1()]1(1)!14126k k kk T S T k k k k k ++=+=+--+-+，所以2211111112[1()]32(35)(1)!14126(1)11212122!k k k k k T k k k k k k k k k S k k ++++----+-+==++=+++⎛⎫⎪⎝⎭， 又2111(35)(1)(1)412612k k k k ++-+-=，等式也成立； 综上可得，对任意2n ≥且*n ∈N ，都有2nnT an bn c S =++成立．。
2018年苏锡常镇四市一模试题和答案
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）化 学2018.03 可能用到的相对原子质量： H-1 C 一 12 N-14 0 —16 S-32 CI-35.5Na-23 Mg-24 A1-27 Fe-56 Cu-642n-65 选择题单项选择题：本题包括 10小题，每小题2分，共计20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1 •每年3月22日为“世界水日”。
下列有关“废水”的处理正确的是 A •工业废水无需处理，直接用于农业灌溉 B •废水经氯气消毒后，即可安全再利用 C .寻找方式来减少和再利用废水可节约水资源 D .收集和处理废水，弊大于利 2 •下列有关化学用语的表示，正确的是 A •氨基（-NH2）的电子式:C •二氧化碳分子的比例模型：D .碳酸电离的方程式:民4…•昭'3•下列有关物质性质与用途具有对应关系的是 A •晶体硅熔点高硬度大，可用于制造半导体材料 B 碳酸钠溶液显碱性，可用于除去金属器件表面的油脂 C ・碳酸氢钠能与碱反应，可用作焙制糕点的膨松剂 D •明矶溶于水能形成胶体，可用于自来水的杀菌消毒4•实验室制各氨气、收集、验证其还原性并进行尾气处理的装置和原理能达到实验目的的是A •用装置甲制取氨气B .用装置乙收集氨气时气体应该从a 口进b 口出C •装置丙中黑色固体变成红色时还原产物一定为铜B •钾离子的结构示意图D .可以用装置丁吸收氨气，进行尾气处理5•短周期主族元素X、Y、Z、W原子序数依次增大，其中X、Y处于同一周期且相邻, 素的原子在短周期中原子半径最大，W是地壳中含量最多的金属元素。
下列说法正确的是A .原子半径：r(X)<r(Y)<r(W)<r(Z)B . Z和X组成的化合物中一定不含共价键C. W的单质还原性比Z的强D . Y、Z、W三种元素组成的化合物可能是Z3WY66. 下列指定反应的离子方程式正确的是A .石灰水中加入过量小苏打溶液：HCM+CdSOFT—CuCOU+H^OB .将铜丝插入足量浓硝酸中：丨…■ ■・C .将S02通入少量氨水中：|從：-I 1 I '-D .用双氧水从酸化的海带灰浸出液中提取碘：21 +11203 —11420117. 在给定的条件下，下列选项所示的物质间转化均能实现的是A.MgCQj 卫J M承;以aq］虹刑、MgB.NaClfaq) 恥想.豳£0树c. S竺业■ SOj H1Q >D. M働⑷驰叫NaAlOj{a(|} ■加叭射8电石(主要成分为CaC2)是重要的基本化工原料。
江苏省常州市2018届高三第一次模拟考试数学答案
江苏省常州市2018届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. {-2}2.真3. 14. 25. 76.7. 38.9. (1,)10.11.12.13.14.15. (1) 由b sin C=cos B+c及正弦定理得sin B sin C=cos B sin C+sin C,在△ABC中,sin C>0,所以sin B-cosB=1,所以sin-=,-<B-<,B-=,所以B=.(6分) (2) 因为b2=ac,由正弦定理得sin2B=sin A sin C,+=+===-=,所以+====.(14分)16. (1) 因为PC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PC,记AC,BD交于点O,平行四边形对角线互相平分,则O为BD的中点,又在△PBD中,PB=PD,所以BD⊥OP, (4分) 又PC∩OP=P,PC,OP⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC,又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.(7分)(第16题)(2) 四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC.(10分) 又AD⊂平面ADQF,平面ADQF∩平面PBC=QF,所以AD∥QF,又AD∥BC,所以QF∥BC.(14分)17. (1) 由题意AB∥OM,则===,OA=3,所以OB'=6, (2分)小明在地面上的身影AB'扫过的图形是圆环, (4分) 其面积为π×62-π×32=27π(m2).(6分)(2) 经过t s,小明走到了A0处,身影为A0B0',由(1)知==,所以f(t)=A0B0'=OA0=-, (10分) 化简得f(t)=-,0<t≤10,f(t)=-,当t=时,f(t)的最小值为, (13分) 答:f(t)=-,0<t≤10,当t=(s)时,f(t)的最小值为(m).(14分) 18. (1) 联立消去y得x2+ax+b2=0,解得x1=-a,x2=-, (4分) 所以x M=-∈(-a,0),·=x M x A=a=b2,=,所以e=.(8分) (2) 由(1)知M--,右准线方程为x=b,直线MN的方程为y=x,所以P, (10分) S△POF=OF·y P=b·b=2b2,S△AMN=2S△AOM=OA×|y M|=2b×b=b2,所以2b2+b2=a,b2=b,所以b=,a=2.(14分) 故椭圆C的标准方程为+=1.(16分)19. (1) 方法一:因为nS n+1=(n+1)S n+n(n+1), ①所以(n+1)S n+2=(n+2)S n+1+(n+1)(n+2), ②由②-①得(n+1)S n+2-nS n+1=(n+2)S n+1-(n+1)S n+2(n+1),即(n+1)S n+2=(2n+2)S n+1-(n+1)S n+2(n+1),又n+1>0,则S n+2=2S n+1-S n+2,即a n+2=a n+1+2.(3分) 在nS n+1=(n+1)S n+n(n+1)中令n=1得,a1+a2=2a1+2,即a2=a1+2.(4分) 综上,对任意的n∈N*,都有a n+1-a n=2.故数列{a n}是以2为公差的等差数列.(5分) 又a1=a,则a n=2n-2+a.(6分) 方法二:因为nS n+1=(n+1)S n+n(n+1),所以=+1,又S1=a1=a,则数列是以a为首项,1为公差的等差数列, (2分)因此=n-1+a,即S n=n2+(a-1)n.(3分)当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-2+a,又a1=a也符合上式,故a n=2n-2+a(n∈N*), (5分)故对任意的n∈N*,都有a n+1-a n=2,即数列{a n}是以2为公差的等差数列.(6分)(2) 令e n==1+-,则数列{e n}是递减数列,所以1<e n≤1+.考察函数y=x+(x>1),因为y'=1-=->0,所以y=x+在(1,+∞)上单调递增.因此2<e n+≤2+,从而b n=∈.(9分) 因为对任意的n∈N*,总存在数列{b n}中的两个不同项b s,b t,使得b s≤c n≤b t,所以对任意的n∈N*都有c n∈,明显q>0.(11分) 若q>1,当n≥1+log q时,有c n=c1q n-1>q n-1≥,不符合题意,舍去; (13分) 若0<q<1,当n≥1+log q时,有c n=c1q n-1≤q n-1≤,不符合题意,舍去.(15分) 故q=1.(16分) 20. (1) 当a=0时,f(x)=,定义域为(0,+∞),f'(x)=-,令f'(x)=0,得x=.当x变化时,f(x),f'(x)所以当x=时,f(x)的极大值为,无极小值.(4分)(2) f'(x)=-,由题意f'(x)≥0对x∈(0,-a)恒成立.因为x∈(0,-a),所以(x+a)3<0,所以1+-2ln x≤0对x∈(0,-a)恒成立.所以a≤2x ln x-x对x∈(0,-a)恒成立.(6分) 令g(x)=2x ln x-x,x∈(0,-a),则g'(x)=2ln x+1,①若0<-a≤-,即0>a≥--,则g'(x)=2ln x+1<0对x∈(0,-a)恒成立,所以g(x)=2x ln x-x在(0,-a)上单调递减,则a≤2(-a)ln(-a)-(-a),所以0≤ln(-a),所以a≤-1与a≥--矛盾,舍去;②若-a>-,即a<--,令g'(x)=2ln x+1=0,得x=-,当0<x<-时,g'(x)=2ln x+1<0,所以g(x)=2x ln x-x单调递减,当-<x<-a时,g'(x)=2ln x+1>0,所以g(x)=2x ln x-x单调递增,所以当x=-时,g(x)min=g(-)=2-·ln---=-2-,所以a≤-2-.综上a≤-2-.(10分)(3) 当a=-1时,f(x)=-,f'(x)=---.令h(x)=1--2ln x,x∈(0,1),则h'(x)=1-2(ln x+1)=-2ln x-1,令h'(x)=0,得x=-.①当-≤x<1时,h'(x)≤0,所以h(x)=x-1-2x ln x单调递减,h(x)∈(0,2--1].所以f'(x)=---<0恒成立,所以f(x)=-单调递减,且f(x)≤f(-).(12分)②当0<x≤-时,h'(x)≥0,所以h(x)=x-1-2x ln x单调递增,其中h=-1-2××ln=ln>0,又h(e-2)=e-2-1-2e-2·ln(e-2)=-1<0,所以存在唯一的x0∈-,使得h(x0)=0,所以f'(x0)=0,当0<x<x0时,f'(x0)>0,所以f(x)=-单调递增,当x0<x≤-时,f'(x0)<0,所以f(x)=-单调递减,且f(x)≥f(-).(14分)由①和②可知,f(x)=-在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,所以当x=x0时,f(x)=-取极大值.因为h(x0)=x0-1-2x0ln x0=0,所以ln x0=-,所以f(x0)=-=-=--.又x0∈(0,-),所以2--∈-,所以f(x0)=--<-2.(16分) 江苏省常州市2018届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 记△NBC的外接圆为圆O,AB,AC分别是圆O的切线和割线,所以AB2=AN·AC, (3分) 又∠A=∠A,所以△ABN∽△ACB,所以==, (6分) 所以=·==3,=.(10分) B. (1) 由题意=0,即4-2a=0,解得a=2.(3分)(2)----=0,即(λ-4)(λ-1)-4=0,所以λ2-5λ=0,解得λ1=0,λ2=5.(6分)当λ1=0时,----y=-2x,故属于λ1=0的一个特征向量为-; (8分)当λ2=5时,--x=2y,故属于λ2=5的一个特征向量为.(10分)C. 曲线C:(x-1)2+y2=4,直线l:x+y-2=0, (4分) 圆心C(1,0)到直线l的距离为d==, (7分)所以弦长MN=2-=2-=.(10分) D.a>0,b>0,不妨设a≥b>0,则≥,≥,由排序不等式得+≥+,所以≥=.(10分) 22.根据题意,该四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到△PAC,△PBD为等腰直角三角形,ξ的可能取值为0,,,共=28种情况,其中:ξ=0时,有2种;ξ=时,有3×4+2×4=20种;ξ=时,有2+4=6种.(4分)(1) P(ξ=0)==.(5分)(2) P==,P==.(8分) 故E(ξ)=0×+×+×=π.(10分)23. (1) S n==-.(2分) (2) =,=,=,则解得a=,b=-,c=-.(5分)(3) ①当n=2时,由(2)知等式成立.②假设n=k(k∈N*,且k≥2)时,等式成立,即=k2-k-;当n=k+1时,由f(x)=(x+1)××…××=×=×,知T k+1=S k+T k=---,所以=---=--=,又(k+1)2-(k+1)-=,等式也成立.综上可得,对任意的n≥2且n∈N*,都有=an2+bn+c成立.(10分)。
2018无锡市一模数学试题含答案
2018无锡市一模数学试题含答案设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P为右支上任意一点，则PF 21PF 2的最小值为________． 12. 在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD＝2，∠A ＝π3，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若|AB →－NB →|＝|AM →－AN →|，则AM →·AN→＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1x 2， x ≤－12，log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2， x>－12，g(x)＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0，则实数b 的取值范围是______________．14. 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，已知四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF.(1) 求证：AC⊥平面BDE；(2) 求证：AC∥平面BEF.16. (本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝34，C＝2A.(1) 求cos B的值；(2) 若ac＝24，求△ABC的周长．如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，∠CAB＝π3，AB⊥BD，BC︵是以A为圆心，1km为半径的圆弧形小路．该市拟修建一条从点C通往海岸的观光专线CP︵PQ，其中P为BC︵上异于点B，C的一点，PQ与AB平行，设∠PAB＝θ.(1) 证明：观光专线CP︵PQ的总长度随θ的增大而减小；(2) 已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路CP︵的单位成本的2倍．当θ取何值时，观光专线CP︵PQ的修建总成本最低？请说明理由．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为22，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别为左、右顶点，原点O 到直线BD 的距离为63.设点P 在第一象限，且PB ⊥x 轴，连结PA 交椭圆于点C.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程；(3) 求过点B ，C ，P 的圆的方程(结果用t 表示)．已知数列{a n }满足⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 2…⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a n ＝1a n，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和． (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，求正整数p ，q 的值；(3) 是否存在k ∈N *，使得a k a k ＋1＋16为数列{a n }中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．已知函数f(x)＝e x(3x－2)，g(x)＝a(x－2)，其中a，x∈R.(1) 求过点(2，0)且和函数y＝f(x)的图象相切的直线方程；(2) 若对任意x∈R，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3) 若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<g(x0)，求实数a的取值范围．2018届高三年级第一次模拟考试(八)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B . [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 4a b ，若矩阵A 属于特征值λ1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，属于特征值λ2的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，求矩阵A.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m (t 是参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ＝4sin θ，且直线l 与圆C 相交，求实数m 的取值范围．22. (本小题满分10分)某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A 车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A，D两辆汽车每天出车的概率为34，B，C两辆汽车每天出车的概率为12，且四辆汽车是否出车是相互独立的．该公司所在地区汽车限行规定如下：汽车车牌尾号车辆限行日0和5 星期一1和6 星期二2和7 星期三3和8 星期四4和9 星期五(1) 求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率；(2) 设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ζ的分布列和数学期望．23. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，E是线段AB的中点，PE⊥底面ABCD，已知DA＝AB＝2BC＝2.(1) 求二面角PCDA的正弦值；(2) 试在平面PCD上找一点M，使得EM⊥平面PCD.2018届无锡高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 32. 63. 474. 112 5. 21 6. 50π 7.5 8. π69. 1 024 10. 19 11. 8 12. 613. (－2，0) 14. (－∞，－1]∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫72，＋∞15. 解析：(1) 因为DE ⊥平面ABCD ， 所以DE ⊥AC. (2分) 因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD.(4分) 因为DE ∩BD ＝D ，(5分) 所以AC ⊥平面BDE.(6分)(2) 设AC ∩BD ＝O ，取BE 的中点G ，连结FG ，OG ，所以OG ∥12DE 且OG ＝12DE.(8分)因为AF ∥DE ，DE ＝2AF ， 所以AF ∥OG 且AF ＝OG ，从而四边形AFGO 是平行四边形，FG ∥AO. (10分)因为FG ⊂平面BEF ，AO ⊄平面BEF ， 所以AO ∥平面BEF ，即AC ∥平面BEF. (14分)16. 解析：(1) 因为cos A ＝34，所以cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝2×⎝⎛⎭⎪⎪⎫342－1＝18. (3分) 在△ABC 中，因为cos A ＝34，所以sin A ＝74.(4分) 因为cos C ＝18，所以sin C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫182＝378，(5分)所以cos B ＝－cos (A ＋B)＝sin A sin B －cos A cos B ＝916. (7分)(2) 根据正弦定理a sin A ＝csin C，所以a c ＝23.又ac ＝24，所以a ＝4，c ＝6.(10分)b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25，b ＝5. 所以△ABC 的周长为15. (14分)17. 解析：(1) 由题意，∠CAP ＝π3－θ，所以CP ︵＝π3－θ， 又PQ ＝AB －AP cos θ＝1－cos θ， 所以观光专线的总长度f (θ)＝π3－θ＋1－cos θ＝－θ－cos θ＋π3＋1，0<θ<π3.(3分)因为当0<θ<π3时，f ′(θ)＝－1＋sin θ<0，(5分)所以f(θ)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减，即观光专线CP ︵PQ 的总长度随θ的增大而减小．(6分)(2) 设翻新道路的单位成本为a(a>0)，则总成本g(θ)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋2－2cos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ－2cos θ＋π3＋2，0<θ<π3，(8分)g ′(θ)＝a(－1＋2sin θ)．(9分) 令g′(θ)＝0，得sin θ＝12.因为0<θ<π3，所以θ＝π6.(10分)当0<θ<π6时，g ′(θ)<0，当π6<θ<π3时，g ′(θ)>0，(12分) 所以当θ＝π6时，g (θ)最小．(13分)故当θ＝π6时，观光专线CP ︵PQ 的修建总成本最低. (14分)18. 解析：(1) 因为椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，所以a 2＝2c 2，b ＝c ，(1分)所以直线DB 的方程为y ＝－22x ＋b ，又O 到直线BD 的距离为63，所以b1＋12＝63， 所以b ＝1，a ＝2，(3分)所以椭圆E的方程为x22＋y2＝1.(4分)(2) 设P(2，t)，t>0，直线PA的方程为y＝t22(x＋2)，(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧x22＋y2＝1，y＝t22（x＋2），整理得(4＋t2)x2＋22t2x＋2t2－8＝0，解得x C＝42－2t24＋t2，则点C的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫42－2t24＋t2，4t4＋t2，(7分)因为三角形ABC的面积等于四边形OBPC 的面积，所以三角形AOC的面积等于三角形BPC的面积，S△AOC＝12×2×4t4＋t2＝22t4＋t2，S △PBC ＝12×t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－42－2t 24＋t 2＝2t 34＋t2， 则2t 34＋t 2＝22t4＋t 2，解得t ＝ 2.(9分) 所以直线PA 的方程为x －2y ＋2＝0. (10分)(3) 因为B(2，0)，P(2，t)，C(42－2t 24＋t 2，4t4＋t2)， 所以BP 的垂直平分线为y ＝t 2，BC 的垂直平分线为y ＝2t 2x －2tt 2＋4，所以过B ，C ，P 三点的圆的圆心为(t 2＋82（t 2＋4），t2)，(12分) 则过B ，C ，P 三点的圆方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －t 2＋82（t 2＋4）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －t 22＝t 42（t 2＋4）2＋t 24，(14分)即所求圆方程为x 2－2t 2＋82t 2＋4x ＋y 2－ty ＋8t 2＋4＝0.(16分) 19. 解析：(1) 因为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 2…⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a n ＝1a n，n ∈N *， 所以当n ＝1时，1－1a 1＝1a 1，a 1＝2，(1分)当n ≥2时，由⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 2…⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a n ＝1a n和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n －1＝1a n －1， 两式相除可得1－1a n ＝a n －1a n ，即a n －a n －1＝1(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为2，公差为1的等差数列.于是，a n ＝n ＋1. (4分)(2) 因为a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，所以⎩⎨⎧a p ＋S q ＝60，a p S q ＝182，于是⎩⎨⎧a p ＝6，S q ＝54或⎩⎨⎧a p ＝54，S q ＝6.(7分)当⎩⎨⎧a p ＝6，S q ＝54时，⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1＝6，（q ＋3）q 2＝54，解得⎩⎨⎧p ＝5，q ＝9，当⎩⎨⎧a p ＝54，S q ＝6时，⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1＝54，（q ＋3）q 2＝6，无正整数解，所以p ＝5，q ＝9.(10分)(3) 假设存在满足条件的正整数k ，使得a k a k ＋1＋16＝a m (m ∈N *)，则（k ＋1）（k ＋2）＋16＝m ＋1，平方并化简得(2m ＋2)2－(2k ＋3)2＝63，(11分)则(2m ＋2k ＋5)(2m －2k －1)＝63，(12分)所以⎩⎨⎧2m ＋2k ＋5＝63，2m －2k －1＝1或⎩⎨⎧2m ＋2k ＋5＝21，2m －2k －1＝3或⎩⎨⎧2m ＋2k ＋5＝9，2m －2k －1＝7，(4分) 解得m ＝15，k ＝14或m ＝5，k ＝3或m ＝3，k ＝－1(舍去)，综上所述，k ＝3或14. (16分)20. 解析：(1) 设切点为(x 0，y 0)，f ′(x)＝e x (3x ＋1)，则切线斜率为e x 0(3x 0＋1)，所以切线方程为y －y 0＝e x 0(3x 0＋1)(x －x 0)，因为切线过(2，0)，所以－e x 0(3x 0－2)＝e x 0(3x 0＋1)(2－x 0)， 化闻得3x 20－8x 0＝0， 解得x 0＝0或x 0＝83. (3分)当x 0＝0时，切线方程为y ＝x －2，(4分) 当x 0＝83时，切线方程为y ＝9e 83x －18e 83. (5分)(2) 由题意，对任意x ∈R 有e x(3x －2)≥a (x－2)恒成立，①当x ∈(－∞，2)时，a ≥e x（3x －2）x －2⇒a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤e x （3x －2）x －2max，令F (x )＝e x （3x －2）x －2，则F ′(x )＝e x（3x 2－8x ）（x －2）2，令F ′(x )＝0得x ＝0，x (－∞，0) 0 (0，2) F ′(x ) ＋ 0 － F (x )单调递增极大值单调递减F (x )max ＝F (0)＝1，故此时a ≥1.(7分) ②当x ＝2时，恒成立，故此时a ∈R.(8分) ③当x ∈(2，＋∞)时，a ≤e x（3x －2）x －2⇒a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤e x （3x －2）x －2min，令F ′(x )＝0⇒x ＝83，F (x )min ＝F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫83＝9e 83，故此时a ≤9e 83.综上1≤a ≤9e 83.(10分) (3) 因为f (x )<g (x )， 即e x (3x －2)<a (x －2)，由(2)知a ∈(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫9e 83，＋∞， 令F (x )＝e x （3x －2）x －2，则(12分)当x ∈(－∞，2)，存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<g (x 0)，等价于a <e x（3x －2）x －2存在唯一的整数x 0成立，因为F (0)＝1最大，F (－1)＝53e ，F (1)＝－1e ，所以当a <53e时，至少有两个整数成立，所以a ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫53e ，1. (14分)当x ∈(2，＋∞)，存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<g (x 0)，等价于a >e x （3x －2）x －2存在唯一的整数x 0成立，因为F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫83＝9e 83；最小，且F (3)＝7e 3，F (4)＝5e 4，所以当a >5e 4时，至少有两个整数成立，所以当a ≤7e 3时，没有整数成立，所有a ∈(7e 3，5e 4].综上：a ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫53e ，1∪(7e 3，5e 4]. (16分)21. 解析：由矩阵A 属于特征值λ1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2可得， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34a b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，即⎩⎨⎧3－8＝λ1，a －2b ＝－2λ1，(2分)得a ＝2b ＝10，由矩阵A 属于特征值λ2的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤34a b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3， 即⎩⎨⎧6－12＝2λ2，2a －3b ＝－3λ2，(6分) 得2a －3b ＝9，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－11，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－12－11，(10分) 22. 解析：由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝4x ，即圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4，(3分)又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m ，消去t ，得3x －y ＋m ＝0，(6分)由直线l 与圆C 相交，所以|m －2|2<2，即－2<m<6.(10分)23. 解析：(1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A ，则A 为该公司在星期四最多有一辆汽车出车．P(A)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142＝964.∴ P(A)＝1－P(A)＝5564.(3分)答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为5564.(2) 由题意，ζ的可能值为0，1，2，3，4，P (ζ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142＝164；P (ζ＝1)＝C 12⎝⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝18；P (ζ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝132；P (ζ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝38；P (ζ＝4)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫342⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝964.(8分)ζ 0 1 2 3 4 P 16418113238964E (ζ)＝18＋2×1132＋3×38＋4×964＝52.答：ζ的数学期望为52.(10分)24. 解析：(1)因为PE ⊥底面ABCD ，过点E 作ES ∥BC ，则ES ⊥AB ，以E 为坐标原点，EB 方向为x 轴的正半轴， ES 方向为y 轴的正半轴，EP 方向为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A(－1，0，0)，D(－1，2，0)，P(0，0，3)，CD→＝(－2，1，0)，PC →＝(1，1，－3)．(2分)设平面PCD 的一个法向量为n(x ，y ，z )，则n·CD→＝－2x ＋y ＝0， n·PC →＝x ＋y －3z ＝0，解得n ＝(1，2，3)， 因为平面ABCD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，(3分)所以cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝31＋4＋3＝64，(4分)所以sin 〈n ，m 〉＝104.(5分) (2) 设点M 的坐标为(x 1，y 1，z 1)． 因为EM ⊥平面PCD ， 所以EM →∥n ，即x 11＝y 12＝z 13， 即y 1＝2x 1，z 1＝3x 1，(6分)因为PM→＝(x 1，y 1，z 1－3)，PD →＝(－1，2，－3)，PC→＝(1，1，－3)， 所以PM →＝λPC →＋μPD →＝(λ－μ，λ＋2μ，－3λ－3μ)，所以x 1＝λ－μ，y 1＝λ＋2μ＝2x 1＝2(λ－μ)， 即λ＝3μ，(8分)z 1－3＝－3λ－3μ，λ＝12，所以μ＝16，(9分)所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，56，33.(10分)。
苏锡常镇四市2018-2019学年度高三教学情况调查(一)数学试题(含答案)
2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ一、 填空题， 本大题共 14 题， 每小题 5 分， 共 70 分， 不需要写出解答过程， 请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合 A = {0，1，2}， B = {x | -1 < x < 1}， 则 A ∩B = ．答案：{}=0A B ⋂。
2、i 为虚数单位， 复数(1- 2i )2 的虚部为 ．答案：2312()4i i =---，即虚部为-4。
3、抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为 ．答案：()1,0。
4、箱子中有形状、 大小相同的 3只红球、 1只白球， 一次摸出 2 只球， 则摸到的 2 只球颜色相同的概率为 ． 答案：12解析：232412C C =。
5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图， 已知从左到右的前 3组的频率成等差数列， 则第 2 组的频数为 ．答案：406、如图是一个算法流程图， 则输出的 S 的值是 ．7、已知函数2log (3),0()21,0x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，若1(1)2f a -=， 则实数a = ．答案：2log 3 解析：222133(1)1log 1log log 3222f a a a -=⇒-=⇒=+= 8、中国古代著作《张丘建算经》 有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半， 七天一共行走了 700 里， 那么这匹马在最后一天行走的里程数为 ． 答案：700127解析：设第七天走的路程为x ，那么七天总共走的路程为76127002270012127x x x x x -+++==⇒=-。
9、已知圆柱的轴截面的对角线长为 2， 则这个圆柱的侧面积的最大值为 ． 答案：2π解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，那么2244r h +=，圆柱的侧面积为224222r h rh πππ+≤=。
2018苏锡常镇一模(十)数学DA
2018苏锡常镇一模(十)数学DA2018届苏锡常镇四市高三年级第二次模拟考试(十) 数学参考答案1. {1}2. 53. y ＝±32x4. 635. 316 6.257. 433 8. 8 9. 26 10. 1311. a ≥e ＋412. 6 13. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫13，5 14. [0，1) 15. 解析：(1) 由题意sin α＝45，cos α＝35，(2分)所以a·b ＝2sin α＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin α＋sin αcos π4＋cos απ4＝425＋45×22＋35×22＝322.(6分)(2) 因为a ∥b ，所以2sin αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1，(2) 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以BN ⊥AA 1， 在正△ABC 中，N 是AB 的中点， 所以BN ⊥AC.因为AA 1，AC ⊂平面AA 1C 1C ，AA 1∩AC ＝A ，所以BN ⊥平面AA 1C 1C. 因为AD ⊂平面AA 1C 1C ， 所以AD ⊥BN ，(10分)由题意，得AA 1＝6，AC ＝2，AN ＝1，CD ＝63， 所以AA 1AC ＝AN CD＝32， 因为∠A 1AN ＝∠ACD ＝π2，所以△A 1AN 与△ACD 相似，则∠AA 1N ＝∠CAD ，所以∠ANA 1＋∠CAD ＝∠ANA 1＋∠AA 1N ＝π2，所以AD ⊥A 1N.因为BN ∩A 1N ＝N ，BN ，A 1N ⊂平面A 1BN ， 所以AD ⊥平面A 1BN.(14分)17. 解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝14，1b2＝1，(4分) 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(6分)(2) 由题意知A(0，－1)，直线l 1，l 2的斜率存在且不为零，设直线l 1：y ＝k 1x －1，与直线y ＝x 联立方程有⎩⎨⎧y ＝k 1x －1，y ＝x ，解得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1－1，1k 1－1，设直线l 2：y ＝－1k 1x －1，同理F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1k 1－1，1－1k 1－1， (8分)因为OE ＝OF ，所以|1k 1－1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪11k 1－1 ，(10分)①1k 1－1＝1－1k 1－1 ，k 1＋1k 1＝0无实数解；(11分)②1k 1－1＝－1－1k 1－1 ，k 1－1k 1＝2，k 2－2k 1－1＝0，解得k 1＝1±2，综上可得，直线l 1的斜率为1±2.(14分) 18. 解析：(1) 设∠OPQ ＝α，由题意，得在Rt △OAQ 中，OA ＝3，∠AQO ＝π－∠AQC ＝π－2π3＝π3，所以OQ ＝3，在△OPQ 中，OP ＝3，∠POQ ＝π2－θ＝π2－π3＝π6， 由正弦定理得OQ sin ∠OPQ ＝OP sin ∠OQP ， (2分)即3sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－α－π6，所以3sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α， 则3sin α＝sin 5π6cos α－cos 5π6sin α＝12cos α＋32sin α，所以3sin α＝cos α，(4分)因为α为锐角，所以cos α≠0，所以tan α＝33，得α＝π6.(6分) (2) 设∠OPQ ＝α，在△OPQ ，OP ＝3，∠POQ ＝π2－θ＝π2－π3＝π6，由正弦定理得OQ sin ∠OPQ ＝OPsin ∠OQP ，即3sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，(8分)所以3sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－（α－θ）＝cos (α－θ)＝cos αcos θ＋sin αsin θ，所以(3－sin θ)sin α＝cos αcos θ，其中3－sin θ≠0，cos α≠0，所以tan α＝cos θ3－sin θ，(11分)记f(θ)＝cos θ3－sin θ，f ′(θ)＝1－3sin θ（3－sin θ）2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2； 令f′(θ)＝0，sin θ＝33，存在唯一θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2使得sin θ0＝33，(13分)当θ∈(0，θ0)时，f ′(θ)>0，f (θ)单调递增，当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫θ0，π2时f′(θ)<0，f (θ)单调递减，所以当θ＝θ0时，f (θ)最大，即tan ∠OPQ 最大，因为∠OPQ 为锐角，所以∠OPQ 最大，此时sin θ＝33.故观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为33.(16分)19. 解析：(1) 函数y ＝g(x)的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0，b ＝－2，f(x)＝x 3－2x ＋c ， 因为f(x)≥g(x)恒成立，所以x 3－2x ＋c ≥ln x 恒成立，即c ≥ln x －x 3＋2x.(2分)令φ(x)＝ln x －x 3＋2x ，则φ′(x)＝1x－3x 2＋2＝1＋2x －3x 3x ＝（1－x ）（1＋3x ＋3x 2）x，令φ′(x)≥0，得x ≤1，所以φ(x)在区间(0，1]上单调递增， 令φ′(x)≤0，得x ≥1，所以φ(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，(4分) 所以当x ＝1时，[φ(x)]max ＝φ(x)＝1， 所以c ≥1.(6分)(2) ①当b ＝－3时，f(x)＝x 3＋ax 2－3x ＋c ，f ′(x)＝3x 2＋2ax －3.由题意，得f′(x)＝3x 2＋2ax －3≤0对x ∈(－1，1)恒成立， (8分)所以⎩⎨⎧f ′（1）＝3＋2a －3≤0，f ′（－1）＝3－2a －3≤0，所以a ＝0，即实数a 的值为0. (10分) ②函数y ＝h(x)的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝0，b ＝－3，c ＝2时，f(x)＝x 3－3x ＋2.f ′(x)＝3x 2－3，令f′(x)＝3x 2－3＝0，得x ＝1.x (0，1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋f(x)极小值0(12分)所以当x ∈(0，1)时，f(x)>0，当x ＝1时，f(x)＝0，当x ∈(1，＋∞)时，f(x)>0.对于g(x)＝ln x ，当x ∈(0，1)时，g(x)<0，当x ＝1时，g(x)＝0，当x ∈(1，＋∞)时，g(x)>0.(14分)所以当x ∈(0，1)时，h(x)＝f(x)>0，当x ＝1时，h(x)＝0，当x ∈(1，＋∞)时，h(x)>0.故函数y ＝h(x)的值域为[0，＋∞). (16分)20. 解析：(1) 由2S n ＝a n ＋1－3(n ∈N *)得2S n ＋1＝a n ＋2－3，两式作差得2a n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ＋1(n ∈N *). (2分)a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝9，所以a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，a n ≠0，则a n ＋1a n ＝3(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n (n ∈N *)．(4分)(2) 由题意，得λa j ＋μa k ＝2×6a i ，即λ3j ＋μ3k ＝2×6·3i ，所以λ3j －i ＋μk －i ＝12，其中j －i ≥1，k －i ≥2， 所以λ3j －i ≥3λ≥3，μ3k －i ≥9μ≥9, (6分) 12＝λ3j －i ＋μ3k －i ≥12，所以j －i ＝1，k －i ＝2，λ＝μ＝1. (8分)(3) 由a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝3n ＋1－3n －3得a 1b n ＋1＋a 2b n ＋a 3b n －1＋…＋a n b 2＋a n ＋1b 1＝3n ＋2－3(n ＋1)－3，a1b n＋1＋3(a1b n＋a2b n－1＋…＋a n－1b2＋a n b1＝3n＋2－3(n＋1)－3，a1b n＋1＋3(3n＋1－3n－3)＝3n＋2－3(n＋1)－3，所以3b n＋1＝3n＋2－3(n＋1)－3－3(3n＋1－3n－3)，即3b n＋1＝6n＋3，所以b n＋1＝2n＋1(n∈N*), (10分)因为a1b1＝31＋1－3·1－3＝3，所以b1＝1，所以b n＝2n－1(n∈N*)，所以T n＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝1＋2n－12n＝n2(n∈N*)，T na n＝n23n(n∈N*)，当n＝1时，T1a1＝13；当n＝2时，T2a2＝49；当n＝3时，T3a3＝13.(12分)下面证明：对任意正整数n>3都有T na n<13，T n＋1 a n＋1－T na n＝(n＋1)2⎝⎛⎭⎪⎪⎫13n＋1－n2⎝⎛⎭⎪⎪⎫13n＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫13n＋1((n＋1)2－3n 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n ＋1(－2n 2＋2n ＋1)， 当n ≥3时，－2n 2＋2n ＋1＝(1－n 2)＋n (2－n )<0，即T n ＋1a n ＋1－T n a n<0， 所以当n ≥3时，T n a n递减，所以对任意正整数n >3都有T n a n <T 3a 3＝13， 综上，满足等式T n a n ＝13的正整数n 的值为1和3.(16分)21. A . 解析：(1) 连结OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°，AB ＝2OB .因为CD 是圆O 的切线，所以∠CDO ＝90°， 因为DA ＝DC ，所以∠A ＝∠C ，所以△ADB ≌△CDO ，所以AB ＝CO ， 所以AO ＝BC ，所以AB ＝2BC .(6分)(2) 由AB ＝2，AB ＝2BC ，得CB ＝1，CA ＝3.由切割线定理，得CD 2＝CB ·CA ＝1×3＝3，所以CD ＝ 3.(10分)B . 解析：(1) AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4001⎣⎢⎡⎦⎥⎤1205＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4805.(4分)(2) 由B －1A －1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51， 解得X ＝AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤51＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4805⎣⎢⎡⎦⎥⎤51＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤285. 因为X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ， 所以a ＝28，b ＝5. (10分)C . 解析： 在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－3中， 令θ＝0，得ρ＝2，所以圆C 的圆心的极坐标为(2，0). (5分) 因为圆C 的半径PC ＝（22）2＋22－2×22×2×cos π4＝2，(7分) 所以圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (10分)D . 证明：因为x ，y 都是正数，所以1＋x ＋y 2>33xy 2>0，1＋y ＋x 2≥33yx 2>0, (6分)(1＋x ＋y 2)(1＋y ＋x 2)≥9xy ，因为xy ＝1，所以(1＋x ＋y 2)(1＋y ＋x 2)≥9. (10分)22. 解析：(1) 以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝t ，则D(0，0，0)，A(2t ，0，0)，B(2t ，l ，0)，C(0，t ，0)，P(0，0，2t)，Q(t ，0，t)，所以CQ→＝(t ，－t ，t)，DB →＝(2t ，t ，0)，DP →＝(0，0，2t)，设平面PBD 的一个法向量n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DB →·n 1＝0，DP →·n 2＝0，即⎩⎨⎧2tx ＋ty ＝0，2tz ＝0，解得⎩⎨⎧2x ＋y ＝0，z ＝0，所以平面PBD 的一个法向量n 1＝(1，－2，0)，(3分)则cos 〈n 1，CQ →〉＝n·CQ →|n 1||CQ→|＝3t 5×3t ＝＝155， 则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为155. (5分)(2) 由(1)知平面PBD 的一个法向量为n 1＝(1，－2，0)，设PQ PA＝λ(0<λ<1)，则PQ →＝λPA →，DQ →＝DP→＋PQ →＝(0，0，2t )＋λ(2t ，0，－2t )＝(2tλ，0，2t (1－λ))，DB→＝(2t ，t ，0)， 设平面QBD 的一个法向量n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DQ →·n 2＝0，DB→·n 2＝0，即⎩⎨⎧2t λx ＋2t （1－λ）z ＝0，2tx ＋ty ＝0，解得⎩⎨⎧λx ＋（1－λ）z ＝0，2x ＋y ＝0，所以平面QBD 的一个法向量n 2＝(1－λ，2λ－2，－λ), (7分) 由题意得1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2|n 1||n 2|| ＝|5（1－λ）5（1－λ）2＋（2λ－2）2＋（－λ）2|， 所以59＝5（1－λ）26λ2－10λ＋5，即(λ－2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ－23＝0， 因为0<λ<1，所以λ＝23，则PQ PA ＝23.(10分) 23. 解析：(1) D 1＝0，D 2＝1，(前2个全对方得分) (1分)D 3＝2, (2分)D 4＝9. (3分)(2) D n ＝(n －1)(D n －1＋D n －2), (4分)理由如下：对A n 的元素的一个错位排列(a 1，a 2，…，a n )，若a 1＝k(k ≠1)，分以下两类：若a k ＝1，这种排列是n －2个元素的错位排列，共有D n －2个；若a k ≠1，这种错位排列就是将1，2，…，k －1，k ＋1，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于n －1个元素的错位排列，共有D n－1个；根据k的不同的取值，由加法原理得到D n＋D n－2)．(6分)＝(n－1)(D n－1(3) 根据(2)的递推关系及(1)的结论，D n均为自然数．当n≥3，且n为奇数时，n－1为偶数，从而D n＝(n－1)(D n－1＋D n－2)为偶数，又D1＝0也是偶数，故对任意正奇数n，有D n均为偶数. (7分)下面用数学归纳法证明D2n(其中n∈N*)为奇数．当n＝1时，D2＝1为奇数；假设当n＝k时，结论成立，即D2k是奇数，则当n＝k＋1时，D2(k＋1)＝(2k＋1)(D2k＋1＋D2))，注意到D2k＋1为偶数，又D2k是奇数，所以D2k＋1＋D2k为奇数，又2k＋1为奇数，所以D2(k＝(2k＋1)(D2k＋1＋＋1)D2k)，即结论对n＝k＋1也成立；综上，对任意n∈N*，都有D2n为奇数．(10分)。
江苏省无锡市第十中学2018年高三数学理模拟试卷含解析
江苏省无锡市第十中学2018年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为A．5 B．10 C．2 0 D．参考答案：B2. 定义两种运算：，，则是（）函数．（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数参考答案：A略3. 已知复数，则z的共轭复数为（A）1－2i （B）1＋2i （C）1－i （D）1＋i参考答案：C略4. 已知命题：、为直线，为平面，若∥，，则∥；命题：若＞，则＞，则下列命题为真命题的是（）A. 或B. 或C. 且D. 且参考答案：B若∥，，则∥，也可能，所以命题是假命题；若＞，当时，；当时，，所以命题也是假命题，综上所述，或为假命题；或为真命题；且为假命题；且为假命题，故选择B。
5. 定义已知，，，则A． B． C． D．不能确定参考答案：C略6. 已知O为正△ABC内的一点，且满足，若△OAB的面积与△OBC 的面积的比值为3，则λ的值为（）A．B．C．2 D．3参考答案：C【考点】向量在几何中的应用．【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到=﹣λ，由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到S△COB=S△ABC，S△COA=S△ABC，由面积之比，O分DE所成的比，从而得出λ的值．【解答】解：由于，变为++λ（+）=0．如图，D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知+=2，λ（+）=2λ，故=﹣λ，在正三角形ABC中，∵S△COB=S△AOB=×S△ABC=S△ABC，S△COA=S△ACB﹣S△ABC﹣S△ABC=S△ABC，且三角形AOC与三角形COB的底边相等，面积之比为2得λ=2．故选：C．7. 函数，则方程在下面哪个范围内必有实根（）A． B． C． D．参考答案：B试题分析：方程的根就是函数的零点，由于，，由零点存在定理，得函数的零点在区间在内，因此方程的根在，故答案为B考点：方程的根和函数的零点的关系8. 函数y=sin(+)的图象可以由函数y=cos的图象经过（）A．向右平移个单位长度得到B．向右平移个单位长度得到C．向左平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数=sin（+）的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin（﹣+）=sin（+）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9. 已知点M(x，y)是圆的内部任意一点，则点M满足y≥x的概率是（）A．B．C．D．参考答案：D10. 在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，θ=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．【专题】压轴题．【分析】在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．【解答】解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈（0，]，∴2θ∈（0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=故选D．【点评】本题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的直线交抛物线于，两点，点，在抛物线准线上的射影分别是，，若四边形的面积为，则抛物线的方程为____参考答案：略12. 在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1有公共点的概率为．参考答案：【考点】CF：几何概型；J8：直线与圆相交的性质．【分析】利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0）圆心到直线y=k（x+2）的距离为要使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1有公共点则＜1解得﹣≤k≤∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1有公共点的概率为=故答案为：13. 若直线与函数（的图像有两个公共点，则的取值范围是 .参考答案：因为的图象是由向下平移一个单位得到，当时，作出函数的图象如图，此时，如图象只有一个交点，不成立。
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2018届高三年级第二次模拟考试(十)
数学(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{－3，0}，则集合A ∩B ＝________．
2. 已知复数z 满足z·i ＝3－4i (i 为虚数单位)，则|z|＝________．
3. 双曲线x 24－y 2
3
＝1的渐近线方程为________． 4. 某中学共有1 800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n ＝________．
5. 将一颗质地均匀的正四面骰子(每个面上分别写有数字1，2，3，4)先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为________．
6. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．
7. 若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为8cm 2，则它的体积为________cm 3.
8. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＝2，S 2＋S 4＝1，则a 10＝________．
9. 已知a>0，b>0，且2a ＋3b
＝ab ，则ab 的最小值是________． 10. 设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan A tan B ＝3c －b b
，则 cos A ＝________．
11. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x ， x<1，x ＋4x
， x ≥1(e 是自然对数的底数)．若函数y ＝f(x)的最小值是4，则实数a 的取值范围为________．
12. 在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP →|＝3，|CA →|＝4，∠ACB ＝2π3
，则 CP →·CA →＝________．
13. 已知直线l ：x －y ＋2＝0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆C ：(x －2)2＋y 2＝2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为________．
14. 若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)在区间[1，2]上有两个不同的零点，则f （1）a
的取值范围为________________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知向量a ＝(2sin α，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，sin ⎝
⎛⎭⎫α＋π4. (1) 若角α的终边过点(3，4)，求a·b 的值；
(2) 若a ∥b ，求锐角α的大小．
16. (本小题满分14分)
如图，正三棱柱ABCA 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ,N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：
(1) B 1M ∥平面A 1BN ；
(2) AD ⊥平面A 1BN.
17. (本小题满分14分)
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点⎝⎛⎭⎫3，12，⎝⎛⎭
⎫1，32，点A 是椭圆的下顶点． (1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 过点A 且互相垂直的两直线l 1，l 2与直线y ＝x 分别相交于E ，F 两点，已知OE ＝OF ，求直线l 1的斜率．
18. (本小题16分)
如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 为圆心，且OC ⊥AB ，在OC 上
有一座观赏亭Q ，其中∠AQC ＝2π3，计划在BC ︵上再建一座观赏亭P ，记∠POB ＝θ⎝
⎛⎭⎫0<θ<π2. (1) 当θ＝π
3
时，求∠OPQ 的大小； (2) 当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．
已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，g(x)＝ln x.
(1) 若a ＝0，b ＝－2，且f(x)≥g(x)恒成立，求实数c 的取值范围；
(2) 若b ＝－3，且函数y ＝f(x)在区间(－1，1)上是单调减函数．
①求实数a 的值；
②当c ＝2时，求函数h(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥g （x ），g （x ），f （x ）<g （x ）的值域．
已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝3，且2S n ＝a n ＋1－3(n ∈N *)．
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 对于正整数i ，j ，k (i <j <k )，已知λa j ，6a i ，μa k 成等差数列，求正整数λ，μ的值；
(3) 设数列{b n }的前n 项和是T n ，且满足对任意的正整数n ，都有等式a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n
－2＋…＋a n b 1＝3
n ＋1－3n －3成立． 求满足等式T n a n ＝13
的所有正整数n .
2018届高三年级第二次模拟考试(十)
数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA ＝DC .
(1) 求证：AB ＝2BC ；
(2) 若AB ＝2，求线段CD 的长．
B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 00 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 5，列向量X ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a b . (1) 求矩阵AB ；
(2) 若B －1A －1X ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤51，求a ，b 的值．
C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫22，π4，圆心为直线ρsin ⎝
⎛⎭⎫θ－π3＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)
已知x ，y 都是正数，且xy ＝1，求证：(1＋x ＋y 2)(1＋y ＋x 2)≥9.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝AD ＝2AB ，点Q 为线段PA(不含端点)上的一点．
(1) 当点Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；
(2) 已知二面角QBDP 的正弦值为23，求PQ PA
的值．
23. (本小题满分10分)
在含有n 个元素的集合A n ＝{1，2，…，n}中，若这n 个元素的一个排列(a 1，a 2，…，a n )满足a i ≠i(i ＝1，2，…，n)，则称这个排列为集合A n 的一个错位排列(例如：对于集合A 3＝{1，2，3}，排列(2，3，1)是A 3的一个错位排列；排列(1，3，2)不是A 3的一个错位排列)．记集合A n 的所有错位排列的个数为D n .
(1) 直接写D 1，D 2，D 3，D 4的值；
(2) 当n ≥3时，试用D n －2，D n －1表示D n ，并说明理由；
(3) 试用数学归纳法证明：D 2n (n ∈N *)为奇数.。