【数学】2020苏锡常镇一模数学卷

2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅰ试题

1.已知i 为虚数单位，复数1

1z i

=

+，则z =#

2.已知集合{}{}

01,13A x x B x a x =≤≤=-≤≤，若A B ⋂中有且只有一个元素，则实数a 的值为

#

3.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4，则该组数据的方差是

#

4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22

21(0)4

x y a a -

=>的一条渐近线方程为2

3

y x =

，则a =#

5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13

，则乙不输的概率是

#

6.右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为

#

7.“直线1:10l ax y ++=与直线2:430l x ay ++=平行”是“2a =”的

#

条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）

8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，

95

495

S S -=-，则n a =#

9.已知点M 是曲线2

2ln 3y x x x =+-上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为

#

10.已知3cos 24sin(

),(,)44

ππ

αααπ=-∈，则sin 2α=#

11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，.2,1==BC AB 分别以D A ,为圆心，1为半径作圆弧EB ,EC ，将两圆弧EB ,EC 及边

BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成

的几何体的体积为

#

12.在ABC ∆中，()(1)AB AC BC λλ-⊥> ,若角A 的最大值为6

π

，则实数λ的值是

#

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

13.若函数()(01)x

f x a a a =>≠且在定义域[,]m n 上的值域是

22[,](1)m n m n <<，则a 的取值范围是#

14.如图，在ABC ∆中，4,AB D =是AB 的中点，E 在边AC 上，2,AE EC CD =与BE 交于点O ，若2,

OB OC =则ABC ∆面积的最大值为

#

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分14分）

在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别是,,a b c ，且满足cos 3sin 0b A a B =（1）求A ；

（2）已知23,3

a B π

==

，求ABC ∆的面积.16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，,BD BC PCD ⊥∆为正三角形，平面PCD ⊥

平面ABCD ，E 为PC 的中点.（1）证明：AP ∥平面EBD ；（2）证明：BE PC ⊥.

某地为改善旅游环境进行景点改造.如图，将两条平行观光道21l l 和通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），21l l 和所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线3l 平行于观光道且与2l 相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于3l ，且交3l 于M ），在堤岸线3l 上的F E ,两处建造建筑物，其中F E ,到M 的距离为1（百米），且F 恰在B 的正对岸（即3l BF ⊥）.（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；

（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角（EPF ∠）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标.

如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21

且经过点

B A ,231

，，⎪⎭

⎫

⎝⎛分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于E D ,两点（其中x D 在轴上方）.（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若BDF AEF ∆∆与的面积比为1:7，求直线l 的方程.

已知函数)(3

2)(223

R m x m mx x x f ∈+-=

的导函数).(x f '（1）若函数)()()(x f x f x g '-=存在极值，求m 的取值范围；

（2）设函数)(ln )()(x f e f x h x

'+'=（其中e 为自然对数的底数），对任意R m ∈，若关于x 的不等式22()0h x m k ≥++∞在（，）

上恒成立，求正整数k 的取值集合.

已知数列{}{},,n n b a 数列{}n c 满足*,,n n n a n c n N b n ⎧⎪=∈⎨

⎪⎩为奇数，

为偶数，

.

（1）若,2,n

n n b n a ==求数列{}n c 的前n 2项和n T 2；

（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n n c c N n >∈+1*

,恒成立.

①当数列{}n b 为等差数列，求证：数列{}{}n n b a ,的公差相等；

②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由.