【数学】2020苏锡常镇一模数学卷
【数学】江苏省苏锡常镇四市2020届高三第一次教学情况调研试题(解析版)
【解析】由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为 ；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为 ；则所求几何体的体积为
.
12.在△ABC中，( )⊥ ( ＞1)，若角A的最大值为 ，则实数 的值是_______．
【答案】3
【解析】
，解得 ＝3．
故答案为：3.
13.若函数 (a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是_______．
【答案】(1， )
【解析】由题意知： 与 的图像在(1， )上恰有两个交点
考查临界情形： 与 切于 ，
．
故答案为： .
14.如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝ OC，则△ABC面积的最大值为_______．
（1）求A；
（2）已知a＝2 ，B＝ ，求△ABC的面积．
解：（1）∵bcosA﹣ asinB＝0．
∴由正弦定理可得：sinBcosA﹣ sinAsinB＝0，
∵sinB＞0，
∴cosA＝ sinA，
∴tanA＝ ，
∵A∈（0，π），
∴A＝ ；
（2）∵a＝2 ，B＝ ，A＝ ，
∴C＝ ，根据正弦定理得到
【解析】由题意A B中有且只有一个元素，所以 ，即 .
故答案为： .
3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．
【答案】0.08
【解析】首先求得 ，
．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故答案为：0.08.
4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 (a＞0)的一条渐近线方程为 ，则a＝_______．
江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第一次教学情况调研试卷
江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第一次教学情况调研试卷一、填空题（共14题；共14分）1.已知i为虚数单位，复数，则＝________．2.已知集合A＝，B＝，若A B中有且只有一个元素，则实数a的值为________．3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是________．4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0)的一条渐近线方程为，则a＝________．5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．6.下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为________．7.“直线l1：与直线l2：平行”是“a＝2”的________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8.已知等差数列的前n项和为，，，则＝________．9.已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为________．10.已知，( ，)，则＝________．11.如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，，，分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为________.12.在△ABC中，( )⊥( ＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是________．13.若函数(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是________．14.如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△ABC面积的最大值为________．二、解答题（共11题；共100分）15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣asinB＝0．（1）求A；（2）已知a＝2 ，B＝，求△ABC的面积．16.如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．（1）证明：AP∥平面EBD；（2）证明：BE⊥PC．17.某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．19.已知函数(m R)的导函数为．（1）若函数存在极值，求m的取值范围；（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意m R，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．20.已知数列，，数列满足，n．（1）若，，求数列的前2n项和；（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立．①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．21.已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=4sin q.（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.23.已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且的最小值为，求实数t的值.24.某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.25.已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k¹0)的直线交C于A，B 两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG 的面积为S.（1）求点G的轨迹方程；（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.答案解析部分一、填空题1.【答案】2.【答案】23.【答案】0.084.【答案】35.【答案】6.【答案】67.【答案】必要不充分8.【答案】-2n+19.【答案】y=x-310.【答案】11.【答案】12.【答案】313.【答案】(1，)14.【答案】二、解答题15.【答案】（1）解：∵b cos A﹣a sin B＝0．∴由正弦定理可得：sin B cos A﹣sin A sin B＝0，∵sin B＞0，∴cos A＝sin A，∴tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝（2）解：∵a＝2 ，B＝，A＝，∴C＝，根据正弦定理得到∴b＝6，∴S△ABC＝ab＝＝616.【答案】（1）证明：连结AC交BD于点O，连结OE因为四边形ABCD为平行四边形∴O为AC中点，又E为PC中点，故AP∥OE，又AP平面EBD，OE平面EBD所以AP∥平面EBD（2）证明：∵△PCD为正三角形，E为PC中点所以PC⊥DE因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCD＝CD，又BD平面ABCD，BD⊥CD∴BD⊥平面PCD又PC平面PCD，故PC⊥BD又BD DE＝D，BD平面BDE，DE平面BDE故PC⊥平面BDE又BE平面BDE，所以BE⊥PC17.【答案】（1）解：以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为代入点B得：p＝1，故方程为，x[0，1]（2）解：设P( ，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，记∠EPQ＝，∠FPQ＝，，令，，则：，当且仅当即，即，即时取等号；故P( ，)时视角∠EPF最大，答：P( ，)时，视角∠EPF最大18.【答案】（1）解：设焦距为2c，由题意知：；解得，所以椭圆的方程为（2）解：由（1）知：F(﹣1，0)，设l：，D( ，)，E( ，)，＜0＜①，，，②；③；由①②得：，，代入③得：，又，故，因此，直线l的方程为19.【答案】（1）解：因为，所以，所以，则，由题意可知，解得（2）解：由（1）可知，，所以因为整理得，设，则，所以单调递增，又因为，所以存在，使得，设，是关于开口向上的二次函数，则，设，则，令，则，所以单调递增，因为，所以存在，使得，即，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，又由题意可知，所以，解得，所以正整数k的取值集合为{1，2}20.【答案】（1）解：因为，，所以，且，由题意可知，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列是首项和公比均为4的等比数列，所以（2）解：①证明：设数列的公差为，数列的公差为，当n为奇数时，，若，则当时，，即，与题意不符，所以，当n为偶数时，，，若，则当时，，即，与题意不符，所以，综上，，原命题得证；②假设可以为等比数列，设公比为q，因为，所以，所以，，因为当时，，所以当n为偶数，且时，，即当n为偶数，且时，不成立，与题意矛盾，所以数列不能为等比数列21.【答案】解：设矩阵M＝，则AM＝，所以，解得，所以M＝，则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，设特征值的特征向量为，则，即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为22.【答案】（1）解：∵曲线C的极坐标方程为，∴，则,即（2）解：，∴，联立可得，（舍）或，公共点( ，3)，化为极坐标(2 ，)23.【答案】解：因为即，当且仅当，，时，上述等号成立，所以，即，又x，y，z＞0，所以x+y+z=t＝424.【答案】（1）解：由题意知，随机变量X的可能取值为10，20，40且，，所以，即随机变量X的概率分布为X10 20 40P所以随机变量X的数学期望（2）解：由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A，因为60＝20×3＝40＋10＋10，所以25.【答案】（1）解：设，则，抛物线C的方程可化为，则，所以曲线C在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程为，因为两切线均过点G，所以，所以A，B两点均在直线上，所以直线AB的方程为，又因为直线AB过点F(0，p)，所以，即G点轨迹方程为（2）解：设点G( ，)，由（1）可知，直线AB的方程为，即，将直线AB的方程与抛物线联立，，整理得，所以，，解得，因为直线AB的斜率，所以，且，线段AB的中点为M ，所以直线EM的方程为：，所以E点坐标为(0，)，直线AB的方程整理得，则G到AB的距离，则E到AB的距离，所以，设，因为p是质数，且为整数，所以或，当时，，是无理数，不符题意，当时，，因为当时，，即是无理数，所以不符题意，当时，是无理数，不符题意，综上，当G点横坐标为整数时，S不是整数．11 / 11。
【附15套精选模拟试卷】江苏省无锡市2020届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
江苏省无锡市2020届高三第一次模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A ．12B ．18C ．24D ．302．设命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥ (其中m 为常数)，则“1m ≥”是“命题p 为真命题”（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充分且必要D ．既不充分也不必要3．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足()()1g x f x =-，则函数()y g x =的图象关于（ ）A ．直线1x =-对称B ．直线1x =对称C ．原点对称D ．y 轴对称4．记双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，双曲线C 上的点,M N 关于原点对称，且3904MFN MOF ︒∠=∠=，则22b a=（ ）A ．323+B ．423+C ．33D ．435．为得到函数sin 33y x x =-的图象，只需要将函数2cos3y x =的图象（ ） A ．向左平行移动6π个单位 B ．向右平行移动6π个单位 C ．向左平行移动518π个单位 D ．向右平行移动518π个单位6．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．2y x -= B ．1y x -= C ．2y x = D ．13y x = 8．在V ABC 中，sin 32B A =，2BC =4C π=，则AB =（ ）A 26．5C ．33．69．设正数,x y 满足,23x y x y >+=,则195x y x y+-+的最小值为( ) A ．83B ．3C ．32 D ．2310．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =B ．33y x =±C ．2y x =±D ．12y x=± 11．某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为n 的样本，若从丙车间抽取6件，则n 的值为（ ） A ．18B ．20C ．24D ．2612．设,x y 满足约束条件010x y a x y ++≥⎧⎨-+≤⎩，且2z x y =+的最小值为2，则a =（ ）A ．-1B ．-1C ．53-D ．53二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次教学情况调研数学试题(带答案解析)
（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.
25．已知抛物线C:x24py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.
评卷人
得分
二、解答题
15．在ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣ asinB＝0．
（1）求A；
（2）已知a＝2 ，B＝ ，求△ABC的面积．
16．如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次教学情况调研
数学试题
第II卷（非选择题)
评卷人
得分
一、填空题
1．已知i为虚数单位，复数 ，则 ＝_______．
2．已知集合A＝ ，B＝ ，若A B中有且只有一个元素，则实数a的值为_______．
3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．
19．已知函数 (m R)的导函数为 ．
（1）若函数 存在极值，求m的取值范围；
（2）设函数 （其中e为自然对数的底数），对任意m R，若关于x的不等式 在(0， )上恒成立，求正整数k的取值集合．
20．已知数列 ， ，数列 满足 ，n ．
（1）若 ， ，求数列 的前2n项和 ；
江苏省无锡市2020年中考数学一模试卷解析版
题号 得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. -4 的相反数是（ ）
A. 4
B.
C. -
D. -4
2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. 8a-3b=5ab
B. （a2）3=a5
25. 如图，△ABC 的顶点 A，C 在⊙O 上，⊙O 与 AB 相交于点 D，连接 CD，∠A=30°，DC= ． （1）求圆心 O 到弦 DC 的距离； （2）若∠ACB+∠ADC=180°，求证：BC 是⊙O 的切线．
26. “扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为 30 元 件,每天 销售 件 与销售单价 元 之间存在一次函数关系,如图所示．
15. 一次函数 y1=mx+n 与 y2=-x+a 的图象如图所示，则 0＜mx+n ＜-x+a 的解集为______．
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16. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2DA，以点 A 为圆心，AB 为半 径的圆弧交 DC 于点 E，交 AD 的延长线于点 F，设 DA=2， 图中阴影部分的面积为______ ．
D. 或 5
10. 已知直线 y=-x+7a+1 与直线 y=2x-2a+4 同时经过点 P，点 Q 是以 M（0，-1）为圆 心，MO 为半径的圆上的一个动点，则线段 PQ 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 8 小题，共 16.0 分） 11. 分解因式：a3-4a=______．
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(3月份)教学教材
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(3月份)2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题（共14题，共70分）1．已知i为虚数单位，复数，则|z|＝．2．已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|a﹣1≤x≤3}，若A∩B中有且只有一个元素，则实数a的值为2．3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是0.08．4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则a＝3．5．甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是．6．如图是一个算法的流程图，则输出的x的值为6．7．“直线l1：ax+y+1＝0与直线l2：4x+ay+3＝0平行”是“a＝2”的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝9，＝﹣4，则a n＝﹣2n+11．9．已知点M是曲线y＝2lnx+x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为y＝x﹣3．10．已知3cos2α＝4sin（﹣α），α∈（，π），则sin2α＝﹣11．如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧、（E在线段AD上）．由两圆弧、及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为．12．在△ABC中，（﹣λ）⊥（λ＞1），若角A的最大值为，则实数λ的值是3．13．若函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2]（1＜m＜n），则a的取值范围是（1，）14．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O．若OB＝OC，则△ABC面积的最大值是8二、解答题（共6题，共计90分）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos A﹣a sin B＝0．（1）求A；（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．（1）证明：AP∥平面EBD；（2）证明：BE⊥PC．17．某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M 的距离为1（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角（∠EPF）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：的离心率为，且经过点（1，），A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AEF与△BDF的面积比为1：7，求直线l的方程．19．已知函数f（x）＝x3﹣mx2+m2x（m∈R）的导函数f'（x）．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣f'（x）存在极值，求m的取值范围；（2）设函数h（x）＝f'（e x）+f'（lnx）（其中e为自然对数的底数），对任意m∈R，若关于x的不等式h（x）≥m2+k2在（0，+∞）上恒成立，求正整数k的取值集合．20．已知数列{a n}，{b n}，数列{c n}满足c n＝n∈N*．（1）若a n＝n，b n＝2n，求数列{c n}的前2n项和T2n；（2）若数列{a n}为等差数列，且对任意n∈N*，c n+1＞c n恒成立．①当数列{b n}为等差数列，求证：数列{a n}，{b n}的公差相等；②数列{b n}能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n}；若不能，请说明理由．三、附加题21.已知矩阵A＝，B＝，且二阶矩阵M满足AM＝B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标．23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝t（t为常数），且的最小值为，求实数t 的值．24．某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依此类推）．抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元．（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率．25．已知抛物线C：x2＝4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，交AB于点M，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G．记四边形AEBG的面积为S．（1）求点G的轨迹方程；（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由．。
江苏省苏锡常镇四市2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
江苏省苏锡常镇四市2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ）A ．100B ．210C ．380D ．4002．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21r r 3．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A ．4B ．34C ．211D ．14 5．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．6．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同7．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ） A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,10,10 C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 8．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．4πB ．38πC ．2πD ．58π 9．已知集合{}|26M x x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ） A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x << 10．已知(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )2222x x x x a b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ）A ．85[,)52 B ．75[,)42 C ．57[,)34 D ．7(,2]411．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ） A ．49 B ．94 C ．23 D ．3212．函数ln ||()xx x f x e =的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省苏锡常镇四市2020~2021学年度第二学期高三一模数学试卷(含答案)
A．辛酉年
B．辛戊年
C．壬酉年
D．壬戊年
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【答案】A 【考点】文化题：等差数列的应用 【解析】由题意天干是公差为 10 的等差数列，地支为公差为 12 的等差数列，则 100 年前可 得到为辛酉年，故答案选 A． 4．(3－2x)(x＋1)5 式中 x3 的系数为 A．错误!未定义书签。－15 B．－10 C．10 错误!未定义书签。D．15 【答案】C 【考点】二项式定理展开式的应用
9．函数 f (x) = sin 2x + π ，则
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A．函数 y＝f(x)的图象可由函数 y＝sin2x 的图象向右平移 π4个单位得到 B．函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝π8轴对称
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C．函数 y＝f(x)的图象关于点 (－π8,0)中心对称
D．函数 y＝x2＋f(x)在 0，π 上为增函数 8
A．辛酉年
B．辛戊年
C．壬酉年
D．壬戊年
4．(3－2x)(x＋1)5 式中 x3 的系数为
A．错误!未定义书签。－15 B．－10 C．10 错误!未定义书签。D．15
( ) 5.函数 f (x) = sin x ln x2 +1 − x 的图象大致是
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6．过抛物线 y2＝2x上一点 P 作圆 C：x2 + (y − 6)2 = 1的切线，切点为 A，B，则当四边形
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，证明：数列{sn}中的任意连续三项按适当顺序排列后，可
以成等差数列．
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19．(12 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC//AD，AB⊥ AD，AD＝2AB＝2BC＝2，PC＝ 2,E 为 PD 的中点． (1)求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值； (2)设 F 是 BE 的中点，判断点 F 是否在平面 PAC 内，并请证明你的结论．
2020年江苏省无锡市、常州市高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)
2020年江苏省无锡市、常州市高考数学模拟试卷(5月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合M ={3,2a }，N ={a,b}.若M ∩N ={4}，则M ∪N = ______ ．2. 复数z =i −1(i 是虚数单位)，则z 2=_________．3. 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ．4. 某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人．现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则高二年级抽取的学生人数为________．5. 已知a n =｜2n −11｜，1≤n ≤9，n ∈N ∗.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_________________．6. 函数f(x)=e x (x −1)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是______ ．7. 在直角坐标系xOy 中，抛物线y 2=−2px(p >0)的焦点F 与双曲线x 2−8y 2=8的左焦点重合，点A 在抛物线上，且|AF|=6，若P 是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为______．8. 已知等比数列{a n }中，a 1=2，S 3=6，则q =______．9. 若正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 的中点，则三棱锥A −B 1DC 1的体积为______．10. 已知tan (α−π4)=2，则cos2α的值是_________．11. 已知实数x ，y 满足{2x −y +2≥0,x −2y +1≤0,x +y −2≤0,则x 2+y 2+2y 的取值范围为________． 12. 已知a >0，则5a +5a 的最小值是______．13. 已知两点M(−2,0)、N(2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则动点P(x,y)的轨迹方程为______ ．14. 已知函数f (x )={x −x 2,x ≤12lnx,x >1，若方程g (x )=f 2(x )+af (x )有5个零点，则a 的取值范围是___________．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcos A +√33a =c ．(1)求cos B;(2)如图，D 为△ABC 外一点，在平面四边形ABCD 中，∠D =2∠B ，且AD =1，CD =3，BC =√6，求AB 的长．16. 已知四棱锥A −BCDE ，其中AB =BC =AC =BE =1，CD =2，CD ⊥平面ABC ，BE//CD ，F 为AD 的中点．(1)求证：EF//平面ABC ；(2)求证：平面CEF ⊥平面ACD ；17.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点P(1,32)在椭圆M上．(1)求椭圆M的方程；(2)经过椭圆M的右焦点F的直线l与椭圆M交于C、D两点，A、B分别为椭圆M的左、右顶点，记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1−S2|的取值范围．18.如图，在▵ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD:DC:AD=2:3:6，求∠BAC的度数．19.已知函数f(x)=12x2−ae x(a∈R)．(1)若f(x)有两个极值，求实数a的取值范围；(2)已知x1，x2是f(x)的两个极值点，求证：x1+x2>2．20.已知数列{a n}中，a n+2=qa n(q∈R，且q≠1)，a1=1，a2=3且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=log3a2na2n+1，且数列{b n}的前n项和为S n，若不等式λ<S n+n2×3n对一切n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围．21.已知矩阵A=[2111]，且AX=[12]，求X．)=√2与极轴交于点C，求以点C为圆心且半径为1的圆的极坐22.在极坐标系中，直线ρcos(θ+π4标方程．23.一个袋中有20个大小相同的小球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2，3，4).现从袋中任取一球，用ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列的数学期望和方差；(2)若η=aξ+b，E(η)=2，D(η)=44，试求a、b的值．24.设集合A={a1,a2,…,a n}(a i∈N∗，i=1，2，3，…，n，n∈N∗)，若存在非空集合B，C，使得B∩C=⌀，B∪C=A，且集合B的所有元素之和等于集合C的所有元素之和，则称集合A 为“最强集合”．(1)若“最强集合”A={1,2，3，4，m}，求m的所有可能值；(2)若集合A的所有n−1元子集都是“最强集合”，求n的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：{2,3，4}解析：解：∵M={3,2a}，N=(a,b)，且M∩N={4}，∴2a=4，且a=4或b=4，解得：a=2，b=4，∴M={3,4}，N={2,4}，则M∪N={2,3，4}．故答案为：{2,3，4}根据M与N的交集，得到4属于M，属于N，进而确定出a与b的值，即可求出两集合的并集．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.答案：−2i解析：本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题，根据复数的运算法则计算即可．解：因为z=i−1，所以z2=(i−1)2=i2−2i+1=−2i．故答案为−2i．3.答案：35解析：本题考查利用古典概型求概率，难度一般．解：3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于2×2×35×4=35．故答案为35.．4.答案：93解析：本题主要考查分层抽样的应用，根据分层抽样的定义建立比例关系是解决本题的关键．解：∵抽取280人进行体育达标检测，∴抽取高二年级学生人数为(930÷2800)×280=93人．故答案为93．5.答案：1解析：本题考查循环语句以及赋值语句的应用，属于中档题．解：a n=｜2n−11｜，1≤n≤9，n∈N∗的前9项为9，7，5，3，1，1，3，57，图中伪代码的作用是输出前9个数中的最小值，所以输出1，故答案为1．6.答案：y=e(x−1)解析：解：∵f(x)=e x(x−1)，∴f′(x)=xe x．则f(1)=0，f′(1)=e故曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=e(x−1)，故答案为：y=e(x−1)求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握导数的几何意义．7.答案：3√13解析：求出双曲线的左焦点得出抛物线的方程，求出A点坐标，取O关于准线的对称点B，则|AB|为|PO|+|PA|的最小值．本题考查了抛物线，双曲线的性质，考查数形结合以及转化思想的应用，属于中档题．−y2=1，解：双曲线的标准方程为x28∴双曲线的左焦点为(−3,0)，即F(−3,0)．∴抛物线的方程为y2=−12x，抛物线的准线方程为x=3，∵|AF|=6，∴A到准线的距离为6，∴A点横坐标为−3，不妨设A在第二象限，则A(−3,6)．设O关于抛物线的准线的对称点为B(6,0)，连结AB，则|PO|=|PB|，∴|PO|+|PA|的最小值为|AB|．由勾股定理得|AB|=√AF2+BF2=√117=3√13．故答案为：3√13．8.答案：1或−2解析：本题考查了等比数列的求和，属于基础题．用等比数列的求和表示出S3，再代入数据即可求出q．解：已知等比数列{a n}中，a1=2,S3=6，所以S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=6，解得q=1或q=−2．故答案为q=1或q=−2．9.答案：1解析：解：如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1=BC，∴AD⊥平面BCC1B1，则V A−B1DC1=13×12×2×√3×√22−12=1．故答案为：1．由题意画出图形，证明AD为三棱锥A−B1DC1的高，再由棱锥体积公式求解．本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.答案：−45解析：本题考查了两角和与差的正切公式，二倍角公式，是容易题．解：tan(α−π4)=2，tanα−11+tanα=2，tanα=−3，cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αsin2α+cos2α=1−tan2α1+tan2α=1−91+9=−810=−45．故答案为−45．11.答案：[45,8]解析：本体考查简单线性规划范围与最值问题，分析已知条件，找出约束条件和目标函数是解答本题的关键．解：作出不等式组{2x−y+2≥0,x−2y+1≤0,x+y−2≤0,的可行域，如图所示：令z=x2+y2+2y，则其几何意义是可行域内的点到点(0,−1)距离的平方减1，由可行域图可知，z=x2+y2+2y在点A(0,2)取得最大值，此时，z=02+22+2×2=8，由图知，点(0,−1)到直线x−2y+1=0的距离最小，即d=2()2=5，此时，z=x2+y2+2y=d2−1=45，∴z=x2+y2+2y的取值范围为[45,8]．12.答案：10解析：本题主要考查基本不等式的简单应用，属于基础题．直接使用基本不等式即可求出答案．解：∵a>0，∴5a+5a ≥2√5a⋅5a=10(当且仅当5a=5a，也即a=1时，等号成立)，故答案为：10．13.答案：y2=−8x解析：本题考查轨迹方程的求法，涉及平面向量的数量积运算与抛物线的定义，求解此类问题时要注意轨迹与轨迹方程的区别，属于基础题．根据题意，设P(x,y)，结合M 与N 的坐标，可以求出|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，并将MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来，代入|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0中，可得4√(x +2)2+y 2+4(x −2)=0，化简整理即可得答案．解：设P(x,y)，又由M(−2,0)，N(2,0)，则|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,y)，NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y)， 又由|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则4√(x +2)2+y 2+4(x −2)=0，化简整理得y 2=−8x ；故答案为y 2=−8x ．14.答案：(−14,0)解析：本题考查分段函数，函数的零点与方程根关系，属于一般题．由题意可知0，1是g(x)的零点，将问题转化为函数f (x )={x −x 2,x ≤12lnx,x >1和直线y =−a 的图象有三个交点是解题的关键．解：由题可知，g (x )=f 2(x )+af (x )，当g(x)=f 2(x)+af(x)=0，即f(x)⋅[f (x )+a ]=0，由分段函数解析式f (x )={x −x 2,x ≤12lnx,x >1, 可得f(x)=0时，即x −x 2=0，则有两个实数根0和1，要使g(x)=f 2(x)+af(x)有5个零点，则只需f(x)=−a 有三个非0和1的实数根，作出函数f(x)={x −x 2,x ≤12lnx,x >1的图象如下：由图可知，0<−a <14，解得：−14<a <0， 则a 的取值范围是(−14,0)．故答案为(−14,0)．15.答案：解：(1)在△ABC 中，由正弦定理得sinBcosA +√33sinA =sinC ， 又C =π−(A +B)，所以sinBcosA +√33sinA =sin(A +B)， 故sinBcosA +√33sinA =sinAcosB +cosAsinB ， 所以sinAcosB =√33sinA ， 又A ∈(0,π)，所以sinA ≠0，故cosB =√33． (2)∵∠D =2∠B ，∴cosD =2cos 2B −1=−13，又在△ACD 中，AD =1，CD =3，∴由余弦定理可得：=1+9−2×3×(−1)=12，3∴AC=2√3，在△ABC中，BC=√6，AC=2√3，cosB=√3，3∴由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcosB，即12=AB2+6−2⋅AB×√6×√3，3化简得AB2−2√2AB−6=0，解得AB=3√2．故AB的长为3√2．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，为中档题．(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出cos B的值．(2)利用(1)的结论，进一步利用余弦定理求出结果．16.答案：证明：(1)取AC的中点G，连结FG，BG，CD=1，∵F，G分别是AD，AC的中点，∴FG//CD，且FG=12∵BE//CD，BE=1，∴FG//BE，且FG=BE，∴四边形EFGB是平行四边形，∴EF//BG，∵BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF//平面ABC．(2)∵AB=BC=AC，且G是AC的中点，∴BG⊥AC，又CD⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴CD⊥BG，且AC∩CD=C，∴BG⊥平面ACD，由(1)知EF//BG，∴EF⊥平面ACD，∵EF⊂平面CEF，∴平面CEF⊥平面ACD．解析：本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．(1)取AC的中点G，连结FG，BG，推导四边形EFGB是平行四边形，从而EF//BG，由此能证明EF//平面ABC ．(2)推导出BG ⊥AC ，CD ⊥BG ，从而BG ⊥平面ACD ，进而EF ⊥平面ACD ，由此能证明平面CEF ⊥平面ACD ．17.答案：解：(1)因为e =c a =√1−b2a =12， 则3a 2=4b 2，将P(1,32)代入椭圆方程：1a 2+94b 2=1，解得：a =2，b =√3，所以椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)当直线l 斜率不存在时，直线方程为x =1，此时C(1,−32)，D(1,32)，△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1−S 2|=0，当直线l 斜率存在(显然k ≠0)时，设直线方程为y =k(x −1)，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1, 消掉y 得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，显然Δ>0，方程有根，且x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，所以y 1+y 2=k (x 1+x 2−2)=−6k 3+4k 2，此时|S 1−S 2|=2(|y 2|−|y 1|)=2|y 2+y 1|=12|k|3+4k ，因为k ≠0，则|S 1−S 2|=12|k|3+4k 2=123|k|+4|k| ≤2√|k|×4|k|=2√12=√3，(k =±√32时等号成立) 所以|S 1−S 2|的最大值为√3，则0≤|S 1−S 2|≤√3，∴|S1−S2|的取值范围[0,√3].解析：本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率公式将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；(2)分类讨论，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及基本不等式的性质，即可求得|S1−S2|的取值范围．18.答案：45∘解析：解：设∠BAD=α,∠CAD=β，则∠BAC=α+β，∵tanα=BDAD =26=13，tanβ=CDAD=36=12，∴tan∠BAC=tan(α+β)=13+121−13×12=1，∵0∘<∠BAC<180∘，∴∠BAC=45∘．19.答案：解：(1)∵f′(x)=x−ae x，由x−ae x=0得a=xe x，令g(x)=xe x ，则g′(x)=1−xe x，故g(x)在(1,+∞)上单减，在(−∞,1)上单增，则g(x)在x=1时取得极大值g(1)=1e，当x→+∞时，g(x)→0，故0<a<1e，经检验，当0<a<1e 时，有两个极值点，故0<a<1e；(2)∵x1，x2是f(x)的两个极值点，∴由(1)得，不妨设x1<1<x2，要证x1+x2>2，只需证1>x1>2−x2，∵g(x)在(−∞,1)上单增，∴只需证g(x1)>g(2−x2)，又∵g(x1)=g(x2)，∴只需证g(x2)>g(2−x2)，令ℎ(x)=g(x)−g(2−x)=xe −2−xe，x>1，∴ℎ′(x)=1−x e x −1−x e 2−x =(1−x)(1e x −1e 2−x )>0， 故ℎ(x)在(1,+∞)上单增，∴ℎ(x)>ℎ(1)=0，得证．解析：本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)求出函数的导函数，令g(x)=x e x ，则g′(x)=1−x e x ，进而求出g(x)极大值g(1)=1e ，当x →+∞时，g(x)→0，故0<a <1e ，经检验即可；(2)要证x 1+x 2>2，只需证g(x 2)>g(2−x 2)，令ℎ(x)=g(x)−g(2−x)，求得ℎ′(x )>0，故ℎ(x)在(1,+∞)上单增，即可证得． 20.答案：解：(Ⅰ)由题意，a 3=q ，a 4=3q ，a 5=q 2，∴3+q ，4q ，q 2+3q 成等差数列，∴8q =3+q +q 2+3q ，解得q =1(舍去)或q =3，∴a n+2=3a n ，设k ∈N ∗，∴a 2k−1=a 1q k−1=3k−1，a 2k =a 2q k−1=3k ，令2k −1=n ，则k =n+12，∴a n =3n−12， 令2k =n ，则k =n 2，∴a n =3n 2，；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结果可得：b n =log 3a 2na 2n+1=log 33n 3n =n 3n ， ∴S n =1×13+2×(13)2+3×(13)3+⋯+n ×(13)n ，∴13S n =1×(13)2+2×(13)3+3×(13)4+⋯+n ×(13)n+1，上面两式相减得：23S n =13+(13)2+(13)3+⋯+(13)n −n ×(13)n+1=13[1−(13)n ]1−13−n 3n+1 =12[1−(13)n ]−n 3n+1，∴S n =34[1−(13)n ]−n2×3n ，∵不等式λ<S n +n 2×3n 对一切n ∈N ∗恒成立，∴λ<34[1−(13)n ]对一切n ∈N ∗恒成立， ∵f(n)=34[1−(13)n ]为增函数，f(n)≥f(1)=12，∴λ<12，即λ的取值范围是(−∞,12).解析：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列性质、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(Ⅰ)由题意3+q ，4q ，q 2+3q 成等差数列，从而8q =3+q +q 2+3q ，进而a n+2=3a n ，由此能求出{a n }的通项公式．(Ⅱ)b n =log 3a 2n a 2n+1=log 33n 3n =n 3n ，利用错位相减法求出S n =34[1−(13)n ]−n 2×3n ，由此能求出λ的取值范围．21.答案：解：设X =[x0y 0]， AX =[2111][x 0y 0]=[2x 0+y 0x 0+y 0]=[12]， ∴{2x 0+y 0=1x 0+y 0=2，解得{x 0=−1y 0=3, ∴X =[−13]．解析：本题主要考查二阶矩阵的乘法，属于基础题，设X =[x 0y 0]，AX =[12]，可求出X ． 22.答案：解：由ρcos(θ+π4)=√2，得ρ(cosθcos π4−sinθsin π4)=√2，即√22ρcosθ−√22ρsinθ=√2，得x −y =2． 令y =0，可得C(2,0)，∴以点C 为圆心且半径为1的圆的方程为(x −2)2+y 2=1．即x 2+y 2−4x +3=0，∴所求圆的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+3=0．解析：展开两角和的余弦，结合x =ρcosθ，y =ρsinθ求出直线的极坐标方程，得到C 的坐标，求出圆C 的极坐标方程，进一步转化为极坐标方程．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查极坐标与直角坐标的互化，是基础题．23.答案：解：(1)由题设知ξ=0，1，2，3，4，P(ξ=0)=1020=12，P(ξ=1)=120， P(ξ=2)=220=110，P(ξ=3)=320， P(ξ=4)=420=15， ∴ξ的分布列为：∴Eξ=0×12+1×120+2×110+3×320+4×15=1.5．Dξ=(0−1.5)2×12+(1−1.5)2×120+(2−1.5)2×110+(3−1.5)2×320+(4−1.5)2×15=2.75 (2)由η=a 2Dξ，得a 2×2.75=44，即a =±4，又Eη=aEξ+b ，∴当a =4时，由2=4×1.5+b ，得b =−4；当a =−4时，由2=−4×1.5+b ，得b =8．∴{a =4b =−4或{a =−4b =8即为所求．解析：(1)由题设知ξ=0，1，2，3，4，分别求出P(ξ=0)，P(ξ=1)，P(ξ=2)，P(ξ=3)，P(ξ=4)，由此能求出ξ的分布列、数学期望和方差．(2)由η=a 2Dξ，Eη=aEξ+b ，结合题设条件，能求出a 、b 的值．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，是中档题，是历年高考的必考题型之一． 24.答案：解：(1)根据题意得，m 的可能值为6，8，10；原因如下：若1+3+4=2+m ，则m =6；若2+3+4=1+m ，则m =8；若1+2+3+4=m ，则m =10；(2)设S n =a 1+a 2+⋯+a n ，n ∈N ∗，根据题目条件不难判定：对任意的i =1，2，…，n ，S n −a i 是偶数；①如果S n 是偶数，则A 中的每个元素也都是偶数，即存在b i ∈N ∗，使得a i =2b i ，而集合B ={b 1,b 2,…,b n }的每一个n −1元子集也是“最强集合”；对集合B 可以重复上面的讨论，总可以得到一个所有元素之和都是奇数且每一个n −1元子集都是“最强集合”的集合．②不妨设S n 是奇数，则对任意的i =1，2，…，n ，a i 也都是奇数，又因为S n =a 1+a 2+⋯+a n ，故n 也是奇数；假设奇数n ≤5，对于n =1，3的情形，显然找不出满足条件的集合A ，设n =5，且不妨设a 1<a 2<a 3<a 4<a 5，若集合{a 2,a 3,a 4,a 5}是“最强集合”，则a 2+a 5=a 3+a 4或a 2+a 3+a 4=a 5；若集合{a 1,a 3,a 4,a 5}是“最强集合”，则a 1+a 5=a 3+a 4或a 1+a 3+a 4=a 5；考虑其他可能的组合：如果{a 2+a 5=a 3+a 4a 1+a 5=a 3+a 4，那么a 1=a 2，与集合元素的互异性矛盾； 如果{a 2+a 5=a 3+a 4a 1+a 3+a 4=a 5，那么a 1+a 2=0，与a i ∈N ∗矛盾； 如果{a 2+a 3+a 4=a 5a 1+a 5=a 3+a 4，那么a 1+a 2=0，与a i ∈N ∗矛盾； 如果{a 2+a 3+a 4=a 5a 1+a 3+a 4=a 5，那么a 1=a 2，与元素的互异性矛盾； 因此奇数n >5，而当n =7时，容易验证集合A ={1,3，5，7，9，11，13}的每一个6元子集均为“最强集合”；综上所述，n 的最小值为7．解析：(1)根据题意求出m 的可能值，并说明原因；(2)说明最强集合A 中的每个元素可以都是偶数，也可以都是奇数；验证命题成立时满足条件的n的最小值即可．本题考查了新定义的有关元素与集合的概念和运算问题，解题时应理解题意，并根据所掌握的知识解答问题，是较难的题目．。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次教学情况调研数学试题(学生版)
2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学I一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知i 为虚数单位，复数11i z =+，则z ＝_______．2.已知集合A ＝{}01x x ≤≤，B ＝{}13x a x -≤≤，若A I B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为_______．3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22214x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =，则a ＝_______． 5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是_____． 6.下图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为_______．7.“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a ＝_______． 9.已知点M 是曲线y ＝2lnx ＋x 2﹣3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______．10.已知3cos 24sin()4παα=-，α∈(4π，π)，则sin 2α＝_______．11.如图，在矩形中，为边的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .12.在△ABC 中，(AB AC λ-u u u r u u u r )⊥BC uuu r (λ＞1)，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是_______． 13.若函数()x f x a =(a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n )，则a 的取值范围是_______．14.如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB ＝2OC ，则△ABC 面积的最大值为_______．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bcosA 3＝0．（1）求A ；（2）已知a ＝3B ＝3π，求△ABC 的面积． 16.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ；（2）证明：BE ⊥PC ．17.某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l 1和l 2通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），l 1和l 2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l 3平行于观光道且与l 2相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l 3，且交l 3于M ），在堤岸线l 3上的E ，F 两处建造建筑物，其中E ，F 到M 的距离为1 （百米），且F 恰在B 的正对岸（即BF ⊥l 3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角(∠EPF )最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12．且经过点(1，32)，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（其中D 在x 轴上方）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若△AEF 与△BDF 的面积之比为1：7，求直线l 的方程．19.已知函数3222()3f x x mx m x =-+(m ∈R )的导函数为()f x '． （1）若函数()()()g x f x f x =-'存在极值，求m 的取值范围；（2）设函数()(e )(ln )x h x f f x ='+'（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式22()h x m k ≥+在(0，+∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合．20.已知数列{}n a ，{}n b ，数列{}n c 满足n n n a n c b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，n N *∈．（1）若n a n =，2n n b =，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n N *∈，1n n c c +>恒成立．①当数列{}n b 为等差数列时，求证：数列{}n a ，{}n b 的公差相等；②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．选修4—2：矩阵与变换21.已知矩阵1323,2111A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且二阶矩阵M 满足AM =B ，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.选修4—4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线l的参数方程为22cos 2x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ.（1）求曲线C 的普通方程；（2）求曲线l 和曲线C 公共点的极坐标.选修4—5：不等式选讲23.已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =t （t 为常数），且22249x y z ++的最小值为87，求实数t 的值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24.某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.25.已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交C于A，B两点，.线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S（2）当点G由.的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理。
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(二)(5月份) (含答案解析)
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷（二）（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={−1,0}，B={−1,3}，则A∪B=______．(i为虚数单位)的虚部是________．2.复数z=1+2ii3.某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40,100]内，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的学生的人数为___________．4.已知a n=｜2n−11｜，1≤n≤9，n∈N∗.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_________________．5.已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，，则这个班男生的人数为若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011________．+lg(2x+1)的定义域是______ ．6.函数f(x)=x√2−x7. 抛物线x 2=2py(p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23−y 23=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p =_________．8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则a 1=________．9. 如图，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为对角线B 1D 上的一点，M ，N 为对角线AC 上的两个动点，且线段MN 的长度为1． (1)当N 为对角线AC 的中点且DE =√2时，则三棱锥E −DMN 的体积是______ ；(2)当三棱锥E −DMN 的体积为13时，则DE = ______ ．10. 若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1−x),0≤x ≤1sinπx,1<x ≤2，则f(294)+f(176)=______．11. 已知α为锐角，sinα=45，则tan(α+π4)= ______ ．12. 在△ABC 中，AB =3，AC =2，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2a,0)(a >0)，直线l 1:mx −y −2m +2=0与直线l 2:x +my =0(m ∈R)相交于点M ，且MA 2+MO 2=2a 2+16，则实数a 的取值范围是_________． 14. 已知直线2x −y +1=0与曲线y =ae x +x 相切，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的值是_______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3acosB =bsinA ．(Ⅰ)求B 的值；(Ⅱ)求sinA +sinC 的最大值．16. 如图，在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，SA ⊥平面ABCD ． (1)求证：CD//平面SAB ； (2)求证：BD ⊥SC ．17.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．18.如下图所示，两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45∘，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD．19.已知{a n}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为S n.令c n=(−1)n S n(n∈N∗)，{c n}的前20项和T20=330.数列{b n}满足b n=2(a−2)d n−2+2n−1，a∈R．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若b n+1≤b n，n∈N∗，求a的取值范围．20.已知函数f(x)=lnx−2(x−1)x+1．(1)求函数f(x)的单调区间，并判断f(x)是否存在极值点．(2)设m>n>0，求证：lnm−lnn>2(m−n)m+n．21.设矩阵M=[m22−3]的一个特征值λ对应的一个特征向量为[1−2]，求实数m与λ的值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.设c>0，|x−1|<c3，|y−1|<c3，求证：|2x+y−3|<c．24.如图，正四棱锥P−ABCD中，PA=BD，点M为AC，BD的交点，点N为AP中点．(1)求MN与平面PAD所成角的正弦值；(2)求平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值．25. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=3，a n+12=3a n +4(n ∈N ∗).设b n =4−a n ，求证：当n ∈N ∗时， (1) 3≤a n <4； (2)b n ≤(37)n−1；(3)S n >4n −74．-------- 答案与解析 --------1.答案：{−1,0，3}解析：【分析】本题考查集合的并集，根据题意利用并集的定义即可求得结果．【解答】解：∵集合A={−1,0}，B={−1,3}，∴A∪B={−1,0，3}．故答案为{−1,0，3}．2.答案：−1解析：【分析】本题考查复数的基本运算与复数的基本概念，考查计算能力．【解答】解：∵z=1+2ii =(1+2i)×(−i)i×(−i)=2−i，∴z的虚部为−1，故答案为−1．3.答案：30解析：【分析】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题目．【解答】解：由题意可得成绩低于60分得频率为10×0.01+10×0.015=0.25，所以成绩不低于60分的人数为40×(1−0.25)=30．故答案为30．4.答案：1解析：【分析】本题考查循环语句以及赋值语句的应用，属于中档题．【解答】解：a n=｜2n−11｜，1≤n≤9，n∈N∗的前9项为9，7，5，3，1，1，3，57，图中伪代码的作用是输出前9个数中的最小值，所以输出1，故答案为1．5.答案：33解析：【分析】本题考查古典概型概率的计算，属于基础题目．【解答】解：根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63−x，因为每名学生被选中的概率是相同的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63−x63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63−x63=1011×x63，解得x=33，故这个班男生的人数为33．故答案为33．6.答案：(−12,2)解析：解：要使函数有意义，则{2−x >02x +1>0，即{x <2x >−12，即−12<x <2，故函数的定义域为(−12,2)， 故答案为：(−12,2)根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．7.答案：6解析： 【分析】本题考查了抛物线、双曲线的综合问题，属于中档题．由x 2=2py(p >0)得焦点坐标、准线l 方程，即可得抛物线的准线与双曲线的交点A 、B ，从而可得|AF|=|AB|=√12+p 2，根据p|AF|=sin π3即可求得p 的值． 【解答】解：由x 2=2py(p >0)得焦点F(0,p 2)， 准线l 为y =−p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23−y 23=1的交点A(−√12+p 22,−p2)，B(√12+p 22,−p2)，所以|AB|=√12+p 2， 则|AF|=|AB|=√12+p 2， 所以p|AF|=sin π3，即2=√32， 解得p =6． 故答案为6．8.答案：1解析： 【分析】本题考查等比数列的前n 项和公式以及应用，注意分析q 是否为1.根据题意，由等比数列前n 项和公式可得S 3=a 1(1−q 3)1−q=7，S 6=a 1(1−q 6)1−q=63；变形可得1+q 3=9，解可得q 的值，将q 的值代入S 3=a 1(1−q 3)1−q=7，计算可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列{a n }满足S 3=7，S 6=63，则其公比q ≠1， 若S 3=7，则a 1(1−q 3)1−q =7；S 6=63，则a 1(1−q 6)1−q=63；变形可得：1+q 3=9，解可得q =2； 又由a 1(1−q 3)1−q=7，解可得a 1=1．故答案为19.答案：√39；√6解析：解：(1)∵底面ABCD 是边长为2的正方形，N 是AC 的中点， ∴AC ⊥BD ，DN =√2，∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥BB 1，又BB 1∩BD =B ， ∴AC ⊥平面BB 1D ，故当N 为AC 的中点时，有MN ⊥平面DEN ， 又DB 1=2√3，BB 1=2，∴sin∠BDB 1=22√3=√33， ∴V E−DMN =V M−DEN =13S △DEN ⋅MN =13×12×√2×√2×√33×1=√39． (2)设三棱锥E −DMN 的高为h ，则V E−DMN =13S △DMN ⋅ℎ=13×12×1×√2×ℎ=√2ℎ6=13，∴ℎ=√2， ∵ℎBB 1=DE DB 1，即√22=DE 2√3，∴DE =√6．故答案为：(1)√39，(2)√6．(1)证明MN ⊥平面DEN ，求出三角形DEN 的面积，代入体积公式计算即可； (2)根据体积求出E 到平面ABCD 的距离，再利用相似三角形求出DE ． 本题考查线面位置关系的判断，棱锥的体积计算，属于中档题．10.答案：516解析：解：∵函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数， 且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1−x),0≤x ≤1sinπx,1<x ≤2，则f(294)+f(176)=f(8−34)+f(4−76)=f(−34)+f(−76)=−f(34)−f(76)=−34(1−34)−sin 76π=−316+12=516． 故答案为：516．通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可． 本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．11.答案：−7解析：解：∵α为锐角，sinα=45， ∴cosα=35，∴tanα=43，∴tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=−7． 故答案为：−7．利用同角三角函数关系，求出tanα，再利用和角的正切公式，可求tan(α+π4).本题考查同角三角函数关系、和角的正切公式，考查学生的计算能力，正正确运用公式是关键．12.答案：−54解析： 【分析】画出示意图，由BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，代入即可得出． 本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 【解答】 解：如图所示，∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(22−32) =−54． 故答案为：−54．13.答案：[2,1+√17] 解析：【分析】本题考查圆与圆的位置关系的应用．两直线l1，l2联立可得M的轨迹方程x2+y2−2x−2y=0，由MA2+MO2=2a2+16，可得(x−2a)2+y2+x2+y2=2a2+16，根据题意两圆相交，根据圆心距与半径的关系求解．【解答】解：直线l1:mx−y−2m+2=0与直线l2:x+my=0(m∈R)联立消去m化简可得x2+y2−2x−2y=0，即圆心为(1,1)，半径为√2的圆，且不包括点(2,0)，即为M的轨迹方程，A(2a,0)，(a>0)，设M(x,y)，由MA2+MO2=2a2+16，可得(x−2a)2+y2+x2+y2=2a2+16，即有x2−2ax+y2+a2−8=0，所以M在以(a,0)为圆心，2√2为半径的圆上，由两圆相交可得√2≤√(a−1)2+1≤3√2，解得2≤a≤1+√17则实数a的取值范围是[2,1+√17] ．故答案为[2,1+√17] ．14.答案：1解析：【分析】本题考查了利用导数求解函数的切线方程，属于基础题．设切点为(m,n)，则y′|x=m=ae m+1=2，又n=ae m+m=m+1，可解a的值．【解答】解：∵y=ae x+x，∴y′=ae x+1．设直线2x−y+1=0与曲线y=ae x+x相切的切点坐标为(m,n)，则y′|x=m=ae m+1=2，得ae m=1，又n=ae m+m=m+1，∴m=0，n=1，a=1．15.答案：解：(Ⅰ)因为√3acosB=bsinA，由正弦定理可得√3sinAcosB=sinBsinA．因为在△ABC中，sinA≠0，所以√3cosB=sinB．因为0<B<π，所以B=π3．(Ⅱ)因为A+B+C=π，所以sinA+sinC=sinA+sin(A+π3)．=sinA+(12sinA+√32cosA)．=√3sin(A+π6)．因为0<A<2π3，所以π6<A+π6<5π6．当A+π6=π2，即A=π3时，sinA+sinC有最大值√3．解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由正弦定理化简已知等式可得√3sinAcosB=sinBsinA，结合sinA≠0，可求√3cosB=sinB，结合范围0<B<π，可求B的值．(Ⅱ)由三角形的内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可求sinA+sinC=√3sin(A+π6)，结合范围0<A<2π3，利用正弦函数的性质可求其最大值．16.答案：证：(1)在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为菱形，所以AB//CD，……(2分)∵AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，∴CD//平面SAB……(4分)(2)连结AC.∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD……(6分)∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩SA=A，AC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC，又SC⊂平面SAC……(9分)∴BD⊥SC.……(10分)解析：(1)推导出AB//CD，由此能证明CD//平面SAB．(2)连结AC，推导出SA⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面SAC，由此能证明BD⊥SC．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)由题意得a =2，e =c a =√32，所以c =√3．因为a 2=b 2+c 2， 所以b =1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形， 则 PA//MN ，且|PA|=|MN|． 所以 直线PA 的方程为y =k(x −2)， 所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0， 由Δ>0，得 k 2>12， 且x 1+x 2=−8√3k4k 2+1，x 1x 2=84k 2+1．所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2．因为|PA|=|MN|， 所以 √(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112．经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去． 所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．18.答案：18m解析：过点A作AE⊥CD交CD于E点，由题意可知：CE=6m,DE=9m,AE=BD,∠CAE+∠DAE=45∘．tan∠CAE=CEAE =6BD，tan∠DAE=DEAE=9BD，由tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ，∴tan(∠CAE+∠DAE)=tan∠CAE+tan∠DAE1−tan∠CAE⋅tan∠DAE=tan45∘=1⇒BD=18m19.答案：解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d，因为c n=(−1)n S n，所以T20=−S1+S2−S3+S4+⋯+S20=330，则a2+a4+a6+⋯+a20=330则10(3+d)+10×92×2d=330解得d=3所以a n=3+3(n−1)=3n(Ⅱ)由(Ⅰ)知b n=2(a−2)3n−2+2n−1b n+1−b n=2(a−2)3n−1+2n−[2(a−2)3n−2+2n−1]=4(a−2)3n−2+2n−1=4⋅3n−2[(a−2)+12(23)n−2]由b n+1≤b n⇔(a−2)+12(23)n−2≤0⇔a≤2−12(23)n−2因为2−12(23)n−2随着n的增大而增大，所以n=1时，2−12(23)n−2最小值为54，所以a≤54．解析：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的联系，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用T20=330，求出公差，即可求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)先求出b n，再根据b n+1≤b n，n∈N∗，结合函数的单调性，即可求a的取值范围．20.答案：解：(1)已知函数f(x)=lnx−2(x−1)x+1，函数的定义域为(0,+∞)，∴f′(x)=1x−2(x+1)−2(x−1)(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2，x∈(0,+∞)，∴f′(x)≥0，在x∈(0,+∞)上恒成立，∴f(x)的单调增区间是(0,+∞)令f′(x)=0，则x=1，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,+∞)，f′(x)>0，∴f(x)没有极值点． (2)证明：要证lnm −lnn >2(m−n)m+n,即需证ln mn >2(m n −1)m n+1, 只需证ln m n −2(m n −1)m n+1>0， 设ℎ(x)=lnx −2(x−1)x+1，(x >1)，由(1)可知ℎ(x)在(0,+∞)单调递增， 因为mn >1，所以ℎ(x)>ℎ(1)=0， 当x =m n >1时，即ln m n −2(m n −1)m n+1>0，所以原不等式成立．解析：本题主要考查函数的单调性与最值、导数等基础知识，同时考查分析问题和解决问题的能力，属于一般题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断f(x)是否存在极值点． (2)设ℎ(x)=lnx −2(x−1)x+1，根据函数的单调性证明即可． 21.答案：解：由题意得[m22−3][1−2]=λ[1−2]， 即[m −48]=[λ−2λ]， 则{m −4=λ8=−2λ， 解得m =0，λ=−4．解析：此题主要考查二阶矩阵、特征向量，根据特征值的定义可知[m22−3][1−2]=λ[1−2]，利用待定系数法建立等式关系，从而可求m 与λ的值．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+12cosα,y =√34+12sinα(α是参数)， 消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√32y =0，所以C 的极坐标方程为ρ=√32sinθ+12cosθ，即ρ=sin(θ+π6)．(2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π3)，θ∈[0,2π]， 则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π6)sin(θ+π6+π3)=cosθ(√32sinθ+12cosθ)=√34sin2θ+14cos2θ+14=12sin(2θ+π6)+14，当，即当θ=π6时，取得最大值，最大值为34．解析：本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．23.答案： 证明：因为|x −1|<c3，所以|2x −2|<2c 3，故|2x +y −3|=|2x −2+y −1|≤|2x −2|+|y −1|<2c 3+c3=c ，故|2x +y −3|<c ．解析：【分析】 本题考查不等式的证明，属于一般题． 利用绝对值三角不等式证明即可得到结论．24.答案：解：由已知可得，在正四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，且PM ⊥平面ABCD ，则以M 为空间坐标原点，以MA 为x 轴，MB 为y 轴，MP 为z 轴建立空间直角坐标系，设AM =1，则M(0,0，0)，A(1,0，0)，D(0,−1,0)，P(0,0，√3)，N(12,0，√32)，B(0,1，0)，C(−1,0，0)，(1)设平面PAD 的法向量为n 1→=(x,y,z)， 由题意得AD →=(−1,−1,0),PD →=(0,−1,−√3)， ∵{AD →·n 1→=−x −y =0PD →·n 1→=−y −√3z =0，∴{x =−y z =−√33y令y =1，得到n 1→=(−1,1,−√33)，∴cos <MN →,n 1→>=MN →·n 1→|MN →|·|n 1→|=(12,0,√32)·(−1,1,−√33)1×√73=√73=−√217． ∴AM 与平面DEF 所成角的正弦值为√217.(2)设平面PBC 的法向量为n 2→=(u,v,w)， 由题意得BC →=(−1,−1,0),PB →=(0,1,−√3)，∵{BC →·n 2→=−u −v =0PB →·n 2→=v −√3w =0∴{u =−vw =√33v令v =1，得到n 2→=(−1,1,√33)，∵平面PAD 的法向量n 1→=(−1,1,−√33)，平面PBC 的法向量n 2→=(−1,1,√33)，∴cos <n 1→,n 2→>=n 1→·n 2→|n 1→|·|n 2→|=(−1,1,−√33)·(−1,1,√33)√73×√73=5373=57． ∴平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值为57.解析：本题主要考查了利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，注意计算即可，属于中档题． (1)求得平面PAD 的法向量即可解得答案；(2)分别求得平面PBC 与平面PAD 的法向量即可解得答案．25.答案：证明：(1)①当n =1时，3≤a 1<4成立.②假设当n =k 时成立，即3≤a k <4；当n =k +1时，a k+12=3a k +4，即13⩽a k+12<16.∵a k >0，∴√13≤a k+1<4，即3≤√13≤a k+1<4. ∴n =k +1时成立，综合①②有：3≤a n <4成立．(2)由题意得：a n+12−16=3a n −12=3(a n −4).∴(a n+1+4)(a n+1−4)=3(a n −4)． 即4−a n+14−a n =34+a n+1.∴b n+1b n =4−a n+14−a n =34+an+1⩽37 (3⩽a n <4).∴b2b 1⋅b3b 2…b nbn−1⩽(37)n−1，又∵b 1=1． ∴b n ≤b 1⋅(37)n−1=(37)n−1．(3)∵b 1+b 2+⋯+b n =4n −S n ⩽(37)0+(37)1+⋯+(37)n−1 =(1−(37)n )1−37<74. ∴S n >4n −74．解析：本题主要考查的是数列求和，递推关系式，数学归纳法，是较难题． (1)由数学归纳法即可证得；(2)由a n+12−16=3a n −12=3(a n −4)得4−a n+14−a n =34+a n+1，∴b n+1b n=4−a n+14−a n=34+an+1≤37 ，即b n ⩽b 1⋅(37)n−1=(37)n−1；(3)由b 1+b 2+⋯+b n =4n −S n ⩽(37)0+(37)1+⋯+(37)n−1，即可求解．。
2020年江苏省无锡市中考数学一模试卷 (含解析)
2020年江苏省无锡市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. −2的倒数是( )A. 2B. 12C. −12D. 不存在 2. 函数y =x−2x−8+√x −2的自变量x 的取值范围为( )A. x ≥2且x ≠8B. x >2C. x ≥2D. x ≠8． 3. 一组数据：−1、0、1、2、3，则平均数和中位数分别是( )A. 1，0B. 2，1C. 1，2D. 1，14. 若某整式与2x −y +z 的积等于4x 2−(y −z)2，则该整式为( )A. 2x −y −zB. 2x −y +zC. 2x +y +zD. 2x +y −z5. 若六边形的每一个外角都相等，则一个外角的度数为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°6. 下列各图是中心对称图形但不是轴对称的是( )A. 一般平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形7. 下列各式计算正确的是( )A. a 2×a 3=a 6B. √32÷√2=√32C. x−11−x 2=1x+1D. (x +y)2=x 2+y 2 8. 已知函数y =−6x与y =−x +1的图象的交点坐标是(m,n)，则1m +1n 的值为( ) A. −16 B. 16 C. −6 D. 69.如图，在△ABC中，∠A=30°，tan B=√3，AC=2√3，则AB的长为()2A. 3+√3B. 2+2√3C. 5D. 92AC，P为BC边上一点，则△APD周长10.如图，等边△ABC，AB=3，CD=13的最小值为()A. 2+√13B. 3√3+42C. 3√13D. 2√13二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.因式分解：4ax2−4ax+a=______．12.2018年某市的生产总值约为2041亿元，将2041亿元用科学记数法表示为______．13.圆锥的底面半径是1，高是√3，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是______．14.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，点E为AC上一点，若∠CBE=20°，则∠AED=______°.15.请写出一个图象为开口向下，并且与y轴交于点(0,−1)的二次函数表达式______．16.某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%.若该书的进价为21元，则标价为_______元．17.抛物线y=x2+bx+2与y轴交于点A，如果点B(2,2)和点A关于该抛物线的对称轴对称，那么b的值是______．18.如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，AB//CD//EF，如果CE=2，EB=5，AF=3，那么AD=______．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.计算：(1)|−6|−√9+(1−√2)0−(−3)．(2)x+4x2+3x −13x+x2．20.(1)解方程：x2+3x−2=0；(2)解不等式组：{2x−3≥x+1x−2>12(x+1)．21.如图，AB//CD，AB=BC，∠A=∠1，求证：BE=CD．22.将分别标有数字3，6，9的三张形状、大小均相同的卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．(1)随机地抽取一张，求抽到数字恰好为6的概率________；(2)随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张作为个位上的数字，通过列表或画树状图求所组成的两位数恰好是“69”的概率．23.如图是2011～2015年我国国民生产总值统计图．根据图中的信息解答下列问题：(1)2012年国民生产总值是________亿元．(2)已知2015年国民生产总值比2013年增加88689亿元，2014年比2013年增加47891亿元，求2015年国民生产总值比2014年增长的百分率(精确到0.1%)．24.已知：在Rt△ABC中，∠A=90°．(1)利用圆规和直尺，在图中找一个点P，使点P到AB，AC的距离相等，且PB=PC.(不写作法，保留作图痕迹)(2)若BC的垂直平分线交直线AB于点E，AC=12，AE=5，求AB的长．25.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF是AB的垂直平FC．分线，EF交BC于F，交AB于E，求证：BF=1226.安徽某地生产的“蒲公英”茶畅销全国．每年新茶上市持续时间为140天．受多种因素影响，“蒲公英”的销售价y(元/千克)和生产成本z(元/千克)均随新茶上市后的时间t(天)的改变而改变．某茶厂要根据多年经验预测：今年新茶上市当日“蒲公英”的销售价为800元/千克，以后每天销售价比前一天下降6元/千克，此情形一直持续至第90天止，自第91天起至茶市结束，每天“蒲公英”的销售价又会比前一天上涨4元/千克．“蒲公英”生产成本z和上市时间t之t2−8t+420．间满足函数关系式z=120(1)第90天时“蒲公英”的销售价是多少？(2)求新茶上市的这140天内，y与t之间的函数表达式．(3)新茶上市第几天每千克“蒲公英”的纯收益最高？(纯收益=销售价−生产成本)27.如图，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，(1)求证：△BED是等腰三角形；(2)若AD=8,AB=4，求△BED的面积．28.如图，二次函数y=−x2+3x+4的图象交y轴于点A，与x轴右边的交点为B．(1)求点A，B的坐标；(2)点P为线段AB上一点，PC//y轴，交y=−x2+3x+4的图象于点C，①若∠ACP=90°，求点P的坐标；②若∠CAP=90°，求点P的坐标．【答案与解析】1.答案：C．解析：解：−2的倒数是−12故选C．．根据倒数定义可知，−2的倒数是−12主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2.答案：A解析：本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．解：根据题意得：x−2≥0且x−8≠0，解得：x≥2且x≠8．故选A．3.答案：D解析：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：−1、0、1、2、3，=1，则平均数为：−1+0+1+2+35中位数为：1．故选D．根据平均数和中位数的概念求解．本题考查了中位数和平均数的概念：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．4.答案：D解析：本题考查的是有理数的运算能力，正确理解题意是解题的关键．某整式与2x−y+z的积为4x2−(y−z)2，那么4x2−(y−z)2把除以2x−y+z即可得到所求整式．解：依题意得[4x2−(y−z)2]÷(2x−y+z)=[(2x+y−z)(2x−y+z)]÷(2x−y+z)=2x+y−z．故选D．5.答案：C解析：本题主要考查多边形外角和的知识.根据多边形外角和为360°，即可解答．解：一个外角的度数为360°÷6=60°．故选C．6.答案：A解析：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．故选A．7.答案：B解析：解：A、a2×a3=a5，故此选项错误；B、√32÷√2=√32，故此选项正确；C、x−11−x2=x−1(1−x)(1+x)=−1x+1，故此选项错误；D、(x+y)2=x2+2xy+y2，故此选项错误；故选：B．直接利用同底数幂的乘法运算法则、二次根式除法运算法则、约分化简、完全平方公式分别化简求出答案．此题主要考查了同底数幂的乘法运算、二次根式除法运算、约分、完全平方公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．8.答案：A解析：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，其中将x=m，y=n代入两函数解析式得出关于m 与n的关系式是解本题的关键，由两函数的交点坐标为(m,n)，将x=m，y=n代入反比例解析式，求出mn的值，代入一次函数解析式，得出m+n的值，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算后，把mn及m+n的值代入即可求出值．解：∵函数y=−6x与y=−x+1的图象的交点坐标是(m,n)，∴将x=m，y=n代入反比例解析式得：n=−6m，即mn=−6，代入一次函数解析式得：n=−m+1，即m+n=1，∴1m +1n=n+mmn=1−6=−16．故选A．9.答案：C解析：本题主要考查了解直角三角形，作CD⊥AB于D，则在Rt△ACD中求出AD与CD的长，在Rt△BCD 中求出BD的长，然后根据AB=AD+BD进行求解即可．解：作CD⊥AB于D，∵∠A=30°，AC=2√3，∴AD=AC·cos30°=2√3×√32=3，CD=12AC=√3，∵tanB=√32，∴BD=CDtanB =√3√32=2，∴AB=AD+BD=5．故选C．10.答案：A解析：解：如图，作点A关于BC的对称点A′，作A′H⊥BC于H，连接PA′，连接A′D交BC于P′．∵CD//A′B，∴CP′P′B =CD A′B =P′D P′A′=13，∴BP′=94， 在Rt △A′BH 中，BH =32，A′H =3√32， ∴HP′=34，P′A′=√P′H 2+A′H 2=3√134， ∴DP′=√134， ∴DA′=√13，∵△APD 周长=PA +PD +AD =PA +PD +2，∵PA +PD =PA′+PD ≥DA′，∴PA +PD 的最小值为√13，∴△PAD 的周长的最小值为2+√13，故选：A ．如图，作点A 关于BC 的对称点A′，作A′H ⊥BC 于H ，连接PA′，连接A′D 交BC 于P′.因为△APD 周长=PA +PD +AD =PA +PD +2，又PA +PD =PA′+PD ≥DA′，推出PA +PD 的最小值为DA′的长． 本题考查轴对称、等边三角形的性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．11.答案：a(2x −1)2解析：解：原式=a(4x 2−4x +1)=a(2x −1)2，故答案为：a(2x −1)2原式提取a ，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12.答案：2.041×1011解析：解：将2041亿用科学记数法表示为：2.041×1011．故答案为：2.041×1011．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13.答案：180°解析：解：设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a=2，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，，解得n=180，根据题意得2π⋅1=n⋅π⋅2180即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为180°．故答案为180°．先根据勾股定理求出圆锥的母线为2，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14.答案：70解析：解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=50°，∴∠BCD=∠BAD=100°，∠ACD=12由菱形的对称性质得：∠CDE=∠CBE=20°，∴∠AED=∠ACD+∠CDE=70°，故答案为：70．∠BCD=50°，由菱形的对称性质得∠CDE=由菱形的性质得出∠BCD=∠BAD=100°，∠ACD=12∠CBE=20°，再由三角形的外角性质即可得出答案．本题考查的是菱形的性质、三角形的外角性质，熟记菱形的性质是解决问题的关键．15.答案：y=−x2+2x−1(答案不唯一)解析：解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点(0,−1)，∴a<0，c=−1，∴二次函数表达式为：y=−x2+2x−1(答案不唯一)．故答案为：y=−x2+2x−1(答案不唯一)．根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式．此题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c=−1是解题关键．16.答案：28解析：本题考查一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.设标价是x元．则0.9x=21×(1+20%)，解方程即可．解：设标价是x元，列方程得0.9x=21×(1+20%)，解得x=28．故答案为28．17.答案：−2解析：解：当x=0时，抛物线y=x2+bx+2=2，则A点坐标为(0,2)，∵点B(2,2)和点A关于该抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x=1，即−b2×1=1，∴b=−2．故答案为−2．先确定A点坐标为(0,2)，再利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后根据对称轴方程可求出b的值．本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于基础题，难度不大．18.答案：215解析：本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；解：∵AB//CD//EF，∴BECE =AFDF，∵CE=2，EB=5，AF=3，∴52=3DF ，∴DF =65， ∴AD =AF +DF =3+65=215．故答案为215． 19.答案：解：(1)原式=6−3+1+3=7；(2)原式=x+4−1x 2+3x=x +3x(x +3)=1x ．解析：此题主要考查了实数的运算及分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．(1)直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案；(2)直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．20.答案：解：(1)a =1，b =3，c =−2，Δ=b 2−4ac =32−4×1×(−2)=17，∴x =−3±√172×1， x 1=−3+√172，x 2=−3+√172；(2){2x −3≥x +1①x −2>12(x +1)②， ∵解不等式①得：x ≥4，解不等式②得：x >5，∴不等式组的解集为：x >5．解析：本题考查了解一元二次方程和解不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．(1)确定a 、b 、c 的值，判断△的值，最后根据求根公式求解；(2)先求出两个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可．21.答案：证明：∵AB//CD，∴∠ABC=∠C，在△ABE和△BCD中，{∠A=∠1 ∠ABC=∠C AB=BC ，∴△ABE≌△BCD(AAS)，∴BE=CD．解析：先由平行线的性质得出内错角相等∠ABC=∠C，再证明△ABE≌△BCD，得出对应边相等即可．本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．22.答案：解：(1)13；(2)画树状图得：组成的两位数有36，39，63，69，93，96共6种，恰好是“69”的概率为16．解析：本题考查了概率公式，列表法或画树状图法求概率．(1)依据题意分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．(2)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．，解：(1)全部3种可能，抽到数字恰好为6的有1种，所以抽到数字恰好为6概率是13；故答案为13(2)见答案．23.答案：解：(1)534123；×100％≈6.4％．(2)2015年国民生产总值比2014年增长率为：676708−635910635910解析：本题考查了条形统计图，从条形统计图获取数据进行计算是解题的关键．(1)直接从图中可以看出2012年国民生产总值为534123亿元．故答案为534123；(2)见答案．24.答案：解：(1)如图，点P即为所求；(2)连接EC．在Rt△ACE中，AE=5，AC=12，∴EC=13，∵EF垂直平分线段BC，∴EB=EC=13，∴AB=EB−AE=13−5=8．解析：(1)作BC的垂直平分线EF，∠BAC的平分线AM，直线EF交AM于点P，点P即为所求；(2)连接EC.利用勾股定理求出EC，根据线段的垂直平分线的性质求出EB即可解决问题；本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25.答案：证明：连接AF，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵EF为AB的垂直平分线，∴BF=AF，∴∠BAF=∠B=30°，∴∠FAC=120°−30°=90°，∵∠C=30°，∴AF=12CF，∵BF=AF，∴BF=12FC．解析：本题考查了线段垂直平分线，等腰三角形性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．连接AF，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠C=30°，根据线段的垂直平分线的性质得出BF=AF，推出∠BAF=∠B=30°，求出∠FAC=90°，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．26.答案：解：(1)800−6×(90−1)=266(元/千克)．答：第90天时“蒲公英”的销售价是266元/千克．(2)当1≤t≤90时，y=800−6(t−1)=−6t+806；当90<t≤140时，y=266+4(t−90)=4t−94．所以y与t之间的函数表达式为：y={−6t+806(1≤t≤90), 4t−94(90<t≤140).(3)设每千克“蒲公英”的纯收益为w元，则w={−6t+806−(120t2−8t+420)(1≤t≤90),4t−94−(120t2−8t+420)(90<t≤140).当1≤t≤90时，w=−120t2+2t+386=−120(t−20)2+406．因为二次项系数−120<0，所以当t=20时，w有最大值，为406，当90<t≤140时，w=−120t2+12t−514=−120(t−120)2+206，因为二次项系数−120<0，所以当t=120时，w有最大值，为206.因为206<406，所以新茶上市的第20天每千克“蒲公英”的纯收益最高．解析：本题考查的是二次函数的应用，函数关系式有关知识．(1)根据题意列出算式进行计算即可；(2)根据1≤t≤90和90<t≤140列出函数关系式即可；(3)设每千克“蒲公英”的纯收益为w元，列出二次函数即可解答．27.答案：解：(1)由折叠可知，∠CBD=∠EBD，∵AD//BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，∴△BED是等腰三角形；(2)设DE=x，则BE=x，AE=8−x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，即42+(8−x)2=x2，解得：x=5，即DE=5，∴S△BED=12×DE×AB=12×5×4=10．即△BED的面积为10．解析：本题主要考查翻折变换的知识点，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识．(1)由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由AD//BC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，即△BED是等腰三角形；(2)设DE =x ，则BE =x ，AE =8−x ，在Rt △ABE 中，由勾股定理求出x 的值，再利用三角形的面积公式即可解答．28.答案：解：(1)点B 的坐标为(4,0)，点A 的坐标为(0,4)；(2)设直线AB 的解析式为y AB =kx +b ，则有{0=4k +b 4=b ，解得{k =−1b =4， ∴直线AB 的解析式为y AB =−x +4，设点P 的横坐标为m ，则纵坐标为4−m ，点C 的纵坐标为−m 2+3m +4，①当∠ACP =90°时，AC 2+CP 2=AP 2即(−m)2+(4+m 2−3m −4)2+(−m 2+3m +4−4+m)2=(−m)2+(4−4+m)2，整理得m 2−7m +12=0，解得m 1=3，m 2=4(重合B ，删)，∴点P 的坐标为(3,1)；②当∠CAP =90°，CA 2+AP 2=CP 2即m 2+(−m 2+3m +4−4)2+(−m)2+(4−4+m)2=(−m 2+3m +4−4+m)2，整理得−2m =−4，m =2，∴点P 的坐标为(2,2)．解析：本题考查学生对二次函数的应用，函数与方程思想和学生的计算能力，综合性较强，属中档题．(1)分别假设x =0，y =0，代入函数中即可求得点A 、B 的坐标；(2)先设AB 的函数解析式，再通过(1)中AB 点的坐标求出解析式，再假设P 、C 的坐标，用一个字母表示．①∠ACP =90°时，ΔAPC 为直角三角形，运用勾股定理即可求出点P 的坐标．②∠CAP =90°时，ΔAPC 依旧为直角三角形，同理用勾股定理即可得到P 的坐标．。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次联考数学(文)试题
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次联考高三数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB = ▲ ．2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为 ▲ ．3．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧-≤+=)1(log 1,222x x x f x ，则()[]=0f f ▲ ．4．已知1x >，则41x x +-的最小值为 ▲ ． 5．设变量,x y 满足约束条件101030x x y x y -≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 ▲ ．6．已知函数)(x f y =是奇函数，当0<x 时，)()(2R a ax x x f ∈+=，且6)2(=f ，则a = ▲ ． 7.已知31)6sin(=+πx ，则)3(sin )65sin(2x x -+-ππ的值是 ▲ ．8.已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为 ▲ ． 9．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 满足→DC ＝2→BD ，则→AD ·→DC 的值为 ▲ ． 10.在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则da 1的值为 ▲ ． 11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为11A B CD -的外接球的体积为▲________． 12.已知函数()3213f x ax x x =-+在区间()0,2上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13、设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,log 0,1)(4x x x x x f ,若关于x 的方程a x f =)(有四个不同的解4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<，则4232131)(x x x x x ++的取值范围是 ▲ ． 14．已知a ∈R ，设函数222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R上恒成立，则a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15. （本小题满分14分）已知π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，设向量()sin cos m x x =，，3122n ，⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． （1）若∥，求x 的值； （2）若35m n ⋅=，求πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ； （2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .17.（本小题满分14分）某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC 上设计一个观景台D （点D 与点O ，C 不重合），其中AD ，BD ，CD 段建设架空木栈道，已知2AB =km ，设建设的架空木栈道的总长为y km ．（1）设(rad)DAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．18.（本小题满分16分） 设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立．（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =. （1）若11a =，35a =，求2a 的值；（2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若2q =，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分16分） 已知函数xx x g x x f 1)(,ln )(-==． （1）①若直线1+=kx y 与x x f ln )(=的图像相切, 求实数k 的值；②令函数|)(|)()(x g x f x h -=，求函数)(x h 在区间()0]1,[>+a a a 上的最大值． （2）已知不等式)()(2x kg x f <对任意的),1(+∞∈x 恒成立，求实数k 的取值范围．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上． 1． {1,6}2. 2000,10x x x ∀∈++≥R3．答案：2 4． 5 5． 3- 6． 57.95 8.【答案】2 9．－4310. 1 11. 36π12.【答案】1a ≥ 13、⎥⎦⎤ ⎝⎛27,1-，14．【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立令2222(11)(1)2(1)1()1111x x x x x g x x x x x-----+==-=-=-----1(12)2)01x x =--+-≤-=- ∴max 2()0a g x ≥= ∴0a ≥当1x >时，()ln 0ln xf x x a x a x=-≥⇔≤恒成立 令()ln xh x x=，则221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -⋅-'==当x e >时，()0h x '>，()h x 递增 当1x e <<时，()0h x '<，()h x 递减 ∴x e =时，()h x 取得最小值()h e e = ∴min ()a h x e ≤= 综上a 的取值范围是[]0,e 【答案】[]0,e二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15.【答案】（1）π3x =；（2）10- 【解析】试题分析：（1）通过m ∥n ，得到关于x 的方程，结合π03x ，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到x 的值；（2）利用数量积的定义可得π3s i n 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令π6x θ=+，则π6x θ=-，故ππs i n s i n 124x θ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可根据诱导公式及两角差的正弦公式得最后结果. 试题解析：（1）因为()sin cos m x x =，，312n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，且m ∥n ，所以1sin cos22x x ⋅=⋅， 即tan x =………………………4分又π03x ，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3x =．………………………6分（2）因为()sin cos m x x =，，3122n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，且35m n ⋅=13cos 25x x +=， 即π3sin 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ………………………9分 令π6x θ=+，则π6x θ=-，且3sin 5θ=，因为π03x ，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故ππ62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以4cos 5θ===，………………………11分所以ππππππsin sin sin sin cos cos sin 12612444x θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3455=-= ………………………14分 16.证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，……2分 又AB ⊄平面11A B D ，EF ⊂平面11A B D ，所以//AB 平面11A B D .……4分 又AB ⊂平面1ABC ，平面11A B D平面1ABC EF =，所以//AB EF .……6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1B B ⊥平面111A B C ， 又11A B ⊂平面111A B C ，故111B B A B ⊥. ……8分 又AB BC ⊥，故1111A B B C ⊥.……10分又因为1111B BB C B =，1B B ⊂平面11B BCC ，11B C ⊂平面11B BCC ，所以11A B ⊥平面11B BCC ，……12分又11A B ⊂平面11A B D ，所以平面11A B D ⊥平面11B BCC .……14分17、解：（1）由DAO θ∠=，OC AB ⊥，1OA OB ==，则1cos DA DB θ==，tan DO θ=，所以1tan DC θ=-， ………………4分 所以22sin 1tan 1cos cos y DA DB DC θθθθ-=++=+-=+,04πθ<<. ………………7分（注：表达式2分，θ的的取值范围1分）(2) 22sin 1cos y θθ-'=， ………………9分令0y '=,得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6πθ=， ………………10分当06πθ<<时，0y '<，y 是θ的减函数；当64ππθ<<时，0y '>，y 是θ的增函数.………………12分所以，当6πθ=时，min 1y = ，此时tan DO θ==. ………………13分答：当D 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 边3处时,能使三段木栈道总长度最短. ………………14分18.解：（1）由题意知，01612>+-a x ax 对一切实数x 恒成立， 若0=a ，不合题意，舍去； ………………………2分 若0≠a ，由⎩⎨⎧<∆>0a ，解得2>a ； ………………………5分综上，实数a 的取值范围是),2(+∞． ………………………6分（2）设xt 3=，因为0>x ，所以1>t ，则041)21(9322<+--=+-=-t t t x x ，所以使得命题q 为真的实数a 的取值范围是),0[+∞； ………………………9分因为命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假， 因此⇒⎩⎨⎧<>02a a 无解， ………………………12分或2002≤≤⇒⎩⎨⎧≥≤a a a ， ………………………15分所以，所求实数a 的取值范围是]2,0[． ………………………16分19. 解：（1）当3n =时，()13312332a a A a a a +=++=， 因为11a =，35a =，所以23a =. ………………………3分 （2）由()12n n n a a A +=，得()111(1)2n n n a a A ++++=， 两式相减，得111(1)2n nn a n a na a ++++-=，即11(1)0n n n a na a +--+=， ………………………6分 所以211(1)0n n na n a a ++-++=，两式相减，得122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列. ………………………8分（3）依题意：112m k m a b a -==⋅，由86k m A B =得：118621k ma a a qa k q+-⨯=⨯-， 即111112286212m m a a a a k -+⋅-⨯=⨯-，128622486m k⨯=-⨯-，所以151634421m k --=+. ………………………11分因为92512=，且3m ≥，所以219m ≤-≤， ………………………13分 又因为51641294343=⨯=⨯⨯，且121m -+为奇数，所以121129m -+=时，151621m -+是整数，此时17m -=， ………………………15分 所以8m =，340k =. ………………………16分20. 解（1）设切点(x 0，y 0)，f '(x )＝1x .所以⎩⎨⎧y 0＝ln x 0y 0＝kx 0＋1k ＝1x 0所以x 0＝e 2，k ＝1e 2. ………………………3分 （2）因为g (x )＝x －1x在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝0． 所以h (x )＝f (x )－|g (x )|＝ln x －|x －1x |＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<<-+1,1ln ;10,1ln x x x x x x x x 当0＜x ＜1时，h (x )＝ln x ＋x －1x ，h '(x )＝1x ＋1＋1x 2＞0， 当x ≥1时，h (x )＝ln x －x ＋1x ，h '(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＜0， 所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且h (x )max ＝h (1)＝0．…………………6分当0＜a ＜1时，h (x )max ＝h (1)＝0；当a ≥1时，h (x )max ＝h (a )＝ln a －a ＋1a． ………………………9分 （3）令F (x )＝2ln x －k (x －1x)，x ∈(1，＋∞)． 所以F ' (x )＝2x －k (1＋1x 2)＝－kx 2＋2x －k x 2．设φ(x )＝－kx 2＋2x －k ， ①当k ≤0时，F '(x )＞0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递增，又F (1)＝0，所以不成立； ………………………11分②当k ＞0时，对称轴x 0＝1k， 当1k≤1时，即k ≥1，φ(1)＝2－2k ≤0,所以在(1，＋∞)上，φ(x )＜0，所以F '(x )＜0， 又F (1)＝0，所以F (x )＜0恒成立； ………………………13分当1k＞1时，即0＜k ＜1，φ(1)＝2－2k ＞0，所以在(1，＋∞)上，由φ(x )＝0，x ＝x 0， 所以x ∈(1，x 0)，φ(x )＞0，即F '(x )＞0；x ∈(x 0，＋∞)，φ(x )＜0，即F '(x )＜0， 所以F (x )max ＝F (x 0)＞F (1)＝0，所以不满足F (x )＜0恒成立． ………………………15分综上可知：k≥1 .………………………16分。
江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第一次教学情况调研试卷
江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第一次教学情况调研试卷一、填空题 (共14题；共14分)1．（1分）已知i 为虚数单位，复数 z =11+i，则 |z| ＝ ． 2．（1分）已知集合A ＝ {x|0≤x ≤1} ，B ＝ {x|a −1≤x ≤3} ，若A ∩B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为 ．3．（1分）已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 ．4．（1分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线 x 2a2−y 24=1 (a ＞0)的一条渐近线方程为 y =23x ，则a ＝ ． 5．（1分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 12 ，乙获胜的概率是 13，则乙不输的概率是 ．6．（1分）下图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为 ．7．（1分）“直线l 1： ax +y +1=0 与直线l 2： 4x +ay +3=0 平行”是“a ＝2”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8．（1分）已知等差数列 {a n } 的前n 项和为 S n ， a 1=9 ， S99−S 55=−4 ，则 a n＝ ．9．（1分）已知点M 是曲线y ＝2lnx ＋x 2﹣3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ．10．（1分）已知 3cos2α=4sin(π4−α) ， α∈ ( π4 ， π )，则 sin2α ＝ ．11．（1分）如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点， AB =1 ， BC =2 ，分别以 A 、 D 为圆心， 1 为半径作圆弧 EB 、 EC （ 在线段 AD 上）.由两圆弧 EB 、 EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .12．（1分）在△ABC 中，( AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ( λ ＞1)，若角A 的最大值为 π6 ，则实数 λ 的值是 ．13．（1分）若函数 f(x)=a x (a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n )，则a 的取值范围是 ．14．（1分）如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB ＝ √2OC ，则△ABC 面积的最大值为 ．二、解答题 (共11题；共100分)15．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bcosA ﹣ √3 asinB ＝0．（1）（5分）求A ；（2）（5分）已知a ＝2 √3 ，B ＝ π3 ，求△ABC 的面积．16．（10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）（5分）证明：AP∥平面EBD；（2）（5分）证明：BE⊥PC．17．（10分）某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．（1）（5分）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）（5分）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为1 2．且经过点(1，32)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）（5分）求椭圆C的标准方程；（2）（5分）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．19．（10分）已知函数f(x)=23x3−mx2+m2x(m∈R)的导函数为f′(x)．（1）（5分）若函数g(x)=f(x)−f′(x)存在极值，求m的取值范围；（2）（5分）设函数ℎ(x)=f′(e x)+f′(lnx)（其中e为自然对数的底数），对任意m∈R，若关于x的不等式ℎ(x)≥m2+k2在(0，+∞)上恒成立，求正整数k的取值集合．20．（10分）已知数列{a n}，{b n}，数列{c n}满足c n={a n，n为奇数b n，n为偶数，n∈N∗．（1）（5分）若a n=n，b n=2n，求数列{c n}的前2n项和T2n；（2）（5分）若数列{a n}为等差数列，且对任意n∈N∗，c n+1>c n恒成立．①当数列{b n}为等差数列时，求证：数列{a n}，{b n}的公差相等；②数列{b n}能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n}；若不能，请说明理由．21．（5分）已知矩阵A=[1321],B=[−2311]，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为{x=2+cosθy=√3+2√3cos2θ2（θ为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=4sinθ.（1）（5分）求曲线C的普通方程；（2）（5分）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.23．（5分）已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且x24+y29+z2的最小值为87，求实数t的值.24．（10分）某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）（5分）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）（5分）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.25．（10分）已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.（1）（5分）求点G的轨迹方程；（2）（5分）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.答案解析部分1．【答案】√22【解析】【解答】z=11+i =12−12i⇒|z|=√22．故答案为：√22.【分析】先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.2．【答案】2【解析】【解答】由题意A∩B中有且只有一个元素，所以a−1=1，即a=2. 故答案为：2.【分析】利用A∩B中有且只有一个元素，可得a−1=1，可求实数a的值. 3．【答案】0.08【解析】【解答】首先求得x̅=15(1.6+1.8+2+2.2+2.4)=2，S2=15[(1.6−2)2+(1.8−2)2+(2−2)2+(2.2−2)2+(2.4−2)2]=0.08．故答案为：0.08.【分析】先求解这组数据的平均数，然后利用方差的公式可得结果.4．【答案】3【解析】【解答】因为双曲线x 2a2−y24=1(a＞0)的渐近线为y=±2ax，且一条渐近线方程为y=23x，所以a=3.故答案为：3.【分析】双曲线的焦点在x轴上，渐近线为y=±2a x，结合渐近线方程为y=23x可求a .5．【答案】56【解析】【解答】乙不输的概率为12+13=56，故答案为：56.【分析】利用互斥事件概率加法公式列式，即可求出乙不输的概率。
江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研数学试题(一)
江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把[答案]直接填写在答题卡相应位置上。
1.已知i为虚数单位，复数11zi=+，则｜z｜=2.已知集合A={x｜0≤x≤1}，B={x｜a-1≤x≤3}，若A⋂B中有且只有一个元素，则实数a的值为3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2221(0)4x yaa-=>的一条渐近线方程为23y x=，则a=5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是6.右图是一个算法的流程图，则输出的x的值为7.“直线l1:ax+y+1=0与直线l2:4x+ay+3=0平行”是“a=2”的条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8.已知等差数列{a n}的前n项和为Sn，a1=9，9595S S-＝－4，则a n=9.已知点M是曲线y=2ln x+x2-3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为10.已知3cos2α＝4sin(4π－α)，α∈(,4ππ)，则sin2α=11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB =1，BC =2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为12.在∆ABC 中，，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是 13.若函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1<m <n )，则a 的取值范围是14.如图，在∆ABC 中，AB =4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE =2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB ，则∆ABC 面积的最大值为二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次联考数学(理)试题
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次联考高三数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB = ▲ .2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为 ▲ .3．已知向量()(),,6,3,4m =-=且,⊥则=m ▲ .4．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧-≤+=)1(log 1,222x x x f x ，则()[]=0f f ▲ .5.函数y =的定义域是 ▲ . 6．已知1x >，则41x x +-的最小值为 ▲ . 7.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()cos 3cos a B c b A =-，则=A cos ▲ . 8.已知31)6sin(=+πx ，则)3(sin )65sin(2x x -+-ππ的值是 ▲ . 9.已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为▲ .10．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 满足→DC ＝2→BD ，则→AD ·→DC 的值为▲_____． 11.已知函数 则不等式的解集为 ▲ .12.已知函数()3213f x ax x x =-+在区间()0,2上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 ▲ .13、设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,log 0,1)(4x x x x x f ,若关于x 的方程a x f =)(有四个不同的解4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<，则4232131)(x x x x x ++的取值范围是 ▲ . 14．已知a ∈R ，设函数222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R上恒成立，则a 的取值范围为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15.（本题满分14分）已知π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，设向量()sin cos m x x =，，3122n ，⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． （1）若∥，求x 的值；（2）若35m n ⋅=，求πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．16.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为()2214x y -+=，M 点的坐标为()3,3-.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）过点M 任作一条直线l 与圆C 交于不同两点A ，B ，且圆C 交x 轴正半轴于点P ，求证：直线PA 与PB 的斜率之和为定值.17．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos cos a B A =，cos A =（1）求角B 的值； （2）若a =ABC 的面积．18.（本题满分16分）设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立．（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题 “q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．19、（本题满分16分）某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC 上设计一个观景台D （点D 与点O ，C 不重合），其中AD ，BD ，CD 段建设架空木栈道，已知2AB =km ，设建设的架空木栈道的总长为y km ．（1）设(rad)DAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．20. （本小题满分16分） 已知函数xx x g x x f 1)(,ln )(-==． （1）①、若直线1+=kx y 与x x f ln )(=的图像相切, 求实数k 的值；②、令函数|)(|)()(x g x f x h -=，求函数)(x h 在区间]1,[+a a )0(>a 上的最大值． （2）已知不等式)()(2x kg x f <对任意的),1(+∞∈x 恒成立，求实数k 的取值范围．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1． {1,6}2. 2000,10x x x ∀∈++≥R3．【答案】8 4．答案：2 5. [1,7]- 6． 5 7.【答案】138.95 9.【答案】2 10．－4311. 【答案】12【答案】1a ≥ 13、⎥⎦⎤ ⎝⎛27,1-，14．【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立令2222(11)(1)2(1)1()1111x x x x x g x x x x x-----+==-=-=-----1(12)2)01x x =--+-≤-=- ∴max 2()0a g x ≥= ∴0a ≥当1x >时，()ln 0ln xf x x a x a x=-≥⇔≤恒成立 令()ln xh x x=，则221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -⋅-'==当x e >时，()0h x '>，()h x 递增 当1x e <<时，()0h x '<，()h x 递减 ∴x e =时，()h x 取得最小值()h e e = ∴min ()a h x e ≤= 综上a 的取值范围是[]0,e 【答案】[]0,e二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15.【答案】（1）π3x =；（2）10- 【解析】试题分析：（1）通过m ∥n ，得到关于x 的方程，结合π03x ，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到x 的值；（2）利用数量积的定义可得π3s i n 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令π6x θ=+，则π6x θ=-，故ππs i n s i n 124x θ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可根据诱导公式及两角差的正弦公式得最后结果.试题解析：（1）因为()sin cos m x x =，，312n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，且m ∥n ，所以1sin cos 2x x ⋅=即tan x =………………………4分 又π03x ，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3x =．………………………6分（2）因为()sin cos m x x =，，3122n ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，，且35m n ⋅=13cos 25x x +=， 即π3sin 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ………………………9分 令π6x θ=+，则π6x θ=-，且3sin 5θ=，因为π03x ，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故ππ62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以4cos 5θ===，………………………11分所以ππππππsin sin sin sin cos cos sin 12612444x θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3455=-= ………………………14分 16.【答案】（1）3x =或512210x y ++=（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）当直线l 的斜率不存在时，直线3x =满足题意，当直线l 的斜率存在时，设切线方程为()33y m x +=-，圆心到直线的距离等于半径，列式子求解即可求出m ，即可得到切线方程；（2）设直线AB ：()33y k x +=-，代入圆C 的方程，可得到关于k 的一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，且()3,0P ，直线PA 与PB 的斜率之和为121233PA PB y yk k x x +=+--，代入根与系数关系整理可得到所求定值。
2019~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研数学试题(一)
将两圆弧 EB ，EC 及边BC所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为 ▲ .
解：V 12 3 4 13 2 ．
3 12．在 △ABC 中， ( AB AC)
3 BC(
1)
，若角
A 的最大值为
，则实数
的值是
▲
.
6
1
解： ( AB AC) ( AB AC ) c 2 b 2 ( 1)bc cos A 0
CA
CB
3
CE
CB
2
2
2
2
B,O, E共线 3 1 1 O 为CD中点 OB 2OD
22
2
在△BOD中，BD 2，OB 2OD 易知：O的轨迹为阿圆，其半径r 2 2
故S△ABC 4S△BOD 2BD r 8 2．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤．
7．“直线 l1 : ax y 1 0 与直线 l2 : 4x ay 3 0 平行”是“ a 2 ”的 ▲ 条件（. 填“充
分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）.
8．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a1
9，
S9 9
S5 5
4 ，则 an
▲
.
9．已知点 M 是曲线 y 2 ln x x 2 3x 上一动点，当曲线在 M 处的切线斜率取得最小值时，该切
2019 ~ 2020 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅰ
2019.04.08
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．
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2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题1.已知i 为虚数单位，复数11z i=+，则z =#2.已知集合{}{}01,13A x x B x a x =≤≤=-≤≤，若A B ⋂中有且只有一个元素，则实数a 的值为#3.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4，则该组数据的方差是#4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为23y x =，则a =#5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是#6.右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为#7.“直线1:10l ax y ++=与直线2:430l x ay ++=平行”是“2a =”的#条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a =#9.已知点M 是曲线22ln 3y x x x =+-上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为#10.已知3cos 24sin(),(,)44ππαααπ=-∈，则sin 2α=#11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，.2,1==BC AB 分别以D A ,为圆心，1为半径作圆弧EB ,EC ，将两圆弧EB ,EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为#12.在ABC ∆中，()(1)AB AC BC λλ-⊥> ,若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是#一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
13.若函数()(01)xf x a a a =>≠且在定义域[,]m n 上的值域是22[,](1)m n m n <<，则a 的取值范围是#14.如图，在ABC ∆中，4,AB D =是AB 的中点，E 在边AC 上，2,AE EC CD =与BE 交于点O ，若2,OB OC =则ABC ∆面积的最大值为#二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别是,,a b c ，且满足cos 3sin 0b A a B =（1）求A ；（2）已知23,3a B π==，求ABC ∆的面积.16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，,BD BC PCD ⊥∆为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点.（1）证明：AP ∥平面EBD ；（2）证明：BE PC ⊥.某地为改善旅游环境进行景点改造.如图，将两条平行观光道21l l 和通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），21l l 和所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线3l 平行于观光道且与2l 相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于3l ，且交3l 于M ），在堤岸线3l 上的F E ,两处建造建筑物，其中F E ,到M 的距离为1（百米），且F 恰在B 的正对岸（即3l BF ⊥）.（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角（EPF ∠）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21且经过点B A ,231，，⎪⎭⎫⎝⎛分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于E D ,两点（其中x D 在轴上方）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若BDF AEF ∆∆与的面积比为1:7，求直线l 的方程.已知函数)(32)(223R m x m mx x x f ∈+-=的导函数).(x f '（1）若函数)()()(x f x f x g '-=存在极值，求m 的取值范围；（2）设函数)(ln )()(x f e f x h x'+'=（其中e 为自然对数的底数），对任意R m ∈，若关于x 的不等式22()0h x m k ≥++∞在（，）上恒成立，求正整数k 的取值集合.已知数列{}{},,n n b a 数列{}n c 满足*,,n n n a n c n N b n ⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数，为偶数，.（1）若,2,nn n b n a ==求数列{}n c 的前n 2项和n T 2；（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n n c c N n >∈+1*,恒成立.①当数列{}n b 为等差数列，求证：数列{}{}n n b a ,的公差相等；②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由.2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）.A 选修2-4；矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1132,1231B A ，且二阶矩阵M 满足B AM =，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量。
.B 选修4-4；坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧∂+=∂+=2cos 323cos 22y x （∂为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=。
（1）求曲线C 的普通方程；（2）求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标。
C .选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知正数,,x y z 满足x y z t ++=（t 为常数），且22249x y z ++的最小值为87，求实数t 的值。
某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）。
抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1,2,5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5,3,1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.已知抛物线py x C 4:2=（p 为大于2的质数）的焦点为，F 过点F 且斜率为)0(≠k k 的直线交B A C ,于两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点E ，抛物线C 在点B A ,处的切线相交于点.G 记四边形AEBG 的面积为S .（1）求点G 的轨迹方程；（2）当点G 的横坐标为整数时，S 是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S 的值；若不是，请说明理由.2019～2020学年度苏锡常镇高三教学情况调研（一）数学参考答案2020. 3数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.豆2.23.0.084.35.ζJ－fAυ6.67.必要不充分8. -2月＋119. x -y -3二。
10._!_91 I .生3二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.（本小题满分14分〉解：CI）因为bcosA-./3asinB = 0,所以由正弦定理可得si n B cos A -./3 s inA s inB = ,Q 12.313.(1, e e )14.gJ2... 2分因为O<B ＜ι所以sinB > 0，所以cos A= ./3s in A ,因为O<A ＜π，所以cos A= ./3sinA > 0，所以tanA＝豆6分3π 大｜诀1A E (0，叶，所以A＝一．……………………………………………………..8分6 (2）因为α＝2,'13, B ＝豆，A ＝豆，36 π 所以在D.A B C 中，C ＝一．………………………………………………………··四分2 2-J3 X 主。
b as in Bv J守由正弦定理二，可得b 二二二二6，…………………·12分sinA sinBsinAl2所以S A AU 「二＿！＿ab = _!_ X 2./3 X 6 = 6./3 . '' ＇＇＇＇＇……………………………………· 14封<-..>n u 」2 216.C本小题满分14分〕证：C I ）连结A C 交BD 于0，因为ABCD 为平行四边形，所以0为AC 的中点．连结EO ，在L-.PAC 中，因为E是PC 的中点，所以EOI/AP. ………………·2分又因为AP cr.平面EBD,EOc 平面EBD,所以A P ／／平面E B D .………………………………………………………………·6分(2）因为L-.PDC 为正三角形，E 是PC 的中点，所以DE 1-PC.………………………………………………………………………8分又因为平面PCD .l_平面ABCD ，平面PCD 门平面ABCD =DC ，且BD 1-DC,BD c平面ABCD ，所以BD 土平面PCD.X y当且仅当1.二］＿二三时取等号，此时，主二之二Z , x+ y +z 二4，解得X 二三，2 3 1 4 9., 18 2 x 2 v 2 "J y ＝一，z ＝一．所以＋三一＋z 2的最小值为，…………………….. 8分7 7 49 14 因为三＋豆＋z 2的最小值为一，所以＝一，又因为t =x +y+z >O,8 t 2 8 49 7 14 7 所以解得t = 4. ……………………………………………………………………· 10分22.C 本小题满分10分〉解：C 1) X 的所有可能取值有10,20, 40. 按规则摸出三个小球的情况共有5×4×3=60种．………………………………. 1分其中“一次比一次大”和“一次比一次小”的情况都恰有可二10种，10 1 所以P(X = 40) ＝一＝一，606 10 1P(X =20) ＝一＝一，60 6 阳＝10) = 1一阳＝40)-P(X=20)=f,故获奖金额X的概率分布为X 1020 2 3 6 2 1 1 50其数学期望E(X ）二10×一＋20×一＋40×一二一．3 6 6 3 40 ... 4分6 50一答：获奖金额X 的数学期望为兀·……………………………………………·6分3 (2）记“获得的奖金恰好为60元”为事件A .赵四购物恰好满600元，则他有3次抽奖机会，各次抽奖结果相互独立．事件A包含：三次都是二等奖：一次一等奖及两次三等奖．1 1。