24巩固练习_《推理与证明》全章复习与巩固_提高
高中数学《推理与证明》巩固提升案
第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法（第1课时）(建议用时：30分钟）测控导航1.在不等边三角形中,a 为最长边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边a,b,c 应满足条件( ) A.a 2<b 2+c 2B.a 2=b 2+c2C.a 2>b 2+c 2D.a 2≤b 2+c 22.在△ABC 中,“0>⋅AC AB 错误!未找到引用源。
”是“△ABC 为锐角三角形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设a,b ∈R,且a ≠b,a+b=2,则必有( ) A.1≤ab ≤错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
<ab<1 C.ab<错误!未找到引用源。
<1D.ab<1<错误!未找到引用源。
4.对于不重合的直线m,l 和平面α,β,要证明α⊥β,需要具备的条件是( ) A.m ⊥l ,m ∥α,l ∥β B.m ⊥l ,α∩β=m,l ⊂α C.m ∥l ,m ⊥α,l ⊥βD.m ∥l ,l ⊥β,m ⊂α5.不相等的三个正数a,b,c 成等差数列,并且x 是a,b 的等比中项,y 是b,c 的等比中项,则x 2,b 2,y 2三数( ) A.成等比数列而非等差数列 B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列拓展提能6.已知a,b 是不相等的正数,x=错误!未找到引用源。
,y=错误!未找到引用源。
,则x,y 的大小关系是________.7.若lgx+lgy=2lg(x-2y),则lo 错误!未找到引用源。
=________.8.如图,四棱锥P-ABCD 中,AP ⊥平面PCD,AD ∥BC,AB=BC=错误!未找到引用源。
AD,点E,F 分别为线段AD,PC 的中点.(1)求证：AP ∥平面BEF.(2)求证：BE ⊥平面PAC.第二章 推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法（第2课时）(建议用时：30分钟）知识点 题号（难易度）分析法解题思路1、2（一般） 基本不等式 ，平方后比较大小 3、4、5（一般）求函数值，化切为弦（较难）1.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c ，且a+b+c=0，求证：a ac b 32<- 索的因应是( ) A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<02.下列不等式不成立的是( )A.a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca B.错误!未找到引用源。
2022高中数学第3章推理与证明模块复习课第3课时推理与证明课后巩固提升北师大版选修1_2
模块复习课MOKUAIFUXIKE第3课时推理与证明课后篇巩固提升A组1.用反证法证明命题“已知a,b为实数,若a,b≤4,则a,b不都大于2”时,应假设()A.a,b都不大于2B.a,b都不小于2C.a,b都大于2D.a,b不都小于2,应假设a,b都大于2,故选C.2.下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的.第n行有n个数且两端的数均为(n≥2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如,……,则第10行第4个数(从左往右数)为()A. B.C. D.,结合所给的数阵,归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于,第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于,第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于.3.若不等式x2+2x+a≥-y2-2y对任意实数x,y都成立,则实数a的取值范围是()A.a≥0B.a≥1C.a≥2D.a≥3a≥-x2-2x-y2-2y=2-[(x+1)2+(y+1)2].因为(x+1)2+(y+1)2≥0,所以2-[(x+1)2+(y+1)2]≤2,所以使不等式恒成立的a的取值范围是a≥2.4.已知n∈N+,设平面上的n个椭圆最多能把平面分成a n部分,且a1=2,a2=6,a3=14,a4=26,……,则a n=.n2-2n+2a n-a n-1=(n-1)×4,利用累加法可得a n=2n2-2n+2.5.若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的几个值x1,x2,…,x n总满足≤f称函数f(x)为D上的凸函数,现已知f(x)=sin x在(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是.≤f,因为f(x)=sin x在(0,π)上是凸函数,所以f(A)+f(B)+f(C)≤3f,即sin A+sin B+sin C≤3sin,所以sin A+sin B+sin C的最大值是.6.已知f(x)=x2+2x-m,如果f(1)>0是假命题,f(2)>0是真命题,那么实数m的取值范围是.,∴3≤m<8.7.给出一个“三角形”的数表如下:此表构成的规则是:第一行是0,1,2,…,999,以后下一行的数是上一行相邻两个数的和.问:第四行的数中能被999整除的数是哪一项?.通过观察、分析,可以看出:第四行的任一个数都和第一行中相应的四个相邻的数有关,具体关系可以从上表看出:如果用a n表示第四行的第n个数,那么a n=8n+4.现在要找出a n=8n+4=999k的a n,显然k应是4的倍数.注意到第四行中最大的数是7980<999×8,所以k=4.由此求出第四行中能被999整除的数是999×4=3996,它是第四行的第(3996-4)÷8=499(项),即a499=3996.8.(1)已知a>2,b>2,求证:a+b<ab;(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a>b,用反证法证明:cos B>0.因为a>2,b>2,所以0<,0<,可得a+b>0,ab>0,又因为=1,所以a+b<ab.(2)假设cos B≤0,又因为B是三角形的内角,所以B∈,π,因为a>b,可得A>B,则A>,所以A+B>π,与A+B<π矛盾,即假设不成立,因此cos B>0成立.B组1.用数学归纳法证明“+…+>1”时,假设n=k时命题成立,则当n=k+1时,左端增加的项为()A.B.C.D.n=k时,左边为+…+,当n=k+1时,左边为+…+,所以增加的项为+…+-+…+=.故选D.2.(1)已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q≥2;(2)若a,b∈R,|a|+|b|<1,求证:方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下结论正确的是()A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)的假设正确,(2)的假设错误C.(1)与(2)的假设都正确D.(1)的假设错误,(2)的假设正确的结论的否定应该是p+q>2,故错;(2)的否定是方程的两根至少有一个大于或等于1,故(2)正确.3.某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题,甲和丁均说自己不会证明;乙说:丙会证明;丙说:丁会证明.已知四名同学中只有一人会证明此题,且只有一人说了真话.据此可以判定能证明此题的人是()A.甲B.乙C.丙D.丁,丁和丙的说法矛盾,他们有一人说了真话,则甲、乙说了假话,又四名同学中只有一人会证明此题,∴甲会证明,乙、丙、丁都不会证明.故选A.4.如图所示是一个有n层(n≥2,n∈N+)的六边形点阵,它的中心是一个点,算作第1层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,……,第n层每边有n个点,则这个点阵共有个点.n2-3n+1n层共有a n个点,结合图形可知a1=1,a2=6,……,a n+1=a n+6(n≥2,n∈N+), 则a n=6+(n-2)×6=6n-6(n≥2,n∈N+),前n层所有点数之和为S n=1+=3n2-3n+1,故这个点阵共有3n2-3n+1个点.5.定义运算“ ”:x y=(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x y+(2y) x的最小值为.x y=,∴x y+(2y) x=≥.其中x>0,y>0,当且仅当x2=2y2,即x=y时等号成立.6.给出下列命题:①双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点;②过点P(2,1)的抛物线的标准方程是y2=x;③已知双曲线C:=1,若它的离心率为,则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x;④椭圆=1的两个焦点为F1,F2,P为椭圆上的动点,△PF1F2的面积的最大值为2,则m的值为2.其中真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)因为两曲线的焦点都在x轴上,半焦距c相等都是,所以双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点,正确;②过点P(2,1)的抛物线的标准方程是y2=x或x2=4y,不正确;③已知双曲线C:=1,若它的离心率为,则=2,∴双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,正确;④由解析式知,半焦距为1,△PF1F2的面积的最大值为2,即bc=2,可得b=2,故m=4,不正确.7.已知函数f(x)=x2+a ln x(a∈R).(1)若f(x)在[1,e]上是增函数,求a的取值范围.(2)若a=1,1≤x≤e,证明:f(x)<x3.因为f'(x)=x+,且f(x)在[1,e]上是增函数,所以f'(x)=x+≥0在[1,e]上恒成立,即a≥-x2在[1,e]上恒成立,所以a≥-1.(2)当a=1时,f(x)=x2+ln x,x∈[1,e],令F(x)=f(x)-x3=x2+ln x-x3,又F'(x)=x+-2x2=≤0,所以F(x)在[1,e]上是减函数,所以F(x)≤F(1)=<0,所以x∈[1,e]时,f(x)<x3.8.已知f(x)=x2+px+q,求证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2;(2)若|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|>2,则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<+2×=2.这与已知条件|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|>2矛盾,从而假设不成立,原命题成立.。
巩固练习_《推理与证明》全章复习与巩固_基础
【巩固练习】 一、选择题1. 下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误2． 某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 ( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大 3．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为 ( ) A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C.211k k ++D.231k k ++4． 已知c ＞1，a ，b ( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c中存在偶数”时，否定结论应为 ( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都不是偶数 C ．a ，b ，c 中至多一个是偶数 D ．至多有两个偶数 6． 函数f(x)由下表定义：若a 0＝5，a n ＋1＝f(a n 2 009A ．1 B ．2 C ．4 D ．5 二、填空题7． 已知()1111+++23f n n ＝＋(n ∈N *)，用数学归纳法证明()22n nf >时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________．8．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -； （2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b -，b c -，则有a c -．则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：__ ____．9． 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC . 证明：要证AF ⊥SC ， 只需证SC ⊥平面AEF ， 只需证AE ⊥SC (因为______)， 只需证______，只需证AE ⊥BC (因为________)，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为______)． 由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．10．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分，3条直线最多将平面分成7部分，那么4条直线最短将平面分成________个部分. 若设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，则f (n )=________． 三、解答题11．用数学归纳法证明：12． 已知a b c >>， 求证：114.a b b c a c+≥--- 13． 我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？14．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．15．已知数列{}n a 中，123a ＝－，其前n 项和S n 满足()1=++22n n n a S n S ≥，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．【答案与解析】 1. 【答案】B【解析】由合情推理的概念得知，合情推理必须有前提有结论.2．【答案】A【解析】由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．3．【答案】B【解析】当n ＝k 时，左＝(k ＋1)( k ＋2)…2k ，当n ＝k +1时，左＝(k ＋2)…(2k ) (2k ＋1) (2k ＋2)= (k ＋1)( k ＋2)…(k ＋k )(21)(22)1k k k ⋅＋＋＋= (k ＋2)…(2k ) (2k ＋1) (2k ＋2)= (k ＋1)( k ＋2)…(k ＋k )2(21)k ⋅＋∴从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为2(21)k ＋. 4．【答案】B 【解析】5．【答案】B【解析】假设的内容应为命题结论“a ，b ，c 中存在偶数”的否定：a ，b ，c 都不是偶数．6．【答案】B【解析】由a 0＝5，a n ＋1＝f(a n )，n ＝0,1,2，…，得a 1＝f(a 0)＝f(5)＝2； a 2＝f(a 1)＝f(2)＝1； a 3＝f(a 2)＝f(1)＝4； a 1＝f(a 3)＝f(4)＝5； a 5＝f(a 4)＝f(5)＝2； ……说明递推数列a 0＝5，a n ＋1＝f(a n )是周期为4的数列．a 2 009＝f(a 2 008)＝f(5)＝2．7．【答案】+1111+++2+12+22k kk【解析】8．【答案】不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等【解析】严格根据“-”的定义。
高三数学一轮复习 推理与证明推理与证明巩固与练习 试题
心尺引州丑巴孔市中潭学校稳固1．以下几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数均超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 解析：选A.两条直线平行，同旁内角互补(大前提)∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角(小前提)∠A ＋∠B ＝180°(结论)2．以下表述正确的选项是( )①归纳推理是由局部到整体的推理 ②归纳推理是由一般到一般的推理 ③演绎推理是由一般到特殊的推理 ④类比推理是由特殊到一般的推理 ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤解析：选D.归纳推理是由局部到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．3．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“假设a ·3＝b ·3，那么a ＝b 〞类推出“假设a ·0＝b ·0，那么a ＝b 〞B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc 〞类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c〞 C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc 〞类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c(c ≠0)〞 D ．“(ab )n ＝a n b n 〞类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n 〞解析：选C.由类比推理的特点可知．4．(2021年皖南八校高三调研)定义集合A ，B 的运算：A ⊗B ＝{x |x ∈A 或x ∈B 且x ∉(A ∩B )}，那么A ⊗B ⊗A ＝________.解析：如图，A ⊗B 表示的是阴影局部，设A ⊗B ＝C ，运用类比的方法可知，C ⊗A ＝B ，所以A ⊗B ⊗A ＝B . 答案：B5．(2021年高考卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，那么T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性：设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1，那么T 4＝b 14q 6，T 8＝b 18q 1＋2＋…＋7＝b 18q 28， T 12＝b 112q 1＋2＋…＋11＝b 112q 66，∴T 8T 4＝b 14q 22，T 12T 8＝b 14q 38， 即(T 8T 4)2＝T 12T 8·T 4，故T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列． 答案：T 8T 4 T 12T 86．等差数列{a n }中，公差为d ，前n 项的和为S n ，有如下性质：(1)通项a n ＝a m ＋(n －m )d ；(2)假设m ＋n ＝p ＋q ，m 、n 、p 、q ∈N *，那么a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (3)假设m ＋n ＝2p ，那么a m ＋a n ＝2a p ；(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．请类比出等比数列的有关性质．解：等比数列{a n }中，公比为q ，前n 项和为S n ，那么可以推出以下性质：(1)a n ＝a m q n －m ；(2)假设m ＋n ＝p ＋q ，m 、n 、p 、q ∈N *，那么a m ·a n ＝a p ·a q ；(3)假设m ＋n ＝2p ，那么a m ·a n ＝a p 2； (4)当q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列．练习1．以下平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较适宜的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，那么相对的两条边互相平行，应选C.2．由710>58，911>810，1325>921，…假设a >b >0且m >0，那么b ＋m a ＋m 与b a之间大小关系为( ) A ．相等 B ．前者大C ．后者大D ．不确定解析：选B.观察题设规律，由归纳推理易得b ＋m a ＋m >b a. 3．“所有9的倍数(M )都是3的倍数(P )，某奇数(S )是9的倍数(M )，故此奇数(S )是3的倍数(P )〞，上述推理是( )A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错4．以下推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆B.由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇解析：选B.从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．5．给出以下三个类比结论．①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，那么有(a ＋b )n ＝a n ＋b n； ②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，那么有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，那么有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.③正确．6．观察图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个圆点，第n 个图案中圆点的个数是a n ，按此规律推断出所有圆点总和S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2n 2－2nB ．S n ＝2n 2C ．S n ＝4n 2－3nD ．S n ＝2n 2＋2n 解析：选A.事实上由合情推理的本质：由特殊到一般，当n ＝2时有S 2＝4，分别代入即可淘汰B ，C ，D 三选项，从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4，公差为4的等差数列，因此所有圆点总和即为等差数列前n－1项和，即S n＝(n－1)×4＋(n－1)(n－2)2×4＝2n2－2n.7．y＝cos x(x∈R)是周期函数，演绎推理过程为________．答案：大前提：三角函数是周期函数；小前提：y＝cos x(x∈R)是三角函数；结论：y＝cos x(x∈R)是周期函数．8．对于非零实数a，b①a＋1a≠0；②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；③假设|a|＝|b|，那么a＝±b；④假设a2＝ab，那么a＝b.那么，对于非零复数a，b解析：对于①，当a＝i时，a＋1a ＝i＋1i＝i－i＝0，故①不成立；对于②④，由复数四那么运算的性质知，仍然成立．对于③，取a＝1，b＝i，那么|a|＝|b|，但a≠±b，故③不成立．答案：②④9．数列2021,2021,1，－2021，－2021，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，那么这个数列的前2021项之和S2021等于________．解析：数列前几项依次为2021,2021,1，－2021，－2021，－1,2021,2021，…每6项一循环，前6项之和为0，故前2021项包含334个周期和前5个数，故其和为2021＋2021＋1－二零二零—二零二壹＝1.答案：110．用三段论的形式写出以下演绎推理．(1)假设两角是对顶角，那么该两角相等，所以假设两角不相等，那么该两角不是对顶角；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等．解：(1)两个角是对顶角那么两角相等，大前提∠1和∠2不相等，小前提∠1和∠2不是对顶角. 结论(2)每一个矩形的对角线相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等. 结论11.观察：(1)tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；(2)tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．解：假设锐角α，β，γ满足α＋β＋γ＝90°，那么tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanαtanγ＝1.12．等差数列{a n}的公差d＝2，首项a1＝5.(1)求数列{a n}的前n项和S n；(2)设T n＝n(2a n－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出S n与T n的大小规律．解：(1)由a1＝5，d＝2，∴a n＝a1＋(n－1)·d＝5＋2(n－1)＝2n＋3.∴S n＝n(n＋4)．(2)T n＝n(2a n－5)＝n[2(2n＋3)－5]，∴T n＝4n2＋n.∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39，T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21，S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S1＝T1，当n≥2时，S n<T n.归纳猜想：当n≥2，n∈N时，S n<T n..。
24巩固练习_《推理与证明》全章复习与巩固_提高(1)
一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 ．类比到空间，有
4
两个棱长均为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的 体积恒为________．
三、解答题
11． 已知 a b c ， 求证： 1 1 4 . ab bc ac
12．已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1， 求证：a，b，c，d 中至少有一个是负数．
6．【答案】C
【解析】观察各式，寻找各项与对应项数 n 的关系，可知
数列
3 2
，5 ，7 34
，
的通项为
2n 1 n 1
.
可归纳出式子：1 1 1 1 2n 1 n N .
23
n1 n1
3
答案
C：1
1 22
1 32
1 n2
2n 1(n≥ 2) ，这是式子中的第
n
n-1
项。
7．【答案】B
设双曲线上的点 M (m, n) ，则 N (m, n) ，又设双曲线任意一点 P(x0 , y0 ) ，则
kPM
kPN
y0 n x0 m
y0 n x0 m
y02 n2 x02 m2
，
其中
y02
b2 a2
x02
b2, n2
b2 a2
m2
b2 代入即得，
所以 kPM
kPN
b2 a2
（2）已知 a，b R ， a b 1，求证方程 x2 ax b 0 的两根的绝对值都小于 1．用反证
法证明时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1，即假设 x1 ≥1 .
以 下结论正确的是（ ） Ａ． (1) 与 (2) 的假设都错误
高中数学第3章推理与证明习题课—推理与证明的综合应用课后巩固提升(含解析)北师大版选修12
第三章DISANZHANG推理与证明习题课——推理与证明的综合应用课后篇巩固提升1.已知a1=1,依次写出a2,a3,…,a n(n∈N+)的法则如下:如果a n-2为自然数且未写过,则写a n+1=a n-2,否则就写a n+1=a n+3,则a6=()A.4B.5C.6D.7,依次逐个代入,得a2=4,a3=2,a4=0,a5=3,a6=6.2.对于数25,规定第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第2016次操作后得到的数是()A.25B.250C.55D.133,第3次操作为53+53=250,第4次操作为23+53+03=133,第5次操作为13+33+33=55,…….因此每次操作后的得数呈周期排列,且周期为3,又2016=672×3,故第2016次操作后得到的数是250.3.对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中,是准偶函数的是()A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tan xD.f(x)=cos(x+1)f(x)为准偶函数的定义可知,若f(x)的图像关于x=a(a≠0)对称,则f(x)为准偶函数,在D中f(x)=cos(x+1)的图像关于x=kπ-1(k∈Z)对称,故选D.4.甲、乙、丙、丁四人参加比赛,有3人分别获得一等奖、二等奖和三等奖,另外1人没获奖.甲说:乙得奖;乙说:丙获得了一等奖;丙说:丁没有获得二等奖;如果甲、乙、丙中有一人获得了一等奖,而且只有获得一等奖的那个人说的是真话,则获得一等奖的是.,甲、乙、丙中有一人获得了一等奖,而且只有获得一等奖的那个人说的是真话,若甲获得一等奖,则甲说的是真话,乙说的是假话,丙不能确定,符合题意;若乙获得一等奖,则乙说:“丙获得一等奖”是真话,不符合题意;若丙获得一等奖,则丙说的是真话,而此时乙说:“丙获得一等奖”也是真话,不符合题意,所以获得一等奖的是甲.5.小明在学校组织了一次访谈,全体受访者中,有6人是学生,4人是初中生,2人是教师;5人是乒乓球爱好者,2人是篮球爱好者.根据以上信息可推知,此次访谈中受访者最少有人;最多有人.15,人数最少,为6+2=8人,当乒乓球爱好者和篮球爱好者与老师和学生都不重复时,人数最多,为6+2+5+2=15人,故答案为8,15.6.观察下图:12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……则第 行的各数之和等于2 0172.:第n 行第一个数是n ,该行共有(2n-1)个数,构成以1为公差的等差数列,所以第n 行的各数之和为(2n-1)n+=4n 2-4n+1,令4n 2-4n+1=20172,则2n-1=2017,n=1009,故答案为1009.7.网上购鞋常常看到这样一张脚的长度与鞋号的对照表,第一行可以理解为脚的长度,第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.脚的长度与鞋号对照表从上述表格中可以推算出30码的童鞋对应的脚的长度为 ;若一个篮球运动员的脚长为282 mm,则他该穿 码的鞋.47,码=实际标注×0.2-10,故30码的童鞋对应的脚的长度为200mm,当脚长为282mm 时,对应的码282×0.2-10=46.4,应穿47码的鞋,故答案为200mm,47.8.给出下列不等式:1+>1,1++…+,1++…+>2,……则按此规律可猜想第n 个不等式为 .++…+3,7,15,…,通项为2n+1-1,不等式右边为首项为1,公差为的等差数列,故猜想第n 个不等式为1++…+.9.设f (x )=3ax 2+2bx+c.若a+b+c=0,f (0)>0,f (1)>0,求证:(1)a>0,且-2<<-1.(2)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.因为f(0)>0,f(1)>0,所以c>0,3a+2b+c>0.因为a+b+c=0,消去b得a>c>0,再由条件a+b+c=0,消去c得a+b<0且2a+b>0,所以-2<<-1.(2)因为抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为,又因为-2<<-1,所以<-.因为f(0)>0,f(1)>0,而f=-<0,所以方程f(x)=0在区间内分别有一实根,故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.10.(1)设x是正实数,求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3.(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3是否仍然成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.x是正实数,由基本不等式,得x+1≥2,x2+1≥2x,x3+1≥2.故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥2·2x·2=8x3(当且仅当x=1时等号成立).(2)若x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3仍然成立.由(1)知,当x>0时,不等式成立;当x≤0时,8x3≤0,而(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)=(x+1)2(x2+1)≥0,此时不等式仍然成立.。
《几何证明》全章复习与巩固—巩固练习(基础)
《几何证明》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．下列语句中，属于命题的是（）．A.直线AB和CD垂直吗B.过线段AB的中点C画AB的垂线C.同旁内角不互补，两直线不平行D.连结A，B两点2．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A. AB垂直平分CDB. CD垂直平分ABC. AB与CD互相垂直平分D. CD平分∠ACB3．如果直角三角形的三条边为2，4，a，那么a的取值可以有（）A.0个B.1个C.2个D.3个4．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A.8，15，17B.4，5，6C.5，8，10D.8，39，405．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）A．B．3 C．D．6．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接 BD，则BD的长为（）A．B． C．D．第6题第7题7．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）A． B．C．1 D．8．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（）A．182 B．183 C．184 D．185二、填空题9.到定点A的距离为4cm的点的轨迹是 . 10．把命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式是结果_________，那么__________．11．如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为．12．若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，则此三角形的面积为 .13. 如图，已知正方形的边长为3，为边上一点，．以点为中心，把△顺时针旋转，得△，连接，则的长等于___________．14. 如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且∠ABC=90°，连结AC，则△ACD的面积为 .15．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE等于米时，有DC＝AE＋BC.第15题第16题16．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，=3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．则BN的长为 .三、解答题17. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．18. 如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O(1) 若DB ⊥AC,CE ⊥AB,D,E 为垂足，试判断点O 的位置及OE 与OD 的大小关系，并证明你的结论。
《三角形的证明》全章复习与巩固--巩固练习(提高)
《三角形的证明》全章复习与巩固（提高）【巩固练习】一.选择题1．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（）A． 3米 B． 4米C． 5米 D．6米2.（2016秋•仙游县期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．每一个内角都大于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°3. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。
其中结论正确的是（）A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)4. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A、4cmB、6cmC、8 cmD、10cm5.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A、30°B、36°C、45°D、70°6.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（）CA、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′7.（2015•永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8. 在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A、三边中线的交点B、三条角平分线的交点C、三边上高的交点D、三边中垂线的交点二、填空题9. 如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是__________ ．3510.用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，第一步为假设“”11. 如图，在Rt△ABC中．∠C=90°，BC=6，AC=8，点D在AC上，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB边的点C′处，则△ADC′的面积是_________.12. 如图，长方体的长为5，宽为3，高为12，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是________.13. 已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是___________.14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= cm．15.（2015•辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于．16. 如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB.三、解答题17.（2016秋•江都区校级期中）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF 相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．18. 如图，在长方形ABCD 中，DC=5cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△AED 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30cm 2，求折叠△AED 的面积．19. 如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM ， △CBN 是等边三角形，直线AN ，MC 交于点E,直线BM 、CN 交与F 点.(1)求证：AN=BM ；(2)求证： △CEF 为等边三角形；(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）20.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB 和△AEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB ∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】解：因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°，由勾股定理得，AB=25米，计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31﹣25=6米．故选D．2. 【答案】A；【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．故选：A．3. 【答案】D；【解析】解：∵EA⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAB=∠ABC=90°Rt△EAD与Rt△ABC∵D为AB中点，∴AB=2AD又EA=AB=2BC∴AD=BC∴Rt△EAD≌Rt△ABC∴DE=AC，∠C=∠ADE，∠E=∠FAD又∠EAF+∠DAF=90°∴∠EAF+∠E=90°∴∠EFA=180°-90°=90°，即DE⊥AC，∠EAF+∠DAF=90°，∠C+∠DAF=90°∴∠C=∠EAF，∠C=∠ADE∴∠EAF=∠ADE,故选D．4. 【答案】B；【解析】∵AD平分∠CAB交BC于点D∴CAD=∠EAD∵E⊥AB∴∠AED=∠C=90∵AD=AD∴△ACD≌△AED．（AAS）∴AC=AE，CD=DE∵∠C=90°，AC=BC∴∠B=45°∴DE=CE【解析】解：∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB，设∠A=x°，则∠ABD=∠A=x°，∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x°∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∴x+2x+2x=180，∴x=36，∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．6. 【答案】B；【解析】添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加B选项中条件无法判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加D选项以后是ASA证明三角形全等．故选B．7. 【答案】D；【解析】解：如图，∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外），∴以OA为腰的等腰三角形有3个；作OA的垂直平分线，交x轴于一点，∴以OA为底的等腰三角形有1个，综上所述，符合条件的点P共有4个，故选：D．8. 【答案】D；【解析】三角形三边中垂线的运用.二.填空题9. 【答案】125°；【解析】解：∵AB=AC，∠B=35°，∴∠C=35°，∠A=110°，∵DE⊥BC，∴∠ADE=360°-110°-35°-90°=125°，∵125°＞110°＞90°＞35°，∴四边形中，最大角的度数为：125°．故选C．10.【答案】三角形的三个内角都小于60°；【解析】第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．11.【答案】6；12.【答案】13；13.【答案】20；【解析】根据题意得，x-4=0，y-8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．14.【答案】7；【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90°∴∠EAC=∠B∵AB=AC∴△ABD≌△ACE（AAS）∴AD=CE，BD=AE∴DE=AD+AE=CE+BD=7cm．故填7．15.【答案】8；【解析】解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，∴AB=2DE=2×5=10，∴在Rt△ABD中，BD===8．故答案为：8．16.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE;【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°-∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°-∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°-∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=BE；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH=CB或EH=BE或AE=CE．三.解答题17.【解析】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°．在△BDF与△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（AAS）．∴DF=DE，∴AD是∠BAC的平分线．18.【解析】解：由折叠的对称性，得AD=AF，DE=EF．由S△ABF=BF•AB=30，AB=5，得BF=12．在Rt△ABF中，由勾股定理，得．所以AD=13．设DE=x，则EC=5﹣x，EF=x，FC=1，在Rt△ECF中，EC2+FC2=EF2，即（5﹣x）2+12=x2．解得．故．19.【解析】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）证明：由（1）得△ACN≌△MCB，∴∠1=∠2，又∠ACM=∠BCN=∠MCN=60°，CN=CM∴△ECN≌△FCB，∴EC=FC．∴△ECF是等边三角形.图1C BA图2B M（3）AN=MB 成立，△ECF 是等边三角形不成立.20.【解析】解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：在△BEC 中， ∵BE=CE∴∠EBC=∠ECB 又∵∠ABE=∠ACE ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC ．在△AEB 和△AEC 中，AE=AE ，BE=CE ，AB=AC ∴△AEB ≌△AEC （SSS ） ∴∠BAE=∠CAE ．。
知识讲解_《《推理与证明》全章复习与巩固(提高)(理)
《推理与证明》全章复习与巩固【学习目标】1. 了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；体会它们的重要性，并能运用它们进行一些简单的推理；2. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；3. 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；4. 了解间接证明的一种基本方法：反证法；了解反证法的思考过程、特点；5. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【知识网络】【要点梳理】要点一：有关推理概念归纳推理：又称归纳法，是从特殊到一般、部分到整体的推理．根据归纳对象是否完备，分为完全归纳法和不完全归纳法．完全归纳法是根据某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况作出的关于该类事物的一般性结论的推理；不完全归纳法是根据某类事物中的一部分对象具有某种特征而作出该类事物都具有这一特征的一般性结论的推理．由于仅列举了归纳对象中的一小部分，因此得出的结论与前提未必有必然的联系，故其结论未必正确，必须经过理论的证明和实践的检验．类比推理：又称类比法，是由特殊到特殊的推理．这是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的“开拓型”“发散型”思维方式．和归纳推理一样，能由已知推测未知，推理的结论也不一定为真，有待进一步证明，通常情况下，类比的相似性越多，类比得出的结论就越可靠．演绎推理：又称演绎法．是从一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式．演绎推理的结论完全蕴涵于前提之中．它是“封闭型”的思维方法，只要前提真实，逻辑形式正确，则结论必然真实，但由它一般不能取得突破性进展．故合情推理与演绎推理各有侧重，相辅相成．合情推理有助于发现新事物、新结论、新规律，演绎推理保证结论的可靠性，去伪存真．要点诠释：演绎推理更注重推理的形式规则，常见的有假言推理、关系推理、三段论推理．三段论推理：其一般形式为：大前提：所有M 都是P ；小前提：S 是M ；结论：S 是P ．要点二：有关证明方法综合法综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法，是数学推理证明中的主要方法．即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待征结论或需求问题．如果要证明的命题是p q ⇒，那么证明步骤用符号表示为p (已知)123p p p ⇒⇒⇒⇒…q ⇒．分析法分析法就是从待征结论出发，一步一步探索下去，寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．用分析法证明的逻辑关系：q (结论)n p ⇐⇐…321p p p p ⇐⇐⇐⇐(已知)．间接证法间接证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真，间接达到目的．反证法就是间接证法的一种．反证法证题步骤为：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾．(3)由矛盾判断假设不成立．从而肯定命题的结论成立．反证法导出矛盾常见的有以下几种情况：①导出非p 为真，即与原命题的条件矛盾．②导出q 为真，即与假设“非q 为真”矛盾．③导出一个与定义、公理、定理等矛盾的命题．数学归纳法数学归纳法是证明一个与正整数n 有关的命题时，常采用的一种方法，它是一种完全归纳法，其步骤为：第一步：证明n 取第一个值0n 时命题成立．第二步：假设n ＝k(k ≥0n ，k ∈N +)时命题成立，证明n ＝k+1时命题成立．第三步：下结论，命题对从0n 开始的所有自然数n 都成立．要点诠释：（1）用数学归纳法证明与自然数n 有关的命题时，如果证明恒等式或不等式应特别注意项及项数的变化规律；证明几何命题时，要特别注意从n ＝k 到n ＝k+1的几何图形中几何元素的变化规律；证明整除性命题时，要特别注意凑配项的变形技巧；证明与奇、偶数有关的命题要注意过渡时的特点，如一个命题对所有奇数n 成立，应假设n ＝2k -1时命题成立，推证n ＝2k+1时命题成立或假设n ＝k (k 为奇数)时命题成立，推证n ＝k+2时命题成立．（2）“归纳一猜想—证明”的论题，要特别关注项的构成规律，作出合理的猜想后再证明．【典型例题】类型一：合情推理与演绎推理例1. 若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则有数列n b =n ∈N +)也为等比数列，类比上述性质，相应地：若数列{}n c 是等差数列，则有n d =________也是等差数列． 【思路点拨】类比猜想可得12n n c c c d n+++=…也成等差数列. 【解析】若设等差数列{}n c 的公差为x ， 则12n n c c c d n +++=…1(1)2n n nc x n -+=1(1)2x c n =+-． 可见{}n d 是一个以1c 为首项，2x 为公差的等差数列，故猜想是正确的． 【总结升华】类比猜想是以两个对象之间某已知的相同或相似之处为根据，从而推出对象之间未知的相似之点的推理方法，这个根据是不充分的，因而类比推理的结论有时正确，有时不正确，其结论都需要证明．举一反三：【变式1】在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE AC EB CB=，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．【答案】ACD BCDS AE EB S ∆∆= 【变式2】观察2()2x x '=，43()4x x '=，(cos )sin x x '=-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记g (x )为()f x 的导函数，则g (-x )＝( )A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】 D【解析】 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当()f x 是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (-x )＝-g (x )．例2. 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈N +．(1)证明数列{}n a n -是等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S ；(3)证明不等式1n S +≤4n S ，对任意n ∈N +皆成立．【解析】 (1)由题设1431n n a a n +=-+得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈N +．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+． (3)对任意的n ∈N +，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎡⎤-++-+-=+-+⎢⎥⎣⎦21(34)2n n =-+-≤0． 所以不等式1n S +≤4n S ，对任意n ∈N +皆成立．【总结升华】本题属于递推数列问题，是高考考查的热点．解题的关键是转化为等差、等比数列． 举一反三：【变式1】纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是 ( )A ．南B ．北C ．西D ．下【答案】 B【解析】将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．【变式2】（2016 广州一模）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）A.201520172⨯B. 201420172⨯C.201520162⨯D. 201420162⨯【答案】由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，···，第2015行公差为20142，故第1行的第一个数为：122-⨯ ，第2行的第一个数为：032⨯ ，第3行的第一个数为：142⨯，…第n 行的第一个数为：2(1)2n n -+⨯，第2016行只有M ，则20142014(12016)220172M =+⋅=⨯类型二：直接证明与间接证明例3. 设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10．求证：log log 4lg a b c c c +≥．【解析】证法一(综合法)：因为ab ＝10， 所以lg lg log log 4lg 4lg lg lg a b c c c c c c a b+-=+- 11lg lg 4lg lg lg 4lg lg lg lg lg a b a b c c a b a b ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭14lg lg lg lg lg a b c a b-= 2(lg lg )4lg lg lg lg lg a b a b c a b+-= 2(lg lg )lg lg lg a b c a b-=． 又因为a ，b ，c 均为大于1的正数，所以lg a ，lg b ，lg c 均大于0，故2(lg lg )lg 0lg lg a b c a b-≥．即log log 4lg a b c c c +≥． 证法二(分析法)：由于1a >，b ＞1．故要证明log log 4lg a b c c c +≥只要证明lg lg 0lg lg c c a b+≥，即log log 4lg a b c c c +≥． 又1c >，所以只要证明114lg lg a b +≥，即lg lg 4lg lg c b a b +≥． 因为10ab =，所以lg lg 1a b +=，故只要证明14lg lg a b ≥． ①由于a ＞1，b ＞1，所以lg 0a >，lg b ＞0． 所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，即14lg lg a b ≥． 当且仅当lg lg a b =时等号成立，即①式成立，所以原不等式成立．举一反三：【变式】设a ，b ∈R 且a ≠b ，a+b ＝2，则必有（ ) A ．1≤ab ≤222a b + B ．2212a b ab +<< C ．2212a b ab +<< D ．2212a b +< 【答案】B【解析】∵ a+b ＝2．∴ b ＝2-a ，2224a b ab ++=，∴ 22(2)2(21)1ab a a a a a a =-=-=--++ 2(1)11a =--+≤． ∵ a ≠b ≠1．∴ ab ＜1．∵ 222222()0222a b a a b b a b ab +-+--==>， ∴ 2212a b +>． ∵ 22222122a b a b ++--=422102ab ab --==->， ∴ 2212a b +>， 综上可得2212a b ab +>>． 例4. 设函数()f x 对定义域内任意实数都有()0f x ≠，且()()()f x y f x f y +=成立．求证：对定义域内任意x ，都有()0f x >．【思路点拨】直接证明有些困难，考虑用反证法.【解析】假设满足题设条件的任意x ，()0f x >不成立，即存在某个0x ，有0()f x ≤0． ∵ ()0f x ≠，∴ 0()0f x <． 又知2000000()022222x x x x x f x f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 这与假设0()0f x <矛盾，假设不成立．故对任意的x 都有()0f x >．【总结升华】此题证明过程中，“对任意x ，都有()0f x >”的否命题是：“存在x 0，使0()f x ≤0”，而不是“对所有的x ，都有()f x ≤0”，因此在应用反证法时正确写出结论的否定形式是很重要的． 举一反三：【变式】函数41()2x xf x +=的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】 D【解析】 对于选项A ，点512⎛⎫⎪⎝⎭，在()f x 上， 但点512⎛⎫-- ⎪⎝⎭，不在()f x 上；对于选项B ，点(0，2)在()f x 上，但点(2，0)不在，(z )上；对于选项C ，函数的图象不能关于x 轴对称；对于选项D ， ∵ 4114()()22x x x x f x f x --++-===． ∴ 函数的图象关于y 轴对称．类型三：数学归纳法例5. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式1212111n nb b b b b b +++⋅⋅⋅> 【解析】(1)由题意：S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，21a b a =，即(1)b b b b r -=+，解得r ＝－1. (2)当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为214121242n n+++⋅⋅⋅>①当n ＝1时，左式＝32左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即214121242k k +++⋅⋅⋅>则当n ＝k ＋1时，21412123232422(1)2(1)k k kk k k +++++⋅⋅⋅⋅>=++要证当n ＝k ＋1时结论成立，> 即证232k +>由均值不等式23(1)(2)22k k k ++++=>成立 >所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式1212111n nb b b b b b +++⋅⋅⋅> 【总结升华】本题属中等难度题，求解关键是要掌握数学归纳法．举一反三：【变式1】已知*111()()1231f n n N n n n =+++∈++-，则f (k ＋1)＝f (k )＋______________________. 【答案】1111331321k k k k ++-+++ 【变式2】试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，由n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n ＝k (k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2.那么当n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2·k 2－2. 又因：2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0，即2k 2－2≥(k ＋1)2，故2k ＋1＋2>(k ＋1)2成立． 根据(1)和(2)，原不等式对于任何n ∈N *都成立．【变式3】（2016 南通一模）已知函数f 0（x ）=x （sin x+cos x ），设f n （x ）是f n+1（x ）的导数，n ∈N*。
《证明(二)》全章复习与巩固--知识讲解(提高)
《证明（二）》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】1.° 23⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎨四公理（三角形全等判定3个公理，全等三角形性质公理）， 一推论等腰三角形：性质定理；三线合一；判定定理能证明它们么反证法等边三角形含有30的直角三角形的性质勾股定理勾股定理的逆定理直角三角形证明（二）定理与逆定理的关系直角三角形的全等判定(HL)线段的垂直平分线定理及逆定理线段的垂直平分线三角形的三边垂直平分线定理基本作图及作等腰三角形4⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩角平分线的定理及逆定理角平分线角平分线的作法三角形内角平分线定理 【要点梳理】要点一、能证明它们么1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等. 判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL. 2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a的等边三角形他的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、能证明它们么1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交CD 于点F ，BD 分别交CE 、AE 于点G 、H ．试猜测线段AE 和BD 的数量和位置关系，并说明理由．【思路点拨】由条件可知CD=AC ，BC=CE ，且可求得∠ACE=∠DCB ，所以△ACE ≌△DCB ，即AE=BD ，∠CAE=∠CDB ；又因为对顶角∠AFC=∠DFH ，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE ⊥BD ． 【答案与解析】猜测AE=BD ，AE ⊥BD ；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ， 即∠ACE=∠DCB ，又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴AC=CD ，CE=CB ， ∵在△ACE 与△DCB 中， ,AC DCACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△DCB （SAS ）， ∴AE=BD ， ∠CAE=∠CDB ； ∵∠AFC=∠DFH ，∠FAC+∠AFC=90°， ∴∠DHF=∠ACD=90°， ∴AE ⊥BD ．故线段AE 和BD 的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点． 举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ． （1）求证：AF+EF=DE ；（2）若将图1中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立； （3）若将图1中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明：连接BF（如下图1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图2.（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）证明：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，,BC BEBF BF=⎧⎨=⎩ ∴△BCF ≌△BEF ， ∴CF=EF ； ∵△ABC ≌△DBE ， ∴AC=DE ，∴AF=AC+FC=DE+EF ．类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（ ） ①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等， ②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等， ③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． A 1 B 2 C 3 D 4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可； 【答案】C.【解析】A 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；B 、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；C 、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D 、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确； 所以，正确的说法个数是3个． 故选C ．【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3. 如图：AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，EF 过点C ，BE ⊥EF 于E ，DF ⊥EF 于F ，BE=DF ． 求证：Rt △BCE ≌Rt △DCF ．【思路点拨】连接BD ，根据等腰三角形的性质和判定，求出BC=DC ，根据直角三角形全等的判定定理HL 推出两三角形全等即可． 【答案与解析】连接BD ，∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ，∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠CBD=∠CDB ， ∴BC=DC ，∵BE ⊥EF ，DF ⊥EF ， ∴∠E=∠F=90°，在Rt △BCE 和Rt △DCF 中,,BC DCBE DF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BCE ≌Rt △DCF （HL ）．【总结升华】考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形全等的判定的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题型较好，难度适中． 类型三、线段垂直平分线4. 如图，在锐角△ABC 中，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，AD 、CE 相交于F ，BF 的中点为P ，AC 的中点为Q ，连接PQ 、DE ．（1）求证：直线PQ 是线段DE 的垂直平分线；（2）如果△ABC 是钝角三角形，∠BAC ＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【思路点拨】（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．【答案与解析】（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，∴PE=12 BF．又∵AD⊥BC，∴△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，∴PD=12BF=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．举一反三：【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．【答案】（1）∵∠B=12（180°-∠A）=70°∴∠M=20°（2）同理得∠M=40°（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，证明：设∠A=α，则有∠B=12（180°-α）∠M=90°-12（180°-α）=12α.（4）不成立.此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．类型四、角平分线5. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．【思路点拨】连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE=GM．【答案与解析】解：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∵CD，BE是角平分线，∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，∴∠CGB=∠EGD=120°，∵G是∠ACB平分线上一点，∴GN=GF，同理，GF=GM，∴GN=GM，∴AG是∠CAB的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，∴∠EGD=∠NGM=120°，∴∠EGN=∠DGM，又∵GN=GM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE=GD．【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键．举一反三：【变式】如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，又∵BD=DF，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴△ADC≌△ADE，∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．《证明（二）》全章复习与巩固（提高）【巩固练习】一.选择题1．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（）A． 3米 B． 4米C． 5米 D．6米2. 设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）A B C D3. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。
22巩固练习_《推理与证明》全章复习与巩固_基础
【巩固练习】 一、选择题1. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ）Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2． 某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 ( ) A ．白色 B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大3．在等差数列{}n a 中，若n a >0，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数列{}n b 中，若0,>1n b q >，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ）Ａ．4857b b b b +>+Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+Ｄ．4578b b b b +>+4． 已知c ＞1，+1a c c ＝ ，1b c c ＝ ，则正确的结论是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c中存在偶数”时，否定结论应为 ( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都不是偶数 C ．a ，b ，c 中至多一个是偶数 D ．至多有两个偶数 6． 函数f (x)由下表定义：若a 0＝5，a n ＋1＝f (a n )，n ＝0,1,2，…，则a 2 009＝ ( )A ．1B ．2C ．4D ．5 二、填空题7．已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，将ab ，22+2a b ，1按照从小到大的顺序排列______________.8．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -； （2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b -，b c -，则有a c -．则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：__ ____．9． 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC . 证明：要证AF ⊥SC ， 只需证SC ⊥平面AEF ， 只需证AE ⊥SC (因为______)， 只需证______，只需证AE ⊥BC (因为________)，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为______)． 由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．10．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分，3条直线最多将平面分成7部分，那么4条直线最短将平面分成________个部分. 若设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，则f (n )=________． 三、解答题11． 已知a b c >>， 求证：114.a b b c a c+≥--- 12．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．13. 设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >，且1a ≠）．（1）523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．14．已知命题：“若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列12()nn n b a a a n *=∈N 也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．【答案与解析】 1. 【答案】A【解析】由分析法的概念可知.2．【答案】A【解析】由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色． 3．【答案】B【解析】由类比的概念得出结论.4．【答案】B 【解析】5．【答案】B【解析】假设的内容应为命题结论“a ，b ，c 中存在偶数”的否定：a ，b ，c 都不是偶数．6．【答案】B【解析】由a 0＝5，a n ＋1＝f (a n )，n ＝0,1,2，…，得a 1＝f (a 0)＝f (5)＝2； a 2＝f (a 1)＝f (2)＝1； a 3＝f (a 2)＝f (1)＝4； a 1＝f (a 3)＝f (4)＝5； a 5＝f (a 4)＝f (5)＝2； ……说明递推数列a 0＝5，a n ＋1＝f (a n )是周期为4的数列．a 2 009＝f (a 2 008)＝f (5)＝2．7．【答案】B【解析】方法一：直接法22+2a b -ab =()2-02a b >，所以22+2a b >ab ； 2=+2a b ab >，所以ab <1. 所以2212a b ab +<<.方法二：特殊值法。
2022高中数学第3章推理与证明§4反证法课后巩固提升北师大版选修1_2
第三章DISANZHANG推理与证明§4反证法课后篇巩固提升A组1.在用反证法证明“已知x,y∈R,且x+y<0,则x,y中至多有一个大于0”时,假设应为()A.x,y都小于0B.x,y至少有一个大于0C.x,y都大于0D.x,y至少有一个小于0至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”,故其对立面为“x,y都大于0”.故选C.2.用反证法证明“至少存在一个实数x,使log3x>0成立”时,假设正确的是()A.至少存在两个实数x,使log3x>0成立B.至多存在一个实数x,使log3x>0成立C.任意实数x,log3x>0恒成立D.不存在实数x,使log3x>0成立,“至少存在一个实数”的反面是“不存在实数x”,故假设“不存在实数x,使log3x>0成立”.故选D.3.已知x1,x2,x3,…,x2 019均为正实数,且+…+=1,有下列四个说法:①最多有一个x i(i∈(1,2,3,…,2 019))小于1;②最多有两个x i(i∈(1,2,3,…,2 019))小于2;③至少有一个x i(i∈(1,2,3,…,2 019))不小于2 019;④至少有一个x i(i∈(1,2,3,…,2 019))不小于2 018.其中正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.4x1≤x2≤ (x2019)故+…+=1≥2019×,所以x2019≥2018,故④正确;对于①,若存在x i,x j(i≠j),它们均小于1,则=1,这与+…+=1矛盾,故①正确;对于②,若存在x i,x j,x k(i<j<k),它们均小于2,则>3×=1,这也与+…+=1矛盾,故②正确;对于③,取x i=2018(i=1,2,…,2019),则+…+=1,故③错误.故选C.4.若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形,则这个三角形的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定△ABC的直线只能过一个顶点,且与对边相交,如直线AD(点D在BC上),则∠ADB+∠ADC=π.若∠ADB为钝角,则∠ADC为锐角.而∠ADC>∠BAD,∠ADC>∠ABD,△ABD与△ACD不可能相似,与已知不符,只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC=时,才符合题意.5.用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a,b为实数)”,其“假设”为.,b不全为0a,b全为0”即“a=0,且b=0”,因此它的反面应为“a≠0或b≠0”,即a,b不全为0.6.有下列叙述:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y或x<y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”;④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”,其中正确的叙述有(填序号即可).错,应为a≤b;②对;③错,应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上;④错,应为三角形的内角中有两个或三个钝角.7.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1为三角形,△A2B2C2为三角形(填“锐角”或“钝角”).钝角△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,可知△A1B1C1为锐角三角形.则由题意,知△A2B2C2为锐角三角形或钝角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形,由∴A2+B2+C2=与A2+B2+C2=π矛盾.∴△A2B2C2是钝角三角形.8.证明对于直线l:y=kx+1,不存在这样的实数k,使得l与双曲线C:3x2-y2=1的交点A,B关于直线y=ax(a为常数)对称.k,使得点A,B关于直线y=ax对称,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有(1)直线l:y=kx+1与直线y=ax垂直;(2)点A,B在直线l:y=kx+1上;(3)线段AB的中点在直线y=ax上.所以由②③,得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2.④由得(3-k2)x2-2kx-2=0,因此x1+x2=,将其代入④,得ak=3.这与①矛盾,所以假设不成立.因此不存在实数k,使得点A,B关于直线y=ax对称.B组1.设a,b,c,d大于0,则4个数的值()A.至多有一个不大于1B.都大于1C.至少有一个不大于1D.都小于1a=1,b=2,c=4,d=4可判断A,B,D错误;假设4个数的值都大于1,因为a,b,c,d大于0,所以a>b,b>c,c>d,d>a,而a>b,b>c,c>d⇒a>d,与d>a相矛盾,假设不成立,故4个数的值至少有一个不大于1,C正确.故选C.2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的“假设”为.BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP,∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.3.已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.x轴有两个不同的交点.由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得Δ1=(2b)2-4ac≤0,且Δ2=(2c)2-4ab≤0,且Δ3=(2a)2-4bc≤0.同向不等式求和,得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0.∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0.∴a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此,假设不成立.故由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.4.用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.:在△ABC中,∠BAC>90°,D是BC的中点,求证:AD<BC.证明如下:假设AD≥BC.(1)若AD=BC,由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半,则这条边所对的角为直角”知∠BAC=90°,与题设矛盾,所以AD≠BC.(2)若AD>BC,因为BD=DC=BC,所以在△ABD中,AD>BD,从而∠B>∠BAD;同理∠C>∠CAD.所以∠B+∠C>∠BAD+∠CAD,即∠B+∠C>∠BAC.因为∠B+∠C=180°-∠BAC,所以180°-∠BAC>∠BAC,则∠BAC<90°,与题设矛盾.由(1)(2)知AD<BC.。
巩固练习_《推理与证明》全章复习与巩固(文)最新修正版
【巩固练习】一、选择题1．凡自然数都是整数，而4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理 ( )A ．正确B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一致D ．两个“整数”概念不一致2．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A ．13n n a -=B ．a 3n n a =C ．32n n a n =-D ．1323n n a n -=+-3．设x 、y 、z ∈R +，1a x y =+，1b y z =+，1c z x=+，则a 、b 、c 三数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于24．若110a b <<，则下列不等式：(1)a+b ＜ab ，(2)|a |＞|b |，(3)a ＜b ，(4)2b a a b +>中不正确的不等式的序号是( )A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(3)(4)D ．(1)(4)5．已知13a =，133n n n a a a +=+，试通过计算2a ，3a ，4a ，5a 的值推测n a =( ) A ．3n B ．五32n C ．4n D ．2n6．证明命题：“1()x x f x e e=+，在(0，+∞)上是增函数”现给出的证法如下：因为，1()x x f x e e =+，所以1()x x f x e e '=-．因为x ＞0，所以1x e >，0＜1x e＜1，所以10x x e e ->，即()0f x '>，所以()f x 在(0，+∞)上是增函数，使用的证明方法是( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法 D ．以上都不是7．下面几种推理是合情推理的是 ( )(1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；(3)某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n -2)·180°．A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)二、填空题8．已知x ＞0，由不等式1122x x x x +≥=， 222443222x x x x x x +=++≥=，…，启发我们可以得出推广结论：1n a x n x+≥+(n ∈N +)，则a ＝________． 9．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a 、b 、c ，则三角形的面积1()2S r a b c =++，根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，其四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积V ＝________．10．如图所示，连接函数2()(0)f x x x =>上任意两点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，线段AB 必在AB 上方，设点C 是线段AB 的中点，则由图中C 在C 1的上方可得不等式：22222a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．请分析函数()lg (0)f x x x =>的图象，类比上述不等式可以得到__________．11．考查下列一组不等式：3322252525+>+，4433252525+>+，553223252525+>+，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是________．三、解答题12．若a ＞613．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ． 求证：113a b b c a b c+=++++． 14．用反证法证明：已知a 与b理数．15．已知函数()1f x x =+，设1()()g x f x =，1()(())n n g x f g x -=(n ＞1，n ∈N +)．(1)求2()g x ，3()g x 的表达式，并猜想()n g x (n ∈N +)的表达式；(直接写出猜想结果)(2)求关于x 的二次函数212()()y x g x g x =+++…()n g x +(n ∈N +)的最小值．【答案与解析】1.【答案】A【解析】大前提、小前提及推理形式都正确，故选A ．2．【答案】A【解析】 11a =，23a =，39a =，427a =，归纳13n n a -=，故选A ．3．【答案】C 【解析】1116a b c x y z y z x++=+++++≥， 因此a 、b 、c 至少有一个不小于2，故选C ．4．【答案】B 【解析】若110a b<<，则0＞a ＞b ，故ab ＞0，(1)正确；|a |＜|b |，(2)不正确；(3)不正确；(4)正确．故选B ．5．【答案】A【解析】∵ 13a =,133n n n a a a +=+，∴ 2333332a ⨯==+, ∴ 333323332a ⨯==+，4313134a ⨯==+，533343534a ⨯==+． 猜想：3n a n =． 6．【答案】A【解析】证明是从已知条件出发进行推论，故使用的证明方法是综合法．7．【答案】C【解析】(1)为类比推理；(2)(4)为归纳推理：(3)错误．8．【答案】n n【解析】由已知得，n a x x x n +=+…n x a n x ++． ≥(1)1n n n x +=+， ∴ n a n =．9．【答案】12341()3R S S S S +++ 【解析】应用类比推理．10．【答案】lg lg lg 22a b a b ++< 【解析】如图：类比可得lg lg lg 22a b a b ++<．11．【答案】m n m n m n n m a b a b a b +++>+(a ，b ＞0，a ≠b ，m ，n ＞0)12．【解析】解法一(作差)=． ∵ 6a >，∴ 30a ->，40a ->，50a ->，60a ->．又∵ 35a a ->-，∴ >>>即知(*)式＜0，∴解法二：令()1)f x x a =>-，112211()()(1)22f x a x a x --'=+-+- 102=<， 即知()f x )在定义域内为减函数，故(3)(5)f f -<-，∴13．【解析】要证113a b b c a b c+=++++， 只要证3a b c a b c a b b c +++++=++，即1c a a b b c+=++， 也就是2221bc c a ab ab ac b bc+++=+++． ∵ A ，B ，C 成等差数列，∴ A+C ＝2B ．B ＝60°．由余弦定理，得222a a c ac =+-，∴ 2222222b c c a a b b c c a a b a b a c b b c a b a c a c a c b c++++++=++++++-+ 22221bc c a ab ab a c bc+++==+++． ∴ 原式成立．14．由a ＞0，b ＞00>，∵ )a b =-．∴=∴ ))a ++∴15．【解析】(1)∵ ()1f x x =+1()()g x f x =，1()(())n n g x f g x -=(n ＞1，n ∈N +)，∴ 211()[()]()1()1(1)12g x f g x g x f x x x ==+=+=++=+， 同理3()3g x x =+．从而猜想()n g x x n =+(n ＞1，n ∈N +)，(2)∵ 212()()()n y x g x g x g x =++++…()n +∈N ，由(1)知，2(1)(2)y x x x =+++++ (2)()(123)x n x nx n ++=++++++… 2(1)2n n x nx +=++=2(2)24n n n x +⎛⎫++ ⎪⎝⎭(n ∈N +)， ∵ x ∈R ． ∴ 关于x 的二次函数212()()()n y x g x g x g x =++++…(n ∈N +)的最小值为(2)4n n +．。
高中数学选修《推理与证明》全章复习与巩固(理)(基础)知识点巩固练习
目录【考纲要求】 (1)【知识网络】 (1)【考点梳理】 (1)【典型例题】 (4)【巩固练习】 (16)《推理与证明》全章复习与巩固编稿：张林娟审稿：孙永钊【考纲要求】1.能对推理与证明的各种方法进行梳理，建立知识网络，把握整体结构.2.能比较数学证明的几种基本方法的思维过程和特点，灵活选用各种方法进行一些数学证明.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系、差异和各自所起的作用.【知识网络】【考点梳理】要点一：归纳与类比数学推理．．．．是由一个或几个已知的判断(或前提)，推导出一个未知结论的思维过程．一般包括合情推理和演绎推理，而归纳和类比是合情推理的两种主要形式.归纳推理概念根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，一般分为完全归纳推理与不完全归纳推理.一般步骤类比推理概念两类不同的对象具有某些共同的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程叫类比推理．一般步骤（1）找出两类事物之间可以确切表述的相似性或一致性．（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．（3）检验猜想．要点诠释：（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；而类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.（2）归纳推理的前提是特殊的情况，所以归纳推理是立足于观察、实验和经验的基础上的；类比是根据已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识为基础，类比出新的结果.（3）归纳和类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．（4）注意合情推理和演绎推理的区别．演绎推理是从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，是由一般到特殊的推理．演绎推理的特征是前提为真，结论必为真．要点二：综合法与分析法1.综合法定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是这样一种思维方法：从命题的已知条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，一步步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．综合法是一种执因索果的证明方法，又叫顺推法．思维框图：用P 表示已知条件，Q 表示要证明的结论，123...i Q i n =（，，，，）为已知的定义、定理、公理等，则综合法可用框图表示为：11223...n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）2. 分析法定义一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.，分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法．思维框图：用123i P i =（，，，）表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，Q 所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：11223...Q P P P P P ⇐→⇐→⇐→→得到一个明显成立的条件（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）要点诠释：（1） 综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用．分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁．我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程．分析法一般用于综合法难以实施的时候．（2）有不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ．若由P 可以推出Q 成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”．分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．命题“若P 则Q ”的推演过程可表示为：要点三：反证法中学阶段反正法是最常见的间接证法.定义： 一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法的格式：用反证法证明命题“若p 则q ”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：反证法的一般步骤：（1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．要点诠释：（1）反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果．（2） 反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件. 要点四：数学归纳法数学归纳法证明命题的步骤：（1）证明当n 取第一个值0n 时结论正确；（2）假设当n k =0(*,)k N k n ∈≥时结论正确，证明1n k =+时结论也正确， 由（1）（2）确定对0*,n N n n ∈≥时结论都正确。
高中数学高考总复习---推理与证明、数学归纳法巩固练习题(含答案解析)
直线与该侧棱都是异面直线；故共有
f (n) nCn21
n(n 1)(n 2) 2
对异面直线，则
f (4) 12 .
10．【证明】
i) n 2 时，左式= f (22 ) f (4) 1 1 1 1 25 , 2 3 4 12
右式= 2 2 2 ， 2
∵ 25 2 ， ∴左式>右式，不等式成立， 12
其中 ≈1.732， ≈1.587， ≈1.495， ≈1.431＜1.495，
通过上述可以发现，当 t=4 时，可以找到实数 t 使其在区间[1，2）∩[ ， ）∩[ ， ）
∩[ ， ）上，
但当 t=5 时，无法找到[ ， ）
∩[ ， ）
4
上，∴正整数 n 的最大值 4 故选 B． 8.【答案】4n﹣1
3
即 x1, x2 是方程 3x2 6x 2 0 的实根
x12
x22
( x1
x2 )2
2x1x2
4
4 3
8 3
3．B
【解析】 P log11 2 log11 3 log11 4 log11 5 log11120 ，
1 log1111 log11120 log11121 2 ，即1 P 2
（Ⅰ）求 a2 , b2 的值；
（Ⅱ）求数列an 与 bn 的通项公式；
（Ⅲ）设Tn 1 a1 b1 1 a2 b2 1 an bn , n N *.证明 Tn 2n2 , n 3 .
15.设函数 f (x) x x ln x ．数列an 满足 0 a1 1， an1 f (an ) ．
(n≥3) ，
故当
n≥3 时，Tn
11
1 2
1 2n2
3，
巩固练习_《推理与证明》全章复习与巩固(提高)(理)
【巩固练习】一、选择题1．凡自然数都是整数，而4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理 ( )A ．正确B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一致D ．两个“整数”概念不一致2．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程20a bx c ++=(a ≠0)有有理数根，那么，AC 中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是 ( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 中至多有一个是偶数D ．假设a 、b 、c 中至多有两个是偶数3．用数学归纳法证22n n >(n ∈N +且n ≥5)时，应当首先验证( )A ．2＞1B ．24＞42C ．23＞32D ．25＞524．黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地砖 ( )A ．4n -2块B ．4n+2块C ．3n+3块D ．3n -3块5．用数学归纳法证明“52n n -能被3整除”的第二步中，n ＝k+1时，为了使用假设，应将1152k k ++-变形为( )A ．(52)452k k k k -+⨯-B ．5(52)32k k k -+⨯C ．(52)(52)k k --D ．2(52)35k k k--⨯ 6．已知命题1+2+22+…+12n -＝121n --(n ∈N +)及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1211-=，所以等式成立；(2)假设n k =时等式成立，即2122+++…+12k -＝21k-成立，则当n ＝k+l 时，2122+++…+12k -＝11122112k k ++-=--，所以n ＝k+1时等式也成立． 由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上叙述( )A ．命题、推理都正确B ．命题正确、推理不正确C ．命题不正确、推理正确D ．命题、推理都不正确7．已知3()f x x x =+，a ，b ，c ∈R ，且0a b +>，0a c +>，b+c ＞0，则()()()f a f b f c ++)的值一定( )A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．正负都可能二、填空题8．已知x ＞0，由不等式1122x x x x +≥=， 222443222x x x x x x +=++≥=，…，启发我们可以得出推广结论：1n a x n x+≥+(n ∈N +)，则a ＝________． 9．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a 、b 、c ，则三角形的面积1()2S r a b c =++，根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，其四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积V ＝________．10．用数学归纳法证明221123++…2111(1)22n n +>-++时，假设n ＝k 时结论成立，则当n ＝k+1时，应推证的目标不等式是________．11．如图所示，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是________．三、解答题12．若a ＞634a a --56a a --13．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ．求证：113a b b c a b c+=++++． 14．已知函数1()f x x =，问：是否存在这样的正数A ，使得对定义域内的任意x ，恒有|()|f x A <成立?试证明你的结论．15．设曲线32132ax y bx cx =++在点A (x ，y )处的切线斜率为k (x )，且(1)0k -=．对一切实数x ，不等式x ≤21(1)2x +恒成立(a ≠0)． (1)求k (1)的值；(2)求函数k (x )的表达式：(3)求证：11(1)(2)k k ++…12()2n k n n +>+．【答案与解析】1.【答案】 A【解析】 大前提、小前提及推理形式都正确，故选A ．2．【答案】B【解析】 用反证法证明命题时，作假设要否定原命题的结论，所以应该是“假如a 、b 、c 都不是偶数”．3．【答案】D【解析】应用数学归纳法证明命题的第一步是验证当0n n =时命题成立．本题中05n =，故首先要验证25＞52是否成立．4．【答案】B【解析】第1个图案中有白色地砖6块，第2个图案中有白色地砖10块，第3个图案中有白色地砖14块，归纳为：第n 个图案中有白色地砖(4n+2)块，故选B ．5．【答案】B【解析】11525522k k kk ++-=-=55252522k k k k -+-=5(52)32k k k -+．6．【答案】B 【解析】 推理不正确，错在证明n ＝k+1时，设用假设n ＝A 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B ．7．【答案】A【解析】3()f x x x =+是奇函数且在R 上是增函数，由a+b ＞0，得a ＞-b ，故()()f a f b >-，可得()()0f a f b +>．同理，()()0f a f c +>，()()0f b f c +>．所以()()()0f a f b f c ++>．8. 【答案】n n【解析】由已知得，n a x x x n +=+…nx a n x ++． ≥(1)1n n n x +=+， ∴ n a n =．9．【答案】12341()3R S S S S +++ 【解析】应用类比推理．10．【答案】21111122(2)23k k k -+>-+++ 【解析】假设当n ＝k 时结论成立，则有221123++…2111(1)22k k =>-++，在上式两边同时加上21(2)k +，得 221123++…22211111(1)(2)22(2)k k k k ++>-+++++， ∴ 要证当n ＝k+1时结论成立，只要证明21111122(2)23k k k -+>-+++即可． 11．【答案】4【解析】据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个，所以满足条件的点的个数是4．12．【解析】解法一(作差)=． ∵ 6a >，∴ 30a ->，40a ->，50a ->，60a ->．又∵ 35a a ->-，∴ >>>即知(*)式＜0，∴解法二：令()1)f x x a =>-， 112211()()(1)22f x a x a x --'=+-+- 102=<， 即知()f x )在定义域内为减函数，故(3)(5)f f -<-，∴ <13．【解析】要证113a b b c a b c+=++++， 只要证3a b c a b c a b b c +++++=++，即1c a a b b c+=++， 也就是2221bc c a ab ab ac b bc+++=+++． ∵ A ，B ，C 成等差数列，∴ A+C ＝2B ．B ＝60°．由余弦定理，得222a a c ac =+-， ∴ 2222222bc c a ab bc c a ab ab ac b bc ab ac a c ac bc++++++=++++++-+ 22221bc c a ab ab a c bc+++==+++． ∴ 原式成立．14．【解析】不存在正数A ，使得对定义域内的任意x ，恒有|()|f x ＜A 成立．证明：反证法：假设存在一个A ＞0，使得x ∈(-∞，0)∪(0，+∞)时，|()|f x A <恒成立．即1A x<恒成立． 取12x A=，则有12012A A A A A<⇒<⇒<，矛盾． 故不存在正数A ，使得对定义域内的任意x ，恒有|()|f x A <成立．15．【解析】(1)由x ≤()k x ≤21(1)2x +得1≤k (1)≤1， 所以k (1)＝1．(2)2()k x y ax bx c '==++(a ≠0)， 由k (1)＝1，k (-1)＝0得1102a b c a c a b c ++=⎧⇒+=⎨-+=⎩，，12b =． 又∵ x ≤k (x )≤21(1)2x +恒成立， 则由2102ax x c -+≥(a ≠o )恒成立得011404412a ac a c a c ⎧⎪>⎪⎪=-≤⇒==⎨⎪⎪+=⎪⎩，△，， 同理由21110222a x x c ⎛⎫--+-≥ ⎪⎝⎭恒或立可得 14a c ==． 综上，14a c ==，12b =， 所以2111()424k x x x =++． (3)证明：证法一(分析法)：22221(1)14()44()(1)n n n k n k n n +++==⇒=+， 要证原不等式，即证221123++…21(1)24n n n +>++， 因为21111(1)(1)(2)12n n n n n >=-+++++， 所以221123++...211111(1)2334n +>-+-++ (1111122224)n n n n n +-=-=++++， 所以11(1)(2)k k ++…12()2n k n n +>+． 证法二(数学归纳法)： 由22221(1)14()44()(1)n n n k n k n n +++==⇒=+． ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝23，左边＞右边， 所以当n ＝l 时，不等式成立．②假设当n ＝m 时，不等式成立， 即11(1)(2)k k ++…12()2m k m m +>+．当n＝m+1时，左边＝11(1)(2)k k++…2221124244()(1)2(2)(2)m m mk m k m m m m++++>+=++++由2222442(1)40 (2)3(2)(3)m m mm m m m+++-=> ++++．所以11(1)(2)k k++…112(1)()(1)(1)2mk m k m m+++>+++．即当n＝m+1时，不等式也成立．综合①②得11(1)(2)k k++…12()2nk n n+>+．。
2021_2022学年高中数学第2章推理与证明模块复习课第2课时推理与证明课后巩固提升含解析新人教A
模块复习课第2课时推理与证明课后篇巩固提升基础巩固1.由1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,…,得到1+3+…+(2n-1)=n2用的是()A.归纳推理B.演绎推理D.特殊推理,所以是归纳推理.2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=(x+1)3在x=-1处的导数值f'(-1)=0,所以x=-1是函数f(x)=(x+1)3的极值点.以上推理中()A.大前提错误B.小前提错误D.结论是正确的f(x),如果f'(x0)=0,x=x0不一定是函数f(x)的极值点,故选A.3.观察图形,可推断出“x”处应该填的数字是()B.183C.205D.268:中间数等于四周四个数的平方和,即2242+62=62,22+42+52+82=109,所以“x”处应该填的数字是32+52+72+102=183.4.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有()①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱锥.B.3个C.2个D.1个,①③一定属于相似体.5.通过圆与球的类比,由结论“半径为r的圆的内接四边形中,正方形的面积最大,最大值为2r2”猜想关于球的相应结论为“半径为R的球的内接六面体中,()”.A.长方体的体积最大,最大值为2R3B.正方体的体积最大,最大值为3R3C.长方体的体积最大,最大值为,最大值为R的球的内接六面体中,正方体的体积最大,设其棱长为a,当体积最大时,正方体体对角线的长度等于球的直径,即a=2R,得a=,体积V=a3=.故选D.6.用反证法证明命题“已知a,b为实数,若a,b≤4,则a,b不都大于2”时,应假设()A.a,b都不大于2B.a,b都不小于22 D.a,b不都小于2,应假设a,b都大于2,故选C.7.根据三角恒等变换,可得如下等式:cos θ=cos θ;cos 2θ=2cos2θ-1;cos 3θ=4cos3θ-3cos θ;cos 4θ=8cos4θ-8cos2θ+1;cos 5θ=16cos5θ-20cos3θ+5cos θ.依此规律,猜想cos 6θ=32cos6θ+a cos4θ+b cos2θ-1,则有a+b=.,所有各式中,各系数与常数项的和是1,因此32+a+b-1=1,于是a+b=-30.308.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定:(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;定义运算“”为(a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad);定义运算“”为(a,b)(c,d)=(a+c,b+d).设p,q∈R,若(1,2)(p,q)=(5,0),则,q)等于.(1,2)(p,q)=(p-2q,2p+q)=(5,0),所以解得故(1,2)(p,q)=(1,2)(1,-2)=(2,0).9.(1)已知a>2,b>2,求证:a+b<ab;ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a>b,用反证法证明:cos B>0.因为a>2,b>2,所以0<,0<,可得a+b>0,ab>0,又因为=1,所以a+b<ab.(2)假设cos B≤0,又因为B是三角形的内角,所以B∈,π,因为a>b,可得A>B,则A>,所以A+B>π,与A+B<π矛盾,即假设不成立,因此cos B>0成立.10.通过计算可得下列等式:22-12=2×1+1;32-22=2×2+1;42-32=2×3+1;……(n+1)2-n2=2n+1.将以上各式两边分别相加,得(n+1)2-1=2×(1+2+3+…+n)+n,即1+2+3+…+n=.类比上述方法,请你求出12+22+32+…+n2的值.3-13=3×12+3×1+1,33-23=3×22+3×2+1,43-33=3×32+3×3+1,…,(n+1)3-n3=3n2+3n+1.将以上各式两边分别相加,得(n+1)3-13=3(12+22+32+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n,所以12+22+32+…+n2=能力提升1.用数学归纳法证明“+…+>1”时,假设n=k时命题成立,则当n=k+1时,左端增加的项为()A.B.C.n=k时,左边为+…+,当n=k+1时,左边为+…+,所以增加的项为+…+-+…+=.故选D.2.某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题,甲和丁均说自己不会证明;乙说:丙会证明;丙说:丁会证明.已知四名同学中只有一人会证明此题,且只有一人说了真话.据此可以判定能证明此题的人是()A.甲B.乙D.丁,丁和丙的说法矛盾,他们有一人说了真话,则甲、乙说了假话,又四名同学中只有一人会证明此题,∴甲会证明,乙、丙、丁都不会证明,故选A.3.观察下列不等式:≥2×;;;≥2×75;……由以上不等式,可以猜测:当a>b>0,s,r∈N*时,有≥.,可知≥2×≥2×75=,故猜想当a>b>0,s,r∈N*时,.4.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则10b+c=.:(1)当只有①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;(2)当只有②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;(3)当只有③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.故答案为201.5.设函数f(x)=,a,b为正实数.(1)用分析法证明f+f;a+b>4,求证:af(b),bf(a)中至少有一个大于.要证f+f,只需证.因为a,b为正实数,只需证3(a2+b2+4ab)≤2(2a2+2b2+5ab),即证a2+b2≥2ab,因为a2+b2≥2ab显然成立,所以原不等式成立.(2)假设af(b)=,bf(a)=,因为a,b为正实数,所以2+b≥2a,2+a≥2b,两式相加得4+a+b≥2a+2b,即a+b≤4,与条件a+b>4矛盾,故af(b),bf(a)中至少有一个大于.6.对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(a n,b n),记T1(P)=a1+b1,T k(P)=b k+max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}(2≤k≤n),其中max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}表示T k-1(P)和a1+a2+…+a k两个数中最大的数.(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小.T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P').所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立.。
高中数学第三章推理与证明2数学证明课后巩固提升含解析北师大版选修1
学习资料数学证明[A组基础巩固］1．正弦函数是奇函数，f（x）＝sin(x2＋1）是正弦函数,因此f（x)＝sin（x2＋1）是奇函数．以上推理(）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：由于函数f（x)＝sin(x2＋1）不是正弦函数,故小前提不正确．答案：C2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证:a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a〈b，画线部分是演绎推理的（)A．大前提B．小前提C．结论D．三段论解析：由推理过程知画线部分是演绎推理的小前提．答案：B3．“π是无限不循环小数,所以π是无理数"．以上推理的大前提是(）A．实数分为有理数和无理数B．π不是有理数C．无理数都是无限不循环小数D．有理数都是有限循环小数解析：演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选C。
答案:C4．给出演绎推理的“三段论"：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提）已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提）则直线b∥直线a。
（结论）那么这个推理是(）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案:A5．下列几种推理过程是演绎推理的是（)A．5和2错误!可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．东升高中高二年级有15个班,1班有51人,2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．预测股票走势图 答案：A6．由“(a 2＋a ＋1）x 〉3，得x 〉错误!”的推理过程中，其大前提是________ 答案:a >0,b >c ⇒ab 〉ac7．在△ABC 中，A ＝105°,C ＝45°，AB ＝错误!，求得AC ＝1时其大前提为________． 解析：先求出B ＝180°－A －C ＝30°， 然后求边AC ,其大前提是正弦定理错误!＝错误!. 答案：错误!＝错误!8．已知a ＝错误!，函数f (x ）＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． 解析：当0〈a 〈1时函数f (x )＝a x 为减函数，（大前提) a ＝错误!∈（0,1），(小前提）所以,函数f (x ）＝(错误!）x 为减函数．（结论） 故由f (m )〉f (n ）得m <n . 答案：m 〈n9．所有边长都相等的凸多边形是正多边形，(大前提) 而菱形是所有边长都相等的凸多边形,(小前提) 所以，菱形是正多边形．(结论） (1）上面的推理形式正确吗？ （2）推理的结论正确吗？为什么？ 解析：（1)题中叙述的推理形式正确．（2)大前提是错误的(因为所有边长都相等,内角也都相等的凸多边形才是正多边形)，所以所得的结论是错误的．10．已知lg 2＝m ,计算lg 0。
高考总复习：推理与证明(文基础)巩固练习
【巩固练习】1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ）A ．28B ．32C ．33D ．272．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2- 3．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2； ③+；④-2中，与AC 等价的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值5．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）A ．5481a a a a >B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =6． 若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，则x y z ++=（ ）A ．123B ．105C ．89D ．587．函数x y 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 8.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ）A ．()**a b a a =B ．[()]()****a b a a b a =C ．()**b b b b =D ．()[()]****a b b a b b =9．已知函数1(),,(0,)2x f x a b ⎛⎫=∈+∞ ⎪⎝⎭，,2a b A f B f +⎛⎫== ⎪⎝⎭2ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A ,B C 是大小关系为（ ） A ．A B C ≤≤ B ．A C B ≤≤ C ．B C A ≤≤ D ．C B A ≤≤10．2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是（ ）A ．01a <<B ．1a <C ．1a ≤D ．01a <≤或0a <11．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -；（2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b -，b c -，则有a c -．则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．12．已知,a b 都是正数，,x y ∈R ，且1a b +=，求证：222()ax by ax by +≥+．13. 求证：22222()()()a b c d ac bd ++≥+14．用反证法证明：如果12x >，那么2210x x +-≠． 15．在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，n a ,n S ,21-n S 成等比数列. (1)求通项n a ；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .【参考答案与解析】1．B【解析】523,1156,20119,-=-=-=推出2012,32x x -==2．D【解析】1116a b c b c a +++++≤-，三者不能都小于2- 3．D【解析】①BC CD EC BD EC AE EC AC ++=+=+=；②2BC DC AD DC AC +=+=③FE ED FD AC +==；④2ED FA FC FA AC -=-=，都是对的4．D【解析】242T ππ==，[0,]2π已经历一个完整的周期，所以有最大、小值 5．B【解析】由1845a a a a +=+知道C 不对，举例1845,1,8,4,5n a n a a a a =====6．C【解析】3234344log [log (log )]0,log (log )1,log 3,464x x x x =====4342422log [log (log )]0,log (log )1,log 4,216x x x x =====423233log [log (log )]0,log (log )1,log 2,9x x x x ====89x y z ++=7．D【解析】13''22(4)11,216y x y x y --===-===- 8. A【解析】由定义()**=a b a b 可得[()]()()******==a b a a b b a b a ，即B 成立；再将()**=a b a b 中的a 换成b 即得()**b b b b =也成立，即C 成立；再将()**=a b a b 中的a 换成*a b ，即得()[()]****a b b a b b =也成立，即D 成立；而()**a b a a = 是由定义无法推得的.9．A【解析】0,0,a b >>∴22a b ab a b +≥≤=+∴22a b ab a b+≥≥+． 又函数1()(0,)2x f x ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭在是减函数， ∴A B C ≤≤．10．C【解析】（１）当0a =时，12x =-，符合题意； （２）当0a ≠时，要使方程有一正一负根，只需10a <，即0a <；要使方程有两个负根，只需440,20,10,a aa⎧⎪-≥⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎪⎩解得01a <≤．综上可知，1a ≤．11． 【答案】不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等12．【证明】要证原式成立，则只需要证明2222222ax by a x abxy b y +≥++， 即只需要证明2222())2,a a x b b y abxy -+-≥（ （＊） 即证明22(1)(1)2a a x b b y abxy -+-≥．因为1a b +=，所以（＊）式可变形为222,abx aby abxy +≥即22()2ab x y abxy +≥，因为,a b 都是正数，所以要证原式成立，只需证明222x y xy +≥因为对于一切,x y ∈R ，222x y xy +≥显然成立．所以原不等式得证．13.【证明】法一：要证22222()()()a b c d ac bd ++≥+成立，只需证明2222222222222a c b c a d b d a c b d acbd +++≥++，即只需证明22222b c a d acbd +≥即2()0bc ad -≥，∵2()0bc ad -≥恒成立，∴22222()()()a b c d ac bd ++≥+成立.法二：∵22222b c a d acbd +≥，∴2222222222222a c b c a d b d a c b d acbd +++≥++，∴22222()()()a b c d ac bd ++≥+14．【证明】假设2210x x +-=，则1x =-容易看出112-<，下面证明112-． 因为89<<，即3<32<，变形得112-+<综上得12x <，这与已知条件12x >矛盾 因此，假设不成立，即原命题成立．15．【解析】(1)∵n n a S ，,21-n S 成等比数列，∴)21(2-⋅=n n n S a S (2)n ≥， 又∵1n n n a S S -=-, ∴)21)((12--=-n n n n S S S S (2)n ≥， ∴2111=--n n S S (2)n ≥，∴}1{nS 是公差为2，首项为1的等差数列， ∴12)1(211-=-+=n n S n ， ∴121-=n S n , 当2n ≥时，)32)(12(23211211---=---=-=-n n n n S S a n n n , 又11a =不满足， ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥---==)2()32)(12(2)1(1n n n n a n . (2) 由(1)得：当1n =时，111S a ==，当2n ≥时，123222...1...1335(21)(23)n n S a a a a n n =++++=----⨯⨯-- 111111[(1)()...()]3352123n n =--+-+---123n =-. ∴1,(1)1,(2)23n n S n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
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【巩固练习】一、选择题1. 锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半； 钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半． 以上推理运用的推理规则是( )A ．类比推理B ．演绎推理C ．不完全归纳推理D ．完全归纳推理 2． 某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 ( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大3．在等差数列{}n a 中，若n a >0，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数列{}n b 中，若0,>1n b q >，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ）Ａ．4857b b b b +>+Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+Ｄ．4578b b b b +>+4． 已知c ＞1，+1a c c ＝ ，1b c c ＝ ，则正确的结论是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥.（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥.以下结论正确的是（ ）Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+≥二、填空题7．已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，将ab ，22+2a b ，1按照从小到大的顺序排列______________.8．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -； （2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b -，b c -，则有a c -．则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：__ ____．9．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：317210+<，7.512.5210+<， 82122210++-<，根据以上不等式的规律，请写出对正实数m n ，成立的条件不等式 ．10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．三、解答题11． 已知a b c >>， 求证：114.a b b c a c+≥--- 12．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．13. 设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >，且1a ≠）．（1）523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．14．已知椭圆具有性质：若,M N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线,PM PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k k 时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值。
试对双曲线()222210x y a b a b-=>>写出类似特征的性质，并加以证明。
【答案与解析】 1. 【答案】D【解析】所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．【答案】A【解析】由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色． 3．【答案】B【解析】由类比的概念得出结论. 4．【答案】B 【解析】5．【答案】D【解析】“2p q +≤”的否定是“>2p q +”．6．【答案】C【解析】观察各式，寻找各项与对应项数n 的关系，可知 数列357234，，，的通项为211n n ++. 可归纳出式子：1111231n ++++>+()21N 1n n n *+∈+. 答案C ：222111211(2)23n n n n-++++<≥，这是式子中的第n-1项。
7．【答案】B【解析】方法一：直接法22+2a b -ab =()2-02a b >，所以22+2a b >ab ； 2=+2a b ab >，所以ab <1.所以2212a b ab +<<.方法二：特殊值法。
取13=22a b =，，则22+2a b =54，3=4ab ，所以2212a b ab +<<.8．【答案】不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等【解析】严格根据“-”的定义。
9．【答案】当20m n += 【解析】观察三个式子“，可知3+17=7.5+12.5=((+=20，于是可归纳出：当20m n +=10．【答案】38a【解析】本题考查类比推理知识．可取特殊情况研究，当将一个正方体的一个顶点垂直放在另一个正方体的中心时，易知两正方体的重叠部分占整个正方体的18，故其体积为38a .11．【证明】a c a c ab bc a b b ca b b c a b b c---+--+-+=+----224b c a b a b b c --=++≥+=--，()a b c >> 1144,.a c a c a b b c a b b c a c --∴+≥∴+≥-----12．【证明】假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1， 又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd >1，这与上式相矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．13. 【解析】（1）由3332332255(3)(2)(3)(2)22221a a a a a a a a a a f g g f -----+--+-+=+=··， 又55(5)2a a g --=，因此(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+．（2）由(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+，即(23)(3)(2)(3)(2)g f g g f +=+， 于是推测()()()()()g x y f x g y g x f y +=+． 证明：因为()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=，所以()()2x y x y a a g x y +-+-+=，()2y y a a g y --=，()2y ya a f y -+=， 则()()()()()()22222x x y y x x y y x y x y a a a a a a a a a a f x g y g x f y g x y ----+-++--+-+=+==+··.14．【解析】双曲线22221x y a b-=的类似特征的性质为：若,M N 是双曲线上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线任意一点，当直线,PM PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k k 时，那么,PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值，证明如下：设双曲线上的点(,)M m n ，则(,)N m n --，又设双曲线任意一点00(,)P x y ，则2200022000PM PNy n y n y n k k x m x m x m-+-⋅=⋅=-+-， 其中22222222022,b b y x b n m b a a=-=-代入即得，所以22PM PN b k k a⋅==是与点P 位置无关的定值。