动点问题专项训练
动点问题专项训练
动点问题专项训练1．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）2．如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．63 如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）4．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则矩形ABCD 的面积是( )A ．10 8．16 C. 20 D ．365．如图，三个大小相同的正方形拼成六边形ABCDEF ，一动点P 从点A 出发沿着A →B →C →D →E 方向匀速运动，最后到达点E .运动过程中PEF ∆的面积（s ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）A．B ．C ．D ．D C P BA图1C PD 图2A B C D A BDC（第6题图） A B C D E . F.P.·6．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿 OA AB BO --的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）7.如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ． （1）当∠BQD =30°时，求AP 的长；（2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由．8、如图，直线OC 、BC 的函数关系式分别是x y =1和622+-=x y ，动点P 沿路线0→C →B 运动． （1）求点C 的坐标，并回答当x 取何值时21y y >？ （2）求COB ∆的面积.（3）当P OB ∆的面积是△COB 的面积的一半时，求出这时点P 的坐标.A ．B ．C ．D ．。
中考动点问题专项训练(含详细解析)
8. 已知：如图，在平行四边形
中，
动，速度为
；点 从点 出发，沿
，
，
方向匀速运动，速度为
，点 从点 出发，沿
方向匀速运
，连接并延长
交 的延长线于点
，过 作
，垂足是 ，设运动时间为
．
（ 1）当 为何值时，四边形
是平行四边形 ?
（ 2）证明：在 ， 运动的过程中，总有
；
（ 3）是否存在某一时刻 ，使四边形
的面积为矩形
面积的 ；
（ 4）是否存在某一时刻 ，使得点 在线段 的垂直平分线上．
6. 已知：如图①，在
速度为
；点
中， 由 出发沿
， 方向向点
，
，点
匀速运动，速度为
（
），解答下列问题：
由 出发沿 方向向点 匀速运动， ；连接 ．若设运动的时间为
（ 1）当 为何值时，
（ 2）设
的面积为
? ，求 与 之间的函数关系式；
的面积是平行四边形
不存在，说明理由．
面积的一半 ?若存在，求出相应的 值；若
9. 如图，在梯形 方向向点
中，
，
匀速运动，速度为
，
，
；点 从点 出发，沿
， 方向向点
．点 从点 出发沿折线
匀速运动，速度为
，
， 同时出发，且其中任意一点到达终点，另一点也随之停止运动，设点
， 运动的时间是
．
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因为
，
，
，
所以
，
所以
，
设点 ， 运动的时间是
，
，
形，
有
，
所以
，
解得：
动点问题专题训练
动点问题专题训练(共6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--动点问题专题训练1、如图，在直角梯形ABCD 中AB ∥CD, AD ⊥CD, AB=8, CD=12, AD=3,动点P 从点C 出发，以每秒2个单位的速度匀速向点D 运动，动点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度匀速向点B 运动.设P 、Q 同时出发，运动时间为t ，请回答下列问题：（1） t 为何值时，四边形PQBC 为平行四边形（2） t 为何值时，四边形PQBC 为等腰梯形（3） t 为何值时，四边形PQBC 为菱形若不能，怎样改变Q 点的速度使四边形PQBC 为菱形.（4） t 为何值时，PQ 将梯形ABCD 的面积平分（5） t 为何值时，PQ 将梯形ABCD 的周长平分（6） PQ 能否将梯形ABCD 的面积、周长同时平分改变Q 点的速度后能否平分（7） 连接DQ, t 为何值时△DPQ 是直角三角形（8） t 为何值时△DPQ 是等腰三角形（9） △DPQ 能否成为等边三角形（10） 连接AC 交PQ 于M,点M 的位置是否随着PQ 的运动而改变位置（11） 求出△AQM 的面积S 与t 的函数关系式.（12） t 为何值时PQ ⊥AC（13） t 为何值时DQ ⊥AC2、如图，在等边△ABC 中，已知AB ＝BC ＝CA＝4cm ，AD ⊥BC 于D ，点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1cm/s ；点P 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为2cm/s ，设它们运动的时间为x(s)。
⑴ x 为何值时，PQ ⊥AC ；⑵ 设△PQD 的面积为y ，当0＜x ＜2时，求y 与x 的函数关系式；最值3） 当0＜x ＜2时，求证：AD 平分△PQD 的面积；4） x 为何值时，ABDQ 是等腰梯形。
5） x 为何值时，PBQ 是正三角形6） x 为何值时，PDQ 的面积是ABC 的一半。
初二数学动点练习题
初二数学动点练习题1. 直线上的动点问题- 题目：在直线AB上，点C是动点，当点C沿着直线AB移动时，求证∠ACB是一个恒定的角度。
2. 圆上的动点问题- 题目：圆O的半径为5，点P是圆上的动点。
求证：无论点P在圆上如何移动，OP的长度始终为5。
3. 动点与线段的关系- 题目：线段AB的长度为10，点C是线段AB上的动点。
当点C从A向B移动时，求线段AC的长度与线段BC的长度之和是否恒定。
4. 动点与三角形的面积- 题目：三角形ABC的面积为30平方单位，点D是边AB上的动点。
求证：无论点D在AB上如何移动，三角形ACD的面积始终是三角形ABC面积的一半。
5. 动点与平行四边形的对角线- 题目：平行四边形ABCD中，点E是边AB上的动点，点F是边CD 上的动点，且EF始终是平行四边形的对角线。
求证：无论点E和点F如何移动，EF的长度始终等于AB和CD的长度之和。
6. 动点与圆的切线- 题目：圆O的半径为6，点P是圆O外的一点，点Q是圆O上的动点。
当点Q沿着圆O移动时，求证：点P到圆O的切线长度始终等于点P到点Q的距离。
7. 动点与相似三角形- 题目：三角形ABC与三角形DEF相似，点G是三角形ABC的动点，点H是三角形DEF的动点，且GH始终是三角形ABC和三角形DEF的对应边的平行线。
求证：无论点G和点H如何移动，三角形AGH与三角形DEF始终相似。
8. 动点与坐标系- 题目：在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(5,6)。
点C是线段AB上的动点，其坐标为(x,y)。
求证：无论点C如何移动，x和y的和始终等于点A和点B坐标的和。
练习题答案提示：- 对于直线上的动点问题，可以利用角度的恒定性，结合直线的性质来证明。
- 对于圆上的动点问题，可以利用圆的半径性质来证明。
- 对于动点与线段的关系问题，可以利用线段长度的加法性质来证明。
- 对于动点与三角形的面积问题，可以利用三角形面积的计算公式来证明。
动点问题专项训练
动点问题专项训练动点问题是数学中的一个重要概念，涉及到点的运动和位置的变化。
解决动点问题需要结合几何图形和数学知识，通过分析和计算，确定点的位置和路径。
本文将介绍一些常见的动点问题，并提供专项训练，以帮助读者提升解决这类问题的能力。
一、直线上两点之间的距离动点问题的基础是直线上两点之间的距离计算。
当已知两点的坐标时，我们可以利用勾股定理计算出它们之间的距离。
假设直线上有A(x1, y1)和B(x2, y2)两点，它们之间的距离AB可以用以下公式计算：AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]二、匀速直线运动问题在匀速直线运动问题中，点按照一定的速度直线移动。
已知点的初始位置、速度和时间，我们需要计算点在其他时间点的位置。
设点的初始位置为A(x1, y1)，速度为v，运动时间为t。
由于匀速直线运动，我们可以根据速度和时间计算出位移。
设点在t时间后到达的位置为B(x2, y2)，则有以下公式：x2 = x1 + v * ty2 = y1 + v * t三、直线运动与图形问题当直线运动和图形结合时，我们需要通过计算确定点与图形的位置关系。
下面以点到直线的问题为例进行说明。
假设有一直线L，方程为y = kx + b。
我们希望确定点P(x, y)与直线L的位置关系。
可以通过以下步骤来解决这个问题：1. 将点的坐标代入直线方程，得到y = kx + b。
2. 比较点的纵坐标y与直线方程中求得的纵坐标kx + b的大小关系，从而确定点与直线的位置关系。
四、圆的运动问题圆的运动问题是动点问题中的一个重要部分。
当圆在平面上做匀速圆周运动时，我们可以通过计算确定圆心的位置和圆周上任意一点的位置。
设圆的圆心为O(x1, y1)，半径为r，角速度为ω，时间为t。
由于圆周运动是一个周期性运动，我们可以根据时间计算出点在某时刻的位置。
点P(x, y)在时间t时到达圆周上的位置，可以通过以下公式计算得到：x = x1 + r * cos(ωt)y = y1 + r * sin(ωt)通过对上述公式的计算，可以确定点在圆上移动的位置和轨迹。
动点问题练习题
动点问题一．填空题（共2小题）1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF＝．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm 的速度向终点C运动．设点P运动的时间为t秒，当△PBQ是直角三角形时，t的值为．二．解答题（共18小题）3．如图，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为一边，在第二象限内作正方形ABCD．（1）求线段AB的长；（2）求点D的坐标；（3）点E在x轴上，将点E沿x轴向右平移3个单位得到点F，连接DE，BF，请直接写出四边形BDEF周长的最小值．4．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点E，F分别是边BC，AC上的点，且EF∥AB，线段CF与线段CE的数量关系为；（2）将图1中的△CEF绕点C逆时针旋转，旋转角为α，连接AF，BE，①若0°＜α＜90°，如图2，请判断线段AF与BE的数量关系并说明理；②若BC＝3，CE＝2，在旋转过程中，当点B，E，F三点在同一直线上时，直线BE与直线AC交于点M，请直接写出此时线段AM的长．5．已知，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，BD的垂直平分线EF分别交AB，CD于点E，F，垂足为O．（1）如图1，连接DE，BF．①求证：四边形DEBF为菱形；②直接写出AE的长．（2）如图2，动点P，Q分别从D，B两点同时出发，沿△DEA和△BCF各边匀速运动一周，即点P自D→E→A→D停止，点Q自B→C→F→B停止，在运动过程中，若点P，Q的运动路程分别为x，y（xy≠0），已知A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出x与y满足的数量关系式．6．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在y轴上，OB在x轴上，A（0，4），OB＝4，连接OC，∠COB＝30°，点B作BD⊥OC，垂足为D，动点E从O点以每秒2个单位长度的速度沿OD方向匀速运动到D点为止：点F沿线段CA以每秒个单位长度的速度由点C向点A匀速运动，到点A为止，点E与点F同时出发，点F随点E停止而停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段OD＝；（2）连接EF和FD，当△DEF的面积为时，求点E的坐标；（3）在整个运动过程中，当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，直接写出t的值．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P从点A出发，以2cm/s 的速度沿边AB向终点B运动，过点P作PQ⊥AB交边AC于点Q，当点Q与点C重合时，点P停止运动，点D为PQ中点，以DQ为边作正方形DEFQ，使点E与点A分别在直线PQ两侧．点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q在边AC上且不与点A重合时，正方形DEFQ的边长为cm，AQ的长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当点F落在边BC上时，求x的值；（3）当正方形DEFQ与△ABC重合部分为五边形时，请用含x的代数式直接写出此时正方形DEFQ与△ABC重合部分的面积．8．如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4dm，BC＝3dm．已知一点Q由点A 出发沿边AC向点C匀速运动，点P由点B出发沿边BA向点A匀速运动，两点的运动速度均为1dm/s．以AQ、PQ为邻边作平行四边形AQPD，连接DQ，交边AB于点E．假设P、Q两点运动的时间为t（单位：s）（0＜t＜4）．（1）求AE的长度；（用含有t的代数式表示）（2）当t取何值时，平行四边形AQPD为矩形？（3）如图2所示，当t取何值时，AP⊥QD？9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A→B→C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD向点D运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．（1）两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的？（2）是否存在某一时刻，点P与点Q之间的距离为cm？若存在，直接写出运动所需的时间为；若不存在，请说明理由．（3）直接写出PQ长度的最小值．10．如图1．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，则t的值为；（3）如图2，过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t＝时，四边形EPQG为矩形；（4）当t＝时，△PQF为等腰三角形．11．如图是4×4的正方形网格，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB1C1，在图①中作出△AB1C1；（2）在图②中作格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且周长比为；（3）在图③中作一个与△ABC相似且面积最大的格点△A3B3C312．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝x于点D，连接OC，AD．（1）填空：k＝，点A的坐标是（，）；（2）求证：四边形OADC是平行四边形；（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O 运动，直到点O为止，设两个点的运动时间均为t秒．①当t＝1时，△CPQ的面积是．②当点P，Q运动至四边形CP AQ为矩形时，请直接写出此时t的值．13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．（1）根据题意知：CQ＝，CP＝；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（3）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？14．如图所示，在平面直角坐标系内，点A、B在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点Q在边AB上，且AQ＝2，过Q作QR⊥AB，垂足为Q，QR交折线AC﹣CB于R（如图1），当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿AB﹣BC﹣CA移动，设移动时间为t秒（如图2）．（1）BQ＝.（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，QP∥AC？（3）t的值＝秒时，直线QR经过点P．（4）当点P在边AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC 内部，此时的取值范围是．15．如图，直线l1：y＝﹣x+4与直线l2：y＝2x﹣2的图象交于点A，与x轴交于点B．（1）填空：A的坐标；B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O→C→A的路线向点A运动，同时动点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度．沿射线BA方向运动，过点Q作直线l∥y轴，交l2于点M．当点P到达点A时，点Q也停止运动，设动点P运动的时间为t秒，△PQM的面积为S．①当P在OC上运动时，求S与t的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；②若S＝，请直接写出此时t的值．16．如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点C在正比例函数y＝x上，顶点B的坐标为（m，n），且m、n满足＝﹣（n﹣）2．（1）求点B、C的坐标；（2）在y轴上存在一点D，使得以O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，求D点的坐标；（3）如图2，∠AOC的角平分线与BC相交于点E，在OE上有一点F，连接CF，动点P从点C出发，以1个单位每秒的速度匀速运动到点F，再以2个单位每秒的速度匀速运动到点O，且到点O之后停止运动，求点P走完全程所需的最少时间，及此时EF的长．17．在平面直角坐标系中，矩形AOCE的顶点E的坐标为（8，6），连接AC，动点P从点C出发，沿CA匀速运动，动点Q从点A出发沿AO匀速运动，两点同时出发，运动速度均为每秒1个单位长度，点Q到达点O时两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t ＞0），连接PQ，过点P作PG⊥PQ交OC于点G，延长GP交EC或AE于点F．（1）如图1，当PQ垂直平分GF时，求证：P A＝PC；（2）如图2，当FG⊥OC时，①求证：四边形AQPF是矩形；②直接写出此时的值；（3）当点F在边CE上时，①当点F与点E重合时，直接写出点P的坐标；②若，直接写出t的值．18．如图，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；与点P同时，点Q从D点出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s；过点Q作QE∥AC，交DC于点E．设运动时间为t（s），（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t＝时，BP长为cm，AQ长为cm；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）当0＜t＜时，是否存在某一时刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A 出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）20．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C 移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？。
(中考数学)动点问题专题训练(含答案)
中考专题训练 动点问题例1. 如图， 在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =． 点P 从点B 出发， 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动， 与此同时， 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发， 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移， 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时， 点P 与直线m 同时停止运动， 设运动时间为t 秒(0)t >．（1） 当2t =时， 连接DE 、DF ，求证： 四边形AEDF 为菱形；（2） 在整个运动过程中， 所形成的PEF ∆的面积存在最大值， 当PEF ∆的面积最大时， 求线段BP 的长；（3） 是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在， 请求出此时刻t 的值；若不存在， 请说明理由 ．【解答】（1） 证明： 当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点， 如答图 1 所示 ． 又EF AD ⊥ ，EF ∴为AD 的垂直平分线，AE DE ∴=，AF DF =．AB AC = ，AD BC ⊥于点D ，AD BC ∴⊥，B C ∠=∠．//EF BC ∴，AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=，AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形 ．（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽， ∴EF AH BC AD =，即82108EF t -=，解得：5102EF t =-． 221155510(10)210(2)10(0)222223PEF S EF DH t t t t t t ∆==-=-+=--+<< ， ∴当2t =秒时，PEF S ∆存在最大值， 最大值为210cm ，此时36BP t cm ==．（3） 解： 存在 ． 理由如下：①若点E 为直角顶点， 如答图 3①所示，此时//PE AD ，2PE DH t ==，3BP t =．//PE AD ，∴PE BP AD BD =，即2385t t =，此比例式不成立， 故此种情形不存在； ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示，此时//PF AD ，2PF DH t ==，3BP t =，103CP t =-．//PF AD ，∴PF CP AD CD =，即210385t t -=，解得4017t =；③若点P 为直角顶点，如答图③所示 ．过点E 作EM BC ⊥于点M ，过点F 作FN BC ⊥于点N ，则2EM FN DH t ===，////EM FN AD ．//EM AD ，∴EM BM AD BD =，即285t BM =，解得54BM t =， 57344PM BP BM t t t ∴=-=-=． 在Rt EMP ∆中， 由勾股定理得：2222227113(2)()416PE EM PM t t t =+=+=． //FN AD ，∴FN CN AD CD =，即285t CN =，解得54CN t =， 5171031044PN BC BP CN t t t ∴=--=--=-． 在Rt FNP ∆中， 由勾股定理得：22222217353(2)(10)85100416PF FN PN t t t t =+=+-=-+． 在Rt PEF ∆中， 由勾股定理得：222EF PE PF =+， 即：2225113353(10)()(85100)21616t t t t -=+-+ 化简得：21833508t t -=， 解得：280183t =或0t =（舍 去） 280183t ∴=． 综上所述， 当4017t =秒或280183t =秒时，PEF ∆为直角三角形 ．例2. 如图， 在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板Rt ABC ∆和Rt ADC ∆拼在一起，使斜边AC 完全重合， 且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，90ABC ADC ∠=∠=︒，30CAD ∠=︒，4AB BC cm ==（1） 填空：AD = )cm ，DC = ()cm（2） 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发， 且分别在AD ，CB 上沿A D →，C B →方向运动， 当N 点运动到B 点时，M 、N 两点同时停止运动， 连接MN ，求当M 、N 点运动了x 秒时， 点N 到AD 的距离 （用 含x 的式子表示）（3） 在 （2） 的条件下， 取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设PMN ∆的面积为2()y cm ，在整个运动过程中，PMN ∆的面积y 存在最大值， 请求出y 的最大值 ．（参考数据sin 75︒=sin15︒=【解答】解： （1）90ABC ∠=︒ ，4AB BC cm ==，AC ∴===，90ADC ∠=︒ ，30CAD ∠=︒，12DC AC ∴==，AD ∴==；故答案为：，；（2） 过点N 作NE AD ⊥于E ，作NF DC ⊥，交DC 的延长线于F ，如图所示：则NE DF =，90ABC ADC ∠=∠=︒ ，AB BC =，30CAD ∠=︒，45ACB ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，180456075NCF ∴∠=︒-︒-︒=︒，15FNC ∠=︒，sinFC FNCNC ∠=，NC x=，FC x∴=，NE DF x∴==+，∴点N到ADx+；（3）sinFN NCFNC ∠=，FN x∴=，P为DC的中点，PD CP∴==PF x∴=PMN∴∆的面积y=梯形MDFN的面积PMD-∆的面积PNF-∆的面积111)) 222x x x x=+-+--+2x x=+，即y是x的二次函数，0<，y∴有最大值，当x==时，y=．例3. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，2BC =，边BC 在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO BD ⊥，垂足为O ，连接OA 、OP ．（1） 请直接写出线段BC 在平移过程中， 四边形APQD 是什么四边形？（2） 请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系， 并加以证明；（3） 在平移变换过程中， 设OPB y S ∆=，(02)BP x x =……，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值 ．【解答】（1） 四边形APQD 为平行四边形；（2）OA OP =，OA OP ⊥，理由如下：四边形ABCD 是正方形，AB BC PQ ∴==，45ABO OBQ ∠=∠=︒，OQ BD ⊥ ，45PQO ∴∠=︒，45ABO OBQ PQO ∴∠=∠=∠=︒，OB OQ ∴=，在AOB ∆和OPQ ∆中，AB PQABO PQO BO QO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB POQ SAS ∴∆≅∆，OA OP ∴=，AOB POQ ∠=∠，90AOP BOQ ∴∠=∠=︒，OA OP ∴⊥；（3） 如图， 过O 作OE BC ⊥于E ．①如图 1 ，当P 点在B 点右侧时，则2BQ x =+，22x OE +=， 1222x y x +∴=⨯，即211(1)44y x =+-， 又02x ……，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ；②如图 2 ，当P 点在B 点左侧时，则2BQ x =-，22x OE -=， 1222x y x -∴=⨯ ，即211(1)44y x =--+， 又02x ……，∴当1x =时，y 有最大值为14； 综上所述，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ．例4. 如图， 在平面直角坐标系中，O 为原点， 四边形ABCO 是矩形， 点A ，C 的坐标分别是(0,2)A 和C ，0)，点D 是对角线AC 上一动点 （不 与A ，C 重合） ，连结BD ，作DE DB ⊥，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．（1） 填空： 点B 的坐标为 ；（2） 是否存在这样的点D ，使得DEC ∆是等腰三角形？若存在， 请求出AD 的长度；若不存在， 请说明理由；（3）①求证：DE DB =； ②设AD x =，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式 （可 利用①的结论） ，并求出y 的最小值 ．【解答】解： （1） 四边形AOCB 是矩形，2BC OA ∴==，OC AB ==90BCO BAO ∠=∠=︒，B ∴2)．故答案为2)．（2） 存在 ． 理由如下：2OA = ，OC =，tan AO ACO OC ∠== ， 30ACO ∴∠=︒，60ACB ∠=︒①如图 1 中， 当E 在线段CO 上时，DEC ∆是等腰三角形， 观察图象可知， 只有ED EC =，30DCE EDC ∴∠=∠=︒，60DBC BCD ∴∠=∠=︒，DBC ∴∆是等边三角形，2DC BC ∴==，在Rt AOC ∆中，30ACO ∠=︒ ，2OA =，24AC AO ∴==，422AD AC CD ∴=-=-=．∴当2AD =时，DEC ∆是等腰三角形 ．②如图 2 中， 当E 在OC 的延长线上时，DCE ∆是等腰三角形， 只有CD CE =，15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒，75ABD ADB ∴∠=∠=︒，AB AD ∴==，综上所述， 满足条件的AD 的值为 2 或（3）①如图 1 ，过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ，交OC 于N ，(0,2)A 和C ，0)，∴直线AC 的解析式为2y x =+，设(,2)D a +，2DN ∴=+，BM a =90BDE ∠=︒ ，90BDM NDE ∴∠+∠=︒，90BDM DBM ∠+∠=︒，DBM EDN ∴∠=∠，90BMD DNE ∠=∠=︒ ，BMD DNE ∴∆∆∽，∴DE DN BD BM ===②如图 2 中， 作DH AB ⊥于H ．在Rt ADH ∆中，AD x = ，30DAH ACO ∠=∠=︒，1122DH AD x ∴==，AH x ==，BH x ∴=， 在Rt BDH ∆中，BD ==，DE ∴==， ∴矩形BDEF的面积为22612)y x x ==-+，即2y x =-+，23)y x ∴=-+，0>，3x ∴=时，y ．例5. 已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图 1 ，连接BC ．（1） 填空：OBC ∠= 60 ︒；（2） 如图 1 ，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3） 如图 2 ，点M ，N 同时从点O 出发， 在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动， 当两点相遇时运动停止， 已知点M 的运动速度为 1.5 单位/秒， 点N 的运动速度为 1 单位/秒， 设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？【解答】解： （1） 由旋转性质可知：OB OC =，60BOC ∠=︒，OBC ∴∆是等边三角形，60OBC ∴∠=︒．故答案为 60 ．（2） 如图 1 中，4OB = ，30ABO ∠=︒，122OA OB ∴==，AB ==11222AOC S OA AB ∆∴==⨯⨯=BOC ∆ 是等边三角形，60OBC ∴∠=︒，90ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒，AC ∴==2AOC S OP AC ∆∴===．（3）①当803x <…时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则sin 60NE ON x =︒= ，11 1.522OMN S OM NE x x ∆∴==⨯ ，2y x ∴=．83x ∴=时，y 有最大值， 最大值=． ②当843x <…时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动 ．作MH OB ⊥于H ． 则8 1.5BM x =-，sin 60 1.5)MH BM x =︒=- ，212y ON MH x ∴=⨯⨯=+．当83x =时，y 取最大值，y < ③当4 4.8x <…时，M 、N 都在BC 上运动， 作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==，12y MN OG ∴== ，当4x =时，y 有最大值， 最大值=，综上所述，y 有最大值， ．。
七上数学动点问题专项训练
七上数学动点问题专项训练1.点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度。
已知，点B的速度比点A的速度快4个单位长度/秒。
（1）求出点A、B两点运动的速度，单位：单位长度/秒；（2）在数轴上标出A、B两点从原点出发3秒后的位置。
2.在一个600米的环形跑道上，点A、B两个加油站相距160米。
如果甲、乙两个人从不同的加油站同时同向出发，甲每秒跑4.5米，经过40秒之后，两个人相距多远？3.在一个300米的环形跑道上，甲和乙两名运动员同时从同一点出发，分别以每秒25米和每秒20米的速度相向而行。
当两人相遇时，跑了多少时间？4.在一个正方形的操场上，小明和小红两名同学同时从操场的一个顶点出发，沿着正方形的边开始跑步。
小明向北跑，小红向东跑，当小明跑到另一个顶点时，小红才跑了半圈。
问小明和小红各跑了多少路程？5.在一个直角坐标系中，A、B两点分别位于第四象限和第二象限。
已知A点的坐标为（-3a，4a），B点的坐标为（b，-9），且AB平行于x轴。
求A、B两点的坐标。
6.在一个长为12厘米，宽为4厘米的长方形中，有一个动点P从长方形的左上角开始，按逆时针方向绕着长方形边缘移动。
当点P再次回到起始位置时，所经过的路程是多少厘米？7.一个自行车队正在训练，第一名队员以每小时50千米的速度行驶。
当他行驶了8分钟后，第二名队员从后面追赶上来。
他需要多少时间才能追上第一名队员？8.一条长度为21厘米的线段AB，被分成三段，每段的长度分别为a、b、c（单位：厘米）。
已知a、b、c都是整数，且满足a+b＞c的条件。
求出这三段线段的长度。
9.在一个边长为10厘米的正方形中，有一个动点P从A点（0,0）开始，按逆时针方向绕正方形边缘移动。
当点P再次回到起始位置时，所经过的路程是多少厘米？10.在一个长为6厘米，宽为4厘米的长方形中，有一个动点Q从长方形的右上角开始，按顺时针方向绕着长方形边缘移动。
中考数学总复习《动点问题》专项提升训练(带答案)
中考数学总复习《动点问题》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________例题1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）A B C D解：连接BD，过B作BE⊥AD于E，当0≤x＜2时，点M在AB上在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4∴AB＝AD∴△ABD是等边三角形∴AE＝ED=12AD＝2，BE=√3AE＝2√3∵AM＝2x，AN＝x∴AMAN=ABAE=2∵∠A＝∠A∴△AMN∽△ABE∴∠ANM＝∠AEB＝90°∴MN=√AM2−AN2=√3xx×√3x=√32x2∴y=12当2≤x≤4时，点M在BC上y=12AN⋅BE=12x×2√3=√3x综上所述，当0≤x＜2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部分故选：A．2．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，P A﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC＝．解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用两点之间线段最短，得到P A﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25设BE的长度为t则AB＝t+1∴（t+1）2+t2＝25即：t2+t﹣12＝0∴（t+4）（t﹣3）＝0解得t＝﹣4或t＝3由于t＞0∴t＝3∴AB＝t+2＝3+2＝5，AD＝BC＝3×2＝6．故答案为：6．3．如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D（BD＞AD），动点P从B点出发，沿折线BA→AC方向运动，运动到点C停止，设点P的运动路程为x，△BPD的面积为y，y与x的函数图象如图②，则BC的长为．解：由题意得：AB+AC＝2√13，△ABD的面积＝3∵AB＝AC∴AB＝AC=√13∵AD⊥BC∴∠ADB＝90°，BC＝2BD∴AD2+BD2＝AB2∴AD2+BD2＝13∵△ABD的面积＝3∴12AD•BD＝3∴AD•BD＝6∴（AD+BD）2＝AD2+2BD•AD+BD2＝13+2×6＝25∴AD+BD＝5或AD+BD＝﹣5（舍去）∵AD2+BD2＝AB2∴BD2+（5﹣BD）2＝13∴BD＝2或BD＝3当BD＝2时，AD＝5﹣BD＝3（舍去）当BD＝3时，AD＝5﹣BD＝2∴BC＝2BD＝6故答案为：6．4．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC＝60°，OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y 轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F 以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求直线AD的解析式；（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．（1）解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x1＝6，x2＝﹣2∴OC＝6∵四边形AOCB是菱形，∠AOC＝60°∴OA＝OC＝6，∠BOC=1∠AOC＝30°2∴CD＝OC•tan30°＝6×√3=2√33∴D（6，2√3）过点A作AH⊥OC于H∵∠AOH＝60°OA＝3，AH＝OA•sin60°＝6×√32=3√3∴OH=12∴A（3，3√3）设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0）代入A（3，3√3），D（6，2√3）得：{3k+b=3√36k+b=2√3解得：{k=−√3 3b=4√3∴直线AD的解析式为y=−√33x+4√3；（2）解：由（1）知在Rt△COD中，CD=2√3，∠DOC＝30°∴OD=2CD=4√3，∠EOD＝90°﹣∠DOC＝90°﹣30°＝60°∵直线y=−√33x+4√3与y轴交于点E∴OE=4√3∴OE＝OD∴△EOD是等边三角形∴∠OED＝∠EDO＝∠BDF＝60°，ED=OD=4√3∴∠OFE＝30°＝∠DOF∴DO=DF=4√3①当点N在DF上，即0≤t≤2√3时由题意得：DM=OD−OM=4√3−t，DN=4√3−2t过点N作NP⊥OB于P则NP＝DN×sin∠PDN＝DN×sin60°＝（4√3−2t）×√32=6−√3t∴S=12DM×NP=12（4√3−t）×（6−√3t）=√32t2﹣9t+12√3；②当点N在DE上，即2√3＜t≤4√3时由题意得：DM＝OD﹣OM=√3−t，DN＝2t﹣4√3过点N作NT⊥OB于T则NT ＝DN •sin ∠NDT ＝DN •sin60°＝（2t ﹣4√3）×√32=√3t −6 ∴S =12DM ⋅NT =12(4√3−t)(√3t −6)=−√32t 2+9t −12√3； 综上，S ={√32t 2−9t +12√3(0≤t ≤2√3)−√32t 2+9t −12√3(2√3＜t ≤4√3)；（3）解：存在，分情况讨论：①如图，当AN 是直角边时，则CN ⊥EF ，过点N 作NK ⊥CF 于K∵∠NFC ＝30° OE =4√3 ∴∠NCK ＝60° OF =√3OE =12 ∴CF ＝12﹣6＝6 ∴CN =12CF =3∴CK ＝CN ×cos60°＝3×12=32 NK ＝CN ×sin60°＝3×√32=3√32 ∴将点N 向左平移32个单位长度，再向下平移3√32个单位长度得到点C ∴将点A 向左平移32个单位长度，再向下平移3√32个单位长度得到点Q∵A(3，3√3) ∴Q （32，3√32）； ②如图，当AN 是对角线时，则∠ACN ＝90°，过点N 作NL ⊥CF 于L∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60° ∴△AOC 是等边三角形 ∴∠ACO ＝60°∴∠NCF＝180°﹣60°﹣90°＝30°＝∠NFC∴CL＝FL=12CF＝3∴NL＝CL•tan30°＝3×√33=√3∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移√3个单位长度得到点N ∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移√3个单位长度得到点Q ∵A(3，3√3)∴Q（6，4√3）；∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是(32，3√32)或（6，4√3）．练习题1．如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP 长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）A．15√52B．√427C．17D．5√32．如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（）A．（4，2√3）B．（4，4）C．（4，2√5）D．（4，5）3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（）A B C D4．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（）A B C D5．如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ 的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A B C D6．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q 为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是．8．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t之间的函数图象如图2所示．＝48cm2；③当14＜t＜22时，y 给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE＝110﹣5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t＝14.5．其中正确结论的序号是．9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，求AC•EF的值．10．在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（√3，0），B（0，1），D（2√3，1），矩形EFGH的顶点E（0，12），F(−√3，12)，H（0，32）．（1）填空：如图①，点C的坐标为点G的坐标为；（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′FG′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S．①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当2√33≤t≤11√34时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．11．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求CFBG的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．12．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF 时，求线段CF的长；①当m=13②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y 与m的关系式．参考答案1．C．2．C．3．A．4．A．5．B．6．8．7．72≤m≤132．8．①③⑤．9．30．10．（1）（√3，2）（−√3，32）；（2）当2√33≤t≤11√34时，则√316≤S≤√3．11．（1）√2；（2）BE＝2MN MN⊥BE （3）9π．12．（1）①√23；②h＝﹣m2+m＝﹣（m−12）2+14，∴m=12时，h最大值是14；（2）y={1−12m−1−m2(1+m)+m2(0≤m≤12) 1+m22m2+2m(m＞12)．。
简单动点问题专题训练(附答案)
动点问题专题训练1、（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒，∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点，∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米，∴835PC =-=厘米，∴PC BD =．又∵AB AC =，∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ····················· （4分）②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t ===厘米/秒． ················· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得1532104x x =+⨯， 解得803x =秒． ∴点P 共运动了803803⨯=厘米． ∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．·········（12分）2.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．3.（09济南）如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形 ∴3KH AD ==． ······················ 1分在Rt ABK △中，sin 454AK AB =︒== 2cos 454242BK AB =︒==················ 2分在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==∴43310BC BK KH HC =++=++= ············· 3分（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥∴MN DG ∥∴3BG AD ==∴1037GC =-= ····················· 4分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，．∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△ ∴CNCMCD CG = ······················ 5分即10257t t-=解得，5017t = ······················ 6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =-∴103t = ························ 7分（图①） A D C B KH （图②）A DCB G M N②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=-在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535tt -=解得258t = ······················· 8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠，∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC =即553t t-=∴258t = ························ 8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025t FC C MC t ===-解得6017t = 解法二： ∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴FC MCHC DC =即1102235tt-=A DC B M N（图③） （图④）A DCB M NH E（图⑤）A DCBH NM F∴6017 t=综上所述，当103t=、258t=或6017t=时，MNC△为等腰三角形·9分4..如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．分析：（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AO M=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用。
数轴上的动点问题训练(10题)
-1-2-33210O B A P 0123-3-2-1B A 数轴上的动点问题最新版1．如图，已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-1，3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x 。
（1）数轴上是否存在点P ，使点P 在点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值，若不存在，请说明理由；（2）当点P 以每分钟1个单位长度的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B 以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟时点P 到点A 、点B 的距离相等？（3）如图，若点P 从B 点出发向左运动（只在线段AB 上运动），M 为AP 的中点，N 为PB 的中点，点P 在运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出MN 的长。
2．如图，A 、B 、C 是数轴上的三点，O 是原点， BO=3，AB=2BO ，5AO=3CO ．（1）写出数轴上点A 、C 表示的数；（2）点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒 2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运 动，M 为线段AP 的中点，点N 在线段CQ 上，且 CN=32CQ ．设运动的时间为t （t ＞0）秒． ①数轴上点M 、N 表示的数分别是 （用含t 的 式子表示）； ②t 为何值时，M 、N 两点到原点O 的距离相等？3．如图，数轴上有A 、B 、C 、D 四个点，分别对应数a 、b 、c 、d ，且满足a 、b 是方程91x +=的两根（a b <），2(16)c -与20d -互为相反数。
（1）求a 、b 、c 、d 的值；（2）若A 、B 两点以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时C 、D 两点以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，并设运动时间为t 秒。
问t 为多少时，A 、B 两点都运动在线段CD 上（不与C 、D 两个端点重合）？（3）在（2）的条件下，A 、B 、C 、D 四个点继续运动，当点B运动到点D 的右侧时，问是否存在时间t ，使B 与C 的距离是A 与D 的距离的4倍，若存在，求时间t ，若不存在，请说明理由。
(完整word版)初中数学几何的动点问题专题练习-附答案版
4动点问题专题训练1、如图，已知 △ ABC 中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D 为AB 的中点. (1)如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点 Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.① 若点Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1秒后，△ BPD 与厶CQP 是 否全等，请说明理由；② 若点Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使厶BPD 与厶CQP 全等？(2)若点Q 以②中的运动速度从点 C 岀发，点P 以原来的运动速度从点 B 同时岀发， 都逆时针沿 △ ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点Q 第一次在△ ABC 的哪条边上相遇?1. 解：(1［①丁t1秒，BP CQ 31 3厘米，AB 10厘米， 点D 为AB 的中点, BD 5厘米.又 •- PC BC BP, BC 8厘米， PC8 3 5厘米，PC BD . 又•- AB AC ，B C ，•••△ BPD CQP ................................................... （4分）②•V P V Q ，• BP CQ ，又••△ BPD CQP ， B C ，则 BP PC 4，CQ BD 5，••B p —秒，33CQ 5 15 ,,•厘米/秒.（7 分）t4 43（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第 -次相遇，•- 80 2 28 24，由题意，得 15 x 3x 2 10，解得x 80秒. 3•••点P 共运动了80380厘米.•••点P、点Q在AB边上相遇,480 （12 分）•••经过 秒点P 与点Q 第一次在边 AB 上相遇.332、直线y x 6与坐标轴分别交于 A B 两点，动点P 、Q 同时从0点岀发，同时到达 A4点，运动停止•点 Q 沿线段0A 运动，速度为每秒1个单位长度，点2.解（1） A （8，0） B （0，6） ....... 1 分 （2） QOA 8，OB 6 AB 108Q 点Q 由O 到A 的时间是 8 （秒）16 10点P 的速度是 2 （单位/秒） 1分8当P 在线段OB 上运动（或0 < t < 3）时，OQ t , OP 2tt 28 24「12 24 12 2P 沿路线O T B T A 运动.（1 ）直接写岀A B 两点的坐标;（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△ OPQ 的面积为S ，求岀 间的函数关系式；48（3 ）当S 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点5顶点的平行四边形的第四个顶点0、 P 、Q 为M 的坐标.P 在线段BA 上运动（或3 t < 8）时，OQ t ，AP 6 10 2t 16 2t ,如图，作PDS ^OQ2（自变量取值范围写对给 -丄PD OA 于点D ，由 -BO 刍5址，得 PD 心，AB 5PD3t 2 51分，否则不给分.）80（12 分）1，——，，M 3—，5555555、在Rt △ ABC 中，/ C =90° AC = 3 , AB = 5 •点P 从点C 岀发沿CA 以每秒1个单位长的速度 向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点Q 从点A 岀发沿AB 以每秒1个单 位长的速度向点 B 匀速运动•伴随着 P 、Q 的运动，DE 保持垂直 平分PQ 且交PQ 于点D,交折线 QBBGCP 于点E.点P 、Q 同 时岀发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止.设点P 、 Q 运动的时间是t 秒(t > 0). (1) _____________________ 当t = 2时，AP = ___________，点Q 到AC 的距离是 _____________ ; (2) 在点P 从C 向A 运动的过程中，求△ APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；(不必写岀t 的取值范围) (3) 在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成 为直角梯形？若能， 求t 的值.若不能，请说明理由； (4) 当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值.B 图165.解：(1) 1，8;5 (2)作 QF L AC 于点 F ,如图 3，AQ = Cf= t ，• AP 3 t .由厶 AQ &A ABC BC J 523^ 4， 得QF 4 1 42(3 t),， (3 )能.①当DE// QB 时，如图4. •••DEL PQ ••• PQL QB 四边形 QBED 是 直角梯形. 此时/ AQ P90°. B由厶APQ ABC 得 冬 ,AC AB即-3-.解得t - 3 5 8 ②如图5,当PQ// BC 时, 此时/ APQ =90°. DEL BC 四边形QBED 是直角梯形.由厶 AQP ABC AQ AP AB AC ， B15 8 t 5或t 生 2 14①点 连接 DE 经过点C. PC P 由C 向A 运动， QC 作QQBC 于点G,如图6. t , QC 2 QG 2 CG 2 [3(5 t)]2 [4 -(5 t)]2. 5 5D3 4 5QC2，得t2[-(5 t)f [4 —(5 t)f，解得t -.5 5 2②点P由A向C运动, DE经过点C,如图7.(6 t)2- 2 4 2L(5 t)]2[4 -(5 t)]2, t5 5451—(1 ) ①当度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为;1 1②当度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为(2 ) 当90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.6 如图，在Rt△ABC 中，ACB 90°B 60°, BC 2 •点O是AC 的中点，过点O的直线I从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB 边于点D •过点C 作CE // AB交直线I于点E，设直线I的旋转角为 .6.解(1)① 30，1;② 60，1.5 ; (4)分（备用图）（2）当/口=900时，四边形EDB（是菱形.T/a =Z ACB=90，「. BC/ ED•••CE/AB二四边形EDB（是平行四边形在Rt △ ABC中, / AC孑90°,/ B=600, BC=2,•••/ A=300.••• AB=4, AG=2、、-.• AO=1AC =、、3 . .......................... 8 分2在Rt△ AOD中, / A=300,.・. AD=2.•BD=2.•BD=BC又••四边形EDBC是平行四边形,•四边形EDB（是菱形10分由PC27 如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC , AD 3, DC 5, AB <2,Z B 45 .动点 M从B 点岀发沿线段 BC 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点岀发沿线 段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动•设运动的时间为 t 秒.求BC 的长.当MN // AB 时，求t 的值.试探究：t 为何值时， △ MNC 为等腰三角形.7.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC 于K , DH BC 于H ，则四边形 ADHK 是矩形•- KH AD 3................................................................. (2)如图②，过D 作DG // AB 交BC 于G 点，则四边形 ADGB 是平行四边形•- MN •- MN ••• BG •- GC由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，CN t , CM 10 2t . •/ DG // MN:丄 NMC / DGC又/C / C • △ MNC GDC • CN CM C D即t(1) (2) (3) 在 Rt A ABK 中,AK AB@n454,2.# 4 在Rt A CDH 中，由勾股定理得, HC 52 42 33 3 10// AB// DG AD3 10 3 7CG 10 2t7 t 50 .• 17（3）分三种情况讨论:CBK ABgcos4544二 BC BK KH HC 4（图①）分3（图②）3 4 5解得,57 分①当NC...t 卫3MC 时，如图③，即t 10 2tM （图③） （图④）②当MN NC 时，如图④，过 N 作NE 解法一： MC 于E 由等腰三角形三线合一性质得 在 Rt △CEN 中, cosc 又在 Rt △DHC 中, 1 EC MC 2 EC 5 t NCCH cosc CD 解得t 5 25 解法二： •- / C ••• △NEC DHC NC EC / C ，DHC NEC 90 -10 2t 5 t 2DC 即 -5 HC5 t 3 25 8 ③当 MN MC 时，如图⑤，过 M 作MFCN 于 F 点.FC - NC2解法一: （方法同②中解法一）cosC FC 解得t MC 60 It 2 10 2t 17 解法二： •- / C •△MFC DHC FC MCH M（图⑤）/ C, MFC DHC 90HC DC图1图2 图310.解：（1）正确. •••• 证明：在AB 上取一点M ，BM BE . BMEQCF 是外角平分线，DCF 45°， ECF 135° . AME ECF .Q AEB BAE 90。
七年级数学上册 曲线上的动点问题专题训练
七年级数学上册曲线上的动点问题专题训练问题一：动点问题1. 在直角坐标系中，曲线y = 3x + 2上有一动点P(x, y)。
若点P到x轴的距离是5，求点P的坐标。
解析：由于点P到x轴的距离是5，我们可以得到以下关系式：y = 0 + 5 = 5。
将这个y值代入曲线方程y = 3x + 2中，可以得到3x + 2 = 5，解得x = 1。
因此，点P的坐标是(1, 5)。
2. 设点A(2, 5)和点B(-3, -4)在坐标平面上，动点P在直线AB 上，且AP = 2BP。
求点P的坐标。
解析：假设点P的坐标为(x, y)。
根据已知条件AP = 2BP，我们可以得到以下关系式：√((x - 2)^2 + (y - 5)^2) = 2√((x + 3)^2 + (y + 4)^2)。
将此方程化简并整理后，得到(x + 2)^2 + (y - 9)^2 = 4(x +3)^2 + 4(y + 4)^2。
进一步计算，可以得到3x^2 + 16y^2 + 2x - 149y+ 180 = 0。
因此，点P的坐标满足方程3x^2 + 16y^2 + 2x - 149y + 180 = 0。
问题二：曲线上的斜率1. 设曲线y = 2^x在点P(x, y)处的斜率为k，求k值。
解析：根据题意，我们需要求曲线y = 2^x在点P(x, y)处的斜率。
斜率可以通过求导得到，所以我们需要对曲线方程y = 2^x进行求导。
求导后的结果为dy/dx = 2^x * ln(2)。
将点P的坐标代入求导后的方程中，可以得到斜率k = 2^x * ln(2)。
2. 设曲线y = x^2 + 3x在点P(x, y)处的斜率为2，求点P的坐标。
解析：根据题意，我们需要求曲线y = x^2 + 3x在点P(x, y)处的坐标。
斜率为2说明曲线在该点的切线斜率为2。
切线斜率为2的点可以通过求导得到，所以我们需要对曲线方程y = x^2 + 3x进行求导。
动点专题(含答案)
动点专题一、单选题(共10道，每道10分)1.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位的速度运动，动点Q从点C出发沿CB向点B以每秒2个单位的速度运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )秒时，△PDQ≌△CQD．A.6B.5C.4D.3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，沿BC向点C以每秒2个单位的速度运动，连接AP，DP．设点P的运动时间为t 秒．当t为( )秒时，△DCP≌△CDE．A.7B.3C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P 的运动时间为t秒，当t为( )秒时，△BPD与△CQP可能全等．A. B.C.3D.3或4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒1cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P的运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，则点Q的运动速度是( )A. B.3cm/s或4cm/sC.1cm/sD.4cm/s答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=DC=4，AD=BC=5．延长BC到点E，使CE=2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒．当t为( )秒时，△ABP和△DEC全等.A.2B.2或12C.1D.1或6答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.如图，在长方形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，动点P以4cm/s的速度从B点出发，沿BA 方向向点A移动，同时动点Q以1cm/s的速度，沿CD方向向点D移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，则当t为( )秒时，线段PQ恰好平分长方形ABCD的面积．A.3B.4C.5D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC=4，BC=6，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒2个单位长度的速度向终点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为( )时，△MNC是以MN为底的等腰三角形．A.1B.2C.3D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.如图，在长方形ABCD中，∠B=90°，AB=6m，BC=8m，动点P以3m/s的速度从点A出发，沿AC方向向点C移动，同时动点Q以2m/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B移动；当P，Q两点中其中一点到达终点时，则停止运动．设运动时间为t秒，则当t为( )秒时，△PQC是以PQ为底的等腰三角形．A.2B.5C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G—C—D—E—F—H，相应的△ABP的面积y（）关于运动时间t （s）的图象如图2．若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有( )①图1中的BC长是4cm；②图2中的M点表示第4秒时y的值为24；③图1中的CD长是4cm；④图2中的N点表示第12秒时y的值为18．A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题的函数图象10.如图1，在长方形ABCD中，动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿BC-CD-DA运动到A 点停止，设点P的运动时间为x（s），△ABP的面积为y()，y关于x的函数图象如图2所示，则长方形ABCD的面积是( )．A.4B.8C.10D.16答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题的函数图象。
动点问题练习(含答案)
动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。
当t=时，四边形是平行四边形；6当t=时，四边形是等腰梯形.82、如图2则DN+MN 3点O CE ∥（1的长为；（2）当解：（1（2∵∠α=在Rt △∴AB =4,∴BD =2.∴四边形4、在△ (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB ②∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE ，又∵AC=BC ，C B ED 图1 N M A B C DE M N图2 A C B E D N M 图3∴△ACD ≌△CBE ，∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然解：（1证明：在BM ∴=CF ∴∠AEB ∠∴∠（2证明：在BN ∴=四边形∴∠∴△AE ∴=6、如图,单位/求（1（3）若7、如图F ．AB （2）点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PM N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由解（1）如图1，过点E作EG BC ⊥于点G ．∵E 为AB 的中点，∴2．中，∴∴12BG =即点E （2∵PM ⊥∵EF ∥如图2∴∠∴3cos302MH PM =︒=在Rt △中，PN =∴△②当点N 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==．∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN=时，如图4，这时M C=此时，图3 A D E B F C P N M 图4 A D E B F C P M N 图5 A D E B F （P ） C M NG G R G C CA D EB FC 图1 图2 ADE BF C P N M 图3 A DE B FC P N M615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠，∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=． 综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形．8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动 ①若点QCQP △②若点Q 全等？（2三边解：（1∵AB =又∵PC 又∵AB ②∵P v ≠ ∴点P （2∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．9、如图所示，在菱形ABCD 中，AB =4，∠BAD =120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE =CF ；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【答案】解：（1）证明：如图，连接AC∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠BAE+∠EAC=60°，∠F AC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠F AC。
七年级数学上册《动点问题》专项练习带解析,给孩子期末复习!
七年级数学上册《动点问题》专项练习带解析，给孩子期末复习！1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|．（1）求线段AB的长．（2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值．（3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM﹣PN|的值不变．解：（1）∵|2b﹣6|+（a+1）2=0，∴a=﹣1，b=3，∴AB=|a﹣b|=4，即线段AB的长度为4．（2）当P在点A左侧时，|PA|﹣|PB|=﹣（|PB|﹣|PA|）=﹣|AB|=﹣4≠2．当P在点B右侧时，|PA|﹣|PB|=|AB|=4≠2．∴上述两种情况的点P不存在．当P在A、B之间时，﹣1≤x≤3，∵|PA|=|x+1|=x+1，|PB|=|x﹣3|=3﹣x，∴|PA|﹣|PB|=2，∴x+1﹣（3﹣x）=2．∴解得：x=2；（3）由已知可得出：PM=1/2PA，PN=1/2PB，当①PM÷PN的值不变时，PM÷PN=PA÷PB．②|PM﹣PN|的值不变成立．故当P在线段AB上时，PM+PN=1/2（PA+PB）=1/2AB=2，当P在AB延长线上或BA延长线上时，|PM﹣PN|=1/2|PA﹣PB|=1/2|AB|=2．2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．（1）PA=|x+1|；PB=|x﹣3|（用含x的式子表示）（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：AB-OP/MN的值是否发生变化？请说明理由．解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x，∴PA=|x+1|；PB=|x﹣3|（用含x的式子表示）；故答案为：|x+1|，|x﹣3|；（2）分三种情况：①当点P在A、B之间时，PA+PB=4，故舍去．②当点P在B点右边时，PA=x+1，PB=x﹣3，∴（x+1）（x﹣3）=5，∴x=3.5；③当点P在A点左边时，PA=﹣x﹣1，PB=3﹣x，∴（﹣x﹣1）+（3﹣x）=5，∴x=﹣1.5；（3）AB-OP/MN的值不发生变化．理由：设运动时间为t分钟．则OP=t，OA=5t+1，OB=20t+3，AB=OA+OB=25t+4，AP=OA+OP=6t+1，AM=1/2AP=1/2+3t，OM=OA﹣AM=5t+1﹣（1/2+3t）=2t+1/2，ON=1/2OB=10t+3/2，∴MN=OM+ON=12t+2，∴AB-OP/MN=25t+4-t/12t+2=2，∴在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，AB-OP/MN的值不发生变化．3.如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．（1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①PA-PB/PC的值不变；②PA+PB/PC的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．解：（1）∵AP=8，点M是AP中点，∴MP=1/2AP=4，∴BP=AB﹣AP=6，又∵点N是PB中点，∴PN=1/2PB=3，∴MN=MP+PN=7．（2）①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上；③点P在BA的延长线上，均有MN=1/2AB=7．（3）选择②．设AC=BC=x，PB=y，①PA-PB/PC=AB/x+y=14/x+y（在变化）；PA+PB/PC=2x+2y/x+Y（定值）4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s 的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ/AB的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D 点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，结论：①PM﹣PN的值不变；②MN/AB的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．解：（1）根据C、D的运动速度知：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，∴点P在线段AB上的1/3处；（2）如图：∵AQ﹣BQ=PQ∴AQ=PQ+BQ；又AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=1/3AB,∴PQ/AB=1/3当点Q'在AB的延长线上时AQ'﹣AP=PQ'所以AQ'﹣BQ'=3PQ=AB所以PQ/AB=1/3；（3）②PQ/AB的值不变理由：如图，当点C停止运动时，有CD=1/2AB，∴CM=1/4AB∴PM=CN-CP=1/4AB-5∵PD=2/3AB-10∴PN=1/2(2/3AB-10)=1/3AB-5∴MN=PN-PM=1/2AB当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以，MN/AB=(1/12AB)/AB=1/12。
线段中的动点问题专项训练(30道)
线段中的动点问题专项训练（30道）【类型1 一般性问题】1．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．（1）若AP＝8cm，①运动1s后，求CD的长；①当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．2．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O 匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动．（1）若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？（2）当P在线段AB上且P A＝3PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度；3．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12厘米，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2厘米/秒，D点的运动速度为3厘米/秒，运动的时间为t秒．（1）若AP＝8厘米．①运动1秒后，求CD的长；①当D在线段PB运动上时，试说明AC＝2CD；（2）如果t＝2秒时，CD＝1厘米，直接写出AP的值是厘米．4．如图，C是线段AB上一点，AC＝5cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动，点Q从点C出发沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点P比点Q先到3s．（1）求AB的长；（2）设点P、Q出发时间为ts，①求点P与点Q重合时（未到达点B），t的值；①直接写出点P与点Q相距2cm时，t的值．5．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB ＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；①点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长．6．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【类型2 满足关系式问题】7．如图，点B在线段AC上，点M、N分别是AC、BC的中点．AC，则线段MN的长为（1）若线段AC＝15，BC=25（2）若B为线段AC上任一点，满足AC﹣BC＝m，其它条件不变，求MN的长；（3）若原题中改为点B在直线AC上，满足AC＝a，BC＝b，（a≠b），其它条件不变，求MN的长．8．如图，已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在点B 右侧，长度为2个单位的线段BC在数轴上移动．（1）当b＝5时，试求线段AC的长；AB，求此时（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在AC﹣OB=12满足条件的b值．（3）当线段BC在数轴上移动时，满足关系式|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，则此时的b的取值范围是．9．如图，已知数轴上有三点A、B、C，它们对应的数分别为a，b，c，且c﹣b＝b﹣a，点C对应的数是20．（1）若BC＝30，求a、b的值；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R 从B点出发向右运动，点P、R、Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，在R、Q相遇前，多少秒时恰好满足MR＝4RN？10．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．（1）若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；①点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式AD+ECBE =32，求CDBD的值．11．已知数轴上有A、B两个点．（1）如图1，若AB＝a，M是AB的中点，C为线段AB上的一点，且ACCB =34，则AC＝，CB＝，MC＝（用含a的代数式表示）；（2）如图2，若A、B、C三点对应的数分别为﹣40，﹣10，20．①当A、C两点同时向左运动，同时B点向右运动，已知点A、B、C的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段AB的中点，点N为线段BC的中点，在B、C相遇前，在运动多少秒时恰好满足：MB＝3BN．①现有动点P、Q都从C点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P 移动到B点时，点Q才从C点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P 到达A点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当PQ两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的时间t值．12．如图，数轴上有点A、B两个点，OA＝16，点B所表示的数为20，AC＝6AB．（1）求点C所表示的数；（2）动点P、Q分别自A、B两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，求出线段EF的长度；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别自A、B出发的同时，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3＜t＜7时，数轴上的2有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段MN上一点（点T 不与点M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．【类型3 存在性问题】13．如图，C是线段AB上一点，AB＝20cm，BC＝8cm，点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为xs．（1）AC＝cm；（2）当x＝s时，P、Q重合；（3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．14．如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．（1）当t＝1时，求MN的长；（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．15．如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为﹣2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．（1）当t＝0秒时，AC的长为，当t＝2秒时，AC的长为．（2）用含有t的代数式表示AC的长为．（3）当t＝秒时AC﹣BD＝5，当t＝秒时AC+BD＝15．（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC＝2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．16．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C 在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是；点C表示的数是；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．【类型4 定值问题】17．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB＝12，CE＝6，F为AE的中点．（1）如图1，若CF＝2，则BE＝，若CF＝m，BE与CF的数量关系是；（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD＝7，且DF＝3DE？若存在，请求出10DF值；若不存在，请说明理由．CF18．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？（2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是；=3，若（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD−APPC 存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．19．如图，已知线段AB＝15cm，CD＝3cm，点E是AC的中点，点F是BD的中点．（1）若AC＝4cm，求线段EF的长；（2）当线段CD在线段AB上从左向右或从右向左运动时，试判断线段EF的长度是否发生变化？若不变，请求出线段EF的长度；若变化，请说明理由．20．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t＝2时，①AB＝cm，①此时线段CD的长度＝cm；（2）用含有t的代数式表示运动过程中AB的长；（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长度是否变化？若不变，求出EC的长；若变化，请说明理由．21．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．（1）出发多少秒后，PB＝2AM；（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；①MN+PN 的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．22．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，（1）写出数轴上点B所表示的数；（2）点P所表示的数；（用含t的代数式表示）；（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．23．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点同时从P、B出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）．已知C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC．（1）线段AP与线段AB的数量关系是：；（2）若Q是线段AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求证：AP＝PQ；AB，此时C点停止运动，D点在线段PB上继（3）若C、D运动5秒后，恰好有CD=12的值是否发生变化？若变化，请说明理由；续运动，M、N分别是CD、PD的中点，问MNAB的值．若不变，请求出MNAB24．如图，已知数轴上有三点A、B、C，它们对应的数分别为a，b，c，且c﹣b＝b﹣a，点C对应的数是20．（1）若BC＝30，求a、b的值；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R 从B点出发向右运动，点P、R、Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，在R、Q相遇前，多少秒时恰好满足MR＝4RN？（3）在（1）的条件下，O为原点，动点P、Q分别从A、C同时出发，P向左运动，Q 向右运动，P点的运动速度为8个单位长度/秒，Q点的运动速度为4个单位长度/秒，N 为OP的中点，M为BQ的中点，在P、Q运动的过程中，PQ﹣2MN的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．【类型5 新定义问题】25．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B．两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；AB；（3）求当t为何值时，PQ=12（4）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．26．如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．（1）一条线段的中点这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）．（2）【深入研究】如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒．①点M在运动的过程中表示的数为（用含t的代数式表示）．①求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”．①同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．27．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝cm；【解决问题】（3）如图①，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由28．直线l上的三个点A、B、C，若满足BC=1AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如2AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．图1，BC=12若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．（1）MP＝cm；（2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．29．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的1，则称该点是其2BC，他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB=12此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．（1）A，B，C三点中，点是点M，N的“倍分点”；（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有个，分别是；（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．30．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．①若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．。
中考数学动点问题专题练习(含答案)
动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧ＡB 上,有一个动点P,ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为G ．（1)当点Ｐ在弧AB 上运动时，线段ＧO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度．(２)设P Ｈx =,GP y =，求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)．(3）如果△PG Ｈ是等腰三角形,试求出线段PH 的长．二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ＡBC 中,ＡＢ=AC ＝1,点D,Ｅ在直线B Ｃ上运动.设BD=,x ＣＥ=y . (1)如果∠B ＡC=3０°,∠DA Ｅ=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(２)如果∠B ＡＣ的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α，β满足怎样的关系式时,（1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(２0０4年·上海）如图,在△A ＢＣ中,∠BAC ＝９0°,AB=AC ＝22,⊙A 的半径为1.若点Ｏ在BC 边上运动(与点B 、C 不重合)，设ＢO=x ,△AOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域．(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆Ｏ，求当⊙O 与⊙Ａ相切时， △AO Ｃ的面积．一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．１.(09年徐汇区)如图，ABC ∆中，10==AC AB ,12=BC ，点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时，求AF 的长；（２)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE的长．AB C O 图8HAB CDEOlA ′(二）线动问题2,在矩形A ＢＣD 中,AB ＝3,点O 在对角线A Ｃ上，直线ｌ过点O ，且与AC 垂直交ＡＤ于点E ．（1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形A ＢＣＤ的对称中心A ＇重合，求BC 的长; （2)若直线l 与AB 相交于点F,且ＡＯ=41AC,设AD 的长为x ,五边形ＢＣDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在，请求出x 的值;若不存在,请说明理由．(三)面动问题３.如图，在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(１）试求ABC ∆的面积；(２)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.解决动态几何问题的常见方法有:C一、 特殊探路,一般推证例２:（２00４年广州市中考题第11题)如图,⊙O １和⊙Ｏ2内切于A,⊙O1的半径为３，⊙O2的半径为2，点Ｐ为⊙O1上的任一点（与点A 不重合)，直线ＰA 交⊙O2于点Ｃ,PB 切⊙O2于点B ，则PCBP的值为(A)2 (Ｂ）3 （C)23（Ｄ)26二、 动手实践,操作确认例４(２003年广州市中考试题）在⊙Ｏ中，C 为弧AB 的中点,D 为弧A Ｃ上任一点(与A 、C 不重合）,则(A)A Ｃ+CB=AD+ＤB (B) A Ｃ＋C Ｂ<AD+DB（Ｃ） AC+CB ＞A Ｄ＋D Ｂ （D) ＡＣ+C Ｂ与AD+ＤB 的大小关系不确定例５:如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和C Ｄ与大圆分别交于点B 、Ｅ，则下列结论中正确的是( ＊ ) （A)AB DE = (B ）AB DE >(Ｃ）AB DE <(D ）AB DE ,的大小不确定三、 建立联系，计算说明例6:如图,正方形ABCD 的边长为4,点Ｍ在边DC 上,且ＤM=１,Ｎ为对角线A Ｃ上任意一点,则ＤN ＋ＭN 的最小值为 .BMND CBA以圆为载体的动点问题中,AC＝５，ＢC=12，∠ＡCＢ＝90°,P是ＡB边上的动点（与点A、B不重例1．在Rt ABC合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合),当PQ与ＡＣ不平行时，△CPＱ可能为直角三角形吗?若有可能，请求出线段CＱ的长的取值范围；若不可能,请说明理由。
专题《一元二次方程中的动点问题专项训练(30道)》
专题一元二次方程中的动点问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一元二次方程中的动点问题所有类型！一．填空题（共7小题）1．（2022•峨边县模拟）在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒√2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为时，△PQB为直角三角形．2．（2022春•衢江区校级期末）如图，B是AC上一点，且BC＝6cm，AB＝4cm，射线BD⊥AC，垂足为B，动点M从A出发以2cm/s的速度沿着AC向C运动，同时动点N从B出发以3cm/s的速度沿着射线BD向cm2，两动点运动了t（s），则t的值为．下运动，连接MN．当△BMN的面积为323．（2022•临清市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以√2cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒，则t＝秒时，S1＝2S2．4．（2022•于洪区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC ＝14cm．动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P以1cm/s速度运动，点Q以2√2cm/s的速度运动，连接BQ、PQ．当时间t为秒时，△BQP的面积为24cm2．5．（2022秋•惠来县月考）如图，已知AB⊥BC，AB＝12cm，BC＝8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为秒．6．（2022秋•兰山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过s后，P，Q两点之间相距25cm．7．（2022秋•渭滨区期中）如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，当时间为时，点P和点Q之间的距离是10cm．二．解答题（共23小题）8．（2022秋•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为ts，请解决下列问题：（1）若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？（2）是否存在这样的t值，使△APQ的面积为2√3cm2？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．9．（2022秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？10．（2022春•淄川区期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD ＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A 时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？11．（2022•红谷滩区校级模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为√6cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？12．（2022秋•射阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B移动，同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D移动（点P到达点B停止时，点Q也随之停止运动），设点P运动时间为t秒．（1）试求当t为何值时四边形APQD为矩形；（2）P、Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为5cm．13．（2022春•铜山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．问：（1）几秒时△PBQ的面积等于8cm2；（2）几秒时△PDQ的面积等于28cm2；（3）几秒时PQ⊥DQ．14．（2022•宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．15．（2022春•嘉兴期末）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t＝1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t＝以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）16．（2022秋•皇姑区校级月考）（1）求x2+6x+1的最小值；（2）求﹣2x2+6x+1的最大值；（3）如图，已知AB＝8，P上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，设AP＝x，直接用含有x的代数式表示MN2，并直接写出MN2的最小值．17．（2022秋•宽城区校级月考）如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连接PQ、AC、CP、CQ．（1）点P到点C时，t＝；当点Q到终点时，PC的长度为；（2）用含t的代数式表示PD的长；（3）当三角形CPQ的面积为9时，求t的值．18．（2022春•大庆期中）如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC＝8cm，BD＝6cm，动点M从A出发沿AC方向以每秒2cm C，动点N从B出发沿BD方向以每秒1cm匀速直线运动到D，若M，N同时出发，问出发后几秒钟时，△MON的面积为菱形ABCD面积的11219．（2022秋•海州区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝5cm，动点P以√2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动时间为ts（0＜t＜5）．在P、Q两点移动的过程中，PQ的长度能否等于√10cm？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．20．（2022•曹县二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝1cm，AB＝3cm，BC＝5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？21．（2022秋•天宁区月考）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求点Q的坐标；个平方单位？（2）当t为何值时，△APQ的面积为24522．（2022秋•镇江期中）在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C移动，点P运动到点B时，点Q也停止运动，几秒钟后△PQC的面积等于16cm2？23．（2022秋•丹阳市校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝10cm，点P从点A出发沿射线AB以1cm/s的速度做直线运动，点Q从点C出发沿射线BC以2cm/s的速度做直线运动．如果P，Q分别S△ABC？从A，B同时出发，经过几秒，S△PCQ=122524．（2022春•萧山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．有一动点P从B 点出发，在射线BC方向移动，速度是2cm/s，在P点出发后2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线AC 方向移动，速度是1cm/s．若设P出发后时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段AQ、PC的长度，并写出相应的t的取值范围．（2）连接AP、PQ，求使△APQ面积为3cm2时相应的t的值．（3）问是否存在这样的时间t，使AP平分∠BAC或者∠BAC的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．25．（2022秋•营山县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，问几秒钟时△PBQ的面积等于8cm226．（2022秋•淮安校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？27．（2022秋•武侯区期末）如图，AB＝200cm，O为AB的中点，OE⊥AB，P从A点以2cm/s的速度向B 运动，点Q从O点以3cm/s的速度运动向E运动，当P、Q两点运动多少时间时，△POQ的面积为1800cm2？28．（2022春•永嘉县期中）附加题（1）试用一元二次方程的求根公式，探索方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根互为相反数的条件是．=．（2）已知x、y为实数，√3x−2+y2−4y+4=0，则xy（3）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90度，BC＝16，AD＝21，DC＝12，动点P从点D出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．①设△BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；②当t为何值时，以B、P、Q29．（2022秋•驻马店期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，点F是CD延长线上一点，且DF＝2cm．点P、Q分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向终点B运动，当一点运动到终点B时，另一点也停止运动．FP、FQ分别交AD于E、M两点，连接PQ、AC，设运动时间为t（s）．（1）用含有t的代数式表示DM的长；（2）设△FCQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）线段FQ能否经过线段AC的中点？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）设△FPQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并回答：在t的取值范围内，S是如何随t的变化而变化的？30．（2022春•文登区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从A出发向C 以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．？（1）几秒后，△CPQ的面积为Rt△ABC的面积的18（2）填空：①点经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上．②点Q经过秒，点Q在∠BAC的平分线上．专题一元二次方程中的动点问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一元二次方程中的动点问题所有类型！一．填空题（共7小题）1．（2022•峨边县模拟）在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒√2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为2或5+√5或5−√5时，△PQB为直角三角形．【分析】要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB＝90°或∠PBQ＝90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，再分别就∠PQB＝90°和∠PBQ＝90°讨论，求出符合题意的t值即可；【解答】解：作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，∵∠POQ＝45°，∴∠OPG＝45°，∵OP=√2t，∴OG＝PG＝t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得：PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，①若∠PQB＝90°，则有PQ2+BQ2＝PB2，即：2t2+[（6﹣2t）2+22]＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，整理得：4t2﹣8t＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝2，∴t＝2，②若∠PBQ＝90°，则有PB2+QB2＝PQ2，∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]＝2t2，整理得：t 2﹣10t +20＝0，解得：t ＝5±√5．∴当t ＝2或t ＝5+√5或t ＝5−√5时，△PQB 为直角三角形．故答案为：2或5+√5或5−√5．2．（2022春•衢江区校级期末）如图，B 是AC 上一点，且BC ＝6cm ，AB ＝4cm ，射线BD ⊥AC ，垂足为B ，动点M 从A 出发以2cm /s 的速度沿着AC 向C 运动，同时动点N 从B 出发以3cm /s 的速度沿着射线BD 向下运动，连接MN ．当△BMN 的面积为32cm 2，两动点运动了t （s ），则t 的值为 2−√22或2+√22或2+√62 ．【分析】分0＜t ＜2及2＜t ≤5两种情况考虑，当0＜t ＜2时，BM ＝（4﹣2t ）cm ，BN ＝3tcm ，根据△BMN 的面积为32cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出t 值；当2＜t ≤5时，BM ＝（2t ﹣4）cm ，BN ＝3tcm ，根据△BMN 的面积为3cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：当0＜t ＜2时，BM ＝（4﹣2t ）cm ，BN ＝3tcm ，∴12（4﹣2t ）•3t =32，整理得：2t 2﹣4t +1＝0，解得：t 1=2−√22，t 2=2+√22；当2＜t ≤5时，BM ＝（2t ﹣4）cm ，BN ＝3tcm ，∴12（2t ﹣4）•3t =32，整理得：2t 2﹣4t ﹣1＝0，解得：t 3=2−√62（不合题意，舍去），t 4=2+√62． 综上所述，t 的值为2−√22或2+√22或2+√62． 故答案为：2−√22或2+√22或2+√62．3．（2022•临清市一模）在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16cm ，AD 为BC 边上的高，动点P 从点A 出发，沿A →D 方向以√2cm /s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，运动时间为t 秒，则t ＝ 6 秒时，S 1＝2S 2．【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S 1和S 2，然后根据S 1＝2S 2，即可列方程求解．【解答】解：∵Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16cm ，AD 为BC 边上的高，∴AD ＝BD ＝CD ＝8√2cm ，又∵AP =√2t ，则S 1=12AP •BD =12×8√2×√2t ＝8t ，PD ＝8√2−√2t ， ∵PE ∥BC ，∴∠AEP ＝∠C ＝45°，∠APE ＝∠ADC ＝90°，∴∠P AE ＝∠PEA ＝45°∴PE ＝AP =√2t ，∴S 2＝PD •PE ＝（8√2−√2t ）•√2t ，∵S 1＝2S 2，∴8t ＝2（8√2−√2t ）•√2t ，解得：t ＝6或0（舍弃）故答案是：6．4．（2022•于洪区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝6cm ，AB ＝8cm ，BC ＝14cm ．动点P 、Q 都从点C 同时出发，点P 沿C →B 方向做匀速运动，点Q 沿C →D →A 方向做匀速运动，当P 、Q 其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P 以1cm /s 速度运动，点Q 以2√2cm /s 的速度运动，连接BQ 、PQ ．当时间t 为 2 秒时，△BQP 的面积为24cm 2．【分析】由于点P 在线段CB 上运动，而点Q 沿C →D →A 方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：①点Q 在CD 上；②点Q 在DA 上．针对每一种情况，都可以过Q 点作QG ⊥BC 于G ．由于点P 、Q 运动的时间为t （s ），可用含t 的代数式分别表示BP 、QG 的长度，然后根据三角形的面积公式列出S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围，根据面积为24cm 2，列出方程，解方程并结合t 的范围取舍．【解答】解：如图1，过D 点作DH ⊥BC ，垂足为点H ，则有DH ＝AB ＝8cm ，BH ＝AD ＝6cm ．∴CH ＝BC ﹣BH ＝14﹣6＝8cm ．在Rt △DCH 中，∠DHC ＝90°，∴CD =√DH 2+CH 2=8√2cm ．当点P 、Q 运动的时间为t （s ），则PC ＝t ．①如图1，当点Q 在CD 上时，过Q 点作QG ⊥BC ，垂足为点G ，则QC ＝2√2t ．又∵DH ＝HC ，DH ⊥BC ，∴∠C ＝45°．∴在Rt △QCG 中，QG ＝QC •sin ∠C ＝2√2t ×sin45°＝2t ．又∵BP ＝BC ﹣PC ＝14﹣t ，∴S △BPQ =12BP ×QG =12（14﹣t ）×2t ＝14t ﹣t 2． 当Q 运动到D 点时所需要的时间t =2√2=√22√2=4．∴S ＝14t ﹣t 2（0＜t ≤4），当S ＝24时，14t ﹣t 2＝24，解得：t 1＝2，t 2＝12（舍）． ②如图2，当点Q 在DA 上时，过Q 点作QG ⊥BC ，垂足为点G ，则：QG ＝AB ＝8cm ，BP ＝BC ﹣PC ＝14﹣t ，∴S △BPQ =12BP ×QG =12（14﹣t ）×8＝56﹣4t ． 当Q 运动到A 点时所需要的时间t =2√2=√2+62√2=4+3√22． ∴S ＝56﹣4t （4＜t ≤4+3√22）， 当S ＝24时，56﹣4t ＝24，解得：t ＝8＞4+3√22，舍去， 综上，当t ＝2时，S ＝24，故答案为：2．5．（2022秋•惠来县月考）如图，已知AB ⊥BC ，AB ＝12cm ，BC ＝8cm ．一动点N 从C 点出发沿CB 方向以1cm /s 的速度向B 点运动，同时另一动点M 由点A 沿AB 方向以2cm /s 的速度也向B 点运动，其中一点到达B 点时另一点也随之停止，当△MNB 的面积为24cm 2时运动的时间t 为 2 秒．【分析】根据题意可知CN ＝tcm ，AM ＝2tcm ，进而可得出BN ＝（8﹣t ）cm ，BM ＝（12﹣2t ）cm ，根据△MNB 的面积为24cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：根据题意可知CN ＝tcm ，AM ＝2tcm ，∴BN ＝（8﹣t ）cm ，BM ＝（12﹣2t ）cm ，∵△MNB 的面积为24cm 2，∴12×（12﹣2t ）×（8﹣t ）＝24， 整理得：t 2﹣14t +24＝0，解得：t 1＝2，t 2＝12（不合题意，舍去）．故答案为：2．6．（2022秋•兰山区期末）如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝30cm ，BC ＝25cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动，速度是2cm /s ；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 方向运动，速度是1cm /s ，则经过10 s 后，P ，Q 两点之间相距25cm ．【分析】设x 秒后P 、Q 两点相距25cm ，用x 表示出CP 、CQ ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设x 秒后P 、Q 两点相距25cm ，则CP ＝2xcm ，CQ ＝（25﹣x ）cm ，由题意得，（2x ）2+（25﹣x ）2＝252，解得，x 1＝10，x 2＝0（舍去），则10秒后P 、Q 两点相距25cm ．故答案是：10．7．（2022秋•渭滨区期中）如图，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 出发，以3cm /s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2cm /s 的速度向点D 运动，当时间为 85s 或245s 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ．【分析】设当t 秒时PQ ＝10cm ，利用勾股定理得出即可．【解答】解：设当时间为t 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ，过点Q 作ON ⊥AB 于点N ，则QC ＝2tcm ，PN ＝（16﹣5t ）cm ，故62+（16﹣5t ）2＝100，解得：t 1=85，t 2=245， 即当时间为85s 或245s 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ，故答案为：85s 或245s ．二．解答题（共23小题）8．（2022秋•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC 的边长为6cm ，点P 从点A 出发，沿A →C →B 的方向以2cm /s 的速度向终点B 运动，同时点Q 从点B 出发，沿B →A 的方向以1cm /s 的速度向终点A 运动．当点P 运动到点B 时，两点均停止运动．运动时间记为ts ，请解决下列问题：（1）若点P 在边AC 上，当t 为何值时，△APQ 为直角三角形？（2）是否存在这样的t 值，使△APQ 的面积为2√3cm 2？若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）当点P 在边AC 上时，由题意知AP ＝2t ，AQ ＝6﹣t ，再分∠APQ ＝90°和∠AQP ＝90°两种情况分别求解即可；（2）分点P 在边AC 上和点P 在边AC 上两种情况，表示出S △APQ ，再根据△APQ 的面积为2√3cm 2列出关于t 的方程，解之即可．【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形∴AB ＝BC ＝CA ＝6，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，当点P 在边AC 上时，由题意知，AP ＝2t ，AQ ＝6﹣t ，当∠APQ ＝90°时，AP =12AQ ，即2t =12（6﹣t ），解得t ＝1.2，当∠AQP ＝90°时，AQ =12AP ，即6﹣t =12×2t ，解得t ＝3，所以，点P 在边AC 上，当t 为1.2s 或3s 时，△APQ 为直角三角形；（2）存在，①当点P 在边AC 上时，此时0≤t ≤3，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，在Rt △APD 中，∠A ＝60°，AP ＝2t ，∴sin A =PD AP ，即sin60°=PD 2t =√32， ∴PD =√3t ，S △APQ =12AQ •PD =12（6﹣t ）•√3t ，由12（6﹣t ）•√3t =2√3得t 1=3+√5(不合题意，舍去)，t 2=3−√5； ②当点P 在边BC 上时，此时3≤t ≤6，如图，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，在Rt △BPF 中，∠B ＝60°，BP ＝12﹣2t ，∴sin B =PF BP ，即sin60°=PF 12−2t =√32， ∴PF =√3(6−t)，S △APQ =12AQ •PF =12（6﹣t ）•√3(6−t)，由12（6﹣t ）•√3(6−t)=2√3得t 1＝4，t 2＝8（不合题意，舍去），因此，当t 的值是(3−√5)s 或4s 时，△APQ 的面积为2√3cm 2．9．（2022秋•泗阳县期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12cm ，BC ＝24cm ，动点P 从点A 出发沿边AB 向点B 以2cm /s 的速度移动，同时动点Q 从点B 出发沿边BC 向点C 以4cm /s 的速度移动，当P 运动到B 点时P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为ts ．（1）BP ＝ （12﹣2t ） cm ；BQ ＝ 4t cm ；（用t 的代数式表示）（2）D 是AC 的中点，连接PD 、QD ，t 为何值时△PDQ 的面积为40cm 2？【分析】（1）根据速度×时间＝路程列出代数式即可；（2）如图，过点D 作DH ⊥BC 于H ，利用三角形中位线定理求得DH 的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）根据题意得：AP ＝2tcm ，BQ ＝4tcm ，所以BP ＝（12﹣2t ）cm ，故答案是：（12﹣2t ）；4t ；（2）如图，过点D 作DH ⊥BC 于H ，∵∠B ＝90°，即AB ⊥BC ．∴AB ∥DH ．又∵D 是AC 的中点，∴BH =12BC ＝12cm ，DH 是△ABC 的中位线． ∴DH =12AB ＝6cm ． 根据题意，得12×12×24−12×4t ×（12﹣2t ）−12×（24﹣4t ）×6−12×2t ×12＝40， 整理，得t 2﹣6t +8＝0．解得：t 1＝2，t 2＝4，即当t ＝2或4时，△PBQ 的面积是40cm 2．10．（2022春•淄川区期中）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝16，CD ＝12，AD ＝21．动点P 从点D 出发，沿线段DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动．点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点P 运动到点A 时，点Q 随之停止运动．设运动时间为t （s ），当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形为等腰三角形？【分析】以B ，P ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB ＝PQ 时，当PQ ＝BQ 时，当BP ＝BQ 时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．【解答】解：如图1，当PB ＝PQ 时，作PE ⊥BC 于E ，∴EQ =12BQ ， ∵CQ ＝t ，∴BQ ＝16﹣t ，∴EQ ＝8−12t ，∴EC ＝8−12t +t ＝8+12t ． ∴2t ＝8+12t ．解得：t =163．如图2，当PQ ＝BQ 时，作QE ⊥AD 于E ，∴∠PEQ ＝∠DEQ ＝90°，∵∠C＝∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝∠DEQ＝90°，∴四边形DEQC是矩形，∴DE＝QC＝t，∴PE＝t，QE＝CD＝12．在Rt△PEQ中，由勾股定理，得PQ=√t2+144．16﹣t=√t2+144，解得：t=72；如图3，当BP＝BQ时，作PE⊥BC于E，∵CQ＝t，∴BP＝BQ＝BC﹣CQ＝16﹣t，∵PD＝2t，∴CE＝2t，∴BE＝16﹣2t，在Rt△BEP中，（16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2，3t2﹣32t+144＝0，△＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，故方程无解．综上所述，t=163或72时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．11．（2022•红谷滩区校级模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为√6cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【分析】（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为√6cm，根据勾股定理列式求解即可；（2）设经过y秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由三角形的面积公式列式并求解即可；（3）分三种情况列方程求解即可：①点P在线段AB上，点Q在射线CB上；②点P在线段AB上，点Q 在射线CB上；点P在射线AB上，点Q在射线CB上．【解答】解：（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为√6cm，则AP＝x（cm），QB＝2x（cm），∵AB＝6cm，BC＝8cm∴PB＝（6﹣x）（cm），∵在△ABC中，∠B＝90°∴由勾股定理得：（6﹣x）2+（2x）2＝6化简得：5x2﹣12x+30＝0∵△＝（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0∴点P，Q之间的距离不可能为√6cm．（2）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：1（6﹣x）•2x＝82解得：x1＝2，x2＝4检验发现x1，x2均符合题意∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上设经过m秒，0＜m≤4，依题意有1（6﹣m）（8﹣2m）＝12∴m2﹣10m+23＝0解得；m1＝5+√2（舍），m2＝5−√2∴m＝5−√2符合题意；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上设经过n秒，4＜n≤6，依题意有1（6﹣n）（2n﹣8）＝12∴n2﹣10n+25＝0解得n1＝n2＝5∴n＝5符合题意；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上设经过k秒，k＞6，依题意有1（k﹣6）（2k﹣8）＝12解得k1＝5+√2，k2＝5−√2（舍）∴k＝5+√2符合题意；∴经过（5−√2）秒，5秒，（5+√2）秒后，△PBQ的面积为1cm2．12．（2022秋•射阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B移动，同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D移动（点P到达点B停止时，点Q也随之停止运动），设点P运动时间为t秒．（1）试求当t为何值时四边形APQD为矩形；（2）P、Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为5cm．【分析】（1）根据矩形的对边相等得到AP＝PQ，由时间×速度＝路程求得线段AP、PQ的长度，然后等量关系AP＝PQ列出方程并解答；（2）过点P作PE⊥CD于点E，利用勾股定理列出关于t的方程，通过解方程求得答案．【解答】解：（1）∵四边形APQD为矩形，∴AP＝PQ，∴2t＝6﹣t，∴3t＝6，∴t＝2．（2）过点P作PE⊥CD于点E，∵∠A＝∠D＝∠DEP＝90°，∴四边形APED是矩形．∴AP＝DE＝2t，∴EQ＝CD﹣DE﹣CQ＝6﹣3t，在Rt△PQE中，PE2+EQ2＝PQ2，即（6﹣3t）2＝9，解得t1＝1，t2＝3，答：当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm．13．（2022春•铜山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．问：（1）几秒时△PBQ的面积等于8；（2）几秒时△PDQ的面积等于28cm2；（3）几秒时PQ⊥DQ．【分析】（1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于8cm2列式求值即可；（2）设出发秒x时△DPQ的面积等于28平方厘米，根据三角形的面积公式列出方程，再解方程即可；（3）如果PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，得出△BPQ∽△CQD，即可得出BPCQ =BQCD，再设AP＝x，QB＝2x，得出6−x12−2x =2x6，求出x即可．【解答】解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm2．则AP＝x，QB＝2x．∴PB＝6﹣x．∴12×（6﹣x）2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2；（2）设出发秒x时△DPQ的面积等于28cm2．∵S矩形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ＝S△DPQ∴12×6−12×12x−12×2x（6﹣x）−12×6×（12﹣2x）＝28，化简整理得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，答：2秒或4秒后△PDQ的面积等于28cm2；（3）设x秒后PQ⊥DQ时，则∠DQP为直角，∴△BPQ∽△CQD，∴BPCQ =BQCD，设AP＝x，QB＝2x．∴6−x12−2x =2x6，∴2x2﹣15x+18＝0，解得：x=32或6，经检验x=32是原分式方程的根，x＝6不是原分式方程的根，当x＝6时，P点到达B点、Q点到达C点，此时PQ⊥DQ．答：32秒或6秒后PQ⊥DQ．14．（2022•宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题．【解答】解：（1）点P 从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2＝9s ，点Q 从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1＝18s ，∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，∴点P 先到终点，此时点Q 离终点的距离是：（6+12）﹣1×9＝9cm ，答：点P 先到终点，此时点Q 离终点的距离是9cm ；（2）在运动过程中，△APQ 的面积能等于22cm 2，当P 从点B 运动到点C 的过程中，设点P 运动时间为as ，∵△APQ 的面积能否等于22cm 2，∴12×6−2a×62−(12−2a)×a 2−(6−a)×122=22，解得，此方程无解；当点P 从C 到D 的过程中，设点P 运动的时间为（b +6）s ，∵△APQ 的面积能否等于22cm 2，∴12×6−(6+2b)×122−b(6−2b)2=22，解得，b 1＝1，b 2＝14（舍去），即需运动6+1＝7s ，△APQ 的面积能等于22cm 2．15．（2022春•嘉兴期末）如图，长方形ABCD （长方形的对边相等，每个角都是90°），AB ＝6cm ，AD ＝2cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以2厘米/秒的速度向终点B 移动，点Q 以1厘米/秒的速度向D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t ，问：（1）当t ＝1秒时，四边形BCQP 面积是多少？（2）当t 为何值时，点P 和点Q 距离是3cm ？（3）当t ＝ 3+√72，3−√72，65，−6+2√333． 以点P 、Q 、D 为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）【分析】（1）如图1，当t＝1时，就可以得出CQ＝1cm，AP＝2cm，就有PB＝6﹣2＝4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD 于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ＝DQ时，如图4，当PD＝PQ时，如图5，当PD＝QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵CQ＝1cm，AP＝2cm，∴AB＝6﹣2＝4cm．=5cm2．∴S=2(1+4)2答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝9，解得：t=6±√5．3如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ＝90°．∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．∵CQ ＝t ，∴QE ＝t ﹣（6﹣2t ）＝3t ﹣6在Rt △PEQ 中，由勾股定理，得（3t ﹣6）2+4＝9，解得：t =6±√53． 综上所述：t =6−√53或6+√53；（3）如图3，当PQ ＝DQ 时，作QE ⊥AB 于E ，∴∠PEQ ＝90°，∵∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形BCQE 是矩形，∴QE ＝BC ＝2cm ，BE ＝CQ ＝t ．∵AP ＝2t ，∴PE ＝6﹣2t ﹣t ＝6﹣3t ．DQ ＝6﹣t ．∵PQ ＝DQ ，∴PQ ＝6﹣t ．在Rt △PQE 中，由勾股定理，得（6﹣3t ）2+4＝（6﹣t ）2，解得：t =3±√72． 如图4，当PD ＝PQ 时，作PE ⊥DQ 于E ，∴DE ＝QE =12DQ ，∠PED ＝90°． ∵∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形BCQE 是矩形，∴PE ＝BC ＝2cm ．∵DQ ＝6﹣t ，∴DE =6−t 2． ∴2t =6−t 2，解得：t =65；如图5，当PD ＝QD 时，∵AP ＝2t ，CQ ＝t ，∴DQ ＝6﹣t ，∴PD ＝6﹣t ．在Rt △APD 中，由勾股定理，得4+4t 2＝（6﹣t ）2，解得t 1=−6+2√333，t 2=−6−2√333（舍去）． 综上所述：t =3+√72，3−√72，65，−6+2√333． 故答案为：3+√72，3−√72，65，−6+2√333．16．（2022秋•皇姑区校级月考）（1）求x 2+6x +1的最小值；（2）求﹣2x 2+6x +1的最大值；（3）如图，已知AB ＝8，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，∠DAP ＝60°，M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，当点P 在线段AB 上移动时，设AP ＝x ，直接用含有x 的代数式表示MN 2，并直接写出MN 2的最小值．【分析】（1）将代数式配方，由于二次项系数大于0，代数式有最小值，根据配方式可得最小值；（2）将代数式配方，由于二次项系数小于0，代数式有最大值，根据配方式可得最大值；（3）连接PM 、PN ．首先证明∠MPN ＝90°，设P A ＝x ，则PB ＝8﹣x ，PM =12x ，PN =√3（4−12x ），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）x 2+6x +1＝（x +3）2﹣8，当x ＝﹣3时，x 2+6x +1有最小值，最小值是﹣8；（2）﹣2x 2+6x +1＝﹣2（x −32）2+112， 当x =32时，﹣2x 2+6x +1有最大值，最大值是112；（3）连接PM 、PN ．∵四边形APCD ，四边形PBFE 是菱形，∠DAP ＝60°，∴∠APC ＝120°，∠EPB ＝60°，∵M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，∴∠CPM =12∠APC ＝60°，∠EPN =12∠EPB ＝30°， ∴∠MPN ＝60°+30°＝90°，设P A ＝x ，则PB ＝8﹣x ，PM =12x ，=√3（4−12x ），MN 2＝（12x ）2+[√3（4−12x ）]2＝x 2﹣12x +48＝（x ﹣6）2+12， ∴x ＝6时，MN 2有最小值，最小值为12，故答案为：12．17．（2022秋•宽城区校级月考）如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4．点P 从点A 出发，沿A →D →C →D 运动，速度为每秒2个单位长度；点Q 从点A 出发向点B 运动，速度为每秒1个单位长度．P 、Q 两点同时出发，点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动，设点Q 的运动时间为t （秒）．连接PQ 、AC 、CP 、CQ ．（1）点P 到点C 时，t ＝ 6 ；当点Q 到终点时，PC 的长度为 4 ；（2）用含t 的代数式表示PD 的长；（3）当三角形CPQ 的面积为9时，求t 的值．。
数学动点问题专项训练
数学动点问题专项训练一、简答题1、探究：如图①，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P．（1）求证：△ACN≌△CBM；（2）∠CPN= °．应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图②、③，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图②中∠CPN= °；图③中∠CPN= °．拓展：若将图①的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠CPN= °（用含n的代数式表示）．2、已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O．点E从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点F从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接EO并延长，交BC于点G，．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：(1)在运动的过程中，四边形EGCD的面积是否发生变化，请说明理由；如果不变化，并请求出四边形EGCD的面积；（2）当t为何值时，△AOE是等腰三角形？（3）连接EF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使EF与BD垂直？请说明理由．（4）连接OF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OC平分∠GOF？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．3、如图，E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．4、如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与直线BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．5、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A 匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0<t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．6、（1）操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．参考答案一、简答题1、【考点】四边形综合题．【分析】探究：（1）利用等边三角形的性质得到BC=AC，∠ACB=∠ABC，从而得到△ACN≌△CBM．（2）利用全等三角形的性质得到∠CAN=∠BCM，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，即可求解．应用：利用正方形（或正五边形）的性质得到BC=DC，∠ABC=∠BCD，从而判断出△DCN≌△CBM，再利用全等三角形的性质得到∠CDN=∠BCM，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和（或者三角形的内角和），即可．拓展：利用正n五边形的性质得到BC=DC，∠ABC=∠BCD，从而判断出△DCN≌△CBM，再利用全等三角形的性质得到∠CDN=∠BCM，再利用三角形的内角和，即可．【解答】探究：（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=∠ABC=60°．∴∠ACN=∠CBM=60°．在△ACN和△CBM中，∴△ACN≌△CBM．（2）解：∵△DCN≌△CBM，∴∠CAN=∠BCM，∵∠ABC=∠BMC+∠BCM，∠BAN=∠BAC+∠CAN，∴∠CPN=∠BMC+∠BAN=∠BMC+∠BAC+∠CAN=∠BMC+∠BAC+∠BCM=∠ABC+∠BAC=60°+60°=120°，故答案为120．应用：将等边三角形换成正方形，解：四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠ABC=∠BCD=90°．∴∠MBC=∠DCN=120°．在△DCN和△CBM中，∴△DCN≌△CBM．∴∠CDN=∠BCM，∵∠BCM=∠PCN∴∠CDN=∠PCN在Rt△DCN中，∠CDN+∠CND=90°，∴∠PCN+∠CND=90°，∴∠CPN=90，将等边三角形换成正五边形，五边形ABCDE是正五边形，∴BC=DC=108°．∴∠MBC=∠DCN=72°．在△DCN和△CBM中，∴△DCN≌△CBM．∴∠BMC=∠CND，∠BCM=∠CDN，∵∠ABC=∠BMC+∠BCM=108°∴∠CPN=180°﹣（∠CND+∠PCN）=180°﹣（∠CND+∠BCM）=180°﹣（∠BCM+∠BMC）=180°﹣108°=72°．故答案为90，72．拓展解：方法和上面正五边形的方法一样，得到∠CPN=180°﹣（∠CND+∠PCN）=180°﹣（∠CND+∠BCM）=180°﹣（∠BCM+∠BMC）=180°﹣108°=72°故答案为．2、（1）不变化为24；（2）25/8，5；（3）不存在；（4）25/73、4、(1)略；（2）EF=AC5、(1)证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t. ∵AE＝2t，∴AE＝DF. ……3分(2)能．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，AE＝AD＝AC－DC＝60－4t＝2t.解得t＝10，∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形．……6分(3)①当∠DEF＝90°时，由(2)知EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°.∵∠A＝60°，∴AD＝AE＝t.又AD＝60－4t，即60－4t＝t.解得t＝12. ……7分②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中，∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得t＝. ……8分③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．……9分∴当t＝秒或12秒时，△DEF为直角三角形．6、【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可；（2）可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到的值；（3）方法同（2）．【解答】解：（1）同意，连接EF，则根据翻折不变性得，∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，在Rt△EGF和Rt△EDF中，∴GF=DF；（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=2DF，∴CF=x，DC=AB=BG=2x，∴BF=BG+GF=3x；在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2∴y=2x，∴；（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=nDF，∴BF=BG+GF=（n+1）x在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n﹣1）x]2=[（n+1）x]2∴y=2x，∴或．【点评】此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中．。
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专题五┃ 动态型问题
解题策略：对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去 观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关 系和变量关系，并特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系， 善于化动为静，由特殊情形(特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形 等)逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合，分类 讨论，转化等数学思想加以解决．当一个问题是确定有关图形的变量 之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之 间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解．
过坐标原点 O，与 x 轴交于点 B. (1)求抛物线对应的二次函数的表达式； (2)过 B 作 OA 的平行线交 y 轴于点 C，交抛物线于点 D，求
证：△OCD≌△OAB； (3)在 x 轴上找一点 P，使得△PCD 的周长最小，求出 P 点的
坐标．
图 Z5－2
专题五┃ 动态型问题
解：(1)∵抛物线顶点为A( 3，1)， ∴设抛物线对应的二次函数的表达式为y＝a(x－ 3)2＋1， 将原点坐标(0，0)代入表达式，得a＝－13.
2 5 3，0)．
专题五┃ 动态型问题 2．如图 Z5－3，已知关于 x 的二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像
与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B，与 y 轴交于点 C(0，3)，抛物线的 对称轴与 x 轴交于点 D.
(1)求二次函数的解析式； (2)在 y 轴上是否存在一点 P，使△PBC 为等腰三角形？若存 在，请求出点 P 的坐标； (3)有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速 度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点 M，N 同时停 止运动，问点 M，N 运动到何处时，△MNB 的面积最大，试求出最 大面积．
图Z5－3
专题五┃ 动态型问题
解：(1)∵A(1，0)，C(0，3)在函 数的图像上，
∴0＝1＋b＋c，c＝3， ∴b＝－4，即二次函数的解析式是 y＝x2－4x＋3.
专题五┃ 动态型问题 2．如图 Z5－3，已知关于 x 的二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像
与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B，与 y 轴交于点 C(0，3)，抛物线的 对称轴与 x 轴交于点 D.
图 Z5－2
专题五┃ 动态型问题
(3)点C关于x轴的对称点C′的坐标为(0，2)，连接 C′D，则C′D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长 最小．
如图，过点D作DQ⊥y轴，垂足为Q，则PO∥DQ. ∴△C′PO∽△C′DQ. ∴PDOQ＝CC′ ′OQ，即 PO3＝25，∴PO＝2 5 3，∴点P的坐标为(－
Pp，－18p2＋54p，A(10，0)， 设 AP 所在直线的表达式为 y＝kx＋b，把 P 和 A 的坐标代入，得
10k＋b＝0，
k＝－18p，
pk＋b＝－18p2＋45p，解得b＝45p，
专题五┃ 动态型问题
∴AP 所在直线的表达式为 y＝－18px＋54p，
综上知，以 P、O、A、E 为顶点的四边形面积 S 等于 16 时， 相应的点 P 有且只有 3 个．
专题五┃ 动态型问题
解题方法点析 本题主要考查了圆周角定理及二次函数的相关问题，解决 这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，然后数形 结合解决问题．
专题五┃ 动态型问题 针对训练 1．【2016·益阳】如图 Z5－2，顶点为 A( 3，1)的抛物线经
专题五┃ 动态型问题
(2)证明：将y＝0代入y＝－
1 3
x2＋
2
3
3 x中，得B点坐标为：
(2 3，0)，设直线OA对应的一次函数的表达式为y＝kx， 将A( 3，1)代入表达式y＝kx中，得k＝ 33， ∴直线OA对应的一次函数的表达式为y＝ 33x. ∵BD∥AO，∴设直线BD对应的一次函数的表达式为y＝ 33x＋
3．【2017·衢州】定义：如图 Z5－4①，抛物线 y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与 x 轴交于 A，B 两点，点 P 在抛物线上(P 点与 A、B 两点不重合)，如果△ABP 的三边满足 AP2＋BP2＝AB2，则称点 P 为 抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．
(1)直接写出抛物线 y＝－x2＋1 的勾股点坐标． (2)如图②，已知抛物线 C：y＝ax2＋bx(a≠0)与 x 轴交于 A，
(3)利用(2)的结论易得点 P 的坐标，分类讨论：①若点 P 在 CD 的左侧， 延长 OP 交 CD 于 Q，易得 OP 所在直线的函数关系式，表示出 Q 点的纵坐 标，得 QE 的长，表示出四边形 POAE 的面积；②若点 P 在 CD 的右侧， 延长 AP 交 CD 于 Q，易得 AP 所在直线的解析式，从而求得 Q 点的纵坐标， 得 QE 的长，表示出四边形 POAE 的面积，当 P 在 CD 右侧时，四边形 POAE 的面积最大值为 16，此时点 P 的位置就一个，令－83p2＋49p＋15＝16， 解得 p，得出结论．
(2)求抛物线的函数表达式；
图Z5－1
专题五┃ 动态型问题
(2)连接 OC，如图所示．∵由(1)知 OB⊥AC，
又 AB＝BC，∴OB 是 AC 的垂直平分线，∴OC＝OA＝10.
在 Rt△OCD 中，OC＝10，CD＝8，
∴OD＝6，∴C(6，8)，B(8，4)．
1 ∴OB 所在直线的函数表达式为 y＝2x.
∴当 x＝6 时，y＝－18p·6＋54p＝12p，
1
1
即 Q 点的 －S 四边形 PAOE
△OAE
△APE
△OAE
△AQE
△PQE
1
1
1
＝2·OA·DE＋2·QE·DA－2·QE·(Px－6)
1
1
＝2×10×3＋2·QE·(DA－Px＋6)
(3)若 P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以 P、O、A、E 为顶点的四边形面积记作 S，则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有 3 个？
图Z5－1
专题五┃ 动态型问题 (3)设点 Pp，－81p2＋54p.若点 P 在 CD 的左侧，延长 OP
交 CD 于点 Q，连接 AE，如图②. OP 所在直线的函数表达式为 y＝－18p＋54x， ∴当 x＝6 时，y＝－34p＋125，即 Q 点的纵坐标为－34p＋125.
2)，P4(0，－3)．
专题五┃ 动态型问题 2．如图 Z5－3，已知关于 x 的二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像
与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B，与 y 轴交于点 C(0，3)，抛物线的 对称轴与 x 轴交于点 D.
(3)有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速 度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点 M，N 同时停 止运动，问点 M，N 运动到何处时，△MNB 的面积最大，试求出最 大面积．
图Z5－3
专题五┃ 动态型问题
1 (3)设经过的时间为t秒，△MNB的面积S＝ 2 MB·DN ＝12(3－1－t)×2t＝2t－t2＝－(t－1)2＋1. ∴当t＝1时，△MNB的面积最大，最大面积为1. 其中M，N的坐标分别为M(2，0)，N(2，－2)或M(2， 0)，N(2，2)．
专题五┃ 动态型问题
专题五┃ 动态型问题
类型 1 与二次函数有关的点动问题 例 1 【2015·徐州】如图 Z5－1，在平面直角坐标系中，点 A(10， 0)，以 OA 为直径在第一象限内作半圆，B 为半圆上一点，连接 AB 并延长至 C，使 BC＝AB，过 C 作 CD⊥x 轴于点 D，交线段 OB 于点 E， 已知 CD＝8，抛物线经过 O、E、A 三点．
OA＝OC， 在△OAB与△OCD中，AB＝CD，
OB＝OD，
∴△OAB≌△OCD.
专题五┃ 动态型问题 1．【2016·益阳】如图 Z5－2，顶点为 A( 3，1)的抛物线经
过坐标原点 O，与 x 轴交于点 B. (3)在 x 轴上找一点 P，使得△PCD 的周长最小，求出 P 点
的坐标．
(1)∠OBA＝___9_0____°；
(2)求抛物线的函数表达式； (3)若 P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以 P、O、A、E 为顶点的四边形面积记作 S，则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有 3 个？
图Z5－1
专题五┃ 动态型问题
例题分层分析 (1)利用直径所对的圆周角等于90°，即可得出答案； (2)利用(1)中的结论易得OB是AC的垂直平分线，易得点B， 点C的坐标，由点O，点B的坐标易得OB所在直线的解析式，从 而得出点E的坐标，用待定系数法得抛物线的解析式；
b，将B(2 3，0)代入y＝ 33x＋b中，得b＝－2，
专题五┃ 动态型问题
∴直线BD对应的一次函数的表达式为y＝ 33x－2.
由yy＝＝－3313xx－2＋22，3
得交点D的坐标为(－ 3x
3，－3)，
将x＝0代入y＝ 33x－2中，得C点的坐标为(0，－2)，
由勾股定理，得：OA＝2＝OC，AB＝2＝CD，OB＝2 3＝OD.
又 E 点的横坐标为 6，∴E 点的纵坐标为 3，即 E(6，3)．
∴抛物线过 O(0，0)，E(6，3)，A(10，0)．
设此抛物线的函数表达式为 y＝ax(x－10)，把 E 点坐标代入，得 3
1 ＝6a(6－10)，解得 a＝－8.
∴此抛物线的函数表达式为
1 y＝－8x(x－10)，即
y＝－81x2＋45x.
专题五┃ 动态型问题
＝15＋12·12p－3(10－p)＝－14p2＋4p＝－14(p－8)2＋16. ∴当点 P 在 CD 的右侧时，四边形 PAOE 的面积最大值为 16，