双曲线的概念和性质

【技法点拨】 “焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 (1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦 定理、双曲线的定义经常使用. (2)技巧:经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用完全平方公
第七节 双曲线的概念和性质
【教材基础回顾】
1.双曲线的定义
之差的绝 平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离_________
对值 为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线.这 _____
焦点 两焦点间的距离叫做_____. 焦距 两个定点叫做双曲线的_____,
2.双曲线的标准方程与几何性质
点P的坐标是________.
x 2 y2 1, 【解析】设P(x,y),由已知得: 16 9 x 5 2 y 2 36， x 8, 解得 所以P(8, 3 3 ). y 3 3.
答案:(8, 3 3 )
x 2 y2 3.以椭圆 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲 4 3
c (1,+∞) a e=____,e∈________
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长 性质 实虚轴 2a 线段B1B2叫做双曲线的虚 |A1A2|=___; 2b 叫做双曲线的 轴,它的长|B1B2|=___;a 实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c间 的关系
2+b2 a 2 c =_____(c>a>0,c>b>0)
2 2 x y b2=16-2=14,故动圆圆心M的轨迹方程为 1(x 2). 2 14
(2)选B.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|= 1 |PF2|=
3
2a=2,解得|PF2|=6,故|PF1|=8,又|F1F2|=10,故△PF1F2
1 为直角三角形,因此 S△PF1F2＝ | PF1 | | PF2 | ＝24. 2
线方程为________.
2 y 【解析】由已知得a=1,c=2,则双曲线方程为x2=1. 3 2 y 答案:x2=1 3
4.经过点A(5,-3),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲 线方程为________. 【解析】设双曲线的方程为:x2-y2=λ,把点A(5,-3)代
x 2 y2 入,得λ=16,故所求方程为 ＝1. 16 16 x 2 y2 答案: ＝1 16 16
【金榜状元笔记】 1.双曲线定义的四点辨析 (1)当0<2a<|F1F2|时,动点的轨迹才是双曲线. (2)当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
(3)当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条 射线. (4)当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
x 2 y2 2.方程 1 (mn>0)表示的曲线 m n
图 形
标准方程
x 2 y2 2 1 2 a b ____________
y2 x 2 2 1 2 a b ____________
(a>0,b>0)
(a>0,b>0) y≤-a或y≥a ____________
性 质
范围
x≥a或x≤-a ____________
对称性 性 质
坐标轴 对称轴:_______ 原点 对称中心:_____ 顶点坐标:
x 2 y2 A. 1(x 2) 2 14 x 2 y2 B. 1(x 2) 2 14 x 2 y2 C. 1(x 2) 2 14 x 2 y2 D. 1(x 2) 2 14
y2 =1的两个焦点为F1,F2,P为双曲线 24 右支上一点.若|PF1|= 4 |PF2|,则△F1PF2的面积为 3
(2)已知双曲线x2-
Leabharlann Baidu
( A.48 B.24 C.12 D.6
)
【解析】(1)选A.设动圆的半径为r,由题意可得|MC1| =r+ 2， |MC2|=r- 2， 所以|MC1|-|MC2|= 2 2 =2a,故由双 曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点, 实轴长为2a= 2 2 的双曲线的右支上,即a= 2，c=4⇒
(
)
x 2 y2 B. 1 4 5 x 2 y2 D. 1 4 3
【解析】选B.由题意可得: b 5 ,c=3,又a2+b2=c2,
a 2
解得a2=4,b2=5,
2 2 x y 则C的方程为 =1. 4 5
x 2 y2 2.双曲线 ＝ 1 上的点P到点(5,0)的距离是6,则 16 9
(1)当m>0,n>0时,表示焦点在x轴上的双曲线. (2)当m<0,n<0时,则表示焦点在y轴上的双曲线.
3.方程的常见设法
x 2 y2 x 2 y2 (1)与双曲线 2 2 =1共渐近线的方程可设为 2 2 a b a b
=λ (λ ≠0). (2)若渐近线的方程为y=± b x,则可设双曲线方程为
x 2 y 2 =λ (λ ≠0). 2 2 a b
a
【教材母题变式】
2 2 x y 1.(2017²全国卷Ⅲ)已知双曲线C: 2 2 =1(a>0,b>0) a b x 2 y2 5 的一条渐近线方程为y= x,且与椭圆 =1有公 12 3 2
共焦点,则C的方程为
x 2 y2 A. 1 8 10 x 2 y2 C. 1 5 4
【母题变式溯源】
题号 1 2
3 4
知识点 双曲线的性质及标准方程 双曲线的定义
双曲线的标准方程 双曲线的标准方程
源自教材 P62²B组 T1 P61²A组 T1 P61²练习 T3 P62²A组 T6
考向一
双曲线的定义及其应用
【典例1】(1)已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( )
坐标轴 对称轴:_______ 原点 对称中心:_____ 顶点坐标: (0,-a) A1 _______, (0,a) A2 ______
顶点
(-a,0) A1_______, (a,0) A2 ______
渐近线 性 质 离心率
b x a y =_______
a x b y =_______