双曲线的概念和性质
高中数学解析几何双曲线性质与定义
双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。
双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。
取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。
设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。
将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：()()22222222a c a y a x a c -=--由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得：双曲线的标准方程：12222=-by a x两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。
两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。
坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。
实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：12222=-by a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()ac ca x c x y =±±+22 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (ca x 2±=)的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
高中双曲线知识点总结
高中双曲线知识点总结引言在高中数学中，双曲线是一个非常重要的概念。
它作为解析几何的一个分支，在许多问题中都有着广泛的应用。
本文将总结高中双曲线的基本概念、性质以及相关的解题方法，帮助读者更加深入地理解和掌握这一知识点。
一、双曲线的定义双曲线是一种平面上的曲线，其定义可以通过以下方法得到：1.定义一条直线（称为准线）和一个点（称为焦点）；2.焦点至准线距离与焦点至双曲线上任意点距离之差的绝对值等于一个常数。
二、双曲线的方程在解析几何中，双曲线通常用点到焦点和焦准距离的关系方程表示。
根据焦准距离的不同符号，双曲线可分为以下两种情况：1.椭圆型双曲线：焦准距离之差的绝对值为正数。
其方程通常为：x^2/ a^2 - y^2 / b^2 = 1，其中a和b为正实数。
2.双曲线型双曲线：焦准距离之差的绝对值为负数。
其方程通常为：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = -1，其中a和b为正实数。
三、双曲线的基本性质双曲线具有以下几个基本性质：1.焦距公式：对于椭圆型双曲线，焦距c满足c²=a²+b²。
对于双曲线型双曲线，焦距c满足c²=a²+b²。
2.离心率：对于椭圆型双曲线，离心率ε满足ε=c/a。
对于双曲线型双曲线，离心率ε满足ε=c/a。
3.对称轴：对于椭圆型双曲线，对称轴是与准线垂直且通过双曲线的中心。
对于双曲线型双曲线，对称轴是与准线垂直且通过双曲线的中心。
4.渐近线：对于椭圆型双曲线，有两条渐近线，其方程分别为y=±b/a* x。
对于双曲线型双曲线，有两条渐近线，其方程分别为y=±b/a * x。
5.顶点：对于椭圆型双曲线，顶点为与对称轴的交点。
对于双曲线型双曲线，顶点为与对称轴的交点。
四、双曲线的画法与性质绘制双曲线的一种常见方法是使用焦点和准线进行绘制。
根据准线的不同位置可以得到不同形状的双曲线，如下所示：1.当准线与焦点重合时，得到的是一条垂直于x轴的对称双曲线。
双曲线的概念及性质
双曲线的概念及性质一，定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|F1F2| ）的轨迹 问题：（1）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于|F1F2| ）的轨迹是什么？ （2）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？（3）若a=0，动点M 的是轨迹什么？①当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时，M 点轨迹是双曲线（其中当|MF1|-|MF2|= 2a 时，M 点轨迹是双曲线中靠近F2的一支； 当|MF2|-|MF1|= 2a 时，M 点轨迹是双曲线中靠近F1的一支）；②当||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时，M 点轨迹是在直线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。
③当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时，M 点的轨迹不存在。
④当||MF1|-|MF2||= 2a=0时，M 点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 。
二，双曲线的标准方程 首先建立起适当的直角坐标系，以1,2F F 所在的直线为x 轴，1,F F 的垂直平分线为y 轴，根据定义可以得到:122a F F =≥ 化简此方程得()22222222()c a x a y a c a --=- ，令222c a b -=得：22221x y a b -=，其中1F (),0c -为左焦点，2F (),0c 为右焦点思考：若焦点落在Y 轴上的时候，其标准方程又是怎样的？ 三，双曲线的性质以双曲线标准方程12222=-by a x ，)0(222>>+=a c b a c 为例进行说明.1．范围: 观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧.由标准方程可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点，令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，它们是双曲线12222=-by a x 的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a ，a 叫半实轴长但y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21，在双曲线中也有非常重要的作用 把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b ，b 叫做虚半轴长实轴：21A A 长为2a ，a 叫做半实轴长. 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长.4． 渐近线：经过2121B B A A 、、、作x 轴、y 轴的平行线b y a x ±=±=,，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为x aby ±=. （1） 定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点M 限远离原点时，点M 条直线叫这一曲线的渐近线；（2） 直线x a by ±=与双曲线12222=-by a x 否相交？（3） 求法：在方程12222=-by ax 中，令右边为零，则0))((=+-b ya xb y a x 即x ab y ±=； 若方程为12222=-b x a y ，则渐近线方程为x ba y ±=5.离心率：ce a= ()0c a >>,所以1e > 2．问题拓展 （一）等轴双曲线1、定义：若a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：222a y x =-或222a x y =-.3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直..3）等轴双曲线方程可以设为：)0(22≠=-λλy x ,当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上. （二）共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程：（1）12222=-b y a x 的共轭双曲线为12222=-a x b y ；12222=-b x a y 的共轭双曲线为12222-=-bx a y ; （2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为12222±=-b y a x 或12222±=-bx a y ;3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如121822=-y x 和1922=-y x ； （2）12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a ≠b ）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；（三）共渐近线的双曲线系方程问题 (1)191622=-y x 与221916y x -=;(2) 191622=-y x 与1183222=-y x 的区别? 问题: 共用同一对渐近线x aby ±=的双曲线的方程具有什么样的特征？ 双曲线2222x y a b λ-=（0λ≠）与双曲线22221x y a b-=有共同的渐近线.当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上.例：求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程. 三、课堂练习：1 .双曲线2214x y k-=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 A .(0, 6) B . (3, 12) C . (1, 3) D . (0, 12)2 .下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是(A)x 23-y 2=1和y 29-x 23=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x 23=1(C)y 2-x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -32y =13 .方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k4 .以x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为 ( )（A ）1322=-y x （B ）1322=-y x （C ）13222-=-y x （D ）13222=-y x 5 .双曲线kx 2+4y 2=4k 的离心率小于2，则k 的取值范围是 ( )（A ）（-∞,0） （B ）(-3,0) （C ）(-12,0) （D ）(-12,1)6 .已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.57. 设C 1：2222b y a x -=1,C 2： 2222a x b y -=1,C 3： 2222ay b x -=1,a 2≠b 2,则 ( )(A)C 1和C 2有公共焦点 (B) C 1和C 3有公共焦点 (C)C 3和C 2有公共渐近线 (D) C 1和C 3有公共渐近线8. 双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为____________ 9. 与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为___ 10. 直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =___________ 11. 求满足下列条件的双曲线的标准方程 （1）、焦点分别为（0，-5）、（0，5），离心率是23； （2）以坐标轴为两条对称轴，实轴长是虚轴长的一半，且过点(3，2)。
高中数学双曲线知识点
高中数学双曲线知识点双曲线知识点概述1. 双曲线的定义双曲线是二次曲线的一种，它的标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中a和b为实数，a > 0, b > 0）。
在直角坐标系中，双曲线是所有满足上述方程的点的集合。
双曲线有两个分支，分别位于两个不同的象限。
2. 双曲线的性质- 对称性：双曲线关于x轴和y轴对称。
- 焦点：双曲线有两个焦点，位于x轴上，其坐标为\((\pm c, 0)\)，其中c是双曲线的焦距，满足\(c^2 = a^2 + b^2\)。
- 准线：每个双曲线的分支都有自己的准线，方程为 \(x = \pm\frac{a^2}{c}\)。
- 渐近线：双曲线有两条渐近线，其方程为 \(y = \pm\frac{b}{a}x\)。
3. 双曲线的方程- 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
- 顶点：双曲线的顶点位于 \((\pm a, 0)\)。
- 焦点距离：双曲线的焦点距离为2c，其中c满足 \(c^2 = a^2 +b^2\)。
- 准线距离：点\(m\)到双曲线准线的距离为 \(\frac{|mc -a^2|}{\sqrt{m^2 + 1}}\)。
4. 双曲线的应用双曲线在许多领域都有应用，例如在天文学中描述行星轨道，在工程学中用于设计某些类型的天线和声纳系统，以及在物理学中描述某些场的分布。
5. 双曲线的图形绘制绘制双曲线时，通常需要确定其顶点、焦点、准线和渐近线的位置。
首先在坐标轴上标出顶点和焦点的位置，然后画出渐近线和准线，最后通过顶点和焦点的连线绘制出双曲线的两个分支。
6. 双曲线的变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。
平移可以通过改变方程中的常数项来实现，而旋转则需要通过更复杂的变换矩阵来完成。
7. 双曲线的方程推导双曲线的方程可以通过从圆锥曲线的一般方程 \(Ax^2 + Bxy + Cy^2+ Dx + Ey + F = 0\) 出发，通过特定的代换和简化得到。
双曲线概念性质一览表
双曲线概念性质一览表
双曲线概念性质一览表，是对双曲线的分类和性质进行全面总结的表格，总结出双曲线的不同特征，以便于我们更好地理解双曲线的基本性质。
双曲线的概念性质一览表主要包括四个方面：
1、双曲线的定义：双曲线是一类代数曲线，它可以用一般方程式表示，它的曲线方程为y2=x2a2-1。
2、双曲线的特征：双曲线有两个焦点和一条渐近线(即y=a)，当a＞0时，双曲线是抛物线，当a＜0时，双曲线是圆锥曲线。
3、双曲线的性质：双曲线的性质是它的轴对称，它的焦点距离和它的离心率有关，它的离心率为|a|，而它的焦点距离则等于|a|。
4、双曲线的应用：双曲线在几何中有着广泛的应用，它可以用来求解三角形的内接圆，可以用来计算两个圆之间的外切线以及两个圆的相交点，还可以应用于几何图形的构造等。
双曲线概念性质一览表，是对双曲线的性质和应用作出概括性总结，它有助于我们更加全面地理解双曲线，并能够用双曲线更好地解决几何问题。
九年级双曲线知识点总结
九年级双曲线知识点总结在九年级学习数学的过程中，我们接触到了许多重要的数学知识点，其中之一就是双曲线。
双曲线是一种特殊的曲线，具有许多有趣的性质和应用。
在本文中，我将对九年级双曲线的知识进行总结和归纳。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上的一条曲线，它的定义是一个动点到两个定点的距离之差等于一个常数的点集。
双曲线有两个分支，并且是无限延伸的。
根据双曲线的性质，我们可以得出以下几个基本结论：1. 双曲线的两个分支相互对称。
2. 双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于一个常数。
3. 双曲线的离心率大于1。
二、双曲线的方程和图像双曲线的方程可以表示为x²/x² − x²/x² = 1或x²/x² − x²/x² = 1（其中x>0且x>0）。
这两种形式分别表示了横轴和纵轴为正半轴的双曲线。
在绘制双曲线图像时，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定焦点的位置。
焦点的位置与离心率有关，根据焦点的位置我们可以确定双曲线的大小和形状。
2. 绘制渐进线。
双曲线的渐进线是双曲线两个分支的延伸线，可以帮助我们更好地理解双曲线的形态。
3. 绘制曲线。
根据给定的方程和坐标轴的刻度，我们可以绘制出双曲线的图像。
三、双曲线的性质和应用1. 焦点和准线：双曲线的焦点是双曲线上的特殊点，与焦点有关的性质有：双曲线上的点到焦点的距离之差等于一个常数；双曲线上的点到准线的距离之差等于一个常数。
2. 直线的切线：双曲线上任意一点处的切线是通过该点并且与两个焦点连线的夹角等于常数的直线。
3. 双曲线的应用：双曲线在物理、经济学等领域有广泛的应用。
例如，在天文学中，行星的运动轨迹可以近似看作双曲线；在经济学中，双曲线可以用来描述供需关系等。
四、常见问题和解答1. 什么情况下双曲线退化为直线？当离心率等于1时，双曲线将退化为一条直线。
2. 如何判断一个方程是双曲线？一个方程是双曲线的充分必要条件是该方程的二次项系数的比例与常数项系数的比例不相等。
双曲线的定义和性质
双曲线的定义和性质
双曲线（Hyperbolic Curve）是数学中一种特殊的曲线，它具有两条反曲线（Hyperbolic curve），沿着直线封闭，它被认为是一种极限曲线，可以收敛到两个不同
的焦点。
虽然双曲线也称为平行双曲线，但它们可以按照任意方向曲折，但不会超过可以
认为是一个自治空间内的某个最大距离。
双曲线常用来描述流动的几何形状，可以用来解
释力的重力学传播效应。
（1）双曲线的最重要的性质就是它收敛到两个焦点，且这两个焦点之间的距离可以
通过一个称为双曲线的焦距的值来衡量。
（2）另外，双曲线完全由两个反曲线（Hyperbolic curves）组成，沿着直线封闭，
且双曲线具有节点，这些节点与直线联系在一起，称为切点，切点与双曲线的凹角相关联。
（3）此外，双曲线还具有两个定点，它们位于曲线上，且称为双曲线的交点，即双
曲线截止点。
双曲线的曲率（Curvature）取决于双曲线的焦距，曲率越大，双曲线的弯
曲越明显。
（4）双曲线的面积是负的，这意味着它的形状并不完全似圆，而是更加具有弯曲性，因此它在空间中形状更复杂。
（5）双曲线具有相反性，也就是说，当它在一个方向运行时，它会在相反的方向运行。
（6）另外，双曲线的拉伸性也很高，可以曲折的的角度和弯曲程度要比普通圆弧更大，这也使它具有很多实用价值。
（7）双曲线可以用于许多不同的几何计算，如极限几何的计算，倒立曲线的计算以
及复杂的曲面的几何计算。
双曲线的定义与性质
双曲线的定义与性质双曲线是二次曲线中的一种，它是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的定义和性质对于数学研究和应用都非常重要，下面将对双曲线的定义、性质和一些实际应用进行简要介绍。
一、双曲线的定义双曲线的定义可以通过两个焦点和常数的关系来描述。
假设平面上有两个给定的焦点F1和F2，并且设距离两个焦点的距离之差等于常数2a，那么满足这个条件的点的轨迹就是一条双曲线。
二、双曲线的方程双曲线的方程可以通过焦点的坐标和常数来表示。
设焦点F1的坐标为（c, 0），焦点F2的坐标为（-c, 0），则满足条件的双曲线的方程可以表示为：(x-c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1或者(x+c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1其中，a和b分别为双曲线的两个主轴，c为焦点到坐标原点的距离。
三、双曲线的性质1. 焦点与双曲线的关系：双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差都等于常数2a，这个性质决定了双曲线的形状。
2. 双曲线的对称性：双曲线关于x轴和y轴都有对称性。
即当(x, y)是双曲线上的一个点时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也是双曲线上的点。
3. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近。
这两条渐近线的方程分别为y=(b/a)x和y=-(b/a)x。
4. 双曲线的焦点和定点：双曲线的焦点是双曲线的一部分，而焦点之间连线上的点叫做定点。
双曲线的定点到焦点的距离等于a。
四、双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。
1. 物理学中，双曲线可以用来描述相对论效应下的时间与空间的关系。
2. 工程学中，双曲线可以用来描述电磁波在天线中的传播特性。
3. 经济学中，双曲线可以用来描述供需均衡时的市场行为。
总结：双曲线是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的方程可以用焦点的坐标和常数来表示。
双曲线具有一些特点，如焦点与双曲线的关系、双曲线的对称性、渐近线以及焦点和定点等。
双曲线的基本概念与性质
双曲线的基本概念与性质双曲线是数学中的一种常见曲线类型，具有独特的性质和应用。
本文将介绍双曲线的基本概念以及它所具有的一些重要性质。
1. 基本概念双曲线是由与两个固定点F1和F2的距离之差恒定的点P所构成的轨迹所形成的曲线。
这两个固定点称为焦点，用F1和F2表示；而距离之差的常数值称为双曲线的离心率，用e表示。
双曲线还包括一条称为主轴的线段，它是与离心率的方向相垂直且通过双曲线的两个焦点的连线。
2. 方程表示双曲线的一般方程可表示为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或(y^2/b^2) -(x^2/a^2) = 1，其中a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
3. 图形特征双曲线具有以下几个重要的性质和特征：- 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称。
- 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别对应于双曲线的两个分支。
渐近线是曲线逐渐趋近但永远不会到达的直线。
- 弦长公式：对于双曲线上的一条弦，其长度可以通过双曲线焦点之间的距离和与双曲线焦点的连线的夹角来计算。
- 曲率：双曲线上不同点的曲率不同，与点到双曲线焦点连线的方向有关。
4. 应用领域双曲线在数学和其他学科中具有广泛的应用。
以下是其中一些典型的应用领域：- 物理学：双曲线可用于描述光和声波的传播、电磁场的分布等现象。
- 工程学：双曲线的性质可用于设计天线、抛物面反射器等。
- 经济学：双曲线可用于描述成本和收益关系、货币供给和需求等经济现象。
- 统计学：双曲线可用于建模统计分布如正态分布、泊松分布等。
- 计算机图形学：双曲线可用于绘制和渲染曲线和物体的形状。
通过了解双曲线的基本概念和性质，我们可以更好地理解和应用这个有趣而重要的数学曲线类型。
无论是在纯数学研究还是实际应用中，双曲线都具有广泛而深远的影响。
双曲线与反比例函数知识点
双曲线与反比例函数知识点双曲线与反比例函数是高中数学中的重要概念，我们通过本文来了解它们的定义、性质和应用。
一、双曲线的定义与性质1.双曲线的定义：双曲线是平面上一点与两个给定点的距离之差的绝对值等于常数的轨迹。
2.双曲线的方程：双曲线的一般方程为 x2/a2 - y2/b2 = 1，其中 a 和 b 是正实数。
3.双曲线的特征：双曲线有两个分离的无限远点，称为顶点 V 和焦点 F，以及两个对称轴。
4.双曲线的性质：双曲线与直线的交点称为焦点，焦点到顶点的距离称为焦半径，焦点到直线的距离称为侧半径。
二、反比例函数的定义与性质1.反比例函数的定义：反比例函数是指一个函数 y = k/x，其中 k 是非零常数。
2.反比例函数的图像特点：反比例函数的图像是一条经过原点的双曲线。
3.反比例函数的性质：当 x 趋近于无穷大或无穷小时，y 趋近于零；当x 趋近于零时，y 趋近于无穷大。
三、双曲线与反比例函数的应用1.物理学中的应用：双曲线与反比例函数在物理学中有广泛的应用，例如在电场分布和天体运动中的描述。
2.经济学中的应用：反比例函数可以用来描述一些经济学现象，例如供求关系中的价格与数量的关系。
3.工程学中的应用：双曲线与反比例函数在工程学中也有一些应用，例如在光学中的透镜成像和弹性力学中的材料应力分析等。
总结起来，双曲线与反比例函数是数学中的重要概念，通过本文的介绍，我们了解了它们的定义、性质和应用。
在学习和应用中，我们可以通过分析双曲线的方程和反比例函数的图像特点来解决一些实际问题，这对于我们的数学学习和科学研究都具有重要的意义。
双曲线的基础知识点
双曲线的基础知识点双曲线是一种常见的曲线形式，它在数学、物理、工程等学科中都有广泛的应用，尤其是在解决椭圆积分、热传导方程、调制等方面。
在本文中，我们将讨论双曲线的一些基础知识点包括定义、性质、图像和相关方程。
一、双曲线的定义在平面直角坐标系中，如果一个点到两个定点F1和F2的距离之差等于一个常数2a，则这个点的轨迹为双曲线。
此时，F1和F2分别称为双曲线的两个焦点，a称为双曲线的半轴长。
双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中a和b分别表示双曲线的半轴长。
二、双曲线的性质1. 对称性双曲线以x轴和y轴为对称轴。
2. 渐近线双曲线有两条与x轴和y轴平行的渐近线，分别为直线y = b/a和y = -b/a。
3. 离心率双曲线的离心率为$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。
4. 参数方程双曲线的参数方程为：$x = a\cosh t$，$y = b\sinh t$，其中$\cosh t = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$，$\sinh t = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$。
三、双曲线的图像双曲线的图像特征是左右开口或者上下开口，这取决于方程中$x^2$和$y^2$的系数符号。
当$x^2$的系数为负，$y^2$的系数为正时，双曲线上下开口。
反之，当$x^2$的系数为正，$y^2$的系数为负时，双曲线左右开口。
4. 图像的应用拱形状的喷泉水流线是一种双曲线，因为水流速度从中心放射状的较慢变为外围的快速，所以在各个地方所花费的时间是相等的，使得水流线呈现左右对称的双曲线形状。
5. 双曲线方程的应用在物理学中，通常使用的双曲线方程为：$y=A\sinh\frac{x}{\lambda}$。
其中，A和$\lambda$分别表示振幅和波长。
这个方程也被称为双曲正弦方程，它描述了在空间中一个无限长的有机会在两个平行面之间反射的波的形态。
双曲线的基本概念与性质
双曲线的基本概念与性质双曲线是高等数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
它具有独特的性质和特点，本文将详细介绍双曲线的基本概念与性质。
一、双曲线的定义与表示双曲线是平面上一组点的集合，这组点的到两个固定点的距离之差的绝对值等于常数。
数学上，双曲线可以用以下方程表示： x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (1)或者y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1 (2)其中，a和b都是正实数，决定了双曲线的形状和尺寸。
二、双曲线的基本性质1. 中心与焦点：双曲线的中心是坐标原点O(0,0)；双曲线的焦点是坐标轴上的两个点F1(-c,0)和F2(c,0)；2. 弦与渐近线：双曲线上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，都满足OA - OB = 2a；双曲线还有两条渐近线，与双曲线无交点但无限趋近于双曲线；3. 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称；4. 弧长与面积：双曲线的弧长计算公式为s = ∫sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx；双曲线的面积计算公式为A = ∫(y * dx)；5. 双曲率：双曲线的曲率计算公式为k = |-2a^2 * y / (a^2 - x^2)^(3/2)|；三、不同双曲线的特点对于方程(1)和(2)，当参数a和b取不同的值时，双曲线呈现出不同的形状和特点。
1. a > b时：双曲线的轴线平行于x轴，焦点在x轴上方或下方，称为水平双曲线。
2. a < b时：双曲线的轴线平行于y轴，焦点在y轴的左侧或右侧，称为垂直双曲线。
3. a = b时：双曲线的轴线与对角线重合，形状接近于两个无限远的平行直线。
四、应用领域与示例双曲线在物理、工程和计算机科学等领域有着广泛的应用。
1. 物理学中，双曲线常用于描述电磁场、光学、天体物理等领域的运动和效应。
2. 工程学中，双曲线常用于建筑设计、交通规划等领域的结构和曲线优化。
3. 计算机科学中，双曲线广泛用于曲线拟合、数据可视化等领域的数学计算和图形绘制。
双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程【知识梳理】 1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长()1222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PF PF a F F -==，此时P 点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值()1e e >的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.3、渐近线双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线为22220x y a b -=，即0x y a b ±=，或by x a=±.【注】①与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a bλλ-=≠；②渐近线为by x a=±的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P x y 为双曲线()22221,0x y a b a b -=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左、右焦点，则10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，其中c e a=. 5、通径过双曲线()22221,0x y a b a b -=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22b AB a=.6、焦点三角形P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左右焦点，称12PF F ∆为双曲线的焦点三角形.若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122cot 2F PF S b θ∆=.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.8、双曲线()22221,0x y a b a b-=>的焦点三角形的内心的轨迹为()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线:0l Ax By C ++=，双曲线Γ：()22221,0x y a b a b-=>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔->； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔-=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔-<.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质点(,)P x y 是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM a =，即动点M 的点的轨迹为()222x y a x a +=≠±.【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交双曲线()22221,0x y a b a b -=>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E为CD 的中点，则2122b k k a=.13、中点弦的斜率直线l 过()()000,0M x y y ≠与双曲线()22221,0x y a b a b -=>交于,A B 两点，且AM BM =，则直线l 的斜率2020AB b x k a y =.14、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作实轴的平行线，交渐近线于,M N 两点，则PM PN =定值2a .15、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于,M N 两点，则OMPNS =定值2ab .【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同焦点1F 、2F ，P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=_________.【变式5】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D . [1,0](1,)-+∞【变式6】直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OB b OA a OP +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）A .222a b +≥B .2122≥+b a C .222a b +≤ D .2212a b +≤【变式7】设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=的四个顶点为四边形面积为1S ,连接其四个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为_________.例2、设12F F 、分别是双曲线2219y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12PF PF +=_________.【变式1】过双曲线221109x y -=的左焦点1F 的弦6AB =，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620x y -=的左、右焦点1F 、2F ，P 是双曲线上的动点，且19PF =，则2PF =_________.例3、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积.例4、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.例5、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C :21(4)x y y x -=≤； （1）画出曲线C 的图像；（2）若直线l ：1y kx =-与曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围； （3）若()0P p ，()0p >，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线l ：10ax y --=与曲线C ：2221x y -=. （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（2）若直线l 被曲线C 截得的弦长PQ =，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(14)A ，,P 是双曲线右支上的动点，求PF PA +的最小值.【变式】P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于_________.例8、已知动圆P 与两个定圆()2251x y -+=和()22549x y ++=都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【变式1】ABC ∆的顶点为()50A -，,()5,0B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)F，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，线段MN的中点的横坐标为23-，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916x y -=，若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点P 为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线y x =对称 （1）求双曲线的方程；（2）设直线1y mx =+与双曲线C 的左支交于,A B 两点，另一直线l 经过点(2,0)M -及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围.【变式】设直线l 的方程为1y kx =-，等轴双曲线C ：222x y a -=右焦点为).（1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点A B 、,记AB 中点为M ，求实数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点()1,0Q -，求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C 方程为：2212y x -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值；（2）设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y （000x y ≠）处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B 、，证明AOB ∠的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12A A 、在x轴上，其渐近线方程是3y x =±，双曲线过点()6,6P . （1）求双曲线的方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M N 、，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论.例13、已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，例14、已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点是()22,0F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上．（3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．l。
3、双曲线概念及几何性质
双曲线的概念与几何性质一、知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质3.重要结论1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a . 2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.二、例题精讲 + 随堂训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )(2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( ) 解析 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.解析 设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.答案 x 28－y 28＝13.已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.解析设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝17－1，故|PF2|＝6.答案64.(2018·浙江卷)双曲线x23－y2＝1的焦点坐标是()A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).答案B5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝35x x，则a＝________.解析由题意可得3a＝35，所以a＝5.答案56.(2018·北京卷)若双曲线x2a2－y24＝1(a>0)的离心率为52，则a＝________.解析由题意可得，a2＋4a2＝⎝⎛⎭⎪⎫522，即a2＝16，又a>0，所以a＝4.答案4考点一双曲线的定义及应用【例1】(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________. 解析 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)C (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)【训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2(2)(2019·杭州质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝c a ＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14.又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154，∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2.(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10. 答案 (1)B (2)B考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )81045C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 解析 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 答案 (1)B (2)C规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值. 2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1B.x 29－y 23＝132332(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________________.解析 (1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－3b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.答案 (1)C (2)y 243－x 23＝1考点三 双曲线的性质 角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x解析 法一 由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x . 答案 A角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D.2(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.(1，2)D.(2，＋∞)解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233. 答案 (1)C (2)A角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 答案 A【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516(2)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.解析 (1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0，又圆心坐标为(2，1)，则|b －2a |a 2＋b2＝1，得3a ＝4b ， 所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，则e 2＝2516， 又e >1，故e ＝54.(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的一个焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2). 答案 (1)B (2)(0，2)三、课后练习1.(2019·河南适应测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±12x C.y ＝±22xD.y ＝±2x解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为⎩⎨⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案 D2.已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[2，2＋6] B.[2，3＋1] C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]解析 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32， ∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]. 又e >1，∴e ∈[2，3＋1].答案 D3.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.解析 设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2. 答案3－1 24.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA→·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 5.已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.解析 由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ，即m ＋n ＝3，则4e 21－e 22＝4×4－m 4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0.不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点， 则⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2.解得⎩⎨⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，则|PF 1|·|PF 2|＝3.答案 0 3。
双曲线的全部知识和性质.doc
双曲线的全部知识和性质.双曲线和方程[知识分类]1.双曲线的定义(1)在平面上，点到两个固定点的距离之差的绝对值等于固定长度的点的轨迹称为双曲线，其中两个固定点称为双曲线的焦点，固定长度称为双曲线的实轴长，线段的长度称为双曲线的焦距。
这个定义是双曲线的第一个定义。
[笔记]在这种情况下，点的轨迹是两条光线。
(2)在平面上，点到固定点的距离和点到固定线的距离为固定值的点的轨迹称为双曲线，其中固定点称为双曲线的焦点，固定线称为双曲线的准线，固定值称为双曲线的偏心率。
这个定义是双曲线的第二个定义。
2.双曲线的简单性质标准方程顶点坐标焦点坐标左焦点，右焦点上焦点，下焦点虚轴和虚轴实轴长度，虚轴长度实轴长度，虚轴长度有界性，关于轴对称对称，关于轴对称对称，也关于原点对称。
双曲线的渐近线是，也就是，或。
[笔记](1)与双曲线具有相同渐近线的双曲方程可以设置为:(2)具有渐近线的双曲方程可以设置为:(3)共轭双曲线:已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。
共轭双曲线有相同的渐近线。
④等边双曲线: 实轴等于虚轴的双曲线叫做等边双曲线。
4.从焦点半径的双曲线上的任何一点到双曲线焦点的距离称为焦点半径。
如果双曲线上的任何一点是双曲线的左右焦点，那么，在哪里。
5.通过双曲线焦点的路径是一条垂直于虚轴的直线，在两点处与双曲线相交，该线段称为双曲线路径。
6.焦点三角形是双曲线上的任何一点，它是双曲线的左右焦点，称为双曲线的焦点三角形。
如果是这样，焦三角的面积为:7.从双曲线焦点到渐近线的距离是(假想的半轴长度)。
8、双曲线焦三角内弹道是9.直线和双曲线之间的位置关系直线，双曲线:，并相交；与…相切。
与…分离。
10.与渐近线平行(不重合)的直线与双曲线只有一个交点。
[笔记]在平面的某一点，直线和双曲线之间只有一个交点。
这种直线可以是4、3、2或0.11.焦点三角形角平分线的性质点是双曲线上的移动点，是双曲线的焦点，是角平分线上的点，那么，移动点的点的轨迹是. 12.双曲线上任意两点的坐标性质是双曲线上的任意两点，如果。
双曲线定义及性质整合
双曲线定义及性质的应用一、双曲线的定义双曲线第一定义第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.例1.已知F 是双曲线22:122x y C -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，()0,2A .求APF ∆周长的最小值及此时P 的坐标.【解析】双曲线左焦点1(2,0)F -，则有12PF PF a -=，则12AF AP PF AF AP PF a ++=+++12AF AF a ≥++1262AF AF a =++=，当且仅当1,,A P F 共线时取等号，即APF ∆周长最小为62.此时直线1AF 方程为2y x =+，与双曲线联立得到031(,)22P -.总结：1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时，常利用双曲线的第一定义及三角形三边关系. 2. 注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值.练习1. 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点,则PF PA +的最小值为________.9【解析】双曲线右焦点2(4,0)F -，22229PF PA a PF PA a AF +=++≥+=，当且仅当2,,A P F 共线时取等号.练习 2.P 为双曲线22115y x -=右支上一点，,M N 分别是圆22(4)4x y ++=，和22(4)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为__________．【答案】5.提示：例2. 已知双曲线22:14x C y -=，P 是C 右支上的任意点.（1）设点A 的坐标为(3,0)，求PA 的最小值，及此时P 点坐标. （2）设右焦点为2F ，求2PF 的最小值，及此时P 点坐标.【解析】（1）设P 的坐标为(,)x y ，则2x ≥，2222(3)(3)14xPA x y x =-+=-+-225512468()4455x x x =-+=-+，又因为2x ≥，则当125x =时PA 最小值为255，此时1211(,)55P ±. （2）设P 的坐标为(,)x y ，则2x ≥，右焦点2(5,0)F ，2222(5)(5)14xPA x y x =-+=-+-2545()45x =-，又因为2x ≥，则当2x =时PA 最小值为52-（即c a -），此时(2,0)P . 双曲线第二定义第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)1(>e e ，则动点M 的轨迹叫做双曲线.2PF e d =（d 为点P 到右准线的距离），左、右准线分别为2a x c=±，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.例1.已知点P 为2213y x -=上一点，右焦点2F ，(5,3)A ，（1）求21||||2PA PF +的最小值，及此时P 点坐标. （2）求21||||2PA PF -的最大值，及此时P 点坐标.【解析】（1）易知2e =，设点P 到与右焦点2F 相应的右准线12x =的距离为d ，则2||2PF e d ==，则21||||||2PA PF PA d +=+，则当直线垂直于准线时合题意，且点P 在双曲线的右支上，此时点P 纵坐标为3，代入双曲线方程，求得点P 的坐标为(2,3).（2）21||||||2PA PF PA d -=-，即在双曲线上求点P ，使得点P 到定点A 的距离与到右准线12x =的距离之差最大，则点P 在双曲线的左支上，直线垂直于准线时符合题意，且此时点P 的纵坐标为3，代入双曲线方程，求得点P 坐标为(2,3)-.练习1. 已知点(3,2),(2,0)A F 在双曲线2213y x -=上求一点P ，使1||||2PA PF +的值最小.【答案】21(,2)3. 例2.已知P 是双曲线221169y x -=右支上的动点，点F 是双曲线的右焦点，定点()8,4A ，求45PF PA +的最小值.24【解析】如图，设1P 为P 在右准线165x =上的投影，1A 为A 在右准线165x =上的投影，154F PP P e ==，45PF PA +155PP PA =+1116)55(85()245PP PA AA ≥=⨯-==+，此时P 与1A ，A 共线，在如图0P 位置.练习2. 已知P 是双曲线2211620y x -=右支上的动点，点P 是双曲线的右焦点，定点()7,6A ，求23PF PA +的最小值. 【答案】19.双曲线第三定义第三定义：在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 中，,A B 两点关于原点对称，P 是双曲线上异于,A B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则1222-==⋅e ab k k PBPA .（反之亦成立）.（★焦点在Y 轴上时，椭圆满足22ba k k PBPA =⋅） 推导过程：设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=-b y a x ①，1221221=-b ya x ②；由①－②得22122212b y y a x x -=-，所以22212212a b x x y y =--，所以222111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==-+-为定值． 例1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的实轴长为4，若点P 是双曲线上一点，过原点的直线l 与双曲线相交与N M ,两点，记直线PN PM ,的斜率分别为21,k k .若4121=⋅k k ，则双曲线的方程为 . 1422=-y x 【解析】由第三定义知4122=a b ，且42=a ，则双曲线方程为1422=-y x . 二、双曲线的性质（1）双曲线的通经长为22b a；（2）设P 双曲线右支上一点，12,F F 分别是左右焦点，则1PF c a ≥+，2PF c a ≥-，当且仅当P 为右支顶点时取等号；（3）双曲线的焦点到准线的距离为b ；（4）双曲线上的任意点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值222a b c；（5）设P 为双曲线上任一点，三角形21F PF ∆的内切圆与x 轴的切点为)0,(a 或)0,(a -（内切圆圆心在直线a x =或a x -=上）；推导过程：（3）)0,0(12222>>=-b a by a x 双曲线的右焦点为(,0)c ，准线为0bx ay ±=，焦点到渐近线的距离bcd b c===；（4）设双曲线上的点00(,)P x y ，则有1220220=-by a x ，即22202202b a y a x b =-，渐近线分别为0bx ay -=，0bx ay +=，则点00(,)P x y 到渐近线的距离0000122bx ay bx ay d cb a --==+，002bx ay d c+=，则22222200000012222()()b x a y bx ay bx ay a b d dc c c--+===. （5）证明：设21F PF ∆的内切圆与三条边分别相切与点S R Q ,,.P 是双曲线右支上的点，由双曲线的定义知a PF PF 221=-，a SF PS QF PQ 2)()(21=+-+①，因为S R Q ,,为切点，则2211,,RF SF RF QF PS PQ ===，则①式即为a RF RF 221=-，设切点)0,(R x R ，则有a x c x c R R 2)(=--+，则a x R =，所以21F PF ∆的内切圆与x 轴的切点为)0,(a .当P 是双曲线左支上的点时，同理可证切点为)0,(a -.离心率问题1.基本方法：从定义出发，找到,,a b c 的等式或不等式；2.几何法：根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如等腰、钝角、锐角，中垂线，垂直、内外切等.（双曲线本身所具有的不等关系）例1：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别是12,F F ，若P是其上的一点，且122PF PF =，则双曲线的离心率的取值范围是______.(1,3]e ∈【解析】122PF PF a -=，122PF PF =，则124,2PF a PF a ==，则P 在双曲线的右支上，则有可知2PF c a ≥-，即2a c a ≥-，则3e ≤，则(1,3]e ∈.（或由1PF c a ≥+解得(1,3]e ∈）.例2.如图，12,F F 是椭圆2214x y +=和双曲线2C 的公共焦点，若四边形12AF BF 为矩形，则双曲线的离心率为____________.62e =【解析】关于共焦点的问题，c 相等，在椭圆里面124AF AF +=，在12Rt AF F ∆中满足2221212AF AF F F +=，解得1222,22AF AF =-=+，则在双曲线中2,3a b ==，则62e =. （直线和双曲线的位置关系）例3.已知双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.[2,)+∞【解析】过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为1个或2个，取决于这条直线和右渐近斜率的关系，如果这条直线的斜率为k 小于等于右渐近线by x a=的斜率，则与右渐近线只有一个交点，如上图所示可得 3ba≥，解不等式可求出2e ≥. 练习1.设双曲线2221x y a -=与直线:1l x y +=相交于不同的点,A B ，求双曲线的离心率的取值范围.6(,2)(2,)2⋃+∞【解析】联立化简得2222(1)220a x a x a -+-=，所以210,0a -≠∆>，即02,1a a <<≠，22111a e a a+==+，所以62e >且2e ≠. 例4.已知12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【技法点拨】 “焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 (1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦 定理、双曲线的定义经常使用. (2)技巧:经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用完全平方公
坐标轴 对称轴:_______ 原点 对称中心:_____ 顶点坐标: (0,-a) A1 _______, (0,a) A2 ______
顶点
(-a,0) A1_______, (a,0) A2 ______
渐近线 性 质 离心率
b x a y =_______
a x b y =_______
线方程为________.
2 y 【解析】由已知得a=1,c=2,则双曲线方程为x2=1. 3 2 y 答案:x2=1 3
4.经过点A(5,-3),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲 线方程为________. 【解析】设双曲线的方程为:x2-y2=λ,把点A(5,-3)代
x 2 y2 入,得λ=16,故所求方程为 ＝1. 16 16 x 2 y2 答案: ＝1 16 16
【母题变式溯源】
题号 1 2
3 4
知识点 双曲线的性质及标准方程 双曲线的定义
双曲线的标准方程 双曲线的标准方程
源自教材 P62²B组 T1 P61²A组 T1 P61²练习 T3 P62²A组 T6
考向一
双曲线的定义及其应用
【典例1】(1)已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( )
2 2 x y b2=16-2=14,故动圆圆心M的轨迹方程为 1(x 2). 2 14
(2)选B.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|= 1 |PF2|=
3
2a=2,解得|PF2|=6,故|PF1|=8,又|F1F2|=10,故△PF1F2
1 为直角三角形,因此 S△PF1F2＝ | PF1 | | PF2 | ＝24. 2
点P的坐标是________.
x 2 y2 1, 【解析】设P(x,y),由已知得: 16 9 x 5 2 y 2 36， x 8, 解得 所以P(8, 3 3 ). y 3 3.
答案:(8, 3 3 )
x 2 y2 3.以椭圆 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲 4 3
x 2 y2 A. 1(x 2) 2 14 x 2 y2 B. 1(x 2) 2 14 x 2 y2 C. 1(x 2) 2 14 x 2 y2 D. 1(x 2) 2 14
y2 =1的两个焦点为F1,F2,P为双曲线 24 右支上一点.若|PF1|= 4 |PF2|,则△F1PF2的面积为 3
图 形
标准方程
x 2 y2 2 1 2 a b ____________
y2 x 2 2 1 2 a b ____________
(a>0,b>0)
(a>0,b>0) y≤-a或y≥a ____________
性 质
范围
x≥a或x≤-a ____________
对称性 性 质
坐标轴 对称轴:_______ 原点 对称中心:_____ 顶点坐标:
(2)已知双曲线x2-
( A.48 B.24 C.12 D.6
)
【解析】(1)选A.设动圆的半径为r,由题意可得|MC1| =r+ 2， |MC2|=r- 2， 所以|MC1|-|MC2|= 2 2 =2a,故由双 曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点, 实轴长为2a= 2 2 的双曲线的右支上,即a= 2，c=4⇒
c (1,+∞) a e=____,e∈________
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长 性质 实虚轴 2a 线段B1B2叫做双曲线的虚 |A1A2|=___; 2b 叫做双曲线的 轴,它的长|B1B2|=___;a 实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c间 的关系
2+b2 a 2 c =_____(c>a>0,c>b>0)
【金榜状元笔记】 1.双曲线定义的四点辨析 (1)当0<2a<|F1F2|时,动点的轨迹才是双曲线. (2)当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
(3)当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条 射线. (4)当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
x 2 y2 2.方程 1 (mn>0)表示的曲线 m n
(1)当m>0,n>0时,表示焦点在x轴上的双曲线. (2)当m<0,n<0时,则表示焦点在y轴上的双曲线.
3.方程的常见设法
x 2 y2 x 2 y2 (1)与双曲线 2 2 =1共渐近线的方程可设为 2 2 a b a b
=λ (λ ≠0). (2)若渐近线的方程为y=± b x,则可设双曲线方程为
第七节 双曲线的概念和性质
【教材基础回顾】
1.双曲线的定义
之差的绝 平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离_________
对值 为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线.这 _. 焦距 两个定点叫做双曲线的_____,
2.双曲线的标准方程与几何性质
(
)
x 2 y2 B. 1 4 5 x 2 y2 D. 1 4 3
【解析】选B.由题意可得: b 5 ,c=3,又a2+b2=c2,
a 2
解得a2=4,b2=5,
2 2 x y 则C的方程为 =1. 4 5
x 2 y2 2.双曲线 ＝ 1 上的点P到点(5,0)的距离是6,则 16 9
x 2 y 2 =λ (λ ≠0). 2 2 a b
a
【教材母题变式】
2 2 x y 1.(2017²全国卷Ⅲ)已知双曲线C: 2 2 =1(a>0,b>0) a b x 2 y2 5 的一条渐近线方程为y= x,且与椭圆 =1有公 12 3 2
共焦点,则C的方程为
x 2 y2 A. 1 8 10 x 2 y2 C. 1 5 4