(完整版)北大版金融数学引论第二章答案,DOC
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hing at a time and All things in their being are good for somethin
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解:由题意知 那么
PVC PVA
= =
a¬np v2n
=0.49 =0.61
PVB
a¬np
a¬np
PVD
vn
13n iv
22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元,直至还清,如果最
3.设有n年期期末年金,其中年金金额为n,实利率i=1。试计算该年金的现值。
解:
n
PV = na¬npi
1−vn
=n 1
=
n
(n+1)nn2−nn+2
(n+1)n
4.已知:a¬np
=X,a2¬np
=Y。试 1
用X和Y表示d。
解:a2¬np
=a¬np
+a¬np (1−d)n则
d=1−(
Y −X X
)n
100a60¬p1% =6000(1+i)−k
解得
25.已知a¬2pi=1.75,求
i。 解:由题意得
k=29 1−v2=1.75i i=9.38%
解得 26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元,20 年
的期末年金为每年1072元。计算年利率。 解:
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¨¬np
=a¬np +1−vn n−1
=(1+i)n−1 d=
(1+i)n−1=(1+i)n−1
i
1+i
i
+(1+i)
所以
¨¬np
=s¬−np 1+(1+i)n
hing at a time and All things in their being are good for somethin
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付一个货币单位,则两种年金的现值相等。
解:第一种年金的现值为
∫1 vtdt= 1−e−δ
0
δ
第二种年金的现值为e−δt,
则
1−e−δ =e−δt
所以 t=1+1δlnδi
δ
41.已知:δ=0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现
值。(结果和李凌飞的不同)
解:设季度实利率为i。因a(t)=eδt,则e14δ =(1+i)所以
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27.某人在银行中存入一万元10年定期存款,年利率4%,如果前5年半内提前支 取,银行将扣留提款的5%作为惩罚。已知:在第4、5、6和7年底分别取出K元, 且第十年底的余额为一万元,计算K。 解:由题意可得价值方程
10000=105Ka¬2p4%v3+Ka¬2p4% +10000v10
则 K=
10000−10000v10
=979.94 105a¬2p4%v3+a¬2p4%v5 28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半,
前四年半的年利率为i,后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。
解:选取第一次还款日为比较日,有价值方程
1
P(1+i)2=X+2Xa¬4pi+2Xa¬5pj
版权所有,翻版必究 证明:
s ¬ +a ¬ 10 p s ¬ = 10 p
∞ p (1+i)10−1+1
i (1+i)10−1
i
1 i = 1−v10
7.已知:半年结算名利率6%,计算下面10年期末年金的现值:开始4年每半
年200元,然后减为每次100元。 解:
PV =100a¬8p3%
+100a20¬p3%
12.从1980年6月7日开始,每季度年金100元,直至1991年12月7日,季结算名利 率6%,计算:1)该年金在1979年9月7日的现值;2)该年金在1992年6月7日的终 值。 解:
PV =100a49¬p1.5%
−100a¬2p1.5% =3256.88
AV =100s49¬p1.5% −100s¬2p1.5% =6959.37
以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍,计算n。
解:两年金现值相等,则4×a36¬pi=5×18,可知v18=0.25 由题意,(1+i)n=2 解得n=9
24.某借款人可以选择以下两种还贷方式:每月底还100元,5年还清;k个月后一
次还6000元。已知月结算名利率为12%,计算k。 解:由题意可得方程
30
piYa10¬piv10
所以 Y =3−v10−2v30 .8 1+v10−2v30=1
14.已知年金满足:2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36;另
外,递延n年的2元n期期末年金的现值为6。计算i。
解:由题意知,
2a2¬npi+3a¬npi =36
2a¬npivn=6
解得
15.已 知
5.已知:a¬7p 解:
=5.58238,a11¬p=7.88687,a18¬p=10.82760。计算i。
a18¬p
=a¬7p
解得 6.证明: 1
s 10¬p+a∞¬p
s10¬p
。 i=6.0%
1−v10=
北京大学数学科学学院金融数学系
+a11¬pv7
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38.已知i(4)=16%。计算以下期初年金的现值:现在开始每4个月付款1元, 共12年。(问题) 解:
39.已知:δt=1+1t。求¯¬np 的表达式。
解:
¯¬np =
∫n
0
e−R0tδsdsdt=ln(1+n)
40.已知一年内的连续年金函数为常数1,计算时刻t,使得只要在该时刻一次性支
解:设年实利率为i,由两年金的现值相等,X 有 1000¨20¬pi= i v29
解得
X=1000((1+i)30−(1+i)10)
20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D:前n年,A、B和C三人
平分每年的年金,n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相
同。计算(1+i)n。
后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。
解:
100a¬np4.5%v4<1000 100an+1¬p4.5%v4>1000
列价值方程
解得 n=17
解得
100a16¬p4.5%+Xv21=1000 X=146.07
23.36年的期末年金每次4元,另有18年的期末年金每次5元;两者现值相等。如果
金,计算R。
解:由题意得 解得
R=1.95
20=
1 d
=
R a¬2pi
i
36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延
时间。
解:设贴现率为d,则 1+i
(2)
=
1
2 (1−d)12
设递延时间为t,由题意
得
10000=2×500vt¨(2)∞¬p
解得
1
t=
ln20+ln(1−(1−d)2) ln(1−d)
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17.计算下面年金在年初的现值:首次在下一年的4月1日,然后每半年一 次2000元,半年结算名利率9%。 解:年金在4月1日的价值为P
=1+4.4.5%×2000=46444.44,则
aa1¬1¬7p=
p
a¬3p +sX¬p
i=8.33%
aY¬p
。求X,Y和Z。
+sZ¬p
解:由题意得 解得
1−v7 = (1+i)X−v3 1−v11 (1+i)Z−vY
16.化简a15¬p (1+v15+v30)。 X=4,Y =7,Z=4
解:
a15¬p (1+v15+v30)=a45¬p
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解:设年实利率为i,则(1+2%)2=1+i。有题意得
75 0
i
+
750 s ¬ 20 pii
=Ra30¬pi
解得
R=1114.77
来自百度文库
34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91,计算年利率。
解:由题意知 解得
i=20%
1 = 125 is¬3pi 91
35.已知:1元永久期初年金的现值为20,它等价于每两年付款R元的永久期初年
解:
S=1000s20¬p7%+Xs10¬p7% X=
50000−1000s20¬p7%=651.72 s ¬ 10 p7%
2.价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式:每月底还250元,期限4年。
月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解:设首次付款为X,则有
解得
10000=X+250a48¬p1.5% X=1489.36
PV =100¨80¬pi =100(1+i)
1−v80 i =4030.53
42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定 速连续地从基金中取钱,该基金可以维持多少时间?
解:设遗产为1,则永久年金每年的年金为i,那么A,B,C得到的遗产的现值
为i ,而D得到遗产的现值为vn。由题意得 ¬ 3a np
i
所以
1−vn 3
=vn
(1+i)n=4 21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊,A接受第一个n年,B接受第二 个n年,C接受第三个n年,D接受所有剩余的。已知:C与A的份额之比为0.49, 求B与D的份额之比。
(1+i)−4
所以 P(1+i)12
X= 1+2a¬4pi+2a¬5pj (1+i)−4
29.已知半年名利率为7%,计算下面年金在首次付款8年后的终值:每两年付
款2000元,共计8次。
解:
30.计算下面十年年金的现值:前5年每季度初支付400元,然后增为600元。已知
年利率为12%。(缺命令)
解:
PV =4×400+4×600v5=11466.14
5%
PV = P (1+i)2+23
=41300.657
18.某递延永久年金的买价为P,实利率i,写出递延时间的表达式。
解:设递延时间为t,有
解得
t=−ln(1+lniPi)
P = 1i vt
19.从现在开始每年初存入1000元,一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一
定的金额X,直至永远。计算X。
31.已知半年结算的名贴现率为9%,计算每半年付款600元的十年期初年金的现
值表达式。
解:
32.给出下面年金的现值:在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
解:
PV
=
1 s¬4
a ¬ 24 piv3=
(1+i)24−1 (1+i)27[(1+i)4−1]
= a28¬−pa¬4p s¬3p +s¬1p
pi
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33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末
年金代替,半年换算名利率4%,求R的表达式。
37. 计算:3a¬(2)np
=2a(2)2¬np =45s¬(2) a¬npi
i s¬1pi
1p ,计算i。
=45×
解:
i
i
解得:vn=1 ,i=
31×。ai(¬2)npi=2×
i2
i2
2 30
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第7页
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13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1-10年和第21-30年中每
年1元,在第11-20年中每年2元;年金B在第1-10年和第21-30年中每年付款金
额为Y,在第11-20年中没有。已知:v10=1,计算Y 。
解:因两种年金价值相等,则有
2
a ¬ a ¬ Ya ¬− 30 pi+ 10 piv10=
=2189.716
8.某人现年40岁,现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元,共计25年。然
后,从65岁开始每年初领取一定的退休金,共计15年。设前25年的年利率为8%,
后15年的年利率7%。计算每年的退休金。
解:设每年退休金为X,选择65岁年初为比较日
1000¨25¬p8%=X¨15¬p7% 解得 9.已知贴现率为10%,计算¨¬8p X=8101.65
。
解:d=10%,则 i=1
10.求证:
1−d −1=19
(1)¨¬np
=a¬np
+1−vn;
¨¬8p =(1+i)
=5.6953 1−v8
i
(2)¨¬np
=s¬−np
1+(1+i)n
i+1−vn
并给出两等式的实际解释。
证明:(1)¨¬np
= = = 1−dvn 1−ivn 1−vn
所以
1+i
(2)¨¬np
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第二章习题答案
1.某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存
款1000元,后十年每年底存款1000+X元,年利率7%。计算X。