高三数学总复习：解答题可以写两种答案吗
2020高考冲刺数学总复习压轴解答：椭圆相关的综合问题(附答案及解析)
专题三 压轴解答题第二关 椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．【考点方向标】 方向一 中点问题典例1．（2020·山东高三期末）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ，求AOB ∆面积的最大值.【举一反三】（2020·河南南阳中学高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．方向二 垂直问题典例2．（2020·安徽期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB =，12DN DE =，求MNF ∆面积的最大值．【举一反三】（2020·吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.方向三 面积问题典例3．（2020·安徽高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线OP 的斜率为12-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于C ，D 两点，记ACD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.典例4．（2020·河南高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【举一反三】（2020·全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．（2020·重庆高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率e =且圆221x y +=经过椭圆C的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ，N 两点，证明：OMN 的面积为定值（O 为坐标原点）.方向四 范围与定值问题典例5．（2020·内蒙古高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率32e =，且圆222x y +=过椭圆C 的上，下顶点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.典例6．（2020·全国高三专题练习）已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合，且过点(22,1).（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A ，B 作抛物线的切线，两切线的斜率121k k =-，若记AB 的中点的横坐标为m ，AB 的弦长()g m ，并求()g m 的取值范围.【举一反三】（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长是离心率的两倍，直线l ：4430x y -+=交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足2234OM ON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．（2020·四川石室中学高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求ⅠOMN 面积的取值范围.【压轴选编】1.（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.2.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于M,N 两点，ΔF 2MN 的周长为8，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A,B 是椭圆上两动点，线段AB 的中点为P ，OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2（O 为坐标原点），且4k 1k 2=−3，求|OP |的取值范围.3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，且经过点1,2⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点，求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围．4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点F(√3,0)是椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M (√3,12)在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的A,B 两点，且k OA +k OB =−12（O 为坐标原点），求直线l 斜率的取值范围.5.【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点B(0,−2)和椭圆M:x 24+y 22=1. 直线l:y =kx +1与椭圆M 交于不同的两点P,Q . (Ⅰ) 求椭圆M 的离心率； (Ⅰ) 当k =12时，求ΔPBQ 的面积；（Ⅰ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 .6. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y =kx +m 与椭圆C 交于A,B 两点且∠AOB 为直角，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）求AB 长度的最大值.7．（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆短轴的一个顶点，并且12PF F ∆是面积为1的等腰直角三角形. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线1:1l x my =+与椭圆E 相交于,M N 两点，过M 作与y 轴垂直的直线2l ，已知点3(,0)2H ,问直线NH 与2l 的交点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.8．（2020·江西高三）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点1)2-.（1）求椭圆C 的方程.（2）若A ，B 是椭圆C 上的两个动点（A ，B 两点不关于x 轴对称），O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在非零常数λ，使当12k k λ=时，AOB ∆的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.9．（2020·甘肃省岷县第一中学期末）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.10．（2020·江苏高三期末）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PFQ 的周长； （2）求1PF M 面积的最大值.11．（2020·河南高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于M ，N 两点.（1）证明：当229a b +取得最小值时，椭圆C . （2）若椭圆C 的焦距为2，是否存在定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.12．（2020·四川高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴顶点分别为,A B ,且短轴长为2,T 为椭圆上异于,A B 的任意-一点,直线,TA TB 的斜率之积为13- (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,圆223:4O x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点,求POQ △面积的最大值.13．（2020·内蒙古高三）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线260x -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.14．（2020·河北高三期末）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0)，四条直线x a =±，y b =±所围成的区域面积为（1）求C 的方程；（2）设过(0,3)D 的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，设弦AB 的中点为M ，且1||||2OM AB =（O 为原点），求直线l 的方程.15．（2020·山东高三期末）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为1F 、2F ，点1,2Q ⎛ ⎝⎭满足：122QF QF a +=.已知直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点2F ，且222AF F B =，求直线l 的方程；（3）若直线l 与曲线ln y x =相切于点(),ln T t t （0t >），且AB 中点的横坐标等于23，证明：符合题意的点T 有两个，并任求出其中一个的坐标.16．（2020·安徽高三）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点(1,1)M 离心率为2.（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值.17．（2020·福建省福州第一中学高三开学考试）已知O 为坐标原点，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为y x =截圆O ：222x y a +=与椭圆E 所得的弦长之比为2，椭圆E 与y 轴正半轴的交点分别为A .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点()00,B x y （00y ≠且01y ≠±）为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB ，AC分别交x 轴于点M ，N .试判断OM ON ⋅是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由.18．（2020·江西高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭是椭圆上的点，,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由.19．（2020·甘肃高三期末）设椭圆2222:1y x C a b +=(0)a b >>的离心率是2，直线1x =被椭圆C 截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，当MAB △的面积最大时，求直线l 的方程.20．（2020·江西高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，F 为椭圆C 的右焦点，2D ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，C 的离心率2e =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 的直线l 过点F 交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的中垂线交x 轴于点P ，试探究||||PF MN 是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.21．（2020·青海高三期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，（1）试求椭圆M 的方程； （2）若斜率为12的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点3(1)2P ，为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论22．（2020·四川高三期末）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 满足直线AP 与BP 的斜率之积为34-.记点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)若M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 过点10,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠若存在，请求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.23．（2020·山西高三期末）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，M 是椭圆C 上一点，当112MF F F ⊥时，有213MF MF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点2F 的动直线l 与椭圆交于,A B 两点，试问在x 铀上是否存在与2F 不重合的定点T ，使得22ATF BTF ∠=∠恒成立？若存在，求出定点T 的坐标，若不存在，请说明理由.专题三 压轴解答题第二关 椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．【考点方向标】 方向一 中点问题典例1．（2020·山东高三期末）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，PF =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ，求AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点,2P c ⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭，b =则有222212c a ⎛⎫⎪⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OMAB ⊥，由OM =AB12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. 【举一反三】（2020·河南南阳中学高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆C 的离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，详见解析.【解析】（1）抛物线2y =的焦点为，则c =椭圆C 的离心率c e a ==2222,1a b a c ==-=. 故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）方法一：显然点(1,)M t 在椭圆C 内部，故t <<，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，易知0t ≠，设直线l 的方程为(1)y k x t =-+， 代入椭圆方程并化简得22222(14)(88)48440k x kt k x k kt t ++-+-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212288214kt k x x k -+=-=+，解得14k t =-. 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线:4(1)m y t t x -=-，即(43)y t x =-.令430x -=，此时3,04x y ==，于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.方法二：显然点(1,)M t 在椭圆C 内部，故t <<，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有221114x y +=，222214x y +=，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y +-++-=.由线段AB 的中点为(1,)M t ，则12122,2x x y y t +=+=， 故直线l 的斜率121214y y k x x t-==--.因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线:4(1)m y t t x -=-，即(43)y t x =-. 令430x -=，此时3,04x y ==，于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭. 当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.方向二 垂直问题典例2．（2020·安徽期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB =，12DN DE =，求MNF ∆面积的最大值． 【答案】（1）2212x y +=；（2）19.【解析】（1）根据条件有22222{13124a b a b=+=，解得222,1a b ==，所以椭圆22:12x C y +=． （2）根据12AM AB =，12CN CD =可知，,M N 分别为,AB DE 的中点， 且直线,AB DE 斜率均存在且不为0，现设点()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为1x my =+，不妨设0m >， 联立椭圆C 有()222210m y my ++-=， 根据韦达定理得：12222m y y m +=-+，()12122422x x m y y m +=++=+， 222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，MF =，同理可得12NF m =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 所以MNF ∆面积2112142MNFm m S MF NF m m ∆+==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，现令12t m m =+≥， 那么21124294MNF t S t t t∆==≤++，所以当2t =，1m =时，MNF ∆的面积取得最大值19． 【举一反三】（2020·吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=；（2）169【解析】（1）依题意画出下图可设2(,)b P c a-，(,0)A a ，(0,)B b ，则有：22221122OPAB POB b b k k ac a S bc b c a∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，Ⅰ椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）Ⅰ当1l x ⊥，2//l x 时，22122222MSNTb S a b a===； Ⅰ当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x ky =-，2l ：11x y k=-，分别联立椭圆方程2212x y +=，联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=， Ⅰ12222k y y k +=+，12212y y k -=+， ⅠMN==)2212k k +=+，同理)22221111122k k ST k k⎫+⎪+⎝⎭==++， Ⅰ12S MN ST =()()()22228112221k k k +=++()()()222241221k k k +=++()2222241221()2k k k +≥+++()22224(1)169914k k +==+，当且仅当22221k k +=+即21k =即1k =±时等号成立， 故四边形MSNT 的面积S 的最小值min 169S =．方向三 面积问题典例3．（2020·安徽高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线OP 的斜率为12-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于C ，D 两点，记ACD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，由条件知直线MN 的斜率为12121y y x x -=-，直线OP 的斜率为121212y y x x +=-+，而22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得，22221212220x x y y a b --+=， 所以()()()()22212121222212121212y y y y y y b a x x x x x x -+--===---+，即222a b =， 又左焦点为()1,0F -，所以22222221c a b b b b =-=-==，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）设直线CD 的方程为1x my =-，记C ，D 过标为()11,x y ，()22,x y ，则1121212S AF y y y y =⋅-=-，2121212S BF y y y y =⋅-=-， 所以2112S S y y -=-.联立方程，22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()222210m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，12y y -==，令21tm =+，则1t ≥，且()()()2222818882122122m tt mt t+==≤=+++++，当且仅当1t =时等号成立， 所以2112S S y y -=-21S S -.典例4．（2020·河南高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b ab +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）22142x y+=；（2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意可得222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，22b =，因此，椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =.若直线l 的方程为1x =，联立221142x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时，MN =OMDN的面积为122=同理，当直线l 的方程为1x =-时，可求得四边形OMDN； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，代人到22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，122412km x x k -∴+=+，21222412m x x k -=+，()228420k m ∆=+->， ()12122221my y k x x m k∴+=++=+，12MN x x =-==，点O 到直线MN的距离d =，由OM OC OD +=，得122421D km x x x k =+=-+，122212D my y y k =+=+， 点D 在椭圆C 上，所以有222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，由题意知，四边形OMDN 为平行四边形，∴平行四边形OMDN的面积为1222OMDN OMNS S MN d ∆==⨯⨯=()222121k k +====+故四边形OMDN . 【举一反三】（2020·全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．【答案】（Ⅰ）2241x y +=;（Ⅰ）（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）12S S 的最大值为94，此时点P的坐标为1,)24【解析】（Ⅰ=，解得2a b =． 因为抛物线的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,2a b ==，所以椭圆的方程为2241x y +=．（Ⅰ）（1）设2,(0)2m m P m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y =可得y x '=，所以直线l 的斜率为m ，其直线方程为2()2m y m x m -=-，即22my mx =-． 设()()()112200,,,,,A x y B x y D x y ，联立方程组2222m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理可得()223441410m x m x m +-+-=，故由其判别式>0∆可得0m <<3122441m x x m +=+， 故312022241x x m x m +==+,代入22m y mx =-可得()202241m y m =-+， 因为0014y x m =-，所以直线OD 的方程为14y x m=-． 联立14y x m x m⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得点的纵坐标为14y =-，即点M 在定直线14y =-上． （2）由（1）知直线l 的方程为22m y mx =-，令0x =得22m y =-，所以20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2322212,,,0,,2241241m m m P m F D m m ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()2111||124S GF m m m ==+，()()22202211||2841m m S PM m x m +=⋅-=+， 所以()()()221222241121m m S S m ++=+，令221t m =+，则1222(21)(1)112S t t S t t t -+==-++， 因此当112t =，即2t =时，12S S 最大，其最大值为94，此时2m =满足>0∆，所以点P 的坐标为1,24⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，因此12S S 的最大值为94，此时点P 的坐标为1,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （2020·重庆高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率2e =，且圆221x y +=经过椭圆C的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ，N 两点，证明：OMN 的面积为定值（O 为坐标原点）.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】（1）解：因为圆221x y +=过椭圆C 的上、下顶点，所以1b =.又离心率2e ==，所以21314a -=，则24a =. 故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）证明：椭圆221:1164x y C +=，当直线l 的斜率不存在时，这时直线l 的方程为2x =±，联立2221164x x y =±⎧⎪⎨+=⎪⎩，得y =||MN =则12||2OMN S MN ∆=⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418410k x kmx m +++-=，由0∆=，可得2241m k =+. 联立221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418440k x kmx m +++-=.设()11,,M x y ()22,N x y ，所以1228,41km x x k +=-+()21224441m x x k -=+，则||MN ==.因为原点到直线l的距离d ==1||2OMNS MN d =⋅=. 综上所述，OMN ∆的面积为定值方向四 范围与定值问题典例5．（2020·内蒙古高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =且圆222x y +=过椭圆C 的上，下顶点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.【答案】（1）22182x y +=；（2）是，0. 【解析】（1）因为圆222x y +=过椭圆C的上，下顶点，所以b =又离心率2e =3a c =，于是有222b a a bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =所以椭圆C 的方程为22182x y +=； （2）由于直线l 的斜率为12，可设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆C ：2248x y +=， 可得222240x tx t ++-=.由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，所以()2244240t t ∆=-->， 整理解得22t -<<设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由于点P 与点E 关于原点的对称，故点()11,E x y --，于是有122x x t +=-，21224x x t =-.若直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，由于点()2,1A -，则21211122AE AQ y y k k x x ---+=++-+()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-， 又Ⅰ1112y x t =+，2212y x t =+. 于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++--()211212124x x x x tx tx x x =--+++--()12124x x t x x =-+--()()224240t t t =-----=，故直线AE 与AQ 的斜率之和为0，即0AE AQ k k +=.典例6．（2020·全国高三专题练习）已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A ，B 作抛物线的切线，两切线的斜率121k k =-，若记AB 的中点的横坐标为m ，AB 的弦长()g m ，并求()g m 的取值范围.【答案】（1）2215y x +=；（2）[)8,+∞. 【解析】（1）由题意可知，设抛物线方程为：22x py =点在抛物线C 上，所以抛物线C 的方程为28x y =，所以椭圆的上焦点为(0,2)，所以椭圆的标准方程为2215y x +=；（2）设211,,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,8x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在A 点处的切线的斜率114x k =，在B 点处的切线的斜率224x k =，又1212116x xk k ⋅==-，所以 22212188ABx x k x x -=-218x x +=,4m =212x x m +=，而12|||AB x =-===所以g()m =20m ≥，所以()8g m ≥.【举一反三】（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍，直线l ：4430x y -+=交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足2234OM ON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．【答案】（1）22241x y +=（2）证明见解析【解析】由椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍得22a e =，即2a c =………..Ⅰ 设1122(,),(,)A x y B x y联立22221x y a b+=和4430x y -+=整理得222222239()0216a b x a x a a b +++-=； 所以2122232ax x a b +=-+， 依题意得：22232=1aa b--+，即222a b =……..Ⅰ· 由ⅠⅠ得依题意得：2211,24a b ==，所以椭圆C 的方程为22241x y +=.（2）设3344(,),(,)M x y N x y ，由223||||4OM ON +=得2222334434x y x y +++= 因为3344(,),(,)M x y N x y 在椭圆C 上，所以22332244241,241,x y x y ⎧+=⇒⎨+=⎩223412x x +=， 22223422342222343411(12)(12)44OM ON x x y y K K x x x x -⋅-⋅===222234342234112()4)1164x x x x x x -++=（ （2020·四川石室中学高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求ⅠOMN 面积的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2) (0,1)．【解析】(1)由已知得222222{2a bc a c a b =⨯==-⇒2{1a b ==ⅠC 方程：2214x y += (2)由题意可设直线l 的方程为：y kx m =+(0,0)k m ≠≠联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得：222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 则Ⅰ22226416(14)(1)k m k m =-+-2216(41)0k m =-+>,此时设11(,)M x y 、22(,)N x y Ⅰ212122284(1),1414km m x x x x k k-+=-=++ 于是2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++又直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，Ⅰ2221211121212()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==⇒22228014k m m k-+=+ 由0m ≠得：214k =⇒12k =±.又由Ⅰ0>得：202m << 显然21m ≠（否则：120x x =，则12,x x 中至少有一个为0，直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在，矛盾！）设原点O 到直线l 的距离为d ,则1212OMNSMN d x ==-12== 故由m 得取值范围可得ⅠOMN 面积的取值范围为(0,1)【压轴选编】1.（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，M 的坐标为62,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，最大值为．【解析】（Ⅰ）因为e =2223c a =，于是223a b .设椭圆C 上任一点，椭圆方程为，，=Ⅰ当，即时，（此时舍去；Ⅰ当即时，综上椭圆C 的方程为．（Ⅰ）圆心到直线l 的距离为221d m n=+，弦长，所以OAB ∆的面积为点,当时，由得综上所述，椭圆上存在四个点2⎫⎪⎪⎝⎭、⎛⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭，使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大，且最大值为12. 2.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于M,N 两点，ΔF 2MN 的周长为8，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A,B 是椭圆上两动点，线段AB 的中点为P ，OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2（O 为坐标原点），且4k 1k 2=−3，求|OP |的取值范围.【解析】（1）根据题意4a =8，∴a =2. 把y =x 代入椭圆方程x 24+y 2b 2=1得，x 2=4b 24+b 2， 因为直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427， 所以2√4b 24+b 2+4b 24+b 2=4√427，解得b 2=3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，P (x 0,y 0)，由k 1k 2=−34，得3x 1x 2+4y 1y 2=0，当AB 的斜率不存在时，x 1=x 2，y 1=−y 2，3x 12−4y 12=0，又3x 12+4y 12=12， ∴x 12=2，这时|OP |=√2.当AB 的斜率存在时，设直线AB:y =kx +m ，由得{3x 2+4y 2=12y =kx +m ：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 由Δ>0得m 2<4k 2+3Ⅰx 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，结合3x 1x 2+4y 1y 2=0得2m 2=4k 2+3≥3Ⅰ 由ⅠⅠ知m ≠0且m 2≥32，x 0=x 1+x 22=−2k m ，y 0=kx 0+m =32m ，∴|OP|2=x 02+y 02=4k 2m 2+94m 2=2m 2−3m 2+94m 2=2−34m 2≥32∴√2>|OP |≥√62综上|OP |的取值范围为[√62,√2]. 3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且经过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点，求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围．【解析】（1）2212x y += （2）PM 的斜率不存在时， MN 的垂直平分线与x 轴重合，没有截距，故PM 的斜率存在. 设PM 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程 得： ()2212860k x kx +++=PM 与椭圆有两个不同的交点()()22841260k k ∴∆=-+⨯>，即232k >，即2k >或2k <-设()()1122,,,,M x y N x y MN 的中点()0,0Q x y 则120002242,221212x x k x y kx k k +==-=+=++ MN ∴的垂直平分线的方程为222141212k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭∴在x 轴上的截距为222242121212k k kk k k -=-+++ 设()2212xf x x =-+，则()()()22222112x f x x-+'=， 232x ∴>时， ()0f x '>恒成立x ∴>()0;f x x <<<时()0f x <<MN ∴的垂直平分线在x 轴上的截距的范围是⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点F(√3,0)是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M (√3,12)在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的A,B 两点，且k OA +k OB =−12（O 为坐标原点），求直线l 斜率的取值范围. 【解析】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为(−√3,0)，所以点M 到两焦点的距离之和为√(2√3)2+(12)2+12=4.所以a =2.又因为c =√3，所以b =1，则椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.（2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，k OA +k OB =0，不符合题意. 故设l 直线的方程为y =kx +m ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1，可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0.所以{x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4(m 2−1)4k 2+1, 而k OA +k OB =y 1x 1+y 2x 2=(kx 1+m )x 2+(kx 2+m )x 1x 1x 2=2k +m (x 1+x 2)x 1x 2=2k +−8km 24(m 2−1)=−2km 2−1，由k OA +k OB =−12，可得m 2=4k +1.所以k ≥−14，又因为16(4k 2−m 2+1)>0，所以4k 2−4k >0.综上，k ∈[−14,0)∪(1,+∞).5.【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点B(0,−2)和椭圆M:x 24+y 22=1. 直线l:y =kx +1与椭圆M 交于不同的两点P,Q . (Ⅰ) 求椭圆M 的离心率；(Ⅰ) 当k =12时，求ΔPBQ 的面积；（Ⅰ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 . 【解析】（Ⅰ）因为a 2=4,b 2=2，所以a =2,b =√2,c =√2 所以离心率e =c a=√22（Ⅰ）设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)若k =12，则直线l 的方程为y =12x +1由{x 24+y 22=1y =12x +1 ，得3x 2+4x −4=0 解得 x 1=−2,x 2=23设A(0,1)，则 S ΔPBQ =12|AB|(|x 1|+|x 2|)=12×3×(23+2)=4（Ⅰ）法一： 设点C(x 3,y 3)，因为P(x 1,y 1)，B(0,−2)，所以{x 3=x 12y 3=−2+y 12又点P(x 1,y 1)，C(x 3,y 3)都在椭圆上，所以{x 124+y 122=1(x 12)24+(−2+y 12)22=1解得{x 1=√142y 1=−12 或{x 1=−√142y 1=−12 所以 k =−3√1414或k =3√1414法二：设C(x 3,y 3)显然直线PB 有斜率，设直线PB 的方程为y =k 1x −2 由{x 24+y 22=1y =k 1x −2， 得 (2k 12+1)x 2−8k 1x +4=0所以{Δ=16(2k 12−1)>0x 1+x 3=8k12k 12+1x 1x 3=42k 12+1又x 3=12x 1 解得{x 1=−√142k 1=−3√1414 或 {x 1=√142k 1=3√1414所以{x 1=−√142y 1=−12或 {x 1=√142y 1=−12所以k =3√1414或k =−3√14146. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y =kx +m 与椭圆C 交于A,B 两点且∠AOB 为直角，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）求AB 长度的最大值. 【解析】（I ）由2a =4，Ⅰa =2，e =√32，Ⅰc =√3，b =1所以椭圆方程为x 24+y 2=1（II ）设A(x 1,y 1) B(x 2,y 2)，把y =kx +m 代入x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0 x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，∠AOB =90°，OA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=0， x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=04k 2+4=5m 2，Δ=16(4k 2+1−m 2)>0 Ⅰ4k 2+1−m 2=4k 2+1−4k 2+45>0 Ⅰ16k 2+1>0，则|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−4k 2+454k 2+1=45√5⋅√16k 4+17k 2+116k 4+8k 2+1。
高三数学第一轮复习教学计划
高三数学第一轮复习教学计划一、指导思想以学校和高三年部的教学计划为目标, 深入钻研教材及总复习大纲, 依靠集体智慧处理教研、教改资源及多媒体信息。
根据我校实际, 合理运用现代教学手段、技术, 提高课堂效率, 全面提高数学教学质量, 以确证学生在明年高考中取得好的成绩。
二、目标要求1. 深入钻练教材, 结合所教学生实际, 确定好每节课所教内容, 及所采用的教学手段、方法。
2. 本学期重点为高考第一轮复习, 为明年的下一轮复习以及高考打基础。
3. 继续培养学生的学习兴趣, 帮助学生解决好学习教学中的困难, 提高学生的数学素养和综合能力。
4. 本期重点培养和提升学生的抽象思维、概括、归纳、整理、类比、相互转化、数形结合等能力, 最终提升学生的整体解题能力。
三、教材分析本期教材: 高中全部必修、选修教材及第一轮复习资料。
四、具体方法措施1. 高质量备课, 参考网上的课件资料, 结合我校学生实际, 充分发挥全组老师的集体智慧, 确保每节课件都是高质量的。
统一教案、统一课件。
2. 高效率的上好每节课, 真正体现学生主体、教师主导作用。
保证练的时间, 运用多媒资源, 让学生对知识充分理解。
3. 狠抓作业批改、讲评, 教材作业、练习课内完成, 课外作业认真批改、讲评。
一题多思多解, 提炼思想方法, 提升学生解题能力。
4. 认真落实月考, 考前作好指导复习, 试卷讲评起到补缺长智的作用。
5. 继续抓紧培优补差工作, 让优等生开阔知识视野, 丰富各种技能, 达到思维多角度, 解题多途径, 效果多功能之目的。
让弱科学生基础打牢, 技能提升, 方法灵活得当, 收到弱科不弱之效果。
链接汇总:集合的概念与运算向量平面向量的坐标运算平面向量的数量积线段的定比分点、平移正弦定理、余弦定理不等式的性质不等式的解法不等式的应用不等式的证明（二）不等式的证明（一）轨迹问题含有绝对值的不等式抛物线双曲线算数平均数与几何平均数椭圆平面向量圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线位置关系目前考生正处于高考的第二轮复习当中, 要注意培养和提高数学能力, 同时避免题海战术。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习高考解答题专项一第1课时利用导数证明不等式北师大版含答案
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：高考解答题专项一 函数与导数中的综合问题第1课时 利用导数证明不等式1.(2021吉林长春诊断测试)已知函数f (x )=a e x-e x.(1)若对任意的实数x 都有f (x )≥0成立,求实数a 的取值范围; (2)当a ≥1且x ≥0时,证明:f (x )≥(x-1)2.2.(2021浙江宁波高三期末)已知函数f (x )=a e x-4x ,a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间; (2)当a=1时,证明:f (x )+x 2+1>0.3.(2021辽宁朝阳高三一模)已知函数f (x )=e x-a sin x-x ,曲线f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为x+y-1=0.(1)求实数a 的值; (2)证明:∀x ∈R ,f (x )>0.4.(2021河北石家庄高三三模)已知函数f (x )=a ln x-x 2+x+3a.若0<a<14,证明:f (x )<e xx -x 2+x.5.(2021福建泉州高三二模)已知函数f (x )=a -lnx x在x=1处取得极值.(1)求实数a 的值,并求函数f (x )的单调区间; (2)证明:f (x )+x+23>0.6.(2021湖南郴州高三三模)已知函数f (x )=(x+1)ln x. (1)求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)证明:ln21+ln76+…+ln(n 2-2)n 2-3+2n>32(n ≥2,n ∈N *).高考解答题专项一 函数与导数中的综合问题第1课时 利用导数证明不等式1.(1)解若对任意的实数x 都有f (x )≥0,即a e x-e x ≥0,所以a ≥exex .令g (x )=ex e x ,则g'(x )=1−xe x -1.令g'(x )=0得x=1.当x<1时g'(x )>0;当x>1时g'(x )<0,所以g (x )在x=1处取得极大值亦即最大值g (1)=1,即a ≥1.故实数a 的取值范围是[1,+∞).(2)证明由于当a ≥1且x ≥0时,f (x )=a e x-e x ≥e x-e x ,因此只需证明e x-e x ≥(x-1)2.只需证明(x -1)2+exe x≤1.设h (x )=(x -1)2+exe x-1(x ≥0), 则h'(x )=(x -1)(3-e -x)e x.所以当0≤x<3-e 时,h'(x )<0,h (x )单调递减;当3-e <x<1时,h'(x )>0,h (x )单调递增;当x>1时,h'(x )<0,h (x )单调递减.又因为h (0)=0,h (1)=0,且x=1是h (x )的极大值,因此当x ≥0时,必有h (x )≤0,故原不等式成立.2.(1)解f'(x )=a e x-4.当a ≤0时,f'(x )<0,f (x )在R 上单调递减; 当a>0时,令f'(x )<0,可得x<ln 4a ,令f'(x )>0,可得x>ln 4a ,所以f (x )在(-∞,ln 4a )上单调递减,在(ln 4a ,+∞)上单调递增.综上所述,当a ≤0时,f (x )的单调递减区间为(-∞,+∞);当a>0时,f (x )的单调递增区间为(ln 4a ,+∞),单调递减区间为(-∞,ln 4a ).(2)证明当a=1时,f (x )=e x-4x ,令g (x )=f (x )+x 2+1=e x -4x+x 2+1.g'(x )=e x -4+2x ,令h (x )=e x -4+2x ,则h'(x )=e x +2>0恒成立,所以g'(x )在R 上单调递增,又因为g'(0)=-3<0,g'(1)=e -2>0,由函数零点存在定理可得存在x 0∈(0,1),使得g'(x 0)=0,即e x 0-4+2x 0=0.当x ∈(-∞,x 0)时,g'(x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(x 0,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )min =g (x 0)=e x 0-4x 0+x 02+1=4-2x 0-4x 0+x 02+1=x 02-6x 0+5,由于x 0∈(0,1),所以由二次函数性质可得g (x )min >g (1)=0,所以g (x )>0,故f (x )+x 2+1>0.3.(1)解根据题意,f (x )=e x-a sin x-x ⇒f'(x )=e x-a cos x-1,因为曲线f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为x+y-1=0,所以f'(0)=-1⇔1-a-1=-1⇒a=1.故实数a 的值为1.(2)证明由于f (x )=e x-sin x-x ,要证明∀x ∈R ,f (x )>0,需证明e x-x>sin x.因为sin x ∈[-1,1],故需证明e x-x>1.令g (x )=e x-x ,g'(x )=e x-1, 令g'(x )=0⇒x=0.g'(x )>0⇒x>0,g'(x )<0⇒x<0,所以函数g (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故g (x )min =g (0)=1,即∀x ∈R ,e x-x ≥1,所以e x-x-sin x ≥1-sin x ≥0,所以∀x ∈R ,f (x )>0.4.证明由已知得需证a (ln x+3)<e xx .因为a>0,x>0,所以e xx >0,当ln x+3<0时,不等式显然成立. 当ln x+3>0时,由于0<a<14,所以a (ln x+3)<14(ln x+3),因此只需证14(ln x+3)<e xx ,即证lnx+34x<e xx 2.令g (x )=lnx+34x,所以g'(x )=-lnx -24x 2,令g'(x )=0,得x=e -2,当x ∈(0,e -2)时,g'(x )>0,当x ∈(e -2,+∞)时,g'(x )<0,即g (x )在(0,e -2)上单调递增,在(e -2,+∞)上单调递减.所以g (x )max =g (e -2)=e 24.令h (x )=e x x2,则h'(x )=e x (x -2)x 3,当x ∈(0,2)时,h'(x )<0,当x ∈(2,+∞)时,h'(x )>0,所以h (x )在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以h (x )min =h (2)=e 24.所以g (x )≤h (x ),但两边取得最值的条件不相等,即证得a (ln x+3)<e xx ,故f (x )<e xx -x 2+x. 5.(1)解f'(x )=-1-a+lnx x 2,由题意得f'(1)=-1-a=0,即a=-1.于是f'(x )=lnxx 2(x>0), 当x ∈(0,1)时,f'(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,所以实数a 的值为-1,f (x )的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)证明要证f (x )+x+23>0,即证-1-lnx x+x+23>0,因为x>0,即证x 2+23x-ln x-1>0.令g (x )=x-1-ln x ,则g'(x )=1-1x =x -1x,所以当x ∈(0,1)时,g (x )单调递减,当x ∈(1,+∞)时,g (x )单调递增,所以g (x )≥g (1)=0,即ln x ≤x-1,则ln2x ≤2x-1,即ln2+ln x ≤2x-1,所以ln x ≤2x-1-ln2,则x 2+23x-ln x-1≥x 2+23x-2x+1+ln2-1=x 2-43x+ln2.令h (x )=x 2-43x+ln2=(x -23)2+ln2-49,又因为ln2>ln √e =12,所以ln2-49>0,则h (x )>0,故x 2+23x-ln x-1>0成立,则f (x )+x+23>0.6.(1)解函数f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=ln x+x+1x,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为k=f'(1)=2,又因为f (1)=0,所以该切线方程为y=2(x-1).(2)证明设F (x )=(x+1)ln x-2x+2(x>1),则F'(x )=ln x+1x -1,令g (x )=F'(x ),则g'(x )=1x −1x 2=x -1x 2,当x>1时,g'(x )>0,所以g (x )=F'(x )在(1,+∞)上单调递增,又因为g (1)=0,所以g (x )=F'(x )>0,即F (x )在(1,+∞)上单调递增,所以F (x )>F (1)=0, 故当x>1时,(x+1)ln x>2(x-1).令x=n 2-2>1(n ≥2,n ∈N *), 则(n 2-1)ln(n 2-2)>2(n 2-3),所以ln(n 2-2)n 2-3>2n 2-1=2(n -1)(n+1)=1n -1−1n+1,因此∑k=2nln(k 2-2)k 2-3>1-13+12−14+13−15+14−16+…+1n -2−1n+1n -1−1n+1,化简可得∑k=2nln(k 2-2)k 2-3>1+12−1n −1n+1>32−2n .所以ln21+ln76+…+ln(n 2-2)n 2-3+2n >32(n ≥2,n ∈N *),故原不等式成立.。
高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案2-2
第2章 第2节一、选择题1. 若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增答案：B4)，∵e>1，∴函数f (x )的单调减区间为[32，4)．4. (2010·安庆一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ， x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a的取值范围是( )A. (0,1)B. [13，1) C. (0，13]D. (0，23]答案：B解析：据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1.在(1,2)上是减函数且f (x )>0，故选D.二、填空题7. 函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．答案：[0，32]解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0).作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，32]．8. 若在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是________．答案：3∵区间(m,2m ＋1)中2m ＋1>m ，∴m >－1. 综上，－1<m ≤0. 三、解答题10. (2010·青岛调研)已知f (x )＝x x －a (x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．(1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2(x1－x2) (x1＋2)(x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，(2)令h(t)＝s(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m.由h′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(舍去)．则有∴h (t )在(0,2)内有最大值1－m ，∴s (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)时恒成立等价于h (t )<0恒成立，即1－m <0，∴m >1.12. (2010·广东一模)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1－m ·2xx. 化简得：⎩⎪⎨⎪⎧m ·2x ＋2＋21＋m ·2x≥0，m ·2x ＋1＋41＋m ·2x≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <－12x 或m ≥－12x ＋1，m ≤－22x或m >－12x.上面不等式组对一切x ∈[0,1]都成立，故⎨⎧m <－1或m ≥－14，－1，∴m ≤－2或m ≥－14.。
2023届辽宁省丹东市高三总复习质量测试(二)数学答案
丹东市2023届高三总复习质量测试（二）数学试题评分参考一、选择题1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．A7．D8．D二、选择题9．BC 10．AC11．ABD12．BCD三、填空题13．7 14．2215．1216．9四、解答题 17．解：（1）当n ≥2时，由na n ＋1＝S n －n (n ＋1)2＋1得(n －1)a n ＝S n －1－n (n －1)2＋1，两式相减得a n ＋1－a n ＝－1．由a 1＝5，得a 2＝S 1＝5，从而{a n ＋1}是以5为首项，－1为公差的等差数列． 故a n ＋1＝a 2＋(n －1)(－1)＝6－n ．因为7－1＝6≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，7－n ，n ≥2．…………（5分）（2）由题设及（1）可知S n ＝na n ＋1＋n (n ＋1)2－1＝－12(n －6.5)2＋1618． 当n ＝6和n ＝7时，S n 取最大值20，于是S n ≤20．…………（10分）18．解：（1）f (x )＝2sin(ωx ＋π3)，由2πω＝π，得ω＝2．…………（6分）（2）解法1：由f (x )在[π12，7π12]上是减函数知7π12－π12≤T 2，因为T ＝2πω，所以ω≤2．因为ω＞0，x ∈[π12，7π12]，所以ωx ＋π3∈[ωπ12＋π3，7ωπ12＋π3]．由0＜ω≤2得π3＜ωπ12＋π3≤π2，π3＜7ωπ12＋π3≤3π2，由题意只能ωπ12＋π3＝π2，从而ω＝2．…………（12分） 解法2：因为ω＞0，x ∈[π12，7π12]，所以ωx ＋π3∈[ωπ12＋π3，7ωπ12＋π3]．由题设知[ωπ12＋π3，7ωπ12＋π3]⊆[2k π＋π2，2k π＋3π2]，k ∈Z ，从而⎩⎨⎧ωπ12＋π3≥2k π＋π2，7ωπ12＋π3≤2k π＋3π2．解得24k ＋2≤ω≤247k ＋2．因为ω＞0，所以⎩⎨⎧247k ＋2＞0，24k ＋2≤247k ＋2．故－712＜k ≤0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，于是ω＝2．…………（12分）19．解法1：（1）因为平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，所以AD ⊥平面CDD 1C 1，∠D 1DC 是二面角D 1－AD －C 的平面角，故∠D 1DC ＝120º．连结DE ，则DE ⊥C 1D 1，从而DE ⊥CD ．又AD ⊥CD ，DE ∩AD ＝D ，所以CD ⊥平面AED ，因此CD ⊥AE ． …………（6分）yπ12π37π12 5π63πxO－22D 1 CBAA 1B 1C 1 FE GODA H D 1 CBAA 1B 1C 1FE G I D（2）设AB ＝2，则DE ＝3，所以CE ＝AE ＝AD 2＋DE 2＝7．连结AC 交BD 于点O ，连结CE 交交DF 于点G ，连结OG ．因为AE ∥平面BDF ，所以AE ∥OG ，因为O 为AC 中点，所以G 为CE 中点，故OG ＝12AE ＝72．且直线OG 与DF所成角等于直线AE 与DF 所成角．在Rt △EDC 中，DG ＝12CE ＝72，因为OD ＝2，所以cos ∠OGD ＝(72)2＋(72)2－(2)22×72×72＝37．因此直线AE 与DF 所成角的余弦值为37．…………（12分）解法2：（1）同解法1．（2）设AB ＝2，则DE ＝3，所以AE ＝AD 2＋DE 2＝7． 取DC 中点为G ，连结EG 交交DF 于点H ，则EG ＝DD 1＝2．连结AG 交BD 于点I ，连结HI ，因为AE ∥平面BDF ，所以AE ∥IH ．直线HI 与DH 所成角等于直线AE 与DF 所成角． 正方形ABCD 中，GI ＝13AG ，DI ＝13DB ＝223， 所以GH ＝13EG ，故HI ＝13AE ＝73． 在△DHG 中，GH ＝13EG ＝23，GD ＝1，∠EGD ＝60º， 由余弦定理DH ＝73．在△DHI 中，cos ∠DHI ＝(73)2＋(73)2－(223)22×73×73＝37．因此直线AE 与DF 所成角的余弦值为37．…………（12分）解法3：（1）同解法1．（2）由（1）知BE ⊥平面ABCD ，以D为坐标原点，→DA 为x 轴正方向，|→DA |为2个单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ．由（1）知DE ＝3，得A (2，0，0)，B (2，2，0)， C (0，2，0)，E (0，0，3)，C 1(0，1，3)．则→CC 1＝(0，－1，3)，→DC ＝(0，2，0)， →AE ＝(－2，0，3)，→DB ＝(2，2，0)．由→CF ＝t →CC 1(0＜t ＜1)，得→DF ＝→DC ＋→CF ＝(0，2－t ，3因为AE ∥平面BDF ，所以存在唯一的λ，μ∈R ，使得→AE ＝λ→DB ＋μ→DF ，解得t ＝23，从而→DF ＝(0，43，233)．所以直线AE 与DF 所成角的余弦值为|cos<→AE ，→DF >|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪→AE ·→DF |→AE||→DF |＝37．…………（12分） 20．解：（1）f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax x ，由f ′(12)＝0得a ＝2．若a ＝2，当0＜x ＜12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＞12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．因此a ＝2． …………（4分）（2）设g (x )＝xf (x )＋(x －12)2，则g ′(x )＝ln x －2x ＋2＝f (x )．因为g ′(e －2)＝－2e －2＜0，g ′(12)＝1－ln2＞0，所以存在唯一x 0∈(0，12)，使g ′(x 0)＝0，且当0＜x ＜x 0时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x 0＜x ＜12时，g ′(x )＞0，f (x )单调递增，当1＜x ＜32时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．由g ′(x 0)＝0得ln x 0＝2x 0－2，所以g (x 0)＝(x 0－12)2＞0．因此当0＜x ＜12时，g (x )≥g (x 0)＞0．而g (32)＝12(ln27－ln8e)＞0，于是当0＜x ＜32时，xf (x )＋(x －12)2＞0．…………（12分） 21．解：（1）法1：记甲地小白鼠样本X 值的平均数为-x ，方差为s 21；记乙地小白鼠样本X 值的平均数为-y ，方差为s 22，则-x ＝14，-y ＝21，s 21＝6，s 22＝17，所以 μ＝120-x ＋90-y 210＝120×14＋90×21210＝17．σ2＝120[s 21＋(-x －μ)2]＋90[s 22＋(-y －μ)2]210＝4×[6＋(14－17)2]＋3×[17＋(21－17)2]7≈23．…………（4分）法2：记甲地小白鼠样本的X 值为x 1，x 2，…，x 120，平均数为-x ，方差为s 21；记乙地小白鼠样本的X 值为y 1，y 2，…，y 90，平均数为-y ，方差为s 22．因为-x ＝14，-y ＝21，s 21＝6，s 22＝17．所以μ＝120-x ＋90-y 210＝120×14＋90×21210＝17． 由∑k ＝1120(x k －-x )2＝120s 21，∑k ＝1120(x k －-x )＝0，可得∑k ＝1120(x k－μ)2＝∑k ＝1120(x k －-x ＋-x －μ)2 ＝∑k ＝1120[(x k －-x )2＋2(x k －-x )(-x －μ)＋(-x －μ)2]＝∑k ＝1120(x k －-x )2＋2(-x －μ)∑k ＝1120(x k －-x )＋∑k ＝1120(-x －μ)2＝120s 21＋120(-x －μ)2 ＝30×60．同理∑k ＝190(y k －μ)2＝90s 22＋90(-y －μ)2＝30×99，于是s 2＝1210[∑k ＝1120(x k －μ)2＋∑k ＝190(y k －μ)2]＝30×60＋30×99210≈23．…………（4分）（2）法1：因为σ＝23＝4.8，所以P (12.2≤X ≤21.8)＝P (μ－σ≤X ≤μ－σ)≈0.68．从注射过疫苗的小白鼠取出N 只，其中产生抗体的有K 只，则K ～B (N ，0.68)，P (K ＝k )＝C 102N 0.32N (178)k (k ＝0，1，2，…，N )． 当N ＜102时，P (K ＝102)＝0；当N ≥102时，P (K ＝102)＝(178)102C 102N 0.32N ． 记α(N )＝(178)102C 102N 0.32N ，则 α(N )α(N ＋1)＝C 102N 0.32C 102N ＋1＝N －1010.32(N ＋1)． 由α(N )α(N ＋1)＜1等价于N －101＜0.32(N ＋1)，当且仅当N ＜101.320.68＝149，知当103≤N ≤148时，α(N )＜α(N ＋1)；当N ＝149时，α(N )＝α(N ＋1)；当N ＞149时， α(N )＞α(N ＋1)；故N ＝149或N ＝150时，α(N )最大，所以N 的估计值为149，或150． …………（8分）法2：因为σ＝23＝4.8，所以P (12.2≤X ≤21.8)＝P (μ－σ≤X ≤μ－σ)≈0.68．从注射过疫苗的小白鼠取出N 只，其中产生抗体的有K 只，则K ～B (N ，0.68)，P (K ＝k )＝C 102N 0.32N (178)k (k ＝0，1，2，…，N )．当N ＜102时，P (K ＝102)＝0；当N ≥102时，P (K ＝102)＝(178)102C 102N 0.32N ． 若N ＝102，则P (K ＝102)＝178×102P (K ＝101)＜P (K ＝101)．若N ≥103，则⎩⎨⎧(178)102C 102N 0.32N ≥(178)102C 102N ＋10.32N ＋1， (178)102C 102N 0.32N ≥C 102N －10.32N －1．化简得⎩⎪⎨⎪⎧0.32(N ＋1)≤N －101，0.32N ≥N －102．解得149≤N ≤150．综上，N 的估计值为149，或150．…………（8分）（3）记n 只小白鼠检测费用为Y 元，当n 只小白鼠全部产生抗体时，Y ＝n ＋9，当n 只小白鼠不都产生抗体时，Y ＝11n ＋9，则P (Y ＝n ＋9)＝0.991n ，P (Y ＝11n ＋9)＝1－0.991n ．因此E (Y )n ＝(n ＋9)0.991n ＋(11n ＋9)(1－0.991n )n ＝11－10×(1－0.009)n ＋9n． 因为n ≤50，所以(1－0.009)n ＝1－C 1n 0.0091＋C 2n 0.0092－C 3n 0.0093＋…≈1－0.009n ．故E (Y )n ＝0.09n ＋9n ＋1≥20.09n ×9n＋1＝2.8，当且仅当n ＝10时取等号． 于是每只小白鼠平均检测费用的最小值约为2.8元，n 的估计值为10．…………（12分） 【注1】（2）等价于这个问题： 数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 1≤n ＜102， (178)102C 102n 0.32n ， n ≥102．，求使a n 取最大值时的n 值．【注2】（2）法2若N ＝102时的验证不可少．【注3】（2）因为σ＝23＝4.8，所以P (12.2≤X ≤21.8)＝P (μ－σ≤X ≤μ－σ)≈0.68． 从注射过疫苗的小白鼠取出N 只，其中产生抗体的有Y 只，则K ～B (N ，0.68)，P (K ＝k )＝C 102N 0.32N (178)k (k ＝0，1，2，…，N )． …………（5分）【以下得0分】因为使P (K ＝k )取得最大值时的整数k ＝102，所以⎩⎨⎧C 102N 0.32N (178)102≥C 101N 0.32N (178)101，C 102N 0.32N (178)102≥C 103N 0.32N (178)103．化简得⎩⎨⎧N ≥101＋102×0.320.68，N ≤102＋103×0.320.68．解得149≤N ≤150.47．因此N 的估计值为149，或150．…………（5分）22．解法1：（1）由题设4－a ＝2，a ＝2．由a 2－b 2 a ＝32，得b ＝1．所以C 的方程为x24＋y 2＝1．…………（4分）（2）A (－2，0)，B (2，0)，设M (x 1，y 1)，则y 21＝4－x 214，所以直线AM 与BM 的斜率之积为y 1x 1＋2·y 1x 1－2＝y 21x 21－4＝－14．因为直线BM 与BN 的斜率之积为－34，所以直线BN 斜率为AM 斜率的3倍．…………（6分）因为M 1(x 1，－y 1)，设N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2x 2－2＝3y 1x 1＋2，y 2x 2－4＝－y1x 1－4．得x 2＝5x 1－82x 1－5，y 2＝3y 12x 1－5．由对称性知MN 经过x 轴上的定点Q (t ，0)，因为y 2x 2－t ＝3y 12x 1－55x 1－82x 1－5－t ＝3y 1(5－2t )x 1－(8－5t )，由y 2x 2－t ＝y 1x 1－t ，得t ＝1，所以MN 经过定点Q (1，0)．…………（8分）所以||S 1－S 2＝12|||QA |－|QB |·||y 1－y 2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 1(4－x 1)2x 1－5＝(4－x 21)(4－x 1)2(2x 1－5)2＝14－[(5－2x 1＋95－2x 1－2)]2＋64．设5－2x 1＝x ，因为－2＜x 1＜2，所以1＜x ＜9．设f (x )＝x ＋9x ，f ′(x )＝(x ＋3)(x －3)x，因为当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜9时，f ′(x )＞0，所以6≤f (x )＜10．因此||S 1－S 2＝14－[f (x )－2]2＋64≤14－[(6－2)]2＋64＝3，当且仅当x ＝3取等号，取等号时，x 1＝1，y 1＝±32．于是当M (1，±32)，N (1，32)时，||S 1－S 2取最大值3．…………（12分）解法2：（1）同解法1．（2）A (－2，0)，B (2，0)，设M (x 1，y 1)，则y 21＝4－x 214，所以直线AM 与BM 的斜率之积为y 1x 1＋2·y 1x 1－2＝y 21x 21－4＝－14．因为直线BM 与BN 的斜率之积为－34，所以直线BN 斜率为AM 斜率的3倍．…………（6分）因为M 1(x 1，－y 1)，设N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2x 2－2＝3y 1x 1＋2，y 2x 2－4＝－y1x 1－4．得x 2＝5x 1－82x 1－5，y 2＝3y 12x 1－5．由y 21＝1－x 214，知x 224＋y 22＝(5x 1－8)24(2x 1－5)2＋9y 21(2x 1－5)2＝(5x 1－8)2＋36－9x 214(2x 1－5)2＝1，故点N 在C 上．由对称性知MN 经过x 轴上的定点Q (t ，0)，因为y 2x 2－t ＝3y 12x 1－55x 1－82x 1－5－t ＝3y 1(5－2t )x 1－(8－5t )，由y 2x 2－t ＝y 1x 1－t ，得t ＝1，所以MN 经过定点Q (1，0)．…………（8分）可知MN 不垂直于y 轴，设MN ：x ＝my ＋1，联立x 24＋y 2＝1得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，因为△＝16(m 2＋3)＞0，所以y 1，y 2＝－m ±2m 2＋3m 2＋4，因此||S 1－S 2＝12|||QA |－|QB |·||y 1－y 2＝4m 2＋3m 2＋4＝4－(1m 2＋4－12)2＋14．由－(1m 2＋4－12)2＋14≤34，得||S 1－S 2≤3，当M (1，±32)，N (1，32)时等号成立，于是||S 1－S 2取最大值3．…………（12分）。
高三数学总复习专题6 解三角形(答案及解析)
高三数学总复习专题6 解三角形方法点拨1．对于解三角形中的简单的求边长、求角的题型，要求对正余弦定理熟悉以及对边角的互换灵活使用．2．解三角形的大题不仅需要对边与角的互换可以灵活使用，还要求对三角函数的恒等变换公式熟悉，涉及求面积、周长等的范围或最值问题时，一般考虑余弦定理结合基本不等式或利用正弦定理转化成三角函数求值域的问题． 3．若涉及三角形的中线问题则考虑使用向量进行处理．4．对于涉及角平分线的解三角形题型，一般可以考虑角平分线定理或列两个小三角形的面积等于大三角形的面积的方程进行处理．经典题汇编一、选择题．1．（江西省南昌市2021届高三一模）ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a =45B =︒，75C =°，则b =（ ）A ．2BC ．D ．2．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）ABC 中，1cos 4A =，2AB =，4BC =，则BC 边上的高为（ ）A B C D 3．（安徽省池州市2021届高三一模）如图所示，在四边形ABCD 中，AC =AD =CD =7，∠ABC =120°，sin ∠BAC 且BD 为∠ABC 的平分线，则BD =（ ）A ．6B ．9C ．D ．84．（青海省海东市2021届高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3a =cos sin A a B =，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．（安徽省合肥市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin 2sin 2sin cos a A c C b C A +=，则角A 的最大值为（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 6．（多选）（广东省佛山市顺德区2022届高三一模）在ABC 中，A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，设BC 边上的中点为M ，ABC 的面积为S ，其中a =2224b c +=，下列选项正确的是（ ）A ．若3A π=，则S =B ．S 的最大值为C ．3AM =D ．角A 的最小值为3π二、填空题．7．（宁夏中卫市2021届高三一模）如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为_______．8．（广东省珠海市2021届高三一模）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos tan tan B C B C +cos tan cos tan B B C C =+，则cos A 的最小值是___________．三、解答题．9．（四川省内江市高中2022届一模）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+．（1）求A 的大小；（2）若a =ABC 的面积为ABC 的周长．10．（江西省赣州市2021届高三3月一模）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且sin 3c B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）设5BC =，7AB =，若延长CB 到D ，使cos 7ADC ∠=，求CD 的长． 11．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，点M 在边AC 上，3CM MA =，tan ABM ∠=tan BMC ∠= （1）求角A 的大小；（2）若BM =，求ABC 的面积．12．（广东省佛山市顺德区2022届高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，()sin sin sin A B C B -=-，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3b =，5c =．（1）求角A 的大小； （2）求线段AD 的长．13．（福建省福州市2021届高三3月份一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos a b c B b C +=-． （1）求角C 的大小；（2）设CD 是ABC 的角平分线，求证：111CA CB CD+=． 14．（河南省鹤壁市2021届高三一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b C a A b B c C +=+．（1）求A ；（2）设D 是线段BC 的中点，若2c =，AD =a ．15．（贵州省盘州市2021届高三一模）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B A =．（1）求B ； （2）已知23ACB π∠=，2AB =，延长BC 至D ，使得2CD BC =，求AD ．16．（河南省郑州市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45b c B ==∠=．（1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB ∠=，求sin DAC ∠的值．17．（湖南省湘潭市2021-2022学年高三上学期一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若40sin B c b -=．（1）求sin C 的值；（2）是否存在角A ，B （A B <），满足tan tan A B =若存在，求出A ，B 的值；若不存在，请说明理由．18．（广西柳州市2021届高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()22222cos b c b a c abc C --+=．（1）求角A 的大小；（2）若3ABC π∠=，D 为ABC 外一点，2BD =，1CD =，四边形ABDC 的面积是24+，求BDC ∠的大小．19．（江苏省苏州市八校2020-2021学年高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知)()sin sin 1cos c os c A C c A C -=-． （1）求B 的值；（2）在①4ABC S =△，②4A π=，③2a c =这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若3b =，_______，求ABC 的周长．20．（湖南师范大学附属中学2021届高三一模）已知ABC 的内角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ，在以下三个条件中任选一个：①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；②sin4A =；③sin sin 2B Cb a B +=．并解答以下问题： （1）若选___________(填序号)，求A ∠的值；（2）在（1）的条件下，若(0)a b m m ==>，当ABC 有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC 面积S 的最大值．21．（沭阳如东中学2021届高三一模）已知ABC 中，D 是AC 边的中点，且①3BA =；②BC =BD =60A ∠=︒．（1）求AC 的长；（2）BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长．上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一．你删去的条件是___________，请写出用剩余条件解答本题的过程．22．（江西省九江市2021届高三一模）ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知()cos 3sin cos b c A b A a C +=-． （1）求角A ；（2）若ABC 为锐角三角形，求bc 的取值范围．23．（福建省龙岩市2021届高三一模）在①sin 3cos c B b C =，②232cos sin 22cos 2C C C π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，③sin ABC S CA CB C =⋅⋅△．三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足，2c =． （1）求角C ；（2）求ABC 周长的取值范围．24．（贵州省贵阳市2021届高三一模）如图所示，在平面四边形ABCD （A ，C 在线段BD 异侧）中，6BAD π∠=，2BCD π∠=，3AB =4AD =．（1）求BD 的长；（2）请从下面的三个问题中任选一个作答：（作答时用笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框填涂）①求四边形ABCD 的面积的取值范围； ②求四边形ABCD 的周长的取值范围；③求四边形ABCD 的对角线AC 的长的取值范围．25．（江苏省南通市学科基地2021届高三一模）在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________． （1）求角C ；（2）若2c =，求2a b -的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案一、选择题． 1-5CCDBA 6．【答案】ABC【解析】对于A ，由余弦定理可得222122cos 24a b c bc A bc ==+-=-，得12bc =，故1sin 2S bc A ==，A 对；对于B ，由基本不等式可得22242b c bc =+≥，即12bc ≤，当且仅当b c ==由余弦定理可得22224126cos 22b c a A bc bc bc+--===，则11sin 22S bc A ====，B 对； 对于C ，AMB AMC π∠+∠=，则()cos cos cos AMB AMC AMC π∠=-∠=-∠，由余弦定理可得2224cos a AM c AMB AM a +-∠=⋅，2224cos a AM b AMC AM a+-∠=⋅， 所以，22222244a a AM c AM b AM a AM a+-+-=-⋅⋅，整理可得2222924b c a AM +=-=， 则3AM =，C 对；对于D ，由余弦定理可得2222212121cos 222b c a A bc bc b c +-==≥=+，当且仅当b c ==因为()0,A π∈且函数cos y x =在()0,π上单调递减，故03A π<≤，D 错，故选ABC ． 二、填空题． 7． 【解析】在ABC 内，由正弦定理可得2sin sin BC AC R A B ==，即20sin 60sin 45BC AC==︒︒，解得BC=AC=故sin sin()sin(6045)sin60cos45cos60sin45C A B=+=︒+︒=︒︒+︒︒=，所以11sin3)22ABCS AC BC C=⋅⋅⋅=⨯=，又210100Sππ=⋅=圆，故豆子落在三角形ABC内的概率为)253100ABCSSπ==圆，故答案为34π+．8．【答案】12【解析】()sin sin2cos cos tan tan2cos coscos cosB CB C B C B CB C⎛⎫+=+⎪⎝⎭()2sin cos2sin cos2sin2sinB C C B B C A=+=+=，cos tan cos tan sin sinB BC C B C+=+，所以sin sin2sinB C A+=，由正弦定理得2b c a+=，由余弦定理得()22222222313112cos2284442b cb c b cb c a bcAbc bc bc bc+⎛⎫+- ⎪++-⎝⎭===-≥-=，当且仅当b c a==时取等号，此时3Aπ=，故答案为12．三、解答题．9．【答案】（1）3Aπ=；（2）10+【解析】（1）∵2cos cos cosa Ab Cc B=+，∴由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cosA ABC C B=+，∴2sin cos sinA A A=，∵0A π<<，∴1cos 2A =，故3A π=．（2）由（1）知，3A π=，∵1sin 2ABCSbc A ==24bc =， ∵由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-，∴2228b c bc +-=， 故()2100b c +=，∴10b c +=，故10a b c ++=+ ∴ABC的周长为10+10．【答案】（1）60C =︒；（2）10CD =． 【解析】（1）由正弦定理及条件得，1sin (sin )2C B B A =，即1sin (sin ))cos sin 2C B B B C B C B C +=+=+，整理得tan C =又C 为三角形内角，所以60C =︒．（2）在ABC 中，由余弦定理得225549AC AC +-=，解得8AC =，cos 7ADC ∠=，则sin 7ADC ∠==， ACD △中，1sin sin()sin cos cos sin 72CAD C D C D C D ∠=+=+=+= 由正弦定理得sin sin CD ACCAD ADC =∠∠147=， 所以10CD =． 11．【答案】（1）2π3A =；（2） 【解析】（1）∵tan BMC∠=，∴tan BMA∠=∵()() tan tanπtanA ABM BMA ABM BMA=-∠-∠=-∠+∠，∴tan tantan1tan tanABM BMAAABM BMA+∠+∠=-==-∠⋅∠∵0πA<<，∴2π3A=．（2）∵tan BMA∠=tan ABM∠=∴sin7BMA∠=，sin14ABM∠=．在ABM中，由正弦定理，得sin sinAB BMBMA A=∠，∴sinsinBM BMAABA⋅∠===∴ABM的面积11sin2214ABMS BM AB ABM=⋅⋅⋅∠==△．∵点M在边AC上，3CM MA=，∴ABC的面积4ABC ABMS S==△△12．【答案】（1）3Aπ=；（2）AD=．【解析】（1）在ABC中，()()sin sin sinC A B A Bπ=-+=+⎡⎤⎣⎦，因()sin sin sinA B C B-=-，则有sin cos cos sin sin cos cos sin sinA B A B A B A B B-=+-，即2cos sin sin 0A B B -=， 又sin 0B ≠，即有1cos 2A =， 而()0,A π∈，所以3A π=．（2）在ABC 中，由(1)知3A π=，因为AD 为角A 的角平分线，则有30BAD CAD ∠=∠=︒，由ABCABD ACD SSS=+得：11135sin 605sin 303sin 30222AD AD ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得AD =所以线段AD 的长为8． 13．【答案】（1）23C π=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为cos cos a b c B b C +=-， 由正弦定理得sin sin sin cos sin cos A B C B B C +=-， 因为sin()sin()sin B C A A π+=-=，所以sin()sin sin cos sin cos B C B C B B C ++=-，所以2sin cos sin 0B C B +=， 因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以1cos 2C =-， 又(0,)C π∈，所以23C π=． （2）因为CD 是ABC 的角平分线，且23C π=，所以3ACD BCD π∠=∠=． 在ABC 中，ABC ACD BCD S S S =+△△△， 则由面积公式得1211sinsin sin 232323CA CB CA CD CD CB πππ⋅=⋅+⋅， 即CA CB CA CD CD CB ⋅=⋅+⋅， 两边同时除以CA CB CD ⋅⋅，得111CA CB CD+=．14．【答案】（1）3π；（2）．【解析】（1）根据正弦定理，由sin sin sin sin b C a A b B c C +=+可得222bc a b c +=+， 即222bc b c a =+-，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为A 为三角形内角，所以3A π=．（2）因为D 是线段BC 的中点，2c =，AD = 所以ADB ADC π∠+∠=，则cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，所以222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⋅⋅，即22221321344022a ab a a +-+-+=，整理得22244a b =-， 又22222cos 42a bc bc A b b =+-=+-，所以2242244b b b +-=-，解得6b =或8b =-（舍）， 因此2224428a b =-=，所以a = 15．【答案】（1）6π；（2）2．【解析】（1）由cos sin a B A =及正弦定理，得sin cos sin A B B A =， 由0A π<<，得sin 0A >，所以cos B B =，即tan B =， 由0B π<<，得6B π=．（2）在ABC 中，由正弦定理，得sin sin AB ACACB B=∠，则2sinsin 62sin sin 3AB B AC ACB ππ∠=== 又2366BAC ACB B πππππ∠=-∠-∠=--=，6B π∠=，所以ABC为等腰三角形，从而3BC AC ==，23CD BC ==． 在ACD △中，233ACD ACB ππ∠π∠π=-=-=，由余弦定理，得2AD ===． 16．【答案】（1）3BC =；（2）25． 【解析】在ABC中，因为b =c =45B ∠=︒， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得25222a a =+-⨯， 所以2230a a --=，解得3a =或1a =-（舍）， 所以3BC =．（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin 45sin C =︒，所以sin 5C =， 在ADC 中，因为()5co 4c s os 180cos A D DB ADB A C -∠=-=∠=-∠， 所以ADC ∠为钝角．而180ADC C CAD ∠+∠+∠=，所以C ∠为锐角，故cos C ==因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠===， ())sin sin 180sin(DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠34sin cos cos sin 55ADC C ADC C =∠∠+∠∠=-=17．【答案】（1）4；（2）存在，4A π=，3B π=． 【解析】（1）因为40sin B c b -=，由正弦定理，得40sin sin sin C B B -=， 又因为02B π<<，所以sin 0B ≠，故sin C =（2）假设存在角A ，B （A B <），满足tan tan A B =由sin C =02C π<<，可得tan 2C =， 因为A B C π+=-，所以()tan 2A B +=- 由()tan 2tan tan ta tan 1n A BB A BA ++==--tan ta 1n A B +=由tan tan tan tan 1A B A B ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩A B <，解得tan 1A =，tan B = 从而4A π=，3B π=，故存在4A π=，3B π=满足题意．18．【答案】（1）3A π=；（2）56π．【解析】（1）()()22222cos b c b a c abc C --+=，∴()()2222cos 2b c b c a a C bc-+-=，由余弦定理可得()2cos cos b c A a C -=，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，A B C π++=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=，sin 0B ≠，∴1cos 2A =， 由()0,A π∈，则3A π=．（2）如图，在BCD 中，2BD =，1CD =，由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+-⨯⨯=-，3A B π==，∴3C π=，ABC ∆为等边三角形，∴21sin 23ABC S BC D π=⨯⨯=△， 1=sin sin2BDCSBD DC D D ⨯⨯⨯=，∴2sin 2sin 3ABDC S D D D π⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭四边形， ∴sin()13D π-=， (0,)D π∈，即56D π=．19．【答案】（1）3π；（2）若选择①，ABC 的周长为9．若选择②，ABC 的周长为62+．若选择③，ABC 的周长为3．【解析】（1）因为)()sin sin 1cos c os c A C c A C -=-，利用正弦定理边化角可得)()n sin sin si sin 1cos cos B C A C C A C -=-， 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，n sin si 1cos cos B C A A C -=-，即cos cos sin sin 1A C C A B -+=，所以cos()1A C B +=， 又A B C π++=，则A C B π+=-， 所以cos()cos()cos A C B B π+=-=-，cos 1B B -=，即1sin()62B π-=，因为(0,)B π∈，则5(,)666B πππ-∈-，所以66B ππ-=或566B ππ-=（舍），解得3B π=． （2）若选择①，则1sin 2ABCSac B ==，所以9ac =， 又22222()21cos 222a c b a c ac b B ac ac +-+--===，且3b =，所以2()1891182a c +--=，解得6a c +=，所以ABC 的周长639=+=．若选择②：因为sin sin a b A B=，所以3sin sin b Aa B ===又22221cos 22a cb B ac +-===， 因为0c >，解得2c +=， 所以ABC的周长6322=+=． 若选择③：22222491cos 2222a cbc c B ac c c +-+-===⨯⨯， 因为0c >，解得c =2a c == 所以ABC的周长33=．20．【答案】（1）条件选择见解析；60A =；（2）({}2m ∈，max 4S =． 【解析】（1）若选①，由已知化简得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0180A ︒︒<<，所以60A =︒．若选②，由二倍角公式2cos12sin 24A A =-=，故21cos 2cos 122A A =-=， 因为0180A ︒︒<<，所以60A =︒．若选③，由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=， 因为0180A ︒︒<<，sin 0B ≠，所以sin sin 2B CA +=，由180A B C ++=，可得sin cos 22B C A +=，故cos 2sin cos 222A A A=，因为0902A ︒<<︒，cos 02A ≠，故1sin ,22A =26A π=，因此60A =︒．（2）由已知60A =︒，当ABC 有且只有一解时，sin a b A =或a b ≥，sin 3m π=0m >，故2m =或0m <≤({}2m ∴∈，①当2m =时，ABC 为直角三角形，B 为直角，2,2sin 60b a ==︒=1c =，所以111222S ac ==⋅=；②当0m <≤3,3a A π==，由余弦定理可得2222cos 2a b c bc A bc bc bc =+-≥-=，3bc ∴≤，当且仅当b c =时等号成立，∴三角形面积为11sin 322S bc A =≤⨯=，即ABC 面积的最大值max S =，综上，ABC 面积的最大值max 4S =．21．【答案】删去条件见解析；（1）2；（2）5． 【解析】删①．（1）设,AD CD x BA y ===，在ABD △中，由余弦定理可得227x y xy +-=， 在ABC 中，由余弦定理可得22427x y xy +-=，联立方程解得1,3x y ==，所以3,2BA AC ==． （2）设AE m =，则由ABEACEABCSSS+=，得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯︒+⨯︒=⨯⨯︒，解得m =． 删②，则在ABD △中，由余弦定理有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅， 即2796cos60AD AD =+-⋅︒，解得1AD =或2AD =， 则2AC =或4，有2解，不满足题意． 删③，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅， 即2796cos60AC AC =+-⋅，解得1AC =或2，有2解，不满足题意． 删④．（1）设AD CD x ==，在ABD △中，由余弦定理有22222cos2BD AD AB ADB BD AD ∠+-===⋅，同理，在BCD △中，cosCDB ∠=，cos cos ADB CDB ∠∠=-，2=，解得1x =，2AC ∴=． （2）设AE m =，则由ABEACEABCSSS+=，得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯︒+⨯︒=⨯⨯︒，解得5m =． 22．【答案】（1）3π；（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由正弦定理得(sin sin )cos sin sin cos B C A B A A C +=-，所以sin cos sin cos cos sin sin B A C A C A B A ++=，即sin cos sin()sin B A A C B A ++=，因为sin()sin A C B +=，所以sin cos sin sin B A B B A +=， 因为sin 0B >，所以cos 1A A +=， 所以1sin()62A π-=，因为(66A ππ-∈-，5)6π，所以66A ππ-=，所以3A π=． （2）1sin sin sin()122sin sin sin 2C Cb B A Cc C C C +====+， 因为ABC 为锐角三角形，所以02C π<<，232B C ππ=-<， 所以62C ππ<<，所以tan C >，所以112222tan C <+<，即b c 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭． 23．【答案】（1）条件性选择见解析，3C π=；（2）(4,6]．【解析】（1）选①，sin cos c B C =，由正弦定理得sin sin cos C B B C =，因为sin 0B >，所以sin C C =，即tan C = 由C 为三角形内角得，3C π=．选②，232cos sin(2)2cos 2C C C π--=， 22cos cos 22cos C C C +=，整理得1cos 2C =， 由C 为三角形内角得3C π=．选③，sin cos sin ABC S CA CB C ba C C =⋅⋅=△，由三角形面积公式得1cos sin sin 2ab C C ab C =，故1cos 2C =， 由C 为三角形内角得，3C π=．（2）因为2c =，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，故24()3a b ab =+-， 所以22()4343()2a b a b ab ++=+≤+⨯，当且仅当a b =时取等号，解得4a b +≤，因为2a b c +>=，故24a b <+≤， ABC 周长a b c ++的取值范围(4,6]．24．【答案】（1）2；（2）答案见解析．【解析】（1）在ABD 中，6BAD π∠=，AB =4AD =，2222cos 4BD AD AB AD AB BAD ∴=+-⋅⋅∠=，2BD ∴=．（2）由（1）知222AB BD AD +=，2ABD π∴∠=， 令CBD θ∠=，由2BCD π∠=，0,2πθ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， 则2cos BC θ=，2sin CD θ=．若选①：112sin 2cos 2sin 222ABCD ABD BCD S S S θθθ∆∆=+=⨯⋅+⨯=+0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴由0sin 21θ<≤，可知四边形ABCD 的面积的取值范围是(+． 若选②：2sin 2cos 444ABCD C AB BC CD DA πθθθ⎛⎫=+++=++=++ ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 124πθ⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，64ABCD C ∴+<≤，∴四边形ABCD 的周长的取值范围是(64⎤⎦+． 若选③：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2124cos 22cos cos 2πθθθ⎛⎫=+-⨯⋅+ ⎪⎝⎭2cos 4cos 1222cos 214θθθθθ=⋅++=++2214θθ⎫=++⎪⎪⎭，令sinϕ=cos ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()2214AC θϕ=++， 又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2ϕθϕπϕ∴<+<+，()sin 2113θϕ∴-<+≤，21214AC ∴<≤，1AC ∴<≤，∴四边形ABCD 的对角线AC 的长的取值范围是(1⎤⎦． 25．【答案】条件选择见解析；（1）3C π=；（2）()2,4-．【解析】（1）选择条件①： 解法一：因为2sin sin 2sin cos A B C B -=，所以()2sin sin 2sin cos B C B C B +-=，即2sin cos sin B C B =． 因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =．又()0,C π∈，所以3C π=．解法二：因为2sin sin 2sin cos A B C B -=，所以222222a c b a b c ac+--=⋅， 即222c a b ab =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===． 又()0,C π∈，所以3C π=．选择条件②： 因为()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，所以()()()a c a c b a b +-=-，即222c a b ab =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 又()0,C π∈，所以3C π=．选择条件③： 因为()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△，所以()i 1sin s n s s 12i in 2n C A B C ab c a b c =+-，从而222ab a b c =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 又()0,C π∈，所以3C π=．（2）因为2c =，所以2sin 3sin 3c C π==，从而2sin sin 33333a b A B A A π⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭2cos 4sin 6A A A π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 因为203A π<<，所以662A πππ-<-<， 从而1sin 126A π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，所以2a b -的取值范围为()2,4-．。
2022-2023学年安徽凤台一中高三数学第一学期期末复习检测试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ）A ．23B ．43C ．83D ．163 2．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 3．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（ ）A ．x±2y=0B ．2x±y=0C ．4x±y=0D ．x±4y=04．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．120 5．设1,0(){2,0x x x f x x ≥=<，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．326．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．148．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（ ）A ．12B ．16C ．20D ．89．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点，且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是（ ）A ．CEB ．CFC ．CGD ．1CC 10．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ） A ．222 B ．53C ．1316 D ．11312．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn [g （x ）]＝sgn xB ．sgn [g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn [g （x ）]＝sgn [f （x ）]D ．sgn [g （x ）]＝﹣sgn [f （x ）] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学学习中的错题整理与分类
高三数学学习中的错题整理与分类高三是学生们备战高考的重要阶段，数学作为其中一门重要科目，经常会出现各种错题。
对错题进行整理与分类，有助于学生们总结知识点、弥补差距，提高数学学习的效果。
本文将围绕高三数学学习中的错题整理与分类进行探讨。
一、错误分类在整理错题之前，我们首先需要进行错误分类。
根据错误的性质和原因，可将错题分为以下几类：1. 知识点错误：这类错误主要是基础知识不牢固或记忆错误所致。
例如，对某个公式的记忆错误导致题目计算结果错误。
2. 琐碎错误：这类错误通常是粗心或注意力不集中所导致的，包括计算错误、漏写关键步骤等。
3. 理解错误：这类错误是对问题理解不透彻或者对问题的解题思路不清晰导致的。
常见的情况包括误解题意、无法正确解读题目要求等。
4. 方法错误：这类错误是在解题思路上出现偏差或者没有选用正确的解题方法导致的。
例如，某些问题需要使用特定的定理或技巧求解，但是学生没有掌握相关方法，因此导致解题错误。
通过将错题进行分类，有助于我们分析学生们普遍存在哪些问题，并有针对性地进行辅导和指导。
二、错题整理与分析整理和分析错题是巩固数学知识和提高解题能力的重要环节。
我们可以按照以下方法来进行错题整理与分析：1. 核对答案：首先，我们需要核对自己的答案与标准答案进行对比，找出解答错误的题目，将其作为错题进行整理。
2. 归类整理：根据错题的分类，将相同类型的错题整理归类。
例如，将知识点错误的题目放在一起，将理解错误的题目放在一起，以此类推。
3. 寻找规律：我们可以对同一类错题进行分析，寻找其中的共性和规律。
例如，通过整理知识点错误的题目，我们可以发现学生们常犯错误的知识点，进而有针对性地进行强化训练。
4. 解决方法：对于每个错题，我们需要进行详细的解析，并给出正确的解题方法。
解析要清晰明了，步骤要详细，以帮助学生们理解和掌握解题思路。
三、复习与巩固通过对错题的整理与分类，我们对高三数学学习中的薄弱环节有了更深入的了解，接下来，就是要进行复习与巩固。
高三数学试卷题目和答案一样吗
高三数学试卷题目和答案一样吗
在高中阶段的数学学习中，学生们面临着各种各样的考试和测试，其中包括期末考试和模拟试卷。
在这些考试中，每一份试卷都有着独特的设计和布局，包括选择题、填空题、计算题等不同类型的题目。
然而，有时候学生会遇到一个疑问，那就是高三数学试卷的题目和答案是否会完全一样呢？
首先要强调的是，高三数学试卷的设计是经过精心策划和准备的，试卷中的每一个题目都是经过老师们精心挑选和设计的。
题目的设计不仅考察了学生对于数学知识的掌握程度，还考察了学生的逻辑思维能力和解题能力。
因此，试卷的题目通常不会完全一样，每一份试卷都有其独特性。
另外，在数学试卷中，题目和答案通常不会完全一样。
试卷的答案是经过认真核对和审核的，保证了答案的准确性和正确性。
而题目则是为了考察学生的理解能力和应用能力，因此很少会出现完全一样的情况。
当然，在一些特殊情况下，可能会出现题目和答案相同的情况。
比如在填空题或计算题中，可能会出现重复的数据和计算过程，导致题目和答案相同。
但这通常是一种偶然情况，不会是常态。
总的来说，高三数学试卷的题目和答案通常是不会完全一样的。
试卷的设计和答案都是经过严格审查和审核的，保证了试卷的质量和合理性。
学生们在备考过程中应该针对性地进行复习和练习，提高自己的数学水平和解题能力，以取得更好的成绩。
高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案1-1
第1章 第1节一、选择题1. 集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A. {t |0≤t ≤3}B. {t |－1≤t ≤3}C. {(－2，1)，(2，1)}D. Ø 答案：B解析：∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)．又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0.∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]．故选B.2. 已知全集U 为实数集R ，集合M ＝{x |x ＋3x －1<0}，N ＝{x ||x |≤1}，则右图中阴影部分表示的集合是( )A. [－1,1]B. (－3,1]C. (－∞，－3]∪[－1，＋∞)D. (－3，－1)答案：D解析：∵M ＝{x |x ＋3x －1<0}＝{x |－3<x <1}，N ＝{x ||x |≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴阴影部分表示的集合为M ∩∁U N ＝{x |－3<x <－1}，所以选D.3. 若A 、B 、C 为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有( )A. A ⊆CB. C ⊆AC. A ≠CD. A ＝Ø答案：A解析：因为A ⊆A ∪B 且B ∩C ⊆C ，A ∪B ＝B ∩C ，由题意，得A ⊆C ，所以选A.4. 定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,5}，则A *B 的子集个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 答案：D解析：由题意知：A *B ＝{1,7}．故A *B 的子集有22＝4个．故选D.5. (2010·福建质检一)已知集合A ＝{x |a －2<x <a ＋2}，B ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，则A ∩B＝Ø的充要条件是( )A. 0≤a ≤2B. －2<a <2C. 0<a ≤2D. 0<a <2 答案：A解析：如果A ∩B ＝Ø，根据数轴有⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－2a ＋2≤4，解得0≤a ≤2.6. (2010·衡水调研)已知集合A ＝{x |x 2＋52x ＋1＝0}，B ＝{y |y ＝x 2＋a ，x ∈R }，若A ∩B ≠Ø，则a 的取值范围是( )A. (－∞，－12] B. (－12，＋∞) C. [－4，－14] D. (－∞，－2]答案：A解析：依题意得，A ＝{x |x 2＋52x ＋1＝0}＝{－12，－2}，B ＝{y |y ＝x 2＋a ，x ∈R }＝{y |y ≥a }，若A ∩B ≠Ø，则需a ≤－12，故选A. 二、填空题7. 已知集合A ＝{x |x 2－2x <3}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝________.答案：(－1,2]解析：因A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}＝(－1,3)，所以A ∩B ＝(－1,2]．8. (2010·南京调研)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________．答案：±2解析：根据题意知a 2＝4，所以a ＝±2.9. (2010·宜昌调研)对于集合N ＝{1,2,3，…，n }及其每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集中的元素，然后从最大数开始交替地减，加后所得的数，例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9－6＋4－2＋1＝6，集合{5}的交替和为5，当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3的情况，计算它的“交替和”的总和S 3＝________，并根据其结果猜测集合N ＝{1,2,3，…，n }的“交替和”的总和S n ＝________.答案：n ·2n －1解析：当n ＝3时，集合N ＝{1,2,3}的所有非空子集是{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，它的“交替和”的总和S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12.由S 1＝1，S 2＝4＝2×2，S 3＝12＝3×22，归纳猜想S n ＝n ·2n －1. 三、解答题10. (2010·湖北调研)设全集U ＝R ，函数y ＝log 2(6－x －x 2)的定义域为A ，函数y ＝1x 2－x －12的定义域为B . (1)求集合A 与B ；(2)求A ∩B 、(∁U A )∪B .解：(1)函数y ＝log 2(6－x －x 2)要有意义需满足：6－x －x 2>0，解得－3<x <2， ∴A ＝{x |－3<x <2}．函数y ＝1x 2－x －12要有意义需满足x 2－x －12>0，解得x <－3或x >4， ∴B ＝{x |x <－3或x >4}．(2)A ∩B ＝Ø.∁U A ＝{x |x ≤－3或x ≥2}，∴(∁U A )∪B ＝{x |x ≤－3或x ≥2}．11. 已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x <－1或x >5}．∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}．(2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．12. (2010·揭阳模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，不等式f (x )<0的解集为A .(1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．解：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，∴a >0.∴解不等式f (x )＝ax 2＋x <0，得集合A ＝(－1a，0)． (2)由B ＝{x ||x ＋4|<a }，解得B ＝(－a －4，a －4)，∵集合B 是集合A 的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－a －4≥－1a a －4≤0，，解得0<a ≤5－2.。
高三数学总复习的计划及策略指导模板
高三数学总复习的计划及策略指导模板1、全面复习夯实基础打好基础，首先必须重视数学基本概念、基本定理(公式、法则)的复习，在理解上下功夫，整体把握数学知识。
这部分内容的复习要做到，不打开课本，能选择适当途径将它们一一回忆出来，它们之间的脉络框图，能在自己大脑中勾画出来。
如函数可以利用框图的形式由粗到细进行回忆。
概念要抓住关键及注意点，公式及法则要理解它们的来源，要理解公式法则中每一个字母的含义，即它们分别表示什么，这样才能正确使用公式。
在平时的学习时，不要满足这个问题我们会解出答案就行了，而其他的方法却不去研究了，尤其课堂上，老师通过一个典型的例题介绍处理这种问题有哪些方法，可以从哪些不同的角度来思考问题。
事实上，从宏观上讲，方法没有好坏之分，只是在解决具体的问题时才有优劣之分，更重要的是要关注通性、通法的掌握，而不能仅关注此问题特殊的、简单的方法。
因此课堂上，每一种方法我们都应积极思考，认真研究并掌握，这样在解决具体问题时才能游刃有余。
2.突出重点在考试说明的要求中，对知识的考查要求依次为了解、理解和掌握、灵活和综合运用几个层次。
一般地说，要求理解的内容，要求掌握的方法，是考试的重点。
在历年考试中，这方面考题出现的概率较大;在同一份试卷中，这方面试题所占有的分数也较多。
突出重点，不仅要在主要内容和方法上多下功夫，更重要的是要去寻找重点内容与次要内容间的联系，以主带次。
主要内容理解透了，其他的内容和方法就迎刃而解。
3.不断"内化"提高分析和解决问题的能力多做练习，但不能仅满足于得到问题的答案，要对做过的类似问题放在一起及时进行比较总结，将问题解决方法进行总结，解决的步骤程序化，以更好指导自己以后的解题，再在应用的过程中不断调整，这样可以"事半功倍"，从而提高自己分析、解决问题的能力，这是获得优异成绩的关键所在。
4、强化数学思想方法数学不仅仅是一种重要的工具，更重要的是一种思维模式，一种思想。
高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案13-1
选考内容 第13章 第1节一、填空题1．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，则f (－2)＝________；若f (x )≤5，则x 的取值范围是________．解析：f (－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6，|2x －1|＋x ＋3≤5，即|2x －1|≤2－x ，x －2≤2x －1≤2－x ，解得－1≤x ≤1.答案：6 [－1,1]2．解关于x 的不等式：|2x －1x|<3的解集是________． 答案：{x |x <－1或x >15} 解析：方法一：|2x －1x |<3⇔|2x －1||x |<3， 将之视为多个绝对值问题，将数轴按0，12分成三段： ⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，－(2x －1)－x <3或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ≤12，－(2x －1)x <3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，2x －1x <3.∴x <－1或15<x ≤12或x >12. ∴所求不等式的解集为{x |x <－1或x >15}． 方法二：|2x －1x |<3⇔|2x －1||x |<3， ∵x ≠0，∴|x |>0，不等式两边同乘|x |，得|2x －1|<3|x |，两边再平方，得(2x －1)2<(3x )2，即(x ＋1)(x －15)>0. ∴该一元二次不等式的解集即原不等式的解集为{x |x <－1或x >15}． 3．若不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 无实数解，则a 的取值范围是________．答案：a ≤3解析：由绝对值的几何意义知|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3，而|x ＋1|＋|x －2|<a 无解，知a ≤3.4．若不等式|x ＋1x|>|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．答案：(1,3)解析：∵|x ＋1x|≥2，∴|a －2|＋1<2， 即|a －2|<1，解得1<a <3.5．不等式|x －x 2－2|>x 2－3x －4的解集是________．答案：(－3，＋∞)解析：∵|x －x 2－2|＝|x 2－x ＋2|，而x 2－x ＋2>0恒成立，∴原不等式等价于x 2－x ＋2>x 2－3x －4，即2x >－6，x >－3.∴原不等式的解集为(－3，＋∞)．6．设函数f (x )＝|2x －m |－x ，若不等式f (x )<0的解集为(13，1)，则m 的值为________． 答案：1解析：由f (x )<0得，|2x －m |<x ，即m －x <2x <x ＋m ，解得m 3<x <m ，由已知得m ＝1. 7．已知集合A ＝{x ||x －a |<2}，B ＝{x ||x |＋|x ＋1|≥5}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－5]∪[4，＋∞)解析：由|x －a |<2得a －2<x <a ＋2，|x |＋|x ＋1|＝|x －0|＋|x －(－1)|表示数轴上的动点x 到0与－1的距离之和．令|x |＋|x ＋1|＝5，则x ＝－3或x ＝2，所以B ＝{x |x ≤－3或x ≥2}．因为A ⊆B ，所以a ＋2≤－3或a －2≥2，解得a ≤－5或a ≥4.8．(2010·江西联考)已知适合不等式(x 2－4x ＋a )＋|x －3|≤5的x 的最大值为3，则a ＝________.答案：8解析：不等式(x 2－4x ＋a )＋|x －3|≤5等价于⎩⎨⎧x ≤3(x 2－4x ＋a )＋(3－x )≤5，即⎩⎨⎧ x ≤3x 2－5x ＋a －2≤0①，或⎩⎨⎧ x >3(x 2－4x ＋a )＋(x －3)≤5， 即⎩⎨⎧ x >3x 2－3x ＋a －8≤0 ②.依题意得不等式组①的解集中必含有3且不等式组②的解集必是空集，因此有⎩⎪⎨⎪⎧32－5×3＋a －2≤032－3×3＋a －8≥0，由此解得a ＝8. 9．(2010·深圳调研)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，0)∪{2}解析：设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则f (x )＝|x ＋1|＋|3－x |≥|(x ＋1)＋(3－x )|＝4，即函数f (x )的最小值为4.不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a 对任意的实数x 恒成立，即a ＋4a≤4恒成立，令f (a )＝a ＋4a ，当a >0时，f (a )＝a ＋4a ≥2a ·4a ＝4，当且仅当a ＝2时等号成立，即要使a ＋4a≤4恒成立，则a ＝2；当a <0时，f (a )＝a ＋4a 为负数，那么a ＋4a≤4必定恒成立．故a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}．二、解答题10．解不等式|2x －1|<|x |＋1.解：本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力．当x <0时，原不等式可化为－2x ＋1<－x ＋1，解得x >0，又∵x <0，∴x 不存在；当0≤x <12时，原不等式可化为－2x ＋1<x ＋1，解得x >0， 又∵0≤x <12，∴0<x <12；当x ≥12时，原不等式可化为 2x －1<x ＋1，解得x <2.又∵x ≥12，∴12≤x <2. 综上，原不等式的解集为{x |0<x <2}．11．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：解法一：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1a ＋3＝5解得a ＝2. (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x ＜－35，－3≤x ≤22x ＋1，x ＞2，所以当x ＜－3时，g (x )＞5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x ＞2时，g (x )＞5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．解法二：(1)同解法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．12．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.(1)证明|c|≤1；(2)证明当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；(3)设a>0，当－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)．(1)证明：∵当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，∴取x＝0有|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1.(2)证明：∵g(x)＝ax＋b的图象是一条直线，∴只需证明|g(－1)|≤2，且|g(1)|≤2.由已知|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，又由(1)知|c|≤1，∴|g(－1)|＝|－a＋b|＝|－f(－1)＋c|≤|f(－1)|＋|c|≤1＋1＝2.∴|g(－1)|≤2，且|g(1)|≤2.∴当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2.(3)解：∵a>0，∴g(x)在(－1,1)上是增函数．又∵当－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，∴g(1)＝2.∴a＋b＝f(1)－c＝2.∵－1≤c＝f(1)－2≤1－2＝－1，∴c＝f(0)＝－1.∵当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，∴由二次函数的性质得直线x＝0为二次函数f(x)的图象的对称轴．∴－b2a＝0，即b＝0.∴a＝2.∴f(x)＝2x2－1.。
2021年高三数学(文科)高考总复习阶段测试卷(第28周) 含答案
2021年高三数学（文科）高考总复习阶段测试卷（第28周）含答案说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置．4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案．参考公式：圆锥表面积公式：（是圆锥底面半径，是母线）圆锥体积公式：（是圆锥底面半径，是高）球体积公式：（R是球的半径）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．命题“存在R，0”的否定是（）A．不存在R，>0 B．存在R，0C．对任意的R，0 D．对任意的R，>03．已知：，则的大小关系为（）A．B．C．D．4．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的体积为：（）C．cm3 D．cm3（）D．“”的（）B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件（）A．B．C．D．8．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，则（）A．B．C．D．10．已知向量，，那么= （）A．B．C．D．111．定义两种运算：，，则函数（）A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数12．已知定义在上的函数满足，且，，有穷数列()的前项和等于, 则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上．）13．函数的定义域为____________________．14．已知m>0,n>0,向量，且，则的最小值是 .15．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值－1叫做的下确界，则函数的下确界为 .16．已知中，所对的边长分别为,则下列条件中能推出为锐角三角形的条件是_________. （把正确答案的序号都写在横线上）①. ②.③,. ④.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本题满分10分)设函数，（Ⅰ）不等式的解集为，求的值;（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求不等式的解集.18．(本题满分12分)已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．19．(本题满分12分)设数列的前项和为，对，都有成立，(Ⅰ) 求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列，试求数列的前项和.20．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，直线的倾斜角为，，设，.(Ⅰ)用表示；(Ⅱ)若，求的值．21．(本题满分12分)已知数列的各项都为正数，，前项和满足（）.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令（），数列的前项和为，若对任意正整数都成立，求实数的取值范围.22． (本题满分12分)已知函数（）.（Ⅰ）若，求在上的最大值；（Ⅱ）若，求的单调区间.参考答案：1.【答案】D【分析】根据集合的含义，把集合具体求出来，再根据集合的运算法则进行计算。
高三数学复习题与答案
高三数学复习题与答案一、选择题1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c是偶函数，则下列说法正确的是：A. a = 0, b ≠ 0B. a ≠ 0, b = 0C. a = 0, b = 0D. a = 0, b = 0答案：B2. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，a3 = 8，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B二、填空题3. 计算定积分∫₀¹ (2x + 1) dx的值是____。
答案：3/24. 若直线l的方程为y = 2x + 3，且与x轴交于点A，求点A的坐标。
答案：(-3/2, 0)三、解答题5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求函数的单调区间。
解答：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x。
令f'(x) > 0，解得x > 2或x < 0；令f'(x) < 0，解得0 < x < 2。
因此，函数f(x)在(-∞, 0)和(2, +∞)上单调递增，在(0, 2)上单调递减。
6. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 =c^2，求证三角形ABC是直角三角形。
解答：根据勾股定理的逆定理，若三角形的三边长满足a^2 + b^2 =c^2，则该三角形为直角三角形。
已知a^2 + b^2 = c^2，因此三角形ABC是直角三角形。
四、证明题7. 证明：若x > 0，y > 0，则x + y ≥ 2√(xy)。
证明：根据基本不等式，对于任意正数x和y，有(x - y)^2 ≥ 0。
展开得x^2 - 2xy + y^2 ≥ 0，即x^2 + y^2 ≥ 2xy。
由于x > 0，y > 0，所以x + y ≥ 2√(xy)。
当且仅当x = y时，等号成立。
8. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c) = 0。
高三数学总复习解题教学的基本思路
高三数学总复习解题教学的基本思路怎样组织高三最为有效的复习教学?数学学科的重头戏是解题，解题教学是高三数学总复习教学的重要环节，解题教学的质量直接决定总复习教学的效果。
根据这几年高三教学经验，笔者认为。
可以在下列三个方面来探求一条基本思路。
一、力求选题的最优化因为是总复习，所以学生对以前的知识都是了解的，只是应该再进一步熟悉并灵活运用。
所以，首先就要精选题目。
让学生通过练习来达到对知识的灵活掌握。
否则，重复质量不高的题目就会让学生厌倦，增加学生的负担，同样也达不到我们想要的效果。
那么，怎样优化题目的选择和设计呢?(一)以考纲为中心因为高考的选题是根据考纲进行的，所以，作为一名合格的教师，就要掌握考纲的主要要求，了解不同年份考纲的变化。
(二)以课本为基础无论考纲再怎么规定，它的所有知识点都是来自于课本的，尤其是课本中的例题。
从多年的高考试题来看，有好多试题都是对课本上例题的变型、改造、综合，所以我们在复习时，首先要让学生弄懂课本上的例题，能够根据课本上的例题触类旁通、举一反三。
脱离课本去进行复习是不明智的选择。
所以，以课本为基础，对课本例题和习题进行整合，做到旧题新解、熟题重温，可使学生获得新的感受和乐趣。
(三)重视“双基”训练所谓“双基”。
是指对学生基础知识、基本能力的培养。
近几年高考大纲侧重对基础知识的考查，删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和强调细枝末节的内容。
从这一变化中，我们可以看到考纲对“双基”的重视，所以，我们不要好高骛远，单纯为了高难度的试题而忽略了基础知识。
(四)将紧张的复习变轻松要想做到轻松复习，就要精简试题，尽可能让学生做到触类旁通，在做最少的试题的同时复习到更全的知识点，接触到更多的试题类型。
在这一点上，教师一定要精选试题题目，选择那些有代表性的试题让学生进行练习。
这样，学生就达到了复习的效果。
题量又不大，复习起来就轻松多了。
(五)试题要体现知识点的交汇在我们以课本为基础进行练习的时候，因为课本上的例题很少，难免会让学生觉得单调，那么，我们教师就要让所有的知识有所交汇，让每个章节的内容都能有联系。
高三数学复习知识点总结归纳
高三数学复习知识点总结归纳高三数学复习知识点总结第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。
主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。
第二、平面向量和三角函数。
重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。
第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。
难度比较小。
第三、数列。
数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。
第四、空间向量和立体几何，在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。
第五、概率和统计。
这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。
第六、解析几何。
这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括：第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。
考生应该掌握它的通法;第二类我们所讲的动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点;第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。
第七、押轴题。
考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。
这是高考所考的七大板块核心的考点。
高三数学总复习试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 6$，则$f(-1)$的值为：A. 2B. 0C. -2D. -62. 下列函数中，是奇函数的是：A. $y = x^2 + 1$B. $y = |x|$C. $y = \frac{1}{x}$D. $y = x^3$3. 若$a, b, c$是等差数列的前三项，且$a + b + c = 9$，则$abc$的值为：A. 27B. 9C. 3D. 14. 已知复数$z = 2 + 3i$，则$|z|$的值为：A. 5B. 2C. 3D. 15. 在$\triangle ABC$中，若$A = 60^\circ$，$a = 2\sqrt{3}$，$b = 4$，则$AB$的长度为：A. 2B. 4C. 2$\sqrt{3}$D. 4$\sqrt{3}$6. 下列命题中，正确的是：A. 对于任意实数$x$，$x^2 \geq 0$B. 对于任意实数$x$，$x^3 \geq0$ C. 对于任意实数$x$，$x^4 \geq 0$ D. 以上都不正确7. 已知函数$y = ax^2 + bx + c$在$x = 1$时取得最大值，则：A. $a > 0$，$b > 0$B. $a > 0$，$b < 0$C. $a < 0$，$b > 0$D. $a < 0$，$b < 0$8. 下列数列中，是等比数列的是：A. $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$B. $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$C. $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$D. $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$9. 若$a, b, c$是等差数列的前三项，且$a^2 + b^2 + c^2 = 36$，则$ab + bc + ca$的值为：A. 6B. 9C. 12D. 1810. 在直角坐标系中，点$A(2, 3)$关于直线$y = x$的对称点$B$的坐标为：A. $(2, 3)$B. $(3, 2)$C. $(-2, -3)$D. $(-3, -2)$二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$的定义域为______。
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2019高三数学总复习：解答题可以写两种答
案吗
2019高三数学总复习：高三数学复习在一点一滴的积累，数学复习是一个逻辑性很强的过程，高三生在数学学习过程中难免会有很多困惑，知识点貌似学会了但是做题不拿分。
数学网高考频道整理了数学名师针对高三数学复习中常遇见的问题解答，内容包括高三数学知识点复习、高三数学日常练习和高考数学答题的相关内容，和大家分享!
我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。
为什么在现代化教学的今天，我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生，竟提起作文就头疼，写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差，中学语文毕业生语文水平低，……十几年上课总时数是9160课时，语文是2749课时，恰好是30%，十年的时间，二千七百多课时，用来学本国语文，却是大多数不过关，岂非咄咄怪事!”寻根究底，其主要原因就是腹中无物。
特别是写议论文，初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证，也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题，但真正动起笔来就犯难了。
知道“是这样”，就是讲不出“为什么”。
根本原因还是无“米”下“锅”。
于是便翻开
作文集锦之类的书大段抄起来，抄人家的名言警句，抄人家的事例，不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以，词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。
要解决这个问题，不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫，必须认识到“死记硬背”的重要性，让学生积累足够的“米”。
要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
问题5：请问数学解答题若对题目有两种不同的理解，该怎么办?我是两种都写上，还是写一种都可以，如果两种都写上，会扣分吗?
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构
词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
答：平常咱们所见到的街面上卖的这些复习资料里面，甚至于包括我们有一些省、市、区县出的模拟题里面，个别时候会出现由于错词或者是其它的原因，使得大家对这个题的意思有不同的理解。
但是在高考(微博)题里面，由于是非常严格的、非常严肃、认真的情况下，经过专家们反复推敲，起稿而组成这样一套高考试卷，理念来高考试卷没有出现用词不当，用词不合理而造成考生对题意有不同理解，不会出现这种情况。
如果你有不同理解在考场上出现了应该多从自己这个方面找找原因，是不是哪个定理、定义我记得混淆了，或者哪个出问题，你敲定一下，按照一个意思做答，如果按两个意思做答，按常规判卷原则是以前一个为准评分。