解三角形公式

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解三角形公式

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海伦-秦九韶公式假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:而公式里的p为半周长(周长的一半):注1:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以和两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。

cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量,R是此三角形外接圆的半径)。

变形公式(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c(3)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC余弦定理a^2=b^2+c²-2bcco s Ab^2=a^2+c^2-2ac cos Bc^2=a^2+b^2-2ab cos C注:勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

解三角形公式汇总

解三角形公式汇总

解三角形解三角形公式汇总一、正弦定理正弦定理:公式推论1:(边化角)推论2:(角化边)题(1)已知sinB 求B:一题多解型判断依据:大角对大边,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。

型(2)asin B=2b:方法:边化角,推论1,a:b=sinA :sinB(3)3sin A=5sinB 或sinA:sinB:sinC=1:2:3方法:角化边,推论2,sinA :sinB=a:b二、余弦定理公余弦定理:(已知两边及夹角,求第三边)推论1:(已知三边,求角)推论2:(三边的平方关系)式2+b2-c2=2abcosC2+c2-a2=2bccosA2+c2-b2=2accosBaba题(1)已知a,b,角C,求c 2=a2+b2-2abcosC方法:已知两边及夹角,求第三边,余弦定理 c型(2)已知a:b:c=1:2:,求cosB方法:已知三边求角,余弦定理推论1,(3)已知,求cosA方法:已知三边平方关系,余弦定理推论2, b2+c2-a2=2bccosA1解三角形三、求三角形面积公式:题型1:已知a,b,c,A 求△ABC 的面积.方法:带公式题型2:已知A,a,b+c,求△ABC 的面积.方法:四、判断三角形形状题型: b cosC c cosB asin A ,判断三角形形状方法1:角化边公式:sinA:sinB:sinC=a:b:c 或结论:方法2:边化角公式:a:b:c = sinA:sinB:sinC将原式转化为sinBcosC+sinCcosB=sin 2A,用三角恒等变换公式求解。

注:三角形内常见角度转化:五、解三角形应用举例仰角:俯角:坡度:2。

解三角形公式

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1、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ∆AB的外接圆的半径,则有2、正弦定理的变形公式:① a= b= c=② sinA= sinB= sinC=③ a:b:c=④ a sin B = b sin C = 3、三角形面积公式: .4、等边三角形面积公式: (a 为三角形的边长)5、余弦定理:在C ∆AB 中,有6、余弦定理的变形:7、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边,则:①若222a b c +=,则90C =为直角三角形;②若 ,则90C <;③若 ,则90C >为钝角三角形.8、同角α 的正弦,余弦,正切函数的关系式为 9、若α+β=π则sin α= ,cos α=若α+β=π2 则sin α= ,cos α=1、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ∆AB的外接圆的半径,则有2、正弦定理的变形公式:① a= b= c=② sinA= sinB= sinC=③ a:b:c=④ a sin B = b sin C = 3、三角形面积公式: .4、等边三角形面积公式: (a 为三角形的边长)5、余弦定理:在C ∆AB 中,有6、余弦定理的变形:7、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边,则:①若222a b c +=,则90C =为直角三角形;②若 ,则90C <;③若 ,则90C >为钝角三角形.8、同角α 的正弦,余弦,正切函数的关系式为9、若α+β=π则sin α= ,cos α=若α+β=π2 则sin α= ,cos α=。

解三角形-公式汇总

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四、判断三角形形状
题型: b cosC c cos B a sin A ,判断三角形形状 方法 1:角化边 公式:sinA:sinB:sinC=a:b:c 或 结论:
方法 2:边化角 公式:a:b:c = sinA:sinB:sinC 将原式转化为 sinBcosC+sinCcosB=sin2A,用三角恒等变换公式求解。 注: 三角形内常见角度转化:
型 (2)已知 a:b:c=1:2: ,求 cosB
方法:已知三边求角,余弦定理推论 1,
(3)已知
,求 cosA
方法:已知三边平方关系,余弦定理推论 2,b2+c2-a2=2bccosA1三、求三角形面积
公式:
题型 1:已知 a,b,c,A 求△ABC 的面积. 方法:带公式 题型 2:已知 A,a,b+c,求△ABC 的面积. 方法:
一、正弦定理 公 正弦定理: 式
推论 1:(边化角)
解三角形 公式汇总
解三角形
推论 2:(角化边)
题 (1)已知 sinB 求 B:一题多解型 判断依据:大角对大边,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
型 (2)asin B=2b: 方法:边化角,推论 1,a:b=sinA:sinB
(3)3sin A=5sinB 或 sinA:sinB:sinC=1:2:3 方法:角化边,推论 2,sinA:sinB=a:b
五、解三角形应用举例
仰角: 俯角: 坡度:
2
解三角形
二、余弦定理

余弦定理:
推论 1:
(已知两边及夹角,求第三边) (已知三边,求角)

推论 2: (三边的平方关系)
a2+b2-c2=2abcosC b2+c2-a2=2bccosA a2+c2-b2=2accosB

三角形定理公式大全

三角形定理公式大全

三角形定理公式大全下面是一些常见的三角形定理和公式:角度定理:1. 三角形内角和定理:三角形内所有角的和为180度。

2. 直角三角形定理:直角三角形的两个锐角的和为90度。

边长定理:1. 已知两边夹角求第三边:根据余弦定理,设三角形的三个边长为a、b、c,夹角为C,则有:c² = a² + b² - 2ab · cos(C)2. 已知两边和夹角求第三边:根据余弦定理,设三角形的三个边长为a、b、c,夹角为C,则有:c² = a² + b² - 2ab · cos(C)3. 已知三角形的三边求角度:根据余弦定理,设三角形的三个边长为a、b、c,夹角分别为A、B、C,则有:cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc),cos(B) = (a² + c² - b²) / (2ac),cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)4. 三角形中位线定理:三角形的三条中位线(从一个顶点到对边中点的线段)交于一点,且该点距离各顶点的距离等于1/2对边的长度。

面积定理:1. 海伦公式:设三角形的三边长为a、b、c,半周长为s,则三角形的面积为:面积= √(s(s-a)(s-b)(s-c))2. 三角形高公式:设三角形的底为b,对应的高为h,则三角形的面积为:面积 = 1/2 * b * h3. 直角三角形面积定理:设直角三角形的两条直角边长度为a和b,则三角形的面积为:面积= 1/2 * a * b这些定理和公式是解决三角形相关问题时常用的工具。

根据所给的已知条件,可以选取适合的定理和公式来进行计算。

三角形边长计算公式大全-求边长的公式

三角形边长计算公式大全-求边长的公式

各种三角形边长的计算公式解三角形解直角三角形(斜三角形特殊情况):勾股定理,只适用于直角三角形(外国叫“毕达哥拉斯定理”)a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。

比如:3,4,5。

他们分别是3,4和5的倍数。

常见的勾股弦数有:3,4,5;6,8,10;5,12,13;10,24,26;等等.解斜三角形:在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有(1)正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) (2)余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注:勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

(3)余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab斜三角形的解法:已知条件定理应用一般解法一边和两角(如a、B、C)正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时有一解。

两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解。

三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180˙,求出角C 在有解时只有一解。

两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解。

勾股定理(毕达哥拉斯定理)内容:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。

几何语言:若△ABC满足∠ABC=90°,则AB²+BC²=AC²勾股定理的逆定理也成立,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方,则这个三角形是直角三角形几何语言:若△ABC 满足,则∠ABC=90°。

各种三角形边长的计算公式

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各种三角形边长的计算公式解三角形解直角三角形(斜三角形特殊情况):勾股定理,只适用于直角三角形(外国叫“毕达哥拉斯定理”)a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。

比如:3,4,5。

他们分别是3,4和5的倍数。

常见的勾股弦数有:3,4,5;6,8,10;5,12,13;10,24,26;等等.解斜三角形:在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有(1)正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) (2)余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注:勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

(3)余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab斜三角形的解法:已知条件定理应用一般解法一边和两角(如a、B、C)正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时有一解。

两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解。

三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180˙,求出角C 在有解时只有一解。

两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解。

勾股定理(毕达哥拉斯定理)内容:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。

几何语言:若△ABC满足∠ABC=90°,则AB²+BC²=AC²勾股定理的逆定理也成立,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方,则这个三角形是直角三角形几何语言:若△ABC 满足,则∠ABC=90°。

解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

解三⾓形知识点归纳(附三⾓函数公式)⾼中数学必修五第⼀章解三⾓形知识点归纳1 三⾓形三⾓关系: A+B+C=180 ; C=180°— (A+B);2、三⾓形三边关系: a+b>c; a-b,P( P a)( p b)( p c)10、如何判断三⾓形的形状:判定三⾓形形状时,可利⽤正余弦定理实现边⾓转化,统成边的形式或⾓的形式设 a 、b 、c 是C 的⾓、、C 的对边,则:①若 a 2 b 2 c 2,则 C 90o ;②若 a 2 b 2c 2,则 C 90o ;③若 a 2 b 2 c 2,则 C 90o ?11、三⾓形的四⼼:垂⼼三⾓形的三边上的⾼相交于⼀点重⼼⼀⼀三⾓形三条中线的相交于⼀点(重⼼到顶点距离与到对边距离之⽐为 2:1 )外⼼⼀⼀三⾓形三边垂直平分线相交于⼀点(外⼼到三顶点距离相等)内⼼⼀⼀三⾓形三内⾓的平分线相交于⼀点(内⼼到三边距离相等) 12同⾓的三⾓函数之间的关系 (1)平⽅关系:sin 2 a + cos 2 a=l (2)倒数关系: tana^cota = l (3)商的关系: tansin 丄 cos ,cotcossinB) si nC,cos(A B) cosC, tan (A B) tanC,.A B o 1 nC A B .C 」A BO 1 r cotCsin cos ,cos011 1, Idl 12 2 222 24、正弦定理 :在 C 中,a 、b 、c 分别为⾓、、接圆的半径,则有a b c 2R .sinsinsi nC5、正弦定理的变形公式:①化⾓为边:a 2Rsin , b2Rsi n ,c2RsinC ;②化边为⾓: sin a, sin b sin Cc ;C 的外2R④⼀sin sin2R c si nCa _b sin sin6、两类正弦定理解三⾓形的问题:①已知两⾓和任意⼀边,求其他的两边及⼀⾓②已知两⾓和其中⼀边的对⾓,求其他边⾓注意解的情况(⼀解、两解、三解) )③ a: b: csin :sin :sin C ; c si nC.(对于已知两边和其中⼀边所对的⾓的题型要 7、余弦定理:在 C 中,有a 2 b 22c 2bc cos 等,变形: cos.2 2 2b c a “等,2bcc 11 ⼩12 S Cbcs in abs inC acs in .=2Rsi nAsi nBsi nC=22 2abc =r(a b c) 4R 2 2R3、三⾓形中的基本关系:sin (AC 的对边,R 为 8、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹⾓,求其余的量。

解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B);2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系:sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===4、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ∆AB 的外接圆的半径,则有2sin sin sin a b cR C===A B . 5、正弦定理的变形公式:①化角为边:2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =;②化边为角:sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R=; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ;④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B . 6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解))7、余弦定理:在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A 等,变形: 222cos 2b c a bc+-A =等,8、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。

②已知三边求角) 9、三角形面积公式:111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B .=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边,则:①若222a b c +=,则90C =;②若222a b c +>,则90C <;③若222a b c +<,则90C >. 11、三角形的四心:垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点(重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1) 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点(外心到三顶点距离相等) 内心——三角形三内角的平分线相交于一点(内心到三边距离相等) 12同角的三角函数之间的关系(1)平方关系:sin²α+cos²α=1 (2)倒数关系:tanα·cotα=1 (3)商的关系:ααααααsin cos cot ,cos sin tan ==三角函数诱导公式:“ (2πα+)”记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限”,是指(2kπα+),k ∈Z 的三角函数值,当k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦(正切,余切;正割、余割也同样);当k 为偶数时,函数名不变。

三角形边长计算公式大全

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各种三角形边长的计算公式解三角形解直角三角形(斜三角形特殊情况):勾股定理,只适用于直角三角形(外国叫“毕达哥拉斯定理”)a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。

比如:3,4,5。

他们分别是3,4和5的倍数。

常见的勾股弦数有:3,4,5;6,8,10;5,12,13;10,24,26;等等.解斜三角形:在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有(1)正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) (2)余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注:勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

(3)余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab斜三角形的解法:已知条件定理应用一般解法一边和两角(如a、B、C)正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时有一解。

两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解。

三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180˙,求出角C 在有解时只有一解。

两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解。

勾股定理(毕达哥拉斯定理)内容:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。

几何语言:若△ABC满足∠ABC=90°,则AB²+BC²=AC²勾股定理的逆定理也成立,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方,则这个三角形是直角三角形几何语言:若△ABC 满足,则∠ABC=90°。

各种三角形边长的计算公式

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各种三角形边长的计算公式解三角形解直角三角形(斜三角形特殊情况):勾股定理,只适用于直角三角形(外国叫“毕达哥拉斯定理”)a^2+b^2=c^2,其中a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边.勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如:3,4,5.他们分别是3,4和5的倍数.常见的勾股弦数有:3,4,5;6,8,10;5,12,13;10,24,26;等等.解斜三角形:在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有 (1)正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) (2)余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注:勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况.(3)余弦定理变形公式 cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb= (a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab斜三角形的解法:已知条件 定理应用 一般解法一边和两角 (如a、B、C) 正弦定理 由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时 有一解.两边和夹角 (如a、b、c) 余弦定理 由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再 由A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解.三边 (如a、b、c) 余弦定理 由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180˙,求出角C 在有解时只有一解.两边和其中一边的对角 (如a、b、A) 正弦定理 由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正 弦定理求出C边,可有两解、一解或无解.勾股定理(毕达哥拉斯定理)内容:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.几何语言:若△ABC满足∠ABC=90°,则AB²+BC²=AC² 勾股定理的逆定理也成立,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方,则这个三角形是直角三角形 几何语言:若△ABC满足,则∠ABC=90°.[3]射影定理(欧几里得定理)内容:在任何一个直角三角形中,作出斜边上的高,则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积.几何语言:若△ABC满足∠ABC=90°,作BD⊥AC,则BD²=AD×DC 射影定理的拓展:若△ABC满足∠ABC=90°,作BD⊥AC,(1)AB²=BD·BC (2)AC²;=CD·BC (3)ABXAC=BCXAD正弦定理内容:在任何一个三角形中,每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边边长和的乘积之比 几何语言:在△ABC 中,sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc 结合三角形面积公式,可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R是外接圆半径)余弦定理内容:在任何一个三角形中,任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦 几何语言:在△ABC中,a²=b²+c²-2bc×cosA 此定理可以变形为:cosA=(b²+c²-a²)÷2bc。

解三角形角的关系

解三角形角的关系

解三角形角的关系
三角形角的关系可以通过以下几个定理来描述:
1. 三角形内角和定理:一个三角形的内角和等于180度。

对于任意一个三角形ABC,它的三个内角A、B、C满足A + B +
C = 180°。

2. 外角定理:一个三角形的外角等于其不相邻两个内角的和。

对于三角形ABC,它的一个外角等于其两个不相邻内角的和:∠D = ∠A + ∠C。

3. 内角余弦定理:对于任意一个三角形ABC,与边a、b、c
对应的内角A、B、C满足以下公式:cosA = (b² + c² - a²) / 2bc;cosB = (a² + c² - b²) / 2ac;cosC = (a² + b² - c²) / 2ab。

其中,a、b、c分别为三角形ABC的边长。

4. 正弦定理:对于任意一个三角形ABC,与边a、b、c对应
的内角A、B、C满足以下公式:sinA / a = sinB / b = sinC / c。

5. 余弦定理:对于任意一个三角形ABC,与边a、b、c对应
的内角A、B、C满足以下公式:c² = a² + b² - 2abcosC;b² = a²+ c² - 2accosB;a² = b² + c² - 2bccosA。

通过这些定理,可以推导和计算三角形的角度关系。

这些关系不仅在几何学中有重要应用,也在物理学、工程学等领域中被广泛应用。

解三角形(正弦定理余弦定理三角形面积公式)课件

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反射定律
当光线遇到平面镜时,会产生反射现象。通过解三角形的方法可以计算入射角和反射角的关系,从而解释反射现 象。
建筑学中的角度计算
确定建筑物的角度
在建筑设计中,需要计算建筑物与水平面之间的角度,以确保建筑物的稳定性。利用解三角形的方法 可以计算出建筑物所需的倾斜角度。
测量建筑物的高度
通过观测建筑物与水平面之间的角度,利用解三角形的方法可以计算出建筑物的高度。
将三角形的三边长度转化为面积的表 达式,便于计算。
面积公式的应用
01
解决实际问题
利用三角形面积公式解决实际 问题,如土地测量、建筑规划
等。
02
数学竞赛解题
在数学竞赛中,三角形面积公 式是解决几何问题的重要工具
之一。
03
数学建模
在数学建模中,三角形面积公 式可以用于描述和解决现实生 活中的问题,如最优分割等。
详细描述
其中一种常见的证明方法是利用三角形的外接圆性质,通过相似三角形和勾股定 理进行推导。此外,还可以利用三角函数的加法定理、三角形的面积公式等其他 方法进行证明。掌握多种证明方法有助于加深对正弦定理的理解和应用。
02
余弦定理
定义与性质
总结词
余弦定理是三角形中一个重要的 定理,它描述了三角形各边与其 所对的角之间的关系。
应用场景
01
总结词
02
详细描述
正弦定理在解决三角形问题时非常有用,特别是在已知两边及夹角、 已知两角及夹边等情况下求解第三边。
通过正弦定理,我们可以解决各种与三角形相关的问题,如计算三角 形的面积、判断三角形的形状、解决几何作图问题等。它是三角函数 和几何学中非常重要的定理之一。
证明方法
总结词

(完整版)解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

(完整版)解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B);2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系:sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===4、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ∆AB 的外接圆的半径,则有2sin sin sin a b cR C===A B . 5、正弦定理的变形公式:①化角为边:2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =;②化边为角:sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R=; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ;④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B . 6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解))7、余弦定理:在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A 等,变形: 222cos 2b c a bc+-A =等,8、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角,求其余的量。

②已知三边求角) 9、三角形面积公式:111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B .=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边,则:①若222a b c +=,则90C =o;②若222a b c +>,则90C <o;③若222a b c +<,则90C >o. 11、三角形的四心:垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点(重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1) 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点(外心到三顶点距离相等) 内心——三角形三内角的平分线相交于一点(内心到三边距离相等) 12同角的三角函数之间的关系(1)平方关系:sin²α+cos²α=1 (2)倒数关系:tanα·cotα=1 (3)商的关系:ααααααsin cos cot ,cos sin tan ==三角函数诱导公式:“ (2πα+)”记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限”,是指(2kπα+),k ∈Z 的三角函数值,当k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦(正切,余切;正割、余割也同样);当k 为偶数时,函数名不变。

解三角公式大全

解三角公式大全

解三角公式大全
解三角形时,常用的公式包括正弦定理、余弦定理和正切定理,它们是解决三角形边长和角度问题的基本工具,具体公式如下:
正弦定理:在任意三角形ABC 中,设三边分别为a、b、c,对应的角分别为A、B、C,则有sinA/a = sinB/b = sinC/c。

余弦定理:在任意三角形ABC 中,设三边分别为a、b、c,对应的角分别为A、B、C,则有c²= a²+ b²- 2ab cosC 等式成立,另外两个角的余弦定理类似。

正切定理:在任意三角形ABC 中,设三边分别为a、b、c,对应的角分别为A、B、C,则有tanA = (2r)/(b+c-a) 等式成立,其中r 为三角形的内切圆半径。

这些公式可以互相转化和综合运用,以求得三角形的各种未知量。

在实际应用中,需要根据具体问题选择合适的公式,并注意精度误差和解的唯一性等问题。

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解三角形公式海伦-秦九韶公式假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:而公式里的p为半周长(周长的一半):注1:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s 作为半周长,所以和两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。

cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2b^2=a^2+c^2-2ac cos Bc^2=a^2+b^2-2ab cos C注:勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

变形公式cos C=(a^2+b^2-c^2)/2abcos B=(a^2+c^2-b^2)/2accos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc海伦-秦九韶公式p=(a+b+c)/2(公式里的p为半周长)假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 高中数学基本不用。

已知三条中线求面积方法一:已知三条中线Ma,Mb,Mc,则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb) *(Ma+Mb-Mc)]/3 ;方法二:已知三边a,b,c ;则S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)];其中:p=(a+b+c)/2 ;b^2+c^2= a^2 cosA=0A=90°直角b^2+c^2< a^2 cosA<0A>90°钝角b^2+c^2> a^2 cosA>0A<90°锐角※a边必须是最大边3解三角形编辑正弦定理已知条件:一边和两角(如a、B、C,或a、A、B)一般解法:由A+B+C=180°,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时,有一解。

余弦定理已知条件:两边和夹角(如a、b、C)一般解法:由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180°求出另一角,在有解时有一解。

已知条件:三边(如a、b、c)一般解法:由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180°,求出角C在有解时只有一解。

正弦定理(或余弦定理)已知条件:两边和其中一边的对角(如a、b、A)一般解法:由正弦定理求出角B,由A+B+C=180°求出角C,再利用正弦定理求出C 边,可有两解、一解或无解。

(或利用余弦定理求出c边,再求出其余两角B、C)①若a>b,则A>B有唯一解;②若b>a,且b>a>bsinA有两解;③若a<bsinA则无解。

同角三角函数间的基本关系式:·平方关系:sin^2α+cos^2α=11+tan^2α=sec^2α1+cot^2α=csc^2α·积的关系:sinα=tanα×cosαcosα=cotα×sinαtanα=sinα×secαcotα=cosα×cscαsecα=tanα×cscαcscα=secα×cotα·倒数关系:tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系:sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·[1]三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数:cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数:sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cos γ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sin γ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式:Asi nα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A²+B²)^(1/2)cost=A/(A²+B²)^(1/2)tant=B/AAsinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B·倍角公式:sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]·三倍角公式:sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(6 0-α)cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)c os(60-α)tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ·半角公式:sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+co s α)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式:sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]·积化和差公式:sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式:sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos²α1-cos2α=2sin²α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²·其他:sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π* 3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 cosx+cos2x+...+cosnx=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx证明:左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx =[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx (积化和差)=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+...+sinnx= -[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx证明:左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边等式得证[编辑本段]三角函数的诱导公式公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-ta nαcot(π-α)=-cotα公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)[编辑本段]正余弦定理正弦定理是指在三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R .(其中R为外接圆的半径)余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即a^2=b^2+c^2-2bc cosA 角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦,记作sinA,即sinA=角A的对边/斜边斜边与邻边夹角asin=y/r无论y>x或y≤x无论a多大多小可以任意大小正弦的最大值为1 最小值为-1三角恒等式对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明:已知(A+B)=(π-C)所以tan(A+B)=tan(π-C)则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+ta nπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n ∈Z)时,总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ[编辑本段]部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得):sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

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