解三角形公式

解三角形公式

海伦－秦九韶公式

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

而公式里的p为半周长（周长的一半）：

注1："Metrica"(《度量论》）手抄本中用s 作为半周长，所以

和

两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√（1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]

=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）

（2ab-a^2-b^2+c^2）]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

b^2=a^2+c^2-2ac cos B

c^2=a^2+b^2-2ab cos C

注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

变形公式

cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab

cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac

cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc

海伦-秦九韶公式

p=(a+b+c)/2（公式里的p为半周长）

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 高中数学基本不用。

已知三条中线求面积

方法一：已知三条中线Ma,Mb,Mc，

则

S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb) *(Ma+Mb-Mc)]/3 ；

方法二：已知三边a，b，c ；

则S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]；其中：p=(a+b+c)/2 ；

b^2+c^2= a^2 cos

A=0

A=

9

0°

直

角

b^2+c^2< a^2 cos

A<0

A>

9

0°

钝

角

b^2+c^2> a^2 cos

A>0

A<

9

0°

锐

角

※a边必须是最

大边

3解三角形编辑

正弦定理

已知条件：一边和两角（如a、B、C,或a、

A、B）

一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。

余弦定理

已知条件：两边和夹角(如a、b、C）

一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时有一解。

已知条件：三边（如a、b、c）

一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解时只有一解。

正弦定理（或余弦定理）

已知条件：两边和其中一边的对角（如a、b、A）

一般解法：由正弦定理求出角B，由

A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C 边，可有两解、一解或无解。（或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C）①若a>b，则A>B有唯一解；②若b>a，且b>a>bsinA有两解；③若a

同角三角函数间的基本关系式：

·平方关系：

sin^2α＋cos^2α＝1

1＋tan^2α＝sec^2α

1＋cot^2α＝csc^2α

·积的关系：

sinα=tanα×cosα

cosα=cotα×sinα

tanα=sinα×secα

cotα=cosα×cscα

secα=tanα×cscα

cscα=secα×cotα

·倒数关系：

tanα ·cotα＝1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

·[1]三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cos γ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sin γ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

·辅助角公式：

Asi nα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A²+B²)^(1/2)

cost=A/(A²+B²)^(1/2)

tant=B/A

Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，

tant=A/B

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]

·三倍角公式：