余弦定理公式大全

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形

建构知识结构

1．三角形基本公式：

（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

cos

2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2

1

casinB

S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2

c

b a ++, r 为内切圆半径)

（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===外 证明：由三角形面积

111

sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===

得sin sin sin a b c A B C

==

画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c

R A B C ===

3．余弦定理：a 2

=b 2

+c 2

-2bccosA , 222

cos 2b c a A bc

+-=；

证明：如图ΔABC 中，

sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-

222222

2

2

sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A

=+=+-=+-

当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；

有三种情况：bsinA

（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力

B

练习题

1．(2006山东)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,3,13

A a b π

===，则c = （ ）

A.1

B.2

C.31-

D.3

2．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）

A.

223 B.233 C.2

3

D.33 3．（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( )

A. 2

85cm B. 2

610cm C. 2

355cm D. 2

20cm

5.（2006全国Ⅱ）已知ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为_________.

6.(2006春上海)在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .

◆答案:1-4.BBCB; 3.由2cos B sin A =sin C 得ac b c a 2

22-+×a =c ，∴a =b .

4.组成边长6,7,7时面积最大;

5.

3; 6.

25

7 四、经典例题

【例1】(2006天津)如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，4

3

cos =C ． （1）求AB 的值； （2）求()C A +2sin 的值. 解（Ⅰ）： 由余弦定理，

2

2

2

2..cos AB AC BC AC BC C =+- 3

41221 2.4

=+-⨯⨯⨯= ∴ 2.AB =

（Ⅱ）解：由3

cos 4C =

，且0,C π<<得 27sin 1cos .C C =-=

由正弦定理:

,sin sin AB BC

C A

=

解得sin sin 8BC C A AB =

=

。所以，cos 8

A =。由倍角公式

sin 2sin 2cos 16

A A A =⋅=

， 且2

9

cos 212sin 16

A A =-=

，故 (

)sin 2sin 2cos cos 2sin 8

A C A C A C +=+=

. ◆解读思想：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.

【例2】在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．

解：由正弦定理得：sinA=23

2

45sin 3sin =

⋅= b B a ,因为B=45°<90°且b

(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=

22

645sin 75sin 2sin sin +=⋅=

B C

b , (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=

2

2

645sin 15sin 2sin sin -=

⋅=

B

C

b ◆解读思想：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论．

【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30

，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1︒）？

[解] 连接BC,由余弦定理得

BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700

于是

∵

7

10120sin 20sin ︒

=ACB , ∴sin ∠ACB=73,

∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援

点拨纠正:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角

形的方法；

【例4】已知⊙O 的半径为R ，，在它的内接三角形ABC 中，有

(

)(

)

B b a

C A R sin 2sin sin 222-=

-成立，求△ABC 面积S 的最大值．