两个圆的公共弦方程

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过两圆交点的公共弦所在直线方程探究

过两圆交点的公共弦所在直线方程探究求经过两条曲线x 2+y 2+3x -y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0交点的直线方程.常规解法是: 联立方程 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++)2(0233)1(032222y x y x y x y x求方程组解 )3(047)2(3)1(=--⨯y x 得得代入即),1(,47x y = .137134;003134,0,0473164922112122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==-===-++y x y x x x x x x x ），得分别代入（解得即两交点坐标为 A(0,0), ).137,134(--B 过两交点的直线方程为 7x -4y=0. (4)由上面(1),(2)得到(3),这是解方程的基本步骤,我们可得以下结论结论1: 如果两条曲线方程是 f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x 0,y 0),则方程 f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过P(x 0,y 0) (是任意常数).有了这个结论，有些题目可快速求解。

过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。

例2 (课本P70.13题) 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点,并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程.解: 构造方程 x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0即 (1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy -(4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λλλ+-+-当该圆心在直线x -y -4=0上时,即 .7,041313-==-+++-λλλλ得 ∴ 所求圆方程为 x 2+y 2-x+7y -32=0例3：（P81.14题）求证：两椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2, a 2x 2+b 2y 2=a 2b 2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程。

两圆的公共弦的简易求法

两圆的公共弦的简易求法作者：魏道勇来源：《新一代》2011年第04期摘要：圆锥曲线中求两圆的公共弦，寻求更有效解题方法。

避免了大量的，繁琐的代数运算，节省了做题时间，提高了准确率。

关键词：圆锥曲线；公共弦；简易求法中图分类号：G630文献标识码：A文章编号：1003-2851（2011）04-0141-01圆锥曲线中求两圆的公共弦常用联立两圆的方程，消去x2与y2项后得关于x,y的一次方程，即公共弦所在的直线方程的方法解之。

例如：求圆x2+y2=4与圆x2+y2+4x-4y-1=0公共弦所在的直线的方程同学们易联立两个方程，解出两个交点坐标，然后根据两点求出所要的公共弦的方程，显然这样做需要花费大量的运算时间，虽然做出来了，可以说是事倍功半。

实际上两个方程联立相减消去x2与y2项，即(x2+y2-4)-(x2+y2+4x-4y-1)=0化简即得公共弦的方程为：4x-4y+3=0。

另外，我们在圆锥曲线中常遇到有关中点弦所在的直线方程的问题，学生习惯用设斜率k，写出直线方程与圆锥曲线方程联立，表示中点，求出k，再写出直线方程，这样虽可行，但运算量太大，易出错，现在让我们大胆联想用圆中的方法可否解决。

若圆锥曲线C的方程为：f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0点M(m,n)是曲线C的弦PQ的中点，我们来求弦PQ所在的直线的方程。

分析：如何构造出两个相似的方程呢？我们知道弦的两个端点都在曲线上，且关于中点对称，端点的坐标满足方程，这样可构造两个方程。

让我们试一试。

设P的坐标为(x,y)，则Q的坐标为(2m-x,2n-y)，PQ两点都满足曲线C的方程即有f(x,y)=0f(2m-x,2n-y)=0亦即Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0A(2m-x)2+B((2m-x)(2n-y)+C(2n-y)2+D(2m-x)+E(2n-y)+F=0两式相减得:f(x,y)-f(2m-x,2n-y)=0，即得：(2mA+nB+D)x+(mB+2nC+E)y-(2m2A+2mnB+2n2C+Dm+En)=0*当2mA+nB+D与mB+2nC+E不同时为零时，上式方程表示是直线，它是不是弦PQ所在直线的方程呢？显然P的坐标满足*式，也易验证点M(m,n)满足*式方程，又两点确定一条直线，故*式方程可看作是P,M确定的直线方程，也就是弦PQ所在直线的方程。

圆与圆的关系公共弦问题

作业：已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0
和圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0 ，相交于
A、B两点。
(1)求公共
弦AB所在直线的方程； (2)求公
共弦AB的长;
(3) 求以公共
弦AB为直径的圆的方程。
圆与圆的位置关系
——公共弦问题
R
r
d
R
r
d
相离 d>R+r
外切 d=R+r
R
r
d
Rr
d
R r
d
相交 |R-r|<d<R+r 内切 d=|R-r| 内含 d<|R-r|
新知讲解
A
公共弦：AB
l
特征：C1C2⊥AB且交于 AB的中点
C1
C2
d
R
B
已知圆
C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0
圆 C公2:共x2弦+yA2B+所D2在x+直E线2y+的F方2=程0.是: 思考：如何求弦AB的长？ (D1-D2)X+(E1-E2)y+(F1-F2)=0(两式相减)
∴两圆的公共弦长为 2 r2－d2＝2 2.
题型3：求圆的方程
? 求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0 和圆C2： x2+y2+12x+16y-25=0 的公共弦为直径的圆的方程．
解法一：相减得公共弦所在直线方程为 4x+3y-2=0 ．
∵所求圆以 AB 为直径，
于是圆的方程为 (x-2)2+(y+2)2=25

两圆的公共弦方程的求法与应用

两圆的公共弦方程的求法与应用【推导结论】求经过两条曲线x 2+y 2+3x -y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0交点的直线方程.常规解法是: 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++)2(0233)1(032222y x y x y x y x求方程组解 )3(047)2(3)1(=--⨯y x 得得代入即),1(,47x y =2212497430,0,16413x x x x x x ++-===-解得 211240133;.0713x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩分别代入（），得即两交点坐标为 A(0,0), ).137,134(--B 过两交点的直线方程为 7x -4y=0. (4)由上面(1),(2)得到(3),这是解方程的基本步骤,我们可得以下结论结论1: 如果两条曲线方程是 f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x 0,y 0),则方程 f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过P(x 0,y 0) (是任意常数).有了这个结论，有些题目可快速求解。

过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。

【应用结论】例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点,并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程.【解析】构造方程 x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0即 (1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy -(4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λλλ+-+-当该圆心在直线x -y -4=0上时,即 .7,041313-==-+++-λλλλ得 ∴所求圆方程为 x 2+y 2-x+7y -32=0例3 求证：两椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2, a 2x 2+b 2y 2=a 2b 2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程．【解析】将已知的两椭圆方程相加，得 2222222b a b a y x +=+．此方程为以原点为圆心的圆的方程，由曲线系知识知该圆过已知两椭圆的交点。

两圆之间求公共弦长的公式

两圆之间求公共弦长的公式
两圆之间求公共弦长的公式是: L = 2 * R * sin(θ/2)。

其中L 为两圆公共弦长，R 为圆的半径，θ为两圆心间的夹角。

公式的意思是：两圆之间的公共弦长等于两圆心间的夹角的一半乘以两圆半径之和。

需要注意的是这个公式是基于圆心距较小的情况下适用的，如果圆心距很大，这个公式就不能使用了。

还需要注意的是，这个公式中的θ是弧度制的，如果需要用角度制的话，需要将角度转化为弧度。

如果两圆大小不等，那么公共弦长的公式就不能使用了。

因为公式中所用到的圆半径都是相等的，而实际上两个圆半径可能不相等。

如果需要求两圆大小不等时的公共弦长，需要使用圆的方程来解决。

具体的方法是：首先求出两圆的交点，然后计算两圆心间的距离，最后使用勾股定理计算出两圆公共弦长。

两圆相交公共弦长所在直线方程推导

两圆相交公共弦长所在直线方程推导作文一（针对初中学生）同学们，今天咱们来聊聊两圆相交公共弦长所在直线方程的推导。

比如说，有两个圆，就像两个大圆盘摆在那里。

一个圆是小红的，一个圆是小明的。

这两个圆呢，相交在了一起。

那相交的这部分，就像是它们手拉手的地方。

我们要找到这个公共弦长所在的直线方程，其实就像是找到它们手拉手的那条“秘密通道”的规律。

咱们假设这两个圆的方程分别是\(x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0\)和\(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0\)。

然后呢，我们把这两个方程相减，得到：\[\begin{align}(D_1 D_2)x + (E_1 E_2)y + (F_1 F_2) = 0\end{align}\]这就是公共弦长所在直线的方程啦！是不是挺神奇的？同学们，多做几道题练练手，就能更熟练啦！作文二（针对高中学生）嘿，小伙伴们！今天咱们一起来攻克两圆相交公共弦长所在直线方程的推导这个难题。

想象一下，操场上有两个大圆圈，一个是蓝色的，一个是绿色的，它们有一部分重叠在一起。

这重叠的部分就是公共弦啦。

那怎么找到这条弦所在直线的方程呢？咱们设两个圆的方程分别是\(x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0\)和\(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0\)。

\[\begin{align}(D_1 D_2)x + (E_1 E_2)y + (F_1 F_2) = 0\end{align}\]这就是我们要找的公共弦长所在直线的方程。

大家做题的时候，要仔细想想这个推导过程，可别迷糊啦！作文三（针对大学生）同学们，咱们来深入探讨一下两圆相交公共弦长所在直线方程的推导。

就好比在一个数学的奇妙世界里，有两个神秘的圆相遇了。

它们相交产生的公共弦，藏着有趣的秘密。

假设这两个圆的方程是\(x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0\)和\(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0\)。

再谈两圆公共弦所在直线方程.docx

再谈两圆公共弦所在直线方程在圆的方程的学习中，学生曾经做过这样一道题：若圆C1： x2+y2-2x-3=0与圆C2： x2+y2+4x+2y+3二0相交，求公共弦所在直线的方程。

有学生在问题解决后提出了新的问题：“两圆不相交时，方程作差仍可得到二元一次方程，这个方程所反映的直线与已知两圆是什么关系？”该问题的提岀很自然且很有价值，一方面，脱离开几何直观意义的代数运算就变成了纯形式化的操作，往往容易忽视操作本身的意义；另一方面，在解析几何屮，方程具有直观意义一一曲线，当曲线关系与方程的运算关系之间建立不起联系时，学生就产生了困惑。

这个困惑恰恰可以反映出解析几何的思维本质特征，同时也反映出学生在数学推理的素养上还有待提高。

教学内容蕴涵的数学思维活动分析：解析几何的核心思想是以坐标系为基础将几何中的点和有序数对建立联系，在此基础上运用变量观点，动点牛.成的轨迹就和有序数对（x, y）中的两变量x, y构成的关系式——方程建立起对应关系。

因此，曲线方程中的字母是变量而不是某个未知的常量。

从直线、圆和圆锥曲线的学习可以发现，数与形之间的互相表达所依赖的是度量图形的基本概念一一“距离”和“角”，当我们描述轨迹上点的特征或解释方程表达的轨迹时, 往往需要回到这两个基本度量。

学生的思维基础和思维障碍:疑问来自于学牛关注到了一种现象：对两个圆的方程实施作差运算，实际上与两个圆有无公共点无关。

当两个圆相交时，两个圆的方程作差得到了英公共弦所在直线的方程，若两圆无公共点，在代数运算上两个圆的方程仍可作差，得到的是二元一次方程，从解析几何的观点看，它表示一条直线，那么这条直线就显得很怪了？它和己知的两个圆有无关系？有何关系？学牛自身无法解释这个疑惑，并不是因为缺乏相关知识，而是不会从解析几何基本概念的内蕴方法和思想去思考解决问题，学生完全没有关注到两个圆的方程可以作差的前提是什么。

当实施作差运算时，其实是认定X, y是同时满足两方程的暂时未知的待定常量，否则X, y是两个方程各口的变量，因此是不同的。

圆公共弦方程

圆公共弦方程
圆公共弦方程是一种用来描述圆的数学方程，它可以用来求出圆的半径、圆心坐标以及圆的面积等信息。

圆公共弦方程的一般形式为：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中a和b分别为圆心的横纵坐标，r为圆的半径。

圆公共弦方程的求解过程非常简单，只需要给定圆心坐标和圆的半径，就可以求出圆的面积。

例如，如果给定圆心坐标为(2,3)，半径为5，则圆公共弦方程为(x-2)²+(y-3)²=25，圆的面积为π×25=78.5。

圆公共弦方程的应用非常广泛，它可以用来求解各种圆的面积、圆心坐标以及圆的半径等信息，也可以用来求解圆与其他几何图形的交点。

此外，圆公共弦方程还可以用来求解圆的内切圆、外接圆以及圆的切线等信息。

总之，圆公共弦方程是一种非常有用的数学方程，它可以用来求解各种圆的面积、圆心坐标以及圆的半径等信息，也可以用来求解圆与其他几何图形的交点，因此在数学中有着重要的地位。

公共弦公式

公共弦公式公共弦公式是数学中一个相对较为重要的概念，特别是在圆与直线的相关问题中经常会用到。

咱先来说说公共弦公式到底是啥。

简单来讲，当两个圆相交时，它们所共有的弦就是公共弦。

那公共弦的长度或者相关计算，就得靠公共弦公式来帮忙啦。

我记得之前有个学生，叫小明，这孩子可有意思了。

刚开始学公共弦公式的时候，那叫一个迷糊。

每次做题，看着题目就皱眉头，完全不知道从哪儿下手。

有一次课堂练习，题目是这样的：已知两圆的方程分别为\(x^2 + y^2 = 9\)和\((x - 2)^2 + y^2 = 1\)，求它们的公共弦长。

小明拿到题，左思右想，在草稿纸上画了半天，愣是没算出个所以然来。

我在旁边看着，心里也着急啊，就走到他旁边问他：“小明，哪儿卡住啦？”他苦着脸说：“老师，这公式我知道，可一到用的时候就乱套了。

”我就耐心地跟他说：“别急，咱们一步步来。

先把两个圆的方程相减，得到公共弦所在直线的方程。

”然后带着他一步步计算，最后算出公共弦所在直线的方程是\(2x - 5 = 0\)。

接着再利用圆心到直线的距离公式，算出圆心到公共弦的距离，最后根据勾股定理算出公共弦长。

小明这才恍然大悟，眼睛一下子亮了起来，说：“哎呀，老师，原来是这样，我之前怎么就没想到呢！”从那以后，小明对公共弦公式的理解可深刻多了，做题也越来越顺溜。

其实啊，公共弦公式的应用场景还挺多的。

比如说在解决实际问题中，像设计一些圆形的建筑或者机械零件，如果涉及到两个圆形部分的相交，就得用到公共弦公式来计算相关的尺寸和参数。

再比如说，在一些数学竞赛里，公共弦公式也常常是个“热门嘉宾”。

题目可能会把它藏得很深，需要你通过一系列的推理和计算才能发现它的用武之地。

总之呢，公共弦公式虽然看起来有点复杂，但只要掌握了方法，多做几道题练练手，就会发现它其实也没那么难。

就像小明一样，一开始觉得难，一旦搞明白了，那就是小菜一碟。

希望同学们在学习公共弦公式的时候，都能多思考，多练习，把这个知识点牢牢掌握住，以后遇到相关的问题就能轻松应对啦！。

两圆的公共弦问题

两圆的公共弦问题
嘿，咱们来聊聊两圆的公共弦问题哈！你知道不，啥时候两圆会有公共弦呢？就好像两个人，在啥情况下会有共同的话题一样。

比如说两个圆相交的时候，那就肯定有公共弦啦！
那怎么求这公共弦的长度呢？这可有点头疼哦！这就好比要找到两个朋友之间共同话题的深度一样。

可以通过联立两圆的方程，然后相减得到公共弦所在的直线方程，再利用距离公式去求长度呀！哎呀，是不是还挺神奇的。

还有哦，公共弦对两圆的位置关系有啥影响呢？这就像是两个人之间的共同爱好对他们关系的影响一样。

要是公共弦比较长，是不是说明两圆关系很紧密呀？
再来想，假如知道了公共弦的一些信息，能反推两圆的其他情况不？这就像从一个人的一个小习惯能推测出他的其他方面一样。

有趣吧！
总之，这两圆的公共弦问题可真是充满了奥秘和趣味呀，值得咱们好好琢磨琢磨呢！。

相交圆的公共弦方程推导

相交圆的公共弦方程推导哎呀，说到相交圆的公共弦方程，这可是一件既有趣又神秘的事情，感觉就像在探索宇宙中的某个秘密。

圆圈，咱们平常见得多，乍一看，它们好像就是一些简单的图形，没啥特别的。

但实际上，圆圈里藏着不少故事哦，就像咱们身边的人，有时候你不去深入了解，它们的精彩只会悄悄溜走。

想象一下，有两个圆圈，在平面上优雅地交错着，正如朋友们在一起聚会，欢声笑语，不同的背景，却能碰撞出有趣的火花。

这就是相交圆，它们不仅仅是图形，更是数学的浪漫。

公共弦是什么呢？简单来说，就是那条把两个圆连接起来的线，就像是一条纽带，把它们的心紧紧相连，仿佛在说：“嘿，我们是朋友，要一起走下去！”可别小看这条线，它可承载了许多秘密。

就像你和朋友之间的共同经历，越多越深厚。

想象一下，两个圆圈相交，形成的公共弦就是它们之间最美的回忆。

咱们就来聊聊怎么推导出这条公共弦的方程吧，保证让你轻松get到这个数学小秘密。

咱们得把两个圆圈的方程拿出来晃一晃，想象它们像两位老朋友，互相打招呼。

第一个圆的方程是 ((x x_1)^2 + (y y_1)^2 = r_1^2)，第二个圆的方程是 ((x x_2)^2 + (yy_2)^2 = r_2^2)。

哇，这个看起来有点复杂，不过别担心，慢慢来。

咱们可以把这两个方程展开，就像拆开礼物一样，兴奋又期待。

展开之后，你会发现它们其实有很多相似之处，简直就像是双胞胎兄弟，虽然长得差不多，但心里都藏着各自的故事。

咱们可以把其中一个方程减去另一个方程，这样就能消掉一些不必要的东西，留下的东西就简单多了。

你看，数学不就是这么好玩嘛！当你把两个方程结合在一起，解出来后，会得到一个关于 (x) 和 (y) 的方程。

这时候，哇哦，奇迹发生了，咱们已经找到了这条公共弦的方程！就像是朋友们聚在一起，找到了共同话题，聊得不亦乐乎。

哦，对了，推导过程中别忘了要保持耐心，数学就像是养花，慢慢来，才能收获美丽的花朵。

如果中途有点困难，也没关系，大家都有这样的经历。

两个圆相交的弦长公式

相关试题【1】弦长公式两圆相交的公共弦方程弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点相关试题【2】圆与直线相交的弦长公式设圆半径为r,圆心为（m,n),直线方程为ax+by+c=0弦心距为d,则d^2=(ma+nb+c)^2/(a^2+b^2 )则弦长的一半的平方为（r^2-d^2)/2相关试题【3】圆的弦长公式有哪些1、弦长=2RsinaR是半径,a是圆心角2、弧长L,半径R弦长=2Rsin(L*180/πR)相关试题【4】两圆弦长公式两圆方程相减,得到公共弦的直线方程.然后随便用其中一个圆和直线求弦长.利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离,再用勾股定理求出弦长的一半.相关试题【5】直线和圆相交时,如何用几何法求弦长,如何用代数法求弦长,弦长公式、直线和圆相交时,用几何法求弦长,(1)求出圆心到直线的距离d,半径r半弦长=√(r^2-d^2) 弦长=2√(r^2-d^2)代数法求弦长,联立直线和圆的方程,解方程组,消去y得到关于x的一元二次方程 ax^2+bx+c=0x1,x2为方程两根,k为直线斜率弦长公式=√(k^2+1)*|x2-x1|相关试题【6】两圆相交求弦长圆A:x^2+y^2+Dx+Ey+F 与圆B:x^2+y^2+D'x+E'y+F'相交,圆心距为L,求两圆相交的弦长.好像直接有个公式，我想要详细一点的把两圆方程相减,消去两个平方项,就可以得到公共弦的方程,然后求其中一个圆心到弦的距离,利用弦长公式就可以得到结果了.相关试题【7】直线和圆相交时,如何用几何法求弦长,如何用代数法求弦长,弦长公式、直线和圆相交时,用几何法求弦长,(1)求出圆心到直线的距离d,半径r半弦长=√(r^2-d^2) 弦长=2√(r^2-d^2)代数法求弦长,联立直线和圆的方程,解方程组,消去y得到关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0x1,x2为方程两根,k为直线斜率弦长公式=√(k^2+1)*|x2-x1|圆的弦长公式是什么怎么推倒出来的？，圆与直线相交求弦长的公式是什么？？代数法：（√k+1）*丨x1-x2丨几何法：2√r-d d为圆心到弦所在直线的距离直线截圆的弦长公式知道直线方程Ax+By+C=0和圆的方程(x－a)^2+(y－b)^2=r^2：先算圆心到直线的距离： d=|A*a＋B*b＋C|/根号下（A^2+B^2）再用勾股定理计算弦长： l=2*根号下(r^2-d^2)高中数学，直线与圆相交的弦长公式是什么？就是那个含k的弦长公式的推导！求证圆与直线相交的弦长公式2根号下r2-d2弦长一定是圆上的两个点的距离吗 20分不能是，一定是圆上的两个点的距离，特殊的弦长可以是圆的直径圆的等分弦长公式圆的n等分弦长L公式? 圆半径为R。

两圆的公共弦(新高二)

两圆的公共弦（新高二）如果两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则对应一条公共弦AB，将这两圆的方程相减可以得到(D1−D2)x+(E1−E2)y+(F1−F2)=0,因为两圆相交，所以D1−D2与E1−E2不同时为零，从而得到的方程表示一条直线，且两圆的公共点A,B的坐标满足圆的方程，故必满足直线的方程，从而知A,B在此直线上，故此直线就是两圆的公共弦所在的直线．结论如果两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则公共弦所在直线的方程为(D1−D2)x+(E1−E2)y+(F1−F2)=0.由这个结论我们可以给出“求圆外一点对应的切点弦方程”的另一个方法：过圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2外一点P(x0,y)作圆的两条切线PA,PB，其中A,B为切点，求切点弦AB所在的直线方程．解因为∠PAC=∠PBC，所以P,A,C,B四点共圆，且PC为直径，所以这四点所在的圆的方程为(x−a)(x−x0)+(y−b)(y−y)=0,记此圆为圆M．则圆C与圆M的公共弦就是切点弦，两圆的方程相减即得切点弦所在直线的方程(x0−a)(x−a)+(y−b)(y−b)=r2.注上面的过程中用到：以(x1,y1),(x2,y2)为直径的圆的方程为(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0,这个结论也是圆中常见的结论，很容易证明．例题一(1)圆C1:x2+y2+4x+1=0及圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦长为_____，以公共弦为直径的圆的方程为______________；(2)若圆(x−a)2+(y−b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长，则a,b满足的关系是__________________．分析与解(1)两圆相减得x−y=0，第二个圆的圆心(−1,−1)恰在公共弦上，所以公共弦为第二个圆的直径，从而知公共弦长为2，以公共弦为直径的圆的方程为x2+y2+2x+2y+1=0，(2)两圆相减得公共弦所在直线的方程为(2+2a)x+(2+2b)y−(a2+1)=0,由题意知，公共弦始终为第二个圆的直径，即第二个圆的圆心(−1,−1)始终在公共弦上，代入整理得a2+2a+2b+5=0.例题二圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2−8x+8=0的公共弦为AB，则四边形OACB的面积为_____．21AB=49-4=27, 故公共弦AB=7．又因为AB⊥OC ，所以所求四边形面积S=21⋅OC ⋅AB=27.注“将两个圆的方程相减得到的方程是公共弦方程”的前提是两圆相交．当两圆相切时，方程相减得到的直线为两圆的一条公切线；当两圆相离时，方程相减得到的直线仍然与圆心连线垂直，且两圆的公切线的中点均在直线上．事实上，这条直线是这两个圆的根轴，即这条直线是到两圆的圆幂相等的点的集合（点P对圆O的圆幂定义为PO2−r2，其中r为圆O的半径）．。