两圆的公共弦的简易求法
两圆相减得到公共弦方程的原理
两圆相减得到公共弦方程的原理
两圆相减表示两个圆之间进行减法运算。
具体而言，就是将一个圆的方程代入到另一个圆的方程中，进行运算得到一个新的方程，这个新方程描述了两个圆相减所得的公共弦。
假设有两个圆C1和C2，分别由以下方程表示：
C1：(x-a1)² + (y-b1)² = r1²
C2：(x-a2)² + (y-b2)² = r2²
其中，(a1, b1)和(a2, b2)分别是两个圆心的坐标，r1和r2分别
是两个圆的半径。
要得到两个圆相减所得的公共弦，可以将C1的方程代入C2
的方程中，即：
(x-a2)² + (y-b2)² = r2² - [(x-a1)² + (y-b1)²]
化简上式之后，可以得到描述两个圆相减所得的公共弦的方程。
需要注意的是，两个圆相减所得的公共弦方程的求解结果可能是一个方程、一条直线或者一个空集，具体结果取决于两个圆之间的位置关系。
相交圆的公共弦定理
相交圆的公共弦定理相交圆的公共弦定理是指：如果有两个相交的圆，那么它们的两条公共弦所夹的弧度是相等的。
具体来说，设有两个相交的圆，圆心分别为O1和O2，半径分别为r1和r2。
这两个圆相交于点A和点B。
连接点A和点B，得到一条弦AB。
再连接O1和O2，得到一条直线。
设这条直线与弦AB的交点分别为C和D（如下图所示）。
这时，相交圆的公共弦定理告诉我们：弧ACB的弧度等于弧ADB的弧度。
二、证明相交圆的公共弦定理的证明可以通过几何推导来完成。
具体来说，可以采用如下的证明方法。
（1）连接O1A、O1B、O2A和O2B，得到四个三角形。
（2）观察三角形O1AB和O2AB，它们都是等腰三角形，因为OA 和OB是圆的半径。
因此，∠O1AB=∠O1BA=∠O2AB=∠O2BA。
（3）观察三角形O1AC和O2BD，它们都是直角三角形，因为AC 和BD是圆的切线。
因此，∠O1AC=90°-∠O1CA，∠O2BD=90°-∠O2DB。
（4）观察三角形O1CA和O2DB，它们都是共边三角形，因此它们的边长相等。
具体来说，OC=OD，AC=BD，因此，∠O1CA=∠O2DB。
（5）将上述结果整理，可以得到：∠O1AB+∠O1CA=∠O2AB+∠O2DB。
由此可知，弧ACB的弧度等于弧ADB的弧度。
三、应用相交圆的公共弦定理是解决圆的相交部分的问题时非常有用的一个工具。
具体来说，它可以应用于以下几个方面。
（1）计算圆弧的长度假设我们要求两个相交圆的公共弦所夹的圆弧长度，那么可以利用相交圆的公共弦定理来求解。
具体来说，可以先求出弦所夹的圆心角的大小，然后根据圆的周长公式（C=2πr）来计算圆弧的长度。
（2）证明圆弧的相等性假设我们需要证明两个圆弧相等，那么可以利用相交圆的公共弦定理来证明。
具体来说，可以利用公共弦所夹的两个圆心角相等这一事实，来证明两个圆弧相等。
（3）求解三角形的面积假设我们需要求解一个三角形的面积，其中有两个角是圆心角，那么可以利用相交圆的公共弦定理来求解。
两个圆相交的弦长公式
相关试题【1】弦长公式 两圆相交的公共弦方程弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点 相关试题【2】圆与直线相交的弦长公式设圆半径为r,圆心为（m,n),直线方程为ax+by+c=0弦心距为d,则d^2=(ma+nb+c)^2/(a^2+b^2 )则弦长的一半的平方为（r^2-d^2)/2相关试题【3】圆的弦长公式有哪些1、弦长=2RsinaR是半径,a是圆心角2、弧长L,半径R弦长=2Rsin(L*180/πR)相关试题【4】两圆弦长公式两圆方程相减,得到公共弦的直线方程.然后随便用其中一个圆和直线求弦长.利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离,再用勾股定理求出弦长的一半.相关试题【5】直线和圆相交时,如何用几何法求弦长,如何用代数法求弦长,弦长公式、直线和圆相交时,用几何法求弦长,(1)求出圆心到直线的距离d,半径r半弦长=√(r^2-d^2) 弦长=2√(r^2-d^2)代数法求弦长,联立直线和圆的方程,解方程组,消去y得到关于x的一元二次方程 ax^2+bx+c=0x1,x2为方程两根,k为直线斜率弦长公式=√(k^2+1)*|x2-x1|相关试题【6】两圆相交求弦长圆A:x^2+y^2+Dx+Ey+F 与 圆B:x^2+y^2+D'x+E'y+F'相交,圆心距为L,求两圆相交的弦长.好像直接有个公式，我想要详细一点的把两圆方程相减,消去两个平方项,就可以得到公共弦的方程,然后求其中一个圆心到弦的距离,利用弦长公式就可以得到结果了.相关试题【7】直线和圆相交时,如何用几何法求弦长,如何用代数法求弦长,弦长公式、直线和圆相交时,用几何法求弦长,(1)求出圆心到直线的距离d,半径r半弦长=√(r^2-d^2) 弦长=2√(r^2-d^2)代数法求弦长,联立直线和圆的方程,解方程组,消去y得到关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0x1,x2为方程两根,k为直线斜率弦长公式=√(k^2+1)*|x2-x1|圆的弦长公式是什么 怎么推倒出来的？，圆与直线相交求弦长的公式是什么？？代数法：（√k+1）*丨x1-x2丨 几何法：2√r-d d为圆心到弦所在直线的距离 直线截圆的弦长公式知道直线方程Ax+By+C=0和圆的方程(x－a)^2+(y－b)^2=r^2：先算圆心到直线的距离： d=|A*a＋B*b＋C|/根号下（A^2+B^2）再用勾股定理计算弦长： l=2*根号下(r^2-d^2)高中数学，直线与圆相交的弦长公式是什么？就是那个含k的弦长公式的推导！求证圆与直线相交的弦长公式2根号下r2-d2弦长一定是圆上的两个点的距离吗 20分不能是，一定是圆上的两个点的距离，特殊的弦长可以是圆的直径圆的等分弦长公式圆的n等分弦长L公式? 圆半径为R。
求两圆公共弦所在直线方程
求两圆公共弦所在直线方程要讨论两圆公共弦所在直线的方程，这可真是个有趣的话题。
大家都知道，圆圈就像我们的生活，时而相交，时而平行。
它们的交点就像朋友一样，有些时候亲密无间，有些时候却又有些遥远。
不过，今天咱们就来聊聊，当这两个圆相遇时，怎么找到它们之间的共同点，或者说共同弦。
咱们得知道圆的方程。
你们可能会想，圆的方程长什么样？嘿嘿，简单得很，圆的方程一般是这样的：( (x a)^2 + (y b)^2 = r^2 )。
这里的 ( (a, b) ) 就是圆心的坐标，而( r ) 则是半径。
想象一下，圆心就像家，半径就像从家到周围的距离，越大越能拥抱更多的东西。
再说了，如果我们有两个圆，比如第一个圆的方程是 ( (x a_1)^2 + (yb_1)^2 = r_1^2 )，第二个圆的方程是 ( (x a_2)^2 + (y b_2)^2 = r_2^2 )，哇，这下就热闹了！我们有两个家，有可能互相串门。
咱们要找的就是这两个圆的公共弦。
什么是公共弦呢？简单来说，就是两圆相交后，连接它们交点的那条线。
这条线可重要了，像两家邻居互相交流的桥梁。
想要找到这条线，得先找出圆的交点。
交点也就是这两个圆的“恋爱地点”，它们会有几种可能性。
要是两圆相交，交点就会存在；要是一个圆在另一个里面，交点就没了；要是完全分开，嘿嘿，也不可能有交点。
所以，得先搞清楚这两圆的关系。
找交点的关键，得把两个圆的方程联立起来。
把第二个圆的方程代入第一个圆，哇哦，数学的魔法就出现了！通过一些代数操作，搞定它，得出一个关于 ( x ) 或 ( y ) 的方程。
其实就像在找路一样，你得找到正确的方向，才能到达目的地。
算完后，带着这个结果回头去找另一个圆的方程，看看能不能得到另一个交点。
交点有了，咱们就要为这两位圆的相遇画条线，顺便给它起个名字。
这条线的方程就能通过这两个交点的坐标来得出。
比如，交点是 ( (x_1, y_1) ) 和( (x_2, y_2) )，咱们可以用斜率公式算出线的斜率。
圆公共弦方程
圆公共弦方程
圆公共弦方程是一种用来描述圆的数学方程，它可以用来求出圆的半径、圆心坐标以及圆的面积等信息。
圆公共弦方程的一般形式为：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中a和b分别为圆心的横纵坐标，r为圆的半径。
圆公共弦方程的求解过程非常简单，只需要给定圆心坐标和圆的半径，就可以求出圆的面积。
例如，如果给定圆心坐标为(2,3)，半径为5，则圆公共弦方程为(x-2)²+(y-3)²=25，圆的面积为π×25=78.5。
圆公共弦方程的应用非常广泛，它可以用来求解各种圆的面积、圆心坐标以及圆的半径等信息，也可以用来求解圆与其他几何图形的交点。
此外，圆公共弦方程还可以用来求解圆的内切圆、外接圆以及圆的切线等信息。
总之，圆公共弦方程是一种非常有用的数学方程，它可以用来求解各种圆的面积、圆心坐标以及圆的半径等信息，也可以用来求解圆与其他几何图形的交点，因此在数学中有着重要的地位。
两圆的公共弦方程的求法与应用
两圆的公共弦方程的求法与应用【推导结论】求经过两条曲线x 2+y 2+3x -y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0交点的直线方程.常规解法是: 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++)2(0233)1(032222y x y x y x y x求方程组解 )3(047)2(3)1(=--⨯y x 得得代入即),1(,47x y =2212497430,0,16413x x x x x x ++-===-解得 211240133;.0713x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩分别代入（），得即两交点坐标为 A(0,0), ).137,134(--B 过两交点的直线方程为 7x -4y=0. (4)由上面(1),(2)得到(3),这是解方程的基本步骤,我们可得以下结论结论1: 如果两条曲线方程是 f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x 0,y 0),则 方程 f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过P(x 0,y 0) (是任意常数).有了这个结论，有些题目可快速求解。
过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。
【应用结论】例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点,并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程.【解析】构造方程 x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0即 (1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy -(4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λλλ+-+-当该圆心在直线x -y -4=0上时,即 .7,041313-==-+++-λλλλ得 ∴所求圆方程为 x 2+y 2-x+7y -32=0例3 求证：两椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2, a 2x 2+b 2y 2=a 2b 2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程．【解析】将已知的两椭圆方程相加，得 2222222b a b a y x +=+．此方程为以原点为圆心的圆的方程，由曲线系知识知该圆过已知两椭圆的交点。
两相交圆方程相减得公共弦方程
两相交圆方程相减得公共弦方程两相交圆方程相减得公共弦方程在代数几何中，我们经常遇到求解两个相交圆的公共特性的问题。
其中一个问题是求解两相交圆的公共弦方程。
本文将以深度和广度的方式探讨这个问题，并提供一个有价值的解决方案。
1. 了解圆的方程在开始解决问题之前，我们首先需要了解圆的方程。
一个圆可以由其圆心坐标和半径确定。
给定一个圆心坐标为(x0, y0)且半径为r的圆，其方程可以表示为：(x - x0)² + (y - y0)² = r²2. 两个相交圆的方程我们假设有两个相交的圆，其圆心分别为(x1, y1)和(x2, y2)，半径分别为r1和r2。
我们需要求解这两个圆的公共弦方程。
为此，我们需要找到两个圆的交点坐标。
我们可以将两个圆的方程相减，得到一个含有交点坐标(x, y)的方程：(x - x1)² + (y - y1)² - ((x - x2)² + (y - y2)² = r1² - r2²展开上述方程，我们可以得到如下的表达式：x² - 2x1x + x1² + y² - 2y1y + y1² - (x² - 2x2x + x2² + y² - 2y2y + y2²) = r1² - r2²化简上述表达式，我们可以得到：-2x1x + x1² - 2y1y + y1² + 2x2x - x2² + 2y2y - y2² = r1² - r2²3. 公共弦方程的推导我们希望将上述方程进一步转化为公共弦方程的形式。
为此，我们需要找到公共弦的特征。
由于公共弦是两个圆的一个公共部分，我们可以将公共弦的两个端点表示为坐标(x, y)和(x', y')。
两个圆相交的公共弦方程推导过程
两个圆相交的公共弦方程推导过程1.假设有两个相交的圆。
Assume there are two intersecting circles.2.圆的方程式为(x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2和(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2。
The equations of the circles are (x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2 and (x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2.3.假设两个圆相交于点A和点B。
Suppose the two circles intersect at points A and B.4.点A和点B有相同的坐标(x, y)。
Points A and B have the same coordinates (x, y).5.因此，点A和点B的坐标都满足圆的方程式。
Therefore, the coordinates of points A and B satisfy the equations of the circles.6.将点A的坐标代入两个圆的方程式，得到以下方程式：(x -h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2和(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2。
Substituting the coordinates of point A into the equations of the circles, we get the following equations: (x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2 and (x - h2)^2 + (y - k2)^2 =r2^2.7.将点B的坐标代入两个圆的方程式，得到以下方程式：(x -h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2和(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2。
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两圆的公共弦的简易求法
作者：魏道勇
来源：《新一代》2011年第04期
摘要：圆锥曲线中求两圆的公共弦，寻求更有效解题方法。
避免了大量的，繁琐的代数运算，节省了做题时间，提高了准确率。
关键词：圆锥曲线；公共弦；简易求法
中图分类号：G630文献标识码：A文章编号：1003-2851（2011）04-0141-01
圆锥曲线中求两圆的公共弦常用联立两圆的方程，消去x2与y2项后得关于x,y的一次方程，即公共弦所在的直线方程的方法解之。
例如：求圆x2+y2=4与圆x2+y2+4x-4y-1=0公共弦所在的直线的方程
同学们易联立两个方程，解出两个交点坐标，然后根据两点求出所要的公共弦的方程，显然这样做需要花费大量的运算时间，虽然做出来了，可以说是事倍功半。
实际上两个方程联立相减消去x2与y2项，即(x2+y2-4)-(x2+y2+4x-4y-1)=0化简即得公共弦的方程为：4x-4y+3=0。
另外，我们在圆锥曲线中常遇到有关中点弦所在的直线方程的问题，学生习惯用设斜率k，写出直线方程与圆锥曲线方程联立，表示中点，求出k，再写出直线方程，这样虽可行，但运算量太大，易出错，现在让我们大胆联想用圆中的方法可否解决。
若圆锥曲线C的方程为：f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0点M(m,n)是曲线C的弦PQ的中点，我们来求弦PQ所在的直线的方程。
分析：如何构造出两个相似的方程呢？我们知道弦的两个端点都在曲线上，且关于中点对称，端点的坐标满足方程，这样可构造两个方程。
让我们试一试。
设P的坐标为(x,y)，则Q的坐标为(2m-x,2n-y)，PQ两点都满足曲线C的方程
即有f(x,y)=0f(2m-x,2n-y)=0
亦即Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0A(2m-x)2+B((2m-x)(2n-y)+C(2n-y)2+D(2m-x)+E(2n-y)+F=0
两式相减得:f(x,y)-f(2m-x,2n-y)=0，即得：
(2mA+nB+D)x+(mB+2nC+E)y-(2m2A+2mnB+2n2C+Dm+En)=0*
当2mA+nB+D与mB+2nC+E不同时为零时，上式方程表示是直线，它是不是弦PQ所在直线的方程呢？
显然P的坐标满足*式，也易验证点M(m,n)满足*式方程，又两点确定一条直线，故*式方程可看作是P,M确定的直线方程，也就是弦PQ所在直线的方程。
简记为：f(x,y)-(2m-x,2n-y)=0，
即得F(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.
下面我们用此定理来解题：
例1.已知双曲线x2-y2=2，求以M(3,1)为中点的弦所在的直线方程。
解：双曲线的方程记为f(x,y)=x2-y2-2=0，根据定理可得所求的直线方程为f(x,y)-f(6-x,2-y)=(x2-y2-2)-[(6-x)2-(2-y)2-2]=0化简为：3x-y-8=0。
例2.（2004。
辽宁卷）设椭圆方程为x2+=1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点，O 是坐标原点，点P满足=(+)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程。
解：由向量的加法易得：点P是弦AB的中点。
可设P的坐标为(x0,y0)则弦AB所在的直线方程为：(x2+-1)-[(2x0-x)2+-1=0]化简得：x0(x-x0)+=0又点M(0,1)在弦AB上，把其坐标代入方程可得x0(x-x0)+=0即：4x02+y02-y0=0故动点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0。
例3.长度为l(l≥1)的线段AB，其两端在抛物线y=x2上移动，设线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离及取最短距离时的点M的坐标。
解：设点M的坐标为(m,n)，则易得直线AB的方程为：
(y-x2)-[(2n-y)-(2m-x)2]=0即：y=2mx-2m2+n。
与y=x2联立得：
x2-2mx+2m2-n=0，由弦长公式l=可得：
l=。
又点M到轴x的距离就等于其纵坐标。
由弦长等式可解得：
n=+m2=+(1+4m2)-≥2-=
上式取等号的条件是：=(1+4m2)，解得：m=?芄即点M的坐标为：(?芄,)。
通过以上例题可看到用此法可避免了大量的，繁琐的代数运算，大大节省了做题时间，提高了准确率。
让我们在以后的学习与教学中大胆的联想，寻求更有效解题方法，力求达到事半功倍的效果。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。