三角函数1
浅议“1”在三角函数中的作用
浅议“1”在三角函数中的作用作者：赵春燕来源：《散文百家·下旬刊》2016年第01期在数学中，数字“1”可以说是无处不在，无时不有。
尽管它只是一个普通的小数字，但在解决某些数学问题中却起着不可忽视的大作用。
尤其是在三角函数问题中，如果能够巧妙、合理地使用“1”，那么在解题中就能化繁为简，化难为易。
当你在题海中“山重水复疑无路”时，它就可让你“柳暗花明又一村”，从而思路豁然开朗，效果事半功倍。
下面就结合我个人的教学实践，谈谈“1”在三角函数中的作用。
一、直接利用sin2α+cos2α=1进行解题在题中如果出现了sin2α+cos2α或1，可以根据需要互相替换，从而迅速解决问题。
例1：已知α是第一象限角，化简：1+2sinαcosα解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根号下是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到把“1”化成“sin2α+cos2α”，根号下就成了完全平方式，然后再根据α是第一象限角，即sinα+cosα>0，从而得出结果。
解：1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α=（sinα+cosα）2=sinα+cosαΘα是第一象限角∴sinα+cosα>0∴1+2sinαcosα=sinα+cosα例2：已知sinx=m-3[]m+5，cosx=4-2m[]m+5求m的值。
解析：本题要求的结果是m的值，而含有m的式子分别表示了sinx和cosx，利用sin2α+cos2α=1就可以把含有m的两个式子联系在一起，从而得到一个关于m的一元二次方程，解方程就可以得到m。
解：Θsin2α+cos2α=1 ∴（m-3[]m+5）2+（4-2m[]m+5）2=1即m（m-8）=0 ∴m=0或m=8二、利用特殊角的三角函数值为1进行解题在有些三角题中，1会直接出现在题目中，而1=tan45°=cos0°=sin90°=…，能否将1恰当地换成上述的这些量，将对我们的解题大有帮助。
第一章--三角函数(北师大新版)
第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数1、锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ．即sinA=斜边边的对A ∠=ca．（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．即cosA=斜边邻边的A ∠=c b．（3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA ．即tanA=边对边的邻A ∠的A ∠=ba．（4）三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．锐角三角函数的定义1．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝，BE=2，则tan ∠DBE 的值（ ） A 、 B 、2 C 、D 、第1题 第2题 第3题2．如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（ ）A ．BD BCB ．BC ABC ．ADAC D ．CD AC3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是 ．4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是 ．第4题 第5题 第6题 第7题 5．如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB=_______________. 6．如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A 的值为 ． 7．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为 ．8．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于23，则sin ∠CAB= ．9．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sinα= ．2.2 30°、45°、60°角的三角函数值1、同角三角函数的关系（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=AAcos sin 或sinA=tanA•cosA ．2、互余两角的三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos （90°-∠A ）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin （90°-∠A ）； 也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB 或sinB=cosA ． 3、特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值1．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1=22，则∠2的度数为 ．2．若2cos （α+15°）=1，则α= 度． 3．在△ABC 中，若，∠A ，∠B 都是锐角，则∠C的度数是 ．2.4 解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°； ②三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； ③边角之间的关系：sin A=c a ，cos A=c b ，tan A=ba ． 基础训练1．如图，在△ABC 中，cosB=22，sinC=53，AC=10，则△ABC 的面积为 ．第1题 第2题 第3题 2．如图，在 Rt △ABO 中，斜边 AB=1，若 OC ∥BA ，∠AOC=36°，则下面四个结论： ①点B 到AO 的距离为sin54°； ②点B 到AO 的距离为tan36°；③点A 到OC 的距离为sin36°•sin54°； ④点A 到OC 的距离为cos36°•sin54°． 其中正确的是 （填序号）．3．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ．4．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则tan ∠BDE 的值等于 ．第4题 第5题 第6题5．如图，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=3，cos B=53，则AC 的长为 ．6．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，若AB=6，AD=8，sin ∠OEA= ．7．如图，△ABC 中，∠A=30°，tan B ＝23，AC=23，则AB 的长为 ．8．如图，已知AC=4，求AB 和BC 的长．9．如图，已知在△ABC 中，∠ABC=30°，BC=8，sin ∠A=55，BD 是AC 边上的中线．求： （1）△ABC 的面积； （2）∠ABD 的正切值．拓展提升1．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE=2AE ，已知AD=33，tan ∠BCE=33，那么CE 等于 ．第1题 第2题 第3题2．如图，已知点A （53，0），直线y=x+b （b ＞0）与y 轴交于点B ，连接AB ，∠α=75°，则b= ． 3．在Rt △ACB 中，∠C=90°，点D 是AC 的中点，cos ∠CBD=415，则sin ∠ABD= ． 4．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为 。
任意角三角函数1
(k z)
0
0 把角化到0
~ 360
小结
(+ ) ( )
(2)三角函数在象限内的符号
（+ ） ( ) ( )
-
(+ )
( )
-
(+ )
-
-
( )
-
(+ )
(+ )
( )
-
cos a a a sin tan
作业: P20 习题1.2 第2大题, 第3大题的（3）和（4）, 第5大题
例题1 5 求 的正弦,余弦,正切的值 3
例题1 5 y 求 3 的正弦,余弦,正切的值
1 x 2
3 y 2
r 1
5 3
O
1 2
5 3 sin y 3 2
1
3 2
x
5 1 cos x 3 2
5 y tan 3 3 x
1 3 P , 2 2
sin x cos x tan x 4.函数y + + 的值域是( ) sin x cos x tan x A.1,3 B.1, 3 C.1,1,3 D.3, 1,3 5.若 sin cos 0, 则 在 ( A.第一, 二象限角 C.第一,四象限角 ) B.第一, 三象限角 D.第二,四象限角
若OP r 1 ，则
Y
MP sin OP
P(x,y)
y
O M X
OM cos OP
x y MP tan OM x
在直角坐标系中,以原点O为 圆心,以单位长度为半径的圆 叫单位圆
任意角的三角函数(1)
《任意角三角函数的定义》问题导读—评价单【学习目标】掌握简单三角函数的计算方法再具体点【学习重点】三角函数线的理解与掌握【学习难点】利用三角函数线解决具体问题。
【学法指导】初中学习过的在直角三角形中三角函数的定义【预习评价】问题探究一单位圆中三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的，记作sinα，即sinα＝y；②x叫做α的，记作，即cosα＝x；③yx叫做α的，记作，即tanα＝yx(x≠0)．问题探究二（1）三角函数值的大小与点P在终边的位置是否有关？（2）三角函数在各象限内的符号怎样。
问题探究三终边相同的角的同名三角函数值间的关系问题探究四请表示出终边落在四个象限的三角函数线。
《任意角的三角函数定义》问题解决—评价单【教师生成的问题】问题1、已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα.（课本例一）注明出处问题2、化简：sin x|sin x|＋|cos x|cos x＋tan x|tan x|⎝⎛⎭⎪⎫其中x≠kπ2，k∈Z.（）例三求值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°；(2)sin(－116π)＋cos12π5·tan4π.例四利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围：(1)sinθ≥32；(2)－12≤cosθ<32.《任意角的三角函数定义》问题拓展—评价单一、选择题1．(点P(tan2009°，cos2009°)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设a＝sin 2π7，b＝cos2π7，c＝tan2π7，则()A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c3．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cosα＝35，则tanα＝()A．－34 B.34 C.43 D．－434．设0≤α<2π，若sinα>3cosα，则α的取值范围是()A ．(π3，π2)B ．(π3，π)C ．(π3，4π3)D ．(π3，π2)∪(4π3，32π)二、填空题5．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则a 的取值范围是________．6．sin390°－2cos765°＋3cos(－660°)－3tan(－330°)＝________. 三、解答题7．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)； (2)tan 8π3.8．求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x ) 【多元评价】。
三角函数第一讲
三角函数第一讲：任意角与弧度制角的定义(一)角的概念： 1 任意角正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。
与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或（3）区间角的表示： ①象限角：象限角象限角的集合表示第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α⋅⋅+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第三象限角的集合 o o o o {|360180<<360270,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第四象限角的集合o o o o {|360270<<360360,x k k k α⋅+⋅+∈Z }②写出图中所表示的区间角： 由α的终边所在的象限， 来判断2α所在的象限，来判断3α所在的象限例：如果α是第一象限角，要求α/2的象限：把每个象限平分，因为α是第一象限角，所以选择1的位置：α/2在第一和第三象限，α/3同理把每个象限三等分。
α(二)弧度制1 弧度角的规定.它的单位是rad 读作弧度如图：∠AOB=1rad∠AOC=2rad 周角=2πrad定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
与圆的半径无关以弧度为单位来度量角的制度叫弧度制。
（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角α的弧度数的绝对值 （l 为弧长，r 为半径） （3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o角度制=弧度制*180o /π 2π=360o弧度数α与弧长L 与半径R 的关系：L=Rα（可用来求弧长与半径） （4）弧长公式：L=Rα；扇形面积公式：221R S α=弧长公式：180rn l π=，扇形面积公式：3602R n S π=扇（初中）2 弧度制与角度制的换算：因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有 radrad radrad 01745.018011802360≈===ππποοο把上面的关系反过来写οο1803602==rad rad ππ815730.57)180(1'=≈=οοοrad rad π之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.度0°30°45°60°90°120° 135° 150° 180° 270° 360°rl=αοο360~0o r C2rad 1rad r l=2r o A AB类型一：角的概念问题1. 终边相同的角的表示例1 若角α是第三象限的角，则角α-的终边在第______象限. 答案：二.解析：因为α是第三象限的角，故oooo360270<<360180,k k k α-⋅---⋅-∈Z ，则o 360k ⋅o o o 270<<360180,k k α--⋅-∈Z ，故α-的终边在第二象限.练习：与o 610角终边相同的角可表示为_____________. 【答案：oo360250(k k ⋅+∈Z ）】 2. 象限角的表示例2 已知角α是第二象限角，问（1）角2α是第几象限的角？（2）角2α终边的位置. 思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k 值来确定象限角.解析：（1）因为α是第二象限的角，故oooo36090<<360180(k k k α⋅+⋅+∈Z )，故︒︒︒︒+⋅<<-⋅45180245180k k αo 180k ⋅o o o 45<<18090(2k k α+⋅+∈Z ).当k 为偶数时，2α在第一象限；当k 为奇数时，2α在第三象限，故2α为第一或第三象限角. （2）由oooo36090<<360180(k k k α⋅+⋅+∈Z )，得o o o 2360180<2<2360k k α⋅+⋅+ o 360(k ∈Z )，故角2α终边在下半平面.点评：已知α所在象限，求(n nα∈N *)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论.结论：类型二：弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的互化例3 把下列各角的度数化为弧度数：⑴ο150 ⑵'3037ο ⑶'3022ο- ⑷解 因为1801π=οrad ，所以ο315-⑴ rad rad 65180150150ππ=⨯=ο ⑵ rad rad 245180213721373037'ππ=⨯=⎪⎭⎫⎝⎛=οο⑶ rad rad 8180212221223022'ππ-=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-οο⑷ rad rad 47180315315ππ-=⨯-=-ο 练习：把下列各角的弧度数化为度数： ⑴rad 43π ⑵rad 5.3 ⑶rad 35π ⑷rad 49π- 解 因为 π rad ＝ο180，所以 ⑴rad 43π＝43×ο180＝ο135； ⑵ rad 5.3＝οο55.20030.575.315.3=⨯≈⨯rad ；⑶rad 35π＝35×ο180＝ο300；⑷ rad 49π-＝49-×ο180＝ο405-．例4 （1）设o 750α=，用弧度制表示α，并指出它所在的象限；（2）设35βπ=，用角度制表示，并在～内找出与它有相同终边的所有角.导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？（2）确定角为第几象限角的依据是什么？（3）怎样找终边相同的角？依据是什么？解析：（1），故在第一象限. （2），与它终边相同的角可表示为Z ），由，得，故或，即在～范围内与有相同终边的所有角是和.点评：角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在的象限，关键是在内找到与该角终边相同的角.βo 720-o025********66ππαππ=⨯==⨯+αo o 31803()10855πππ=⨯=o o 360180(k k ⋅+∈o 720-≤o o o360180<0k ⋅+332<1010k --≤2k =-1k =-o 720-o 0βo 612-o 252-[0,2]π练习：（1）设，用弧度制表示，并指出它所在的象限；（2）设，用角度制表示，并在～内找出与它有相同终边的所有角.解析：（1），故在第二象限. （2），故在～范围内与β有相同终边的角是o 60-.2.求弧长与扇形面积例5 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R .（1）若3πα=，10R =cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；（2）若扇形的周长为一定值(>0)C C ，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值.导思：（1）扇形的弧长公式是什么？（2）怎样由扇形面积来求弓形的面积？（3）如何用扇形的周长C 表示扇形面积？（4）怎样求最大值？能用二次函数来求吗？能用基本不等式来求吗？解析：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则10(3l π=cm )， 故110110232S S S π∆=-=⨯⨯-⨯弓扇210sin 50(33ππ⨯=-cm 2). （2）解法一：由扇形周长2C R l =+，得2l C R =-，故211=(2)22S Rl R C R R =-=-扇221()2416C C RC R +=--+.当4C R =时，S 扇有最大值且最大值为216C .此时22Cl C R =-=，故422l C R Cα==⋅=.故当2α=时，该扇形有最大面积. 解法二：由扇形周长22C R l R R α=+=+，得2CR a=+，故211=22S R αα=⋅扇2()2C α=+， o570α=-α73βπ=βo720-o 0195(570)2218066ππαππ=⨯-=-=-⨯+αo o 71807()()42033πππ-=⨯-=-o 720-o 022221142442164C C C ααααα⋅=⋅++++≤当且仅当，即时，扇形面积最大为.点评：在应用扇形弧长和面积公式时，如果圆心角用角度表示，则应先化为弧度；注意不要把弓形面积与扇形面积相混淆.练习：设扇形的周长为cm ，面积为cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________.解：1(82)42S r r =-=，即2440r r -+=，解得2r =，故4l =，从而422l r α===.1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630° 答案：B2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360° 答案：D4、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________． 答案：{}οοοο372,12,348,708--5、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 答案：D6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=CC ．A CD ．A=B=C答案：B7、下列结论正确的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同D ．=答案：D8、若是第四象限的角，则α-ο180是 ．24α=2a =216C 84⊂{}Z k k ∈±⋅=,90360|οοαα{}Z k k ∈+⋅=,90180|οοαααA ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角答案：C9、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________． 答案：与；10、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．答案：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．(2014·山东济南商河弘德中学)已知α＝－3，则角α 的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 1rad ＝(180π)°，则α＝－3rad ＝－(540π)°≈－171.9°，∴α是第三象限角．2．与－13π3终边相同的角的集合是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫5π3C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋5π3，k ∈Z[答案] D[解析] 与－13π3终边相同的角α＝2k π－13π3，k ∈Z ，ο191ο169-{}Z k k ∈+⋅=,135360|οοαα∴α＝(2k －6)π＋6π－13π3＝(2k －6)π＋5π3，(k ∈Z )．3．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B ＝( ) A ．∅B ．{α|0≤α≤π|C ．{α|－4≤α≤4|D ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π} [答案] D[解析] k ≤－2或k ≥1时A ∩B ＝∅；k ＝－1时A ∩B ＝[－4，－π]；k ＝0时，A ∩B ＝[0，π]；故A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．故选D.4．一条弧所对的圆心角是2rad ，它所对的弦长为2，则这条弧的长是( ) A ．1sin1B ．1sin2C ．2sin1D ．2sin2[答案] C[解析] 所在圆的半径为r ＝1sin1，弧长为2×1sin1＝2sin1. 5．(2014·浙江象山中学高一月考)某扇形的面积为1cm 2，它的周长为4 cm ，那么该扇形的圆心角等于( )A ．2°B ．2C ．4°D ．4[答案] B[解析] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝412lR ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1l ＝2.∴该扇形圆心角α＝lr ＝2(rad)，故选B.6．如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是( )A ．175π36B ．125π18C ．75π18D ．34π9[答案] A[解析] 40°＝40×π180＝2π9，30°＝30×π180＝π6，∴S ＝12r 2·2π9＋12r 2·π6＝175π36.二、填空题7．若两个角的差是1°，它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是__________． [答案]180＋π360、180－π360[解析] 设两角为α、β则⎩⎪⎨⎪⎧α－β＝π180α＋β＝1，∴α＝180＋π360、β＝180－π360.8．正n 边形的一个内角的弧度数等于__________． [答案](n －2)nπ [解析] ∵正n 边形的内角和为(n －2)π， ∴一个内角的弧度数是(n －2)πn .三、解答题9．已知α1＝－570°、α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－7π3.(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与β1、β2有相同终边的角． [解析] (1)∵－570°＝－570π180＝－19π6＝－4π＋5π6，∴－570°与5π6终边相同，5π6在第二象限，∴α1在第二象限．∵750°＝750π180＝25π6＝4π＋π6，∴750°与π6终边相同，π6在第一象限，∴α2在第一象限．(2)∵β1＝3π5＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为108°＋k ·360°，k ∈Z ，∴在－720°～0°范围内与β1有相同终边的角是－612°和－252°. 同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与β2有相同终边的角是－60°.能力提升一、选择题1．扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 ____弧度．( ) A ．π B ．π2C ．π3D ．π4[答案] C[解析] ∵圆心角所对的弦长等于半径， ∴该圆心角所在的三角形为正三角形， ∴圆心角是π3弧度．2．在直角坐标系中，若角α与角β终边关于原点对称，则必有( ) A ．α＝－β B ．α＝－2k π±β(k ∈Z ) C ．α＝π＋β D ．α＝2k π＋π＋β(k ∈Z ) [答案] D[解析] 将α旋转π的奇数倍得β.3．在半径为3cm 的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为( ) A ．π3cmB ．πcmC ．3π2cmD ．2π3cm[答案] B[解析] 由弧长公式得，l ＝|α|R ＝π3×3＝π(cm)．4．下列各组角中，终边相同的角是( )A ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈ZB ．k π2与k π＋π2，k ∈ZC ．k π＋π6与2k π±π6，k ∈Z D ．k π±π3与k π3，k ∈Z [答案] A [解析] 2k ＋1与4k ±1都表示的是奇数，故选A.二、填空题5．把－11π4写成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是________． [答案] －3π4[解析] －11π4＝－3π4－2π＝5π4－4π， ∴使|θ|最小的θ的值是－3π4. 6．用弧度表示终边落在y 轴右侧的角的集合为________.[答案] {θ|－π2＋2k π<θ<π2＋2k π，k ∈Z } [解析] y 轴对应的角可用－π2，π2表示，所以y 轴右侧角的集合为{θ|－π2＋2k π<θ<π2＋2k π，k ∈Z }．三、解答题7．x 正半轴上一点A 绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2min 到达第三象限，经过14min 回到原来的位置，那么θ是多少弧度？[解析] 因为0<θ≤π，所以0<2θ≤2π.又因为2θ在第三象限，所以π<2θ<3π2. 因为14θ＝2k π，k ∈Z ，所以2θ＝2k π7，k ∈Z . 当k 分别取4、5时，2θ分别为8π7、10π7，它们都在⎝⎛⎭⎫π，3π2内． 因此θ＝4π7rad 或θ＝5π7rad. 8．设集合A ＝{α|α＝32k π，k ∈Z }，B ＝{β|β＝53k π，|k |≤10，k ∈Z }，求与A ∩B 的角终边相同的角的集合．[解析] 设α0∈A ∩B ，则α0∈A 且α0∈B ，所以α0＝32k 1π，α0＝53k 2π，所以32k 1π＝53k 2π， 即k 1＝109k 2. 因为|k 2|≤10，k 2∈Z ，且k 1∈Z ，所以k 1＝0，±10.因此A ∩B ＝{0，－15π，15π}，故与A ∩B 的角的终边相同的角的集合为{γ|γ＝2k π或γ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }＝{γ|γ＝n π，n ∈Z }．9．已知扇形AOB 的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的弧度数和弦长AB .[解析] (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为x (cm)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋xθ＝812θ·x 2＝3，解得θ＝23或6， 即圆心角的大小为23弧度或6弧度． (2)由于扇形的圆心角θ＝8－2x x， 于是扇形面积S ＝12x 2·8－2x x＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4. 故当x ＝2cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2(弧度)，弦长AB ＝2·2sin1＝4sin1(cm)． 即扇形的面积取得最大值时圆心角为2弧度，弦长AB 为4sin1cm.备选题目：1（2015年1月·昌平期末·14）某蒸汽机上的飞轮直径为20cm ，每分钟按顺时针．．．方向旋转180转，则飞轮每秒钟．．．转过的弧度数是_________；轮周上的一点每秒钟．．．经过的弧长为_________.答案：6π- ，60cm π2（2015年1月·西城期末·1．已知，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） (0,2π)α∈（A ）π(0,)2（B ）π(,π)2 （C ） （D ） 答案：D（A ） （B ） （C ）（D ） 答案：C4（2015年1月·延庆期末·2．已知)2,0[πα∈，与角终边相同的角是（A ）（B ）32π （C ）34π （D ）35π 答案：D 5（2015年1月·延庆期末·3．若0sin >α ，且0cos <α ，则角α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案：B6（2015年1月·顺义期末·8.如图，现要在一块半径为圆心角为的扇形金属板上，剪出一个平行四边形，使点在弧上，点在上，点在上，记的面积为，则的最大值为C. 答案：D7（2015年1月·西城期末·13．若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值范围是_． 答案：(,)42ππ 8（2015年1月·延庆期末·16．已知是圆上两点,弧度,,则劣3π(π,)23π(,2π)22π34π35π37π33π-3π1m 3πAOB MNPQ P AB Q OA ,M N OB MNPQ Y S S 2223m 2B A ,O 2=∠AOB 2=OA O M N A B PQ弧AB长度是__ ____.答案：4。
“1”在三角函数中的灵活运用
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参考文献 【】 丁孝林． ｌ 高校优秀学生干部培养教育研 究． 新西部 ，２０ ，１ ０７ ２ ｆ 李鹏飞，陈露． ２ １ 高校学生干部培养探 究． 人教两。２ ０． ．７ ０８０ ０ ４ 【 李雪． ３ 】 论高校学生干部 的角色定位 与认 知… 培 养学生干部的 “ 己与 宽人 ”意 识． 宁行政 学 院学报 ，２０ ，０ 律 辽 ０９ ８ 【 王 敏 丽 ． 学生 干部 的 选拔 、 培养 与 管理初 探 ． ４ 】 高校 中国科 教创 新 导
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作者简介
翟会会 （ ９５ １８ 一），研究方向：体育教 育训练学。
必修4 数学 三角函数1
高中数学 必修4——三角函数1【知识归纳】1、象限角：第一象限角的集合为 第二象限 第三象限 第四象限2、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z3、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 4、定义：设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 5、三角函数在各象限的符号：一全二正弦，三切四余弦6、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．7、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= ()sin 2tan cos ααα=8、三角函数的诱导公式：（口诀：奇变偶不变，符号看象限．）9、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数sin y x =+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标缩短（ω>1）（伸长ω<1）到原来的ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 10.函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．11、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1-R函 数 性 质最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴【类型题】1．已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A.B.C 的关系是( ) A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A C D ．A=B=C 2．下列各组角中，终边相同的角是（ ） A ．π2k与)(2Z k k ∈+ππ B ．)(3k3Z k k ∈±πππ与 C ．ππ)14()12(±+k k与 )(Z k ∈ D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与4. 已知)20(παα<<的正弦线与余弦线相等,且符号相同,那么α的值为（ ）A ．ππ434或 B ．ππ4745或 C ．ππ454或 D ．ππ474或 5. 已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（ ）A ．－2B ．2C ．1623D ．－1623变：已知21tan -=x ，则1cos sin 3sin 2-+x x x = .6、已知34tan =x ,且x 在第三象限，则=x cos ( )A.54B. 54-C. 53D.53-8. 设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于（ ） A ．33B ．－33 C ．3 D ．－39. 函数)4sin(π+=x y在下列哪个区间为增函数（ ）A ．]4,43[ππ-B ．]0,[π-C ．]43,4[ππ-D ．]2,2[ππ-10. 函数)42sin(log 21π+=x y的单调减区间为（ ）A ．)(],4(Z k k k ∈-πππ B ．)(]8,8(Z k k k ∈+-ππππC ．)(]8,83(Z k k k ∈+-ππππD ．)(]83,8(Z k k k ∈++ππππ11. 函数)252sin(π+=x y的图象的一条对称轴方程是（ ）A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=xD ．π45=x13、要得到函数)32cos(2π+=x y 的图像。
任意角的三角函数1
第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数（1）学习目的：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）.学习重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。
公式一是本小节的另一个重点.学习难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.课堂探究：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b===．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y xα=；说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y xα=无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r、x r、y x分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数。
041 三角函数(1) - 副本
专题5 三角函数图象与性质 【2016年高考考纲解读】三角函数的有关知识大部分是B 级要求，只有函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质是A 级要求； 试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】 1．记六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶不变，符号看象限．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性⎣⎢⎡－π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π为增；⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π为减 [－π＋2k π， ]2k π为增；[]2k π，π＋2k π为减⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π为增 对称中心 (k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴x ＝k π＋π2x ＝k π无3.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法，设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x 值、y值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x 而言．(4)把函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A ，ω的符号及复合函数的单调性规律：同增异减．4．三角函数中常用的转化思想及方法技巧(1)方程思想：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者中，知一可求二． (2)“1”的替换：sin 2α＋cos 2α＝1. (3)切弦互化：弦的齐次式可化为切. 【题型示例】考点1、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用 【例1】【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．【举一反三】(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.答案 C【变式探究】(1)(2014·辽宁五校联考)已知cos π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34(2)(2014·安徽)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【命题意图】(1)本题主要考查三角函数的诱导公式及同角基本关系式的应用． (2)本题是函数与三角运算问题，主要考查函数三要素及三角运算． 【答案】(1)B (2)A【解析】(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，∴sin α＝－35，显然α在第三象限，∴cos α＝－45，故tan α＝34.故选B.(2)∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.【感悟提升】1．结合诱导公式与同角基本关系式化简求值的策略(1)切弦互换法．利用tan α＝sin αcos α进行转化．(2)和积转化法．利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化． (3)常值代换法．其中之一就是把1代换为sin 2α＋cos 2α.同角三角函数关系sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sin αcos α联合使用，可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据tan α＝sin αcos α可以把含有sin α，cos α的齐次式化为tan α的关系式．2．化简求值时的“三个”防范措施 (1)函数名称和符号．利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数与锐角的三角函数，其步骤是：去负—脱周—化锐—求值．特别注意解题过程中函数名称和符号的确定． (2)开方．在利用同角三角函数的平方关系时若需开方，特别注意要根据条件进行讨论取舍． (3)结果整式化．解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能化为整式．【变式探究】(1)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________.(2)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________. 【解析】(1)由题意得cos α＝x5＋x2＝24x ，解得x ＝3或x ＝－3，又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－64. (2)因为sin α＋cos α＝33，所以1＋2sin αcos α＝13，所以2sin αcos α＝－23<0，又因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝153，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－153×33＝－53. 【答案】(1)－64 (2)－53【规律方法】在利用诱导公式和同角三角函数关系时，一定要特别注意符号，在诱导公式中是“奇变偶不变，符号看象限”，在同角三角函数的平方关系中，开方后的符号也是根据角所在的象限确定的．题型2、三角函数的图象【例2】(2016·高考全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3【举一反三】 (2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．答案 B【变式探究】(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 D【举一反三】(1)(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP 的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在0，π]的图象大致为( )(2)(2014·四川)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式及三角函数的图象，意在考查考生识图、用图的能力．(2)本题主要考查三角函数的图象，意在考查考生的函数图象的变换能力以及三角函数的运算能力．【答案】(1)B (2)A【感悟提升】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定(1)A 由最值确定，A ＝最大值－最小值2.(2)ω由周期确定．(3)φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．2．作三角函数图象左、右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sinωx (ω>0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位．题型三 三角函数的性质及其应用例3．【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 【举一反三】(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 A 选项：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.答案 A【变式探究】(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析 ∵T ＝2π2＝π，∴B 正确． 答案 B【举一反三】已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数解析 对于A 选项，因为f (2π－x )＋f (x )＝cos(2π－x )·sin 2(2π－x )＋cos x sin 2x ＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称，A 正确；对于B 选项，因为f (π－x )＝cos(π－x )sin 2(π－x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，故y ＝f (x )的图象关于x ＝π2对称，故B 正确；对于C 选项，f (x )＝cos x sin 2x ＝2sin x cos 2x ＝2sin x (1－sin 2x )＝2sin x －2sin 3x ，令t ＝sin x ∈－1，1]，则h (t )＝2t －2t 3，t ∈－1，1]，则h ′(t )＝2－6t 2，令h ′(t )＞0解得－33＜t ＜33，故h (t )＝2t －2t 3，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－33与⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1上递减，又h (－1)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝439，故函数的最大值为439，故C 错误；对于D 选项，因为f (－x )＋f (x )＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故是奇函数，又f (x ＋2π)＝cos(2π＋x )·sin 2(2π＋x )＝cos x sin 2x ，故2π是函数的周期，所以函数既是奇函数，又是周期函数，故D 正确．综上知，错误的结论只有C ，故选C. 答案 C题型四 求三角函数的解析式例4．(2015·陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 C【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z解析 由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确． 答案 D【举一反三】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1.于是sin⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．题型五 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的综合应用例5．【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B 【解析】21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而不影响周期．故选B ． 【举一反三】(2015·安徽，10)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析 由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2，∴φ＝2k π－11π6，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4， 又∵－π2<5π6－4<π6<4－7π6<π2，其中f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6 ＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4 ＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎫4－7π6. 又f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2单调递增， ∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.答案 A【变式探究】(2014·湖北，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．【举一反三】(2015·天津，15)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.。
三角函数1任意角
大成培训三角函数教案1 任意角教学目标：理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角；能在︒0到︒360范围内，找出与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合重点难点：终边相同的角的集合和符号语言表示1、正角、负角、零角的概念2、象限角、轴线角3、终边相同角的集合练习1、作出角︒390 ，︒30，︒-330，︒750，这些角之间有何关系？结论：一般地，与角α终边相同角的集合为{}Z ∈+︒⋅=k k ,360|αββ例题剖析例1、在︒0到︒360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）︒650 （2）︒-150 （3）'15990︒-例2、已知α与︒240角的终边相同，判断2α是第几象限角。
思考：（1）终边落在x 轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在x 轴上的角的集合如何表示？（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？（3）若α是第三象限角，则2α是第几象限角？ 巩固练习 1、下列命题中正确的是（ ）A 、第一象限角一定不是负角B 、小于︒90的角一定是锐角C 、钝角一定是第二象限角D 、第一象限角一定是锐角2、分别作出下列各角的终边，并指出它们是第几象限角：（1）︒330； （2）︒-200； （3）︒945； （4）︒-6503、在︒0到︒360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）︒-55； （2）'8395︒； （3）︒15634、试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角：（1）︒1140； （2）︒1680； （3）︒-1290； （4）︒-15105、若α是第四象限角，试分别确定α-，α+︒180，α-︒180是第几象限角。
课堂小结正角、负角、零角的概念，象限角的概念；终边相同的角的表示方法。
课后训练1、以下四个命题中，是真命题的是（ ）A 、小于︒90的角是锐角B 、第二象限角是钝角C 、锐角是第一象限角D 、负角不可能是第一象限角2、设︒-=60α，则与角α终边相同的角可以表示为（ ）A 、)(36060Z ∈︒⋅+︒k kB 、)(360300Z ∈︒⋅+︒k kC 、)(36030Z ∈︒⋅+︒-k kD 、)(360120Z ∈︒⋅+︒k k3、若α是第三象限角，则α-是第 象限角，α-︒180是第 象限角。
三角函数知识点(1)
3.需要记住的特殊三角函数值
30
45
6
4
sin
1
2
2
2
60 3
3 2
已知 是第二象限角，求角 所在的象限 2
1.常规方法
cos
3
2
1
2
2
2
2.结论：
tan
3
1
பைடு நூலகம்
3
3
4.长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度
半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是 l r
cos 3 sin 2
cos 3 sin 2
定理：诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”
“奇、偶”指的是 的倍数的奇偶倍，“变”是指正弦变余弦，余弦变正弦” 2
“符号看象限”的含义是：把角 看做锐角，不管 是多大的角，都必须“看成锐角”， 不考虑 角所在象限，看 n 是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号 2
第三象限角的集合为 k 360 180 k 360 270, k 第四象限角的集合为 k 360 270 k 360 360, k 终边在 x 轴上的角的集合为 k 180, k
减函数
xR
y 1,1
T 2 偶
2k ,2k （k Z)
增函数
2k , 2k （k Z)
减函数
x
x
k
2
,k
yR
T 奇
k , k
2
2
k 增函数
高一数学任意角的三角函数(一)
cos θ>0 由tan θ<0， 得角 θ 为第四象限角.
∴角θ为第三或第四象限角.
探究点四 诱导公式一
思考1 诱导公式一是什么？ 答 由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同 一三角函数值相等.由此得到诱导公式一： sin(k·360°＋α)＝sin α，cos(k·360°＋α)＝cos α， tan(k·360°＋α)＝tan α，其中k∈Z， 或者：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α， tan(2kπ＋α)＝tan α，其中k∈Z.
圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α
的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sin α＝ y， y
cos α＝ x ，tan α＝ x .
探究点二 任意角三角函数的概念
y
yx
x
x2＋y2
思考2 对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的 位置的改变而改变呢？ 答 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实 数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边 上点P的位置无关.
思考2 诱导公式一的作用是什么？ 答 把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角 函数值.
例如：sin 420°＝sin 60°＝ 23；cos(－330°)＝cos 30°＝ 23；
tan(－315°)＝tan 45°＝1.
例3 求下列各式的值.
(1)cos 253π＋tan－154π；
45°－sin
90°＋cos
30°＝1－1＋
3 2
＝
3 2.
呈重点、现规律
1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位 置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关. 2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时 必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取. 3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
三角函数1
三角函数一1. 已知函数x x x f 2sin 21cos 3)(2+=．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．2.(2sin ,cos sin )a x x x ωωω=+ ，(cos ,cos sin )b x x x ωωω=- ，(0)ω>， 函数()f x a b =⋅ ，且函数()f x 的最小正周期为π. （I ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的单调区间.3.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，满足222.a c b ac +=+（1）求角B 的大小；（2）若[)π,0∈x ，求函数x B x x f sin )sin()(+-=的值域。
4.已知函数21()sin 2(cos sin )122f x x x x 2=--- （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且()0c f C ==， 若向量(1,sin )m A = 与向量(3,sin )n B = 共线，求,a b 的值。
5. 已知函数2sin 2)sin(3)(2xx x f ωω-=（0>ω）的最小正周期为π3，（Ⅰ）当 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈43,2ππx 时，求函数)(x f 的最小值； （Ⅱ）在ABC ∆，若1)(=C f ,且)cos(cos sin 22C A B B -+=,求A sin 的值。
（附加）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a ，b ，c ，已知.cos cos cos 2C b B c A a +=（1）求A cos 的值；（2）若23cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值.。
三角函数1
三角函数百科名片角θ的所有三角函数三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
目录定义起源基本公式相关计算相关概念高等数学内容三角函数的性质定理三角函数在解三次方程中的应用定义起源基本公式相关计算相关概念高等数学内容三角函数的性质定理三角函数在解三次方程中的应用展开编辑本段定义直角三角定义它有六种基本函数(初等基本表示)：三角函数数值表（斜边为r，对边为y，邻边为x。
）在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有正弦函数sinθ=y/r 正弦（sin）:角α的对边比斜边余弦函数cosθ=x/r 余弦（cos）:角α的邻边比斜边正切函数tanθ=y/x 正切（tan）:角α的对边比邻边余切函数cotθ=x/y 余切（cot）:角α的邻边比对边正割函数secθ=r/x 正割（sec）:角α的斜边比邻边余割函数cscθ=r/y 余割（csc）:角α的斜边比对边以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ =1-cosθ余矢函数coversθ =1-sinθsinα、cosα、tanα的定义域：sinα定义域无穷，值域 [-1，1]cosα定义域无穷，值域 [-1，1]tanα的定义域（-π/2+kπ，π/2+kπ），k属于整数，值域无穷单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
三角函数(1、2)
三角函数1.1任意角和弧度制1.任意角的概念（1）角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
（2）正角：按逆时针方向旋转形成的角。
（3）负角：按顺时针方向旋转形成的角。
（4）零角：一条射线没有作任何旋转，我们称它为零角。
（5）注意：①角度的范围不再限于0°～360°。
②角的概念是通过角的终边的运动来推广的，根据角的终边的旋转方向，得到正角、负角和零角，由此我们应当意识到角的终边位置的重要性。
③当角的始边相同，角相等则终边相同；终边相同，而角不一定相等。
④为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记为“α”。
⑤我们把角的概念推广到了任意角中，包括正角、负角和零角。
⑥要正确理解正角、负角和零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针还是没有转动。
（6）①判定与任意角有关命题的真假的关键在于抓住角的四个“要素”：顶点、始边、终边和旋转方向。
②确定任意角的度数要抓住旋转方向及旋转圈数。
③引入正、负角的概念以后，角的加减运算类似于实数的加减运算。
2.象限角与轴线角（1）使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边落在第几象限，则称角α为第几象限的角；终边落在坐标轴上的角α被称为轴线角。
（2）象限角的集合第一象限角的集合为{x|k²360°＜x＜k²360°+90°，k∈Z}；第二象限角的集合为{x|k²360°+90°＜x＜k²360°+180°，k∈Z}；第三象限角的集合为{x|k²360°+180°＜x＜k²360°+270°，k∈Z}；第四象限角的集合为{x|k²360°+270°＜x＜k²360°+360°，k∈Z}。
三角函数的概念(1)三角函数的定义(讲)高一数学同步讲练测(新教材人教A版必修第一册)
专题19三角函数的概念（1）三角函数的定义（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析1．任意角的三角函数的定义(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．(2)三角函数的定义①如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)． 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．②我们也可以利用角α终边上任意一点的坐标来定义三角函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么：比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ y r； 比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ x r； 比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ y x． 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．[知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．(2)要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f (x )表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin ”“cos ”“tan ”等是没有意义的．(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．(3)定义域：如表所示三角函数解析式 定义域 正弦函数y ＝sin x R 余弦函数y ＝cos x R 正切函数y ＝tan x {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }2．三角函数值的符号sin α、cos α、tan α在各个象限的符号如下：[知识点拨]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．3．公式一(k∈Z)sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα．[知识点拨]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．4．有向线段一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看做带有方向，于是把它叫做有向线段．表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母．当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数，如图所示，有向线段AB＝2，CD＝1，而有向线段BA＝－2，DC＝－1．5．三角函数线的作法如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合)．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．[知识点拨]①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．6．三角函数线的作用(1)用三角函数线可以比较两数的大小．在代数中，我们经常采用作差、作商、利用函数的单调性等方法比较大小，而三角函数线就表示了三角函数值的大小，所以在比较一些三角函数值的大小时，常采用比较三角函数线的方法，更加方便与直观．(2)利用三角函数线可以求角或角的范围，即解简单的三角方程或三角不等式．即由三角函数线得三角函数值，再找角的终边，进而找到角的值或取值范围．1．若点P在角的终边上，且|OP|＝2（点O为坐标原点），则点P的坐标为．【解析】解：点P在角的终边上，且|OP|＝2（点O为坐标原点），设点P的坐标为（a，b），a＜0，b＞0．则a2+b2＝4，且tan，求得a，b＝﹣1（舍去），或a，b＝1，故点P的坐标为（，1），故答案为：（，1）．2．已知角α终边落在直线上，求值：．【解析】解：当角α终边落在直线（x≥0）上，α为锐角，sinα cosα均为正值，且tanα，再结合sin2α+cos2α＝1，求得sinα，cosα，则2．当角α终边落在直线（x＜0）上，α∈（π，），sinα cosα均为负值，且tanα，再结合sin2α+cos2α＝1，求得sinα，cosα，则，故答案为：2或．3．函数的值域为．【解析】解：当角是第一象限中的角时，y＝1+1＝2，当角是第二象限的角时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，当角是第三象限的角时，y＝﹣1+1＝0，当角是第四象限的角时，y＝1﹣1＝0，可知函数的值域是{﹣2，0，2}，故答案为：{﹣2，0，2}．4．若cosα＞0，tanα＜0，则α在第象限．【解析】解：∵cosα＞0，∴α在第一象限或第四象限或x轴正半轴，∵tanα＜0，∴α在第二象限或第四象限，综上，α在第四象限．故答案为：四．5．若，则点P（tanθ，sinθ）位于第象限．【解析】解：∵，∴tanθ＜0，sinθ＞0，故点P（tanθ，sinθ）位于第二象限，故答案为：二．典型题型与解题方法重要考点一：利用三角函数的定义求三角函数值【典型例题】已知角α和角β的终边垂直，且角α终边上一点坐标P（1，2），则tanα＝，cosβ＝．【解析】解：由任意角的三角函数的定义可知tanα2，可得sinα，所以cosβ＝cos（α±）＝±sinα＝±．故答案为：2，±．【题型强化】已知a＜0，角α的终边上有一点P（3a，﹣4a），则sinα＝．【解析】解：由三角函数的定义可知sinα，当a＜0时，sinα．故答案为：．【收官验收】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（，），则tanα＝，cos2α＝．【解析】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（，），则tanα，cos2α，故答案为：；．【名师点睛】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝ba2＋b2，余弦值cosα＝aa2＋b2，正切值tanα＝ab．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．重要考点二：三角函数在各象限内符号的应用【典型例题】如果sinθ＞0，tanθ＜0，那么角θ所在象限是．【解析】解：根据题意，若sinθ＞0，θ为第一二象限的角，tanθ＜0，θ为第二四象限的角，则sinθ＞0，tanθ＜0，则θ为第二象限的角，故答案为：第二象限【题型强化】若点P（sin2θ，2sinθ）位于第三象限，那么角θ终边落在第象限．【解析】解：根据题意，点P（sin2θ，2sinθ）位于第三象限，则有，即，则有，则角θ终边落在第四象限；故答案为：四【收官验收】已知α是第三象限的角，则sin（cosα）•cos（sinα）的符号是号（填正或负）【解析】解：∵α是第三象限的角，∴﹣1＜cosα＜0，﹣1＜sinα＜0，则sin（cosα）＜0，cos（sinα）＞0，即则sin（cosα）•cos（sinα）＜0，故答案为：负．【名师点睛】(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．重要考点三：分类讨论思想在化简三角函数式中的应用【典型例题】已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则．【解析】解：圆心角θ2，∵2＜π，∴sinθ＞0，cosθ＜0，tanθ＜0，∴1﹣1﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1【题型强化】函数y的值域是．【解析】解：由题意可得：sin x≠0，cos x≠0，tan x≠0，角x的终边不在坐标轴上，当x∈（2kπ，2kπ），k∈Z时，y1+1+1＝3；当x∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z时，y1﹣1﹣1＝﹣1；当x∈（2kπ+π，2kπ），k∈Z时，y1﹣1+1＝﹣1；当x∈（2kπ，2kπ+2π），k∈Z时，y1+1﹣1＝﹣1．可得：函数y的值域是{3，﹣1}．故答案为：{3，﹣1}．【收官验收】设α角属于第二象限，且|cos|＝﹣cos，则角属于象限．【解析】解：∵|cos|＝﹣cos，∴cos0，∵α角属于第二象限，∴属于第一或三象限，∴角属于第三象限，故答案为：三【名师点睛】对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．重要考点四：三角函数定义理解中的误区【典型例题】已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα，则x＝．【解析】解：由题意可得cosα，求得x＝﹣8，故答案为：﹣8．【题型强化】已知点P（cosθ，sinθ）在第三象限，则角θ的终边落在第象限．【解析】解：∵点P（cosθ，sinθ）在第三象限，∴cosθ＜0，θ可能在第三象限或者第二象限或x轴的负半轴，sinθ＜0，θ可能在第三象限或者第四象限或y轴的负半轴，所以θ在第三象限．故答案为：三．【收官验收】α，β∈{1，2，3，4，5}，那么使得sinα•cosβ＜0的数对（α，β）有个．【解析】解：∵1在第一象限，2，3在第二象限，3，4在第三象限，5在第四象限，若sinα•cosβ＜0，则若α是第一象限，则β是第三象限，此时为（1，3），（1，4），若α是第二象限，则β是第三象限，此时为（2，3），（2，4），（3，3），（3，4），若α是第三象限，则β是第一或第四象限，此时为（3，1），（4，1），（3，5），（4，5），若α是第四象限，则β是第一或第四象限，此时为（5，1），（5，3），（5，4），综上共有13个，故答案为：13重要考点五：利用三角函数线比较大小【典型例题】设a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解析】解：a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°＝sin28°，根据单位圆的三角函数线：AB＝b，EF＝c，CD＝a，即：tan38°＞sin28°＞sin24°，即a＜c＜b，故选：D．【题型强化】sin4，cos4，tan4的大小关系是（）A．sin4＜tan4＜cos4 B．tan4＜sin4＜cos4C．cos4＜sin4＜tan4 D．sin4＜cos4＜tan4【解析】解：如图作单位圆，∵4，∴tanα＝AT＞0，sinα＝BP＜0，cosα＝OB＜0；故BP＜OB＜AT；故sin4＜cos4＜tan4；故选：D．【收官验收】已知sinθ，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．【解析】解：画出三角函数线如图．由图可知角θ的范围是{θ|2kπθ≤2kπ或2kπx≤2kπ，k∈Z}【名师点睛】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．重要考点六：利用三角函数线求解不等式【典型例题】利用单位圆和三角函数线，分别求出使下列各组条件成立的x的集合．（1）；（2）tan x．【解析】解：（1）画出图形，如图所示；单位圆中的三角函数线同时满足sin x，cos x的x是，k∈z；即x的取值范围是{x|2kπx≤2kπ，k∈z}．（2）（2）如图①所示，过点（1，）和原点作直线交单位圆于P和P′，则射线OP、OP′就是满足tan x的角x的终边，∵在[0，2π）内，满足条件的∠POx＝π，∠P′Ox；∴满足条件tan x的角x的集合是{x|x kπ，k∈Z}，则满足tan x的角x的集合是{x|kπ≤x kπ，k∈Z}．【题型强化】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin与sinπ（2）cos与cos（）（3）tan与tanπ【解析】解：（1）sin与sinπ，sin与sinπ对应的三角函数线如图①所示：即sin NB，sinπ＝MA，则有sinπ＞sin；（2）cos与cos（）cos与cos（）对应的三角函数线如图②所示：cos OM，cos（）＝ON，则有cos cos（）；（3）tan与tanπ，tan与tanπ对应的三角函数线如图③所示：即有tan AM，tanπ＝AN，则有tanπ＞tan．【收官验收】利用单位圆，求适合下列条件的角的集合．（1）cosα；（2）sinα．【解析】解：（1）在单位圆内作出cosα的三角函数线如图1所示；在[0，2π）内，cos cos，OA，OB分别为，的终边，由余弦线可知，满足cosα的角的取值集合是{α|α2kπ或α2kπ，k∈Z}；（2）在单位圆内作出sinα的三角函数线如图2所示；在[0，2π）内，sin sin，OA，OB分别为，的终边，由正弦线可知，满足sinα的角的解集为{α|2kπ≤α2kπ，k∈Z}．【名师点睛】利用三角函数线解sinα≥a，sinα≤a(|a|<1)型不等式的具体方法为：①如图所示，画出单位圆；②过y轴上一点M(0，a)作y轴的垂线，交单位圆于P，P′两点，作射线OP，OP′；③写出射线OP与OP′对应的角；④图中阴影部分(包括边界)即满足sinα≤a(|a|<1)的角α的终边所在的范围，空白部分(包括边界)即满足sinα≥a(|a|<1)的角α的终边所在的范围．重要考点七：利用三角函数线证明几何结论【典型例题】当α∈（0，）时，求证：sinα＜α＜tanα．【解析】证明：方法一：由0＜α，可得sinα、α、tanα都是正实数．设f（α）＝α﹣sinα，求导得：f′（α）＝1﹣cosα＞0，因此，f（α）＝α﹣sinα在α∈（0，）上是个增函数，则有f（α）＝α﹣sinα＞f（0）＝0，即sinα＜α．同理，令g（α）＝tanα﹣α，则g′（α）1＞0，∴，g（α）＝tanα﹣α在α∈（0，）上也是个增函数，也有g（α）＝tanα﹣α＞g（0）＝0，即tanα＞α．综上，当α∈（0，）时，sinα＜α＜tanα．方法二：如图，设角a的终边与单位圆相交于点P，单位圆与X轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连结AP，则sinα＝MP，，tanα＝AT，∵S△POA＜S扇形POA＜S△OAT，∴，∴MP AT，∴sinα＜α＜tanα．【题型强化】设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式：（1）sinα+cosα＞l；（2）sinα＜α＜tanα．【解析】证明：（1）α为锐角，角α的终边落在第一象限，设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，过P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥Y轴于点N（如图），则sinα＝MP，cosα＝OM＝NP，利用三角形两边之和大于第三边有：sinα+cosα＝MP+OM＞1，得证．（2）∵如图所示：S△OP A＜S扇形OP A＜S△OAE，S△OP A•1•BP，S扇形OP A•1•，S△OAE•1•AE，∴BP AE，∴sinα＜α＜tanα．【收官验收】利用三角函数线证明：若0＜α＜β，则有β﹣α＞sinβ﹣sinα．【解析】证明：如图所示，∠AOQ＝α，∠AOP＝β，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过Q，P分别作OA的垂线，设垂足分别为M，N，则由三角函数线的定义可知，sinα＝NQ，sinβ＝MP，过点Q作OH⊥MP，垂足为H，于是MH＝NQ，则HP＝MP﹣MH＝MP﹣NQ＝sinβ﹣sinα．设的长分别为m，p，q，则由图可知HP＜m＝p﹣q＝β﹣α，即β﹣α＞sinβ﹣sinα．【名师点睛】解答利用三角函数线求解不等式这类题目时，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围．。
1三角函数公式
1三⾓函数公式1三⾓函数公式1.1两⾓和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n*n2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （注：其中R 表⽰三⾓形的外接圆半径）余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB (注：⾓B是边a 和边c的夹⾓)圆的标准⽅程(x-a)2+(y-b)2=r2 (注：（a,b）是圆⼼坐标)圆的⼀般⽅程x2+y2+Dx+Ey+F=0 (注：D^2+E^2-4F>0)抛物线标准⽅程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py直棱柱侧⾯积S=c*h斜棱柱侧⾯积S=c'*h正棱锥侧⾯积S=1/2c*h'正棱台侧⾯积S=1/2(c+c')h'圆台侧⾯积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表⾯积S=4pi*r2圆柱侧⾯积S=c*h=2π*h圆锥侧⾯积S=1/2*c*l=π*r*l弧长公式l=a*r （a是圆⼼⾓的弧度数r >0）扇形⾯积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中，S'是直截⾯⾯积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=π*r^2h2.5基本公式抛物线y = ax^2 + bx + c （a≠0）就是y等于a乘以x 的平⽅加上b乘以x再加上c置于平⾯直⾓坐标系中a > 0时开⼝向上a < 0时开⼝向下（a=0时为⼀元⼀次函数）c>0时函数图像与y轴正⽅向相交c< 0时函数图像与y轴负⽅向相交c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴（当然a=0且b≠0时该函数为⼀次函数）还有顶点公式y = a（x+h）* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))就是y等于a乘以（x+h）的平⽅+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y⼀般⽤于求最⼤值与最⼩值和对称轴抛物线标准⽅程：y^2=2px (p>0)它表⽰抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0)准线⽅程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准⽅程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 3圆⾯积=π(r^2)周长=2πr =πd3.1三⾓函数和差⾓公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB - sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB - sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB + sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表⽰三⾓形的外接圆半径余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB 注：⾓B是边a和边c 的夹⾓（6）乘法与因式分解因式分解a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2±2ab+b^2=(a±b)^2a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3⼀元⼆次⽅程根与系数的关系(韦达定理) x1+x2=-b/a ; x1*x2=c/a判别式△= b^2-4ac=0 则⽅程有两个相等的实根△>0 则⽅程有两个不相等的两实根△<0 则⽅程有两共轭复数根d（没有实根)4公式分类编辑本段4.1公式表达式圆柱侧⾯积S=圆锥侧⾯积S=弧长公式l=扇形⾯积公式s=圆锥体体积公式V=圆柱体V=图形周长⾯积体积公式长⽅形的周长=（长+宽）×2正⽅形的周长=边长×4长⽅形的⾯积=长×宽正⽅形的⾯积=边长×边长三⾓形的⾯积=底×⾼÷2平⾏四边形的⾯积=底×⾼梯形的⾯积=（上底+下底）×⾼÷2直径=d=2r圆的周长=πd= 2πr圆的⾯积= πr^2长⽅体的表⾯积=（长×宽+宽×⾼+⾼×长）×2 长⽅体的体积=长×宽×⾼正⽅体的表⾯积=棱长×棱长×6正⽅体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧⾯积=底⾯圆的周长×⾼圆柱的表⾯积=上下底⾯⾯积+侧⾯积圆柱的体积=底⾯积×⾼圆锥的体积=底⾯积×⾼÷3柱体体积=底⾯积×⾼6概率公式定义:p（A）=m/n，6.1概率公式p（A）=m/n，6.2⼏何公理线⾓1 过两点有且只有⼀条直线2 两点之间线段最短3 同⾓或等⾓的补⾓相等4 同⾓或等⾓的余⾓相等5 过⼀点有且只有⼀条直线和已知直线垂直6 直线外⼀点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平⾏公理经过直线外⼀点，有且只有⼀条直线与这条直线平⾏8 如果两条直线都和第三条直线平⾏，这两条直线也互相平⾏9 同位⾓相等，两直线平⾏10 内错⾓相等，两直线平⾏11 同旁内⾓互补，两直线平⾏12 两直线平⾏，同位⾓相等13 两直线平⾏，内错⾓相等14 两直线平⾏，同旁内⾓互补6.5三⾓形15 定理三⾓形任意两边的和⼤于第三边16 推论三⾓形任意两边的差⼩于第三边17 三⾓形内⾓和定理三⾓形三个内⾓的和等于180°18 推论1 直⾓三⾓形的两个锐⾓互余19 推论2 三⾓形的⼀个外⾓等于和它不相邻的两个内⾓的和20 推论3 三⾓形的⼀个外⾓⼤于任何⼀个和它不相邻的内⾓21 全等三⾓形的对应边、对应⾓相等22边⾓边公理(SAS) 有两边和它们的夹⾓对应相等的两个三⾓形全等23 ⾓边⾓公理( ASA)有两⾓和它们的夹边对应相等的两个三⾓形全等24 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三⾓形全等25 斜边、直⾓边公理(hl) 有斜边和⼀条直⾓边对应相等的两个直⾓三⾓形全等26 定理1 在⾓的平分线上的点到这个⾓的两边的距离相等27 定理2 到⼀个⾓的两边的距离相同的点，在这个⾓的平分线上28 ⾓的平分线是到⾓的两边距离相等的所有点的集合29等腰三⾓形的性质定理等腰三⾓形的两个底⾓相等(即等边对等⾓）30 推论1 等腰三⾓形顶⾓的平分线平分底边并且垂直于底边31 等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线和底边上的⾼互相重合32 推论3 等边三⾓形的各⾓都相等，并且每⼀个⾓都等于60°33 等腰三⾓形的判定定理如果⼀个三⾓形有两个⾓相等，那么这两个⾓所对的边也相等（等⾓对等边）34 推论1 三个⾓都相等的三⾓形是等边三⾓形35 推论2 有⼀个⾓等于60°的等腰三⾓形是等边三⾓形36 在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半37 直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边上的⼀半38 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等39 逆定理和⼀条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上40 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合41 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形42 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上43逆定理如果两个图形的对应点连线被同⼀条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称44勾股定理直⾓三⾓形两直⾓边a、b的平⽅和、等于斜边c的平⽅，即a^2+b^2=c^245勾股定理的逆定理如果三⾓形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形6.6四边形46定理四边形的内⾓和等于360°47四边形的外⾓和等于360°48多边形内⾓和定理n边形的内⾓的和等于（n-2）×180°49推论任意多边的外⾓和等于360°50平⾏四边形性质定理1 平⾏四边形的对⾓相等51平⾏四边形性质定理2 平⾏四边形的对边相等52推论夹在两条平⾏线间的平⾏线段相等53平⾏四边形性质定理3 平⾏四边形的对⾓线互相平分54平⾏四边形判定定理1 两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形55平⾏四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形56平⾏四边形判定定理3 对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形57平⾏四边形判定定理4 ⼀组对边平⾏相等的四边形是平⾏四边形58矩形性质定理1 矩形的四个⾓都是直⾓59矩形性质定理2 矩形的对⾓线相等60矩形判定定理1 有三个⾓是直⾓的四边形是矩形61矩形判定定理2 对⾓线相等的平⾏四边形是矩形62菱形性质定理1 菱形的四条边都相等63菱形性质定理2 菱形的对⾓线互相垂直，并且每⼀条对⾓线平分⼀组对⾓64菱形⾯积=对⾓线乘积的⼀半，即s=（a×b）÷265菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形66菱形判定定理2 对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形67正⽅形性质定理1 正⽅形的四个⾓都是直⾓，四条边都相等68正⽅形性质定理2正⽅形的两条对⾓线相等，并且互相垂直平分，每条对⾓线平分⼀组对⾓69定理1 关于中⼼对称的两个图形是全等的70定理2 关于中⼼对称的两个图形，对称点连线都经过对称中⼼，并且被对称中⼼平分71逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某⼀点，并且被这⼀点平分，那么这两个图形关于这⼀点对称72等腰梯形性质定理等腰梯形在同⼀底上的两个⾓相等73等腰梯形的两条对⾓线相等74等腰梯形判定定理在同⼀底上的两个⾓相等的梯形是等腰梯形75对⾓线相等的梯形是等腰梯形76平⾏线等分线段定理如果⼀组平⾏线在⼀条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等77 推论1 经过梯形⼀腰的中点与底平⾏的直线，必平分另⼀腰78 推论2 经过三⾓形⼀边的中点与另⼀边平⾏的直线，必平分第三边79三⾓形中位线定理三⾓形的中位线平⾏于第三边，并且等于它的⼀半80 梯形中位线定理梯形的中位线平⾏于两底，并且等于两底和的⼀半l=（a+b）÷2 s=l×h81 (1)⽐例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 平⾏线分线段成⽐例定理三条平⾏线截两条直线，所得的对应线段成⽐例85 推论平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成⽐例86 定理如果⼀条直线截三⾓形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例，那么这条直线平⾏于三⾓形的第三边87 平⾏于三⾓形的⼀边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三⾓形的三边与原三⾓形三边对应成⽐例88 定理平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三⾓形与原三⾓形相似89 相似三⾓形判定定理1 两⾓对应相等，两三⾓形相似（asa）90 直⾓三⾓形被斜边上的⾼分成的两个直⾓三⾓形和原三⾓形相似91 判定定理2 两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似（sas）92 判定定理3 三边对应成⽐例，两三⾓形相似（sss）93 定理如果⼀个直⾓三⾓形的斜边和⼀条直⾓边与另⼀个直⾓三⾓形的斜边和⼀条直⾓边对应成⽐例，那么这两个直⾓三⾓形相似94 性质定理1 相似三⾓形对应⾼的⽐，对应中线的⽐与对应⾓平分线的⽐都等于相似⽐95 性质定理2 相似三⾓形周长的⽐等于相似⽐96 性质定理3 相似三⾓形⾯积的⽐等于相似⽐的平⽅97任意锐⾓的正弦值等于它的余⾓的余弦值，任意锐⾓的余弦值等于它的余⾓的正弦值98任意锐⾓的正切值等于它的余⾓的余切值，任意锐⾓的余切值等于它的余⾓的正切值圆99圆是定点的距离等于定长的点的集合100圆的内部可以看作是圆⼼的距离⼩于半径的点的集合101圆的外部可以看作是圆⼼的距离⼤于半径的点的集合103同圆或等圆的半径相等104到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆⼼，定长为半径的圆105和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线106到已知⾓的两边距离相等的点的轨迹，是这个⾓的平分线107到两条平⾏线距离相等的点的轨迹，是和这两条平⾏线平⾏且距离相等的⼀条直线108定理不在同⼀直线上的三点确定⼀个圆。
第7章三角函数1
13
2
2、若角的终边在直线y 2x上，则sin 等于( C )
A、 1 B、 5 C、 2 5 D、 1
5
5
5
2
3、的终边经过P(-b,4)，且cos 3，则b的值为_3____
5
4、已知角的终边在y x上，则sin cos ____2___
5、若sin tan 0,则的终边在( D )
【变式1】（1）一个角为30°，其终边按逆时针方向
旋转三周后的角度是多少？ 逆时针旋转说明是正角，三周是三个360度，所以角是 30+360*3=1110度
（2）时钟走了3小时20分，则分针所经过的角的度数为 多少？时针所转过的角的度数是多少？
【答案】（1）1110°（2）－1200° －100° 【解析】（1）终边按逆时针方向旋转三周，转过的角 为 360°×3=1080°，再加上原来的角度 30°，所以旋 转后的角是 1110°。 （2）时针、分针都是顺时针方向旋转，故所转过的角
tan( ) sin( ) cos( )
【证明】左边
sin
2
2
cos
2
2
( tan )( sin ) cos
sin
2
cos
2
2
sin2
sin2
sin
2
cos
2
cos sin
sin cos
tan
=右边，原式得证．
7.6 正弦函数与余弦函数的图像和性质
7.6.1 正弦函数的图像和性质
2
180
57.30
2
114.6
。
1 rad （2）设两个角的弧度数分别为 x，y，因为 180 ，
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
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§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
教学目标：
1.理解并掌握任意角三角函数的定义.
2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.
3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
教学重、难点：
1.任意角三角函数的定义.
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
4) 例3.已知角的终边经过点 P0 (3,，求角的正弦、 余弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3) 2 (4) 2 5 设角 的终边与单位圆交于 P( x, y ) ， M 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP、 0 P0 P
2013-1-11
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9
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
⑤定义域：
y y 1)对于正弦函数 sin ，因为ｒ＞0，所以 r 恒有 ry
意义，即取任意实数， 恒有意义，也就是说sin r 恒有意义，所以正弦函数的定义域是R； 2)类似地可写出余弦函数的定义域R ； y y 3)对于正切函数 tan ，因为x＝0时， 无意义，即 x x tan 无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时， y 才有x＝0，所以当的终边不在纵轴上时， 恒有意 x 义，即tan 恒有意义，所以正切函数的定义域是: k ( k Z) 2 2013-1-11 10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
b 邻边 cos A r 斜边 a 对边 tan A b 邻边
A (0, ) 2
思考：角的范围已经推广，那么对任意角是否也能 像锐 角一样定义其三种三角函数呢？