概率习题课

xi pij yi pij
E( X )



x f ( x , y )dxdy

i 1 j 1

E (Y )



y f ( x, y )dxdy
数学期望的性质:
假设以下随机变量的数学期望均存在． 1. E(C)=C, （C 是常数） 2. E(CX )=CE(X ), （C 是常数） 3. E(XY )=E(X ) E(Y ), 4. 设X与Y 相互独立,则 E(XY )=E(X )E(Y)
(3) 判断X与Y是否相关？是否独立？
[答: (1) 2/3, 2/3]
6. 设游客乘电梯从地层到电视塔顶层观光.电梯于每 个整点的第5分钟、25分钟和45分钟准时从地层开启。 假设一游客在早八点的第 X 分钟到底地层侯梯处， 且在[0, 60]上均匀分布，求该旅客等候时间 Y 的数学 期望。
8时
1/3的泊松分布，以 X 记一年内未发生严重刑事案 [答: 261.6] 件的天数, 求E(X).
解 由题意一天内发生严重刑事案件数Y分布律为
(1 / 3)k e 1/ 3 P{Y k } , k 0,1, 2, k!
设一年内每天未发生严重刑事案件的概率为p， 则 X~b(365, p),
2 y , 0 y 1 fY ( y ) qita 0,
求先到者需要等待的时间的数学期望. [答: 0.25]
5. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
4 xy, f ( x, y) 0,求(1) E(X), E(Y);
(2) Cov(X,Y);
0 x 1,0 y 1, 其它
二、 选择题 1.已知随机变量X服从二项分布,且E(X)=2.4,D(X)=1.44, 则二项分布的参数 n, p 的值为( B ) (A) n=4, p=0.6 ; (B) n=6, p=0.4;
(C) n=8, p=0.3 ; (D) n=24, p=0.1. 2.已知随机变量X在[-1,1] 上服从均匀分布， Y=X3 ,
则 X与 Y ( D )
(A)不相关且相互独立； (B)不相关且相互不独立；
(C)相关且相互独立；
(D)相关且相互不独立。
3.设X,Y是两个随机变量,如果存在常数a,b ( a 0)使得
Y=aX+b,且 0<D (X)<+ ,那么 XY 为( C )
a (A) 1； (B) -1； (C) ; (D) XY 1 . a
3. 设X , Y 相互独立, D(X)=4, D(Y)=2. 则 D(3X -2Y )= 44 .
4. 设X~(), 且 E[(X-1)(X -2)]=1. 则 =
1
.
5. 设E(X)=2, E(Y)=4, D(X)=4, D(Y)=9, xy=0.5, 则 E(3X2 -2XY+Y2- 3)= 24 , D(3X –Y )= 27 . 6. 设X~U(0,1), Y~U(1,3), X与Y相互独立，则 E(XY )= 1 , D(XY )= 4/9 .
作业2. 1．设X是一随机变量，E(X)= ，D(X)= 2( ， >0 ), 则 对 任意常数C, 必有( D ). (A) E[(X-C)2]= E(X2)-C2 (B) E[(X-C)2]= E[(X-)2] (C) E[(X-C)2]< E[(X-)2] (D) E[(X-C)2] E[(X-)2]
而 Xi
(

0
14 10 ) 15
1
1( 14 10 ) 15
14 10 E( Xi ) 1 ( ) , 15
E ( X ) E ( X1 ) E ( X 2 ) =7.476
14 10 E( X15 ) 15 1 ( ) 15
2. 某城市一天内发生严重刑事案件数 Y 服从参数为
(二)方差
(1)D(X) Var(X) E{ [X E(X)] }
2
计算公式： D(X) E(X ) [E(X)]
2

2
1。若X: 离散型. P{X xk } pk , k 1,2,
D( X ) [xk E(X)]2 pk
k 1
2。若X: 连续型.概率密度为 f(x)
4。若X服从区间(a,b)均匀分布，
则 E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12.
5。若X服从指数分布,则 E(X)= , D(X)= 6。若X~N(,2),则E(X)= , D(X)= 2.
2 .
切比雪夫不等式: 定理 设随机变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=2. 则对任意的正数，有
E{[X - E(X)] [Y - E(Y)] }, k , l 1,2,
k l
协方差矩阵
若n维随机变量 (X1 , X2 ,, Xn ) 的二阶
混合中心矩都存在，称矩阵 c11 c12 c1n c21 c22 c2 n C c c c n2 nn n1
12 x 2 , f ( x, y ) 0,
0 x 1, x y 1, 其它
(11.4.16)
2、设X,Y 相互独立，且P{X=0}=P{Y=0}=1-p, P{X=1}=P{Y=1}=p, (0< p<1),令 往年考题 1 X Y为偶数 Z 0 X Y为奇数 求(1)Z的分布律;(2)X与Z的联合分布律;(3)Cov(X, Z).
•X与Y不相关: XY =0
计算公式： 1。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
2。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)
协方差的性质：
1。Cov(X,X)= D(X)
2。Cov(X,Y)=Cov(Y,X) 3。Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) (a,b为常数) 4。Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) Cov(aX1+bX2,Y)=aCov(X1,Y)+bCov(X2,Y)
二、 解答题
1. 10个人随机地进入15个房间，每个房间容纳的人
数不限，设X表示有人的房间数，求E(X). (设每 个人进入每个房间是等可能的，且各人是否进入 房间是独立的). [答: 7.476]
解 设 X 1, 第i个房间有人 i i 1, 2, ,15 0,
第i个房间无人 则 X X1 X 2 X15
第四章
随机变量的数字特征
主要内容
(一) 数学期望(均值)
E ( X ) xk pk
k 1
E (Y ) E[ g( X )] g( xk ) pk
k 1

E ( X ) x f ( x )dx


E (Y ) E[ g( X )] g( x ) f ( x )dx
D( X ) [x E(X)]2 f ( x )dx


3。均方差或标准差: ( x) D(X)
(2)方差的性质
1。 D(C)=0, 2。 D(CX)=C2 D(X),
假设下列方差均存在 (C为常数) (C为常数)
3。 设X与Y是两个随机变量，则有
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 E X E ( X )Y E (Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y )
(1 / 3)0 e 1/ 3 1/ 3 e 0.7168 p=P{Y=0}= 0!
E(X)=365 p 365e
1/ 3
261.62
3. 甲乙两人相约于某地在12：00~13：00会面，设X，
Y分别为甲，乙到达的时间，且设X和Y相互独立， 已知X，Y的概率密度分别为
3 x 2 , 0 x 1 f X ( x) qita 0,
cij Cov(Xi , X j ) E{[X i - E(X i )][Xj - E(X j )]}, i , j 1,2,, n .
n维随机变量 (X1 , X2 ,, Xn ) 的协方差矩阵
作业1.
2. 投篮测试规定为每人最多投三次，投中为止，且
第i次投中得分为(4-i)分, i=1,2,3, 若三次均未投中 不得分. 假设某人投篮测试的平均次数为1.56次,求 (1) 该人投篮的命中率；(2)该人投篮的平均得分. [答: (1)0.6;(2)2.376]
相关系数的性质：
1

xy 1.
2
xy 1 常数 a , b使 P{Y a bX } 1.
注: 1)若随机变量X与Y相互独立,则X与Y一定不相关;
反之不一定成立。 2)对二维正态随机变量(X,Y): X与Y不相关 X与Y独立
0
3)二维正态分布只要知道X与Y的分布及相关系
第四章 习题课
一、填空题
1. 设X1 , X2 , X3相互独立, X1 ~U(0, 6), X2~N(0,4), X3~(3), 则D(X1 -2 X2 + 3 X3) = 46 .
2. 设一次试验成功的概率为p, 进行100次独立重复
试验.
大.
当 p = 1/2 时,成功次数的标准差的值最
最大值为 5 .
3 3
8. 已知(X, Y)的分布律： X \Y
求 XY =__________, Cov(X 2, Y 2)=________。
0 1
-1 0.1 0.1
0 0.2 0.3
1 0.1 0.2
练习.1. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
求 (1)求边缘概率密度，判断X与Y是否独立？ (2) E(X), E(Y);E(XY),判断X与Y是否相关？