第5,6,7,8章 概率习题课2011[1].12.19

21
E(X )
E(X 2 ) D(
X
)
[
E(
X
)]2
2
2
由矩估计法令
A1
2
2
A2
解方程组，得 和 2的矩估计量分别为
ˆ
ˆ 2
A1 X
A2 A12
1 n
n i1
X
2 i
X
2
1 n
n i1
(Xi
X )2
上述结果表明，总体均值与方差的矩估计量的表达式不
因不同的总体分布而不同．
15 设总体X 的数学期望 ，方差 2存在，X , X 是X的样
1
2
本，证明估计
时,
ˆ 1
1 2
X 1
1 2
X 2
与 ˆ 2
1 4
X 1
3 4
X 都是 2
的无偏估计,但 ˆ1 比 ˆ 2 更有效
证明 因为 E(ˆ1) , E(ˆ 2 ) 所以 ˆ1 , ˆ 2 均为 的
无偏估计， 又因为
X1,
X
2 ,
,
X
为总体X的一个样本,
n
则 E(X)
, D( X )
, E(S2)
10 .设 X1 , X 2 , , X n 是来自总体N (, 2 )
的样本，则 n ( X i X )2 / 2 2(n 1) i 1
11.设总体X N (0,22 ) ,X1, X 2 , X 3 , X 4
Q
3.设X1,X2,…,X16是总体N( ,2)的样本, X 是样本均值,
S2是样本方差.若 P( X as) 0.05 ,则a=_0_._4_3_7_5__.
15
当c=__1_/3_0___时, c ( X i1 X i )2 是2的无偏估计量. i 1
x , 1 x 1
4.设总体X具有概率密度 f ( x)
13. 设 X 1 , X 2 , , X n是来自总体X ~ N , 2
的样本，则 2 2 的矩估计量为（ ）
（Ａ）1 n n i1
Xi X
2
（Ｂ） 1
n
n 1 i1
Xi X
2
n
（Ｄ）
i 1
Xi2
nX
2 （Ｄ）1 n
n i 1
X2 i
填空题
1. 设由来自正态总体XN( , 0.92),容量n=9的样
2
2
(Ｃ) 1 X Y 2 服从分布 2
3
(Ｄ) 1 X Y 2 服从分布 2
2
12.设总体X服从正态分布N 0, 2 ，
X1,
X 2 ,
,
X
是来自X的简单随机样本，
10
统计量 Y
4
X2 1
X2 i
（
1 i 10 ）
X2 i1
X2 10
i 服从F分布，则 等于（ ）
（A）4 （B）2 (C) 3 (D) 5
若 P{ X x} ，则 x 等于
。
(A) u
(B)
u
1
(C) u1
2
2
2
(D) u1
5. 设(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体N(,2)的
样本,
S2
1 n
n 1 i1
Xi
X
2
,则D(S2)=(
)
4
(A) n
(B) 2 4
n
4 (C) n 1
(D) 2 4
n1
6. 设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本, E(X)= ,
矩估计量ˆ =____X___.
8. 设随机变量X1,X2,…,X1000独立同分布,且Xi(0-1),参 数 p=0.1, 则由中心极限定理有
1000
P{110 X i 130} ___0_._1_4_6_1____. i 1
9
设总体X
~
N(0,1),
X1, X 2 ,
,
X
为总体X的一个样本,
使得随机变量cY2.
6. 设 X1,X2,…,Xn 为 n 个独立同分布的随机变量,且
E(Xi)=
,
D(Xi)=8
(i=1,2,…,n)
.
对于
X
1 n
n i1
X i ,用切
比雪夫不等式估计P{ 4 X 4} _1_-_(_1_/_2_n_)_.
7.设总体X服从参数为的泊松分布, >0为未知参数, (X1,X2,…,Xn)为总体X中抽出的一个样本.则参数的
D(X)= 2 , X 为 样本均值,S2为样本方差,则( )
(A)
(n 1)S2 2
2(n-1)
(B)
X
N( , 2 )
n
(C) S2与X 相互独立 (D) S2是2的无偏估计量
7. 在假设检验中，表示H 0原假设，H 1 表示备择
假设，则犯第一类错误的情况为（
）
（A）H 1 真，接受 H 1
（B）H
6 设总体 X 的概率密度为
f
(x; )
6x
3
(
x)
0 x
0
其它
样本为 X1, X 2,, X n ，求(1) 的矩估计量 ˆ (2) D(ˆ)
7 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为
f
( x;
)
2e 2( x
)
x 0未知
0
x
又设 x1, x2 , , xn 是 X 的一组样本观察值，求参数 的最 大似然估计值 ˆ
为来自X的一个样本,设 Y a( X1 2X 2 )2 b(3X 3 4X4 )2,则当a = 1/20，
b= 1/100 时Y 服从 2 分布，其自由度为 2
12 设总体X N (0,22 ) , X1, X 2 , , X15 为来自X的一个样本,
则Y
X
2 1
X 10 2
2(
X
2 11
选择题
1.设随机变量Xt(n),(n>1),
Y
1 X2
,则(
)
(A) Y2(n)
(B) Y2(n-1)
(C) YF(1,n) (D) YF(n,1)
2.对于正态总体XN(,2),其中2未知,样本容量
n和置信水平1-均不变.则对于不同的样本观
察值,总体均值的置信区间长度L(
)
(A)变短 (B) 变长 (C) 不变 (D) 不能确定
本计算得 X =5 , 则未知参数 的置信度为 0.95的
置信区间为_(_4_.4_1_2__,_5_.5_8_8_)__.
2. 设X1,X2,…,Xn是来自总体 N (0, 2 )的随机样本,其中
,
H0:
2=未0用知_,记_t__X_检n1验in1,X使i ,用Q统2 计in1量( X_i __XX_)2_.则__n检_(_n验__假_1_)设_.
n
则 E(X)
, D( X )
, E(S2)
设总体 X ~ b(m, p) ,
X1,
X 2 ,
,
X
为总体X的一个样本,
n
则 E(X)
, D( X )
, E(S2)
设总体
X ~ () ,
X1,
X
2 ,
,
X
为总体X的一个样本,
n
则 E(X)
, D( X )

, E(S2)
设总体 X
~ 2 (m),
D(ˆ ) D( X ) D(1 X 1 X ) 1 D( X ) 1 D( X ) 1 2
1
21 22 4
14
22
D(ˆ ) D(1 X 3 X ) 1 D( X ) 9 D( X ) 5 2
2
4 1 4 2 16
1 16
28
所以 D(ˆ1) D(ˆ 2 )
则（ ）
（Ａ）X ~ N(0,1) （Ｂ）nX ~ N(0,1)
n
（Ｃ）X / S 服从t分布（Ｄ） X i 2 服从分布 2 i 1
10. X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体的简单
随机样本，v n 1，X 和S 2分别是样本均
值和样本方差，则（ ）
n
(Ａ)
X
2 i
服从自由度为v的分布
n 1 的分布。
(Xi )2
Sn
n1
i2
2（05） 设随机变量 X1, X 2 , , X n (n 2) 为来自总体
N (0,1) 的简单随机样本， X 为样本均值， 记
Yi X i X , i 1,2, , n 求(1) Yi 的方差 D(Yi ), i 1,2, , n
(2) Y1 与Yn 的协方差 Cov(Y1,Yn )
p 的极大似然估计值量.
0
1
2 3
例 设总体X的概率分布为 X ~ 2
2 (1 ) 2
1
2
，
其中 (0 1/ 2) 是未知参数，利用总体X的如下样品值
3，1，3，0，3，1，2，3，求未知参数 的矩估计值和最大
似然估计值。
12 设 ˆ 是参数 的无偏估计, 且有 D(ˆ) 0 ,则
8 已知X的分布律为 P{X k} p(1 p)k1, k 1,2,
求 p 的矩估计及极大似然估计量
9 设总体 X ~ N(, 2 ) , , 2 均未知，又设
X1, X 2 , , X n 为总体X 的样本， (x1, x2 , , xn )
为X的一组样本观测值，试求 , 2 的极大似然估计值量
X152 )
服从 F
分布，参数为 (10,5)