第1章概率习题课07
第一章 随机事件及其概率课后习题参考答案
第一章 随机事件及其概率1. 1) {}01001,,,.nn n n Ω=L2) {}{}10,11,12,13,,10.n n Z n Ω==∈≥L3) 以"'',''"+-分别表示正品和次品，并以""-+--表示检查的四个产品依次为次品，正品，次品，次品。
写下检查四个产品所有可能的结果S ，根据条件可得样本空间Ω。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,,,,S ++--++-++++-+++++---+--++-+-+-++⎧⎫=⎨⎬-+---+-+-++--+++-------+--+---++⎩⎭++--++-++++-+++++--+-+-+-++⎧⎫Ω=⎨⎬-+---+-+-++--+++--⎩⎭4) {}22(,)1.x y x y Ω=+<2. 1) ()A B C ABC --=， 2) ()AB C ABC -=， 3) A B C A B C ++=U U ， 4) ABC ，5) ()A B C ABC Ω-++=， 6) ()AB BC AC AB BC AC Ω-++=++， 7) ()ABC A B C Ω-=U U ， 8) AB AC BC ++.3. 解：由两个事件和的概率公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，知道()()()() 1.3(),P AB P A P B P A B P A B =+-+=-+ 又因为()(),P AB P A ≤ 所以 （1）当()()0.7P A B P B +==时，()P AB 取到最大值0.6。
（2）当()1P A B +=时，()P AB 取到最小值0.3。
4. 解：依题意所求为()P A B C ++，所以()()()()()()()()1111000(0()()0)44485.8P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P ABC P BC ++=++---+=++---+≤≤==Q 5. 解：依题意，()()()()()()()()()()()()()()0.70.50.25.()()()0.70.60.5P B A B P BA P B A B P A B P A B P BA BA BA A P A P B P AB P A P BA P A P B P AB ++==++=+=+---===+-+-Q6. 解：由条件概率公式得到111()1()()(),(),3412()2P AB P AB P A P B A P B P A B ==⨯=== 所以1111()()()().46123P A B P A P B P AB +=+-=+-= 7. 解：1) 2028281222101028()45C C P P A A C P ===，2) 202__________282121212210101()()(|)45C C P P A A P A P A A C P ====，3) 1122________82821212121222210101016()()()145C C P P P A A A A P A A P A A C P P =+==--=U ，4) 1120____________8228121212122101()()()5C C C C P A A A A P A A P A A C +=+==U . 8. 解：（1） 以A 表示第一次从甲袋中取得白球这一事件，B 表示后从乙袋中取 得白球这一事件，则所求为()P B ，由题意及全概率公式得1()()()()().11n N m NP B P A P B A P A P B A n m N M n m N M +=+=⨯+⨯++++++ （2） 以123,,A A A 分别表示从第一个盒子中取得的两个球为两个红球、一红球一白球和两个白球，B 表示“然后”从第二个盒子取得一个白球这一事件，则容易推知211255441232229995103(),(),(),181818C C C C P A P A P A C C C ====== 123567(|),(|),(|).111111P B A P B A P B A === 由全概率公式得31551063753()()(|).18111811181199i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑ 9. 解：以A 表示随机挑选的人为色盲，B 表示随机挑选的人为男子。
第1章 概率论的基本概念 习题课
( 3) P ( A B C ) P ( A) P( B) P(C ) P( AB) P ( BC ) P ( AC ) P ( ABC ) 0.3 0.8 0.6 0.2 0.6 0.9 . 注 ABC AC , 0 P ( ABC ) P ( AC ) 0 , 即 P ( ABC ) 0 .
A B B C A C AB C A BC A B C A B C
(4) A B C中至多有两个发生 A B C ABC
(5) A B C中恰有两个发生 A BC AB C ABC
2
例2 设A B C为三个事件 已知 P ( A) 0.3, P ( B) 0.8, P (C ) 0.6,
解 用A表示“该天下雨” 用B表示“外出购 物” 0.2 P( B A) 则 , P( B A) 0.8, P ( B A ) 0.9,
P ( B A ) 0.1, P ( A) 0.3. (1) P ( B ) P ( A) P ( B A) P ( A ) P ( B A )
6
例5 已知P(A)03 P(B)04 P(AB)02 试求：
(1) P( B A) ; (2) P( A B) ; (3) P( B A B) ;
(4) P( A B A B) .
解 (4) P( A B | A B) P( AB | A B)
P[ AB( A B )] 1 P ( AB | A B) 1 P( A B)
0.3 0.2 0.7 0.9 0.69 ;
8
例6 设某人按如下原则决定某日的活动 如该天下雨 则以02的概率外出购物 以08的概率去探访朋友 如 该天不下雨 则以09的概率外出购物 以01的概率去 探访朋友 设某地下雨的概率是03 (1)试求那天他外出购物的概率 (2)若已知他那天外出购物 试求那天下雨的概率
概率统计第一章每一节习题
概率统计第一章每一节习题第一章 随机事件与概率习题一 随机事件一、填空题1. E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果,则正面出现次数的样本空间=Ω .2．某商场出售电器设备，以事件A 表示“出售74 Cm 海信电视机”，以事件B 表示“出售74 Cm 长虹电视机”，则只出售一种品牌的电视机可以表示为 ；至少出售一种品牌的电视机可以表示为 ；两种品牌的电视机都出售可以表示为 .3．设A ，B ，C 表示三个随机事件，试通过A ，B ，C 表示下列随机事件：A 发生而B ，C 都不发生为 ；A ，B ，C 不多于一个发生 .4.设事件n A A A A ,,,,321 若 ； ，则称n A A A A ,,,,321 为完备事件组.5.对立事件A 与A 在每一次试验中 发生.二、设{1,2,,10}Ω= ，{2,3,4}A =，{3,4,5}B =，{5,6,7}.C =写出下列算式表示的集合： 1. AB 2.A B C ++3._____________A B C ++三、写出下式的另外一种形式表达式 1.=++n A A 1 2.=++n A A 1习题二随机事件的概率一、填空题1.概率是事件的自然属性，有事件就一定有 .2.古典概型的两个条件是，.3.今有10张电影票,其中只有2张座号在第一排,现采取抽签方式发放给１０名同学,则.A.先抽者有更大可能抽到第一排座票B.后抽者更可能获得第一排座票C.各人抽签结果与抽签顺序无关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约二、8件产品中有5件是一级品，3件是二级品，现从中任取2件，求下列情况下取得的2件产品中只有一件是一级品的概率：( 1 ) 2件产品是无放回的逐次抽取；( 2 ) 2件产品是有放回的逐次抽取.三、有n位同学（n 365），求他们至少有两个人的生日在同一天的概率（一年按365天计算）.四、从1，2，…，10这十个数中等可能地任取一个，然后还原，先后取出7个数，试求下列各事件的概率：（1）7个数全不相同；（2）不含9和2；（3）8出现三次.习题三 概率的运算法则一、填空1.设事件,,B A =+)(B A P ,当A ，B 互斥时=+)(B A P .2.设事件,,B A =-)(B A P , )(A P )(AB P .3.设事件C B A ,, =++)(C B A P .4.设事件组n A A A A ,,,,321 ，)(21n A A A P = .5.=)|(A B P .6.=+)|(21B A A P . (条件概率的加法公式)二、袋中装有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，求取到的三个球中没有红球或没有黄球的概率.三、某工厂生产的产品中，36%为一等品，54%为二等品，10%为三等品，任取一件产品，已知它不是三等品，求它是一等品的概率.四、10个签中有4个是难签，3人参加抽签（无放回），甲先、乙次、丙最后.求甲抽到难签、甲乙都抽到难签、甲没有抽到难签而乙抽到难签及甲乙丙都抽到难签的概率。
概率第一章练习题讲解
第一章随机事件与概率练习题1.设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件:(1)仅A发生; (2) A与C都发生，而B不发生;(3)所有三个事件都不发生; 4)至少有一个事件发生;(6) 至少有两个事件发生;(5) 至多有两个事件发生;(8) 恰有一个事件发生(7) 恰有两个事件发生;分析：利用事件的运算关系及性质来描述事件•解：(1) ABC；( 2) ABC;( 3) ABC 或A_. B _ C;(4) A_. B_ C或ABC ABC ABC ABC ABC ABCABC；( 5) A_. B_. C或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC;(6)AB AC _ BC或ABC _ ABC _ ABC ABC;(7)ABC _ ABC_ ABC；( 8) ABC_ ABC_ ABC.随机事件的关系和运算_叫对偶律1. 某射手向一目标射击两次，A i表示事件“第i次射击命中目标” ，i=1, 2, B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=( )A. A1A2B. A, A2C. A1A2D. A1A22 .设A , B , C为随机事件，则事件“A, B, C都不发生”可表示为()A .错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
BC C. ABC D.错误！未找到引用源。
3. 设A、B、C为三事件，则事件A BC =( )A. A BCB. A B CC.( A B )CD.( A B ) C4设A、B为任意两个事件，则有( )A. (A U B) -B=AB.(A-B) U B=AC.(A U B)-B AD.(A-B) U B A5.设A、B为随机事件，且A B，则A B等于( )A. AB. BC. ABD. A B2.古典概型1.从标号为1 , 2,…，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为(3•同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正面朝上的概率为()恰好有两枚正面朝上的概率为()A.0.125B.0.25C.0.375D.0.54. ________________________ 设袋内有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取 3个球，则恰好取到 1个红球、1个白球 和1个黑球的概率为.5. 一个盒子中有 6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为6. 从0，1，2, 3，4五个数中任意取三个数，则这三个数中不含0的概率为 ____________7. 袋中有红、黄、蓝球各一个，从中任取三次，每次取一个，取后放回，则红球出现的概率为 8. 一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是9. 有甲、乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为_______ .10. 袋中有5个黑球3个白球，从中任取4个球中恰有3个白球的概率为 ________________ 。
第1章概率习题课07
则P(A B)=
0.7 ; P(B-A)= 0.2
.
7.设 P(A)=1/3,P(B)=1/2， (1)已知A、B互不相容,求P(AB),P(AB),P(A∪B) (2)已知A、B独立,求P(A∪B),P(A-B) (3)已知A与B具有包含关系,求P(AB), P(AB).
答案(1)1/2;1/6;2/3.（2）2/3；1/6 (3) 0;1/6. 提示：1) 由已知，AB= , P(AB)=0; 由概率性质3 : P(AB)=P(B)-P(AB)=1/2. P(AB)=P(A∪B) =1-P(A∪B)=1/6. P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2/3. 2) 当A、B独立,P(AB)=P(A)P(B).且A和B独立.
A4 表示正面两次。则事件(
A C. 互相独立 A1 , A2 , A3 两两独立 A1 , A2 , A3 B. D.
C )
A2 , A3 , A4 互相独立 A2 , A3 , A4 两两独立
13. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄，30个白，今有两人依
次从袋中取出一球，取出后不放回，问第二人取得黄球的概 20/50 率_____________ 。
11. 设A、B、C是三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的 充分必要条件是( A A．A与BC独立 C.AB与AC独立 )
B.A与 A C 独立 D. A B 与
A C 独立
12. 将一枚硬币独立抛掷两次， A1
A2 表示掷第一次出现正面，
表示掷第二次出现正面， A3 表示正、反面各一次，
( 1 ) p P(A1 ) 29 90
i 1
3
1 3 7 5 P ( H i ) P ( A1 H i ) 3 10 15 25
概率论第一章习题课
概率论与数理统计第一章习题课1. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件,则125.08121)(3====n n A P A .2. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n A =, 467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .3. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(510049711510059700=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C n n A P00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(51002973351003972322=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P4. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A5. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数1644=⨯=n , 有利于A 的基本事件数422=⨯=A n , 有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B . 6. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A ∪B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A = , 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-==⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P 7. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2, P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P8. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(312162633123933121527231213292312142813122319131213290312330=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P9. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求:(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组4.05020)(,6.05030)(====A P A P 05.0)|(,06.0)|(==AB P A B P 056.005.04.006.06.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P10. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球. 则P (A )=2/3, P (A )=1/3, P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4, 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P11. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.12. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3. 设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P13. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。
概率数理统计第一章练习
第一章习题课1.设事件A 、B 、C 两两互不相容，P(A )=0.2，P(B )=0.3，P(C )=0.4. 求P{(A ∪B )－C }. 解： A 、B 、C 两两互不相容，∴ A ⊂C ，B ⊂C ，P{AB }=0. P{(A ∪B )－C }＝P{(A ∪B )∩C }＝P{(A C )∪(B C )} = P(A C )+P(B C )－P{AB C }=P(A )+P(B )=0.5.2.设A , B 为随机事件，P(A )=0.7，P(B )=0.5，P(A －B )=0.3， 求：P(AB )；P(B －A )；)(A B P .解：P(AB )=P(A )－P(A B )=P(A )－P(A －B )=0.7－0.3=0.4P(B -A )=P(B ) -P(AB )=0.5-0.4=0.132)(1)]()()([1)()()()()(=--+-===P A P AB P B P A P A P B A P A P B A P A B3. 证明：(1) P(A /B )+P(A /B )=1(2) A 与B 相互独立的充要条件是P(A /B )=P(A /B ) 证明：(1) ∵P(A /B )+P(A /B )=)()(B P AB P +)()(B P B A P =)()(B P B P =1 (2) “⇒”∵A 与B 相互独立， ∴P(A /B )=)()(B P AB P =)()()(B P B P A P =P(A ) P(A /B )=)()(B P B A P =)()()(B P B P A P =P(A )∴P(A /B )=P(A /B )“⇐”∵P(A /B )=P(A /B )∴P(AB ) =P(B ) ⋅P(A /B ) =P(B ) ⋅［P(B )+P(B )］⋅P(A /B )=P(B ) ⋅［P(AB )+P(B )⋅P(A /B )］=P(B ) ⋅［P(AB )+P(A B )］ =P(B ) ⋅P(A )∴A 与B 相互独立。
概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案
概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案概率论与数理统计概率论的基础知识习题一、选择题1、下列关系正确的是( )。
A、0∈∅B、{0}∅=∅⊂D、{0}∅∈C、{0}答案：C2、设{}{}2222=+==+=，则( )。
P x y x y Q x y x y(,)1,(,)4A、P Q⊂B、P Q<C、P Q⊂与P Q⊃都不对D、4P Q=答案：C二、填空1、6个学生和一个老师并排照相，让老师在正中间共有________种排法。
答案：6!720=2、5个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有____________种。
答案：723、编号为1，2，3，4，5的5个小球任意地放到编号为A、B、C、D、E、F的六个小盒子中，概率论的基础知识第 1 页（共 19 页）每一个盒至多可放一球，则不同的放法有_________种。
答案：()65432720⨯⨯⨯⨯=4、设由十个数字0，1，2，3， ，9的任意七个数字都可以组成电话号码，则所有可能组成的电话号码的总数是_______________。
答案：710个5、九名战士排成一队，正班长必须排在前头，副班长必须排在后头，共有_______________种不同的排法。
答案：77!5040P==6、平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定_____个三角形。
答案：1207、5个篮球队员，分工打右前锋，左前锋，中锋，左后卫右后卫5个位置共有_____________种分工方法？答案：5!120=8、6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个概率论的基础知识第 2 页（共 19 页）不同单位，每单位1人。
则分配方法有______种。
答案：(6543)360⨯⨯⨯=9、平面上有12个点，其中任意三点都不在一条直线上，这些点可以确定_____________条不同的直线。
答案：6610、编号为1，2，3，4，5的5个小球，任意地放到编号为A，B，C，D，E，F，的六个小箱子中，每个箱子中可放0至5个球，则不同的放法有___________种。
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17.(03考研) 已知甲乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装
有3件合格品和3件次品，乙箱乙箱中任取一件产品是次 品的概率。 18.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表, 其中女生的报名表分别为3份、7份和5份,随机地取一个地区 的报名表,从中先后抽出两份. (1)求先抽到的一份是女生表的概率p; (2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的 概率q.
P( A1 ) P( B1 ) P( A1 B1 ) P( B2 ) P( A1 B2 ) 1 10 1 18 2 2 50 2 30 5
(2)由条件概率的定义和全概率公式得
P( A1 A2 ) P( B1 ) P( A1 A2 B1 ) P( B2 ) P( A1 A2 B2 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) P( A1 ) 1 10 9 1 18 17 2 50 49 2 30 29 0.48557 2 5
概率定义 设E ---随机试验，S-----样本空间.
事件A P(A), 称为事件A的概率,
如果P(• )满足下列条件: 1 °非负性： 对于每一个事件A，有 P(A)≥0 ； 2 ° 规范性: 对于必然事件S , 有P(S)=1； 3 °可列可加性: 设A1，A2，… 是两两互不相容 的事件，即对于 i j , Ai Aj , i, j 1,2,, 则 P(A1∪A2 ∪ …)=P( A1)+P(A2 )+
3)当A
B,AB=
;P(AB)=P(B)-P(A)
8. 从一副扑克牌的13张梅花中，有放回地取3次， 132/169 则三张不同号的概率为___________. 9. 包括a、b两人在内共n个人排队，问a、b之间恰有r
人的概率
r 2 An 2 ( n 2 r 1)! n! 10.已知 0<P(A)<1,0<P(B)<1, P(A|B)+P(A|B)=1,则( D ) (A) 事件A和事件B互斥; (B) 事件A与B对立 ; (C) 事件A和事件B 不独立; (D) 事件A和B 相互独立.
则P(A B)=
0.7 ; P(B-A)= 0.2
.
7.设 P(A)=1/3,P(B)=1/2， (1)已知A、B互不相容,求P(AB),P(AB),P(A∪B) (2)已知A、B独立,求P(A∪B),P(A-B) (3)已知A与B具有包含关系,求P(AB), P(AB).
答案(1)1/2;1/6;2/3.（2）2/3；1/6 (3) 0;1/6. 提示：1) 由已知，AB= , P(AB)=0; 由概率性质3 : P(AB)=P(B)-P(AB)=1/2. P(AB)=P(A∪B) =1-P(A∪B)=1/6. P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2/3. 2) 当A、B独立,P(AB)=P(A)P(B).且A和B独立.
这种试验称为等可能概型或古典概型．
2.古典概型中事件A的概率的计算公式
k A包含的基本事件数 P( A) n S中基本事件的总数
几个重要公式
1.条件概率
2.乘法公式 3.全概率公式
P( AB) P( B A) , P( A) 0 P( A) P(AB)=P(B|A)P(A) (P(A)>0)，
P ( A) 0, P ( B) 0, 则A、B互斥与A、B相互独立不能
同时存在.
4. 若事件A和 Bi (i
n i 1
1,2,, n) 独立, 且 Bi B j (i j )
则事件A和 B i 独立.
典型习题
1. 从大批产品中取产品检验，设事件Ak表示“第k次取到 合格产品”(k=1,2,3)，用A1,A2,A3表达下列各事件. (1) A表示“仅第一次取到合格产品”. (2) B表示“第一次取到不合格产品,第二、三次至少有一次 取到合格产品”. 解：(1) (2)
A1 A2 A3
A1 ( A2 A3 )
2．对于任意两事件A和B,有 P(A-B)= ( ). (A) P(A)-P(B); (B) P(A)-P(B)+P(AB) ; (C) P(A)-P(AB); (D) P(A)+P(B)- P(AB).
答案：C 解析：直接利用概率性质（3）
3．对于任意两事件A和B,若有 P(AB)=0,则下列命 题正确的是 ( ). (A) A与B互斥 ; (B) A与B独立; (C) P(A)=0,或P(B)=0; (D) P(A-B)= P(A) .
(6) (加法公式)
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-
等可能概型(古典概型)
1.定义： 设E是试验，S是E的样本空间，若 (1) 试验的样本空间的元素只有有限个； (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 ) P( Ai2 ) P( Aik )
则称这n个事件相互独立.
独立的性质:
1. 设A和B是两个事件,且P(A) ＞0.若A和B相互独立,则
P(B/A)=P(B).反之亦然.
2. 若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立: A与B, A与B, A与B 3.
( 1 ) p P(A1 ) 29 90
i 1
3
1 3 7 5 P ( H i ) P ( A1 H i ) 3 10 15 25
(2)由全概率公式得
7 8 20 P (A2 H1 ) , P (A2 H 2 ) P (A2 H 3 ) 10 15 25 7 8 5 P (A1 A2 H1 ) , P (A1 A2 H 2 ) , P (A1 A2 H 3 ) 30 30 30 3 1 7 8 5 61 P( A2 ) P( H i ) P( A2 H i ) 3 10 15 25 90 i 1
A4 表示正面两次。则事件(
A C. 互相独立 A1 , A2 , A3 两两独立 A1 , A2 , A3 B. D.
C )
A2 , A3 , A4 互相独立 A2 , A3 , A4 两两独立
13. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄，30个白，今有两人依
次从袋中取出一球，取出后不放回，问第二人取得黄球的概 20/50 率_____________ 。
11. 设A、B、C是三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的 充分必要条件是( A A．A与BC独立 C.AB与AC独立 )
B.A与 A C 独立 D. A B 与
A C 独立
12. 将一枚硬币独立抛掷两次， A1
A2 表示掷第一次出现正面，
表示掷第二次出现正面， A3 表示正、反面各一次，
j 1
n
j ) P( B j )
独立性
定义1 设A,B是两事件,如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B)， 则称事件A,B为相互独立的随机事件.
定义2 设A1,A2...An是n个事件，如果对于任意的1≤i<j≤n,
P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) 则称这n个事件两两相互独立.
定义3 如果对于任意的k(k≤n),及任意的2≤i1<i2<...<ik≤n,
i 0 2
P( B0 A) 2）由贝叶斯公式：
P( A B0 ) P( B0 ) P( A)
≈0.85
15. 假设有两箱同种零件,第一箱内装50件,其中有10件一等品; 第二箱内装30件,其中有18件一等品.现从两箱中随意挑出一箱, 然后从该箱中先后不放回地随机取出两个零件,试求(1)先取出 的是一等品的概率;(2)在先取出一等品的条件下,第二次仍取得 一等品的概率. 解: (1)设Ai表示事件“第i次取到一等品” Bi表示事件 “被挑出的是第i箱”(i=1,2) 则由全概率公式得
18.解：设Hi表示事件“报名表是第i区考生的”i=1,2,3 Aj表示事件“第j次抽到的报名表是男生表”j=1,2 则
P( H1 ) P( H 2 ) P( H 3 ) P( A 1 H1 ) 1 3
7 8 20 ,P( A H ) P( A H ) 1 2 1 3 10 15 25
14.设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0,1,2个次品的概
率分别为0.8，0.1，0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，由 售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4个。若无次品， 则买一箱玻璃杯，否则不买。 求：1）顾客买此箱玻璃杯的概率； 2）在顾客买的此箱玻璃杯中,确实没有次品的概率。
答案：1）0.94 ; 2) 0.85. 解：设 Bi ={箱中恰好有i件次品},i=0,1,2. A={顾客买下所查看的一箱} 由题设可知：P(B0 )=0.8, P( B1 )=0.1; P( B2 )=0.1. 4 4 C 12 B0 )=1; P(A∣B1 )= C19 4 ; P(A∣ P(A∣ B2 )= 18 4 4 C 19 20 C20 5 1）由全概率公式：P(A)= P( A Bi ) P( Bi ) ≈0.94
第一章 主 要 内 容
事件间的关系与事件的运算
(一)事件间的关系 1. 事件的包含(子事件)：AB;
2.事件的和：A∪B
3.事件的积: AB;
4. 差事件: AB=A-B=A-AB
5. 互斥事件(互不相容事件):AB=
6. 互逆事件: AB= 且A∪B=S
•
事件的运算法则
1. 交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A ． 2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ． 3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ;