第1章概率习题课07
第一章 随机事件及其概率课后习题参考答案
第一章 随机事件及其概率1. 1) {}01001,,,.nn n n Ω=L2) {}{}10,11,12,13,,10.n n Z n Ω==∈≥L3) 以"'',''"+-分别表示正品和次品，并以""-+--表示检查的四个产品依次为次品，正品，次品，次品。
写下检查四个产品所有可能的结果S ，根据条件可得样本空间Ω。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,,,,S ++--++-++++-+++++---+--++-+-+-++⎧⎫=⎨⎬-+---+-+-++--+++-------+--+---++⎩⎭++--++-++++-+++++--+-+-+-++⎧⎫Ω=⎨⎬-+---+-+-++--+++--⎩⎭4) {}22(,)1.x y x y Ω=+<2. 1) ()A B C ABC --=， 2) ()AB C ABC -=， 3) A B C A B C ++=U U ， 4) ABC ，5) ()A B C ABC Ω-++=， 6) ()AB BC AC AB BC AC Ω-++=++， 7) ()ABC A B C Ω-=U U ， 8) AB AC BC ++.3. 解：由两个事件和的概率公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，知道()()()() 1.3(),P AB P A P B P A B P A B =+-+=-+ 又因为()(),P AB P A ≤ 所以 （1）当()()0.7P A B P B +==时，()P AB 取到最大值0.6。
（2）当()1P A B +=时，()P AB 取到最小值0.3。
4. 解：依题意所求为()P A B C ++，所以()()()()()()()()1111000(0()()0)44485.8P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P ABC P BC ++=++---+=++---+≤≤==Q 5. 解：依题意，()()()()()()()()()()()()()()0.70.50.25.()()()0.70.60.5P B A B P BA P B A B P A B P A B P BA BA BA A P A P B P AB P A P BA P A P B P AB ++==++=+=+---===+-+-Q6. 解：由条件概率公式得到111()1()()(),(),3412()2P AB P AB P A P B A P B P A B ==⨯=== 所以1111()()()().46123P A B P A P B P AB +=+-=+-= 7. 解：1) 2028281222101028()45C C P P A A C P ===，2) 202__________282121212210101()()(|)45C C P P A A P A P A A C P ====，3) 1122________82821212121222210101016()()()145C C P P P A A A A P A A P A A C P P =+==--=U ，4) 1120____________8228121212122101()()()5C C C C P A A A A P A A P A A C +=+==U . 8. 解：（1） 以A 表示第一次从甲袋中取得白球这一事件，B 表示后从乙袋中取 得白球这一事件，则所求为()P B ，由题意及全概率公式得1()()()()().11n N m NP B P A P B A P A P B A n m N M n m N M +=+=⨯+⨯++++++ （2） 以123,,A A A 分别表示从第一个盒子中取得的两个球为两个红球、一红球一白球和两个白球，B 表示“然后”从第二个盒子取得一个白球这一事件，则容易推知211255441232229995103(),(),(),181818C C C C P A P A P A C C C ====== 123567(|),(|),(|).111111P B A P B A P B A === 由全概率公式得31551063753()()(|).18111811181199i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑ 9. 解：以A 表示随机挑选的人为色盲，B 表示随机挑选的人为男子。
第1章 概率论的基本概念 习题课
( 3) P ( A B C ) P ( A) P( B) P(C ) P( AB) P ( BC ) P ( AC ) P ( ABC ) 0.3 0.8 0.6 0.2 0.6 0.9 . 注 ABC AC , 0 P ( ABC ) P ( AC ) 0 , 即 P ( ABC ) 0 .
A B B C A C AB C A BC A B C A B C
(4) A B C中至多有两个发生 A B C ABC
(5) A B C中恰有两个发生 A BC AB C ABC
2
例2 设A B C为三个事件 已知 P ( A) 0.3, P ( B) 0.8, P (C ) 0.6,
解 用A表示“该天下雨” 用B表示“外出购 物” 0.2 P( B A) 则 , P( B A) 0.8, P ( B A ) 0.9,
P ( B A ) 0.1, P ( A) 0.3. (1) P ( B ) P ( A) P ( B A) P ( A ) P ( B A )
6
例5 已知P(A)03 P(B)04 P(AB)02 试求：
(1) P( B A) ; (2) P( A B) ; (3) P( B A B) ;
(4) P( A B A B) .
解 (4) P( A B | A B) P( AB | A B)
P[ AB( A B )] 1 P ( AB | A B) 1 P( A B)
0.3 0.2 0.7 0.9 0.69 ;
8
例6 设某人按如下原则决定某日的活动 如该天下雨 则以02的概率外出购物 以08的概率去探访朋友 如 该天不下雨 则以09的概率外出购物 以01的概率去 探访朋友 设某地下雨的概率是03 (1)试求那天他外出购物的概率 (2)若已知他那天外出购物 试求那天下雨的概率
概率统计第一章每一节习题
概率统计第一章每一节习题第一章 随机事件与概率习题一 随机事件一、填空题1. E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果,则正面出现次数的样本空间=Ω .2．某商场出售电器设备，以事件A 表示“出售74 Cm 海信电视机”，以事件B 表示“出售74 Cm 长虹电视机”，则只出售一种品牌的电视机可以表示为 ；至少出售一种品牌的电视机可以表示为 ；两种品牌的电视机都出售可以表示为 .3．设A ，B ，C 表示三个随机事件，试通过A ，B ，C 表示下列随机事件：A 发生而B ，C 都不发生为 ；A ，B ，C 不多于一个发生 .4.设事件n A A A A ,,,,321 若 ； ，则称n A A A A ,,,,321 为完备事件组.5.对立事件A 与A 在每一次试验中 发生.二、设{1,2,,10}Ω= ，{2,3,4}A =，{3,4,5}B =，{5,6,7}.C =写出下列算式表示的集合： 1. AB 2.A B C ++3._____________A B C ++三、写出下式的另外一种形式表达式 1.=++n A A 1 2.=++n A A 1习题二随机事件的概率一、填空题1.概率是事件的自然属性，有事件就一定有 .2.古典概型的两个条件是，.3.今有10张电影票,其中只有2张座号在第一排,现采取抽签方式发放给１０名同学,则.A.先抽者有更大可能抽到第一排座票B.后抽者更可能获得第一排座票C.各人抽签结果与抽签顺序无关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约二、8件产品中有5件是一级品，3件是二级品，现从中任取2件，求下列情况下取得的2件产品中只有一件是一级品的概率：( 1 ) 2件产品是无放回的逐次抽取；( 2 ) 2件产品是有放回的逐次抽取.三、有n位同学（n 365），求他们至少有两个人的生日在同一天的概率（一年按365天计算）.四、从1，2，…，10这十个数中等可能地任取一个，然后还原，先后取出7个数，试求下列各事件的概率：（1）7个数全不相同；（2）不含9和2；（3）8出现三次.习题三 概率的运算法则一、填空1.设事件,,B A =+)(B A P ,当A ，B 互斥时=+)(B A P .2.设事件,,B A =-)(B A P , )(A P )(AB P .3.设事件C B A ,, =++)(C B A P .4.设事件组n A A A A ,,,,321 ，)(21n A A A P = .5.=)|(A B P .6.=+)|(21B A A P . (条件概率的加法公式)二、袋中装有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，求取到的三个球中没有红球或没有黄球的概率.三、某工厂生产的产品中，36%为一等品，54%为二等品，10%为三等品，任取一件产品，已知它不是三等品，求它是一等品的概率.四、10个签中有4个是难签，3人参加抽签（无放回），甲先、乙次、丙最后.求甲抽到难签、甲乙都抽到难签、甲没有抽到难签而乙抽到难签及甲乙丙都抽到难签的概率。
概率第一章练习题讲解
第一章随机事件与概率练习题1.设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件:(1)仅A发生; (2) A与C都发生，而B不发生;(3)所有三个事件都不发生; 4)至少有一个事件发生;(6) 至少有两个事件发生;(5) 至多有两个事件发生;(8) 恰有一个事件发生(7) 恰有两个事件发生;分析：利用事件的运算关系及性质来描述事件•解：(1) ABC；( 2) ABC;( 3) ABC 或A_. B _ C;(4) A_. B_ C或ABC ABC ABC ABC ABC ABCABC；( 5) A_. B_. C或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC;(6)AB AC _ BC或ABC _ ABC _ ABC ABC;(7)ABC _ ABC_ ABC；( 8) ABC_ ABC_ ABC.随机事件的关系和运算_叫对偶律1. 某射手向一目标射击两次，A i表示事件“第i次射击命中目标” ，i=1, 2, B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=( )A. A1A2B. A, A2C. A1A2D. A1A22 .设A , B , C为随机事件，则事件“A, B, C都不发生”可表示为()A .错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
BC C. ABC D.错误！未找到引用源。
3. 设A、B、C为三事件，则事件A BC =( )A. A BCB. A B CC.( A B )CD.( A B ) C4设A、B为任意两个事件，则有( )A. (A U B) -B=AB.(A-B) U B=AC.(A U B)-B AD.(A-B) U B A5.设A、B为随机事件，且A B，则A B等于( )A. AB. BC. ABD. A B2.古典概型1.从标号为1 , 2,…，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为(3•同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正面朝上的概率为()恰好有两枚正面朝上的概率为()A.0.125B.0.25C.0.375D.0.54. ________________________ 设袋内有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取 3个球，则恰好取到 1个红球、1个白球 和1个黑球的概率为.5. 一个盒子中有 6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为6. 从0，1，2, 3，4五个数中任意取三个数，则这三个数中不含0的概率为 ____________7. 袋中有红、黄、蓝球各一个，从中任取三次，每次取一个，取后放回，则红球出现的概率为 8. 一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是9. 有甲、乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为_______ .10. 袋中有5个黑球3个白球，从中任取4个球中恰有3个白球的概率为 ________________ 。
第1章概率习题课07
则P(A B)=
0.7 ; P(B-A)= 0.2
.
7.设 P(A)=1/3,P(B)=1/2， (1)已知A、B互不相容,求P(AB),P(AB),P(A∪B) (2)已知A、B独立,求P(A∪B),P(A-B) (3)已知A与B具有包含关系,求P(AB), P(AB).
答案(1)1/2;1/6;2/3.（2）2/3；1/6 (3) 0;1/6. 提示：1) 由已知，AB= , P(AB)=0; 由概率性质3 : P(AB)=P(B)-P(AB)=1/2. P(AB)=P(A∪B) =1-P(A∪B)=1/6. P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2/3. 2) 当A、B独立,P(AB)=P(A)P(B).且A和B独立.
A4 表示正面两次。则事件(
A C. 互相独立 A1 , A2 , A3 两两独立 A1 , A2 , A3 B. D.
C )
A2 , A3 , A4 互相独立 A2 , A3 , A4 两两独立
13. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄，30个白，今有两人依
次从袋中取出一球，取出后不放回，问第二人取得黄球的概 20/50 率_____________ 。
11. 设A、B、C是三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的 充分必要条件是( A A．A与BC独立 C.AB与AC独立 )
B.A与 A C 独立 D. A B 与
A C 独立
12. 将一枚硬币独立抛掷两次， A1
A2 表示掷第一次出现正面，
表示掷第二次出现正面， A3 表示正、反面各一次，
( 1 ) p P(A1 ) 29 90
i 1
3
1 3 7 5 P ( H i ) P ( A1 H i ) 3 10 15 25
概率论第一章习题课
概率论与数理统计第一章习题课1. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件,则125.08121)(3====n n A P A .2. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n A =, 467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .3. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(510049711510059700=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C n n A P00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(51002973351003972322=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P4. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A5. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数1644=⨯=n , 有利于A 的基本事件数422=⨯=A n , 有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B . 6. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A ∪B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A = , 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-==⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P 7. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2, P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P8. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(312162633123933121527231213292312142813122319131213290312330=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P9. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求:(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组4.05020)(,6.05030)(====A P A P 05.0)|(,06.0)|(==AB P A B P 056.005.04.006.06.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P10. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球. 则P (A )=2/3, P (A )=1/3, P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4, 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P11. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.12. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3. 设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P13. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。
概率数理统计第一章练习
第一章习题课1.设事件A 、B 、C 两两互不相容，P(A )=0.2，P(B )=0.3，P(C )=0.4. 求P{(A ∪B )－C }. 解： A 、B 、C 两两互不相容，∴ A ⊂C ，B ⊂C ，P{AB }=0. P{(A ∪B )－C }＝P{(A ∪B )∩C }＝P{(A C )∪(B C )} = P(A C )+P(B C )－P{AB C }=P(A )+P(B )=0.5.2.设A , B 为随机事件，P(A )=0.7，P(B )=0.5，P(A －B )=0.3， 求：P(AB )；P(B －A )；)(A B P .解：P(AB )=P(A )－P(A B )=P(A )－P(A －B )=0.7－0.3=0.4P(B -A )=P(B ) -P(AB )=0.5-0.4=0.132)(1)]()()([1)()()()()(=--+-===P A P AB P B P A P A P B A P A P B A P A B3. 证明：(1) P(A /B )+P(A /B )=1(2) A 与B 相互独立的充要条件是P(A /B )=P(A /B ) 证明：(1) ∵P(A /B )+P(A /B )=)()(B P AB P +)()(B P B A P =)()(B P B P =1 (2) “⇒”∵A 与B 相互独立， ∴P(A /B )=)()(B P AB P =)()()(B P B P A P =P(A ) P(A /B )=)()(B P B A P =)()()(B P B P A P =P(A )∴P(A /B )=P(A /B )“⇐”∵P(A /B )=P(A /B )∴P(AB ) =P(B ) ⋅P(A /B ) =P(B ) ⋅［P(B )+P(B )］⋅P(A /B )=P(B ) ⋅［P(AB )+P(B )⋅P(A /B )］=P(B ) ⋅［P(AB )+P(A B )］ =P(B ) ⋅P(A )∴A 与B 相互独立。
概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案
概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案概率论与数理统计概率论的基础知识习题一、选择题1、下列关系正确的是( )。
A、0∈∅B、{0}∅=∅⊂D、{0}∅∈C、{0}答案：C2、设{}{}2222=+==+=，则( )。
P x y x y Q x y x y(,)1,(,)4A、P Q⊂B、P Q<C、P Q⊂与P Q⊃都不对D、4P Q=答案：C二、填空1、6个学生和一个老师并排照相，让老师在正中间共有________种排法。
答案：6!720=2、5个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有____________种。
答案：723、编号为1，2，3，4，5的5个小球任意地放到编号为A、B、C、D、E、F的六个小盒子中，概率论的基础知识第 1 页（共 19 页）每一个盒至多可放一球，则不同的放法有_________种。
答案：()65432720⨯⨯⨯⨯=4、设由十个数字0，1，2，3， ，9的任意七个数字都可以组成电话号码，则所有可能组成的电话号码的总数是_______________。
答案：710个5、九名战士排成一队，正班长必须排在前头，副班长必须排在后头，共有_______________种不同的排法。
答案：77!5040P==6、平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定_____个三角形。
答案：1207、5个篮球队员，分工打右前锋，左前锋，中锋，左后卫右后卫5个位置共有_____________种分工方法？答案：5!120=8、6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个概率论的基础知识第 2 页（共 19 页）不同单位，每单位1人。
则分配方法有______种。
答案：(6543)360⨯⨯⨯=9、平面上有12个点，其中任意三点都不在一条直线上，这些点可以确定_____________条不同的直线。
答案：6610、编号为1，2，3，4，5的5个小球，任意地放到编号为A，B，C，D，E，F，的六个小箱子中，每个箱子中可放0至5个球，则不同的放法有___________种。
概率习题第一章(学生用)
第一次习题课一、填空题1．设A 、B 、C 是3个随机事件，则“3个事件中恰有一个事件发生”用A 、B 、C 表示为。
2．设31)(=A P ，21)(=B P ，分别在下列条件下求)(A B P ： （1）若A B ⊂时，则=)(A B P ，（2）若A B 、互斥，则=)(A B P ，（3）若81)(=AB P ，则=)(A B P ， 又()P AB =，=)(B A P 。
3．设A 、B 为随机事件，已知P (A )=0.5，P (B )=0.6，P (B |A )=0.5，则P (A ⋃B )=。
4．有两批零件，其合格率分别为0.9和0.8，在每批零件中随机取一件，则至少有一个是合格品的概率为；而恰好有一件是合格品的概率为。
5．从一副扑克牌的13张黑桃中，一张接一张有放回地抽取3张，没有同号的概率为；有同号的概率为。
二、选择题1．A 、B 为两个概率不为零的不相容事件，则下列结论肯定正确的是。
A ．A 和B 不相容； B ．A 和B 相容；C ．P (AB )=P (A )P (B )；D ．P (A -B )=P (A )。
2．设当A 、B 同时发生时，事件C 必发生，则下列式子中正确的是。
A ．P (C )≤P (A )+P (B )-1； B ．P (C )≥P (A )+P (B )-1；C ．P (C )=P (AB )；D ．P (C )=P (A ⋃B )。
3．设A 、B 、C 三个事件两两独立，则A 、B 、C 相互独立的充要条件是。
A ．A 与BC 独立；B ．AB 与A ⋃C 独立；C ．AB 与AC 独立；D ．A ⋃B 与A ⋃C 独立。
4．设甲、乙两人进行象棋比赛，考虑事件A =“乙胜甲负”，则A 为。
A .“乙负甲胜”； B .“甲乙平局”；C .“乙负”；D .“乙负或平局”。
5．设8.0)(=A P ，7.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，则下列结论正确的是。
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案1．写出下列随机试验的样本空间．(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)；(2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；(3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：(1)}100,,2,1{ =Ω；(2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω；(3)},2,1{ =Ω；(4)}|),{(22y x y x +=Ω．2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ．解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ，}5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ；(3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ，}10,9,8,7,6,1{=B A ，}5,4,3,2{=B A ；法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ；(4)}5{=BC ，}10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ，}4,3,2{=BC A ，}10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ，{1,8,9,10}=C B A ．3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121|{≤<=x x A ，}2341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ．解：(1)B B A = ，}223,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ∅；(3)A AB =，}21,210|{≤<≤≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ；(2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ．解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生；(2)A ，B ，C 中至少有一个发生；(3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生；(4)A ，B ，C 中不多于一个发生．6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．证：A B B A A B A AB A B A AB )()(==-Ω==Ω=A A A A ．7．把事件C B A 表示为互不相容事件的和事件．解：)()[(C A B A A A C B A C B A =-=)(B A A A A C A B A A ==CB A BC A B A A )(=C B A B A A =．8．设0)(>A P ，0)(>B P ，将下列5个数)(A P ，)()(B P A P -，)(B A P -，)()(B P A P +，)(B A P 按有小到大的顺序排列，用符号“≤”联结它们，并指出在什么情况下可能有等式成立．解：因为0)(>A P ，0)(>B P ，)()(B P AB P ≤，故)()()()()()()()()(B P A P B A P A P B A P AB P A P B P A P +≤≤≤-=-≤- ，所以)()()()()()()(B P A P B A P A P B A P B P A P +≤≤≤-≤- ．(1)若A B ⊂，则有)()()(B A P B P A P -=-，)()(B A P A P =；(2)若=AB ∅，则有)()(A P B A P =-，)()()(B P A P B A P += ．9．已知B A ⊂，3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求)(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P ．解：(1)7.0)(1(=-=A P A P ；(2)B A ⊂ ，A AB =∴，则3.0)()(==A P AB P ；(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ；(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P ．10．设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率．(1)只有1件次品；(2)最多1件次品；(3)至少一件次品．解：从10件产品中任取3件，共有310C 种取法，(1)记=A {从10件产品中任取3件，只有1件次品}，只有1件次品，可从4件次品中任取1件次品，共14C 中取法，另外的两件为正品，从6件正品中取得，共26C 种取法．则事件A 共包含2614C C 个样本点，21)(3102614==C C C A P ．(2)记=B {从10件产品中任取3件，最多有1件次品}，=C {从10件产品中任取3件，没有次品}，则C A B =，且A 与C 互不相容．没有次品，即取出的3件产品全是正品，共有36C 种取法，则61)(31036==C C C P ，32)()()()(=+==C P A P C A P B P ．(3)易知=C {从10件产品中任取3件，至少有1件次品}，则65)(1(=-=C P C P ．11．盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码，求：(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率．解：从10个球中任选3球，共有310C 种选法，(1)记=A {从10个球中任选3球，最小标号为5}，事件A 发生，则选出球的最小标号为5，另外两个球的标号只可从6，7，8，9，10这5个数中任选，共有25C 种选法，则121)(31025==C C A P ．(2)记=B {从10个球中任选3球，最大标号为5}，事件B 发生，则选出球的最大标号为5，另外两个球的标号只可从1，2，3，4这4个数中任选，共有24C 种选法，则201)(31024==C C B P ．12．设在口袋中有a 个白球，b 个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在在口袋中的球都是同一种颜色为止．求最后是白球留在口袋中的概率．解：设=A {最后是白球留在口袋中}，事件A 即把b a +个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概率显然为ba a A P +=)(．13．一间学生寝室中住有6位同学，假定每个人的生日在各个月份的可能性相同，求下列事件的概率：(1)6个人中至少有1人的生日在10月份；(2)6个人中有4人的生日在10月份；(3)6个人中有4人的生日在同一月份．解：设=i B {生日在i 月份}，则=i B {生日不在i 月份}，12,,2,1 =i ，易知121)(=i B P ，1211)(=i B P ，12,,2,1 =i ．(1)设=A {6个人中至少有1人的生日在10月份}，则=A {6个人中没有一个人的生日在10月份}，66101211(1)]([1)(1)(-=-=-=B P A P A P ；(2)设=C {6个人中有4人的生日在10月份}，则62244621041046121115)1211()121()]([)]([)(⋅===C B P B P C C P ；(3)设=D {6个人中有4人的生日在同一月份}，则52112121115)()(⋅==C P C D P ．14．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的长度成正比，求任意画的弦的长度大于R 的概率．解：设弦与该直径的交点到圆心的距离为x ，已知，当R x 23<，弦长大于半径R ，从而所求的概率为232232=⋅=R R P ．15．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1h ，乙船的停泊时间是2h ，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率．解：设=A {两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出}，则=A {一艘船到达泊位时必须等待}，分别用x 和y 表示第一、第二艘船到达泊位的时间，则}10,20|),{(≤-≤≤-≤=x y y x y x A ，从而1207.0242221232124)()()(2222≈⋅-⋅-=Ω=μμA A P ；8993.0)(1)(≈-=A P A P ．16．甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？解：设=A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}，=C {目标被击中}，则B A C =，由题设知A 与B 相互独立，且6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，所以)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 8.0)()()()(=-+=B P A P B P A P ，从而43)()()()()|(===C P A P C P AC P C A P ．17．某地区位于河流甲与河流乙的汇合点，当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率是0.1，河流乙泛滥的概率是0.2，又当河流甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为0.3，求在该时期内这个地区被淹没的概率，又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少？解：=A {甲河流泛滥}，=B {乙河流泛滥}，=C {该地区被淹没}，则B A C =，由题设知1.0)(=A P ，2.0)(=B P ，3.0)|(=A B P ，从而)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 27.0)|()()()(=-+=A B P A P B P A P ，15.0)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P ．18．设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设=A {有一件产品是不合格品}，=B {另一件产品也是不合格品}，=i D {取出的两件产品中有i 件不合格品}，2,1,0=i ，显然，21D D A =，=21D D ∅，2D B AB ==．=Ω{从n 件产品种任取两件}，共有2nC 种取法；若1D 发生，即取出的两件产品中有1件不合格品，则该不合格品只能从m 件不合格品中取得，共有1m C 种取法；另一件为合格品，只能从m n -件合格品中取得，共有1m n C -种取法，则事件1D 中共有11m n m C C -个样本点，)1()(2)(2111--==-n n m n m C C C D P n m n m ，类似地，)1()1()(222--==n n m m C C D P n m ，所以)1()1()(2)()()()(2121--+-=+==n n m m m n m D P D P D D P A P ，)1()1()()(2--==n n m m D P AB P ，于是所求概率为121)()()|(---==m n m A P AB P A B P ．19．10件产品中有3件次品，每次从其中任取一件，取出的产品不再放回去，求第三次才取得合格品的概率．解：设=i A {第i 次取得合格品}，3,2,1=i ，则所求概率为12878792103)|()|()()(213121321=⋅⋅==A A A P A A P A P A A A P ．20．设事件A 与B 互不相容，且1)(0<<B P ，证明：)(1)(|(B P A P B A P -=．证： 事件A 与B 互不相容，则0)(=AB P ，)(1)()(1)()()(1)()(()|(B P A P B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P -=--=--==．21．设事件A 与B 相互独立，3.0)(=A P ，45.0)(=B P ，求下列各式的值：(1))|(A B P ；(2))(B A P ；(3)(B A P ；(4)|(B A P ．解： 事件A 与相互独立，∴事件A 与B 也相互独立，(1)45.0)()|(==B P A B P ；(2))()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=615.0=；(3)385.0)](1)][(1[)(()(=--==B P A P B P A P B A P ；(4)7.0()|(==A P B A P ．22．某种动物活到10岁的概率为0.92，活到15岁的概率为0.67，现有一只10岁的该种动物，求其能活到15岁的概率．解：设=A {该种动物能活到10岁}，=B {该种动物能活到15岁}，显然A B ⊂，由题设可知92.0)(=A P ，67.0)(=B P ，所以9267)()()()()|(===A P B P A P AB P A B P ．23．某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%，已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂的次品率为5%．一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率．解：设=A {电灯泡是次品}，=1B {电灯泡由甲厂生产}，=2B {电灯泡由乙厂生产}，则=A {电灯泡是合格品}．由题设可知6.0)(1=B P ，4.0)(2=B P ，04.0)|(1=B A P ，05.0)|(2=B A P ，044.0)|()()|()()(2211=+=B A P B P B A P B P A P ，所以956.0)(1)(=-=A P A P ．24．已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设=A {选出的人是色盲患者}，=B {选出的人是男性}，=B {选出的人是女性}，由题设可知21()(==B P B P ，05.0)|(=B A P ，0025.0)|(=B A P ，则2120)|()()|()()|()()|(=+=B A P B P B A P B P B A P B P A B P ．25．甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4，0.5和0.7，又设敌机被击中1次、2次、3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6和1．现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率．解：设1A ，2A ，3A 分别表示甲、乙、丙射击击中敌机，=i B {敌机被击中i 次}，3,2,1=i ，=C {敌机坠毁}，则3213213211A A A A A A A A A B =，3213213212A A A A A A A A A B =，3213A A A B =，由题设可知4.0)(1=A P ，5.0)(2=A P ，7.0)(3=A P ，2.0)|(1=B C P ，6.0)|(2=B C P ，1)|(3=B C P ，则)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.0=，类似地，51.0)(2=B P ，14.0)(3=B P ，由全概率公式得458.0)|()()(31==∑=i i i B C P B P C P ．26．三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31和41．问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：分别设事件A ，B ，C 为甲、乙、丙破译密码，则三人中至少有一人能将此密码译出可表示为C B A ，有)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P +---++=53=．27．甲袋中装有n 只白球、m 只红球，乙袋中装有N 只白球、M 只红球．今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？解：设=A {从甲袋中取出白球}，=B {从乙袋中取出白球}，则由题设可知m n n A P +=)(，m n m A P +=(，11)|(+++=M N N A B P ，1|(++=M N N A B P ，由全概率公式，得)|(()|()()(A B P A P A B P A P B P +=)1)(()1(+++++=N M n m mN N n ．28．从区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的和小于1.2的概率．解：设x 和y 分别为所取的两个数，显然10≤≤x ，10≤≤y ，即试验的样本空间为边长为1的单位正方形，记}2.1|),{(<+=y x y x A ，由几何概型，有68.0118.08.02111)(=⨯⨯⨯-⨯=A P ．29．一个系统由4个元件联结而成(如图)，每个元件的可靠性(即元件能正常工作的概率)为r (10<<r )，假设各个元件独立地工作，求系统的可靠性．解：设=i A {第i 个元件能正常工作}，4,3,2,1=i ，=B {系统能正常工作}，则4314214321)(A A A A A A A A A A B ==，由题知r A P i =)(，i A 相互独立，4,3,2,1=i ，所以)()(431421A A A A A A P B P =)()()(4321431421A A A A P A A A P A A A P -+=)(()()()()()()()()(4321431421A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P -+=3)2(r r -=．30．某篮球运动员投篮命中的概率为0.8，求他在5次独立投篮中至少命中2次的概率．解：设=A {该篮球运动员5次独立投篮中至少命中2次}，=i B {该篮球运动员5次独立投篮中命中的次数}，5,,1,0 =i ，则由题可知5432B B B B A =，10B B A =，i B 互不相容，5,,1,0 =i ，所以)()(1)(1)(10B P B P A P A P --=-=9933.02.08.02.08.0141155005=⋅⋅-⋅⋅-=C C ．31．设概率统计课的重修率为5%，若某个班至少一人重修的概率不小于0.95，1324问这个班至少有多少名同学？解：设该班有n 名同学，=A {该班每名同学概率统计课重修}，=i B {该班n 名同学中有i 名同学概率统计课重修}，=C {该班n 名同学中至少有1名同学概率统计课重修}，则 ni i n B B B B C 121===，0B C =，由题可知05.0)(=A P ，n n n C B P C P C P 95.0195.005.01)(1)(1)(000-=⋅⋅-=-=-=，由题意，应有95.095.01=-n ，解得59=n ．32．某种灯泡使用时数在1000h 以上的概率为0.6，求3个灯泡在使用1000h 以后最多有1个损坏的概率．解：设=A {该种灯泡使用时数在h 1000以上}，=i B {3个灯泡在使用h 1000以后有i 个损坏}，3,2,1,0=i ，=C {3个灯泡在使用h 1000以后最多有1个损坏}，则10B B C =，由题知6.0)(=A P ，i B 互不相容，3,2,1,0=i ，所以648.06.04.06.04.0)()()(2113300310=⋅⋅+⋅⋅=+=C C B P B P C P ．33．甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为0.7和0.6，每人投篮3次，求：(1)二人进球数相等的概率；(2)甲比乙进球数多的概率．解：设=A {甲篮球运动员投篮命中}，=B {乙篮球运动员投篮命中}，=i A {甲篮球运动员投篮命中i 次}，3,2,1,0=i ，=i B {乙篮球运动员投篮命中i 次}，3,2,1,0=i ，=C {甲、乙进球数相等}，=D {甲比乙进球数多}，由题可知A 与B 相互独立，i A 相互独立，i B 相互独立，i A 与i B 相互独立，7.0)(=A P ，6.0)(=B P ，i i i i C A P -⋅⋅=333.07.0)(，i i i i C B P -⋅⋅=334.06.0)(，3,2,1,0=i ，(1) 30==i i i B A C ∑∑======303030)()()()()(i i i i i i i i i B P A P B A P B A P C P 3208.0=；(2)3310201)(B A B B A B A D =，从而有))(()(3310201B A B B A B A P D P =)(]([)(3310201B A P B B A P B A P ++= )()()()(33120201B A P B A P B A P B A P +++=)()()()()()()()(33120201B P A P B P A P B P A P B P A P +++=4362.0=．34．若三事件A ，B ，C 相互独立，证明：B A 及B A -都与C 相互独立．证：(1))())((BC AC P C B A P =)()()(ACBC P BC P AC P -+=)()()(ABC P BC P AC P -+=)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+=)()]()()()([C P B P A P B P A P -+=)()]()()([C P AB P B P A P -+=)()(C P B A P =所以B A 与C 相互独立．(2))())((BC AC P C B A P -=-)()(ABC P AC P -=)()()()()(C P B P A P C P A P -=)()]()()([C P B P A P A P -=)()]()([C P AB P A P -=)()(C P B A P -=，所以B A -与C 相互独立．35．设袋中有1个黑球和1-n 个白球，每次从袋中随机摸出一球，并放入一个白球，连续进行，问第k 次摸到白球的概率是多少？解：设=A {第k 次摸到白球}，=A {第k 次摸到黑球}，A 发生表示前1-k 次摸球摸到的都是白球，第k 次摸到的是黑球．前1-k 次摸球，每次摸到白球的概率均为n n 1-，第k 次摸到黑球的概率为n1，每次摸球相互独立，可知n n n A P k 1)1()(1⋅-=-，则n n n A P A P k 11(1)(1)(1⋅--=-=-．。
第1章随机事件及其概率习题解答
第1章随机事件及其概率习题解答一．选择题1．下列关系正确的是( C )．A ．．B ．．C ．0∈∅{0}∅∈{0}∅⊂．D ．{0}∅=．2．随机试验E 为：统计某路段一个月中的重大交通事故的次数，A ={无重大交通事故}；B ={至少有一次重大交通事故}；C ={重大交通事故的次数大于1}；{重大交通事故的次数小于2}，则互不相容的事件是( D )．D =A ．B 与C ． B ．A 与． C ．D B 与． D ．C 与．D D 3．设{}{}2222(,)1,(,)4P x y x y Q x y x y =+==+=，则( C )．A ．．B ．．C ．与P Q ⊂P Q <P Q ⊂P Q ⊃都不对．D ．．4P Q =4．打靶3发，事件{击中发}，i =0，1，2，3．那么事件i A =i 12A A A A 3=U U 表示( B )． A ．全部击中．B ．至少有一发击中．C ．必然击中．D ．击中不少于3发．5．设,,A B C 为随机试验中的三个事件，则A B C U U 等于( B ) ．A ．ABC U U ． B ．A B C I I ． C ．．D ．．A B C I I A B C U U 6．设A 与B 互斥(互不相容)，则下列结论肯定正确的是( D ) ．A ．A 与B 不相容． B ．A 与B 必相容．C ．．D ．()()()P AB P A P B =()(P A B P A )−=．7．设随机事件A 、B 互斥，(), (),P A p P B q ==则()P A B =U ( D )．A ．．B ．1．C ．．D ．1q q −p p −．8．设随机事件A 、B 互斥，(), ()P A p P B q ==，则()P A B =I ( A )．A ．．B ．1．C ．．D ．1p p −q q −．9．设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到戏票的概率等于( D )．A ．0 ．B ．14．C ．18．D ．15．10．设，则下列公式正确的是( C )．()0, ()0P A P B >>A ．[]()() 1(P A B PA PB −=−)． B ．( )()()P A B P A P B =⋅．C ．(|)(|P AB A P B A )=．D ．()(|P A B P B A =)．11．随机事件A 、B 适合B A ⊂，则以下各式错误的是( B )．A ．．B ．()(P A B P A =U )(|)()P B A P B =．C ．( )()P A B P A =．D ．()()P B P A ≤．12．设A ．B 为任意两个事件并适合A B ⊂，，则下结论必然成立的是( B )． ()0P B >A ．． B ．()(|)P A P A B <()(|)P A P A B ≤．C ．．D ．．()(|)P A P A B >()(|)P A P A B ≥13．已知()0.8, ()0.6, ()0.96P A P B P A B ===U ，则(|)P B A =( B )．A ．．B ．0.55．C ．0.441115． D ．． 0.4814．设,A B 相互独立，，()0.75P A =()0.8P B =，则()P A B =U ( B )．A ．0.45．B ．0.4．C ．0.6．D ．0.55．15．某类灯泡使用时数在500小时以上的概率为0.5，从中任取3个灯泡使用，则在使用500小时之后无一损坏的概率为( A )．A ．18．B ．28．C ．38．D ．48． 16．一批产品，优质品占20%，进行重复抽样检查，共取5件产品进行检查，则恰有三件是优质品的概率等于( D )．A ． ．B ．．C ． 30.230.20.8×230.210×．D ． ．32100.20.8××17．若,A B 相互独立，，()0.3P B =()0.6P A =，则(P B A )等于( B )．A ．0.6B ．0.3C ．0.5D ．0.1818．设,A B 相互独立且()0.7,()0.4P A B P A ==U ，则()P B =( A )．A ．0.5．B ．0.3．C ．0.75．D ．0.42．19．一批产品的废品率为0.01，从中随机抽取10件，则10件中废品数是2件的概率为( C )．A ．B ．210(0.01)C 22822810(0.01)(0.99)C C ． D ．8210(0.01)(0.99)C 8810(0.01)(0.99)C 20．每次试验的成功率为(01)p p <<，则在三次独立重复试验中，至少失败一次的概率为( B )．A ．3(1)p −．B ．31p −．C ．3(1)p −．D ．23(1)(1)(1)p p p −+−+−． 二．填空题21． 设A ={掷一颗骰子出现偶数点}，B ={掷一颗骰子出现2点}，则A 与B 有关系B A ⊂．22．如果A B A =U ，且AB A =，则事件A 与B 满足的关系是__ A=B ________．23．对目标进行射击，设表示恰好射中i 次的事件，(=0，1，2，3，4)．那么表示事件“射中次数___i A i 23A A A A =U U 4不小于二次(或≥2)______”24．设样本空间，则{1,2,10},{2,3,4,},{3,4,5,},{5,6,7}U A B C ====L ()A B C =U {1,2,5,6,7,8,9,10}．25．已知，()0.72P AB =()0.18P AB =，则()P A =____0.90_______．26．设,A B 是两个互不相容的随机事件，且知11(),()42P A P B ==则()P A B =U ()()()()(()()1/2P A P B P AB P A P B P A P AB +−=+−+=． 27．一批产品1000件，其中有10件次品，每次任取一件，取出后不放回去，连取二次，则取得的都是正品的概率等于99098910879100099911100×=．28．已知：．则__()0.4, ()0.3, ()0.3P A P B P A B ==−=()P A B =U _0.6_______．29．已知和，则()P A (P AB )()P A B =U 1()()P A P AB −+． 30．已知：11()()() ()() ()0416P A P B P C P AB P BC P AC ======． 则(P A B C ⋅⋅=)___3/8_______．31．已知()0.5 ()0.4 ()0.7P A P B P A B ===U ．则()P A B −=____0.3______．32．已知()0.1,()0.3,()0.2P A P B P A B ===，则(|)P A B =__4/70_______.33．已知11(),()24P A P B A ==，则()P AB =_____3/8_____． 34．已知1334(),(|),(|)35P A P B A P B A ===(|)P A B ，则=__2/7___． 35．已知12(),(),(|)25P A P B P B A 23===，则()P A B =U ___17/30_________． 36．设是随机试验123,,A A A E 的三个相互独立的事件，已知1()P A α=，2()P A β=，3()P A γ=，则至少有一个发生的概率是123,,A A A αβγαββγγααβγ++−−−+． 37．事件,A B 相互独立，且(),(01),()(01)P A p p P B q q =<<=<<，则{}P A B =U 1pq −．38．设,A B 相互独立，且知11(),()23P A P B ==，则()P A B =U ___2/3________． 39．从含有6个红球，4个白球和5个蓝球的盒中随机地摸取一个球，则取到的不是红球的事件的概率等于_______3/5______________．40．某车间有5台机器，每天每台需要维修的概率为0.2，则同一天恰好有一台需要维修的概率为145(0.2)(0.8)0.4096C =．41．一只袋中有4只白球和2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果从每只袋中独立地各摸一只球，则事件“两只球都是白球”的概率等于___1/4______．42．设袋中有两个白球和三个黑球，从袋中依次取出一个球，有放回地连续取两次，则取得二个白球的事件的概率是220.1655⋅=．43．某产品的次品率为0.002，现对其进行重复抽样检查，共取200件样品，则查得其中有4件次品的概率的计算式是p 44196200(0.002)(0.998)C ××．44．设在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则在5次重复独立试验中．A 至少发生一次的概率是51(1)p −−．三．应用计算题 45．已知()0.3P A =，()0.4P AB =，()0.5P B =，求(1)； (2)； (3)； (4)(P AB )))(P B A −(P A B U (P AB )．解：(1)由 ()0.3P A =，()()()0.4P AB P A P AB =−=得，()0.P AB =3（2）()()()0.50.30.2P B A P B P AB −=−=−=（3）()()()()0.9P A B P A P B P AB =+−=U （4）(()1()0.P P A B P A B ==−U U 1= 46. 已知3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，5.0(=B A P ，求(B A B P U ．解：由()()()0.5P AB P A P AB =−=得，()0.P AB 2=[()]()()P B A B P B A B P A B =I U U U ()()()()P A B P A P B P AB =+−I 0.20.250.8== 47. 已知41)(=A P ，31)(=AB P ，21)(=B A P ，求. )(B A P U 解：由()1()()3P AB P B A P A ==，得11()()31P AB P A 2==；又由()1()()2P AB P A B P B ==， 得1()2()6P B P AB ==，由此得 ()()()()P A B P A P B P AB =+−U 111146123=+−= 48. 某门课只有通过口试及笔试两种考试才能结业．某学员通过口试的概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为85%．问这名学生能完成这门课程结业的概率是多少？解：设A ={通过口试}，B ={通过笔试}，则这名学生能完成这门课程结业的概率为 ()()()()0.80.650.850.6P AB P A P B P A B =+−U =+−=49．一批产品总数为100件，其中有2件为不合格品，现从中随机抽取5件，问其中有不合格品的概率是多少？解：设A ={所抽取的5件没有不合格品}，则其中有不合格品的概率为598510089397()1()11990990C P B P A C =−=−=−= 50. 在区间(0,1)中随机地取两个数，求这两个数只差的绝对值小于21的概率． 解：设A ={取到的两个数只差的绝对值小于21}，又设取到的两个数分别为和x y ，则，{(,)|01,01}x y x y Ω=<<<<{(,)|||1/2}A x y x y =−<，则有11/43()0.7514A S P A S Ω−==== 51. 设某种动物由出生算起活20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4.如果现在有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？解：设A ={某种动物由出生算起活20年以上}，B ={某种动物由出生算起活25年以上}，则一只20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率为()()0.4(|)0.5()()0.8P AB P B P B A P A P A ==== 52. 设有100件产品，其中有次品10件，现依次从中取3件产品，求第3次才取到合格品的概率．解：设{第i 次取到合格品}，则第3次才取到合格品的概率为i A =123121312()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A =10990910099981078=××= 53. 有两个口袋，甲袋中盛有2个白球，1个黑球；乙袋中盛有1个白球，2个黑球.由甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球，问从乙袋取得白球的概率是多少?解：设A={从甲袋中取白球放入乙袋}，B={从乙袋取得白球}，则()()(|)()(|P B P A P B A P A P B A =+22115343412=×+×= 54. 设男女两性人口之比为51：49．又设男人色盲率为2%，女人色盲率为0.25%．现随机抽到一个人为色盲，问该人是男人的概率是多少？解：设A={男}，B={色盲}，则()(|)()P AB P A B P B =()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A =+ 0.510.020.89280.510.020.490.0025×=≈×+× 55. 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p ，求在成功次之前已经失败次的概率．n m 解：设A={前1n m +−试验中有失败}，B={n m m +次试验成功}，则在成功n 次之前已经失败m 次的概率为111()()()(1)(1)m n m m n m n m n P AB P A P B C p p p C p p −+−+−==−⋅=−m56. 加工某一零件共需经过四道工序，设各道工序的次品率分别是2%， 3%，5%，3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．解：设{第i 道工序合格}，则加工出来的零件的次品率为i A =12341234()()P P A A A A =U U U I I I 12341(P A A A A )=−I I I12341()()()()P A P A P A P A =−10.980.970.950.970.124=−×××≈。
概率论第一、二、三章习题课
1.14 （1）已知 P( A )=0.3，P(B)=0.4，P(AB )=0.5，求条 件概率 P(B|A∪ B )。 （2） 已知 P(A)=1/4， P(B|A)=1/3， P(A|B)=1/2， 求 P(A∪B)。
解： （1）因为 P(B|A∪ B )= P(B(A∪ B ))/P(A∪ B ), P(A∪ B )= P(A)+P( B )-P(A B )= 1- P( A )+1-P(B)-0.5= 0.8, P(B(A∪ B ))= P(AB)= P(A)-P(A B )= 0.7-0.5= 0.2,所以 P(B|A∪B )= 0.25｡ （2）因为 P(B|A)= P(AB)/P(A),所以 P(AB)=1/12｡又因为 P(A|B)= P(AB)/P(B), 所 以 P(B)= 1/6 ｡ 故 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)= 1/3｡
解： （1）因为 P(AB)=0，所以 P(ABC)=0。故 P(A∪B∪C)= P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) = 3/4-1/8= 5/8。
（2）P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)= 1/2+1/3-1/10= 11/15, P( A B )= 1-P(A∪B)= 4/15, P(A∪B∪C)= P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC)= 1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+1/30= 51/60， P( A B C )= 1- P(A∪B∪C)= 3/20, P( A B C)= P( A B )- P( A B C )= 7/60， P( A B ∪C)= P( A B )+ P(C)- P( A B C) = 4/15+1/5-7/60= 7/20。
第一章-随机事件及其概率习题
第一章 随机事件及其概率习题一一、填空题1．设样本空间}20|{≤≤=Ωx x ，事件}2341|{ },121|{<≤=≤<=x x B x x A ，则B A 13{|0}{|2}42x x x x =≤<≤≤ , B A 113{|}{|1}422x x x x =≤≤<< . 2. 连续射击一目标，i A 表示第i 次射中，直到射中为止的试验样本空间Ω，则Ω={}112121 n n A A A A A A A -；；；；.3．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为 121 . 4．一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个m 个次品的概率是 n N m n M n m M C C C /-- .5．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 .6．在区间〔0, 1〕中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56 ”的概率为 0.68 . 7．已知P (A )=0.4, P(B )=0.3,(1) 当A ,B 互不相容时, P (A ∪B )= 0.7; P(AB )= 0 .(2) 当B ⊂A 时, P(A+B )= 0.4 ; P (AB )= 0.3 ；8. 假设γ=β=α=)(,)(,)(AB P B P A P ,=+)(B A P 1γ-;=)(B A P βγ-; )(B A P +=1αγ-+.9. 事件C B A ,,两两独立, 满足21)()()(<===C P B P A P ABC ，φ,且P (A+B+C )=169， )(A P 则=0.25？？ . 10．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A +的概率=+)(B A P 0.7 .12．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 23 .13. 已知===）（则B A P b A B P a A P ,)|(,)( ab a - . 14. 一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品的概率 61 . 15. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是52 ,21 ,32，三人中恰好有两人合格的概率为 2/5 . 16. 一次试验中事件A 发生的概率为p , 现进行n 次独立试验, 则A 至少发生一次的概率为11n p --（）；A 至多发生一次的概率为 11(1)n n p np p --+-（） .17. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲中的概率为 0.75 .二、选择题1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A 为〔D 〕.〔A 〕“甲种产品畅销，乙种产品滞销”; 〔B 〕“甲、乙两种产品均畅销”;〔C 〕“甲种产品滞销”; 〔D 〕“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.2. 对于任意二事件不等价的是与和B B A B A = ,〔D 〕.() ; () ; () ; () .A A B B B A C AB D AB ⊂⊂=Φ=Φ3. 如果事件A ，B 有B ⊂A ，则下述结论正确的选项是〔C 〕.（A ） A 与B 同时发生; 〔B 〕A 发生，B 必发生；〔C 〕 A 不发生B 必不发生； 〔D 〕B 不发生A 必不发生.4. A 表示“五个产品全是合格品”，B 表示“五个产品恰有一个废品”，C 表示“五个产品不全是合格品”，则下述结论正确的选项是〔B 〕.() ; () ; () ; .A AB B AC C B CD A B C ====-（） 5. 假设二事件A 和B 同时出现的概率P(AB )=0则〔C 〕.〔A 〕A 和B 不相容； 〔B 〕AB 是不可能事件；〔C 〕AB 未必是不可能事件； 〔D 〕P(A )=0或P(B )=0.6. 对于任意二事件A 和B 有=-)(B A P (C ).(A) )()(B P A P -; 〔B 〕)()()(AB P B P A P +-;〔C 〕)()(AB P A P -; 〔D 〕)()()()(B A P B P B P A P -++.8. 设A , B 是任意两个概率不为0的不相容的事件,则以下事件肯定正确的〔D 〕. (A) B A 与不相容; (B)B A 与相容; (C) P(AB )=P(A )P(B ); (D) P(A −B )=P(A ).9. 当事件A 、B 同时发生时，事件C 必发生则〔B 〕.(A)()()()1;(B)()()()1;(C)()(); (D)()().P C P A P B P C P A P B P C P AB P C P A B ≤+-≥+-==+ 10. 设B A ,为两随机事件，且A B ⊂ ，则以下式子正确的选项是 (A ).〔A 〕)()(A P B A P =+; (B) )()(A P AB P =;(C) )()|(B P A B P =; (D) )()()(A P B P A B P -=-.11. 设则下列等式成立的是是三随机事件，且、、,0)(>C P C B A ( B ).() (|)(|)1; () (|)(|)(|)(|);() (|)(|)1; () (|)(|)(|).A P A C P A CB P A BC P A C P B C P AB C C P A C P A CD P A B C P A C P B C +==+-+== 12. 设B A ,是任意两事件, 且0)(,>⊂B P B A , 则以下选项必然成立的是〔B 〕.()()(|); ()()(|);()()(|); ()()(|).A P A P AB B P A P A BC P A P A BD P A P A B <≤>≥ 13．设B A ,是任意二事件,且()0P B >,(|)1P A B =,则必有〔 C 〕.(A) ()()P A B P A +>; (B) ()()P A B P B +>;(C) ()()P A B P A +=; (D) ()()P A B P B +=．14. 袋中有5个球，其中2个白球和3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为〔D 〕.1212() ; () ; () ; () .4455A B C D15. 设则,1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 〔D 〕.(A) 事件B A 和互不相容； (B) 事件B A 和互相对立；(C) 事件B A 和互不独立； (D) 事件B A 和相互独立.16. 某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为〔C 〕.222222(A)3(1); (B)6(1);(C)3(1); (D)6(1).p p p p p p p p ----三、解答题1.写出以下随机实验样本空间：(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和； (2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只〔取出后不放回〕，直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
第一、二章习题课(概率论)
第二章 随机变量及其分布
♦1. 基本概念：随机变量，离散型随机变量，连续型随 基本概念：随机变量，离散型随机变量，
机变量 ♦2.离散型随机变量及其分布律 离散型随机变量及其分布律 （1）如何求解 ） 设离散型随机变量X的可能取值为 的可能取值为x 设离散型随机变量 的可能取值为 k (k=1,2,…),事 事 件 发生的概率为 pk ,
P ( A) = 0.3, P ( B ) = 0.8, P (C ) = 0.6, P ( A U B ) = 0.9,
n−1
P ( AC ) = 0.1, P ( BC ) = 0.6, P ( ABC ) = 0.1.
试求： 试求：（1） P ( AB ) ） (2) P ( A U B U C )
1.若事件 若事件A,B是互不相容的 且 P ( A) > 0, P ( B ) > 0 是互不相容的,且 若事件 是互不相容的 则事件A,B一定不相互独立 一定不相互独立. 则事件 一定不相互独立 2. 若事件 若事件A,B相互独立 且 P ( A) > 0, P ( B ) > 0 相互独立,且 相互独立 则事件A,B一定相容 一定相容. 则事件 一定相容
事件A发生但事件 不发生 称为事件A与事件 与事件B的 事件 发生但事件B不发生 称为事件 与事件 的 发生但事件 不发生, 差事件。 差事件。 A B
S
显然有： 显然有：
A− B −
对于任意两事件A， 总有如下分解 总有如下分解： 对于任意两事件 ，B总有如下分解：
5 AI B =∅
0
则称A和 是互不相容的或互斥的 指事件A与 不 是互不相容的或互斥的,指事件 则称 和B是互不相容的或互斥的 指事件 与B不 可能同时发生。 可能同时发生。
第1章 随机事件及其概率课后题答案
1 1 , P( AB) = 0, P( AC ) = P( BC ) = ,则事件 A, B, C 4 8
解 由 P ( AB) = 0 ,得 P ( ABC ) = 0 ,故
P( A B C ) = P( A B C ) = 1 − P( A B C )
= 1 − [ P( A) + P( B) + P(C ) − P( AB) − P( BC ) − P( AC ) + P( ABC )]
( A B) C = A ( B C ) ;
③ 分配律 ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) , ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) ; ④ 德 • 摩根律 A B = A B , A B = A B , 一般地,
(2) 全概率公式 设事件组 {Bi : i ∈ I } 为 S 的一个划分,且 P ( Bi ) > 0 ( i ∈ I ),则有
P ( A) = ∑ P( A | Bi ) P( Bi ) .
i∈I
(3) 贝叶斯公式 设 {Bi : i ∈ I } 为 S 的一个划分,且 P ( A) > 0 , P ( Bi ) > 0 (i ∈ I ) ,则有
P( A1 A2 An ) = P( An | A1 A2 An −1 ) P( An −1 | A1 A2 An − 2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) .
3.全概率公式与贝叶斯公式 (1) 划分 若事件组 {Bi : i ∈ I } 满足 一个划分.
4
B
i∈I
i
= S , Bi B j = φ , (i ≠ j ) ,则称事件组 {Bi : i ∈ I } 为 S 的
概率统计 第一章习题课
14
1.39、某人有两盒火柴，吸烟时 从任一盒中取一根火柴，经过 若干时间以后，发现一盒火柴 已经用完。如果最初两盒中各 有n根火柴，求这时另一盒中还 有r根火柴的概率．
15
第七讲 第一章习题课
1
1.4、电话号码由7个数字组成，每个数字可 以是0，1，2，…，9中的任一个数字（但 第一个数字不能为0），求电话号码是由完 0 全不相同的数字组成的概率。 1.5、把10本书任意地放在书架上，求其中指 定的3本书放在一起的概率。
2
1.6、为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组 （每组10队）进行比赛，求最强的两队被分在不 同组内的概率。 1.8、将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的 概率： ⑴A——任意3个盒子中各有1个球； ⑵B——任意1个盒子中有3个球； ⑶C——任意1个盒子中有2个球，其它任意1个盒子 中有1个球。
11
1.38、射击运动中，一次射击最 多能得10环。设某运动员在一 次射击中得10环的概率为0.4， 得9环的概率为0.3，得8环的概 率为0.2，求该运动员在五次独 立射击中得到不少于48的概率。
12
1.20、在习题1.7中，求北家分到 的13张牌中： ⑴至少缺一种花色的概率； ⑵四种花色都有的概率。
5
பைடு நூலகம்
1.17、设P（A）＞0，P（B）＞0，将下列四 个数：P（A），P（AB），P（A∪B），P （A）+P（B），按由小到大的顺序排列， 用符号≤联系它们，并指出在什么情况下可 能有等式成立。 1.21、袋中有a个白球与b个黑球。每次从袋 中任取一个球，取出的球不放回，求第二次 取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。
1.34 1.34、甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中 的概率分别是0.4，0.5，0.7。如果只有一 人击中，则飞机击落的概率是0.2；如果有 二人击中，则飞机击落的概率是0.6；如果 有三人都击中，则飞机一定被击落。求飞 机被击落的概率。
教案07-第一章习题课
教学对象管理系505—13、14、15;经济系205—1、2计划学时 2 授课时间2006年3月10日；星期五；1—2节教学内容第一章习题课教学目的通过教学,使学生能够：1、复习第一章的有关概念与公式2、掌握第一章的解题方法知识：1、随机事件的概念与关系；2、概率的概念与性质；3、条件概率与乘法公式4、事件的独立性技能与态度1、掌握相应的解题方法2、理解有关概率3、能解释生活中的随机现象教学重点相关概率与解题方法教学难点解题方法的掌握教学资源教学后记培养方案或教学大纲修改意见对授课进度计划修改意见对本教案的修改意见教学资源及学时调整意见其他教研室主任：系部主任：教学活动流程教学步骤、教学内容、时间分配教学目标教学方法一、复习内容复习内容：（30分钟)1、随机事件:在随机试验中可能发生的某种结果称为随机事件2、基本事件：随机试验中每一个可能的最简单的基本结果,称为基本事件，或称为样本点，记为ω3、样本空间：随机试验中全体基本事件的集合称为这个试验的样本空间,用Ω表示。
4、必然事件在上面例1中，事件D比较特殊，它是包含所有基本事件的复合事件，它在任何一次试验中一定会发生,称这类事件为必然事件，用Ω表示。
5、不可能事件在上面例1中，事件E也很特殊,它不含有任何基本事件，它在任何一次试验中一定不发生，称这类事件为不可能事件,用Φ表示。
6、随机事件发生的含义：巩固所学知识，与技能解决作业中出现的问题提问讲解某个随机事件A 发生当且仅当A 所包含的一个样本点出现，记为ω∈Ω即：谈到事件A 发生时，是指该事件中的一个基本事件发生;反之，若事件A 中的某个基本事件发生，则事件A 发生 7、事件之间的关系与运算 (1)包含关系:若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称A 包含于B 或B 包含A ，记为A ⊂B 或B ⊃A 。
即A ⊂B ⇔{若ω∈A ，则ω∈B ｝。
（2）相等关系：如果A ⊂ B 且B ⊂ A ，即若事件A 发生能导致B 发生，且B 发生也能导致A 发生，则称A 与B 相等。
第7讲习题课_教案
第7讲习题课一、授课题目与课时概率论基本概念习题课课时：2二、教学目的与要求(1) 理解随机试验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念；(2) 理解样本空间、样本点的概念，会用集合表示样本空间和事件；(3) 掌握事件的基本关系与运算；(4) 熟练掌握古典概率的计算；(5) 熟练掌握用概率的性质求概率的方法；(6) 理解和掌握条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、事件的独立性。
通过讲解例题，回复本章相关的基本概念和理论。
三、教学重点与难点重点：古典概率的计算，乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的应用。
难点：条件概率与独立性。
四、教学内容( Contents )(一) 研究问题的思路从客观存在的两类现象——确定性现象和随机现象——出发，考察了随机试验及其随机试验的三个特点。
将每个随机试验的不可再分的基本结果定义为样本点，所有的样本点组成样本空间，样本空间的每一个子集定义为随机事件，从而将集合论的基本理论引入概率论中。
对于随机事件，首先，研究了事件之间的各种关系，提出了和事件、积事件、差事件、对立事件、互不相容事件等概念。
其次，定义了在每一次试验中事件发生的可能性大小的数量指标——概率。
第三，分析了两个事件发生的先后关系——条件概率问题。
第四，分析了两个事件或多个事件的横向影响关系，建立了事件的独立性理论。
(二) 基本概念随机试验、样本空间、随机事件、基本事件、概率、等可能概型、古典概型、几何概型、互不相容事件、条件概率、事件的独立性。
(三) 基本理论概率的一般加法公式和加法公式、条件概率、概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。
(四) 基本方法关于学习中的基本方法，应重点掌握：(1) 划分样本空间为一个完备事件组这是利用全概率公式和贝叶斯公式分析问题的基本方法。
(2) “对立事件”的分析方法当正面分析所论问题比较复杂时，常常考虑该问题的对立面。
(3) 解剖典型例题像摸球问题或随机抽样问题、分房问题或配对问题、随机取数问题等都是典型的例子，其中包含了分析问题的思路和解决问题的方法。
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17.(03考研) 已知甲乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装
有3件合格品和3件次品，乙箱乙箱中任取一件产品是次 品的概率。 18.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表, 其中女生的报名表分别为3份、7份和5份,随机地取一个地区 的报名表,从中先后抽出两份. (1)求先抽到的一份是女生表的概率p; (2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的 概率q.
P( A1 ) P( B1 ) P( A1 B1 ) P( B2 ) P( A1 B2 ) 1 10 1 18 2 2 50 2 30 5
(2)由条件概率的定义和全概率公式得
P( A1 A2 ) P( B1 ) P( A1 A2 B1 ) P( B2 ) P( A1 A2 B2 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) P( A1 ) 1 10 9 1 18 17 2 50 49 2 30 29 0.48557 2 5
概率定义 设E ---随机试验，S-----样本空间.
事件A P(A), 称为事件A的概率,
如果P(• )满足下列条件: 1 °非负性： 对于每一个事件A，有 P(A)≥0 ； 2 ° 规范性: 对于必然事件S , 有P(S)=1； 3 °可列可加性: 设A1，A2，… 是两两互不相容 的事件，即对于 i j , Ai Aj , i, j 1,2,, 则 P(A1∪A2 ∪ …)=P( A1)+P(A2 )+
3)当A
B,AB=
;P(AB)=P(B)-P(A)
8. 从一副扑克牌的13张梅花中，有放回地取3次， 132/169 则三张不同号的概率为___________. 9. 包括a、b两人在内共n个人排队，问a、b之间恰有r
人的概率
r 2 An 2 ( n 2 r 1)! n! 10.已知 0<P(A)<1,0<P(B)<1, P(A|B)+P(A|B)=1,则( D ) (A) 事件A和事件B互斥; (B) 事件A与B对立 ; (C) 事件A和事件B 不独立; (D) 事件A和B 相互独立.
则P(A B)=
0.7 ; P(B-A)= 0.2
.
7.设 P(A)=1/3,P(B)=1/2， (1)已知A、B互不相容,求P(AB),P(AB),P(A∪B) (2)已知A、B独立,求P(A∪B),P(A-B) (3)已知A与B具有包含关系,求P(AB), P(AB).
答案(1)1/2;1/6;2/3.（2）2/3；1/6 (3) 0;1/6. 提示：1) 由已知，AB= , P(AB)=0; 由概率性质3 : P(AB)=P(B)-P(AB)=1/2. P(AB)=P(A∪B) =1-P(A∪B)=1/6. P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2/3. 2) 当A、B独立,P(AB)=P(A)P(B).且A和B独立.
这种试验称为等可能概型或古典概型．
2.古典概型中事件A的概率的计算公式
k A包含的基本事件数 P( A) n S中基本事件的总数
几个重要公式
1.条件概率
2.乘法公式 3.全概率公式
P( AB) P( B A) , P( A) 0 P( A) P(AB)=P(B|A)P(A) (P(A)>0)，
P ( A) 0, P ( B) 0, 则A、B互斥与A、B相互独立不能
同时存在.
4. 若事件A和 Bi (i
n i 1
1,2,, n) 独立, 且 Bi B j (i j )
则事件A和 B i 独立.
典型习题
1. 从大批产品中取产品检验，设事件Ak表示“第k次取到 合格产品”(k=1,2,3)，用A1,A2,A3表达下列各事件. (1) A表示“仅第一次取到合格产品”. (2) B表示“第一次取到不合格产品,第二、三次至少有一次 取到合格产品”. 解：(1) (2)
A1 A2 A3
A1 ( A2 A3 )
2．对于任意两事件A和B,有 P(A-B)= ( ). (A) P(A)-P(B); (B) P(A)-P(B)+P(AB) ; (C) P(A)-P(AB); (D) P(A)+P(B)- P(AB).
答案：C 解析：直接利用概率性质（3）
3．对于任意两事件A和B,若有 P(AB)=0,则下列命 题正确的是 ( ). (A) A与B互斥 ; (B) A与B独立; (C) P(A)=0,或P(B)=0; (D) P(A-B)= P(A) .
(6) (加法公式)
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-
等可能概型(古典概型)
1.定义： 设E是试验，S是E的样本空间，若 (1) 试验的样本空间的元素只有有限个； (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 ) P( Ai2 ) P( Aik )
则称这n个事件相互独立.
独立的性质:
1. 设A和B是两个事件,且P(A) ＞0.若A和B相互独立,则
P(B/A)=P(B).反之亦然.
2. 若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立: A与B, A与B, A与B 3.
( 1 ) p P(A1 ) 29 90
i 1
3
1 3 7 5 P ( H i ) P ( A1 H i ) 3 10 15 25
(2)由全概率公式得
7 8 20 P (A2 H1 ) , P (A2 H 2 ) P (A2 H 3 ) 10 15 25 7 8 5 P (A1 A2 H1 ) , P (A1 A2 H 2 ) , P (A1 A2 H 3 ) 30 30 30 3 1 7 8 5 61 P( A2 ) P( H i ) P( A2 H i ) 3 10 15 25 90 i 1
A4 表示正面两次。则事件(
A C. 互相独立 A1 , A2 , A3 两两独立 A1 , A2 , A3 B. D.
C )
A2 , A3 , A4 互相独立 A2 , A3 , A4 两两独立
13. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄，30个白，今有两人依
次从袋中取出一球，取出后不放回，问第二人取得黄球的概 20/50 率_____________ 。
11. 设A、B、C是三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的 充分必要条件是( A A．A与BC独立 C.AB与AC独立 )
B.A与 A C 独立 D. A B 与
A C 独立
12. 将一枚硬币独立抛掷两次， A1
A2 表示掷第一次出现正面，
表示掷第二次出现正面， A3 表示正、反面各一次，
j 1
n
j ) P( B j )
独立性
定义1 设A,B是两事件,如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B)， 则称事件A,B为相互独立的随机事件.
定义2 设A1,A2...An是n个事件，如果对于任意的1≤i<j≤n,
P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) 则称这n个事件两两相互独立.
定义3 如果对于任意的k(k≤n),及任意的2≤i1<i2<...<ik≤n,
i 0 2
P( B0 A) 2）由贝叶斯公式：
P( A B0 ) P( B0 ) P( A)
≈0.85
15. 假设有两箱同种零件,第一箱内装50件,其中有10件一等品; 第二箱内装30件,其中有18件一等品.现从两箱中随意挑出一箱, 然后从该箱中先后不放回地随机取出两个零件,试求(1)先取出 的是一等品的概率;(2)在先取出一等品的条件下,第二次仍取得 一等品的概率. 解: (1)设Ai表示事件“第i次取到一等品” Bi表示事件 “被挑出的是第i箱”(i=1,2) 则由全概率公式得
18.解：设Hi表示事件“报名表是第i区考生的”i=1,2,3 Aj表示事件“第j次抽到的报名表是男生表”j=1,2 则
P( H1 ) P( H 2 ) P( H 3 ) P( A 1 H1 ) 1 3
7 8 20 ,P( A H ) P( A H ) 1 2 1 3 10 15 25
14.设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0,1,2个次品的概
率分别为0.8，0.1，0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，由 售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4个。若无次品， 则买一箱玻璃杯，否则不买。 求：1）顾客买此箱玻璃杯的概率； 2）在顾客买的此箱玻璃杯中,确实没有次品的概率。
答案：1）0.94 ; 2) 0.85. 解：设 Bi ={箱中恰好有i件次品},i=0,1,2. A={顾客买下所查看的一箱} 由题设可知：P(B0 )=0.8, P( B1 )=0.1; P( B2 )=0.1. 4 4 C 12 B0 )=1; P(A∣B1 )= C19 4 ; P(A∣ P(A∣ B2 )= 18 4 4 C 19 20 C20 5 1）由全概率公式：P(A)= P( A Bi ) P( Bi ) ≈0.94
第一章 主 要 内 容
事件间的关系与事件的运算
(一)事件间的关系 1. 事件的包含(子事件)：AB;
2.事件的和：A∪B
3.事件的积: AB;
4. 差事件: AB=A-B=A-AB
5. 互斥事件(互不相容事件):AB=
6. 互逆事件: AB= 且A∪B=S
•
事件的运算法则
1. 交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A ． 2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ． 3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ;