旋转型相似三角形应用的分析方法

旋转型相似三角形应用的分析方法

∠BAD=∠CAE，∠ACB=∠AED=> △ABC∽△ADE，

△ABD∽△ACE=> AB•AE=AC•AD

在几何问题中，出现了由一点发出的四条两两交成等角的成比例线段时，就要应用旋转型相似三角形进行证明，找相似三角形的方法是将由这个公共端点发出的四条两两交成等角的成比例线段两两组成相似三角形，也就是将成比例的四条线段的端点两两连结得到相似三角形，且可以得到两对旋转型相似三角形。

由于由同一点发出的四条线段，总有顺序关系，而1、4和2、3组成的三角形是不相似的，所以必定是两种可能：即1、2和3、4组成相似三角形；1、3和2、4组成相似三角形，也就相应地得到这两对同时出现的旋转型相似三角形。

在几何问题中，出现了由一点发出的四条两两交成等角的成比例线段会出现一种特殊情况，就是其中的两条相乘线段重叠在角平分线上时，仍然要应用旋转型相似三角形进行证明，找相似三角形的方法也仍然是将由这个公共端点发出的四条两两交成等角的成比例线段两两组成相似三角形。

例1，已知：⊙O与⊙O'相交于A、B，⊙O的弦AC交⊙O'于D，⊙O'的弦AE交⊙O于F，连结BC、BD、BE、BF．

求证：BC•BE=BD•BF

分析1：本题要证明的结论BC•BE=BD•BF

是线段之间的比例关系，

所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位

置关系，

经过描图可以发现这是由同一点B发出的四条成比例线段，同时通过观察可以判断它们是两两交成等角的，从而可应用旋转型相似三角形进行证明，根据由B发出的四条成比例线段BC、BD、BF、BE两两组成相似三角形的方法，如选取BC、BD组成△BCD，那么BF、BE就应组成△BFE，

如选取BC、BD组成△BCD，那么BF、BE就应组成△BFE，问题也就成为应证△BCD 和△BFE相似，

由条件A、C、B、F四点共圆，且A、F、E成一直线，所以∠BCD=∠BFE，根据同样的道理，由A、D、B、E四点共圆， A、D、C成一直线，又可得∠BDC=∠BEF，所以△BCD和△BFE相似就可以证明，分析就可以完成。

分析2：如选取BC、BF组成△BCF，那么BD、BE就应组成△BDE，但现在图形中这两个三角形都还未出现，所但现在图形中这两个三角形都还未出现，所以应先将这两个三角形添完整，也就是连结CF、DE，问题也就成为应证△BCF和△BDE 相似，

由于∠BFC是⊙O的一个圆周角，所以就可以应用或添加圆周角的基本图形进行证明，现在图形中∠BFC所对的弧BC所对的另一个圆周角尚未出现，所以应先将这个圆周角添上，也就是连结AB，于是由条件给出的A、C、B、F四点共圆，就可得∠BFC=∠BAC，又因为A、D、B、E四点共圆，又可得∠BAD=∠BED，所以∠BFC=∠BED，根据同样的道理，由A、C、B、F四点共圆，可得∠BCF=∠BAF，由A、D、B、E四点共圆，可得∠BDE=∠BAE，所以∠BCF=∠BDE，所以△BCF和△BDE相似就可以证明，分析就可以完成

例2，已知：△ABC内接于⊙O，AD⊥BC垂足是D，AE是⊙O的直径．

求证：AB•AC=AD•AE

分析1：本题要证明的结论AB•AC=AD•AE，是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现这是由同一点A

发出的四条成比例线段，同时通过观察可以判断它们是两两交成等角的，

从而可添加旋转型相似三角形进行证明，

从而可添加旋转型相似三角形进行证明，添加的方法是将由A发出的四条成比例线段AB、AC、AD、AE两两组成相似三角形，如选取AC、AD组成△ACD，那么AE、AB就应组成△AEB，于是连结BE，问题就成为应证△ABE和△ADC相似，由条件AE是⊙O的直径，B 是半圆上的一点，所以应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质，可得∠ABE=90°，而由条件AD是△ABC的高，又可得∠ADC=90°，所以∠ABE=∠ADC=90°，又因为∠AEB和∠ACD是同弧所对的圆周角，当然相等，所以△ABE和△ADC相似就可以证明，分析就可以完成。

分析2：如选择AB、AD组成△ABD，那么AE、AC就应组成△AEC，于是连结CE，问题就成为应证△ABD和△AEC相似，由条件AE是⊙O的直径，C是半圆上的一点，所以应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质，可得

∠ACE=90°，而由条件AD是△ABC的高，又可得∠ADB=90°，所以

∠ADB=∠ACE=90°，又因为∠ABD和∠AEC是同弧所对的圆周角，当然相等，所以△ABD和△AEC相似就可以证明，分析就可以完成。

例3，已知：⊙O与⊙O'相交于A、B，过B作直线交⊙O于C、交⊙O'于D，连结AO、AC、AO'、AD，

求证：AO•AD=AC•AO'

分析1：本题要证明的结论AO•AD=AC•AO'，是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现这是由同一点A发出的四条成比例线段，同时通过观察可以判断它们是两两交成等角的，从而可应用旋转型相似三角形进行证明，根据由A发出的四条成比例线段AO、AD、AC、AO'两两组成相似三角形的方法，如选择AO、AO'组成△AOO'，那么AC、AD就应组成△ACD，但现在图形中△AOO'还未出现，所以应先将这个三角形添完整，也就是连结OO'，问题也就成为应证△AOO'和△ACD相似，于是首先考虑证明∠AOO'=∠ACD，由于OO'是相交两圆的连心线，所以就想到要应用相交两圆的性质，也就是连心线垂直平分公共弦的性质进行证明，但现在图形中公共弦尚未出现，所以应先将公共弦添上，也就是连结AB，就可得OO'垂直平分AB，OO'平分弧AB，于是由∠AOO'是⊙O的一个圆心角，可得∠AOO'的度数=1/2（☉O的）弧AB的度数，而由∠ACB 是⊙O的一个圆周角，也可得∠ACB的度数=1/2（☉O的）弧AB的度数，所以∠AOO'=∠ACD，根据同样的道理，又可得∠AO'O=∠ADC，所以△AOO'和△ACD相似就可以证明，分析就可以完成。