相似基本型旋转型

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相似圆形几种基本模型

相似圆形几种基本模型引言相似圆形是指半径不同但形状相似的圆形。

在几何学中，相似圆形有着广泛的应用，可以用来描述自然界中的物体，如天体的轨道、水滴的形状等。

本文将介绍相似圆形的几种基本模型，包括等比例圆形、平移圆形和旋转圆形。

等比例圆形等比例圆形是指半径与比例因子成正比例关系的圆形。

假设有两个相似圆形，半径分别为 r1 和 r2，比例因子为 k，那么这两个圆形可以表示为：圆形 A（半径为 r1）和圆形 B（半径为 r2 = k *r1）。

在等比例圆形中，如果半径成正比增长，则面积也会成正比增长。

例如，若半径的比例因子 k 为 2，则面积的比例因子也为 2^2 = 4。

这意味着当半径从 r1 增加到 2 * r1 时，面积将增加到 4 倍。

这种关系在建模和设计中具有重要的应用。

平移圆形平移圆形是指圆形在平面上进行平移后所形成的新圆形。

平移是指通过移动整个圆形的位置，而不改变其半径。

平移圆形的性质是保持不变的，仍然满足相似的几何关系。

在平移圆形中，两个相似的圆形之间的对应点保持不变，只是整个圆形平移了一段距离。

这种改变只影响了圆形的位置，而不改变其大小和形状。

平移圆形通常被用于建立圆形的轨道和路径，以及解决与位置有关的几何问题。

旋转圆形旋转圆形是指圆形在平面上进行旋转后所形成的新圆形。

旋转是指通过围绕一个中心点旋转圆形，使其半径保持不变。

旋转圆形的性质同样保持不变，仍然满足相似的几何关系。

在旋转圆形中，圆形的大小和形状保持不变，只是整个圆形围绕一个中心点旋转了一定角度。

旋转圆形常见于建模和设计中，用于创建各种圆弧和曲线形状，以及解决与旋转有关的几何问题。

结论相似圆形是在半径不同但形状相似的圆形中运用几何学原理的重要概念。

等比例圆形、平移圆形和旋转圆形是相似圆形的基本模型，它们在建模、设计和解决几何问题中有着重要的应用。

了解相似圆形的基本模型可以帮助我们理解它们的性质和特点，从而在实际问题中更好地应用。

初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形OB C DE图 1OABCD E图 2OABCDE图 1OACDE图 2OCDEOD E【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ；OAB COBCDEOB CDEOA CD③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ；③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=AOBCDE 图 1A OBCDEM N图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。

相似三角形几种基本模型

相似三角形几种基本模型经典模型“平行旋转型”图形梳理：AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’F'CBBCAEF 旋转到AE‘F’ABCAEF 旋转到AE‘F’特殊情况：B 、'E 、'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAB CEFE'F'AEF 旋转到AE‘F’C ，'E ，'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’CBA相似三角形有以下几种基本类型： ① 平行线型常见的有如下两种，D E ∥BC ，则△ADE ∽△ABCBC② 相交线型常见的有如下四种情形，如图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADE ∽△ABCC如下左图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADC ∽△ACB 如下右图，已知∠B=∠D ，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE ∽△ABCBC③ 旋转型已知∠BAD=∠CAE ，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，下图为常见的基本图形．C④ 母子型已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ABCD E12AAB BCC DDEE12412B(3)DB(2)D（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

2、几种基本图形的具体应用：（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（4）当AD AEAC或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．BEACD12BBC(D)。

相似旋转模型典型例题

相似旋转模型典型例题摘要：一、相似旋转模型的概念和基本原理1.相似旋转模型的定义2.相似变换的基本原理二、相似旋转模型的典型例题解析1.例题一：求解相似旋转模型中的角度和比例因子2.例题二：利用相似旋转模型求解空间几何问题3.例题三：利用相似旋转模型求解立体图形的表面积和体积三、相似旋转模型的应用领域1.在机械工程中的应用2.在建筑设计中的应用3.在其他领域的应用正文：相似旋转模型是一种将一个图形通过旋转、缩放等变换，使其与另一个图形相似的模型。

这种模型在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。

本文将详细解析相似旋转模型的基本原理，并通过典型例题解析，帮助大家更好地理解和运用相似旋转模型。

一、相似旋转模型的概念和基本原理1.相似旋转模型的定义相似旋转模型是指通过旋转、缩放等变换，使得两个图形达到相似的状态。

在数学中，相似是指存在一个非零常数k，使得两个图形对应的边成比例。

2.相似变换的基本原理相似变换包括旋转变换、缩放变换和错切变换。

其中，旋转变换是通过一个固定点将一个图形旋转到另一个图形；缩放变换是通过一个固定点将图形沿某一方向进行缩放；错切变换是在某一方向上对图形进行缩放，同时沿垂直于该方向的方向进行平移。

二、相似旋转模型的典型例题解析1.例题一：求解相似旋转模型中的角度和比例因子已知两个相似的直角三角形ABC和DEF，其中∠BAC = ∠DFE = 90°，AB = 2，BC = 4，求旋转角和比例因子。

解析：根据相似三角形的性质，对应边成比例，得到比例因子k = AB/DF = 2/DF。

同时，由于两个三角形相似，它们的旋转角相等，即∠BAC =∠DFE。

通过解方程可得旋转角为90°，比例因子为2。

2.例题二：利用相似旋转模型求解空间几何问题已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB = 2，BC = 4，AA1 = 6，求与长方体相似的立方体ABCDEF-A1B1C1D1的边长。

平面几何中的相似变换与旋转

平面几何中的相似变换与旋转相似变换和旋转是平面几何中常见的两种基本变换方式，它们在几何形状的变化和推导中起着重要的作用。

本文将介绍相似变换和旋转的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、相似变换的概念和性质相似变换是指在平面上保持形状相似的一种变换。

在相似变换中，相似的两个图形之间对应部分的边长比值相等，并且对应的角度相等或相似。

相似变换包括平移、缩放和旋转这三种基本形式。

1. 平移变换平移变换是指以一个向量为基础，将平面上的点移动到另一个位置的变换方式。

平移变换保持图形的大小和形状不变，只改变了位置。

平移变换的向量表示为T(x, y) = (x + a, y + b)，其中a和b分别是平移向量在x轴和y轴上的分量。

2. 缩放变换缩放变换是指通过改变图形的尺寸来进行形状变换。

缩放变换可以使图形变大（放大）或变小（缩小），但不改变图形的形状。

缩放变换的中心可以是任意一点，缩放比例可以是正数也可以是负数。

3. 旋转变换旋转变换是指以某个点为中心，按照一定的角度将平面上的点旋转到另一个位置的变换方式。

旋转变换保持图形的大小和形状不变，只改变了方向。

旋转变换的角度表示为θ，旋转变换的中心可以是任意一点。

相似变换具有以下性质：a. 保持图形的大小和形状不变；b. 保持两个相似图形之间的距离比值不变。

二、相似变换的应用相似变换在实际问题中具有广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明。

1. 地图测绘在地图测绘中，常常需要将现实中的三维地貌转化为二维平面地图。

这个过程就是通过相似变换将地球表面上的点映射到平面上的点。

在相似变换中，地球表面上不同地点之间的相对位置、距离和形状关系都能够得到保持。

2. 建筑设计在建筑设计中，相似变换用于设计图纸的制作。

通过缩放变换，可以将实际尺寸较大的建筑物缩小到合适的比例尺，使之能够在图纸上表示清楚。

同时，建筑物的不同层次也可以通过缩放变换进行调整，以展现建筑物的整体效果。

3. 几何推导在几何推导中，相似变换是一种重要的思维方式。

相似基本型旋转型

相似基本型旋转型
contents
目录
• 相似基本型旋转型概述 • 相似基本型旋转型的分类 • 相似基本型旋转型的数学模型 • 相似基本型旋转型的实现方法 • 相似基本型旋转型的应用案例 • 相似基本型旋转型的未来展望
01
相似基本型旋转型概述
定义与特点
定义
相似基本型旋转型是一种数学概念，它描述了在一定变换下，两个或多个数学对象之间的相似性。
训练与调优
通过训练模型，不断调整模型参数和结构，以提高模型的性能和准确性，实现相似基本型旋转型的逼近。
05
相似基本型旋转型的应用案例
在机器人领域的应用案例
机器人导航
利用相似基本型旋转型算法，机器人可以在未知环境中进行高效导航，实现自主移动。
机械臂控制
通过相似基本型旋转型的算法，可以精确控制机器人的机械臂，实现复杂动作的执行。
性不变。
高阶多项式表示
非线性变换可以用高阶多项式表示，通过多项式函数可以将一个
形状进行复杂的扭曲和变形。
参数化表示
非线性变换可以使用参数化表示，通过调整参数可以控制形状的变
形程度和方向。
自组织相似基本型旋转型的数学模型
自组织网络
自组织相似基本型旋转型是指通过自组织网络将一个形状映射到另一个形状，自组织网络能够根据输入数据的特性进行自我调整和优化。
非线性相似基本型旋转型是指两个或多个具有相似基本型的旋转矩阵之间存在非线性关系。
非线性相似基本型旋转型可以通过非线性变换来描述，例如仿射变换、透视变换等。
非线性相似基本型旋转型在计算机视觉、机器人学和图形识别等领域有广泛应用。
自组织相似基本型旋转型
自组织相似基本型旋转型是指通过自组织算法学习得到的旋转矩阵之间存在相似性。

几何形的旋转与相似

几何形的旋转与相似几何形的旋转与相似是几何学中的基本概念，它们在许多数学问题和实际应用中都起着重要的作用。

本文将介绍几何形的旋转和相似的定义、性质以及常见的应用。

1. 旋转旋转是指围绕某一点进行旋转操作，使得原有的图形按照一定的角度和方向进行移动。

我们可以通过几何运算的方式来描述旋转变换。

设有一点O为旋转中心，角度为θ，若点P相对于点O的旋转变换后的位置为P'，则P'可以通过以下公式计算得到：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中(x, y)为点P的坐标，(x', y')为点P'的坐标。

旋转变换可以将图形绕某一中心进行旋转，保持图形的形状和大小不变。

在实际应用中，旋转变换常被用于计算机图像处理、航空航天等领域。

2. 相似相似是指两个图形在形状上相似，但大小可以不同。

具体而言，若两个图形的对应角度相等，则称它们为相似图形。

对于平面图形，我们可以通过比较它们的对应边长的比值来判断是否相似。

设有两个相似图形A和B，分别具有对应边长a和b，若它们的对应边长比值为k，则可以得到以下公式：k = a / b根据相似的定义，我们可以推导出相似图形之间的性质。

例如，相似三角形的对应角度相等，对应边长成比例，面积成比例等。

相似性是几何形变换中的重要概念，它在图像压缩、模型放大缩小等领域有着广泛的应用。

3. 应用案例几何形的旋转与相似在实际应用中有着广泛的应用。

以下是其中一些常见的应用案例：3.1 建筑设计在建筑设计中，旋转和相似变换被广泛运用于建筑物的设计和布局。

设计师可以利用旋转变换来调整建筑物的方向、空间布局等，以实现更好的设计效果。

同时，相似变换也被用于模型的缩放和变形，帮助设计师更好地进行建筑规划。

3.2 机器人技术在机器人技术中，旋转变换被用于控制和定位机器人的运动。

通过旋转变换，机器人可以精确地调整自身的方向和位置，实现更准确的目标定位和路径规划。

旋转相似全等总结

旋转、相似、全等总结概述在几何学中，旋转、相似和全等是非常常见的概念。

它们描述了几何形状之间的关系。

本文将对这三个概念进行总结并解释它们之间的区别和关联。

旋转旋转是指将一个几何形状绕着一个点或轴旋转一定角度所得到的新形状。

几何形状绕着旋转中心旋转可以得到原始形状的一系列相似形状。

在旋转中，旋转中心是一个固定不变的点，而旋转角度可以是正数也可以是负数。

旋转可以改变形状的朝向和位置。

同时，旋转也可以改变形状的大小，但保持形状的比例关系不变。

旋转可以通过旋转矩阵或旋转公式来描述。

旋转矩阵是一个二维矩阵，通过矩阵乘法可以实现对坐标点的旋转操作。

旋转公式通过对坐标点的坐标变换来描述旋转操作。

相似相似是指两个几何形状在形状上保持一致，但可能在大小上有所差异。

相似形状具有相同的形状，但可能经过缩放或扩大来改变大小。

相似形状的比例关系是保持不变的，即对应线段之间的比例与两个形状之间的比例相同。

相似形状可以通过缩放或扩大来获得，同时可能还包括平移和旋转操作。

相似性可以用相似比例来描述。

相似比例是两个相似形状之间对应线段长度的比值。

如果两个形状的相似比例为a:b，则两个形状的长度、面积和体积之间的比例也是a:b。

相似形状的相似比例可以通过对形状的坐标点进行缩放或扩大的操作获得。

全等全等是指两个几何形状在形状和大小上完全相同。

全等形状是严格相等的，它们的长度、角度和面积等所有属性都相同。

全等形状之间的对应线段和角度是相等的，它们的所有点之间的距离也是相等的。

全等形状可以通过平移、旋转和镜像操作来获得。

全等性是几何学中的一条基本公理。

如果两个形状是全等形状，则它们的所有属性都是相等的。

全等形状之间没有缩放或拉伸的变化。

区别和关联旋转、相似和全等是描述几何形状之间关系的概念，它们之间存在一定的区别和关联。

首先，旋转是指将一个形状绕着一个点或轴旋转一定角度所得到的新形状。

旋转可以改变形状的朝向和位置，但保持形状的比例关系不变。

20171005相似三角形几种基本模型

相似三角形基本模型经典模型“平行旋转型”图形梳理：AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’F'CBBCAEF 旋转到AE‘F’ABCAEF 旋转到AE‘F’特殊情况：B 、'E 、'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAB CEFE'F'AEF 旋转到AE‘F’C ，'E ，'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’CBA母子型已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、B(3)DB(2)D“反A 共角共边型”、 “蝶型”）（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

（5）母子型已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．2、几种基本图形的具体应用：（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC（2）射影定理若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=AD ·AB ，CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·AB ；（3）满足1、AC 2=AD ·AB ，2、∠ACD=∠B ，3、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ．（4）当AD AEAC或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE∽△ACB ．BEACD12ABCD E12AAB BCC DD EE12412BBC (D)。

“旋转、相似”的组合运用

△E4C都是既有旋转变换( 绕点C旋转) ，又有相似变换，符合“旋转、相似”特点，因此这两对
三角形可看作都是 “旋转、相似 ”变换． 2．“旋转、相似”变换的基本功能
我们知道教材编排的“旋转”这块内容对学生的空间观念、空间思维及对几何推理的促进有着莫大的帮助，特别是在解决图形旋转过程中有关量之间关系，如相等的线段、相等的角、对应点的运动轨迹等，需要学生深入了解问题
把旋转、相似两种变换结合起来进行分析、解
说，这对学生的空间思维和逻辑推理能力的提
高有一定的限制．
本人根据平时遇到的一些“旋转”、“相似”
题型，结合自己的教学想法，略述“旋转”、“相
似”有效结合在实战中的妙用，供参考．
1．“ 旋转、相似” 变换的基本涵义
我们知道 “旋转 ”变换后的两个图形关系
解
为
：△
A0
1
0
3放大√2一倍，逆时针
厶
旋转45。得到△ABJ，即线段01 03放大√2倍后，再逆时针旋转45。得到BJ ；同理可理解：由
5
△BCJ ∽△02cA，看作△BcJ 放大等倍后，再厶
眄
逆时针旋转45。得到△02CA，即BJ 放大等倍厶
后，再逆时针旋转45。得到A02，因此01 03= A02，01 03上A02．
将会提升到一个深层次，有助于学生的几何综
上海中学数学· 2008年第 4期
合能力的整体提高，也为学生学好三维几何打
下一定的基础．
3． “旋转、相似”变换的实战妙用
“旋转、相似”变换的解题目的在于在解答
有关有旋转和相似内容相结合的问题时，能把

“旋转型”相似的解题策略探究

“旋转型”相似的解题策略探究“旋转型”相似是两个三角形相似常见的基本图形之一，本文对教材的例题、习题加以整合，让我们一起来探索“旋转型”相似常见的解题策略.【引例】如图1，△ABD与△CBE中，已知∠1=∠2，要使△ABD与△CBE相似，还需添加什么条件？【分析】△ABD与△CBE有公共顶点B，△ABD可看成把△CBE绕点B旋转某一角度，按一定比例缩放而形成的，这类基本图形我们称之为旋转型相似，已知一组角对应相等，只需再添加一对角，或这对角的两边对应成比例.解：可添加∠A=∠C或∠D=∠E或= .【拓展1】如图2，△ABD与△CBE中，已知∠1=∠2，∠3=∠4，△DBE与△ABC相似吗？为什么？【分析】本题在引例的基础上略有延伸，可以看出引例的基本图形仍然存在，易证得△ABD∽△CBE，二者为旋转型相似.△DBE与△ABC有公共顶点B，在公共顶点处的∠DBE与∠ABC可证得相等，只要再证一对角相等或夹∠DBE的两边和夹∠ABC的两边成比例，而夹∠DBE的两边和夹∠ABC的两边就是△ABD与△CBE的两组对应边.解：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴△CBE∽△ABD，（两角分别相等的两三角形相似）∴= .（相似三角形的对应边成比例）又∵∠1=∠2，∴∠DBE=∠ABC，在△DBE与△ABC中，∵= 且∠DBE=∠ABC，∴△DBE∽△ABC.（两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似）【点评】利用旋转型相似得出公共顶点处对应边成比例，最后证得新三角形相似.【拓展2】如图3，在直角三角形ABC中，∠A=30°，将其绕直角顶点C逆时针旋转一定角度得到Rt△A′B′C，在旋转的过程中，边A′C与边AB交于点D，过点D作DE ∥A′B′交CB′于点E，连接BE. 设AD=x，BE=y，求y与x 之间的函数关系式.【分析】本题虽然是△ABC绕点C旋转，亦可以看作是△DEC绕点C旋转，不难判断△DEC和△ABC是旋转型相似，则由△DEC和△ABC相似易证△CEB和△CDA相似，再由相似三角形的对应边成比例即可得y与x之间的函数关系式.解：由题意得∠ECD=∠BCA，∠A=∠A′，∵DE∥A′B′，∴∠CDE=∠A′，∴∠CDE=∠A.又∵∠ECD=∠BCA，∴△DEC∽△ABC，∴= .∵∠DCE=∠ACB，∴∠BCE=∠ACD.∵= 且∠BCE=∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴= .∵∠A=30°，∴= = ，∴y= x.【点评】求线段之间的函数关系式常常利用相似三角形的对应边成比例来解决.【拓展3】如图4，矩形CEFG和矩形ABCD有公共顶点C，并且矩形CEFG∽矩形CDAB，连接BG、DE，交点为O，BG与边CD相交于点H，判断BG和DE的位置关系并说明理由.【分析】判断BG和DE的位置关系可以从角入手.本题中存在旋转型相似矩形，则可以证得△BCG与△DCE相似，根据相似三角形的对应角相等，可以得到∠CBG=∠CDE，如此则易证∠CDE+∠DHO=90°.解：∵矩形CEFG～矩形CDAB，∴∠BCD=∠GCE=90°，= ，∴∠BCG=∠DCE.在△BCG与△DCE中，∵= 且∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHO=90°，∴∠DOH=90°，∴BG⊥DE.【点评】本题条件变成了矩形相似，根据相似的性质仍然可得对应边成比例，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明新三角形相似，然后可根据相似三角形的对应角相等解决角的关系.【总结】旋转型相似往往会出现两次相似的证明，两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似是旋转型相似第二次相似中常用的证明方法之一，审题的关键是抓住公共点处的对应角和对应边，此类问题的第二次相似常利用由旋转型相似证得的对应边成比例.可以归纳成：旋转型两三角形相似→对应边成比例→新三角形的两边对应成比例及夹角相等→新三角形相似→新三角形的对应边成比例或对应角相等解决问题.（作者单位：江苏省常州市金坛区直溪初级中学）。

八下15讲相似基本模型3旋转“手拉手”与位似形

八下15讲相似基本模型3旋转“手拉手”与位似形写在前面前两讲中，我们主要介绍了相似中最常见的4种模型，A型，X型，母子形，一线三等角型．这一讲，我们介绍最后的2种，涉及图形的变化，即旋转“手拉手”和位似形．一、模型建立旋转型小结：旋转全等变化必有一对全等三角形，另一对相似的等腰三角形．旋转型小结：旋转放缩变化，必有两对相似三角形．二、实战分析例1：分析：解答：例2：分析：解答：三、模型再建立位似型小结：四、实战再分析例3：如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是_____．分析：无论是根据一个图形和已知的位似中心，画位似图形，还是给出2个位似图形，确定位似中心的位置，我们都分两种情况确定对应点，且对应点的连线必然交于位似中心．当两个图形在位似中心同侧，则C、F对应，B、E对应，D、G对应，A、O对应．当两个图形在位似中心两侧，则C、O对应，B、G对应，D、E 对应，A、F对应．不难发现同侧情况下，D、G，A、O交点在x轴上，不妨求出CF 连线所在直线的解析式，其与x轴交点即为位似中心．而在两侧情况下，可以选取较为好求交点的两条直线，如CO，DE．解答：例4分析：(1)利用位似图形的性质，连接AP并延长交BC于点P′，再以P′为一个顶点，即可作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如图①所示；(2)根据正方形E′F′P′N′上方小三角形与整个大三角形相似，高之比等于相似比，建立方程求得正方形E′F′P′N′的边长；(3)利用好特殊角60°，能表示出AD，DE，EF，FB的长，四条线段长度之和为定值，则可以得知两正方形的边长之和为定值，则周长也为定值．解答：(1) 正方形E′F′P′N′即为所求例5分析：(1)问两空都不难，主要在于(2)问的图形看着较为复杂，但实际是纸老虎，因为已经提醒你两对三角形旋转相似了，因此，把两次旋转相似变换的表示方法求出来，找到其中的旋转角和放缩情况，题目也不难矣．解答：(1) ①2，60° ②2还有。

相似三角形中的旋转型相似模型

相似三角形中的旋转型相似模型旋转型相似模型是相似三角形中的一种特殊情况，它描述了两个相似三角形之间的旋转关系。

在这篇文章中，我们将探讨旋转型相似模型的基本概念、性质和应用。

让我们来了解旋转型相似模型的基本概念。

旋转型相似模型是指两个相似三角形之间存在一个旋转变换，使一个三角形可以通过旋转得到另一个三角形。

在旋转型相似模型中，相似三角形的对应顶角相等，对应边的比例相等。

这意味着，如果我们知道一个相似三角形的比例因子和旋转角度，我们就可以通过旋转变换得到另一个相似三角形。

旋转型相似模型的性质主要包括以下几个方面。

首先，旋转变换不改变角度的大小，因此相似三角形的对应顶角相等。

其次，旋转变换不改变线段的长度比例，因此相似三角形的对应边的比例相等。

最后，旋转变换保持平面上的点不变，因此相似三角形的对应顶点位置相对于旋转中心保持不变。

旋转型相似模型的应用非常广泛。

在几何学中，我们经常使用旋转型相似模型来解决与相似三角形相关的问题。

例如，我们可以利用旋转型相似模型来计算未知边长或角度的值，或者在解决几何证明问题时使用旋转型相似模型来推导结论。

此外，在实际应用中，旋转型相似模型也有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，我们可以使用旋转型相似模型来调整建筑物的比例和形状，以满足不同的需求。

在使用旋转型相似模型时，我们需要注意一些要点。

首先，我们需要确定旋转中心和旋转角度，以确保旋转变换正确进行。

其次，我们需要注意相似三角形的对应顶角和对应边的关系，以便正确应用旋转型相似模型的性质。

最后，我们需要进行准确的计算和推导，以得出正确的结果。

旋转型相似模型是相似三角形中的一种特殊情况，描述了两个相似三角形之间的旋转关系。

它具有一些特殊的性质和应用，可以帮助我们解决与相似三角形相关的问题。

在使用旋转型相似模型时，我们需要注意一些要点，以确保计算和推导的准确性。

希望通过本文的介绍，读者对旋转型相似模型有更深入的了解，并能够灵活运用它来解决实际问题。

旋转型相似三角形

04
旋转型相似三角形的证明方法
旋转法
总结词
通过旋转三角形，将两个三角形置于同一平面内，利用角度相等和边长比例关系证明相似。
详细描述
首先，将两个三角形中的一个旋转一定角度，使两个三角形共面。然后，根据旋转的角度和边长比例关系，证明两个三角形对应角相等，从而得出相似结论。
构造法
总结词
通过构造辅助线，将两个三角形连接成一个整体，利用整体与部分的关系证明相似。
在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，旋转型相似三角形可以帮助设计师确定建筑物的比例和角度，以实现美观和功能
性的平衡。
机械设计
在机械设计中，旋转型相似三角形可以用来确定机械部件的位置和角度，以确保机械的正常运转。
艺术创作
在艺术创作中，旋转型Hale Waihona Puke 似三角形可以帮助艺术家创造具有动态
感和立体感的作品。
详细描述
首先，通过构造辅助线将两个三角形连接成一个整体。然后，利用整体与部分的关系，证明两个三角形对应边成比例，对应角相等，从而得出相似结论。
代数法
总结词
通过建立代数方程，利用方程的性质证明相似。
详细描述
首先，根据题目条件建立代数方程。然后，利用代数方程的性质，如方程的解的性质和代数的运算性质，证明两个三角形对应边成比例，对应角相等，从而得出相似结论。
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特殊类型的旋转型相似三角形
等腰旋转型相似三角形
等腰旋转型相似三角形是旋转型相似三角形的一种特殊类型，其特点是两腰相等，且与底边形成相同的角度。
等腰旋转型相似三角形的性质还包括其高与底边的比例关系为1:√2，以及其面积与边长的关系为S=√2/4 * a^2。

秋九年级数学浙教版上册专题提升四相似三角形基本图形旋转型相似

专题提高四相像三角形基本图形(1)旋转型相像引例：如图，△ABD与△CBE中，已知∠1＝∠2，要使得△ABD∽△CBE，还需增添什么条件？将△ABC绕着一点(B)旋转，再扩大(或减小)得△DBE，在这一过程中，陪伴着第二次相似，即△ ABC∽△DBE .这两个相像的纽带就是过旋转中心(点 B)的四条线段成比率，即AB BD＝BC.BE例1已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：∠ABD＝∠ACE.例2正△ABC和正△DEF的边AB，ED的中点重合于点O，△DEF绕点O旋转必定角度，连接AD，CF.当AD ＝1时，求CF的长度．1．(1)如图1，△ABC、△DCE均为等边三角形，点B，A，D在向来线上，连接AE. 求证：AE∥BC.(2)如图2，AB＝AC，DE＝EC，且∠B＝∠ECD.求证：AE∥BC.第1题图2．已知：在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延伸线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM.(1)如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝2MD；(2)如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数目关系为____________；(3)求证：∠AEB＝90°.第2题图3．如图，正方形AEFG绕正方形ABCD的极点A旋转必定角度，求线段DG与CF的比值．第3题图4．如图，已知A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y ＝－x于点N.若P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，点P在线段ON上运动时，点A不变，点B随之运动，则当点P从点O运动到点N时，求点B运动的路径长．第4题图专题提高四相像三角形基本图形(1)第1页旋转型相像【课前热身】ABBD 引例：∠BAD ＝∠BCE 或＝B CBE或∠BDA ＝∠BEC.【典型例题】例1证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠DAE ＝∠BAC，又∵∠3＝∠4，∴△ABC ∽△ADE ，∴A DAB＝A EAC，又∵∠ 1＝∠2，∴△ ADB ∽△AEC ，∴∠ ABD ＝∠ACE.例2连接OC，OF，则△COA∽△FOD(旋转相像)，可得△COF∽△AOD(陪伴相像)，易求CF＝3AD＝3.【针对练习】1．(1)证明：由△BCA ∽△DCE(旋转相像)，可得△BCD∽△ACE(陪伴相像)，∴∠B＝∠CAE＝∠ACB，∴AE∥BC ；(2)证明：由△BCA∽△DCE(旋转相像)，可得△BCD∽△ACE(陪伴相像)，∴∠B＝∠CAE＝∠ACB，∴AE∥BC.2．(1)证明：连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.又∵∠ABC ＝45°，∴AB＝2BD. ∵∠BAE ＝∠BDM ，∠ABE ＝∠DBM ，∴△ABE ∽△DBM. ∴AEDMABDB＝＝2，∴AE＝ 2MD.(2)AE＝2MD；(3)∵∠BAE＝∠BDM，∴A、E、B、D四点共圆，又∵AD ⊥BC，∴∠AEB＝90°.3．连接AC，AF，则△ADC∽△AGF(旋转相像)，可得△ADG∽△ACF，∴DG∶CF＝AD ∶AC＝1：2.4．由题意可知，OM＝23，点N在直线y＝－x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON＝2OM＝2×23＝26.如答图1所示，设动点P在O点(起点)时，点B的地点为B0，动点P在N点(终点)时，点B的地点为B n，连接B0B n.∵AO⊥AB0，AN ⊥AB n，∴∠OAC＝∠B0AB n，又∵AB0＝AO·tan30°，AB n＝AN·tan30°，∴AB0∶AO＝AB n∶AN ＝tan30°(此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得)，∴△AB0B n∽△AON，且相似比为tan30°，∴B0B n＝O N·tan30°＝2 6× 3＝2 2.此刻来证明线段B0B n 就是点 B 运动3的路径(或轨迹)．如答图2所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B i，连接AP，AB，B0B i，∵AO⊥AB0，AP⊥AB i，∴∠OAP＝∠B0AB i，又∵AB0＝AO·tan30°，AB i＝AP·tan30°，∴AB0∶AO＝AB i∶AP，∴△AB0B i∽△AOP，∴∠AB0B i＝∠AOP.又∵△AB0B n∽△AON，∴∠AB0B n＝∠AOP，∴∠AB0B i＝∠AB0B n，∴点B i在线段B0B n上，即线段B0B n就是点B运动的路径(或轨迹)．综上所述，点B运动的路径(或轨迹)是线段B0B n，其长度为22.第2页秋九年级数学浙教版上册专题提高四相像三角形基本图形旋转型相像第4题图第3页。

相似三角形基本模型——A字型、旋转型相似培训资料

相似三角形基本模型——A字型、旋转型相似课题：相似三角形基本模型——A字型、旋转型相似教学目标：1、通过习题引入，了解“A字型、旋转型”的特征与其中两个三角形相似的条件，并掌握其中两个相似三角形的性质；2、利用“A字型、旋转型”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题；3、在“A字型、旋转型”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“A字型、旋转型”相似解题的特点与经验。

教学重点难点：1、在已知图形中观察关键特征——“A字型、旋转型”；2、在“A字型、旋转型”图的两个三角形中，探索其相似条件。

教学过程：一、复习与回顾：相似三角形的性质和判定定理；二、引入相似三角形是初中数学中重要的内容，应用广泛，可以证明线段的比例式；也可证明线段相等、平行、垂直等；还可计算线段的长、比值，图形面积及比值。

而识别（或构造）A字型、8字型、母子相似型、旋转型等基本图形是解证题的关键。

三、新课讲解：（一）、模型分析有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC与∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B.（二）、基础巩固1、若△ABC∽△ADE，你可以得出什么结论？（图1）2、D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似。

（图2）（三）、例题探究：（四）课堂练习：三、课堂小结：我们今天这堂课收获了什么呢？（1）学习了A型相似；（2）学会从复杂图形中分解出基本图形。

（3）数学思想：方程思想，转化思想，分类讨论思想四、作业布置：中考新航线251页。