专题17旋转型相似
相似三角形重要模型-手拉手模型(学生版)-初中数学
相似三角形重要模型-手拉手模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。
而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型(旋转模型)。
手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
1)手拉手相似模型(任意三角形)条件:如图，∠BAC =∠DAE =α，AD AB =AE AC=k ；结论：△ADE ∽△ABC ，△ABD ∽△ACE ；EC BD =k .2)手拉手相似模型(直角三角形)条件:如图，∠AOB =∠COD =90°，OC OA =OD OB =k (即△COD ∽△AOB )；结论：△AOC ∽△BOD ；BD AC =k ，AC ⊥BD ，S ABCD =12AB ×CD .3)手拉手相似模型(等边三角形与等腰直角三角形)条件:M 为等边三角形ABC 和DEF 的中点；结论：△BME ∽△CMF ；BE CF=3.条件:△ABC 和ADE 是等腰直角三角形；结论：△ABD ∽△ACE .1(2023秋·福建泉州·九年级校考期末)问题背景：(1)如图①，已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ；尝试应用：(2)如图②，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，∠ABC =∠ADE =60°，AC 与DE相交于点F ，点D 在BC 边上，DF CF=233，求AD BD 的值；拓展创新：(3)如图③，D 是△ABC 内一点，∠BAD =∠CBD =30°，∠BDC =90°，AB =4，AC =23，求AD 的长．2(2023秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习)【模型呈现：材料阅读】如图，点B ，C ，E 在同一直线上，点A ，D 在直线CE 的同侧，△ABC 和△CDE 均为等边三角形，AE ，BD 交于点F ，对于上述问题，存在结论(不用证明)：(1)△BCD ≌△ACE (2)△ACE 可以看作是由△BCD 绕点C 旋转而成；⋯【模型改编：问题解决】点A ，D 在直线CE 的同侧，AB =AC ，ED =EC ，∠BAC =∠DEC =50°，直线AE ，BD 交于F ，如图1：点B 在直线CE 上，①求证：△BCD ∽△ACE ； ②求∠AFB 的度数．如图2：将△ABC 绕点C 顺时针旋转一定角度．③补全图形，则∠AFB 的度数为；④若将“∠BAC =∠DEC =50°”改为“∠BAC =∠DEC =m °”，则∠AFB 的度数为．(直接写结论)【模型拓广：问题延伸】如图3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB=2，AD=ED=23，DG=6，连接AG，BF，求BFAG的值．图1 图2 图33(2023春·湖北黄冈·九年级专题练习)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．4(2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习)如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=α．点D是△ABC 所在平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α得到线段DE，连接AD、BE．(1)如图1，当α=60°时，求证：BE=AD．(2)当α=120°时，请判断线段BE与AD之间的数量关系是，并仅就图2的情形说明理由．(3)当α=90°时，且BE⊥AB时，若AB=8，BE=2，点E在BC上方，求CD的长．5(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．6(2023·山东济南·九年级统考期中)问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形ABCD和等腰Rt△CEF按如图1所示的位置摆放(点B、C、E在同一条直线上)，其中∠ECF=90°．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：初步探究(1)如图2，将等腰Rt△CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE．请直接写出BF与DE的关系；(2)如图3，将(1)中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成菱形ABCD和等腰△CEF，其中CE=CF，∠BCD=∠FCE，其他条件不变，求证：BF=DE；深入探究：(3)如图4，将(1)中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF=90°且CECF =CDBC=34，其它条件不变．①探索线段BF与DE的关系，说明理由；②连接DF，BE若CE=6，AB=12，直接写出DF2+BE2=．7(2023春·广东·九年级专题练习)已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角)，得到△EOF，连接AE，CF．(1)如图1，当∠BAC=90°且AB=AC时，则AE与CF满足的数量关系是；(2)如图2，当∠BAC=90°且AB≠AC时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)如图3，延长AO到点D，使OD=OA，连接DE，当AO=CF=5，BC=6时，求DE的长．课后专项训练1(2023秋·北京顺义·九年级校考期中)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°．连接BD，CE．则BDCE的值为()A.12B.22C.2D.22(2023春·浙江金华·九年级校考期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB，AC为边分别向外作正方形ABFG和正方形ACDE，CG交AB于点M，BD交AC于点N．若GMCM=12，则CGBD=()A.12B.34C.255D.130133(2023春·浙江丽水·九年级专题练习)如图，在△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，过点D 分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ．连接EF 交线段CD 于点O ，若CO =22，CD =32，则EO ⋅FO 的值为( )．A.63B.4C.56D.64(2022·广西梧州·统考一模)如图，在△ABC 中，∠C =45°，将△ABC 绕着点B 逆时针方向旋转，使点C 的对应点C ′落在CA 的延长线上，得到△A ′BC ′，连接AA ′，交BC ′于点O ．下列结论：①∠AC ′A ′=90°；②AA ′=BC ′；③∠A ′BC ′=∠A ′AC ′；④△A ′OC ′∽△BOA ．其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.45(2023·广东深圳·校联考模拟预测)如图，已知▱ABCD ，AB =3，AD =8，将▱ABCD 绕点A 顺时针旋转得到▱AEFG ，且点G 落在对角线AC 上，延长AB 交EF 于点H ，则FH 的长为．6(2022·安徽·模拟预测)如图，将边长为3的菱形ABCD绕点A逆时针旋转到菱形AB C D 的位置，使点B 落在BC上，B C 与CD交于点E．若BB =1，则CE的长为．7(2021·湖南益阳·统考中考真题)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°,tan∠ABC=32，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB C ，连接BB ，CC ，则△CAC 与△BAB 的面积之比等于．8(2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习)如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°．(1)求证：△ACD∽△BCE；(2)若AC=3，AE=8，求AD．9(2023·安徽滁州·九年级校考阶段练习)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M．求证：(1)△BAE∽△CAD；(2)MP⋅MD=MA⋅ME．10(2023秋·湖北孝感·九年级校联考阶段练习)问题背景：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，将△CAE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，AD的延长线交BF于点P．问题探究：(1)当点P在线段BF上时，证明EP+FP=2BP．①先将问题特殊化，如图2，当CE⊥AD时，证明：EP+FP=2BP；②再探究一般情形，如图1，当CE不垂直AD时，证明：EP+FP=2BP；拓展探究：(2)如图3，若AD的延长线交BF的延长线于点P时，直接写出一个等式，表示EP，FP，BP之间的数量关系．11(2022·河南·九年级专题练习)规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形．(1)问题联想：如图①，嵌套四边形ABCD，AMPN都是正方形，现把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，连接BM'，DN'交于点O，则BM'与DN'的数量关系为，位置关系为；(2)类比探究：如图②，将(1)中的正方形换成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他条件不变，则(1)中的结论还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，将(1)中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2:1的矩形，旋转角换成α(90°<α<180°)，其他条件不变，请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系．12(2023·山东青岛·模拟预测)某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB=∠ECD=90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当ED ∥BC 时，则α=；(2)【初步探究】如图3，当点E ，F 重合时，请直接写出AF ，BF ，CF 之间的数量关系：；(3)【深入探究】如图4，当点E ，F 不重合时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在△ABC 与△CDE 中，∠ACB =∠DCE =90°，若BC =mAC ，CD =mCE (m 为常数)．保持△ABC 不动，将△CDE 绕点C 按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，连接AE ，BD ，延长BD 交AE 于点F ，连接CF ，如图6．试探究AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并说明理由．13(2023秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习)问题提出 如图1，在△ABC 中，AB =BC ，点D 是边BC 上一点，△ADE 是等腰三角形，AD =DE ，∠ADE =∠B =α0<α≤90° ，DE 交AC 于点F ，探究∠DCE 与α的数量关系.问题探究 (1)先将问题特殊化，如图2，当α=90°时，直接写出∠DCE 的大小；(2)再探究一般情形，如图1，求∠DCE 与α的数量关系.问题拓展 将图1特殊化，如图3，当α=60°时，若CD BD =12，求CF AF的值.14(2023春·河南·九年级专题练习)由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．(1)【问题发现】如图1所示，两个等腰直角三角形△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AE =AD ，∠BAC =∠DAE =90°，连接BD 、CE ，两线交于点P ，BD 和CE 的数量关系是；BD 和CE 的位置关系是；(2)【类比探究】如图2所示，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边在AB 的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF ，连接DE 分别交线段BC 、PC 于点M 、N ．①求∠DMC 的度数；②连接AC 交DE 于点H ，直接写出DH BC 的值；(3)【拓展延伸】如图3所示，已知点C 为线段AE 上一点，AE =6，△ABC 和△CDE 为AE 同侧的两个等边三角形，连接BE 交CD 于N ，连接AD 交BC 于M ，连接MN ，直接写出线段MN 的最大值．15(2023秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习)类比探究【问题背景】已知D 、E 分别是△ABC 的AB 边和AC 边上的点，且DE ∥BC ，则△ABC ∽△ADE 把△ADE 绕着A 逆时针方向旋转，连接BD 和CE ．①如图2，找出图中的另外一组相似三角形②若AB =4，AC =3，BD =2，则CE =．【迁移应用】在Rt △ACB 中，∠BAC =90°，∠C =60°，D 、E 、M 分别是AB 、AC 、BC 中点，连接DE 和CM ．①如图3，写出CE 和BD 的数量关系；②如图4，把Rt △ADE 绕着点A 逆时针方向旋转，当D 落在AM 上时，连接CD 和CE ，取CD 中点N ，连接MN ，若CE =23，求MN 的长．【创新应用】如图5：AB =AC =AE =25，BC =4，△ADE 是直角三角形，∠DAE =90°，tan ∠ADE =2，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，且BFBE=25，连接CF，请直接写出CF的取值范围．16(2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习)(1)如图1，正方形ABCD和正方形DEFG(其中AB> DE)，连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系是，位置关系是．(2)如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，3AD=2DG，3AB=2DE，DC=DG，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，连接AG，CE交于点H，(1)中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由．17(2023秋·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=8，△AEF 中，∠EAF=90°，AE=AF，连接BE．(1)如图1，当AE平分∠BAC时，EF与AB交于点D，若AE=32，求tan∠DBE的值；(2)如图2，当AE⊥BE时，连接CF，与AE交于点H．猜想AH与BE之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，AN⊥BC于点N，取BE的中点M，连接AM、CM、MN．将△AEF绕点A旋转．若AE= 22，在旋转过程中，当线段CM最大时，请直接写出△AMN的面积．18(2022秋·广东深圳·九年级校联考期中)【模型发现】如图1，△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．【深入探究】如图2，等边△ABC中，AB=3，D是AC上的动点，连接BD，将BD绕着点D逆时针旋转60°得到DE，连接CE，当点D从A运动到C时，求点E的运动路径长．【应用拓展】如图3，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD上的一点，连接BE，将BE绕着点E逆时针旋转90°得到EF，EF交BC于点G，连接CF，若EG=12FG，则ABCF的值为．。
初三数学中考复习专题课件：探旋转相似型的解法
04
旋转相似型的易错点与 难点解析
识别旋转相似型的常见误区
01
02
03
误区一
将非相似图形误认为是相 似图形。
误区二
在旋转过程中，忽视角度 变化导致图形不相似。
误区三
混淆相似与全等图形的性 质。
利用旋转性质证明相似的难点解析
难点一
理解旋转的性质，特别是 旋转中心、角度和方向。
难点二
掌握如何利用旋转性质来 证明两个三角形相似。
难点三
理解旋转过程中，哪些性 质会发生变化，哪些保持 不变。
利用相似性质求解问题的常见错误
通过练习和掌握旋转相似型的解法，可以培养学生的几何直觉和空间思维能力。
02
旋转相似型的解题方法
识别旋转相似型
总结词
识别旋转相似型是解决这类问题的第一步，需要观察图形是否可以通过旋转而 相互重合。
详细描述
在解决旋转相似型问题时，首先需要观察图形，判断是否存在通过旋转某个图 形而使其与另一个图形重合的可能性。这通常涉及到对图形形状、角度和边的 长度等特征的识别。
利用旋转性质证明相似
总结词
利用旋转性质来证明两个三角形相似是解决这类问题的关键 步骤。
详细描述
在确认了可以通过旋转使两个图形重合后，需要利用旋转的 性质来证明这两个三角形相似。这通常涉及到找到两个三角 形之间的对应角或对应边成比例，从而证明它们相似。
利用相似性质求解问题
总结词
利用相似三角形的性质来求解问题是最终的目标。
旋转相似经典例题知识讲解
旋转与全等、相似中的线段数量关系基本例题：1、如图，△ABC 中，∠C ＝90°.（1）将△ABC 绕点B 逆时针旋转90，画出旋转后的三角形；（2）若BC ＝3，AC ＝4，点A 旋转后的对应点为A′，求A′A 的长变式1,如图 Rt △AB'C'是由Rt △ABC,绕点A 顺时针旋转得到的，连接C C'交AB 于E, (1) 证明：△CA C'∽△BA B'(2) 延长C C'交B B'于F ，证明：△CA E ∽△FBE变式2，△ABC 绕点B 逆时针旋转90°得到△DBE,若恰好得到C 、E 、D 三点共线，则AC 、BC 、CD 的数量关系是变式3，△ABC 绕点B 逆时针旋转a °得到△DBE,若恰好得到C 、E 、D 三点共线，则AC 、BC 、CD 的数量关系是EB'C'CA E DBACEBAC变式4、Rt △ABC 中，AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,求：AD 、CD 、BD 的数量关系变式5、Rt △ABC 中，AC=kBC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,探究：AD 、CD 、BD 的数量关系变式6、如图，在△OAB 和△OCD 中，∠A ＜90°，OB=KOD （K ＞1），∠AOB=∠COD ，∠OAB 与∠OCD 互补，试探索线段AB 与CD 的数量关系，并证明你的结论。
变式7.如图AB ∥CD ,BC ∥ED , ∠BCD+∠ACE=180°。
(1)当BC=CD 且∠ACE=90°时 如图3探究线段AC 和CE 之间的数量关系 （2）当BC=CD 时如图2探究线段AC 和CE 之间的数量关系（3）当BC=kCD 时如图1探究线段AC 和CE 之间的数量关系（用含k 的式子表示）E BC AD CAD B80中田凌志老师提供1如图R t △ABC ，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作直线MN ∥AC,点P 在直线BC 上，∠EPF=∠CAB ，且两边分别交直线AB 于E ，交直线MN 于F 。
2014年中考数学高分冲刺17-图形的分割与剪拼
关键点十七 图形的分割与剪拼纵观近年来全国各地的中考试卷，图形操作型的问题渐多，而这些题又可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的（我们已有专题论及），另一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。
我们现在要研究的，就是这后边的一类，分割与剪拼的形式与依据主要有：Ⅰ、原图形基础上进行分割，而分割的要求又分为： （1）借助于“边、角”计算的分割； （2）依“面积等分”为要求的分割；Ⅱ、将原图形等面积地变化成新图形的“剪与拼”。
一、图形的分割1、借助于“边、角”计算的分割例1 （1）已知ABC ∆中，︒=∠︒=∠5.67,90B A ，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。
（2）已知ABC ∆中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的关系。
【观察与思考】对于（1）只需“构造等角”；对于（2）， （1） 可从“等边”推演角之间的关系。
解：（1）如图①，图②，有两种不同的分割法。
（2）设ABC ∠y =，C ∠x =，过顶点B 的直线 ① 交边AC 于D 。
在等腰三角形DBC 中，①若C ∠是顶角，如图③，则︒>∠90ADB ，,2190)180(21x x CDB CBD -︒=-︒=∠=∠ y x A --︒=∠180。
②此时只能有ABD A ∠=∠，即)2190(180x y y x -︒-=--︒， ︒=+∴54043y x ，即ABC ∠与C ∠的关系是：C ABC ∠-︒=∠43135。
②若C∠是底角，则有两种情况。
③AC A BC︒5.67 ︒5.67 ︒5.22︒5.22AB C︒45 ︒5.22︒5.22︒45 ABC DABD ∆中，x y ABD x ADB -=∠=∠,2。
Ⅰ、由AD AB =，得x y x -=2，此时有x y 3=，即有关系C ABC ∠=∠3。
④ Ⅱ、由BD AB =，得x yx 2180=--︒，此时 ︒=+1803y x ，即C ABC ∠-︒=∠3180。
相似基本型旋转型
B
C
1、由图形自编问题：等边三角形 一边中点重合，旋转一定角度， 从图中你能得到哪些结论？
C
E B A
F D
G
2、如图，在△ABC中，∠ACB=900，CH⊥AB 于点H，△ACD和△BCE均为等边三角形. 求证： △DAH∽△ECH
E D C
A
H
B
畅谈我的收获！
A
1 2
E
C B D
本课小结:
A
1 2
E
C B D
1、“旋转型”相似三角形图形识别
如图，∠1=∠2， ∠B=∠D 则△ABC∽ △ADE
A
1 2
E
C B D
2、“旋转型”相似三角形的特 A 征
①由一点发出四条线段对应成比例 AB AC AD AE
1 2
E
②两对相似三角形
C D
B △ABC∽ △ADE 和 △ABD∽ △ACE
1、“旋转型”相似三角形的识别 2、“旋转型”相似三角形的特征 ①成一点发出四条线段对应成比例 ②两对相似三角形同时出现 ③ BD AB AD
CE AC AE
A
1 2
E
C B D
3、“旋转型”相似三角形的变式图形
A
1 2
A
A
1 2
1 2
B E
C B
E C D
E B D
C B D
E
D
A
C③Leabharlann BD AB AD CE AC AE
3、“旋转型”相似三角形的变式图 形
A
1 2
A
A
1 2
1 2
C B
E C D
E B D
相似三角形-专题(完整版-可打印)
相似三角形的判定--知识讲解（基础）【学习目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】（2014秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的判定2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数.【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比.【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.举一反三：【高清课程名称：相似三角形的判定（2）高清ID号：394499关联的位置名称（播放点名称）：例4及变式应用】【变式】如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．【答案】∵ AD、CE是△ABC的高,∴∠AEF=∠CDF=90°,又∵∠AFE=∠CFE,∴△AEF∽△CDF.∴AF EFCF FD, 即AF·FD=CF·FE．3.（2014秋•揭西县校级期末）如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．【答案与解析】解：设BE=x，∵EF=32，GE=8，∴FG=32﹣8=24，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴=，∴则==+1①∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，∴=代入①=+1，解得：x=±16（负数舍去），故BE=16．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△DFG∽△CBG 是解题关键．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．【思路点拨】从求证可以判断是运用相似，再根据BP2＝PE·PF，可以判定所给的线段不能组成相似三角形，这就需要考虑线段的等量转移了.【答案与解析】连接，，，是的中垂线，，，，．，．又， ∽，，． 【总结升华】根据求证确定相似三角形，是解决此类题型的捷径. 举一反三：【变式】如图，F 是△ABC 的AC 边上一点，D 为CB 延长线一点，且AF=BD,连接DF,交AB 于E. 求证：DE ACEF BC=.【答案】过点F 作FG ∥BC,交AB 于G.则△DBE ∽△FGE △AGF ∽△ABC∵DE DBEF GF=, 又∵AF=BD,∴.DE AFEF GF= ∵△AGF ∽△ABC∴AF ACGF BC =, 即DE ACEF BC=.相似三角形的判定--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形2．已知△ABC的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ).A. B. C. D.3．（2015•大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4.在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件( ).A.只有①B.只有②C.①和②分别都是D.①和②都不是5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF ∽ΔABF6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ).A. B.8 C.10 D.16二、填空题7.（2015•伊春模拟）如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为．8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．15.（2014秋•射阳县校级月考）如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E 是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点，（1）求证：AC2=CE•CF；（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用 1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
中考数学 专题17 四川中考填空题压轴专题(解析版)
专题17 四川中考填空题压轴专题【典例1】（2019•眉山）如图，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为 4 ．【点拨】本题可从反比例函数图象上的点E 、M 、D 入手，分别找出△OCE 、△OAD 、▱OABC 的面积与|k |的关系，列出等式求出k 值．【解答】解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE =12|k |，S △OAD =12|k |， 过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S ▱ONMG ＝|k |， 又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO ＝4S ▱ONMG ＝4|k |， 由于函数图象在第一象限， ∴k ＞0，则k2+k 2+12＝4k ，∴k ＝4．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k |．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．【典例2】（2019•凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，AE =14AB ，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 4 ．【点拨】先证明△BPE ∽△CQP ，得到与CQ 有关的比例式，设CQ ＝y ，BP ＝x ，则CP ＝12﹣x ，代入解析式，得到y 与x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值． 【解答】解：∵∠BEP +∠BPE ＝90°，∠QPC +∠BPE ＝90°， ∴∠BEP ＝∠CPQ ． 又∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BPE ∽△CQP ． ∴BE PC=BP CQ．设CQ ＝y ，BP ＝x ，则CP ＝12﹣x ． ∴912−x=xy ，化简得y =−19（x 2﹣12x ），整理得y =−19（x ﹣6）2+4， 所以当x ＝6时，y 有最大值为4． 故答案为4．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．【典例3】（2019•自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos （α+β）＝√217．【点拨】给图中相关点标上字母，连接DE ，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α，由∠AEC ＝60°结合∠AED ＝∠AEC +∠CED 可得出∠AED ＝90°，设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE =√3a ，利用勾股定理可得出AD 的长，再结合余弦的定义即可求出cos （α+β）的值．【解答】解：给图中相关点标上字母，连接DE ，如图所示． 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝BC ， ∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α． 又∵∠AEC ＝60°，∴∠AED ＝∠AEC +∠CED ＝90°．设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE ＝2×sin60°•a =√3a ， ∴AD =√AE 2+DE 2=√7a ， ∴cos （α+β）=DE AD =√217． 故答案为：√217．【点睛】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．【典例4】（2019•雅安）已知函数y ={−x 2+2x(x ＞0)−x(x ≤0)的图象如图所示，若直线y ＝x +m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为 0＜m ＜14 ．【点拨】直线与y ＝﹣x 有一个交点，与y ＝﹣x 2+2x 有两个交点，则有m ＞0，x +m ＝﹣x 2+2x 时，△＝1﹣4m ＞0，即可求解．【解答】解：直线y ＝x +m 与该图象恰有三个不同的交点， 则直线与y ＝﹣x 有一个交点， ∴m ＞0，∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，∴x+m＝﹣x2+2x，△＝1﹣4m＞0，∴m＜1 4，∴0＜m＜1 4；故答案为0＜m＜1 4．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定m的范围．【典例5】（2019•广元）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M＝4a+2b+c，则M的取值范围是﹣6＜M＜6．【点拨】将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c，可知b＝a+2，利用对称轴可知：a＞﹣2，从而可知M的取值范围．【解答】解：将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c，∴0＝a﹣b+c，2＝c，∴b＝a+2，∵−b2a＞0，a＜0，∴b＞0，∴a＞﹣2，∴﹣2＜a＜0，∴M＝4a+2（a+2）+2 ＝6a+6＝6（a+1）∴﹣6＜M＜6，故答案为：﹣6＜M＜6；【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．【典例6】（2019•巴中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝24+16√3．【点拨】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，根据旋转的性质可得∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′＝BP＝8＝PP'，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，∴△BPP′为等边三角形，∴BP′＝BP＝8＝PP'；由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，∴S△ABP+S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'B+S△AP'P=√34BP2+12×PP'×AP＝24+16√3故答案为：24+16√3【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．【典例7】（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为2π3+√3．【点拨】连接OE ，作OF ⊥DE ，先求出∠COE ＝2∠D ＝60°、OF =12OD ＝1，DF ＝OD cos ∠ODF =√3，DE ＝2DF ＝2√3，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得． 【解答】解：如图，连接OE ，作OF ⊥DE 于点F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，且∠A ＝150°， ∴∠D ＝30°，则∠COE ＝2∠D ＝60°， ∵CD ＝4， ∴CO ＝DO ＝2，∴OF =12OD ＝1，DF ＝OD cos ∠ODF ＝2×√32=√3， ∴DE ＝2DF ＝2√3， ∴图中阴影部分的面积为60⋅π⋅22360+12×2√3×1=2π3+√3， 故答案为：2π3+√3．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S =nπr 2360是解题的关键．【典例8】（2019•泸州）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，点E 在边CB 上，CE ＝2EB ，点D 在边AB 上，CD ⊥AE ，垂足为F ，则AD 的长为 9√2 ．【点拨】过D 作DH ⊥AC 于H ，根据等腰三角形的性质得到AC ＝BC ＝15，∠CAD ＝45°，求得AH ＝DH ，得到CH ＝15﹣DH ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D 作DH ⊥AC 于H ， ∵在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15， ∴AC ＝BC ＝15， ∴∠CAD ＝45°， ∴AH ＝DH ， ∴CH ＝15﹣DH ， ∵CF ⊥AE ，∴∠DHA ＝∠DF A ＝90°， ∴∠HAF ＝∠HDF ， ∴△ACE ∽△DHC ， ∴DH AC=CH CE，∵CE ＝2EB ， ∴CE ＝10， ∴DH 15=15−DH 10，∴DH ＝9， ∴AD ＝9√2， 故答案为：9√2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【典例9】（2019•乐山）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，直线l ⊥AB ．当直线l 沿射线BC 方向，从点B 开始向右平移时，直线l 与四边形ABCD 的边分别相交于点E 、F ．设直线l 向右平移的距离为x ，线段EF 的长为y ，且y 与x 的函数关系如图2所示，则四边形ABCD 的周长是 ．【点拨】根据题意和函数图象中的数据，可以得到AB、BC、AD的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到CD的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．【解答】解：∵∠B＝30°，直线l⊥AB，∴BE＝2EF，由图可得，AB＝4cos30°＝4×√32=2√3，BC＝5，AD＝7﹣4＝3，由图象可得，AN＝5﹣4＝1，ND＝CM＝7﹣5＝2，DM＝2，∵∠B＝30°，EF⊥AB，∴∠M＝60°，又∵DM＝MC＝2，∴△DMC是等边三角形，∴DC＝DM＝2，∴四边形ABCD的周长是：AB+BC+AD+CD＝2√3+5+3+2＝10+2√3，故答案为：10+2√3．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【典例10】（2019•攀枝花）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上．已知点A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是（47，16），．【点拨】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，即可得到C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标，根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），即可得到C1，C2，C3，C4，C5…在一条直线上，直线的解析式为y=13x+13，把C5的纵坐标代入即可求得横坐标．【解答】解：由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，∵A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，∴C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…∴根据图象得出C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），∴直线C1C2的解析式为y=13x+13，∵A5的纵坐标为16，∴C5的纵坐标为16，把y＝16代入y=13x+13，解得x＝47，∴C5的坐标是（47，16），故答案为（47，16）．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形和正方形的性质．此题难度适中，属于规律型题目，注意掌握数形结合思想的应用．【典例11】（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt △OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为（﹣22017，22017√3）．【点拨】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．【解答】解：由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，√3），A3的坐标为（﹣2，2√3），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8√3），A6的坐标为（16，﹣16√3），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2√3，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2√3，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2√3，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2√3，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A3的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017√3，故答案为：（﹣22017，22017√3）．【点睛】本题主点的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．【典例12】（2019•南充）如图，矩形硬纸片ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x 轴的正半轴及原点上滑动，点E 为AB 的中点，AB ＝24，BC ＝5．给出下列结论：①点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E 经过的路径长为12π；②△OAB 的面积最大值为144；③当OD 最大时，点D 的坐标为（25√2626，125√2626）．其中正确的结论是 ②③ ．（填写序号）【点拨】①由条件可知AB ＝24，则AB 的中点E 的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点E 所经过的路径长；②当△OAB 的面积最大时，因为AB ＝24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即OA ＝OB ，可求出最大面积为144；③当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，可求出OD ＝25，证明△DF A ∽△AOB 和△DFO ∽△BOA ，可求出DF 长，则D 点坐标可求出． 【解答】解：∵点E 为AB 的中点，AB ＝24， ∴OE =12AB =12，∴AB 的中点E 的运动轨迹是以点O 为圆心，12为半径的一段圆弧， ∵∠AOB ＝90°， ∴点E 经过的路径长为90×12×π180=6π，故①错误；当△OAB 的面积最大时，因为AB ＝24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即OA ＝OB ， ∵E 为AB 的中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =12，∴S △AOB =12×24×12=144，故②正确；如图，当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，∵AD ＝BC ＝5，AE =12AB =12， ∴DE =√AD 2+AE 2=√52+122=13， ∴OD ＝DE +OE ＝13+12＝25， 设DF ＝x ，∴OF =√OD 2−DF 2=√252−x 2， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB ＝90°， ∴∠DF A ＝∠AOB ， ∴∠DAF ＝∠ABO ， ∴△DF A ∽△AOB ∴DF OA =DA AB ，∴x OA=524，∴OA =24x5， ∵E 为AB 的中点，∠AOB ＝90°， ∴AE ＝OE ， ∴∠AOE ＝∠OAE ， ∴△DFO ∽△BOA ， ∴OD AB =OF OA，∴2524=√252−x 224x 5，解得x =25√2626，x =−25√2626舍去，∴OF=125√26 26，∴D(25√2626，125√2626)．故③正确．故答案为：②③．【点睛】本题考查四边形综合题、直角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．【典例13】（2019•绵阳）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2√2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′＝√2+√6．【点拨】如图，连接CE′，根据等腰三角形的性质得到AB＝BC＝2√2，BD＝BE＝2，根据性质的性质得到D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90′，∠D′BD＝∠ABE′，由全等三角形的性质得到∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，连接CE′，∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2√2，∴AB＝BC＝2√2，BD＝BE＝2，∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，∴∠ABD′＝∠CBE′，∴△ABD′≌△CBE′（SAS），∴∠D′＝∠CE′B＝45°，过B作BH⊥CE′于H，在Rt△BHE′中，BH＝E′H=√22BE′=√2，在Rt△BCH中，CH=√BC2−BH2=√6，∴CE′=√2+√6，故答案为：√2+√6．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．【典例14】（2019•宜宾）如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC 分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是 ①③④ （写出所有正确结论的序号）．①AM ＝BN ；②△ABF ≌△DNF ；③∠FMC +∠FNC ＝180°；④1MN=1AC+1CE【点拨】①根据等边三角形性质得出AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°，求出∠BCE ＝∠ACD ，根据SAS 推出两三角形全等即可；②根据∠ABC ＝60°＝∠BCD ，求出AB ∥CD ，可推出△ABF ∽△DNF ，找不出全等的条件； ③根据角的关系可以求得∠AFB ＝60°，可求得MFN ＝120°，根据∠BCD ＝60°可解题； ④根据CM ＝CN ，∠MCN ＝60°，可求得∠CNM ＝60°，可判定MN ∥AE ，可求得MN AC=DN CD=CD−CN CD，可解题．【解答】证明：①∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形， ∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°， ∴∠ACB +∠ACE ＝∠ECD +∠ACE ， 即∠BCE ＝∠ACD ， 在△BCE 和△ACD 中， {BC =AC∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC ，∠CAD ＝∠CBE ， 在△DMC 和△ENC 中， {∠MDC =∠NEC DC =BC ∠MCD =∠NCE =60°， ∴△DMC ≌△ENC （ASA ）， ∴DM ＝EN ，CM ＝CN ，∴AD ﹣DM ＝BE ﹣EN ，即AM ＝BN ； ②∵∠ABC ＝60°＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ， ∴∠BAF ＝∠CDF ， ∵∠AFB ＝∠DFN ，∴△ABF ∽△DNF ，找不出全等的条件；③∵∠AFB +∠ABF +∠BAF ＝180°，∠FBC ＝∠CAF ， ∴∠AFB +∠ABC +∠BAC ＝180°， ∴∠AFB ＝60°， ∴∠MFN ＝120°， ∵∠MCN ＝60°， ∴∠FMC +∠FNC ＝180°； ④∵CM ＝CN ，∠MCN ＝60°， ∴△MCN 是等边三角形， ∴∠MNC ＝60°， ∵∠DCE ＝60°， ∴MN ∥AE ， ∴MN AC=DN CD=CD−CN CD，∵CD ＝CE ，MN ＝CN ， ∴MN AC =CE−MN CE ，∴MNAC=1−MNCE ，两边同时除MN 得1AC=1MN−1CE，∴1MN=1AC+1CE．故答案为①③④【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．【典例15】（2019•资阳）如图，在△ABC 中，已知AC ＝3，BC ＝4，点D 为边AB 的中点，连结CD ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，将△ACE 沿直线AC 翻折到△ACE ′的位置．若CE ′∥AB ，则CE ′＝95．【点拨】如图，作CH ⊥AB 于H ．首先证明∠ACB ＝90°，解直角三角形求出AH ，再证明CE ′＝AH 即可．【解答】解：如图，作CH ⊥AB 于H ．由翻折可知：∠AE ′C ＝∠AEC ＝90°，∠ACE ＝∠ACE ′， ∵CE ′∥AB ， ∴∠ACE ′＝∠CAD ， ∴∠ACD ＝∠CAD ， ∴DC ＝DA ， ∵AD ＝DB ， ∴DC ＝DA ＝DB ， ∴∠ACB ＝90°， ∴AB =√AC 2+BC 2=5， ∵12•AB •CH =12•AC •BC ，∴CH =125，∴AH =√AC 2−CH 2=95， ∵CE ′∥AB ，∴∠E ′CH +∠AHC ＝180°， ∵∠AHC ＝90°， ∴∠E ′CH ＝90°， ∴四边形AHCE ′是矩形， ∴CE ′＝AH =95， 故答案为95．【点睛】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．【典例16】（2019•达州）如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B ．①抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1与直线y ＝m +2有且只有一个交点；②若点M （﹣2，y 1）、点N （12，y 2）、点P （2，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 2＜y 3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y ＝﹣（x +1）2+m ； ④点A 关于直线x ＝1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝1时，四边形BCDE 周长的最小值为√34+√2．其中正确判断的序号是 ①③④ ．【点拨】①把y ＝m +2代入y ＝﹣x 2+2x +m +1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确； ②根据二次函数的性质进行判断；③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；④因BC 边一定，只要其他三边和最小便可，作点B 关于y 轴的对称点B ′，作C 点关于x 轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值．【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜12，点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故此小题结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：√B′M2+C′M2+√BM2+CM2=√32+52+√12+12=√34+√2，故此小题结论正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查二次函数的应用、二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．【典例17】（2019•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y=12x经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为y=12x2−114x+3．（填一般式）【点拨】点C （0，3），反比例函数y =12x 经过点B ，则点B （4，3），由勾股定理得：（4﹣x ）2＝4+x 2，故点G （32，0），将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式，即可求解．【解答】解：点C （0，3），反比例函数y =12x经过点B ，则点B （4，3）， 则OC ＝3，OA ＝4， ∴AC ＝5，设OG ＝PG ＝x ，则GA ＝4﹣x ，P A ＝AC ﹣CP ＝AC ﹣OC ＝5﹣3＝2， 由勾股定理得：（4﹣x ）2＝4+x 2， 解得：x =32，故点G （32，0），将点C 、G 、A 坐标代入二次函数表达式得：{c =394a +32b +c =014a +4b +c =0，解得：{ a =12b =−114c =3，故答案为：y =12x 2−114x +3．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形基本性质、反比例函数基本性质与应用，其中用勾股定理求OG 的长度，是本题解题的关键．【典例18】（2018•凉山州）△AOC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA ＝4，将△AOC 绕O 点，逆时针旋转90°得到△A 1OC 1，A 1C 1，交y 轴于B （0，2），若△C 1OB ∽△C 1A 1O ，则点C 1的坐标 （43，83） ．【点拨】如图作C 1H ⊥x 轴于H ．由△C 1OB ∽△C 1A 1O ，推出OC 1A 1C 1=OB OA 1=12，由tan ∠C 1A 1H =OBOA 1=C 1K A 1H =12，设C 1H ＝m ，则A 1H ＝2m ，OH ＝2m ﹣4，构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图作C 1H ⊥x 轴于H ．∵△C 1OB ∽△C 1A 1O ， ∴OC 1A 1C 1=OB OA 1=12，∵tan ∠C 1A 1H =OBOA 1=C 1HA 1H =12，设C 1H ＝m ，则A 1H ＝2m ，OH ＝2m ﹣4，∴A 1C 1=√5m ，OC 1=√m 2+(2m −4)2， ∴√5m ＝2√m 2+(2m −4)2， 解得m =83或85（舍弃），∴C 1（43，83）．（本题也可以证明tan ∠OC 1H =OH HC 1=12，S 设C 1（m ，2m ），根据A 1H ＝4m ，构建方程）【点睛】本题考查相似三角形的性质、坐标与图形的旋转等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．【精练1】（2019秋•河东区期末）如图，在反比例函数y =−6x (x ＜0)的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，那么四边形PMON 的面积为 ．【点拨】设出点P 的坐标，四边形PMON 的面积等于点P 的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．【解答】解：设点P 的坐标为（x ，y ），∵点P 的反比例函数解析式上， ∴xy ＝﹣6，易得四边形PMON 为矩形， ∴四边形PMON 的面积为|xy |＝6， 故答案为6．【点睛】考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．注意面积应为正值．【精练2】（2016秋•江阴市校级月考）如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，M 、N 分别是BC 、CD 上两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，则△ADN 的最小面积为 ．【点拨】设BM ＝xcm ，则MC ＝（1﹣x ）cm ，当AM ⊥MN 时，利用互余关系可证△ABM ∽△MCN ，利用相似比求CN ，根据三角形的面积公式表示出△ADN 的面积，用二次函数的性质求面积的最小值． 【解答】解：设BM ＝xcm ，则MC ＝（1﹣x ）cm ， ∵∠AMN ＝90°，∴∠AMB +∠NMC ＝90°，∠NMC +∠MNC ＝90°， ∴∠AMB ＝∠MNC ， 又∵∠B ＝∠C ， ∴△ABM ∽△MCN ，则AB MC=BM CN，即11−x=x CN，解得：CN =x(1−x)1=x （1﹣x ）， ∴S △ADN ＝S 正方形ABCD =12×1×[1﹣x （1﹣x ）]=12x 2−12x +12， ∵12＜0，∴当x =12cm 时，S △ADN 最小，最小值是4×12×12−(−12)24×12=38（cm 2）．故答案是：38cm 2．【点睛】本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．【精练3】（2019秋•香坊区期末）等边△ABC 中，点P 是BC 所在直线上一点，且PC ：BC ＝1：4，则tan ∠APB 的值是 ．【点拨】过A 作AD ⊥BC 于D ，设等边△ABC 的边长为4a ，则DC ＝2a ，AD ＝2√3a ，PC ＝a ，分类讨论：当P 在BC 的延长线上时，DP ＝DC +CP ＝2a +a ＝3a ；当P 点在线段BC 上，即在P ′的位置，则DP ′＝DC ﹣CP ′＝a ，然后分别利用正切的定义求解即可． 【解答】解：如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，设等边△ABC 的边长为4a ，则DC ＝2a ，AD ＝2√3a ，PC ＝a ， 当P 在BC 的延长线上时，DP ＝DC +CP ＝2a +a ＝3a ， 在Rt △ADP 中，tan ∠APD =AD DP =2√3a 3a =2√33； 当P 点在线段BC 上，即在P ′的位置，则DP ′＝DC ﹣CP ′＝a ， 在Rt △ADP ′中，tan ∠AP ′D =AD DP′=2√3aa =2√3．故答案为2√3或2√33．【点睛】本题考查了解直角三角形：利用三角函数和勾股定理求三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了分类讨论思想的运用．【精练4】（2019秋•长清区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC =√2，点D 、E 分别在BC 、AC 上（点D 不与点B 、C 重合），且∠ADE ＝45°，若△ADE 是等腰三角形，则CE ＝ ．【点拨】可得∠B ＝∠C ＝45°，可证得△DCE ∽△ABD ，由于D 与B 、C 不重合，显然∠ADE ＝∠AED＝45°不符合题意，即AD≠AE，所以此题分两种情况讨论：①AD＝DE，此时（2）的相似三角形全等，由此可求得CD、BD的长，进而可得CE、AE的值．【解答】解：∵点D不能与B点重合，∴AD＝AE不能成立，（或：∵∠ADE＝45°，若AD＝AE，则∠AED＝ADE＝45°，从而∠DAE＝90°，即B与D重合，这与已知条件矛盾）．①当AE、DE为腰，即AE＝DE时（如图1），∠EAD＝∠EDA＝45°，此时，AD平分∠BAC，∴D为BC边的中点（“三线合一”性质），且E也为AC边的中点，∴CE＝AE=√2 2；②当AD、DE为腰，即AD＝DE时（如图2），∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°．∵∠ADE＝45°，∴∠B＝∠C＝∠ADE．∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，∴∠ADB＝∠DEC．∵∠ADC +∠B +∠BAD ＝180，∠DEC +∠C +∠CDE ＝180°， ∴∠ADC +∠B +∠BAD ＝∠DEC +∠C +∠CDE ， ∴∠EDC ＝∠BAD ， ∴△ABD ∽△DCE 此时AD 与DE 为对应边，∴△ABD ≌△DCE ，DC ＝AB =√2， CE ＝BD ＝BC ﹣CD ＝2−√2． 因此CE 的长为2−√2或√22． 故答案为：2−√2或√22． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解答时证明三角形相似是关键． 【精练5】（2019秋•江岸区校级月考）我们把函数y ={x 2−2x −3(x ≥0)x 2+2x −3(x ≤0)的图象记为C ，若直线y ＝x +b与图象C 有且只有三个公共点，则b 的取值是 ．【点拨】画出分段函数的图象，结合图象找到直线与该图象有三个交点的两端情况：直线经过点（0，﹣3）时；直线y ＝x +b 与y ＝x 2+2x ﹣3（x ≤0）部分只有一个交点时． 【解答】解：根据函数解析式分别画出函数图象，如图所示： 当直线经过点（0，﹣3）时，此时函数与直线y ＝x +b 恰有三个交点， ∴b ＝﹣3，当直线y ＝x +b 与y ＝x 2+2x ﹣3（x ≤0）部分只有一个交点时， ∴x 2+2x ﹣3＝x +b ， ∴b =−134； ∴b ＝﹣3或b =−134时两图象有三个交点； 故答案为−134或﹣3．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【精练6】（2018秋•越秀区期末）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④6a﹣2b+c＜0；⑤若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的判断是（填写所有正确判断的序号）【点拨】根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征判断即可．【解答】解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴−b2a=−1，a+b+c＝0，∴b＝2a，c＝﹣3a，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，故③正确；∵9a﹣3b+c＝0，b＝2a，c＝﹣3a，∴6a﹣2b+c＝6a﹣4a﹣3a＝﹣a＜0，故④正确；∵抛物线对称轴x＝﹣1，∴x＝﹣0.5与x＝﹣1.5的函数值相等，∵﹣1.5＞﹣2，∴则y1＜y2；故⑤错误；故答案为：②③④．【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，灵活运用数形结合思想．【精练7】（2019春•东海县期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°，得到线段AQ，连接BQ，若P A＝3，PB＝4，PC＝5，则四边形APBQ的面积为【点拨】连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得AP＝AQ＝3，∠P AQ＝60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ＝AP＝3，接着证明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝5，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S＝S△BPQ+S△APQ进行计算．四边形APBQ【解答】解：连结PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AP＝AQ＝3，∠P AQ＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ＝AP＝3，∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，且AC＝AB，AP＝AQ∴△APC≌△ABQ（SAS），∴PC＝QB＝5，在△BPQ中，∵PB2＝42＝16，PQ2＝32＝9，BQ2＝52＝25，∴PB2+PQ2＝BQ2，∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，∴S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ=12BP×PQ+√34×PQ2＝6+9√34故答案为：6+9√3 4【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理以及逆定理，证明△APQ为等边三角形是本题的关键．【精练8】（2019•吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在AB̂上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．【点拨】连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，∴▱ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°．∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，∴阴影部分图形的面积=90⋅π×102360−8×6＝25π﹣48．故答案为：25π﹣48．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【精练9】（2019•虞城县一模）如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．设P、Q出发ts时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系如图2所示（其中曲线OM为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）当点P在ED上运动时，连接QD，若QD平分∠PQC，则t的值为．【点拨】根据题意和函数图象可以得到BE和BC的长，然后根据当t＝5时，y＝10可以得到AB的长，然后根据QD平分∠PQC，可得DG＝DC，进而可以求得相应的t的值．【解答】解：由题意可得，BE ＝5，BC ＝12， ∵当t ＝5时，S ＝10， ∴10=5×AB2，得AB ＝4， 作EH ⊥BC 于点H ，作EF ∥PQ ，P 1Q 2∥EF ，作DG ⊥P 1Q 2于点G ， 则EH ＝AB ＝4，BE ＝BF ＝5， ∵∠EHB ＝90°， ∴BH =√52−42=3， ∴HF ＝2，∴EF =√42+22=2√5， ∴P 1Q 2＝2√5，设当点P 运动到P 1时，Q 2D 平分∠P 1Q 2C ，则DG ＝DC ＝4，P 1D ＝17﹣AE ﹣EP 1＝12﹣3﹣（t ﹣5）＝14﹣t ， ∴(14−t)×42=2√5×42，解得，t ＝14﹣2√5， 故答案为：14﹣2√5．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【精练10】（2018秋•市中区期末）将正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2按如图所示方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x +1和x 轴上，则点B 2019的横坐标是 ．【点拨】根据直线y＝x+1可求与x轴、y轴的交点坐标，得出第一个正方形的边长，得出点B1的横坐标，根据第二个正方形与第一个正方形的关系，可求出第二个正方形的边长，进而确定B2的横坐标，依此类推，可得出B2019的横坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，∴A（0，1），当y＝0时，x＝﹣1，∴直线与x轴的交点（﹣1，0）∴B1（1，1），易得△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、△A4B4A5……均是等腰直角三角形，可得：每一个正方形的边长都是它前一个正方形边长的2倍，因此：B2的横坐标为1+1×2＝1+2＝20+21＝3＝22﹣1，B3的横坐标为1+1×2+2×2＝1+2+4＝20+21+22＝7＝23﹣1，B4的横坐标为24﹣1，B5的横坐标为25﹣1，……B2019的横坐标为22019﹣1，故答案为：22019﹣1．【点睛】此题主要考查了一次函数图形上的点与坐标特征，规律型问题常用的方法是，分别求出前几个数据，然后依据变化规律，得出一般的结论．本题就是先求出B1的横坐标为21﹣1，B2的横坐标为22﹣1，B3的横坐标为23﹣1，B4的横坐标为24﹣1，……进而得到B n的横坐标为2n﹣1．【精练11】（2019•鄂尔多斯模拟）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），根据这个规律探索可得，第56个点的坐标为．【点拨】根据题意和图象中的点的坐标，可以发现这些点的变化规律，从而可以求得第56个点的坐标．【解答】解：由题意可得，横坐标是1的点有1个，横坐标是2的点有2个，横坐标是3的点有3个，…，∵56＝（1+2+3+…+10）+1，∴第56个点的坐标为（11，10），故答案为：（11，10）【点睛】本题考查规律性：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的变化规律，求出相应的点的坐标．【精练12】（2019春•徐州期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为2cm的棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P 在运动过程中所经过的路径长度为cm．【点拨】根据题意可以判断出点P的运动轨迹是4段弧长和2段线段的长度．【解答】解：连接BP，如图所示：∵P是EF的中点，∴BP=12EF=12×2＝1，如图所示，点P的运动轨迹是4段弧长+2段线段的长度，即4×90π×1180+2×1＝2π+2．故答案为：2π+2．【点睛】本题考查了轨迹、矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及弧长的计算．判断出点的P运动的轨迹是解题的关键．【精练13】（2018秋•雨花区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是AC的中点，直角∠EDF的两边分别交AB、BC于点E、F，给出以下结论：①AE＝BF；②S四边形BEDF=12S△ABC；③EF＝BD；④∠BFE＝∠CDF；⑤△DEF是等腰直角三角形，当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终成立的有个．。
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题17 图形的变化之解答题(1)(50道题)(原卷版)
专题17 图形的变化之解答题（1）一．解答题（共50小题）1．（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．2．（2019•上海）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．3．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．4．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．5．（2019•嘉定区二模）如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，△EBC沿直线EC翻折，使B点落在矩形ABCD内部的点P处，联结AP并延长AP交CD于点F，联结BP交CE于点Q．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如果P A＝PE，求证：△APB≌△EPC．6．（2019•宝山区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，联结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）如果P A＝PE，联结BP，求证：△APB≌△EPC．7．（2019•崇明区二模）如图，已知△ABC中，AB＝6，∠B＝30°，tan∠．（1）求边AC的长；（2）将△ABC沿直线l翻折后点B与点A重合，直线l分别与边AB、BC相交于点D、E，求的值．8．（2019•青浦区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF，CE与AF相交于点G．（1）求证：∠FGC＝∠B；（2）延长CE与DA的延长线交于点H，求证：BE•CH＝AF•AC．9．（2019•浦东新区二模）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝AD，AM⊥BD，垂足为点M，连接CM并延长，交线段AB于点N．求证：（1）∠ABD＝∠BCM；（2）BC•BN＝CN•DM．10．（2019•静安区二模）已知：如图5，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）如果CD2＝BF•BC，求∠BAF的度数．11．（2019•虹口区二模）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥AC，联结OE交BC 于点F，点F为BC的中点．（1）求证：四边形AOEB是平行四边形；（2）如果∠OBC＝∠E，求证：BO•OC＝AB•FC．12．（2019•普陀区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AD＜BC，点E在AD的延长线上，∠ACE＝∠BCD，EC2＝ED•EA．（1）求证：四边形ABCD为梯形；（2）如果，求证AB2＝ED•BC．13．（2019•长宁区二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E在边CB的延长线上，且∠EAC＝90°，AE2＝EB•EC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）延长DB、AE交于点F，若AF＝AC，求证：AE＝BF．14．（2019•张店区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，E是边BC上的点，且∠AED＝∠CAD，DE交AC于点F．（1）求证：△ABE∽△DAF；（2）当AC•FC＝AE•EC时，求证：AD＝BE．15．（2019•普陀区二模）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，，△ADE 的面积等于3．（1）求△ABC的面积；（2）如果BC＝9，且cot B，求∠AED的正切值．16．（2019•闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．（1）求证：∠BPD＝∠MAN；（2）如果sin∠，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE∥QC，求的值．17．（2019•闵行区二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AC．过点A作AE⊥CD，垂足为点E，AE与BD相交于点F．过点C作CG⊥AC，与AE的延长线相交于点G．求证：（1）△ACG≌△DOA；（2）DF•BD＝2DE•AG．18．（2019•崇明区二模）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．过点D作DE⊥BC，交AC于点F．（1）联结OE，若，求证：OE∥CD；（2）若AD＝CD且BD⊥CD，求证：．19．（2019•黄浦区二模）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，DO＝BO，过点C作CE⊥AC，交BD的延长线于点E，交AD的延长线于点F，且满足∠DCE＝∠ACB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求证：．20．（2019•黄浦区二模）已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠C，点E是射线AD上一点，点F是射线DC上一点，且满足∠BEF＝∠A．（1）如图1，当点E在线段AD上时，若AB＝AD，在线段AB上截取AG＝AE，联结GE．求证：GE＝DF；（2）如图2，当点E在线段AD的延长线上时，若AB＝3，AD＝4，cos A，设AE＝x，DF＝y，求y 关于x的函数关系式及其定义域；（3）记BE与CD交于点M，在（2）的条件下，若△EMF与△ABE相似，求线段AE的长．21．（2019•黄浦区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD＝∠B，点E在边AB上，联结CE 交AD于点H，点F在CE上，且满足CF•CE＝CD•BC．（1）求证：△ACF∽△ECA；（2）当CE平分∠ACB时，求证：．22．（2019•长宁区一模）已知锐角∠MBN的余弦值为，点C在射线BN上，BC＝25，点A在∠MBN的内部，且∠BAC＝90°，∠BCA＝∠MBN．过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E．点F 在线段BE上（点F不与点B重合），且∠EAF＝∠MBN．（1）如图1，当AF⊥BN时，求EF的长；（2）如图2，当点E在线段BC上时，设BF＝x，BD＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF，当△ADF与△ACE相似时，请直接写出BD的长．23．（2019•虹口区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE•CD＝AD•CE；（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．24．（2019•浦东新区一模）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C重合，小三角尺的顶点D、E分别在大三角尺的直角边AC、BC上，此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G．已知∠A＝∠CDE＝30°，AB＝12．（1）求小三角尺的直角边CD的长；（2）将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边AB上时（如图2），求点B、E 之间的距离；（3）在小三角尺绕点C旋转的过程中，当直线DE经过点A时，求∠BAE的正弦值．25．（2019•普陀区一模）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．26．（2019•宝山区一模）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F．（1）若AP，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．27．（2019•黄浦区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点O是AB的中点，点D是边AC 上一点，DE⊥BD，交BC的延长线于点E，OD⊥DF，交BC边于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为点G，EG分别交BD、DF、DC于点M、N、H．（1）求证：；（2）设CD＝x，NE＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，求线段CD的长．28．（2019•徐汇区一模）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．29．（2019•奉贤区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝4，AB＝2CD＝6，E 是边BC上一点，过点D、E分别作BC、CD的平行线交于点F，联结AF并延长，与射线DC交于点G．（1）当点G与点C重合时，求CE：BE的值；（2）当点G在边CD上时，设CE＝m，求△DFG的面积；（用含m的代数式表示）（3）当△AFD∽△ADG时，求∠DAG的余弦值．30．（2019•青浦区一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：DE∥BC；（2）如果S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，求S△ADE：S△BDE的值．31．（2019•松江区一模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE 上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．求的值．32．（2019•静安区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC和AB上，且AD＝AC，EB＝ED，分别延长ED、AC交于点F．（1）求证：△ABD∽△FDC；（2）求证：AE2＝BE•EF．33．（2019•松江区一模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E是对角线AC上一点，且AC•CE＝AD•BC．（1）求证：∠DCA＝∠EBC；（2）延长BE交AD于F，求证：AB2＝AF•AD．34．（2019•闵行区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交边AC于E．过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）如果，求线段EF的长；（2）求∠CFE的正弦值．35．（2019•青浦区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．（1）求证：BG＝CH；（2）设AD＝x，△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．36．（2019•嘉定区一模）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．37．（2019•长宁区一模）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F，且AE•AB ＝AD•AC．（1）求证：∠FEB＝∠C；（2）连接AF，若，求证：EF•AB＝AC•FB．38．（2019•杨浦区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，CE＝2BE，AC、DE相交于点F．（1）求DF：EF的值；（2）如果，，试用、表示向量．39．（2019•闵行区一模）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果，求证：AB＝BD．40．（2019•普陀区一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．（1）求EC：BC的值；（2）设，，那么，（用向量、表示）41．（2019•杜尔伯特县一模）如图6，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC •AE．（1）求证：∠BAC＝∠AED；（2）在边AC取一点F，如果∠AFE＝∠D，求证：．42．（2019•青浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．43．（2019•黄浦区一模）如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．44．（2019•普陀区一模）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：．45．（2019•武昌区模拟）已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，联结BE，ED2＝EA•EC．（1）求证：∠EBA＝∠C；（2）如果BD＝CD，求证：AB2＝AD•AC．46．（2019•杨浦区一模）如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，点E为边AD的中点，CE交BD于点G．（1）求的值；（2）如果设，，试用、表示．47．（2019•浦东新区一模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，联结EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．（1）求证：；（2）当BC2＝2BA⋅BE时，求证：∠EMB＝∠ACD．48．（2019•金山区一模）如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．（1）求证：AM2＝MF•MH．（2）若BC2＝BD•DM，求证：∠AMB＝∠ADC．49．（2019•滦南县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，C为圆上一点，D是的中点，CH⊥AB于H，垂足为H，联OD交弦BC于E，交CH于F，联结EH．（1）求证：△BHE∽△BCO．（2）若OC＝4，BH＝1，求EH的长．50．（2019•杨浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠ACD＝∠B ＝∠BAE．（1）求证：；（2）当点E为CD中点时，求证：．。
专题 全等三角形六种基本模型(学生版)
专题全等三角形六种基本模型通用的解题思路：模型一：一线三等角模型一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
或叫“K字模型”。
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”模型二：手拉手模型--旋转型全等一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；题型三：倍长中线模型构造全等三角形倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
常用于构造全等三角形。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS”证明) (注：一般都是原题已经有中线时用)。
三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等在△ABC中AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD题型四：平行线+线段中点构造全等模型题型五：等腰三角形中的半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
2022年北师大版九年级数学中考二轮复习旋转型相似专题综合训练
2022年春北师大版九年级数学中考二轮复习《旋转型相似》专题综合训练（附答案）一．选择题1．如图，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'，则BB'：CC'等于（）A．AB：AC B．BC：AC C．AB：BC D．AC：AB2．如图，∠1＝∠2＝∠3，AC，DE交于M，图中相似三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对3．如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE，其中一定成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△AB′C′，连接BB′、CC′，已知AB＝c，AC＝b，BC＝a，则BB′：CC′等于（）A．c：b B．a：b C．c：a D．b：c5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于∠DAC，且DG⊥PG，即∠DPG＝∠DAC．连接CG，则CG最小值为（）A．B．C．D．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）A．B．C．D．3二．填空题7．如图，已知∠1＝∠2，当＝时，△ABC∽△ADE．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AB的中点，M是线段AC上的一动点，连结DM．以DM为直角边作直角三角形DEM，使得∠DEM＝30°，斜边DE所在直线交射线MC于点F．若△MDF的面积是△MEF面积的倍，则CM的长为．9．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM；④sin∠CPB＝；其中正确的结论有．（写出所有正确结论的序号）．10．如图，AB＝4，AC＝，∠DAB＝∠DBC＝30°，∠BDC＝90°，ED⊥AD交AB于E，则DE的长是．11．如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论①BC＝DE；②∠ABC＝∠ADE；③∠BAD＝∠CAE；④BD＝CE，其中一定成立的有．12．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝11cm，CF＝3cm，则AC＝．三．解答题13．感知：如图①，点D是等边△ABC的边AB上的一点，以CD为边在CD的上方作等边△CDE，连接AE，易证BD＝AE（不用证明）；探究：如图②，点D是Rt△ABC的边AB上的一点，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，∠CED＝30°，连接AE，猜想BD与AE的数量关系，并说明理由；应用：在（2）的条件下，当BD＝1，AB∥CE时，则四边形ABCE的面积为．14．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点F处，连接FC，FD．（1）当点E是AD中点时，求证：∠AEB＝∠EDF；（2）当AB＝6，BC＝10时，求sin∠FCB的最大值；（3）当AB2＝AE•BC时，求证：点F在线段AC上．15．如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．16．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，，求的值．17．如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE ＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．18．在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE．（1）如图1，∠AED＝°；（2）连接CE交直线AB于点F，直线CE交BD于点H．①如图2所示，试说明∠DBA＝∠ECA；②设∠ABC＝α，旋转的角度∠CAE＝β（0°＜β＜360°），当α、β满足什么关系时，△BCF 是等腰三角形．19．如图1，P是四边形ABCD内一点，连接P A，PB，PC，PD，BD，∠ABD＝∠PCD＝90°，CP＝CD，AB＝DB，∠APB＝135°．（1）求证：△BCD∽△APD．（2）若P A＝，PB＝．求PC的长．（3）如图2，∠ABD＝∠PCD＝∠APB＝120°，CP＝CD，AB＝DB，请直接写出P A，PB，PC之间的数量关系．20．在正方形ABCD中，将一块直角三角板的直角顶点放在对角线AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交线段AB、BC于D′、E两点．如图1是旋转三角板后所得到图形中的1种情况．（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD′和PE之间有什么数量关系？并结合如图1加以证明；（2）若将三角板的直角顶点放在对角线AC上的M处，且AM：MC＝2：5，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明．21．把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交于BE于点F．（1）问：AD与BE在数量上和位置上分别有何关系？说明理由．（2）若将45°角换成30°如图2，AD与BE在数量和位置上分别有何关系？说明理由．（3）若将图2中两个三角板旋转成图3、图4、图5的位置，则（2）中结论是否仍然成立，选择其中一种图形进行说明．22．现有一副直角三角板，按下列要求摆放：（1）如图1，固定等腰直角三角板ABC，AO⊥BC于点O，另一个直角三角板DEF的直角顶点D与点O重合，现让三角板DEF绕点O旋转，使DF、DE分别交AB、AC于点M、N，试求的值；（2）如图2，交换两块直角三角板的位置，固定直角三角板ABC，AO⊥BC于点O，另一个等腰直角三角板DEF的直角顶点D与点O重合，DF、DE分别交AB、AC于点M、N，试求出的值．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，∴∠B′AB＝∠C′AC，AB′＝AB，AC′＝AC，∴△ABB′∽△ACC′，∴＝．故选：A．2．解：∵∠2＝∠3，∠AME＝∠DMC，∴△AME∽△DMC，∴∠ACD＝∠AED，∵∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴，∠B＝∠ADE，即，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠AMD＝∠EMC，∴△AMD∽△EMC．∴图中相似三角形共有4对．故选：B．3．解：∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，但不能得出DB＝CE，故选：C．4．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△AB′C′，∴AB＝AB'，AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'，∴∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，∴BB′：CC′＝AB：AC＝c：b，故选：A．5．解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E，∵DG⊥PG，DH⊥AC，∴∠DGP＝∠DHA，∵∠DPG＝∠DAH，∴△ADH∽△PDG，∴，∠ADH＝∠PDG，∴∠ADP＝∠HDG，∴△ADP∽△DHG，∴∠DHG＝∠DAP＝定值，∴点G在射线HF上运动，∴当CG⊥HF时，CG的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠HDF＝90°，∵∠DAH+∠ADH＝90°，∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，∴FD＝FH，∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC＝DF＝1，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝2，由勾股定理得AC＝2，DH＝，∴CH＝＝，∴EH＝，∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，∴△CGF≌△HEF（AAS），∴CG＝HE＝，∴CG的最小值为，故选：C．6．解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠P AQ＝60°，BA＝F A，P A＝QA，∴∠BAP＝∠F AQ，在△BAP和△F AQ中，，∴△BAP≌△F AQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠F AE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°＝，∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝5，∴DE＝AD﹣AE＝，∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE•sin60°＝×＝，根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为，故选：A．二．填空题7．解：添加条件＝后，△ABC∽△ADE．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，又∵＝，∴△ADE∽△ABC．即△ABC∽△ADE．故答案为：．8．解：如图，过点D作DG⊥AC于G，过点E作EH⊥AC于H，则∠DGM＝∠MHE＝90°，在Rt△ABC中，BC＝＝＝6，∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝5，∵∠AGD＝∠ACB＝90°，∠DAG＝∠BAC，∴△ADG∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，∴DG＝3，AG＝4，∴CG＝AC﹣AG＝8﹣4＝4，∵△MDF的面积是△MEF面积的倍，∴FM•DG＝×FM•EH，∴DG＝EH，即EH＝DG＝，在Rt△DEM中，∠DME＝90°，∠DEM＝30°，∴＝tan∠DEM＝tan30°＝，∵∠DMG+∠MDG＝90°，∠DMG+∠EMH＝∠DME＝90°，∴∠MDG＝∠EMH，∴△DMG∽△MEH，∴＝，∴＝，∴MG＝1，∴CM＝CG+MG＝4+1＝5，故答案为：5．9．解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴CA＝AB，AD＝AE，∠AED＝∠ABC＝90°，∠DAE＝∠CAB＝45°，∴∠DAE+∠EAC＝∠CAB+∠EAC，∴∠DAC＝∠EAB，∵＝＝，∴△BAE∽△CAD，故①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠AEB＝∠ADC，∵∠PME＝∠AMD，∴△EMP∽△DMA，∴＝，∴MP•MD＝MA•ME，故②正确；∵MP•MD＝MA•ME，∴＝，∵∠AMP＝∠DME，∴△DEM∽△APM，∴∠APM＝∠DEM＝90°，∵∠DAE＝∠CAB＝45°，∴∠EAC＝180°﹣（∠DAE+∠CAB）＝90°，∴∠EAC＝∠APC，∵∠ACP＝∠ACM，∴△CP A∽△CAM，∴＝，∴CA2＝CP•CM，∴2CB2＝CP•CM，故③正确；设BE与AC相交于点F，∵△BAE∽△CAD，∴∠ACD＝∠ABE，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠CPB＝∠CAB＝45°，∴sin∠CPB＝，故④错误，所以，正确的结论有：①②③，故答案为：①②③．10．解：连接EC，∵∠ADE＝∠BDC＝90°，∠DAB＝∠DBC＝30°，∴，△ADE∽△BDC，∵∠ADB＝∠ADE+∠EDB，∠EDC＝∠BDC+∠EDB，∴∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，∴，∠ABD＝∠ECD，∵∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠DBC+∠ECB+∠EBD＝90°，∴∠BEC＝90°，∵AB＝4，∴EC＝，∵AC＝，∴AE＝＝，∴DE＝AE＝．11．解：∵△ABC≌△ADE∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC∴∠BAD＝∠CAE故答案为：①②③12．解：∵AE＝BE，DE是AB的垂线，∴AD＝BD，∠ADE＝∠BDE＝90°，在△ADF和△BDF中，，∴△ADF≌△BDF（SAS），∴AF＝BF，∴AC＝AF+CF＝BF+CF，∵BF＝11cm，CF＝3cm，∴AC＝14cm，故答案为：14cm．三．解答题13．解：探究：∵∠BAC＝∠DEC＝30°，∠B＝∠EDC＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴，即AE＝2BD．应用：∵BD＝1，∴AE＝2BD＝2，∵△BCD∽△ACE，∴∠CAE＝90°，∵AB∥CE，∴∠ACE＝30°，∴CE＝2AE＝4，AC＝，∠BCE＝90°，∴四边形ABCE为直角梯形，且BC＝AC＝，∴AB＝＝3，∴＝．故答案为：．14．（1）证明：由折叠性质得，AE＝EF，∠AEB＝∠BEF，∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∴ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD，∵∠FED+∠EDF+∠EFD＝180°，∠AEB+∠BEF+∠FED＝180°，∴∠AEB＝∠EDF；（2）解：如图2，过点B作BG⊥FC交CF的延长线于点G，则∠BGC＝90°，以点B为圆心、AB长为半径作⊙B，则点F在⊙B上运动，∵sin∠FCB＝＝，∴sin∠FCB的值随BG的增大而增大，∴BG越大则sin∠FCB的值越大，∵BG≤FB，∴当点G与点F重合时，BG＝FB＝6，此时BG最大，sin∠FCB的值也最大，如图3，当点G与点F重合时，则∠BFC＝90°，此时sin∠FCB＝＝＝，∴sin∠FCB的最大值为；（3）证明：如图3，∵AB2＝AE•BC，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠EAB＝90°，∴△ABC∽△EAB，∴∠ACB＝∠EBA，∵∠EBA+∠CBT＝∠ABC＝90°，∴∠BTC＝90°，∴BE⊥AC，∵△BEA沿着BE折叠得到△BEF，∴A、F关于BE对称，∴AF⊥BE，∴点F在线段AC上．15．（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为3＜x＜9．16．问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．17．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△ACD∽△BCE；（2）解：过A作AG⊥CD于G，由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，∴AG＝CG，在Rt△ACG中，由勾股定理得：∴CG＝AG＝3，∴S＝＝．18．解：（1）90°；（2）①由旋转的性质可知，旋转中心为A点，B与D，C与E分别为对应点，∴AB＝AD，AC＝AE，旋转角∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴∠DBA＝∠ECA；②如图1，BF＝CF，β＝2α，如图2，BC＝BF，β＝180°﹣α，如图3，BC＝CF，β＝360°﹣4α，如图4，BC＝BF，β＝360°﹣α．19．（1）证明：∵∠ABD＝∠PCD＝90°，CP＝CD，AB＝BD，∴△PCD与△ABD都是等腰直角三角形，∴∠CDP＝∠BDA＝45°，∴，∴∠CDB＝∠PDQ，∴△BCD∽△APD；（2）解：∵△BCD∽△APD，∴∠APD＝∠BCD，，∴BC＝，∵∠CPD+∠BP A＝45°+135°＝180°，∴∠APD+∠BPC＝180°，∴∠BCD+∠BPC＝180°，∴∠DCP+∠BCP+∠BPC＝180°，∴90°+∠BCP+∠BPC＝180°，∴∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴BC2+PB2＝PC2，∴1＝PC2，∴PC＝（负值舍去），（3）解：，理由如下：如图，过点C作CE⊥PD于点E，则∠CED＝90°，∵CP＝CD，∴∠CDP＝＝＝30°，∴DP＝2DE，∴cos∠CDE＝cos30°＝，∴，同理，AB＝BD，∠ABD＝120°，∴∠BDA＝30°，，∴，∠BDA＝∠CDP，∴∠PDA＝∠CDB，∴△PDA∽△CDB，∴＝，∠APD＝∠BCD，∴BC＝，∵∠APB+∠CPD＝120°+30°＝150°，∴∠BPC+∠APD＝360°﹣（∠APB+∠CPD）＝360°﹣150°＝210°，∴∠BPC+∠BCD＝∠BPC+∠BCP+∠DCP＝∠BPC+∠BCP+120°，∴∠BPC+∠BCP+120°＝210°，∴∠BPC+∠BCP＝90°，∴BC2+PB2＝PC2，∵BC，∴．20．解：（1）连接PB．∵四边形ABCD是正方形，P是AC的中点，∴CP＝PB，BP⊥AC，∠ABP＝∠ABC＝45°，即∠ABP＝∠ACB＝45°，又∵∠FPB+∠BPE＝∠BPE+∠CPE＝90°，∴∠FPB＝∠CPE，即△PBF≌△PCE，∴PD′＝PE；（2）MD：ME＝2：5．过点M作MF⊥AB，MH⊥BC，垂足分别是F、H，则MH∥AB，MF∥BC，即四边形BFMH是平行四边形．∵∠B＝90°，∴▱BFMH是矩形，即∠FMH＝90°，MF＝BH，∵BH：HC＝AM：MC＝2：5，而HC＝MH，∴＝2：5，∵∠DMF+∠DMH＝∠DMH+∠EMH＝90°，∴∠DMF＝∠EMH．因为∠FD＝∠MHE＝90°，∴△MDF∽△MHE，∴＝＝2：5．21．解：（1）AD＝BE；AD⊥BE．由题可得：CE＝CD；CB＝CA；∠ECD＝∠BCA＝90°，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC，又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°，即AD⊥BE．（2）BE＝AD；AD⊥BE；证明如下：由题可得：CE＝CD；CB＝CA，∴，又∠ECD＝∠BCA＝90°，∴△ECB∽△DCA，∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC；又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°即：AD⊥BE；（3）结论成立，仍然证△ECB∽△DCA，得到BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，图3：由∠CP A+∠CAP＝90°，得∠BPF+∠CAP＝90°，又∠EBC＝∠CAD∴∠BPE+∠EBC＝90°，∴∠AFB＝90°即：AD⊥BE；图4：由题可知：∠CAD+∠BAF＝120°又∠EBC＝∠CAD∴∠BAF+∠EBC＝120°而∠CBA＝30°，∴∠BAF+∠FBA＝90°，∴∠AFB＝90°即：AD⊥BE图5：由∠CPB+∠EBC＝90°，得∠APE+∠EBC＝90°，又∠EBC＝∠CAD，∴∠CAD+∠APE＝90°，∴∠AFB＝90°即：AD⊥BE．22．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴OA＝OB，∠OAN＝∠B＝45°；又∵∠BOM＝∠AON＝90°﹣∠AOM，∴△MBO≌△NAO，∴AN：BM＝1：1＝1．（2）Rt△ABC中，AO⊥BC，则∠NAO＝∠MBO，又∵∠BOM＝90°﹣∠AOM，∠AON＝90°﹣∠AOM∴∠BOM＝∠AON∴△MBO∽△NAO，∴AN：BM＝AO：BO＝tan∠B＝tan60°＝．。
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题17 图形的变化之解答题(1)(50道题)(解析版)
专题17 图形的变化之解答题（1）参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．【答案】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（4570）厘米．答：点D′到BC的距离为（4570）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，∴AE30厘米，∴EE′＝30厘米．答：E、E′两点的距离是30厘米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．2．（2019•上海）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．【答案】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OC，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD＝CD；（2）如图2，连接OB，∵AB2＝AO•AD，∴，∵∠BAO＝∠DAB，∴△ABO∽△ADB，∴∠OBA＝∠ADB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAB＝∠BDA，∴AB＝BD，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝AC＝BD＝CD，∴四边形ABDC是菱形．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．3．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．【答案】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD∠BAC，同理∠ABD∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE（∠ABC+∠BAC）＝90°∠C，∴∠E＝90°﹣（90°∠C）∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，，∵BD：DE＝2：3，∴cos∠ABC．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E∠C，∴∠ABC＝∠E∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，此时2．②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时2．综上所述，∠ABC＝30°或45°，2或2．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．4．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．【答案】解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF，∵tan∠DBF，∴DF，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD，∴AD＝5，则．【点睛】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．5．（2019•嘉定区二模）如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，△EBC沿直线EC翻折，使B点落在矩形ABCD内部的点P处，联结AP并延长AP交CD于点F，联结BP交CE于点Q．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如果P A＝PE，求证：△APB≌△EPC．【答案】证明：（1）由折叠得到EC垂直平分BP，设EC与BP交于Q，∴BQ＝EQ∵E为AB的中点，∴AE＝EB，∴EQ为△ABP的中位线，∴AF∥EC，∵AE∥FC，∴四边形AECF为平行四边形；（2）∵AF∥EC，∴∠APB＝∠EQB＝90°，由翻折性质∠EPC＝∠EBC＝90°，∠PEC＝∠BEC，∵E为直角△APB斜边AB的中点，且AP＝EP，∴△AEP为等边三角形，∠BAP＝∠AEP＝60°，∠CEP＝∠CEB60°，在△ABP和△EPC中，∠∠，∴△ABP≌△EPC（AAS）．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．6．（2019•宝山区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，联结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）如果P A＝PE，联结BP，求证：△APB≌△EPC．【答案】证明：（1）由折叠得到EC垂直平分BP，设EC与BP交于Q，∴BQ＝EQ∵E为AB的中点，∴AE＝EB，∴EQ为△ABP的中位线，∴AF∥EC，∵AE∥FC，∴四边形AECF为平行四边形；（2）∵AF∥EC，∴∠APB＝∠EQB＝90°，由翻折性质∠EPC＝∠EBC＝90°，∠PEC＝∠BEC∵E为直角△APB斜边AB的中点，且AP＝EP，∴△AEP为等边三角形，∠BAP＝∠AEP＝60°，∠∠∠∠在△ABP和△EPC中，∴△ABP≌△EPC（AAS）【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7．（2019•崇明区二模）如图，已知△ABC中，AB＝6，∠B＝30°，tan∠．（1）求边AC的长；（2）将△ABC沿直线l翻折后点B与点A重合，直线l分别与边AB、BC相交于点D、E，求的值．【答案】解：（1）过A作AH⊥BC，垂足为H，如图1所示：∵AB＝6，∠B＝30°，AH⊥BC，∴AH＝3，∵tan∠ACB，∴CH＝2，∴AC；（2）由翻折得：BD AB＝3，AE＝BE，∠BDE＝90°，∵cos B，∴，∴BE＝2，∴AE＝2，∴EH，∴EC＝CH+EH＝2，∴46．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．8．（2019•青浦区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF，CE与AF相交于点G．（1）求证：∠FGC＝∠B；（2）延长CE与DA的延长线交于点H，求证：BE•CH＝AF•AC．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，而AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，在△ABF和△CAE中，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴∠BAF＝∠ACE，∵∠FGC＝∠GAC+∠ACG＝∠GAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∴∠FGC＝∠B；（2）如图，∵四边形ABCD为菱形，∴∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BCE＝∠H，∴△BCE∽△DHC，∴，∵△ABF≌△CAE，∴CE＝AF∵CA＝CB＝CD，∴，∴BE•CH＝AF•AC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；同时灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了菱形的性质．9．（2019•浦东新区二模）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝AD，AM⊥BD，垂足为点M，连接CM并延长，交线段AB于点N．求证：（1）∠ABD＝∠BCM；（2）BC•BN＝CN•DM．【答案】证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠MBC，∴∠ABD＝∠MBC，∵AB＝AD，AM⊥BD，∴BM＝DM，∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴CM＝BM＝DM，∴∠MBC＝∠BCM，∴∠ABD＝∠BCM；（2）∵∠BNM＝∠CNB，∠NBM＝∠NCB，∴△NBM∽△NCB，∴BN：CN＝BM：BC，而BM＝DM，∴BN：CN＝DM：BC，∴BC•BN＝CN•DM．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．10．（2019•静安区二模）已知：如图5，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）如果CD2＝BF•BC，求∠BAF的度数．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵点M为AC的中点，∴AM＝CM．在△AME与△CMF中∠∠∴△AME≌△CMF（ASA），∴ME＝MF．∴四边形AECF为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF为菱形；（2）解：∵CD2＝BF•BC，∴，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∴又∵∠ABF＝∠CBA，∴△ABF∽△CBA，∴∠2＝∠3，∵四边形AECF为菱形，∴∠1＝∠4，即∠1＝∠3＝∠4，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠1+∠3+∠4＝90°，∴即∠1＝30°．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了菱形的判定与性质和矩形的性质．11．（2019•虹口区二模）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥AC，联结OE交BC 于点F，点F为BC的中点．（1）求证：四边形AOEB是平行四边形；（2）如果∠OBC＝∠E，求证：BO•OC＝AB•FC．【答案】证明：（1）∵BE∥AC，∴△COF∽△BFE∴∵点F为BC的中点，∴CF＝BF，∴OC＝BE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO∴AO＝BE∵BE∥AC，∴四边形AOEB是平行四边形（2）∵四边形AOEB是平行四边形，∴∠BAO＝∠E∵∠OBC＝∠E，∴∠BAO＝∠OBC∵∠ACB＝∠BCO，∴△COB∽△CBA∴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC∵点F为BC的中点，∴BC＝2FC∴即BO•OC＝AB•FC【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答．12．（2019•普陀区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AD＜BC，点E在AD的延长线上，∠ACE＝∠BCD，EC2＝ED•EA．（1）求证：四边形ABCD为梯形；（2）如果，求证AB2＝ED•BC．【答案】（1）证明：∵EC2＝ED•EA∴而∠E＝∠E∴△ECA∽△EDC∴∠EAC＝∠ECD又∵∠ACE＝∠BCD∴∠ACE﹣∠ACD＝∠BCD﹣∠ACD即∠ECD＝∠BCA∴∠EAC＝∠BCA∴AE∥BC，∵AD＜BC，故四边形ABCD是梯形．（2）证明：由（1）可知△ECA∽△EDC∴即得而由已知可得∴CD＝AB，即梯形ABCD是等腰梯形∴∠B＝∠BCD而∠BCD＝∠EDC∴∠B＝∠EDC由（1）知∠BCA＝∠ECD∴△ABC∽△EDC∴而AB＝CD∴AB2＝ED•BC故AB2＝ED•BC得证．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，以及等腰梯形的判定与性质，通过比例式得出对应线段相等也是证明线段相等的一种方法．13．（2019•长宁区二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E在边CB的延长线上，且∠EAC＝90°，AE2＝EB•EC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）延长DB、AE交于点F，若AF＝AC，求证：AE＝BF．【答案】证明：（1）∵AE2＝EB•EC∴又∵∠AEB＝∠CEA∴△AEB∽△CEA∴∠EBA＝∠EAC而∠EAC＝90°∴∠EBA＝∠EAC＝90°又∵∠EBA+∠CBA＝180°∴∠CBA＝90°而四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形即得证．（2）∵△AEB∽△CEA∴即，∠EAB＝∠ECA∵四边形ABCD是矩形∴OB＝OC∴∠OBC＝∠ECA∴∠EBF＝∠OBC＝∠ECA＝∠EAB即∠EBF＝∠EAB又∵∠F＝∠F∴△EBF∽△BAF∴而AF＝AC∴BF＝AE即AE＝BF得证．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及矩形的性质，利用三角形的相似进行边与角的转化是解决本题的关键．14．（2019•张店区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，E是边BC上的点，且∠AED＝∠CAD，DE交AC于点F．（1）求证：△ABE∽△DAF；（2）当AC•FC＝AE•EC时，求证：AD＝BE．【答案】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DAF＝∠B，∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠CAD＝∠ACB，∴∠DEC＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADF，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF．（2）∵AC•FC＝AE•EC，AC＝AB，∴AB•FC＝AE•EC，∵∠B＝∠FCE，∠BAE＝∠FEC，∴△BAE∽△CEF，∴，∴，∴FC＝EF，∴∠FEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠B，∴∠B＝∠FEC，∴AB∥DE，∵AD∥BE，∴四边形ADEB是平行四边形，∴AD＝BE．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（2019•普陀区二模）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，，△ADE 的面积等于3．（1）求△ABC的面积；（2）如果BC＝9，且cot B，求∠AED的正切值．【答案】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2，∵S△ADE＝3，∴S△ABC＝27．（2）如图，作AH⊥BC于H．∵S△ABC BC×AH＝27，∴AH＝6，∵cot B，∴BH＝4，CH＝9﹣4＝5，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∴tan∠AED＝tan∠C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．16．（2019•闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．（1）求证：∠BPD＝∠MAN；（2）如果sin∠，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE ∥QC，求的值．【答案】（1）证明：∵PB⊥AM，PC⊥AN，∴∠PBA＝∠PCA＝90°，∵∠BAC+∠PCA+∠BPC+∠PBA＝360°，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPD+∠BPC＝180°，∴∠MAN＝∠BPD；（2）解：∵BE⊥AP，∠D＝90°，BE＝BD，∴∠BPD＝∠BPE．∴∠BPE＝∠BAC，在Rt△ABP中，由∠ABP＝90°，BE⊥AP，∴∠APB＝∠ABE，∴∠BAC＝∠ABE，∴sin∠BAC＝sin∠ABE，∵AB＝2，∴AE＝6，∴BE2，∴BD＝BE＝2；（3）解：过点B作BG⊥AC，垂足为点G．过点Q作QH∥BD，设BD＝2a，PC＝2b，∵∠BPD＝∠MAN＝45°，∴DP＝BD＝2a，∴CD＝2a+2b，在Rt△ABG和Rt△BDP中，∠BAC＝∠BPD＝45°，∴BG＝AG，DP＝BD，∵QH∥BD，点Q为BP的中点，∴PH PD＝a．QH BD＝a，∴CH＝PH+PC＝a+2b，∵BD∥AC，CD⊥AC，BG⊥AC，∴BG＝DC＝2a+2b．∴AC＝4a+2b，∵BE∥QC，BE⊥AP，∴∠CFP＝∠BEP＝90°，又∠ACP＝90°，∴∠QCH＝∠P AC，∴△ACP∽△QCH，∴，即，解得，a＝b，∴CH＝3a．由勾股定理得，CQ a，∵∠QHC＝∠PFC＝90°，∠QCH＝∠PCF，∴△QCH∽△PFC，∴，即，解得，FC a，∴QF＝QC﹣FC a，∵BE∥QC，Q是PB的中点，∴PE＝EF，∴△PQF与△CEF面积之比等于高之比，∴．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17．（2019•闵行区二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AC．过点A作AE⊥CD，垂足为点E，AE与BD相交于点F．过点C作CG⊥AC，与AE的延长线相交于点G．求证：（1）△ACG≌△DOA；（2）DF•BD＝2DE•AG．【答案】证明：（1）∵在菱形ABCD中，AD＝CD，AC⊥BD，OB＝OD，∴∠DAC＝∠DCA，∠AOD＝90°，∵AE⊥CD，CG⊥AC，∴∠DCA+∠GCE＝90°，∠G+∠GCE＝90°，∴∠G＝∠DCA，∴∠G＝∠DAC，∵BD＝2AC，BD＝2OD，∴AC＝OD，在△ACG和△DOA中，∠∠∴△ACG≌△DOA（AAS）；（2）∵AE⊥CD，BD⊥AC，∴∠DOC＝∠DEF＝90°，又∵∠CDO＝∠FDE，∴△CDO∽△FDE，∴，即得OD•DF＝DE•CD，∵△ACG≌△DOA，∴AG＝AD＝CD，又∵OD BD，∴DF•BD＝2DE•AG．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．18．（2019•崇明区二模）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．过点D作DE⊥BC，交AC于点F．（1）联结OE，若，求证：OE∥CD；（2）若AD＝CD且BD⊥CD，求证：．【答案】证明：（1）∵∠ABD＝90°，DE⊥BC，∴AB∥DE，∴，∵，∴，∴OE∥CD；（2）∵AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED为平行四边形又∵∠ABD＝90°，∴四边形ABED为矩形，∴AD＝BE，∠ADE＝90°，又∵BD⊥CD，∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°，∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°，∴∠CDE＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，在△ADO和△CDF中∠∠∴△ADO≌△CDF（ASA），∴OD＝DF，∵AB∥DE，∴，∵AD∥BC，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角梯形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．19．（2019•黄浦区二模）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，DO＝BO，过点C作CE⊥AC，交BD的延长线于点E，交AD的延长线于点F，且满足∠DCE＝∠ACB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求证：．【答案】解：（1）证明∵AD∥BC，∴，∵DO＝BO，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AC，∴∠ACD+∠DCE＝90°，∵∠DCE＝∠ACB，∴∠ACB+∠ACD＝90°，即∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∠ADC＝90°，∵AD∥BC，∴，∴∴，∵∠ADC＝∠ACF＝90°，∴∠，∴．【点睛】本题主要考查对矩形的性质，成比例的线段性质的理解和掌握，此题难度不大．20．（2019•黄浦区二模）已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠C，点E是射线AD上一点，点F是射线DC上一点，且满足∠BEF＝∠A．（1）如图1，当点E在线段AD上时，若AB＝AD，在线段AB上截取AG＝AE，联结GE．求证：GE＝DF；（2）如图2，当点E在线段AD的延长线上时，若AB＝3，AD＝4，cos A，设AE＝x，DF＝y，求y 关于x的函数关系式及其定义域；（3）记BE与CD交于点M，在（2）的条件下，若△EMF与△ABE相似，求线段AE的长．【答案】解：（1）∵AG＝AE，∴∠．∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝2∠C，∴∠，∴∠AGE＝∠C，∵AD∥BC，∴∠D+∠C＝180°，又∠BGE+∠AGE＝180°，∴∠BGE＝∠D，∵∠BEF+∠FED＝∠A+∠GBE，∵∠BEF＝∠A，∴∠FED＝∠GBE，又AB＝AD，AG＝AE，∴BG＝ED，∴△GBE≌△DEF（ASA），∴GE＝DF；（2）在射线AB上截取AH＝AE，联结EH，∵∠HBE＝∠A+∠AEB，∠DEF＝∠BEF+∠AEB，又∠BEF＝∠A，∴∠HBE＝∠DEF．∵AD∥BC，∴∠EDC＝∠C，∠A+∠ABC＝180°．∵AH＝AE，∴∠，又∠ABC＝2∠C，∴∠H＝∠C，∴∠H＝∠EDC，∴△BHE∽△EDF，∴．过点H作HP⊥AE，垂足为点P．∵，AE＝AH＝x，∴，，，∴，∵AB＝3，AD＝4，AE＝x，DF＝y，∴，∴＞；（3）记EH与BC相交于点N．∵△EMF∽△ABE，∠BEF＝∠A，∴∠AEB＝∠EMF，或∠AEB＝∠EFM，若∠AEB＝∠EMF，又∠AEB＜∠EMF，矛盾，∴此情况不存在，若∠AEB＝∠EFM，∵△BHE∽△EDF，∴∠BEH＝∠EFM，∴∠AEB＝∠BEH，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠BEH＝∠EBC，∴BN＝EN＝BH＝x﹣3，∵AD∥BC，∴，∴，∴，∴线段AE的长为．【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．21．（2019•黄浦区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD＝∠B，点E在边AB上，联结CE 交AD于点H，点F在CE上，且满足CF•CE＝CD•BC．（1）求证：△ACF∽△ECA；（2）当CE平分∠ACB时，求证：．【答案】（1）证明：∵∠ACD＝∠BCA，∠CAD＝∠B，∴△ACD∽△BCA，∴，∴AC2＝CD•BC，∵CF•CE＝CD•BC，∴AC2＝CF•CE，∴，∵∠ACF＝∠ECA，∴△ACF∽△ECA；（2）证明：∵CF•CE＝CD•BC，∴，∵∠DCF＝∠ECB，∴△CFD∽△CBE，∴∠CFD＝∠B，∵∠CAD＝∠B，∴∠CFD＝∠CAD，∴A，F，D，C四点共圆，∴∠AFC＝∠ADC，∵△ACF∽△ECA，∴∠CAE＝∠AFC，∴∠CAE＝∠ADC，∵当CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠DCH，∴△ACE∽△DCH，∴（）2，∵AC2＝CD•BC，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．（2019•长宁区一模）已知锐角∠MBN的余弦值为，点C在射线BN上，BC＝25，点A在∠MBN的内部，且∠BAC＝90°，∠BCA＝∠MBN．过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E．点F 在线段BE上（点F不与点B重合），且∠EAF＝∠MBN．（1）如图1，当AF⊥BN时，求EF的长；（2）如图2，当点E在线段BC上时，设BF＝x，BD＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF，当△ADF与△ACE相似时，请直接写出BD的长．【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴cos∠BCA＝cos∠MBN，∴∴AC＝15∴AB20∵S△ABC AB×AC BC×AF，∴AF12，∵AF⊥BC∴cos∠EAF＝cos∠MBN∴AE＝20∴EF16（2）如图，过点A作AH⊥BC于点H，由（1）可知：AB＝20，AH＝12，AC＝15，∴BH16，∵BF＝x，∴FH＝16﹣x，CF＝25﹣x，∴AF2＝AH2+FH2＝144+（16﹣x）2＝x2﹣32x+400，∵∠EAF＝∠MBN，∠BCA＝∠MBN∴∠EAF＝∠BCA，且∠AFC＝∠AFC，∴△F AE∽△FCA∴，∠AEF＝∠F AC，∴AF2＝FC×EF∴x2﹣32x+400＝（25﹣x）×EF，∴EF∴BE＝BF+EF∵∠MBN＝∠ACB，∠AEF＝∠F AC，∴△BDE∽△CF A∴∴∴y（0＜x）（3）如图，若△ADF∽△CEA，∵△△ADF∽△CEA，∴∠ADF＝∠AEC，∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，∴∠DAF+∠MBN＝180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABF，∴∠ADF＝∠AEC＝∠ABF，∴AB＝AE，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，且∠ABF＝∠AEC，∠ACB＝∠MBN＝∠EAF，∴∠AEC+∠EAF＝90°，∠AEC+∠MBN＝90°，∴∠BDE＝90°＝∠AFC，∵S△ABC AB×AC BC×AF，∴AF12，∴BF16，∵AB＝AE，∠AFC＝90°，∴BE＝2BF＝32，∴cos∠MBN，∴BE，如图，若△ADF∽△CAE，∵△ADF∽△CAE，∴∠ADF＝∠CAE，∠AFD＝∠AEC，∴AC∥DF∴∠DFB＝∠ACB，且∠ACB＝∠MBN，∴∠MBN＝∠DFB，∴DF＝BD，∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，∴∠DAF+∠MBN＝180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABF，∴∠CAE＝∠ABF，且∠AEC＝∠AEC，∴△ABE∽△CAE∴设CE＝3k，AE＝4k，（k≠0）∴BE k，∵BC＝BE﹣CE＝25∴k∴AE，CE，BE∵∠ACB＝∠F AE，∠AFC＝∠AFE，∴△AFC∽△EF A，∴，设AF＝7a，EF＝20a，∴CF a，∵CE＝EF﹣CF a，∴a，∴EF，∵AC∥DF，∴，∴，∴DF，综上所述：当BD为或时，△ADF与△ACE相似【点睛】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．23．（2019•虹口区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE•CD＝AD•CE；（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．【答案】证明：（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝90°．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠ADE＝∠DCE．又∵∠AED＝∠DEC＝90°，∴△AED∽△DEC，∴，∴DE•CD＝AD•CE；（2）∵AB＝AC，∴BD＝CD BC．∵F为DE的中点，∴DE＝2DF．∵DE•CD＝AD•CE，∴2DF•BC＝AD•CE，∴．又∵∠BCE＝∠ADF，∴△BCE∽△ADF，∴，∴AF•BC＝AD•BE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及余角，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理证出△AED∽△DEC；（2）利用相似三角形的判定定理证出△BCE∽△ADF．24．（2019•浦东新区一模）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C重合，小三角尺的顶点D、E分别在大三角尺的直角边AC、BC上，此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G．已知∠A＝∠CDE＝30°，AB＝12．（1）求小三角尺的直角边CD的长；（2）将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边AB上时（如图2），求点B、E 之间的距离；（3）在小三角尺绕点C旋转的过程中，当直线DE经过点A时，求∠BAE的正弦值．【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝AB cos30°＝6，BC＝6，由重心的性质得：，则CD＝4，DE＝8；（2）连接BE，过点C作CH⊥AB交于点H，BH BC＝3，CH＝BC sin60°＝3，AH＝9，HD，AD＝AH﹣HD＝9，∵∠ACD＝∠ECB，，∴△ADC∽△BEC，∴，即：AD BE，∴BE（9）＝3；（3）①如图，当DE在AC下方时，∵△ADC∽△BEC，∴∠BEC＝∠ADC＝∠AEB+∠CED＝∠DCE+∠DEC＝90°+∠CED，即：∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，设：BE＝x，则AD x，AB＝12，AE＝AD+DE x+8，即：（x+8）2+x2＝122，解得：x＝42，②当DE在AC上方时，求得：x＝42；sin∠BAE．【点睛】本题是三角形相似综合题，核心是确定图象旋转后的位置，利用相似确定边角关系，此类题目难度在于作图的准确性．25．（2019•普陀区一模）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．【答案】解：（1）如图①中，作CH⊥AB于H．∵CH⊥AB，∴∠AHC＝∠BHC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠BCH＝90°，∵∠ACH+∠A＝90°，∴∠BCH＝∠A，∴△ACH∽△CBH，∴，∵OC＝2，∠COH＝60°，∴∠OCH＝30°，∴OH OC＝1，CH，∴，整理得：2a2﹣a﹣4＝0，解得a或（舍弃）．经检验a是分式方程的解．∴a．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH，CH x．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴（3a）2＝（x）2+（2a x）2，整理得：x2+ax﹣5a2＝0，解得x＝（1）a或（1）a（舍弃），∴OC＝（1）a，（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．∵∠AOC＝∠∠AOQ+∠QOC＝∠ABC+∠OCB，∠QOC＝∠ABC，∴∠AOQ＝∠KCO，∵AQ∥BK，∴∠Q＝∠K，∴△QOA∽△KCO，∴，∴，∵∠K＝∠K，∠KOB＝∠AOQ＝∠KCO，∴△KOB∽△KCO，∴，∴【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．26．（2019•宝山区一模）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F．（1）若AP，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．【答案】解：（1）如图1中，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝∠H＝90°，∴四边形AHCB是矩形，∴AB＝CH＝5，∵CD＝3，∴DH＝CH﹣CD＝2，∵∠HAB＝90°，∠DAB＝45°，∴∠HAD＝∠HDA＝45°∴HD＝AH＝2，AE＝AP，根据勾股定理得，HE3，则ED＝1；（2）连接CP，设AP＝x．∵AB∥CD，∴∠EP A＝∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等，∴△APE∽△PEC，∴，即：PE2＝AE•CE，而EC＝2PB＝2（5﹣x），即：PC2＝CE•AP＝2（5﹣x）x，而PC2＝PB2+BC2，即：PC2＝（5﹣x）2+22，∴2（5﹣x）x＝（5﹣x）2+22，解得：x（不合题意值已舍去），即：AP；（3）如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG．设∠F＝α，则∠APE＝∠AEP＝∠BPF＝90°﹣α，则：∠EAP＝180°﹣2∠APE＝2α，∵△ADE∽△FGE，设∠DAE＝∠F＝α，由∠DAB＝45°，可得3α＝45°，2α＝30°，在Rt△ADH中，AH＝DH＝2，在Rt△AHE中，∠HEA＝∠EAB＝2α＝30°，∠HAE＝60°，∴HE＝AH•tan∠HAE＝2，∴DE＝HE﹣HD＝22，EC＝HC﹣HE＝5﹣2，∵△ADE∽△FGE，∴∠ADC＝∠EGF＝135°，则∠CEG＝45°，∴EG EC＝52，∴，即：，解得：FG＝31．【点睛】本题属于三角形相似综合题，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识点，其中（3）中，利用三角形相似，确定α的大小，是本题的突破点，属于中考压轴题．27．（2019•黄浦区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点O是AB的中点，点D是边AC 上一点，DE⊥BD，交BC的延长线于点E，OD⊥DF，交BC边于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为点G，EG分别交BD、DF、DC于点M、N、H．（1）求证：；（2）设CD＝x，NE＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，求线段CD的长．【答案】（1）证明：如图1中，∵OD⊥DF，BD⊥DE，∴∠ODF＝∠BDE＝90°，∴∠ODB＝∠NDE，∵EG⊥AB，∴∠BGM＝∠MDE＝90°，∵∠BMG＝∠EMD，∴OBD＝∠DEN，∴△OBD∽△NED，∴．（2）解：如图1中，∵∠BCD＝∠BDE＝90°，∴tan∠DBC，∵，∴，在Rt△ABC中，AB5，∴OB＝OA＝2.5，∴，∴y x（0＜x＜2）．（3）解：①如图2﹣1中，当DE＝DF时，作OK⊥AC于K．∵∠OKD＝∠DCF＝∠ODF＝90°，∴∠ODK+∠KOD＝90°，∠ODK+∠CDF＝90°，∴∠DOK＝∠CDF，∴△OKD∽△DCF，∴，∴，∴CF x（2﹣x），∵DF＝DE，DC⊥EF，∴∠CDE＝∠CDF，∵∠CDE+∠CDB＝90°，∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠∠CDE＝∠CBD＝∠CDF，∵∠DCF＝∠DCB＝90°，∴△DCF∽△BCD，∴，∴CD2＝CF•CB，∴x2＝x（2﹣x），解得x或0（舍弃）∴CD．如图2﹣2中，当DE＝EF时，∵ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD，∴∠EDC+∠CDF＝∠DBC+∠BDF，∵∠EDC＝∠DBC，∴∠CDF＝∠BDF，∵∠CDF+∠ADO＝90°，∠BDF+∠BDO＝90°，∴∠ADO＝∠BDO，∵AO＝OB，易知DA＝DB，设DA＝DB＝4﹣x，在Rt△BCD中，∵BD2＝CD2+BC2，∴（4﹣x）2＝x2+32，∴x，∴CD．综上所述，CD的长为或．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．28．（2019•徐汇区一模）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．【答案】（1）证明：∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝FE，∴∠EAF＝∠AFE，∵AE2＝EG•ED，∴，∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴∠EAG＝∠ADG，∵∠AGD＝∠FGE，∴∠DAG＝∠FEG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB＝90°，∴∠FEG＝90°，∴DE⊥EF；（2）解：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，∴FE2＝EG•ED，∴，∵∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG＝∠EDF，∴∠BAF＝∠EDF，∵∠DEF＝∠AFB＝90°，∴△ABF∽△DFE，∴，∵四边形ACBD是菱形，∴AB＝BC，∵∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴FE AB BC，∴，∴BC2＝2DF•BF．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．29．（2019•奉贤区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝4，AB＝2CD＝6，E 是边BC上一点，过点D、E分别作BC、CD的平行线交于点F，联结AF并延长，与射线DC交于点G．（1）当点G与点C重合时，求CE：BE的值；（2）当点G在边CD上时，设CE＝m，求△DFG的面积；（用含m的代数式表示）（3）当△AFD∽△ADG时，求∠DAG的余弦值．【答案】解：（1）如图，∵DC∥EF，DF∥CE∴四边形DCEF是平行四边形∴CD＝EF，∵AB＝2CD＝6，∴AB＝2EF，∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AB，∴△CFE∽△CAB∴∴BC＝2CE，∴BE＝CE∴EC：BE＝1：1＝1（2）如图，延长AG，BC交为于点M，过点C作CN⊥AB于点N，交EF于点H∵AD⊥CD，CN⊥CD∴AD∥CN，且CD∥AB∴四边形ADCN是平行四边形，又∵∠DAB＝90°∴四边形ADCN是矩形，∴AD＝CN＝4，CD＝AN＝3，∴BN＝AB﹣AN＝3，在Rt△BCN中，BC5∴BE＝BC﹣CE＝5﹣m，∵EF∥AB∴，即∴ME＝BE＝5﹣m，∴MC＝ME﹣CE＝5﹣2m，∵EF∥AB∴∴HC m，∵CG∥EF∴即∴GC∴DG＝CD﹣GC＝3∴S△DFG DG×CH（3）过点C作CN⊥AB于点N，∵AB∥CD，∠DAB＝90°，∴∠DAB＝∠ADG＝90°，若△AFD∽△ADG，∴∠AFD＝∠ADG＝90°∴DF⊥AG又∵DF∥BC∴AG⊥BC。
中考数学专题复习和训练--求阴影部分的面积
合 .在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分析和组合图形，常常借助
阴影部分（不规则图形）转化为规则的易求的图形求解
.
转化化归 思想，将
典例精析：
例 1.如图 , AB 是⊙ O 的直径，弦 CD AB, C 30 ,CD 2 3 ,则 S 阴影 =
A.
B. 2
2 C. 3
3
分析： 本题的阴影部分是不规则的，要可以转化到规则的阴影部分，比
形中心的对角线长为 2，间隔一个顶点的对角线长为 3 ，则 CE 4 ；若 △AEC 和 △BEC 都以 CE 为求其面积的底边 ,则它们相应的高怎样化归在直角三角形中来求出呢？ 解：（由同学们自我完成解答过程）
师生互动练习：
1.如图已知网格中每个小正方形的边长为 2，图中阴影部分的
每个端点位置情况计算图中的阴影部分的面积之和为
小圆⊙ O′向右 平移 至大圆⊙ O 使圆心重合（见 图① 的第二个图） ，这样来求圆环的面积更容易O；
图② 虽然是半圆也可以采用相同的方法求阴影部分半圆环的面积
.
A
B
A
C B
O O'
O
O' O
O
A
B
A
B
C
图① 三 .补转化为一个整体：
图②
如图第一个图是以等腰 Rt△AOB 的直角顶点 O 为圆心画出的直角扇形 OAB 和以 OA 、 OB 为
如转化为扇形 AOD 的面积来求；利用垂径定理和三角函数计算可以得出
C
EC ED,EO EA ,由此可以证明⊿ AEC ≌⊿ DEO ; 所以阴影部分等于
扇形 AOD 的面积，利用扇形面积的计算公式求出结果为
2 . 选D
2021年新高考物理模拟题分项汇编(第五期)专题17 热学(原卷版)
专题17 热学1．（2021·湖南娄底市高三零模）下列说法正确的是（）A．气体的内能包括气体分子的重力势能B．同种物质不可能以晶体和非品体两种不同的形态出现C．如果两个系统分别与状态确定的第三个系统达到热平衡。
那么这两个系统彼此之间也必定达到热平衡D．知道阿伏伽德罗常数、气体的摩尔质量和密度，可以估算出该气体中分子间的平均距离E.土壤里有很多毛细管，若要防止把地下的水分沿着它们引到地表，可将地面的土壤锄松2．（2021·广东高三模拟）以下说法正确的是（）A．太空中水滴成球形，是液体表面张力作用的结果B．大颗粒的盐磨成了细盐，就变成了非晶体C．液晶既有液体的流动性，又有光学性质的各向异性D．晶体熔化时吸收热量，分子平均动能一定增大E.液体表面层分子间距离大于液体内部分子间距离，所以液体表面存在表面张力3．（2021·湖南怀化市高三一模）某汽车的四冲程内燃机利用奥托循环进行工作。
该循环由两个绝热过程和两个等容过程组成，如图所示为一定质量的理想气体所经历的奥托循环，则该气体。
A．在状态a和c时的内能可能相等B．在a→b过程中，外界对其做的功全部用于增加内能C．b→c过程中增加的内能大于d→a过程中减少的内能D．d→a过程单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数减少E.在一次循环过程中吸收的热量等于放出的热量4．（2021·天津河东区高三一模）新冠肺炎疫情期间，某班级用于消毒的喷壶示意图如图所示。
闭合阀门K，向下压压杆A可向瓶内储气室充气，多次充气后按下按柄B打开阀门K，消毒液会自动经导管从喷嘴处喷出。
储气室内气体可视为理想气体，充气和喷液过程中温度保持不变，则下列说法正确的是（）A．充气过程中，储气室内气体分子数增多且分子运动剧烈程度增加B．充气过程中，储气室内气体分子平均动能不变C．充气过程中，储气室内气体内能不变D．喷液过程中，储气室内气体吸收热量对外界做功5．（2021·广东高三模拟）下列说法正确的是（）A．布朗运动就是分子的无规则运动B．布朗运动说明分子做无规则运动C．温度是分子热运动平均动能的标志D．温度是分子热运动平均速率的标志E.分子力表现为引力时，分子间距离减小，分子势能也一定减小6．（2021·广东高三模拟）下列说法中正确的是______。
相似三角形的判定和性质-备战2023年中考数学考点微专题
考向5.6 相似三角形的判定和性质【知识要点】1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。
2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。
3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。
4、三角形相似的判定定理：（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。
（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。
第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。
第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。
5、相似三角形的性质：（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
2022--2023学年九年级数学寒假作业电子版
九年级数学寒假作业姓名：_____________2022---2023学年九年级数学寒假作业目录日期课题页码家长签名1月3日九（上)期中阶段基础梳理1------21月5日九（上)期中阶段基础测评（一）3------41月7日九（上)期中阶段基础测评（二）5------61月9日九（上)期末阶段基础梳理7------81月11日九（上)期末基础综合测评（一）9-----101月13日九（上)期末基础综合测评（二）11----121月17日九（下）第一章《三角函数》基础梳理13----141月19日九（下）第三章《圆》基础梳理15----161月27日模块一：数与式（一）17---181月29日模块一：数与式（二）19--201月31日模块一：数与式（三）21--222月2日模块一：数与式（四）23--24九（上）期中阶段知识梳理★【特殊的平行四边形的性质与判定】：一．菱形的性质与判定：1.定义：有________________的平行四边形叫做菱形。
2.性质：菱形的四条边都_______________;菱形的对角线_________________.3.判定：（1）_______________________的平行四边形是菱形；（2）______________________的四边形是菱形；3.对称性：菱形是____________对称图形，也是________对称图形.二．矩形的性质与判定：1.定义：有________________的平行四边形叫做矩形。
2.性质：矩形的四个角都_______________;矩形的对角线_________________.3.判定：（1）_______________________的平行四边形是矩形；（2）_______________________的四边形是矩形。
4.对称性：矩形是____________________对称图形,也是________对称图形.三．正方形的性质与判定：1.定义：有____________________________________的平行四边形叫做正方形。
旋转型相似三角形(经典)
谢谢观看
01
02
03
机械设计
在机械设计中，旋转型相 似三角形可以用来分析旋 转机械的运转情况，如齿 轮、轴承等。
航空航天设计
在航空航天设计中，旋转 型相似三角形可以用来分 析飞行器的旋转部件，如 旋翼、尾翼等。
流体动力学
在流体动力学中，旋转型 相似三角形可以用来描述 旋转流体的运动规律，如 旋涡的形成和演化。
在解决实际问题中的应用
01
旋转型相似三角形的性质不仅在数学问题中有应用，在实际生 活中也有广泛的应用。
02
在工程、建筑、航海和航空等领域，经常需要利用旋转型相似
三角形来测量角度、距离和高度等参数。
例如，在建筑设计中，可以利用旋转型相似三角形来测量建筑
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物的倾斜角度，以确保建筑物的稳定性和安全性。
理解和掌握。
复数法研究
复数法
通过引入复数，利用复数的几何意义和运算性质，研究旋转型相似三角形的性质和判定条 件。
复数法在旋转型相似三角形中的应用
利用复数的模和辐角等性质，证明旋转型相似三角形的性质和判定定理，如相似比不变等 。
复数法的优势
复数法能够简化证明过程，使证明更加简洁明了，同时能够加深对旋转型相似三角形性质 的理解。
02
旋转型相似三角形的性 质应用
在几何图形中的应用
1
旋转型相似三角形在几何图形中有着广泛的应用， 特别是在解决与角度、长度和面积相关的问题时。
2
通过利用旋转型相似三角形的性质，可以找到未 知角度、长度或面积，从而解决复杂的几何问题。
3
例如，在解决与圆、多边形、立体图形等相关的 问题时，可以利用旋转型相似三角形来建立数学 模型，简化问题。
旋转型相似三角形
04
旋转型相似三角形的证 明方法
旋转法
总结词
通过旋转三角形，将两个三角形置于同一平面内，利用角度 相等和边长比例关系证明相似。
详细描述
首先，将两个三角形中的一个旋转一定角度，使两个三角形 共面。然后，根据旋转的角度和边长比例关系，证明两个三 角形对应角相等，从而得出相似结论。
构造法
总结词
通过构造辅助线，将两个三角形连接 成一个整体，利用整体与部分的关系 证明相似。
在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，旋转型相似三角 形可以帮助设计师确定建筑物的 比例和角度，以实现美观和功能
性的平衡。
机械设计
在机械设计中，旋转型相似三角 形可以用来确定机械部件的位置 和角度，以确保机械的正常运转。
艺术创作
在艺术创作中，旋转型Hale Waihona Puke 似三角 形可以帮助艺术家创造具有动态
感和立体感的作品。
详细描述
首先，通过构造辅助线将两个三角形 连接成一个整体。然后，利用整体与 部分的关系，证明两个三角形对应边 成比例，对应角相等，从而得出相似 结论。
代数法
总结词
通过建立代数方程，利用方程的性质证明相似。
详细描述
首先，根据题目条件建立代数方程。然后，利用代数方程的性质，如方程的解的性质和代数的运算性质，证明两 个三角形对应边成比例，对应角相等，从而得出相似结论。
谢谢观看
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特殊类型的旋转型相似 三角形
等腰旋转型相似三角形
等腰旋转型相似三角形是旋转型相似 三角形的一种特殊类型，其特点是两 腰相等，且与底边形成相同的角度。
等腰旋转型相似三角形的性质还包括 其高与底边的比例关系为1:√2，以及 其面积与边长的关系为S=√2/4 * a^2。
正方形中半角模型的几个结论
㊀㊀㊀㊀㊀１４０㊀正方形中半角模型的几个结论正方形中半角模型的几个结论Һ黄㊀斌㊀（广东省深圳市福田区莲花中学（北校区），广东㊀深圳㊀５１８０３５）㊀㊀ʌ摘要ɔ正方形是特殊的平行四边形㊁特殊的菱形，也是特殊的矩形，它有很多特殊㊁精妙的性质．在正方形中加入某些特定的条件，能推得更多精妙㊁完美的结论．正因为此，正方形综合题往往是中考数学卷选择或填空压轴题的首选内容，以考查学生对正方形性质，旋转㊁相似㊁全等㊁计算等多方面知识的掌握情况．对本部分知识不熟悉，解答就需较长的探索时间．在争分夺秒的考试中，提前的知识储备显得尤为关键．本文以正方形中半角模型为框架，推得九个典型的结论，以帮助学生建立模型思想和掌握典型结论，从而快速㊁准确地解决相关问题．ʌ关键词ɔ正方形；半角模型正方形中半角模型是指：从正方形的一个顶点出发，在正方形内引出夹角为４５ʎ的两条射线，连接这两条射线与正方形边的两个交点，与原正方形所构成的基本平面几何模型．如图１所示，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｐ，Ｑ分别为边ＢＣ，ＣＤ上的点，且øＰＡＱ＝４５ʎ，ＡＰ，ＡＱ分别交ＢＤ于点Ｍ，Ｎ，连接ＰＱ，ＡＣ，则可推得以下九条典型㊁精妙的结论：图１（１）ＰＢ＋ＤＱ＝ＰＱ．（２）ＣәＰＣＱ＝Ｃ正方形ＡＢＣＤ２．（３）作ＡＨʅＰＱ于点Ｈ，则有：ＡＨ＝ＡＢ＝ＡＤ．（４）作ＡＨʅＰＱ于点Ｈ，则有：ＡＢＰɸＡＨＰ．亦可推得ＳәＡＰＱ＝ＳәＡＢＰ＋ＳәＡＤＱ．（５）ＢＭ２＋ＤＮ２＝ＭＮ２．（６）әＡＢＭʐәＡＣＱ，әＡＮＤʐәＡＰＣ．（７）әＡＢＮʐәＭＤＡ．（８）әＡＮＰ，әＡＭＱ为等腰直角三角形．（９）әＮＰＣ为等腰三角形，其中ＮＰ＝ＮＣ．掌握㊁熟知这些结论，在解相关题目时便会如虎添翼，又对又快地解决好正方形综合压轴题，赢得考试时间，争取高分．下文将对以上九个结论进行逐个推理证明．图２（１）如图２所示，延长ＣＢ至Ｑᶄ，使得ＢＱᶄ＝ＤＱ，连接ＡＱᶄ．ȵ正方形中ＡＢ＝ＡＤ，øＡＢＱᶄ＝øＡＤＱ＝９０ʎ，ʑәＡＢＱᶄɸәＡＤＱ（或将әＡＤＱ绕点Ａ顺时针旋转９０ʎ得到әＡＢＱᶄ），ʑø１＝ø２，ＡＱᶄ＝ＡＱ．而由øＰＡＱ＝４５ʎ知，ø２＋ø３＝４５ʎ．ʑø１＋ø３＝４５ʎ，即øＰＡＱᶄ＝øＰＡＱ，ʑәＰＡＱᶄɸәＰＡＱ（ＳＡＳ），ʑＰＱᶄ＝ＰＱ，即ＰＢ＋ＢＱᶄ＝ＰＢ＋ＤＱ＝ＰＱ．这个结论常运用于证明或计算线段和，结合勾股定理列方程计算线段长等．如图３所示，已知平面上有Ａ（０，４），Ｂ（－２，０），Ｃ（０，－４），Ｅ（－４，４）四点，请求出ｙ轴上满足øＯＥＢ＝øＰＥＡ的点Ｐ坐标．图３此题就可以利用上述性质进行解答．过点Ｅ作ＥＨʅｘ轴，得正方形ＥＨＯＡ．若øＯＥＢ＝øＰＥＡ，则øＰＥＢ＝øＡＥＯ＝４５ʎ．设Ｐ（０，ｙ），则ＡＰ＝４－ｙ，由结论（１）得：ＰＢ＝ＡＰ＋ＨＢ＝４－ｙ＋２＝６－ｙ，在ＲｔәＢＰＯ中，由勾股定理得：ＢＯ２＋ＰＯ２＝ＢＰ２即２２＋ｙ２＝（６－ｙ）２．解得ｙ，即得Ｐ点坐标．再由对称性，得到点Ｐ关于点Ａ的对称点Ｐᶄ也是合题意的点．（２）ＣәＰＣＱ＝ＰＣ＋ＣＱ＋ＰＱ＝（ＢＣ－ＰＢ）＋（ＤＣ－ＤＱ）＋ＰＱ＝ＢＣ＋ＤＣ－（ＰＢ＋ＤＱ）＋ＰＱ．由（１）知：ＰＢ＋ＤＱ＝ＰＱ，㊀㊀㊀１４１㊀㊀ʑＣәＰＣＱ＝ＢＣ＋ＤＣ＝Ｃ正方形ＡＢＣＤ２．由此结论易于进行与әＰＣＱ周长㊁正方形边长相关的计算．图４（３）如图４所示，作ＡＨʅＰＱ于点Ｈ，则øＡＢＰ＝øＡＨＰ＝９０ʎ．由（１）的证明әＰＡＱᶄɸәＰＡＱ，可得øＡＰＢ＝øＡＰＨ，又ȵＡＰ＝ＡＰ，ʑәＡＰＢɸәＡＰＨ（同理可证әＡＱＤɸәＡＱＨ），ʑＡＨ＝ＡＢ＝ＡＤ．（４）由（３）әＡＰＢɸәＡＰＨ，әＡＱＤɸәＡＱＨ，ʑＳәＡＰＱ＝ＳәＡＢＰ＋ＳәＡＤＱ．同时，亦可说明：当ＡＨʅＰＱ时，ＡＰ，ＡＱ恰好分别平分øＢＡＨ，øＤＡＨ．图５（５）如图５所示，将әＡＢＭ绕点Ａ逆时针旋转９０ʎ得到әＡＤＭᶄ，连接ＭᶄＮ．则әＡＤＭᶄɸәＡＢＭ．ʑø４＝ø３，ø７＝ø６＝４５ʎ，ＤＭᶄ＝ＢＭ，ＡＭᶄ＝ＡＭ．ȵø５＝４５ʎ，ʑø５＋ø７＝９０ʎ，即øＮＤＭᶄ＝９０ʎ，ʑ在әＮＤＭᶄ中，由勾股定理得：ＤＭᶄ２＋ＤＮ２＝ＭᶄＮ２，即ＢＭ２＋ＤＮ２＝ＭᶄＮ２．由已知øＰＡＱ＝４５ʎ得ø２＋ø３＝４５ʎ，而ø４＝ø３，ʑø２＋ø４＝４５ʎ，即øＮＡＭᶄ＝４５ʎ，ʑøＮＡＭᶄ＝øＮＡＭ．又ȵＡＭᶄ＝ＡＭ，ＡＮ＝ＡＮ，ʑәＮＡＭᶄɸәＮＡＭ（ＳＡＳ），ʑＭᶄＮ＝ＭＮ，ʑＢＭ２＋ＤＮ２＝ＭＮ２．此结论常运用于证明线段关系或计算线段长度等．图６（６）如图６所示，ȵøＰＡＱ＝øＢＡＣ＝４５ʎ，ʑø３＝ø８．又ȵø６＝øＡＣＤ＝４５ʎ，ʑәＡＢＭʐәＡＣＱ，ʑＡＢＡＣ＝ＢＭＣＱ＝ＡＭＡＱ，而正方形中ＡＢＡＣ＝１２，ʑＢＭＣＱ＝ＡＭＡＱ＝１２．此结论常运用于证明相似三角形㊁推导相关线段比值或计算线段长度等．如正方形ＡＢＣＤ中，已知ＣＱ＝３２，易得ＢＭ＝３．类似地，也可证明әＡＮＤʐәＡＰＣ，得到ＡＮＡＰ＝ＮＤＰＣ＝ＡＤＡＣ＝１２，易于求得相关线段．（７）如图６所示，ȵøＡＮＢ＝ø２＋ø５，øＭＡＤ＝ø２＋øＰＡＱ，而ø５＝ø６＝øＰＡＱ＝４５ʎ，ʑøＡＮＢ＝øＭＡＤ．又ȵø５＝ø６，ʑәＡＢＮʐәＭＤＡ．图７（８）如图７所示，ȵø９＝øＰＡＱ＝４５ʎ，ʑＡ，Ｂ，Ｐ，Ｎ四点共圆（Ａ，Ｂ是以ＰＮ为弦的圆的同侧的圆周角顶点）．ȵ圆内接四边形对角互补，而øＡＢＰ＝９０ʎ，ʑøＡＮＰ＝９０ʎ．又ȵøＰＡＱ＝４５ʎ，ʑәＡＮＰ为等腰直角三角形（ＮＡ＝ＮＰ），同理可证әＡＭＱ为等腰直角三角形．（９）如图７所示，由（８）知әＡＮＰ为等腰直角三角形，得ＮＡ＝ＮＰ．又易证：әＡＤＮɸәＣＤＮ，得ＮＡ＝ＮＣ．ʑＮＰ＝ＮＣ，әＮＰＣ为等腰三角形．同理，ＭＱ＝ＭＣ，әＭＱＣ为等腰三角形．证明以上９个结论，用到的主要方法是旋转㊁全等㊁相似，其中线段间奇妙的数量关系是整个模型的精彩之处．请读者揣摩㊁熟练和运用，以提高正方形综合题的解题速度和正确率．。
专题22 瓜豆原理
瓜豆原理【模型专题】瓜豆原理——主从动点问题初中数学有一类动态问题叫做主从联动，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相似这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题．瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．（古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．）满足条件：1.两动一定；2.动点与定点的连线夹角是定角；3.动点到定点的距离比值是定值．为定值k，则点Q与点P的运动路径相同．结论：若点O为定点，∠POQ为定角α，OQOP方法：第一步：找主动点的轨迹；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值．“瓜豆原理”其实质就是构造旋转、相似．涉及的知识和方法：知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值．位似型（主从一线）①点O为定点，点P在定直线l上运动，点Q为线段OP的中点，点Q的运动轨迹②点A为定点，点P在定圆⊙O上运动，点Q为线段AP的中点，点Q的运动轨迹旋转型（OQ在OP绕点Q顺时针旋转α的方向）OP，点P在定直线l（定圆⊙M）上运动，则点Q的运动轨迹③点O为定点，∠POQ＝α且OQ=12模型一：位似型例1：1．如图，∠BAD=90°，AB=AD=4，点C为平面内一动点，且BC=2，点M为线段CD中点，则线段AM的取值范围为______．变式1－1：2．如图，在平面直角坐标系中，C(0,4)，A(3,0)，⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE 的最小值是()A．1B．32C．2D．2变式1－2：3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（）A．14B．7C．9D．6变式1－3：4．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C出发，沿着射线DA、射线CD运动，且DE ＝CF，直线AF、直线BE交于H点．（1）当点E从点D向点A运动的过程中：①求证：AF⊥BE；②在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长；（2）在整个运动过程中：①线段DH长度的最小值为______．②线段DH长度的最大值为_________．变式1－4：5．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是_____．变式1－5：6．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是________．变式1－6：7．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．变式1－7：8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=8，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为_______.模型二：全等旋转型例2：9．如图，在直角坐标系中，已知A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为_______．变式2－1：10．如图，正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为_____．变式2－2：11．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上的一点，将点P绕点A（－4，0）逆时针旋转60°得到点Q，则点P 在⊙O上运动时，点Q也随之运动，连接OQ．求当点P在⊙O上运动时，求OQ的最小值．变式2－3：12．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A．43＋4B．4C．43＋8D．6变式2－4：13．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为_____cm．变式2－5：14．如图，正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为_____．模型三：相似型旋转例315．在平面直角坐标系中，A(1,0),B(0,3)，过点B作直线BC∥x轴，点P是直线BC上的一个动点以AP为边在AP右侧作Rt△APQ，使∠APQ=90°，且AP:PQ=1:3，连结AB、BQ，则△ABQ周长的最小值为___________.变式3－1：16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为AB边上一动点，以DE为边向右作正方形DEFG，连接CF，则CF的最小值为______．变式3－2：17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝45，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则线段BE的取值范围为___________变式3－3：18．正方形ABCD的边长为1，E为边BC上动点，将AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，M为DE的中点，连接MF，则MF的最小值为________。