基本图形分析法七 从旋转型全等三角形到旋转型相似三角形(徐方瞿教授讲座)

从旋转型全等三角形到旋转型相似三角形旋转型全等三角形AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=> △ABC≌△ADE，∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC；将△ABC绕三角形的顶点A旋转一个角度成为△ADE，这两个三角形就是一对旋转型全等三角形。

而由AB=AD，这是两条具有公共端点的相等线段，所以它们可以组成一个等腰三角形，同样，由AC=AE，它们也可以组成一个等腰三角形，而这两个等腰三角形的顶角是相等的，所以这两个等腰三角形一定相似，而由∠ABD=∠ACE 和∠ADB=∠AEC，如果延长BD与CE相交，则可得两个圆内接四边形。

所以，一对绕三角形的顶点旋转得到的旋转型全等三角形的基本图形中，一定同时出现一对相似的等腰三角形和两个圆内接四边形。

由于这是旋转型全等三角形的基本图形的本质属性，所以只有在整体上进行教学，才能将这个基本图形的特征、性质、应用条件和应用方法讲清楚。

然而，按照通常的教学进度，在进行全等三角形的教学时，显然还不可能进行相似三角形和圆周角这两部分内容的教学，而在进行相似三角形和圆周角的教学时，又不可能再回过来进行全等三角形的教学，也就是本质上是完整的内容被割裂开来进行教学了，所以老师就很难讲清楚，讲清楚问题的本质，将清楚思想方法的规律性，这也就是旋转型全等三角形在教学中出现的困难所在。

解决的方法：一是在进行旋转型全等三角形的教学时，可适当地进行拓展，让学生较早地接触、知道并形成一定的概念、性质，到进入相似三角形和圆周角的教学时再进行强化；二是在进行旋转型全等三角形的教学时，如果没有拓展的话，则可在进入相似三角形和圆周角的教学时，尤其是在总复习阶段可安排专题性的教学。

在进行全等三角形的教学时，由于在相似的等腰三角形中，有两类特殊的等腰三角形，它们是必定相似的，这就是等边三角形和等腰直角三角形，所以在给出等边三角形或等腰直角三角形的条件时，就可以实质上出现相似的等腰三角形而又可以避免出现相似三角形的概念，成为旋转型全等三角形的可实施的教学内容。

于是，就可以发现只要出现两个具有公共顶点的等边三角形或等腰直角三角形（半个正方形）时，就一定得到一对旋转型全等三角形。

旋转型全等三角形应用的第一种情况是出现了由一点发出的两组交成等角的相等线段，应用的方法是将这两组相等线段两两组成旋转型全等三角形。

旋转型全等三角形应用的第二种情况是出现了两个具有公共顶点的等边三角形，应用的方法是将由这个公共顶点发出的两组相等线段（等边三角形的边）两两组成旋转型全等三角形。

旋转型全等三角形应用的第三种情况是出现了两个具有公共顶点的正方形或具有公共直角顶点的等腰直角三角形，应用的方法是将由这个公共顶点发出的两组相等线段（正方形的边）两两组成旋转型全等三角形。

例1，已知：△ABC中，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，以AC为边在△ABC 外作等边△A CE，连结BE、CD．求证：CD=BE分析：在本题的条件中，出现了两个以A为公共顶点的等边△ABD和等边△ACE，从而就必定出现一对旋转型全等三角形，根据由公共顶点A发出的两组相等线段AD、AB和AC、AE两两组成全等三角形的方法，可找到这一对全等三角形应是△ADC和△ABE，全等的条件是AD=AB，AC=AE，它们的夹角∠DAC 和∠BAE都等于旋转角60°加上公共部分∠BAC，因此CD=BE就可以证明。

例2，已知：△ABC中，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，以AC为边在△ABC外作等边△ACE，CD、BE相交于F，连结AF．求证：AF平分∠DFE分析1：本题的条件中，出现了两个以A为公共顶点的等边△ABD和等边△ACE，从而就必定出现一对旋转型全等三角形，根据由公共顶点A发出的两组相等线段AD、AB和AC、AE两两组成全等三角形的方法，就可找到这对全等三角形应是△ADC和△ABE，全等的条件是AD=AB，AC=AE，它们的夹角∠DAC 和∠BAE都等于旋转角60°加上公共部分∠BAC，在证明了△ADC和△ABE是一对旋转型全等三角形以后，由于在旋转型全等三角形的基本图形中，必定同时出现两个圆内接四边形，所以就可由△ADC≌△ABE，推得∠ADF=∠ABF，从而又可进一步推得A、D、B、F四点共圆，就可得∠AFD=∠ABD=60°，而由B、F、E成一直线，又可证得∠AFE=∠ADB=60°，所以结论可以证明。

分析2：由于许多学校在进行全等三角形的教学时，尚未进行圆周角和圆内接四边形的教学，有关圆内接四边形额基本图形的性质还不能用，所以就要讨论其它的可能性。

本题在证明了△ADC和△ABE是一对旋转型全等三角形以后，由于结论中出现的AF可以看作是△ADC中的一条线段，所以当△ADC绕点A旋转60°到达△ABE的位置时，AF也应随△ADC的旋转而绕点A旋转60°到达△ABE中的对应位置，如果F点落到了G点上，则必有BG=DF，所以应在BE上截取BG=DF，并连结AG，那就可得△ADF和△ABG也是一对旋转型全等三角形，全等的条件是AD=AB，∠ADF=∠ABG和DF=BG，就可得∠AFD=∠AGB，AF=AG，而这是两条具有公共端点的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形，应用等腰三角形的性质，又可得∠AFG=∠AGB，从而也就可以证明∠AFD=∠AFG。

由于△ADF和△ABG也是一对旋转角为60°的旋转型全等三角形，所以可证明△AFG也是一个等边三角形，而且也是以A为公共顶点，所以每两个等边三角形就可以组成一对旋转型全等三角形，这样图形中出现的旋转型全等三角形就有三对，根据同样的方法可以找到第三对旋转型全等三角形是△AFC和△AGE，所以FC=GE，从而可进一步证明FA+FB+FC=BE，则可用同样的方法找到另外两对旋转型全等三角形，从而可证明CD=BE=AF，且可证明它们交于一点G，这是一个非常重要的点，过这个点的三条连线将一个周角分成6个相等的角，也就是60°角，同时，这个点有一个重要性质就是它到三个顶点的距离和，即GA+GB+GC=BE是两个确定点之间的一条线段，所以它是三角形内到三角形的三个顶点的距离和为最小的点，也就是在△ABC内任取一点P，有GA+GB+GC≤PA+PB+PC，等号在P点与G点重合时成立。

由于GA+GB+GC=BE，所以问题就是要证BE≤PA+PB+PC，由于GA、GB、GC依次接起来等于BE，所以PA、PB、PC也要依次接起来，而要证BE≤PA+PB+PC，所以接起来的结果必定是过B、E两点的一条折线，由于在将GA接到GB上时，是应用了一个等边△AGH接过去的，所以在一般的位置上也应用同样的方法接过去，也就是以PA为边作等边△APQ，但这个等边三角形一作出，就出现了等边△APQ和等边△ACE是两个以A为公共顶点的等边三角形，从而就必定出现一对旋转型全等三角形，根据由公共顶点A发出的两组相等线段AP、AQ和AC、AE两两组成全等三角形的方法，就可找到这对全等三角形应是△APC和△AQE，全等的条件是AP=AQ，AC=AE，它们的夹角∠PAC和∠QAE都等于旋转角60°减去公共部分∠QAC，所以PC=QE，因为BE≤BP+PQ+QE=PA+PB+PC，所以分析可以完成。

例3，已知：C是AB上的一点，以AC为边作等边△ACD，以BC为边向AD所在的一侧作等边△BCE，AE、CD相交于F，BD、CE相交于G．求证：CF=CG分析1：本题条件中给出△ACD、△BCE都是等边三角形，且它们具有公共顶点C，所以想到要应用旋转型全等三角形进行证明，根据由公共顶点C发出的两组相等线段是CA、CD和CE、CB两两组成的全等三角形的方法，就可找到这对全等三角形应是△ACE和△DCB，全等的条件是CA=CD，CE=CB，它们的夹角都等于旋转角60°加上公共部分∠ACE（也是60°），也就是都等于120°，在证明了△ACE和△DCB全等以后，就可得∠EAC=∠BDC，由于本题要证的结论是CF=CG，这也是两条具有公共端点相等线段，所以可组成一个等腰三角形，又因为A、C、B成一直线，从而又可得∠DCE=60°，所以△CFG不仅是等腰三角形，而且是一个等边三角形（这个等边三角形尚未出现，但在分析中可以想到），而这个等边三角形与等边△ACD或等边△BCE又都有一个公共顶点C，从而又可分别出现一对旋转型全等三角形，如果由公共顶点C发出的两组相等线段选取CA、CD和CF、CG，则这对全等三角形就是△ACF和△DCG，在讨论全等条件时，CF和CG相等是结论，不能用，这样就可以取AC=DC，∠ACF=∠DCG=60°，还需要的一个条件就可以取由△ACE≌△DCB后得到的∠CAF=∠CDG，所以结论就可以证明。

如果由公共顶点C发出的两组相等线段选取CE、CB和CF、CG，则全等三角形就是△ECF和△BCG，也可用类似的方法完成分析。

分析2：本题要证明CF=CG，而由条件△ACD和△BCE都是等边三角形，所以∠ACD=∠ABE=60°，由于这两个角是CD、BE被AB所截得到的一组同位角，所以可应用与同位角有关的平行线的基本图形的性质进行证明，也就可得CD∥BE，这样结论中出现的线段CF 就成为△ABE内一条边BE的平行线段，所以就可以应用由三角形内一条边的平行线段得到的平行线型相似三角形进行证明，于是，由CF∥BE，可得△ACF∽△ABE，CF/BE=AC/AB，CF=(AC•BE)/AB=(AC•BE)/(AC+BC)，又因为BE=BC，所以CF=(AC•BC)/(AC+BC)，根据同样的道理还可得△BCG∽△BAD，CG/AD=BC/AB，也可证得CF=(AC•BC)/(AC+BC)，从而也可以完成分析。

例4，已知：菱形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别是BC、CD边上的动点，∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF分析1：本题要证明AB=CE+CF，就是要证明CD=CE+CF，也就是要证明DF=CE，由于已知四边形ABCD是菱形，就可以转化为三角形的问题进行讨论，转化的方法是添加对角线，于是联结AC，就可得△ACD是一个等边三角形，由条件∠AEF=60°，观察图形，可以发现△EAF也是一个等边三角形（当然这还是一个要证明的结论），这样就出现了两个以A为公共顶点的等边三角形，所以一定得到一对旋转型全等三角形，找这对全等三角形的方法是：将由公共顶点A发出的两组相等线段AE、AF；AC、AD两两组成全等三角形，所以联结AF，就可以找到这对全等三角形应是△AEC和△AFD，全等的条件是AC=AD，∠ACE=∠ADF=60°, 所以还要证明一个性质，由于CE=DF是要证明的结论，不能用，证明AE=AF，即使证了也不能证明这两个三角形全等，所以第三个条件只能是证明对应角相等，由于一对旋转型全等三角形，必定同时出现一对相似的等腰三角形和两个圆内接四边形，所以由条件∠AEF=60°和∠ACD=60°,就可得A、E、C、F四点共圆，再由C、F、D成一直线，就可推得∠AEC=∠AFD，也就可以完成分析。