14.3.2公式法(2)导学案
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第14章14.3.2 公式法(第2课时)
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式: a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.解：(1)16x2+ 24x +9= (4x)2 + 2·4x·3 + 32= (4x + 3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+ 4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )（出示课件15）A . 11 B. 9 C. –11 D. –9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a –4b+5=0，求2a 2+4b –3的值.（出示课件23） 师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a –4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b –2)2=0∴ 2a 2+4b –3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )A ．a 2＋1B ．a 2–6a ＋9C ．x 2＋5yD ．x 2–5y2.把多项式4x 2y –4xy 2–x 3分解因式的结果是( )A ．4xy(x –y)–x 3B ．–x(x –2y)21020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ．5. 把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3) y2+2y+1–x2;6. 计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)1x2–2x＋3.3小聪和小明的解答过程如下：小聪: 小明:他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8. (1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．参考答案：1.B2.B3.14. ±45. 解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6. 解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17. 解: (1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2(2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28. 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。
教版八年级数学上册 14 3 2运用完全平方公式因式分解 导学案(无答案)
课题：14.3.2 运用完全平方公式因式分解班别：姓名：学号：自评：第一部分预习导案一、学习目标：1、理解并掌握用完全平方公式分解因式．2、灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．二、学习重难点：1、重点：掌握用完全平方公式分解因式；2、难点：灵活用各种方法分解因式三、知识链接：完全平方和（a+b）2=_____________,完全平方差（a-b）2=_______________四、预习导学1、阅读教材P117，因式分解的完全平方公式：1）__________________2）____________________，文字叙述为_______________________________________________ ______.2、把_____ _________的等号两边互换位置得到用于分解因式的公式，这种用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式的方法叫做_______ _____.五、预习检测1、下列式子为完全平方式的是( )A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2 C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12、如果x2－6x+N是一个完全平方式,那么N是( )A . 11 B. 9 C. －11 D. －93、因式分解：(1) a2－4a＋4(2)4a2＋12ab+9b2 (3)－3a2x2＋24a2x－48a2(4)(a2＋4)2－16a24、简便计算：(1)1002－2×100×99+99²(2)342＋34×32＋1625、已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．六、预习过程中我的疑惑：___________________________________________第一部分 课堂检测1、如果22y 49kxy x 100++可以分解成()2y 7x 10-，则k 的值为 。
2、如果16mx x 2++是一个完全平方式，则m 的值为 。
人教版2019年中学数学八年级上册14.3.2 公式法(第2课时)导学案
14.3.2 公式法(第2课时)学习目标1.会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方公式把多项式分解因式的方法.(重点)2.理解完全平方式的意义和特点.3.能运用十字相乘法对形如x2+px+q的二次三项式进行因式分解.自主学习学习任务一知识回顾1.什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?2.把下列各式分解因式：(1)ax4−ax2；(2)16m4−n4.3.我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?请写出来.学习任务二完全平方式1.你能将多项式a2+2ab+b2与a2−2ab+b2分解因式吗?a2+2ab+b2= ；a2−2ab+b2= .2.归纳完全平方式：；语言叙述：.这两个多项式有什么特点?3.下列多项式是否为完全平方式?为什么?(1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4−10x2+1；(4)16a2+1.合作探究小组合作探究下列问题：1.分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)−x2+4xy−4y2.2.分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.3.分解因式：(1)x2-7x+10.(2)x2+3x-10.(3)x2+11x+24.(4)x2-4x-21.当堂达标1.填空：(1)x2-10x+( )=( )^(2) ；(2)9x2+( )+4y^(2) =( )^(2) ；(3)1-( )+19m2=( )^(2) .2.(2015·福建龙岩中考)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )A.x2+x+1B.x2+2x-1C.x2-1D.x2-6x+93.(广西南宁中考)把多项式2x2-8x+8分解因式,结果正确的是( )A.(2x−4)2B.2(x−4)2C.2(x−2)2D.2(x+2)24.(湖南怀化中考)多项式ax2-4ax-12a因式分解的结果是( )A.a(x-6)(x+2)B.a(x-3)(x+4)C.x2-4x-12D.a(x+6)(x-2)5.填空：(1)(2016·哈尔滨中考)把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是.(2)(2016·辽宁鞍山质检)若y-x=-1,xy=2,则代数式-12x3y+x2y2-12xy3的值是.6.把下列各式分解因式：(1)a2-24a+144；(2)4a2b2+4ab+1；(3)(x+y) 2-10(x+y)+25；(4)−2xy−x2−y2.7.你知道数学中的整体思想吗？若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速解决.你能用整体思想方法把下列式子分解因式吗？(1)(x+2y)2-2(x+2y)+1；(2)(a+b)2-4(a+b-1).反思感悟我的收获：我的易错点：。
初中数学_因式分解——公式法(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
14.3 因式分解（第三课时）14.3.2 公式法（2）一、教学目标（一）学习目标1.掌握完全平方公式的特点.2.会运用完全平方公式因式分解.3.能熟练运用公式法和提公因式法分解因式.（二）学习重点掌握完全平方公式的特点，运用完全平方公式分解因式.（三）学习难点灵活运用公式分解分解因式.二、教学设计（一）课前设计1.自学反馈请同学们根据爱作业在线预习的情况组内交流，有困惑的地方组长帮忙解决。
公式法：把乘法公式的等号两边 互换位置 ，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.（二）课堂展示探究一 剖析完全平方公式活动1 剖析完全平方公式问题 ：我们将形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.完全平方式有哪些特点呢？学生思考后分小组讨论，再归纳总结：完全平方式的特点是：①完全平方式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的 平方，而且符号相同，中间相是这两个数（或整式）的积的2倍 ，符号正负均可. 口诀：首平方，末平方，首末积的2倍中间放.追问：平方差公式中的a 、b 可代表多项式，类似地，完全平方公式中的a 、b 是否也可以代表一个多项式呢？【设计意图】类比平方差公式分解因式的学习过程，剖析完全平方式的特点，为熟练运用完全平方公式分解因式奠定基础.●活动2 辨析完全平方公式问题 ：下列多项式中，哪些是完全平方式？若是完全平方式，请指出谁相当于公式中的a 、b .（1）224129x xy y ++ ；（2）244x x -++ ；（3）2269x xy y -+- ；（4）221x x +- 学生独立思考后，集体订正.【设计意图】通过辨析完全平方式，为运用完全平方式分解因式作准备.尤其是对于（2）、（3）这种形式的完全平方式，学生辨析较困难，关键是掌握：完全平方式首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，各项的位置是可以调换的，为本节课突破难点奠定基础.探究二 直接运用完全平方公式因式分解●活动1 公式中的a 、b 代表单项式的因式分解例1 分解因式：（1）216249x x ++ ；（2）2244x xy y -+- 【知识点】运用完全平方公式分解因式【解题过程】解：（1）222216249(4)2433(43)x x x x x ++=++=+；（2）222222244(44)22(2)(2)x xy y x xy y x x y y x y ⎡⎤-+-=--+=--+=--⎣⎦ 【思路点拨】（1）先将原多项式变形为22(4)2433x x ++，认清谁是公式中的a 、b ，再进行因式分解 ；（2）可将负号提出是本题的关键，变形为2222(44)22(2)x xy y x x y y ⎡⎤--+=--+⎣⎦，再因式分解. 【答案】 （1）2(43)x +；（2）2(2)x y --.练习：因式分解（1）2242025x xy y -+ （2）221294xy x y -- 【知识点】运用完全平方公式分解因式【解题过程】解：（1）2222242025(2)225(5)(25)x xy y x x y y x y -+=-+=-；（2）22222221294(9124)(3)232(2)(32)xy x y x xy y x x y y x y ⎡⎤--=--+=--+=--⎣⎦【思路点拨】（1）先将原多项式变形为22(2)225(5)x x y y -+，辨析公式中的a 、b ，再进行因式分解 ；（2）将负号提出是本题的关键，变形为22(3)232(2)x x y y ⎡⎤--+⎣⎦，再因式分解.【答案】 （1）2(25)x y -；（2）2(32)x y --.●活动2 公式中的a 、b 代表多项式的因式分解例2 分解因式：（1）2()12()36a b a b +-++ ；（2）22()4()4m n m m n m +-++ . 【知识点】运用完全平方公式分解因式【数学思想】整体思想【解题过程】解：（1）2222()12()36()2()66(6)a b a b a b a b a b +-++=+-++=+-；（2）222222()4()4()2()2(2)(2)()m n m m n m m n m n m m m n m n m +-++=+-++=+-=-.【思路点拨】此类题的关键是整体思想的运用，（1）中将a+b 看成一个整体，设a+b =m ，则原多项式就化为21236m m -+ ，可用完全平方公式分解因式；（2）类似，注意分解后有同类项还需合并同类项.【答案】 （1）2(6)a b +-；（2）2()n m -.练习：因式分解（1）222()()a a b c b c -+++ ；（2）2222(1)4(1)4x x x x ++++【知识点】运用完全平方公式分解因式【数学思想】整体思想【解题过程】解：（1）[]22222()()()()a a b c b c a b c a b c -+++=-+=--； （2）22222222224(1)4(1)4(1)2(21)(1)(1)x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++=++=+=+⎣⎦⎣⎦. 【思路点拨】解此类题的关键是整体思想的运用，（1）中将b+c 看成一个整体，设b+c =m ，则原多项式就化为222a am m -+ ，可用完全平方公式分解因式；（2）类似，注意分解后还需继续利用完全平方公式分解彻底.【答案】 （1）2()a b c --；（2）4(1)x +.探究三 综合应用●活动1例3 分解因式： 22363ax axy ay ++ ；【知识点】运用提公因式法、公式法分解因式【解题过程】解：222223633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y ++=++=+；3. 课堂总结知识梳理（学生自己总结梳理）（1）完全平方式：形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.（2）用完全平方公式分解因式：文字语言：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.符号语言：2222()a ab b a b ++=+；2222()a ab b a b -+=-.（3）公式法：把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.重难点归纳（1）完全平方公式使用的条件是：①多项式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，中间项是这两个数（或整式）的积2倍，符号正负均可.（2）分解因式的一般步骤：一提，二套，三检查①观察多项式的各项是否有公因式，若有，应先提公因式；②再观察多项式是否可以用平方差公式或完全平方公式进行分解因式；③检查每个多项式是否分解彻底，每个多项式都不能分解时，分解因式就结束了.（3）有时多项式既不能提公因式，也不能运用平方差或完全平方公式分解，则需根据多项式的特点作适当变形后再进行因式分解.(三)课后作业基础型 自主突破1.下列多项式是完全平方式的是（ ）A ．244a a --B ．23216a a -+C ．224a a ++D ．2816a a -+2.已知224x mx -+ 是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．±1D ．±23. 计算x =156，y =144，则221122x xy y ++ 的值是（ ） A ．150 B ．450 C ．45000 D ．900004.分解因式2(1)2(1)1a a ---+ 的结果是（ ）A ．(1)(2)a a --B ．2(1)a -C ．2(1)a +D ．2(2)a -5. 计算：222172173417-⨯+ =_____________.能力型 师生共研7. 若224222()8()160x y x y +-++= ，则22x y + 的值为（ ）.A ．4B ．2C ．± 2D ．± 48. 已知△ABC 三边a 、b 、c 满足等式2220a ab b bc c ac -+-+-=，则△ABC 是 三角形.学情分析两班共有学生110人，两班中绝大部分同学都能跟上现有的进度，上课发言积极，部分同学表现的比较出色，但也有个别同学的理解能力和接受能力不尽人意。
14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》教案
学科：数学授课教师：年级：八年级总第课时课题14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》课时教学目标知识与技能用完全平方公式分解因式过程与方法1．理解完全平方公式的特点．2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．情感价值观通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力.教学重点用完全平方公式分解因式．教学难点灵活应用公式分解因式．教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高媒体资源多媒体投影教学过程教学流程教学活动学生活动设计意图复习提问1、分解因式：（1）－a2＋b2（2）2a－8a22、把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2思考解答复习引入完全平方公式1、把整式乘法的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2a b＋b2（a－b）2＝a2－2a b＋b2反过来，得到：a2＋2a b＋b2＝（a＋b）2a2－2a b＋b2＝（a－b）2注：（1）形如a2±2a b＋b2的式子叫做完全平方式，说出它们的特点。
（2）利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。
（3）上面两个公式用语言叙述为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
尝试独立完成然后与同伴交流总结掌握完全平方公式分解因式特点例题练习1、分解因式：（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y22、练习：P119页：练习：1、2：（1）--（4）3、分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2-12（a+b）+364、练习：P119页：练习：2：（5）（6）5下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a2－2a＋1 （2）a2－4a＋4 （3）a2＋2ab－b 2（4）a2＋ab＋b2（5）9a2－6a＋1 （6）a2＋a＋1/4 思考动手板演归纳总结巩固知识因式分解的一般步骤1、把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？（1）44yx-；（2）33abba-；（3）22363ayaxyax++；（4）22)()(qxpx+-+；（5）4x2+20（x-x2）+25（1-x）22、分解因式的一般步骤：（1）先提公因式（有的话）；（2）利用公式（可以的话）；（3）分解因式时要分解到每个多项式因式不能再分解为止．3、练一练：把下列多项式分解因式：（1）6a-a2-9；（2）-8ab-16a2-b2；（3）2a2-a3-a；课堂小结1、完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
八年级数学上册14.3.2公式法(二)优质课教案
2、我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式
教师引导学生从运算顺序上分析运算得到特点。
先独立思考，后合作交流
学习完全平方式
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
（1）（2）
（3）（4）．
(5) x2＋2xy－y2
三、教学目标
（一）知识目标：
（1）掌握完全平方式的特点。
（2）用完全平方式分解因式。
（二）能力目标：
（1）会判定一个多项式是否是完全平方式。
（2）能熟练应用完全平方公式分解因式。
（3）能够综合运用提公因式公式法分解因式。
（三）情感目标：
通过综合应用提公因式法、公式法分解因式进一步培养学生的观察能力，整体思想，分析解决问题的能力。
四、教学流程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入:问题情境：
计算
20172-2×2017×2007+20072.
你能快速口算得到答案吗？
课件展示提出问题。
学生独立思考。
激发学生的学习兴趣引入课题
讲授探究新知
知识点一：完全平方式
1、从运算的角度看多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2.有什么特点？
教师讲解定义
学生回答记忆
学习定义
探究新知
例1分解因式：(1)16x2+24x+9
分析16x2=(4x)2,9=32,24x=2×4x·3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24x+9=(4x)2+ 2×4x·3+32
人教版初中数学八年级上册14.3.2公式法(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“完全平方公式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.思维与发展：通过公式法的学习，培养学生逻辑思维和抽象思维能力，提升解决问题的策略和方法。
3.实践与探究：鼓励学生运用完全平方公式解决实际问题，激发学生的探究精神，培养学以致用的实践能力。
4.合作与交流：在小组讨论和练习环节，培养学生团队合作意识，提高沟通与交流能力。
5.情感与态度：培养学生对数学学科的兴趣和热情，增强自信心，形成积极向上的学习态度。
举例：针对难点，教师可以采取以下教学方法：
-通过图形（如平方图）来直观展示完全平方公式的来源，帮助学生理解公式背后的数学意义。
-提供不同难度的练习题，从简单的识别和应用开始，逐步过渡到需要综合运用多种数学知识的复杂题目。
-在学生练习时，教师巡回指导，及时发现并纠正学生对完全平方公式理解上的误区，如错误的公式应用或计算错误。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-完全平方公式的记忆与理解：强调公式a² + 2ab + b² = (a + b)²和a² - 2ab + b² = (a - b)²的结构，以及它们在因式分解中的应用。
-公式法解题步骤：明确使用完全平方公式分解因式的步骤，包括识别多项式的结构特征、应用公式进行分解、简化表达式。
3.举例说明完全平方公式的应用，如：x² + 6x + 9 = (x + 3)²，x² - 6x + 9 = (x - 3)²。
人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》教案
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《公式法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将一个表达式平方的情况？”（如：计算一个长方形的面积时，需要将长和宽相加后的结果平方。）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索完全平方公式的奥秘。
其次，理论讲授环节，我发现学生们对公式的记忆和应用感到困惑。在讲解过程中，我强调了公式记忆的重要性，并通过反复举例来强化记忆。但我也注意到，单纯的重复可能不足以帮助所有学生理解。今后，我考虑引入更多变式题目，让学生在不同的情境中运用公式，以此提高他们的理解和应用能力。
在实践活动和小组讨论中，学生们表现得相当积极。他们通过讨论和实验操作，加深了对完全平方公式的理解。然而，我也观察到一些学生在讨论中较为沉默，可能是因为他们对公式还不够熟悉，或者是对小组讨论这种形式不太适应。为了解决这个问题，我计划在未来的课堂中，为这些学生提供更多的支持和鼓励，帮助他们更好地融入小组活动。
4.思维发展：引导学生从具体的实例中提炼出数学规律，培养学生的抽象思维能力，为后续数学学习奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-完全平方公式的推导与记忆：完全平方公式是本节课的核心内容，包括(a+b)²和(a-b)²两种形式。教师需重点讲解公式的推导过程，并通过实例强化学生对公式的记忆。
-公式法的应用：培养学生将完全平方公式应用于因式分解的能力，解决具体的数学问题。
-因式分解中的符号处理：在运用完全平方公式进行因式分解时，学生可能会对符号处理感到困惑，例如在(a-b)²中，如何正确转换为a²-2ab+b²。
-抽象思维的培养：从具体的数字运算过渡到字母表示的公式，对学生的抽象思维能力有较高要求，是学生学习的难点。
人教版-数学-八年级上册-14.3.2《公式法(2)》 教案
14.3.2 公式法（2）一、教学目标（一）学习目标1.掌握完全平方公式的特点.2.会运用完全平方公式因式分解.3.能熟练运用公式法和提公因式法分解因式.（二）学习重点掌握完全平方公式的特点，运用完全平方公式分解因式.（三）学习难点灵活运用公式分解分解因式.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）完全平方式：形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式. 它的特点是：①完全平方式是一个二 次三 项式；②首末两项是两个数（或整式）的 平方 ，而且符号 相同 ，中间相是这两个数（或整式）的 积的2倍 ，符号正负均可.（2）用完全平方公式分解因式：文字语言：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.符号语言：2222()a ab b a b ++=+；2222()a ab b a b -+=-.（3）公式法：把乘法公式的等号两边 互换位置 ，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.预习自测（1）下列多项式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．224a b +B ．221a a --C ．22a ab b ++D ．2244a ab b ++【知识点】完全平方公式【思路点拨】判断一个多项式是否能用平方差公式因式分解的关键是该多项式是否为完全平方式，它应具有以下特点：①完全平方式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，中间项是这两个数（或整式）的积的2倍.【解题过程】A只有两项，不能用完全平方公式因式分解；B首末两项的符号不同，不能用完全平方公式因式分解；C的中间项不是A.b的2倍，不能用完全平方公式因式分解；D能.故选D.【答案】D（2）把多项式22496a ab b-+因式分解正确的是（）A．2(9)a b-B．2(3)a b-C．22(3)a b-D．22(3)a b+【知识点】用完全平方公式分解因式．【思路点拨】用完全平方公式分解因式时，关键是识别该多项式是否符合完全平方公式的特点，并能确定是哪两个数（或整式）的和（或差）的平方.【解题过程】22422222296(3)23()(3)a ab b a a b b a b-+=-+=-，选项C正确.【答案】C（3）若多项式22x kxy y++是完全平方式，则k的值为.【知识点】完全平方式．【思路点拨】用完全平方式的特点来分析该多项式，关键是注意中间项应是首末积的2倍，同时它的符号正负均可.【解题过程】∵22x kxy y++是完全平方式，∴22222x kxy y x xy y++=±+，则2k=±.【答案】±2（4）因式分解：①21236x x-+；②2244x y xy+-【知识点】用完全平方公式分解因式．【思路点拨】用完全平方公式分解因式时，关键是识别该多项式是否符合完全平方公式的特点，并能确定是哪两个数（或整式）的和（或差）的平方.公式中三项的位置是可以调换的.【解题过程】①2222 1236266(6)x x x x x-+=-+=-；②22222 44(2)22(2) x y xy x x y y x y+-=-+=-.【答案】①2(6)x-；②2(2)x y-.(二)课堂设计1.知识回顾把下列各式因式分解：（1）22936x y xy xy +-； （2）3a b ab -.学生独立完成后回答：（1）229363(32)x y xy xy xy x y +-=+-. （2）32(1)(1)(1)a b ab ab a ab a a -=-=+- 做后强调：分解因式时有时要考虑综合运用各种方法，一般先观察是否有公因式可提，再考虑能否用平方差公式分解；分解因式要彻底，一直到不能分解为止.2.问题探究探究一 探索因式分解的方法——完全平方公式.●活动① 类比学习问题1：上节课我们将乘法公式中的平方差公式等号两边互换位置得到因式分解的又一种方法：运用平方差公式分解因式，类似地，乘法还有完全平方公式，你能类比学习得到因式分解的新方法吗？学生回顾乘法中的完全平方公式：222()2a b a ab b +=++ ；222()2a b a ab b -=-+.互换位置可得：2222()a ab b a b ++=+；2222()a ab b a b -+=-问题2：类比平方差公式，你能用语言叙述该公式吗？文字语言：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 问题3：运用完全平方公式分解因式时，最后分解为和的完全平方还是差的完全平方，有谁来决定？ 学生思考后分小组讨论交流：由2倍项的符号来确定，若2倍项的符号为正，则分解为和的完全平方，若2倍项的符号为负，则分解为差的完全平方.【设计意图】本节课的学习是在学生已掌握运用平方差公式分解因式的基础上进行的，学生已掌握运用因式分解与整式乘法的互逆关系可得到运用平方差公式分解因式的方法，因此根据这样的经验，类比学习得到运用完全平方公式分解因式就迎刃而解了.●活动② 剖析完全平方公式. ★问题4：我们将形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.完全平方式有哪些特点呢？ 学生思考后分小组讨论，再归纳总结：完全平方式的特点是：①完全平方式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的 平方，而且符号相同，中间相是这两个数（或整式）的积的2倍 ，符号正负均可.口诀：首平方，末平方，首末积的2倍中间放.追问：平方差公式中的A.b 可代表多项式，类似地，完全平方公式中的A.b 是否也可以代表一个多项式呢？【设计意图】类比平方差公式分解因式的学习过程，剖析完全平方式的特点，为熟练运用完全平方公式分解因式奠定基础.●活动③ 辨析完全平方公式问题5：下列多项式中，哪些是完全平方式？若是完全平方式，请指出谁相当于公式中的A.b.（1）224129x xy y ++ ；（2）244x x -++ ；（3）2269x xy y -+- ；（4）221x x +-学生独立思考后，集体订正.【设计意图】通过辨析完全平方式，为运用完全平方式分解因式作准备.尤其是对于（2）、（3）这种形式的完全平方式，学生辨析较困难，关键是掌握：完全平方式首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，各项的位置是可以调换的，为本节课突破难点奠定基础.探究二 直接运用完全平方公式因式分解 ★●活动① 公式中的A.b 代表单项式的因式分解例1 分解因式：（1）216249x x ++ ；（2）2244x xy y -+-【知识点】运用完全平方公式分解因式【解题过程】解：（1）222216249(4)2433(43)x x x x x ++=++=+；（2）222222244(44)22(2)(2)x xy y x xy y x x y y x y ⎡⎤-+-=--+=--+=--⎣⎦【思路点拨】（1）先将原多项式变形为22(4)2433x x ++，认清谁是公式中的A.b ，再进行因式分解 ；（2）可将负号提出是本题的关键，变形为2222(44)22(2)x xy y x x y y ⎡⎤--+=--+⎣⎦，再因式分解.【答案】 （1）2(43)x +；（2）2(2)x y --.练习：因式分解（1）2242025x xy y -+ （2）221294xy x y --【知识点】运用完全平方公式分解因式【解题过程】解：（1）2222242025(2)225(5)(25)x xy y x x y y x y -+=-+=-；（2）22222221294(9124)(3)232(2)(32)xy x y x xy y x x y y x y ⎡⎤--=--+=--+=--⎣⎦【思路点拨】（1）先将原多项式变形为22(2)225(5)x x y y -+，辨析公式中的 A.b ，再进行因式分解 ；（2）将负号提出是本题的关键，变形为22(3)232(2)x x y y ⎡⎤--+⎣⎦，再因式分解.【答案】 （1）2(25)x y -；（2）2(32)x y --.●活动② 公式中的A.b 代表多项式的因式分解例2 分解因式：（1）2()12()36a b a b +-++ ；（2）22()4()4m n m m n m +-++ .【知识点】运用完全平方公式分解因式【数学思想】整体思想【解题过程】解：（1）2222()12()36()2()66(6)a b a b a b a b a b +-++=+-++=+-；（2）222222()4()4()2()2(2)(2)()m n m m n m m n m n m m m n m n m +-++=+-++=+-=-.【思路点拨】此类题的关键是整体思想的运用，（1）中将a+b 看成一个整体，设a+b=m ，则原多项式就化为21236m m -+ ，可用完全平方公式分解因式；（2）类似，注意分解后有同类项还需合并同类项.【答案】 （1）2(6)a b +-；（2）2()n m -.练习：因式分解（1）222()()a a b c b c -+++ ；（2）2222(1)4(1)4x x x x ++++ 【知识点】运用完全平方公式分解因式【数学思想】整体思想【解题过程】解：（1）[]22222()()()()a a b c b c a b c a b c -+++=-+=--； （2）22222222224(1)4(1)4(1)2(21)(1)(1)x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++=++=+=+⎣⎦⎣⎦.【思路点拨】解此类题的关键是整体思想的运用，（1）中将b+c 看成一个整体，设b+c=m ，则原多项式就化为222a am m -+ ，可用完全平方公式分解因式；（2）类似，注意分解后还需继续利用完全平方公式分解彻底.【答案】 （1）2()a b c --；（2）4(1)x +. 探究三 综合应用 ★ ▲●活动①例3 分解因式：（1）22363ax axy ay++；（2）2()4a b ab-+；（3）22(4)16x x+-.【知识点】运用提公因式法、公式法分解因式【解题过程】解：（1）22222 3633(2)3() ax axy ay a x xy y a x y ++=++=+；（2）222222 ()4242() a b ab a ab b ab a ab b a b-+=-++=++=+.（3）222222(4)16(44)(44)(2)(44) x x x x x x x x x+-=+++-=++-【思路点拨】对于（1），关键是先提公因式3a，之后才能运用完全平方公式分解因式；对于（2），观察式子后发现不能直接进行因式分解，需将2()a b-展开后，与2ab，合并同类项方可进行. 对于（3）应先运用平方差公式分解因式，再继续用完全平方公式分解，注意分解彻底.【答案】（1）23()a x y+；（2）2()a b+；（3）22(2)(44)x x x++-题后反思：（1）把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.（2）分解因式的一般步骤：一提，二套，三检查①观察多项式的各项是否有公因式，若有，应先提公因式；②再观察多项式是否可套用平方差公式或完全平方公式进行分解因式；③检查每个多项式是否分解彻底，每个多项式都不能分解时，分解因式就结束了.注意：有时多项式既不能提公因式，也不能运用平方差或完全平方公式分解，则需根据多项式的特点作适当变形后再进行因式分解.练习：把下列各式分解因式：（1）33222ax y axy ax y+-；（2）24(1)a a--；（3）222(3)(1)x x x--+【知识点】运用提公因式法、公式法分解因式【解题过程】解：（1）33222222(2)() ax y axy ax y axy x y xy axy x y +-=+-=-；（2）222 4(1)44(2)a a a a a--=-+=-；（3）2222222(3)(1)(31)(31)(21)(41) x x x x x x x x x x x x x --+=-++---=-+--22(1)(41)x x x=---【思路点拨】对于（1），关键是先提公因式axy，之后才能运用完全平方公式分解因式；对于（2），观察式子后发现不能直接进行因式分解，需将多项式变形后，再进行因式分解. 对于（3）应先运用平方差公式分解因式，再继续用完全平方公式分解，注意分解彻底.【答案】（1）2()axy x y -；（2）2(2)a -；（3）22(1)(41)x x x --- ●活动② 因式分解的运用例4 计算：（1） 228001600798798-⨯+ ；（2）2225685622244⨯+⨯⨯+⨯【知识点】运用因式分解简化运算【解题过程】解：（1）22222280016007987988002800798798(800798)24-⨯+=-⨯⨯+=-==； （2）222222256856222442(562564444)2(5644)210020000⨯+⨯⨯+⨯=⨯+⨯⨯+=⨯+=⨯=；【思路点拨】此类题的关键是将算式进行适当变形，变为完全平方式的形式，这样即可运用完全平方公式进行因式分解，从而达到简化运算的目的.【答案】（1）4；（2）20000.练习：计算（1）221999399819981998-⨯+ ；（2）2299599+【知识点】运用因式分解简化运算【解题过程】解：（1）22222199939981998199819992199919981998(19991998)1-⨯+=-⨯⨯+=-=；（2）222299599(3001)59930023001159990000+=-+=-⨯⨯++=； 【思路点拨】此类题的关键是将算式进行适当变形，变为完全平方式的形式，这样即可运用完全平方公式进行因式分解，从而达到简化运算的目的.【答案】（1）1；（2）90000.3. 课堂总结知识梳理（1）完全平方式：形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.（2）用完全平方公式分解因式：文字语言：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.符号语言：2222()a ab b a b ++=+；2222()a ab b a b -+=-. （3）公式法：把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.重难点归纳（1）完全平方公式使用的条件是：①多项式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，中间项是这两个数（或整式）的积2倍，符号正负均可.（2）分解因式的一般步骤：一提，二套，三检查①观察多项式的各项是否有公因式，若有，应先提公因式；②再观察多项式是否可以用平方差公式或完全平方公式进行分解因式；③检查每个多项式是否分解彻底，每个多项式都不能分解时，分解因式就结束了.（3）有时多项式既不能提公因式，也不能运用平方差或完全平方公式分解，则需根据多项式的特点作适当变形后再进行因式分解.。
人教版八年级数学上册导学案 14.3.2 公式法(2)
14．3.2公式法(2)1．会判断完全平方式．2．能直接利用完全平方式因式分解．重点：掌握完全平方公式分解因式的方法．难点：能灵活运用公式法分解因式．一、自学指导自学1：自学课本P117－118页“思考及例5，例6”，完成下列填空．(5分钟)(1)计算：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2．(2)根据上面的式子填空：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.总结归纳：形如a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2；两个数的平方和加上(减去)这两个数积的2倍，等于这两个数的和(差)的平方．自学2：自学课本P121阅读与思考，填空．(5分钟)(1)计算：(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2；(x－1)(x－2)＝x2－3x＋2；(x－1)(x＋2)＝x2＋x－2；(x＋1)(x－2)＝x2－x－2．(2)根据上面的式子填空：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)；x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)；x2＋x－2＝(x－1)(x＋2)；x2＋x－2＝(x＋1)(x－2)．总结归纳：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．点拨精讲：常数项拆成的两个因数，绝对值较大因数的符号与一次项的符号相同．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P119页练习题1，2.点拨精讲：完全平方式其中有两项能写成两数或式子的平方的形式，另一项为这两个数或式子积的2倍或2倍的相反数．多项式有公因式的先提公因式，再确定其属于哪个公式结构．2．分解因式：(1)(a－b)2－6(b－a)＋9；(2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1；(3)y2－7y＋12；(4)x2＋7x－18.解：(1)(a－b)2－6(b－a)＋9＝(a－b)2＋6(a－b)＋9＝(a－b＋3)2；(2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1＝(x2－2x＋1)2＝(x－1)4；(3)y 2－7y ＋12＝(y －3)(y －4)；(4)x 2＋7x －18＝(x －2)(x ＋9)．点拨精讲：第(1)(2)题先要把括号里的式子看作一个整体，分解后要继续分解到不能分解为止；第(3)(4)题要从常数项入手，拆分时主要是符号的问题．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 已知x ＋1x ＝4，求值：(1)x 2＋1x 2；(2)(x －1x)2. 解：(1)x 2＋1x 2＝(x ＋1x)2－2＝42－2＝14； (2)(x －1x )2＝(x ＋1x)2－4＝42－4＝12. 点拨精讲：这里需要活用公式，将两个完全平方公式进行互相转化．探究2 分解因式：(1)x 2－2xy ＋y 2－9；(2)x 4＋x 2y 2＋y 4解：(1)x 2－2xy ＋y 2－9＝(x 2－2xy ＋y 2)－9＝(x －y)2－9＝(x －y ＋3)(x －y －3)；(2)x 4＋x 2y 2＋y 4＝x 4＋2x 2y 2＋y 4－x 2y 2＝(x 2－y 2)2－x 2y 2＝(x 2－y 2＋xy)(x 2－y 2－xy)． 点拨精讲：分组与拆项是分解因式中的常用方法，其原则是分组与拆项后便于提取公因式或用公式法进一步分解因式．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．利用因式分解计算：2022＋202×196＋982.解：2022＋202×196＋982＝(202＋98)2＝3002＝90000.2．如果x 2＋mxy ＋9y 2是一个完全平方式，那么m 的值是±3．3．分解因式：(1)x 2－xy ＋y －x ；(2)a 4＋3a 2b 2＋4b 4；(3)(a －b)2－6(a －b)＋8.解：(1)x 2－xy ＋y －x ＝(x 2－xy)－(x －y)＝x(x －y)－(x －y)＝(x －y)(x －1)；(2)a 4＋3a 2b 2＋4b 4＝(a 4＋4a 2b 2＋4b 4)－a 2b 2＝(a 2＋2b 2)2－a 2b 2＝(a 2＋ab ＋2b 2)(a 2－ab ＋2b 2)；(3)(a－b)2－6(a－b)＋8＝(a－b－2)(a－b－4)．(3分钟)1.分解因式的步骤：有公因式的先提公因式，提完公因式如果是二项式就考虑平方差公式，三项式看是否符合完全平方公式或者能否运用十字相乘法，不能用完全平方公式和十字相乘法的多项式要考虑拆项；超过三项的多项式要采用分组分解法，分组的原则是分组后能提公因式或运用公式继续分解．2．分解一定要彻底，分解的结果一定是积的形式，且不含公因式或能继续分解的因式．3．检查分解是否正确的方法是把分解的结果乘回去看是否得到原式．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)。
14.3.2 公式法 教案
14．3.2公式法(2课时)第1课时平方差公式教学目标：1．能说出平方差公式的特点．2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．重点应用平方差公式分解因式．难点灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．教学过程：一、问题导入，探究新知问题1：什么叫因式分解？问题2：你能将多项式x2－4与多项式y2－25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点？对于问题1要强调因式分解是对多项式进行的一种变形，可引导比较它与整式乘法的关系．对于问题2要求学生先进行思考，教师可视情况作适当的提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式．即(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就是：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进行表述．例1分解因式：(1)4x2－9；(2)(x＋p)2－(x＋q)2.分析：注意引导学生观察这2个多项式的项数，每个项可以看成是什么“东西”的平方，使之与平方差公式进行对照，确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式后，再用平方差公式进行因式分解．能否用平方差公式进行因式分解，取决于这个多项式是否符合平方差的特征，即两个数的平方差，所以要强调多项式是否可化为()2－()2的形式．括号里的“东西”是一个整体，它可以是具体的数或单项式或多项式，如(2)题中应是多项式．例2分解因式：(1)x4－y4；(2)a3b－ab.分析：(1)先把它写成平方差的形式，再分解因式，注意它的第2次分解；(2)现在不具备平方差的特征，引导继续观察特点，发现有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解．学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止，提公因式法和应用公式法的综合应用．二、巩固练习完成教材第117页练习第1，2题．第1题对学生的观察能力和判断能力是一次很好的锻炼，要求学生讲出能否用公式的道理．第2题是用提公因式法和应用平方差公式进行因式分解的综合应用，要求学生养成先观察多项式的特点的习惯．注意：要将因式分解进行到不能再分解为止．三、课堂小结1．举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征．2．谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤．3．谈谈多项式分解的注意点．四、布置作业1．必做题：教材第119页习题14.3第2题，第4(2)题．2．备选题：(1)下面的因式分解是否正确，为什么？若不正确请写出正确答案．①m 2＋n 2＝(m ＋n)2；②m 2－n 2＝(m －n)2.(2)分解因式：①x 3－9x ；②(a 2＋b 2)2－4a 2b 2；③(y 2－4)2－6(y 2－6)＋9.(3)用简便方法计算：①1617×1567； ②1 9992－3 998×1 998＋19982；③2992＋599.第2课时 完全平方公式教学目标：1．理解完全平方公式的特点．2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．重点用完全平方公式分解因式．难点灵活应用公式分解因式．教学过程：一、复习引入1．叙述平方差公式，并写出公式．2．把下列各式分解因式：(1)－16＋x 2； (2)x 3－xy 2；(3)m 4－1; (4)ab(x －y)3＋ab 3(y －x)．3．填空：(1)(a ＋b)2＝________； (2)(a －b)2＝________．二、探究新知完全平方式与完全平方公式(1)公式：把乘法公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2和(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2反过来，就可以得到：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b)2.这就是说，两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．把a 2＋2ab ＋b 2和a 2－2ab ＋b 2这样的式子叫做完全平方式．上面两个公式叫做完全平方公式．(2)完全平方式的形式和特点；①项数：三项；②有两项是两个数的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍．(3)例子：把x 2＋6x ＋9和4x 2－20x ＋25因式分解．显然，它们不能用学过的方法，可以用完全平方公式分解吗？三、应用举例1．(1)提问：式子x 2－4x ＋4，1＋16a 2，4x 2＋4x －1，x 2＋xy ＋y 2，m 2＋2nm ＋n 2是不是完全平方式？(2)填空：m 2＋(____)＋4＝(m ＋2)2，m 2＋(____)＋4＝(2－m)2，a 2b 2－(____)＋14＝(ab －12)2； (3)判断下列式子分解因式是否正确：x 2＋2x －1＝(x －1)2；－2ab ＋a 2＋b 2＝(－a ＋b)2；2x 2－4xy ＋y 2＝(2x －y)2；x 2＋x ＋14＝(x ＋12)2；－a 2＋2ab －b 2＝(－a ＋b)2；4a 2＋6ab ＋9b 2＝(2a ＋3b)2.2．例题例1 把16x 2＋24x ＋9和－x 2＋4xy －4y 2因式分解．提问：利用完全平方公式来分解因式的关键是看多项式是否符合公式的特点，此题符合吗？课堂练习：把下列各式因式分解：(1)x 2＋2x ＋1; (2)4a 2＋4a ＋1；(3)1－6y ＋9y 2;(4)1＋m ＋m 24. 例2 分解因式：(1)3ax 2＋6axy ＋3ay 2；(2)(a ＋b)2－12(a ＋b)＋36.提问：(1)中有公因式吗？如果把(2)中(a ＋b)看作一个整体怎样因式分解？练习：把下列各式因式分解：(1)－x 2＋2xy －y 2; (2)－4－9a 2＋12a ；(3)－a 2－4ab －4b 2; (4)－25x 2－30xy －9y 2.四、课堂小结(1)分解因式前注意式子是否符合公式的形式和特点；(2)平方项前面是负数时，先把负号提到括号外面．五、布置作业教材第119页习题14.3第3题．。
人教版数学八年级上册《14.3.2公式法》教案
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《公式法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解面积或体积的情况？”比如，计算一个正方形的面积。这个问题与我们将要学习的完全平方公式密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索公式法的奥秘。
1.加强对公式应用的教学，通过更多实际例题和练习，帮助学生熟练掌握完全平方公式。
2.在小组讨论环节，鼓励学生更主动地参与，培养他们的团队合作精神和口头表达能力。
3.设计更多实践活动，让学生在动手操作中加深对公式的理解和记忆。
4.注重培养学生的逻辑思维能力，提高他们在解决问题时的分析能力。
1.培养学生的逻辑推理能力：通过完全平方公式的推导和应用，让学生理解数学公式背后的逻辑关系，提高他们的逻辑推理素养。
2.提升数学抽象能力：引导学生从具体实例中抽象出完全平方公式，培养他们在数学问题中发现规律、总结方法的能力。
3.增强数学建模和解决问题的能力：将完全平方公式应用于解决实际问题，让学生建立数学模型，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。
举例：在面对不规则图形的面积计算时，学生可能不知道如何利用完全平方公式进行求解。
（3）代数式的分解：难点在于学生在面对复杂的代数式时，不知道如何运用完全平方公式进行分解。
举例：对于代数式x² + 8x + 16，学生需要识别出其符合完全平方公式结构，进而分解为(x +4)²。
在教学过程中，教师需针对这些重点和难点进行详细的讲解和反复的练习，以确保学生能够透彻理解完全平方公式及其应用。通过具体的实例和练习，帮助学生克服难点，掌握核心知识。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了完全平方公式这一章节的内容。我发现学生们在理解公式推导和应用方面存在一些挑战。首先，公式的记忆对于他们来说并不是难事，但在如何运用公式解决问题时，部分学生显得有些吃力。这说明我们需要在应用练习上多下功夫，让学生通过实际例题来加深对公式的理解。
八年级数学上册《14.3.2(2)公式法(完全平方公式)》 精品导学案 新人教版
【学习目标】1．会用完全公式进行因式分解。
2．进一步明确因式分解对结果的要求。
3．学会逆向思维，渗透化归的思想方法。
【学习重点】运用完全平方公式分解因式。
【学习难点】对需要综合运用多种方法的多项式的因式分解。
【知识准备】1.平方差公式（用字母表示） 。
2. 2()a b += ；2()a b -= 。
3.因式分解：2(1)436b - 22(2)()()x p x q +-+【自习自疑文】一、阅读教材P117-P118内容，并思考回答下列问题。
1．辩一辩：下列各式是完全平方式？为什么？2(1)44a a -+ 22(2)44x x y ++ 221(3)424a ab b ++22(4)a ab b -+ 2(5)69x x -- 2(6)0.25a a ++2．完全平方公式（用字母表示）： 。
3．完全平方公式的特征是 。
二、预习评估 分解因式2(1)11025t t ++ 2(2)1449m m -+21(3)4y y ++2(4)21a a ++【我想问】请你将预习中遇见的问题和疑问写下来，等待课堂上与同学、老师共同探究解决。
等级 组长（或家长）签字【自主探究文】【探究一】分解因式：2(1)1236x x ++ 4224(2)816a a b b -+2(3)(1)6(1)9x x -+-+ 22(4)363ax axy ay -+-【探究二】1、代数式22169y kxy x +-，求k 的值。
2、2244y y ---分解因式：9a【探究三】2246130,y x y x y +-++=已知：x 求、的值【探究四】222b c ABC 0,ABC a b c ab bc ac ∆++---=∆已知、、是的三条边，且满足a 试判断的形状。
【自测自结文】1．填空：()()()()()()222221924162a ab b ++=++=()()()()()()2222249141=2m m -+-+=()()()22349x ++= ()()()2444ay ++=2．下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．2242b ab a +- B ．4142+-m m C ．269y y +- D ．222y xy x --3．把下列各式分解因式22(1)2510a ab b ++ 3322(2)2ax y axy ax y +-【自我小结】通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑呢？教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
人教版八年级数学上册《14-3-2 第2课时 运用完全平方公式因式分解》导学案设计优秀公开课
第十四章整式的乘法与因式分解教学备注学生在课前完成自主学习部分14.3 因式分解14.3.2 公式法第 2 课时运用完全平方公式因式分解学习目标：1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．重点：掌握用完全平方公式分解因式.难点：灵活应用各种方法分解因式.一、知识链接1.前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？2．(1) 填一填：在括号内填上适当的式子，使等式成立：①(a＋b)2＝；②(a－b)2＝.③a2＋＋1＝(a＋1)2；④a2－＋1＝(a－1)2.（2）想一想：①你解答上述问题时的根据是什么？②第(1)①②两式从左到右是什么变形？第(1)③④两式从左到右是什么变形？二、新知预习1.观察完全平方公式：＝(a＋b)2；＝(a－b)2完全平方公式的特点：左边：①项数必须是；②其中有两项是；③另一项是．右边：.自主学习典例精析要点归纳：把 a²+ +b²和 a²- +b²这样的式子叫作完全平方式.2. 乘法公式完全平方公式与因式分解完全平方公式的联系是． 把乘法公式逆向变形为：a 2＋2ab ＋b 2＝ ； a 2－2ab ＋b 2＝ . 要点归纳：用完全平方公式因式分解，即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.三、自学自测1．下列式子为完全平方式的是()A ．a 2＋ab ＋b 2B ．a 2＋2a ＋2C ．a 2－2b ＋b 2D ．a 2＋2a ＋12．若 x 2＋6x ＋k 是完全平方式，则 k ＝．3.填空：(1)x²+4x+4= ()² +2·( )·( )+( )² =( )²(2)m² -6m+9=()² - 2· ( )·()+( )² =( )²(3)a²+4ab+4b²=( )²+2· () ·()+()²=()²4.分解因式：a 2－4a ＋4＝ ．四、我的疑惑教学备注 配套 PPT 讲授1. 复习引入（见幻灯片 3）2. 探究点 1 新知讲授（ 见 幻 灯 片4-12）3. 探究点 2 新知讲授（ 见 幻 灯 片13-21）课堂探究一、要点探究探究点 1：完全平方式例 1：如果 x 2-6x+N 是一个完全平方式,那么 N 是( )A . 11 B. 9 C. -11 D. -9变式训练如果 x 2-mx+16 是一个完全平方式,那么 m 的值为 .教学备注配套 PPT 讲授3.探究点 2 新知讲授（见幻灯片13-21）4.课堂小结方法总结:本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2 倍的符号，避免漏解．探究点2：用完全平方公式进行因式分解议一议：(1)将一个多项式因式分解的一般步骤是什么？(2)应注意的事项有哪些？(3)分解因式的方法有哪些？要点归纳：（1）利用公式把某些具有特殊形式（如，等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（2）分解因式应根据多项式的特征，有公因式的一般先提,再套用公式，没有公因式的，则直接套用公式.分解因式应注意最后的结果中，多项式的每一个因式均不能再继续分解.例2：因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.例3：简便计算.(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.方法总结：在较为复杂的有理数运算中，通常要先观察式子的特征，利用因式分解将其变形，转化为较为简单的运算.例4：已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1 的值．.典例精析方法总结：此类问题一般情况是将原式进行变形，将其转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质求出未知数的值，然后代入，即可得到所求代数式的值．例5：已知a，b，c分别是△AB C三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．针对训练1.下列式子中为完全平方式的是( )A．a2＋b2 B．a2＋2a C．a2－2ab－b2 D．a2＋4a＋42.若x2＋mx＋4 是完全平方式，则m 的值是．3.分解因式：(1)y2＋2y＋1；(2)16m2－72m＋81.4.分解因式：(1)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9；(2)4xy2－4x2y－y3.5.已知|xy-4|+（x-2y-2）2=0，求x2+4xy+4y2 的值．二、课堂小结因式分解公式法方法提公因式法平方差公式完全平方公式当堂检测公式 pa+pb+pc= a 2-b 2=a2±2ab+b2=步骤1.提：提 ;2.套：套; 3.检查：检查.易错题型 1.提公因式时易出现漏项、丢系数或符号错误；2.因式分解不彻底.1.下列四个多项式中，能因式分解的是()A ．a 2＋1B ．a 2－6a ＋9C ．x 2＋5yD ．x 2－5y2.把多项式 4x 2y －4xy 2－x 3 分解因式的结果是( )A ．4xy(x －y)－x 3B ．－x(x －2y)2C ．x(4xy －4y 2－x 2)D ．－x(－4xy ＋4y 2＋x 2)3.若 m ＝2n ＋1，则 m 2－4mn ＋4n 2 的值是．4. 若关于 x 的多项式 x 2－8x ＋m 2 是完全平方式，则 m 的值为 .5. 把下列多项式因式分解.（1）x 2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y 2+2y+1－x 2.6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+20132.1x 2 - 2x + 37.分解因式:(1)4x 2＋4x ＋1；(2) 3.小聪和小明的解答过程如下：教学备注 配套 PPT 讲授5.当堂检测 （ 见 幻 灯 片22-26）他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2 的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3 的值．。
14.3.2公式法(2)导学案
【学习目标】：1432公式法(二)导学案1、 会用完全平方公式分解因式。
2、 会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。
3、通过对完全平方公式的逆向变形及将一个整式看做“元”进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、 预见等能力，进一步体会换元思想，提高处理数学问题的技能。
学习重点：用完全平方公式因式分解。
学习难点：1、 准确判断一个多项式是否为完全平方式2、 用换元的思想来因式分解 学习过程：4 b \?*ar h 一 *a > (一)、用完全平方公式因式分解之引入篇 你能根据下列图形的面积写出一个等式吗？a2± 2ab+b2 (a 土 b)2=a2 土 2ab+b2反过来，可得 a2± 2ab+b2=(a ± b)2(a ± b)2 两数的平方和，加上(或减去)这两数的积的两倍，等于这两数和(或者差)的平方。
形如a2±2ab+b2的多项式称为完全平方式实质为：两数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的两倍.给出完全平方式的概念。
(二)、用完全平方公式因式分解之辨析篇 判别下列各式是不是完全平方式：(1)x2+y2; ⑵ a2-6a+9;⑶ △ 2-2X^x^ +□ 2; (4)m2+2 mn-n2.(三) 、用完全平方公式因式分解之归纳篇a2± 2ab+b2完全平方式的特点：1.有三项组成. 2 •其中有两项分别是某两个数(或式)的平方.3.另一项是上述两数(或式)的乘积的 2倍，符号可正可负.(四) 、用完全平方公式因式分解对照 a2± 2ab+b2=(a ± b)2，你会吗?1、 x2+4x+4= ( )2+2( )( )+( )2 =( + )22、 m2-6m+9=( )2- 2( )( )+( )2 =( - )2注意：公式中的a 、b 可以表示单项式甚至是多项式。
(五) 、用完全平方公式因式分解下列各式能因式分解吗？若能，请分解；若不能，请把某一项的系数作适当改变，使之能分解:(1) a2+4ab+4b2⑵ 4x2-8 x+1其中第（2）题为变式练习。
人教版八年级数学上册：14.3.2公式法(教案)
一、教学内容
人教版八年级数学上册：14.3.2公式法。本节课我们将学习以下内容：
1.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²。
2.平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)。
-理解公式之间的内在联系，提高数学知识体系的建构能力。
举例解释：
-完全平方公式的重点在于理解两项平方项和一项交叉乘积项的结构，如(a + b)² = a² + 2ab + b²，以及பைடு நூலகம்何将其应用于因式分解，如x² + 6x + 9 = (x + 3)²。
-平方差公式的重点在于掌握两项平方差的结构，如a² - b²，以及如何分解为两个一次因式的乘积，如x⁴ - 16 = (x² + 4)(x² - 4)。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式、平方差公式和立方和公式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解如何识别和运用这些公式。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与公式法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何使用公式法解决实际问题。
此外，我也在思考如何更好地在课堂上激发学生的思维。我认为，提出一些开放性问题，让学生不仅仅停留在公式的记忆和应用上，而是去探索公式背后的数学原理，这将有助于他们更深层次地理解数学。
最后，今天的课堂总结环节，学生们提出了很多有价值的问题，这让我感到他们对这一章节的学习非常投入。我意识到，作为教师，我需要不断地反思和调整教学方法，以满足学生的学习需求。
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SX-13-11-041
《14.3.2 公式法（2）》导学案
编写人：王朝龙编写时间： 2014.10.18
班级：组名：姓名：等级：
【学习目标】:
1、会用完全平方公式分解因式。
2、会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。
3、通过对完全平方公式的逆向变形及将一个整式看做“元”进行分解，发展观察、类比、归纳、预见等能力，体会换元思想，提高处理数学问题的技能。
【学习重点】：用完全平方公式因式分解。
【学习难点】：1、准确判断一个多项式是否为完全平方式2、用换元的思想来因式分解
【知识链接】：1、分解因式学了哪些方法？
2、分解因式：①ax4-ax2②x4-16
3、除了平方差公式外你还学过什么公式？
【学习过程】：
探究一、
1、完全平方式指的是
2、整式乘法的完全平方公式是
分解因式的完全平方公式是
3、填空
（1）a2+ +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ =(a-b) 2 （3）m2+2m+ =( ) 2 （4）n2-2n+ =( ) 2（5）x2-x+0.25=( ) 2（6）4x2+4xy+( ) 2=( ) 2
4、分解因式
①16x2＋24x＋9 ②-x2＋4xy -4y2③25x2＋10x＋1
④ 9a2-6ab+b2⑤49a2+b2+14ab ⑥y2+y+
4
1
⑦ 3ax2＋6axy＋3ay2⑧
探究二、分解因式
①-a3b3+2a2b3-ab3② 9 - 12(a-b) + 4 (a-b )2③16a4+24a2b2+9b4探究三、1. 已知22是一个完全平方式，求的值
2、已知x2+4x+y2-2y+5=0, 求x-y的值
【课堂小结】:本节课你有什么收获？
【当堂检测】：
1、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）
A X2-6X-9
B a2-16a+32
C x2-2xy+4y2
D 4a2-4a+1
2、若9x2－12x+k是一个完全平方式，则K的值是
若9x2－12x+k2是一个完全平方式，则K的值是
若m2－km+
4
1
是一个完全平方式，则m的值是
3、分解因式
①–x2-8x-16 ②2x4+4x3+2x3③ ma2-4ma+4m
④ a4-8a2b2+16b4⑤9(a-b)2-6(a-b)+1 ⑥–x4+x2y2
⑦-2xy-x2-y2⑧x2+3x+
4
9
⑨（x+2）(x+3)-x2-
2
7 4、已知x2-4x+y2-10y+29=0，求x2y2+2x3y2+x4y2的值。
36
)
(
12
)
(2+
+
-
+b
a
b
a。