专题45 以矩形为基础的图形的旋转变换问题(原卷版)
专题9填空题压轴题之图形变换问题(平移翻折旋转)(原卷版)
专题9 填空题压轴题之图形变换问题（平移翻折旋转）（原卷版）模块一2022中考真题集训类型一图形的折叠1．（2022•徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝．2．（2022•镇江）如图，有一张平行四边形纸片ABCD，AB＝5，AD＝7，将这张纸片折叠，使得点B落在边AD上，点B的对应点为点B′，折痕为EF，若点E在边AB上，则DB′长的最小值等于．3．（2022•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B′恰好落在AB上，连接CB'，若CB'＝BB'，则AD的长为．4．（2022•兰州）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若CE＝3cm，AF＝2EF，则AB＝cm．5．（2022•大连）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接MF，若MF⊥BM，AB ＝6cm，则AD的长是cm．6．（2022•盘锦）如图，四边形ABCD为矩形，AB=√2，AD=3，点E为边BC上一点，将△DCE沿DE 翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的平行线交AD于点G，交直线BC于点H．若点G是边AD 的三等分点，则FG的长是．7．（2022•潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为．8．（2022•青岛）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE ＝4．将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：．（填写序号）①BD＝8 ②点E到AC的距离为3 ③EM=103④EM∥AC9．（2022•铜仁市）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为．10．（2022•辽宁）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是．11．（2022•沈阳）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H．EN＝2，AB＝4，当点H为GN的三等分点时，MD的长为．12．（2022•扬州）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC＝12，则MP+MN＝．13．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为．̂上，将CD̂沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于14．（2022•嘉兴）如图，在扇形AOB中，点C，D在AB̂的度数为，折痕CD的长为．点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF类型二图形的平移15．（2022•淄博）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是．16．（2022•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是．17．（2022•辽宁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A（3，2），B（5，2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是（﹣1，2），则点B的对应点D的坐标是．18．（2022•临沂）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为（﹣1，0），则点B的对应点B'的坐标是．19．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为．20．（2022•台州）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为cm2．类型三图形的旋转21．（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝，FB+FD的最小值为．22．（2022•宁夏）如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1＝°．23．（2022•西宁）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E＝．24．（2022•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B 落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为．25．（2022•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B'坐标是．26．（2022•广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为．27．（2022•盘锦）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点D为BC的中点，将△ABC绕点D逆时针旋转得到△A'B'C'，当点A的对应点A'落在边AB上时，点C'在BA的延长线上，连接BB'，若AA'＝1，则△BB'D的面积是．28．（2022•潍坊）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为．29．（2022•无锡）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE 交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是．30．（2022•丽水）一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC＝12cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是cm．31．（2023•封开县一模）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE翻折，点B 落在点F处，延长EF交CD于点P，若AB＝6，则DP的长为．32．（2023•历下区一模）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝5．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则tan∠DAE＝．33．（2022•市中区二模）如图，矩形纸片ABCD，AD＝12，AB＝4，点E在线段BC上，将△ECD沿DE 向上翻折，点C的对应点C'落在线段AD上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形ABNM 沿MN向上翻折，点B恰好落在线段DE的中点B'处．则线段MN的长．34．（2022•包头模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积．35．（2022•郧西县模拟）如图，已知，正△ABC中，AB＝12，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，连接BD，交AC于O点，E点在OD上，且DE＝2OE，F是BC的中点，P是AC上的一个动点，则PF﹣PE的最大值为．36．（2022•皇姑区校级模拟）如图，点E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，点F 是AB 上的一点，点G 是BC 上的一点，先以CE 为对称轴将△CDE 折叠，使点D 落在CF 上的点D 处，再以EF 为对称轴折叠△AEF ，使得点A 的对应点A '与点D '重合，以FG 为对称轴折叠△BFG ，使得点B 的对应点B 落在CF 上．若∠A ＝60°，AB ＝2，则FG CE 的值为 ．37．（2022•亭湖区校级二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，点E 是AB 边上一动点，过点E 作DE ⊥AB 交AC 边于点D ，将∠A 沿直线DE 翻折，点A 落在线段AB 上的F 处，连接FC ，当△BCF 为等腰三角形时，AE 的长为 ．38．（2022•东方校级模拟）如图，矩形纸片ABCD ，AD =√2AB ，点E 、F 分别在AD 、BC 上，把纸片如图沿EF 折叠，点A 、B 的对应点分别为A ′、B ′，连接AA ′并延长交线段CD 于点G ，则EF AG 的值为 ．39．（2022•阜新二模）如图，将三角形ABC 沿直线CB 向右平移6cm 得到三角形DEF ，DF 交AB 于点G ，在三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，S △ADG =22cm 2，则四边形DGBE 的面积为 cm 2．40．（2022•宽城区校级二模）如图，已知矩形ABCD，AB＝18cm，AD＝10cm，在其矩形内部有三个小矩形，则这三个小矩形的周长之和为cm．41．（2022•思明区二模）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣2），将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到线段DC，点A与点D为对应点．点P为y轴上一点，且S△ACP=14S四边形ABCD，则满足要求点P的坐标为．42．（2022•利州区校级模拟）如图，直角三角形AOB的周长为98，在其内部有n个小直角三角形，则这n 个小直角三角形的周长之和为．43．（2022•长春模拟）如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为（0，2√2），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2√2，2√2），则线段OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为．44．（2023•沁阳市模拟）如图，在等边三角形ABC中，AB=2√3，点D为AC的中点，点P在AB上，且BP＝1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为．45．（2023•立山区一模）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为．46．（2023•红花岗区校级一模）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a（0°＜a＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD 上一点，且DF＝2CF，则∠AEC＝°，连接AF，则BF的最小值为．47．（2023•仙桃校级一模）如图，正方形ABCD的边长是5，E是边BC上一点且BE＝2，F为边AB上的一个动点，连接EF，以EF为边向右作等边三角形EFG，连接CG，则CG长的最小值为．48．（2022•东胜区一模）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AE=13AC，BF=13BC，将△ECF绕点C逆时针旋转α角得到△MCN，连接AM、BN．当MA∥CN时，cosα＝．49．（2022•香洲区校级三模）如图正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点且CE＝1，F是线段DE上的动点．连接CF，将线段CF绕点C逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是．50．（2022•韶关模拟）如图，已知正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90得到EF，连接CF，连接AF与CD相交于点G，连接DF，当DF 最小时，四边形CEGF的面积是．51．（2022•皇姑区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=√2，BC＝2√2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△DEC，连接AD，BE，直线AD，BE相交于点F，连接CF，在旋转过程中，线段CF长度的范围为．52．（2022•江都区校级二模）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，E在AC上且AE=23AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是．53．（2022•薛城区校级模拟）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB 与CD1交于点O，则线段AD1的长度为．54．（2022•路北区校级一模）如图，长度为3的线段AB固定不动，长度为6的线段AC绕A旋转，连接BC．在旋转过程中，线段BC的长度的最大值为；若以线段AC为直角边，以点A为直角顶点构造等腰直角△ACD，则在旋转过程中，点B到CD边的距离的最大值为．55．（2022•珠海校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是线段BC上一动点，将线段P A 绕点P顺时针转90°得到线段P A'，连接DA'，则DA'的最小值为．。
图形旋转练习题
图形旋转练习题图形旋转是几何学中的重要概念之一，它可以帮助我们理解和研究物体在平面上的变换和空间中的旋转运动。
通过练习图形旋转题，我们可以提高我们的空间想象力和几何运算能力。
本文将通过多个练习题来帮助读者加深对图形旋转的理解。
练习题1：已知平面上有一个矩形ABCD，其中AB = 8cm，BC = 6cm。
现在我们对该矩形进行如下旋转操作：以顺时针方向旋转90度，并围绕点A旋转，请问旋转后矩形的边长分别是多少？解答：首先，我们需要找到旋转后矩形的顶点。
根据顺时针旋转90度的性质，点A会到达矩形的右上角。
假设旋转后矩形的右上角顶点为A'，那么我们可以根据三角关系得出AA'的长度等于矩形的宽度BC，因为旋转后矩形的边是垂直于原矩形的边的。
所以，AA' = BC = 6cm。
接下来，我们可以通过计算矩形的对角线长度来确定旋转后矩形的边长。
根据勾股定理，矩形的对角线长度等于边长的平方和的平方根。
原矩形的对角线长度为AC = √(AB^2 + BC^2) = √(8^2 + 6^2) = 10cm。
同样，旋转后矩形的对角线长度等于A'C，因为矩形旋转后两个对角线的长度是不变的。
所以，A'C = AC = 10cm。
现在，我们可以利用A'C的长度和AA'的长度来计算旋转后矩形的边长。
根据勾股定理，边长等于对角线长度的一半。
所以旋转后矩形的边长为A'C/2 = 10cm/2 = 5cm。
由于旋转后矩形的边长相等，所以旋转后矩形的边长为5cm。
练习题2：已知平面上有一个三角形ABC，其中∠BAC = 60°，AB = 5cm。
现在我们对该三角形进行如下旋转操作：以逆时针方向旋转120度，并围绕点A旋转，请问旋转后三角形的周长和面积分别是多少？解答：首先，我们需要找到旋转后三角形的顶点。
根据逆时针旋转120度的性质，点B会到达三角形的右下角，点C会到达三角形的左下角。
几何形的旋转方法与例题
几何形的旋转方法与例题几何形的旋转是数学中常见的操作方法，通过围绕旋转中心点旋转图形，可以产生一系列有趣的变化和性质。
本文将介绍几何形的旋转方法，并结合例题进行详细论述。
一、平面上的旋转方法在平面几何中，常见的旋转方法有以下两种：1. 以原点为旋转中心点的旋转：对于平面上的点A(x, y)，经过以原点O(0, 0)为中心点的逆时针旋转θ度后，新的坐标为A'(x', y')。
根据旋转矩阵的定义，可以得到旋转后的坐标计算公式：```x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ```这种方法适用于旋转点或图形关于原点对称的情况。
2. 以任意点为旋转中心点的旋转：对于平面上的点A(x, y)，经过以点P(a, b)为中心点的逆时针旋转θ度后，新的坐标为A'(x', y')。
根据旋转矩阵的定义，可以得到旋转后的坐标计算公式：```x' = (x-a)*cosθ - (y-b)*sinθ + ay' = (x-a)*sinθ + (y-b)*cosθ + b```这种方法适用于旋转点或图形关于任意点对称的情况。
二、几何形的旋转例题1. 旋转矩形：设矩形ABCD的长为a，宽为b，以点O为中心逆时针旋转α度，求旋转后矩形的长和宽。
解析：以O为中心点旋转，将矩形四个顶点A、B、C、D依次进行旋转，记为A'、B'、C'、D'。
由于矩形维持原始形状，我们只需计算A'、B'的横坐标之差即可求出旋转后的长和宽。
假设A点坐标为(x, y)，经过逆时针旋转α度后的坐标为(x', y')。
则根据旋转公式可得：```x' = x*cosα - y*sinαy' = x*sinα + y*cosα```对于A点有：x' - x = a代入上述公式可得：a*co sα - b*sinα - a = 0解上述方程可以求得旋转后矩形的长。
备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_平移、旋转变换_旋转的性质-综合题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_平移、旋转变换_旋转的性质-综合题专训及答案旋转的性质综合题专训1、(2018无锡.中考真卷) 如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若= ﹣1，求的值．2、(2017房山.中考模拟) 在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：①依题意补全图1；②求证：∠BAD=∠EDC；③通过观察、实验，小明得出结论：在点D运动的过程中，总有∠DCE=135°，．小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：想法一：在AB上取一点F，使得BF=BD，要证∠DCE=135°，只需证△ADF≌△DEC．想法二：以点D为圆心，DC为半径画弧交AC于点F，要证∠DCE=135°，只需证△AFD≌△DCE．想法三：过点E作BC所在直线的垂直线段EF，要证∠DCE=135°，只需证EF=CF．…请你参考上面的想法，证明∠DCE=135°（2）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图2画图分析，∠DCE的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出∠DCE的度数；如果不是，说明理由．3、(2017天津.中考模拟) 如图①，在矩形纸片ABCD中，AB= +1，AD= ．（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为．（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为．（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）4、(2017石家庄.中考模拟) 如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．（1）求证：BP=DP；（2）如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．5、(2016邢台.中考模拟) 如图1：已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在∠BAC内部作∠MAN=45°．AM、AN分别交BC于点M，N．（1）将△ABM绕点A逆时针旋转90°，使AB边与AC边重合，把旋转后点M的对应点记作点Q，得到ACQ，请在图1中画出△ACQ；（不写出画法）（2）在（1）中作图的基础上，连接NQ，①求证“MN=NQ”；②写出线段BM，MN和NC之间满足的数量关系，并简要说明理由．（3）线段GS，ST和TH之间满足的数量关系是（4）设DK=a，DE=b，求DP的值．（用a，b表示）6、(2017长春.中考模拟) 在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD．（1）如图1，请连接AC，BD，求证：AC垂直平分BD；（2）如图2，若∠BCD=60°，∠ABC=90°，E，F分别为边BC，CD上的动点，且∠EAF=60°，AE，AF分别与BD交于G，H，求证：△AGH∽△AFE；（3）如图3，在（2）的条件下，若EF⊥CD，直接写出的值．7、(2018吴中.中考模拟) 如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．8、(2017扬州.中考模拟) 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B 顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．9、(2019绍兴.中考模拟) 在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1交y轴于点B，交x轴于点A，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B，与直线y=﹣+1交于点C（4，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长．（3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A1O1B1，点A，O，B的对应点分别是点A1，O1，B1，若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．10、(2019金华.中考真卷) 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=14 。
初中旋转试题及答案
初中旋转试题及答案在初中数学的学习中，旋转是一个重要的几何概念。
它涉及到图形的平移、旋转和缩放等变换。
以下是一份初中旋转试题及答案，旨在帮助学生掌握旋转的基本概念和计算方法。
试题一：一个点A(3,4)绕原点O(0,0)顺时针旋转90度后，点A的新坐标是什么？答案：当一个点绕原点顺时针旋转90度时，它的坐标会互换并改变符号。
因此，点A(3,4)旋转后的新坐标为(4,-3)。
试题二：一个矩形ABCD，其中A(1,2)，B(5,2)，C(5,6)，D(1,6)，绕点A顺时针旋转90度后，矩形的新位置是什么？答案：矩形ABCD绕点A顺时针旋转90度后，点B(5,2)变为(2,5)，点C(5,6)变为(6,5)，点D(1,6)变为(6,1)。
因此，旋转后的矩形顶点坐标为A(1,2)，B(2,5)，C(6,5)，D(6,1)。
试题三：一个等边三角形，顶点分别为E(0,0)，F(3,0)，G(1.5,3)，绕点E逆时针旋转120度后，三角形的新位置是什么？答案：等边三角形EFG绕点E逆时针旋转120度后，点F(3,0)变为(0,3)，点G(1.5,3)变为(-1.5,1.5)。
因此，旋转后的等边三角形顶点坐标为E(0,0)，F(0,3)，G(-1.5,1.5)。
试题四：一个圆心在H(4,4)的圆，半径为5，绕点H逆时针旋转45度后，圆的位置会如何变化？答案：圆心H(4,4)的圆绕圆心逆时针旋转45度后，圆的位置不会改变，因为旋转是围绕圆心进行的。
圆心坐标仍然是H(4,4)，半径仍然是5。
试题五：一个正方形IJKL，其中I(2,1)，J(3,1)，K(3,2)，L(2,2)，绕点I逆时针旋转45度后，正方形的新位置是什么？答案：正方形IJKL绕点I逆时针旋转45度后，点J(3,1)变为(2.707,0.707)，点K(3,2)变为(2,2.414)，点L(2,2)变为(1.293,1.707)。
因此，旋转后的正方形顶点坐标为I(2,1)，J(2.707,0.707)，K(2,2.414)，L(1.293,1.707)。
专题45 以矩形为基础的图形的旋转变换问题(原卷版)
专题45 以矩形为基础的图形的旋转变换问题【例题精讲】两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）．（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．【针对训练】1、如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F．（1）求的值；（2）四边形EFDB′的面积为；（3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离．2、已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：（1）如图2，在正方形ABCD中，点为线段BC关于点B的逆转点；（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F 是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．①补全图；②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝AD．（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．4、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，DG交EC于O点（1）求证：DO＝OG；（2）若∠ABC＝135°，AC＝2，求DG的长；（3）若∠ABC＝90°，BC＞AB，且＝时，直接写出的值．5、如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个．（回答直接写序号）①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：①当∠CAE＝90°时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．6、如图1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2．（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；（2）请你在图3中，画出当α＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；（3）若AD＝1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是．7、综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．解决问题（1）如图①，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接AE、AD、BD，当△DEC绕点C继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；探索发现（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转△DEC，当B、A、E三点共线时，求BD的长；（4）在图①的基础上，写出一个边长比为1：：2的三角形（可添加字母）8、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．9、如图，已知点A（0，8），B（16，0），点P是x轴上的一个动点（不与原点O重合），连结AP，把△OAP沿着AP折叠后，点O落在点C处，连结PC，BC，设P（t，0）．（1）如图1，当AP∥BC时，试判断△BCP的形状，并说明理由．（2）在点P的运动过程中，当∠PCB＝90°时，求t的值．（3）如图2，过点B作BH⊥直线CP，垂足为点H，连结AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．10、问题情境：数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．解决问题：（1）如图1，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，当△DEC绕点C继续旋转到如图2所示的位置时，连接AE、AD、BD，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由．11、如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB交于点F，连接BE．（1）求BC的长；（2）求证∠ABE＝∠ABC；（3）当FB＝FE时，求CD的长．12、（1）如图1，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．填空：①旋转角为°；②线段OD的长是；③∠BDC＝°；（2）如图2，O是△ABC内一点，且∠ABC＝90°，BA＝BC．连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA，OB，OC满足什么条件时，∠BDC＝135°？请说明理由．13、在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．（1）问题发现：如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝度．（2）拓展探究：如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明．（3）解决问题如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE的长．13、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．14、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝4，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至DE∥AC时，请直接写出BD的长．15、（1）问题发现如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，∠BCD的度数是；线段BD，AC之间的数量关系是．（2）类比探究在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，请问（1）中的结论还成立吗？（3）拓展延伸如图3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝90°，若点P满足PB＝PC，∠BPC＝90°，请直接写出线段AP的长度．16、综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，△ACD和△BCE是两个等边三角形纸片，其中，AC＝5cm，BC＝2cm．解决问题（1）勤奋小组将△ACD和△BCE按图1所示的方式摆放（点A，C，B在同一条直线上），连接AE，BD．发现AE＝DB，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将△BCE绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求△ABC的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将△BCE沿CD方向平移acm，得到B'C'E'，连接AB'，B'C，当△AB'C恰好是以AB'为斜边的直角三角形时，求a的值．请你直接写出a的值．17、如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F．（1）求的值；（2）四边形EFDB′的面积为；（3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离．。
旋转变换问题4
旋转变换问题41.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（Ⅰ）若△PCD 是等腰三角形时，求AP的长；（Ⅱ）若AP=，求CF的长2.在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在AB上，且BE=2，P是BC上的动点（BP＞2），连接EP，将线段EP绕点E逆时针旋转一定角度后，点P落在AD上的点F处，以EP，EF为邻边作平行四边形EPGF．（1）如图1，当BP=4时，求证：四边形EPGF是正方形；（2）如图2，当BP=6时，过点G作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，连接DG，FP．①求四边形EPGF的周长；②请直接写出∠EFP，∠BPF，∠HFG之间的数量关系；③求△DFG的面积3.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，P是对角线AC上一动点，连接PD，过点P作PE⊥PD交线段BC于E，设AP=x．（1）求PD：PE的值；（2）设DE2=y，试求出y与x的函数关系式，并求x取何值时，y有最小值；（3）当△PCD为等腰三角形时，求AP的长4.如图，矩形ABCD中，P为AD上一点．将△ABP沿BP翻折至△EBP，点A与点E重合：（1）如图1，AB=10，BC=6，点E落在CD边上，求AP的长；（2）如图2，若AB=8，BC=6，PE与CD相交于点O，且OE=OD，求AP的长；（3）如图3，若AB=4．BC=6，点P是AD的中点，求DE的长5.已知⊙O的半径为5,EF是长为8的弦，OG⊥EF于点G，点A在GO的延长线上，且AO＝13.弦EF从图1位置开始绕点O逆时针旋转，在旋转过程中始终保持OG⊥EF，如图2.发现：在旋转过程中．(1)AG的最小值是_____，AG的最大值是_____；(2)当EF∥AO时，旋转角α＝______；探究：若EF绕点O逆时针旋转1200，如图3.(1)求AG的长；(2)求线段EG扫过图形的面积；拓展：如图4，当AE切⊙O于点E，AG交EO于点C，求EC的长．6.如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=4／5，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G.（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）如图2，连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）如图3，当BC=BG时，求圆C的半径长7.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）求证：EG2=AF•GF；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长8.如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．（1）求证：AM=BN；（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值旋转变换问题4答案1.分析:（Ⅰ）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；（Ⅱ）方法1、先判断出OC=0.5ED，OC=0.5PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．方法2、先判断出∠CEF=∠FDC，得出点E，C，F，D四点共圆，再判断出点P也在此圆上，即可得出∠DAP=∠DCF，此后同方法1即可得出结论．方法3、先判断出△PME∽△DNP即可得出DP:PE=4:3，进而用两边对应成比例夹角相等判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，∴AC==10，要使△PCD是等腰三角形，①当CP=CD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4，②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP=AC=5，③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，∵S△ADC=AD•DC=AC•DQ，∴DQ==，∴CQ==，∴PC=2CQ=，∴AP=AC﹣PC=10﹣=；所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或；（Ⅱ）方法1、如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，∵四边形ABCD和PEFD是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CDF，∵∠BCD=90°，OE=OD，∴OC=ED，在矩形PEFD中，PF=DE，∴OC=PF，∵OP=OF=PF，∴OC=OP=OF，∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，∴2∠OCP+2∠OCF=180°，∴∠PCF=90°，∴∠PCD+∠FCD=90°，在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD，∴△ADP∽△CDF，∴，∵AP=，∴CF=．方法2、如图，∵四边形ABCD和DPEF是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，∴∠ADP=∠CDF，∵∠DGF+∠CDF=90°，∴∠EGC+∠CDF=90°，∵∠CEF+∠CGE=90°，∴∠CDF=∠FEC，∴点E，C，F，D四点共圆，∵四边形DPEF是矩形，∴点P也在此圆上，∵PE=DF，∴，∴∠ACB=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAP，∴∠DAP=∠DCF，∵∠ADP=∠CDF，∴△ADP∽△CDF，∴，∵AP=，∴CF=．方法3、如图3，过点P作PM⊥BC于M交AD于N，∴∠PND=90°，∵PN∥CD，∴，∴，∴AN=，∴ND=8﹣=（10﹣）同理：PM=（10﹣）∵∠PND=90°，∴∠DPN+∠PDN=90°，∵四边形PEFD是矩形，∴∠DPE=90°，∴∠DPN+∠EPM=90°，∴∠PDN=∠EPM，∵∠PND=∠EMP=90°，∴△PND∽△EMP，∴=，∵PD=EF，DF=PE．∴，∵，∴，∵∠ADP=∠CDF，∴△ADP∽△CDF，∴=，∵AP=，∴CF=．2.分析:（1）先证明四边形EFGP是菱形，再证明∠FEP=90°即可．（2）①在Rt△PBE中，求出PE即可解决问题．②结论：∠EFP=∠BPF﹣∠HFG．利用平行线的性质以及菱形的性质即可证明．③求出DF、GH，根据S △DFG=•FD•GH计算即可．解（1）证明：如图1中，∵四边形EPGF是平行四边形，又∵EF=EP，∴EPGF是菱形，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∵AB=6，EB=2，∴AE=PB=4，在Rt△AEF和Rt△BPE中，∴Rt△AEF≌Rt△BPE,∠AEF=∠BPE，∵∠BPE+∠BEP=90，∴∠AEF+∠BEP=90，∴∠FEP=90，∴EPGF是正方形．（2）如图2中，①解：在Rt△PBE中，∵BE=2 BP=6，∴EP==2，∵EPGF是菱形，∴四边形EPGF的周长为8；②结论：∠EFP=∠BPF﹣∠HFG．理由：∵AD∥BC，∴∠HFP=∠BPF，∵四边形EFGP是菱形，∴∠EFP=∠GFP=∠FPE=∠FPG，∴∠BPE=∠HFG，∴∠BPF﹣∠BPE=∠EPF，∴∠BPF﹣∠HFG=∠EFP．③解：在△HFG和△PBE中，∴△HFG≌△BPE，∴HG=BE=2，∵EF=EP=2，AE=4，∴AF==2，∴FD=8﹣2，∴S △DFG=•FD•GH=×（8﹣2）×2=8﹣2．3.分析:（1）此题要通过构建相似三角形求解，过P作MN⊥BC于N，交AD于M，若AP=x，通过△APM∽△ACD 即可得到PM、DM的表达式，同理可求得PN、CN表达式，由于PD⊥PE，可证得△PDM∽△EPN，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得到PD：PE的值．（2）由于△DPE是直角三角形，即可由勾股定理求得DE2的表达式，也就得到了关于y、x的函数关系式，根据函数的性质即可求出y的最小值及对应的x的值．（3）在上面两个题中，已经求得了PD、PC的表达式，可根据：①PD=PC，②PD=DC，③PC=CD，三个不同的等量关系，列方程求出对应的x的值，即AP的长．解：（1）过P作MN⊥BC交BC、AD于N、M，则MN∥CD．∴，∴，，∴，．∵∠MPD+∠MDP=∠MPD+∠NPE=90°，∴∠MDP=∠NPE．又∵∠DMP=∠PNE=90°，∴△DMP∽△PNE．∴，∴PD：PE=2：1；（2）∵PM=x，∴．∵CN=，，∴．∵DE2=CD2+CE2，∴．当DP⊥AC时y有最小值，可求AP=，即当x=时，y有最小值.（3）当PD=PC时，则AP=；当CP=CD时，则AP=；当DP=DC时，则AP=．4.分析:（1）设AP=EP=x，则PD=6﹣x，在Rt△DEP中，根据DE2+DP2=PE2，得到方程22+（6﹣x）2=x2，求得x的值即可；（2）由折叠得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程62+（8﹣x）2=（x+2）2，解方程即可；（3）方法①，取DE的中点F，连接PF，依据△PEF∽△BPE，即可得到PF=EF，再根据勾股定理可得EF2+PF2=PE2，EF2+（EF）2=32，进而得到EF和DE的长；方法②，过E作GF∥AB，交AD于G，交BC于F，则∠PGE=∠EFB=90°，GF=AB=4，设GE=x，则EF=4﹣x，由折叠可得，∠BEP=∠A=90°，AB=BE=4，PE=AP=AD=3，根据△PEG∽△EBF，得出PG=（4﹣x），在Rt△EGP中，根据GE2+PG2=PE2，得出方程x2+[（4﹣x）]2=32，求得GE=，GD=DP﹣PG=，最后在Rt△DEG中，根据DE=进行计算即可．解：（1）如图1，由折叠可得，AP=EP，AB=EB=10，Rt△BCE中，由勾股定理可得，CE=8，∴DE=CD﹣CE=2，设AP=EP=x，则PD=6﹣x，∵Rt△DEP中，DE2+DP2=PE2，∴22+（6﹣x）2=x2，解得x=，∴AP 的长为；（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG 中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，∴CG=8﹣x，BG=8﹣（6﹣x）=2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即62+（8﹣x）2=（x+2）2，解得x=4.8，∴AP=4.8；（3）解法一：如图3，取DE的中点F，连接PF，则当点P 是AD的中点时，DP=AP=EP=3，∴PF⊥DE，∴∠PFE=∠BEP=90°，由折叠可得，∠BPE=∠APE=∠PEF，BE=AB=4，∴△PEF∽△BPE，∴，即，∴PF=EF，又∵EF2+PF2=PE2，∴EF2+（EF）2=32，解得EF=，∴DE=；解法二：如图3，过E作GF∥AB，交AD于G，交BC于F，则∠PGE=∠EFB=90°，GF=AB=4，设GE=x，则EF=4﹣x，由折叠可得，∠BEP=∠A=90°，AB=BE=4，PE=AP=AD=3，∴∠PEG=∠EBF，∴△PEG∽△EBF，∴=，即=，∴PG=（4﹣x），∵Rt△EGP中，GE2+PG2=PE2，∴x2+[（4﹣x）]2=32，解得x1=0（舍去），x2=，∴GE=，GD=DP﹣PG=3﹣（4﹣）=，∴Rt△DEG中，DE===，∴DE 的长为．5.解：发现：(1)10，16.(2)90°或270°；探究：(1)如图1，连接OE，过点G作GH⊥OA于点H，∵∠GOH＝60°，OG＝3，∴GH＝332，OH＝32，∴AH＝AO－OH＝232，∴AG＝GH2＋AH2＝139. (2)线段EG扫过部分的面积，如图2中的阴影部分，可以看作以O为圆心，圆心角为120°，半径分别为5和3的两个扇形的面积差，即线段EG扫过的面积＝120360×π(52－32)＝163π. 拓展：∵AE切⊙O于点E，∴∠AEO＝90°，∵OE＝5，OA＝13，∴AE＝12，如图，过点G作GD⊥AE于点D，∴∠EDG＝∠OGE＝90°，∵∠OEG＋∠GED ＝90°，∠OEG ＋∠EOG ＝90°，∴∠GED ＝∠EOG，∴△EDG∽△OGE ，∴EGDG＝OEEG，∴DG＝165，∴ED＝EG2－DG2＝125，又∵∠A EO＝∠EDG ＝90°，∴OE∥DG，∴△AEC∽△ADG，∴AEEC＝ADDG，即12EC＝12＋125165，∴EC＝83.6.分析：（1）在Rt△ABH中，根据BH=AB•cosB，求出BH，AH，CH，再根据勾股定理即可求出AC．（2）如图2中，若AP∥CE，APCE为平行四边形，首先证明四边形APCE是菱形，根据CP=CE=，求出CE，再根据勾股定理求出EF即可．（3）如图3中，过点C作CN⊥AD于点N，设AQ⊥BC，在Rt△ECN中，求出EN即可解决问题．解：（1）如图1中，设⊙O的半径为r，当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，∴BH=AB•cosB=4，∴AH=3，CH=4，∴AC===5∴此时CP=r=5；（2）如图2中，若AP∥CE，APCE为平行四边形，∵CE=CP，∴四边形APCE是菱形，连接AC、EP，则AC⊥EP，∴AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，∴CP=CE==，∴EF=2=；（3）如图3中，过点C作CN⊥AD于点N，设AQ⊥BC，∵=cosB，AB=5，∴BQ=4，AN=QC=BC﹣BQ=4．∵∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，∴AE：CB=AG：BG，即AE：8=AE：（AE+5），解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，∴CE===，∴⊙C的半径为．7.分析：（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．解（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴=，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2 ，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG ﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2 ，AF=10，∴AD==4 ．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴=，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4 ﹣=8.分析:（1）由CA=CB，E，F分别是CA，CB边的三等分点，得CE=CF，根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，证明△AMC≌△BNC即可；（2）当MA∥CN时，∠ACN=∠CAM，由∠ACN+∠ACM=90°，得到∠CAM+∠ACM=90°，所以cosα=CM／AC=1／3．解：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，∴CE=CF，根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，在△AMC和△BNC中，AC=CB,∠ACM=∠BCN,CM=CN，∴△AMC≌△BNC，∴AM=BN；（2）∵MA∥CN，∴∠ACN=∠CAM，∵∠ACN+∠ACM=90°，∴∠CAM+∠ACM=90°，∴∠AMC=90°，∴cosα===。
旋转专项练习题
旋转专项练习题在几何学中，旋转是一种常见的变换操作，它可以将一个图形沿着中心点或轴线旋转一定角度。
通过多次练习旋转操作，不仅可以锻炼我们的思维能力，还能够提高我们的几何学知识。
本文将为您提供一些旋转专项练习题，帮助您巩固和拓展相关知识。
题目一：旋转矩形对于给定的矩形ABCD，中心点为O，若将该矩形按顺时针方向绕O点旋转90度，求旋转后各点的坐标。
解析：根据旋转规则，顺时针旋转90度可以理解为每个点的坐标绕O点逆时针旋转90度。
已知矩形ABCD的坐标如下：A(0, 0) B(4, 0) C(4, 2) D(0, 2)根据旋转规则，逆时针旋转90度后的坐标为：A'(-0, 0) B'(0, -4) C'(-2, -4) D'(-2, 0)题目二：旋转三角形对于给定的三角形ABC，中心点为O，若将该三角形按逆时针方向绕O点旋转180度，求旋转后各点的坐标。
解析：根据旋转规则，逆时针旋转180度可以理解为每个点的坐标绕O点旋转180度。
已知三角形ABC的坐标如下：A(0, 0) B(4, 0) C(2, 3)根据旋转规则，旋转180度后的坐标为：A'(0, 0) B'(-4, 0) C'(-2, -3)题目三：旋转正方形对于给定的正方形ABCD，中心点为O，若将该正方形按逆时针方向绕O点旋转270度，求旋转后各点的坐标。
解析：根据旋转规则，逆时针旋转270度可以理解为每个点的坐标绕O点逆时针旋转270度。
已知正方形ABCD的坐标如下：A(0, 0) B(4, 0) C(4, 4) D(0, 4)根据旋转规则，逆时针旋转270度后的坐标为：A'(0, 0) B'(0, 4) C'(-4, 4) D'(-4, 0)题目四：旋转圆形对于给定的圆形O，若将该圆形按逆时针方向绕O点旋转45度，求旋转后各点的坐标。
解析：由于圆形的每个点到中心点的距离都相等，因此旋转后每个点的坐标仍然是相对于中心点O的极坐标系。
专题46 以正方形为基础的图形的旋转变换问题(解析版)
专题46 以正方形为基础的图形的旋转变换问题【例题精讲】根据图形回答问题：（1）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作等边三角形，试回答△ACE可看作哪个三角形怎么样旋转得到．（不用说明理由）（2）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作正方形，连接DG，M为DG中点，连接EM并延长交FG于N，连接FM，猜测FM和EM的关系，并说明理由．（3）在（2）的基础上将正方形CBGF绕C点旋转，其它条件不变，猜测FM和EM的关系，并说明理由．解：（1）将△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到△DCB，所以可得△ACE可以由△DCB以C点为轴逆时针旋转60度得到．（2）FM△ME ，FM=ME ，连接GN 和DE ， 在△DME 和△GMN 中，MDE MHG DME GMN DM MG ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，△△DME△△GMN （AAS ），△DM=MN ，DE=NG ，△FN=FG -NG=FG -DE=FC -EC=FE ，△△NFE 是等腰直角三角形，△FM△ME ，并且FM=ME （等腰三角形中线就是垂线，直角三角形中线等于斜边的一半）（3）延长EM 至N 点，使EM=MN ，连接NG 、EF 、FN ．（EC 与DM 的交点标为P ，FC 与DM 交点标为Q ）在△DME 和△GMN 中，EM MN DME GMN DM MG ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，△△DME△△GMN ．△DE=NG ，△EDM=△NGM ，△EC=NG ，△△ECF=180°-△CPQ -△CQP=180°-△DPE -△FQG=180°-（90°-△MDE ）-（90°-△FGM ）=△EDM+△FGM ，△△NGM+△FGM=△NGF ，△△ECF=△NGF ，△EC=DE=NG ，在△ECF 和△NGF 中，FC FG ECF NGF EC NG ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，△△ECF△△NGF ，△EF=NF ，△EFC=△NFG ，△△EMN=△EFC+△CFN=△NFG+△CFN=△CFG=90°，△△EFN 是等腰直角三角形，△FM△EM ，并且FM=EM 。
专题01与旋转有关的计算(30题)(原卷版)
专题第01讲与旋转有关的计算1．（2023春•秦都区期末）如图，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接DE、AD．（1）求证：AD＝CE；（2）若BC＝8cm，BE＝7cm，求△ADE的周长．2．（2023春•北林区期末）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．（1）求证：EF＝EQ；（2）求证：EF2＝BE2+DF2．3．（2022秋•同心县期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．4．（2023春•清远期末）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：BC＝EF；（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度数．5．（2023春•白银期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝120°，BC＝CD，AC⊥BD，点E在对角线BD上，将线段CE绕点C顺时针旋转120°，得到线段CF，连接DF．（1）求证：BE＝DF；（2）若EB＝EC，求证：AC⊥CF．6．（2023春•南城县期中）如图，点O是等边三角形ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，BO，AD．（1）求证：BO＝AD；（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数．7．（2023春•罗源县校级期中）如图，先将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，再将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，连接BE、BG、AD，且AC＝4．（1）若∠ABC＝135°．B、E、D三点在同一条直线上，求BG的长；（2）若∠ABC＝90°，AC＝2CE，点P在边AB上，求线段PD的最小值．8．（2023春•成武县期中）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．（1）如图（1），CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；（2）如图（2），将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明．9．（2023春•九江期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，分别延长BC与ED交于点F，连接AF、CE．（1）求证：F A平分∠CFE；（2）若S四边形ABFD＝12，AC＝4，求CE的长．10．（2023春•盱眙县期末）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．连接BE、CH．（1）四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论；（2）若BC长为2，则AB的长为时，四边形BEHC为菱形．11．（2023春•平山县期末）如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）（1）a＝，b＝；（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．（3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？12．（2023春•振兴区校级期中）如图（1），在△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，射线BM⊥BC于点C，动点D从点B出发沿射线BM方向运动；以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒；（1）以点A为旋转中心，将AD逆时针旋转120°，得到线段AE，连接BE，BE是否存在最小值，不存在，则说明理由，存在则求出BE最小时的t值及BE的最小值；（2）若射线BN为∠ABM的平分线，当点D从B点出发时，点F从点A向B点与点D同时同速运动（0≤t≤2），连接FD交BN于点G，当△BGF为等腰三角形时，直接写出所有可能的t值．13．（2023春•迁安市期中）老师在黑板上出示题目：如图1，在△ABC中，∠A＝32°，∠C＝55°，线段CB′与CB边重合，CB′从现在的位置绕着点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置是否有一位置使CB′∥AB？如果有这样的位置，请画出示意图，并求出∠BCB′的度数，如果没有说明理由（1）（如图2）嘉嘉认为：有这样一个位置，使得CB′∥AB，如图．请你按照嘉嘉的做法，求出∠BCB′的度数．（2）（如图3）琪琪认为：嘉嘉的想法不全面，还存在另外一种情况使得CB′∥AB你是否同意琪琪的说法？如果同意，请画出图形，并求出此时∠BCB′的度数；如果不同意，请说明理由．14．（2022秋•青山湖区期末）阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．15．（2023春•清江浦区期末）如图1，MN∥PQ，点A在直线MN上，点B在直线PQ上，射线AC绕点A 顺时针从射线AM旋转至射线AN后便立即回转；射线BD绕点B顺时针从射线BP旋转至射线BQ后便立即回转：射线AC、射线BD不停地来回旋转．若射线AC转动的速度是a度/秒，射线BD转动的速度是b度/秒，且a、b是方程a+3b＝6的正整数解．（1）a＝，b＝；（2）如图2，若∠BAN＝45°，两条射线同时转动，在射线AC到达AN之前，若两条射线交于点E，过E作EF⊥AC交PQ于F，若∠BEF＝20°，求∠BAC的度数；（3）若射线BD先转动30秒，射线AC才开始转动，在射线BD到达BQ之前，射线AC转动几秒，射线AC与射线BD互相平行？16．（2023春•蒸湘区期末）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），P A，PB 与直线MN重合，且三角板P AC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）在图1中，∠DPC＝；（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板P AC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板P AC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；②如图3，在图1基础上，若三角板P AC的边P A从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？17．（2023春•雄县期中）教材中有这样一道题：如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．求证：AF﹣BF＝EF．小明通过证明△AED≌△BF A解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下以下回题，请你解答．（1）若图1中的点G为CB延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时AF，BF，EF之间的数量关系，并证明你的结论．（2）将图1中的△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F'，如图3所示，若正方形的边长为3，求EF'的长度．18．（2023春•长垣市期末）综合与实践数学社团的同学以“两条平行线AB，CD和一块含45°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°）”为主题开展数学活动，已知点E，F不可能同时落在直线AB和CD之间．探究：（1）如图1，把三角尺的45°角的顶点E，G分别放在AB，CD上，若∠BEG＝150°，求∠FGC 的度数；类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点E恰好落在AB和CD之间，且AB与EF所夹锐角为25°，求∠FGC的度数；迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，旋转三角尺，若存在∠FGC＝5∠DGE（∠DGE＜45°），直接写出射线GF与AB所夹锐角的度数．19．（2023春•阳城县期末）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）观察猜想：将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图2的位置，使得点O与点N重合，CD 与MN相交于点E，则∠CEN＝；（2）操作探究：将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；（3）深化拓展：将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC 旋转多少度时，边CD恰好与边MN平行？20．（2023春•岱岳区期末）知识探究：如图1，点E是正方形ABCD对角线AC上任意一点，以点E为直角顶点的直角△EFG两边EF，EG分别角与AD，AB相交于M点，N点．当EF⊥AD时，请探究EM与EN的数量关系，并说明理由；拓展探究：当△EFG绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图2，请探究EM与EN的数量关系，并说明理由；迁移运用：在图2的基础上，过点E作EH⊥AB于点H，如图3，证明H是线段BN的中点．21．（2023春•顺平县期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形EFGO的一个顶点，且这两个正方形边长相等．OE与BC相交于点M，OG与CD相交于点N．（1）求证：△OBM≌△OCN；（2）嘉琪说：当正方形EFGO绕点O转动，且OE与BC垂直时，四边形OMCN的面积最小．你同意嘉琪的说法吗？请说明理由；（3）若正方形ABCD的边长为a，用含a的代数式表示两个正方形重叠部分的面积为．22．（2023春•沈丘县期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，△ODE中，∠ODE＝90°，∠EOD＝60°，先将△ODE一边OE与OC重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转．（1）当OD在OA与OC之间，且∠COD＝20°时，则∠AOE＝；（2）试探索：在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；（3）在△ODE的旋转过程中，若∠AOE＝7∠COD，试求∠AOE的大小．23．（2023春•东昌府区期末）在等边三角形ABC的内部有一点D，连接BD，CD，以点B为中心，把BD 逆时针旋转630°得到HD′，连接AD′，DD′．以点C为中心，把CD顺时针旋转60°得到CD″，连接AD″，DD″．（1）判断∠D′BA和∠DBC的大小关系，并说明理由；（2）求证：D′A＝DC；（3）求证：四边形AD'DD″是平行四边形．24．（2022秋•河口区期末）感知：如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明．探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE．求：①∠ACE的度数；②若AB＝AC＝2，CD＝2，则线段DE的长是多少？25．（2023春•内乡县期末）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．（1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值；（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系；（3）在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于（直接写出答案即可）．26．（2023春•衡山县期末）一副三角板如图1摆放，∠C＝∠DFE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，点F 在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒5°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒．（1）当t＝秒时，DE∥AB；当t＝秒时，DE⊥AB；（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若△AFP有两个内角相等，求t的值；（3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，连接AE，设∠BAE＝x°，∠AED＝y°，∠DFB＝z°，试问x+y+z是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．27．（2023春•太原期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D是平面内一点，将线段AD 绕点A按逆时针方向旋转100°得到线段AE．（1）当点D在△ABC内部时，连接BD，CE．请判断线段BD与CE的数量关系，并说明理由；（2）请从A，B两题中任选一题作答．A．当点D在△ABC内部时，若直线DE恰好经过点B，直接写出∠BEC的度数．B．当点D在△ABC外部时，若直线DE恰好经过点C，直接写出∠BDC的度数．28．（2023春•遂平县期末）如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A＝30°，∠CDE＝45°．（1）如图1，求∠EFB的度数；（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转．①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为°；②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理由．29．（2023•碑林区校级模拟）似曾相识（1）如图①，正方形ABCD的边长等于4，中心为O，正方形OA′B′C′的边长也等于4，在正方形OA′B′C′绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围．类比探索（2）如图②，等边△ABC的边长等于4，中心为O，等边△OA′B′的边长也等于4，在等边△OA′B′绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．30．（2023•青山湖区模拟）●问题发现如图1，△ABC和△DEF都是等边三角形，边BC和EF在同一直线上，O是边BC的中点，BE＝CF，连接AD，则下列结论正确的是．（填序号即可）①OE＝OF；②AD＝BE；③AD⊥BE；④整个图形是轴对称图形．●数学思考将图1中的△DEF绕着点O旋转，△ABC不动，连接AD和BE，如图2，则AD和BE具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●拓展应用已知AB＝8cm，DE＝4cm，在图1中的△DEF绕着点O旋转的过程中，当BE⊥DF时，求线段AD的长度．#ZZA0。
含有矩形和旋转的相似题目
含有矩形和旋转的相似题目
1、将一个矩形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为4cm、宽为3cm的矩形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，求形成的圆柱体的表面积。
2、已知矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，将矩形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周得到的圆柱侧面积为 _______．
3、已知矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，若将矩形ABCD绕其一边所在直线旋转一周，则形成的几何体的表面积为 _______．
4、一个矩形绕着它的一边旋转形成圆柱体，这圆柱体的侧面积是底面积的_______ 倍．
5、已知矩形绕一边旋转形成的旋转体是圆柱，则下列命题中正确的是( )
A.矩形的边长都等于旋转体的直径
B.矩形的边长都等于旋转体的母线长
C.矩形的两条对角线中较长的一条等于旋转体的直径
D.矩形的两条对角线中较短的一条等于旋转体的母线长
6、将一个矩形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现有一个长为$4cm$、宽为$3cm$的矩形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，求形成的圆柱体的表面积。
7、在平面直角坐标系中，点$P(2,2)$是抛物线$y = x^{2}$上的一个点，现将点$P$绕点$(0,1)$逆时针方向旋转$90^{\circ}$得到点$Q$，则点$Q$的坐标为____.
8、将矩形绕一边所在的直线旋转一周形成的几何体是 _______．
9、将矩形绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体是____．
10、在平面直角坐标系中，点A的坐标为$( - 2,0)$，将线段$OA$绕点$O$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$，得到$OA^{\prime}$，则点
$A^{\prime}$的坐标是____．。
矩形的旋转压轴题
矩形的旋转压轴题
今天我遇到了一道非常有意思的数学题目，它的题目是“矩形的旋转压轴题”。
这道题目需要我们计算一个矩形在旋转后的情况下，被压成一个实心曲面的体积。
首先，我们需要知道矩形在旋转过程中会变成一个圆柱体。
而这个圆柱体的底面积就是矩形的面积，而高度则是矩形的短边长。
所以，我们可以得到圆柱体的体积公式：V=πrh。
其中，r是圆柱的半径，h是圆柱的高度。
接下来，我们需要计算旋转后的圆柱体的半径和高度。
这个过程可以通过几何方法来解决。
首先，我们可以将矩形分成四个小三角形。
然后，我们可以通过勾股定理来计算出小三角形的斜边长。
接着，我们可以得到圆柱的半径公式：r=√((a/2)+(b/2))，其中，a和b分别是矩形的宽和长。
最后，我们需要计算圆柱的高度。
由于旋转后的圆柱是一个实心曲面，我们需要计算出曲面的体积，然后再除以底面积。
这个过程比较繁琐，需要用到积分和微积分知识。
但是，如果我们只需要大致估算圆柱的高度，可以将圆柱的表面积除以底面积，然后再除以πr，即可得到圆柱的平均高度。
总之，这道矩形的旋转压轴题虽然比较难，但是却非常有趣。
通过这道题目，我们可以更深入地了解几何学和微积分知识。
如果你对这个题目感兴趣，不妨试着自己计算一下吧！
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2024年中考数学考点必备知识必备11图形的对称、平移与旋转(原卷版)
知识必备11图形的对称、平移与旋转易错点：图形经历多次旋转时,要关注每次旋转的旋转中心,旋转角,否则易于出错.【例1】如图,在矩形ABCD 中,AB=5,AD=12,将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转,则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是().A.πB.13πC.25πD.25A ． 202120212,23A．2022552B．2【变式4】．（2022·河南·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，顺时针旋转并且按一定规律放大，角形A2OB2，点A1（1，0）的对应点为A．（2022，0）逆时针旋转【变式10】．（2023·四川资阳·统考一模）已知矩形旋转90 至矩形111O A B C 处时，为第一次旋转；将矩形次旋转；将矩形2211O A B C 绕点2A 顺时针旋转次后，所得矩形中右上角顶点的坐标为【变式11】．（2022·湖北黄冈·校联考模拟预测）8BC ，点A 与坐标原点重合，点得点B 对应点1B 在x 轴上，记为第一次旋转，再将11A B C 绕点1B 顺时针旋转一定的角度后得到211A B C ，使得点1A 对应点2A 在x 轴上，以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为．一．轴对称图形（共2小题）1．（2023•云南）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为()A ．B ．C ．D ．2．（2023•衡阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．二．关于x 轴、y 轴对称的点的坐标（共4小题）3．（2023•临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A ，B 两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x ，y 轴的平面直角坐标系内，若点A 的坐标为(6,2) ，则点B 的坐标为()A ．(6,2)B ．(6,2)C ．(2,6)D ．(2,6)4．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点(2,3)P 关于x 轴对称的点P 的坐标是()A ．(2,3) B ．(2,3) C ．(2,3) D ．(2,3)5．（2023•聊城）如图，在直角坐标系中，ABC 各点坐标分别为(2,1)A ，(1,3)B ，(4,4)C ．先作ABC 关于x 轴成轴对称的△111A B C ，再把△111A B C 平移后得到△222A B C ．若2(2,1)B ，则点2A 坐标为()A ．(1,5)B ．(1,3)C ．(5,3)D ．(5,5)6．（2023•金华）如图，两盏灯笼的位置A ，B 的坐标分别是(3,3) ，(1,2)，将点B 向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B ，则关于点A ，B 的位置描述正确的是()A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点O 对称D ．关于直线y x 对称三．作图-轴对称变换（共1小题）7．（2023•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 均为格点（网格线的交点）．（1）画出线段AB 关于直线CD 对称的线段11A B ；（2）将线段AB 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段22A B ，画出线段22A B ；（3）描出线段AB 上的点M 及直线CD 上的点N ，使得直线MN 垂直平分AB ．四．利用轴对称设计图案（共1小题）8．（2023•泰州）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是()A．B．C．D．五．翻折变换（折叠问题）（共5小题）9．（2023•浙江）如图，已知矩形纸片ABCD，其中3AB ，4BC ，现将纸片进行如下操作：第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．则DH的长为()A．32B．85C．53D．9510．（2023•襄阳）如图，在ABC中，AB AC，点D是AC的中点，将BCD沿BD折叠得到BED，连接AE．若DE AB于点F，10BC ，则AF的长为．11．（2023•辽宁）如图，在三角形纸片ABC 中，AB AC ，20B ，点D 是边BC 上的动点，将三角形纸片沿AD 对折，使点B 落在点B 处，当B D BC 时，BAD 的度数为．12．（2023•徐州）如图，在Rt ABC 中，90C ，3CA CB ，点D 在边BC 上．将ACD 沿AD 折叠，使点C 落在点C 处，连接BC ，则BC 的最小值为．13．（2023•成都）如图，在Rt ABC 中，90ABC ，CD 平分ACB 交AB 于点D ，过D 作//DE BC 交AC 于点E ，将DEC 沿DE 折叠得到DEF ，DF 交AC 于点G ．若73AG GE ，则tan A ．六．胡不归问题（共1小题）14．（2023•湘西州）如图，O 是等边三角形ABC 的外接圆，其半径为4．过点B 作BE AC 于点E ，点P 为线段BE 上一动点（点P 不与B ，E 重合），则12CP BP 的最小值为．七．利用平移设计图案（共1小题）15．（2023•郴州）下列图形中，能由图形a 通过平移得到的是()A ．B ．C ．D ．八．生活中的旋转现象（共1小题）16．（2023•金昌）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA 长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A 处离开水面，逆时针旋转150 上升至轮子上方B 处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A 处（舀水）转动到B 处（倒水）所经过的路程是5 米．（结果保留)九．旋转的性质（共6小题）17．（2023•无锡）如图，ABC 中，55BAC ，将ABC 逆时针旋转(055) ，得到ADE ，DE 交AC 于F ．当40 时，点D 恰好落在BC 上，此时AFE 等于()A ．80B ．85C ．90D ．9518．（2023•天津）如图，把ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点B ，C 的对应点分别是点D ，E ，且点E 在BC 的延长线上，连接BD ，则下列结论一定正确的是()A ．CAE BEDB ．AB AEC ．ACE ADED ．CE BD19．（2023•通辽）如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转到ADE ，旋转角为(0180) ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，若DE AC ，24CAD ，则旋转角 的度数为()A ．24B ．28C ．48D ．6620．（2023•张家界）如图，AO 为BAC 的平分线，且50BAC ，将四边形ABOC 绕点A 逆时针方向旋转后，得到四边形AB O C ，且100OAC ，则四边形ABOC 旋转的角度是．21．（2023•北京）在ABC 中，(045)B C ，AM BC 于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2 得到线段DE ．（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；（2）如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足DF DC ，连接AE ，EF ，直接写出AEF 的大小，并证明．22．（2023•自贡）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M ，N 分别是斜边DE ，AB 的中点，2DE ，4AB ．（1）将CDE 绕顶点C 旋转一周，请直接写出点M ，N 距离的最大值和最小值；（2）将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120 （如图2)，求MN 的长．一十．中心对称（共1小题）23．（2023春•兴化市月考）如图，正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△111A B C 与ABC 关于坐标原点O 成中心对称，则1B 的坐标为．（2）△111A B C 的面积为．（3）将ABC 绕某点逆时针旋转90 后，其对应点分别为2(1,2)A ，2(1,3)B ，2(0,5)C ，则旋转中心的坐标为．一十一．中心对称图形（共2小题）24．（2023•宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是()A．B．C．D．25．（2023•广西）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．一十二．关于原点对称的点的坐标（共1小题）26．（2023•凉山州）点(2,3)P 关于原点对称的点P 的坐标是()A．(2,3)B．(2,3)D．(2,3)C．(3,2)一十三．坐标与图形变化-旋转（共4小题）27．（2023•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为(6,0)，将ABO绕着点B顺时针旋转 ，则点C的坐标是()60 ，得到DBCA．(33，3)B．(3，33)C．(6,3)D．(3,6)28．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标(8,4)，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90 ，得到OB ，则点B 的坐标为．29．（2023•兰州）如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a 、b ，则b a ．30．（2023•宿迁）如图，ABC 是正三角形，点A 在第一象限，点(0,0)B 、(1,0)C ．将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转120 至1CP ；将线段1BP 绕点B 按顺时针方向旋转120 至2BP ；将线段2AP 绕点A 按顺时针方向旋转120 至3AP ；将线段3CP 绕点C 按顺时针方向旋转120 至4CP ； 以此类推，则点99P 的坐标是．一十四．作图-旋转变换（共3小题）31．（2023•达州）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，ABC 的顶点均在小正方形的格点上．（1）将ABC 向下平移3个单位长度得到△111A B C ，画出△111A B C ；（2）将ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到△222A B C ，画出△222A B C ；（3）在（2）的运动过程中请计算出ABC 扫过的面积．32．（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．（1）画出线段OA 绕点O 顺时针旋转90 后得到的线段OB ，连接AB ；（2）画出与AOB 关于直线OB 对称的图形，点A 的对称点是C ；（3）填空：OCB 的度数为．33．（2023•宁波）在44 的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．（1）在图1中先画出一个以格点P 为顶点的等腰三角形PAB ，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P A B ．（2）将图2中的格点ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90 ，画出经旋转后的△A B C ．一十五．几何变换综合题（共5小题）34．（2023•巴中）综合与实践．（1）提出问题．如图1，在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ，且AB AC ，AD AE ，连接BD ，连接CE 交BD 的延长线于点O ．①BOC 的度数是．②:BD CE ．（2）类比探究．如图2，在ABC 和DEC 中，90BAC EDC ，且AB AC ，DE DC ，连接AD 、BE 并延长交于点O ．①AOB 的度数是；②:AD BE ．（3）问题解决．如图3，在等边ABC 中，AD BC 于点D ，点E 在线段AD 上（不与A 重合），以AE 为边在AD 的左侧构造等边AEF ，将AEF 绕着点A 在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M 为EF 的中点，N 为BE 的中点．①说明MND 为等腰三角形．②求MND 的度数．35．（2023•重庆）如图，在等边ABC 中，AD BC 于点D ，E 为线段AD 上一动点（不与A ，D 重合），连接BE ，CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60 得到线段CF ，连接AF ．（1）如图1，求证：CBE CAF ；（2）如图2，连接BF 交AC 于点G ，连接DG ，EF ，EF 与DG 所在直线交于点H ，求证：EH FH ；（3）如图3，连接BF 交AC 于点G ，连接DG ，EG ，将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到APG ，将DEG 沿DG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到DQG ，连接PQ ，QF ．若4AB ，直接写出PQ QF 的最小值．36．（2023•贵州）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC 中，CA CB ，90C ，过点B 作射线BD AB ，垂足为B ，点P 在CB 上．（1）【动手操作】如图②，若点P 在线段CB 上，画出射线PA ，并将射线PA 绕点P 逆时针旋转90 与BD 交于点E ，根据题意在图中画出图形，图中PBE 的度数为度；（2）【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA 与PE 的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图③，若点P 在射线CB 上移动，将射线PA 绕点P 逆时针旋转90 与BD 交于点E ，探究线段BA ，BP ，BE 之间的数量关系，并说明理由．37．（2023•辽宁）ABC 是等边三角形，点E 是射线BC 上的一点（不与点B ，C 重合），连接AE ，在AE 的左侧作等边三角形AED ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转120 ，得到线段EF ，连接BF ，交DE 于点M ．（1）如图1，当点E 为BC 中点时，请直接写出线段DM 与EM 的数量关系；（2）如图2，当点E 在线段BC 的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当6BC ，2CE 时，请直接写出AM的长．38．（2023•辽宁）在Rt ABC 中，90ACB ，CA CB ，点O 为AB 的中点，点D 在直线AB 上（不与点A ，B 重合），连接CD ，线段CD 绕点C 逆时针旋转90 ，得到线段CE ，过点B 作直线l BC ，过点E 作EF l ，垂足为点F ，直线EF 交直线OC 于点G．（1）如图1，当点D 与点O 重合时，请直接写出线段AD 与线段EF 的数量关系；（2）如图2，当点D 在线段AB上时，求证：CG BD ；（3）连接DE ，CDE 的面积记为1S ，ABC 的面积记为2S ，当:1:3EF BC 时，请直接写出12S S 的值．。
全国中考数学试题分类解析汇编专题图形的旋转变换
B、 3 a2 3
C、 1- 3 a 2 4
D、 1- 3 a2 3
【答案】 D。 【考点】 正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角 三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】 设 B′C′与 CD交于点 E，连接 AE.
在△ AB′Ｅ与△ ADE中，∠ AB′E=∠ADE=90°， AE=AE, AB′=AD, ∴△ AB′E≌△ ADE（ HL）。∴∠ B′AE=∠DAE。 ∵∠ BAB′=30°，∠ BAD=90°，∴∠ B′AE=∠DAE=30°。
∴在直角三角形 OCN中， cos OCN= OC ，即 1 = OC 。
CN
2 CE
又在等腰直角三角形 CDE中， CN
2CD ，∴
1 =
OC
，即 OC =
2 。故选 C。
2 2CD
CD 2
14. （ 2012 山东泰安 3 分）如图，菱形 OABC的顶点 O在坐标原点， 顶点 A在 x 轴上，∠B=120°， OA=2，将菱形 OABC绕原点顺时针旋转 105°至 OA′B′C′的位置， 则点 B′的坐标为 【 】
【答案】 B。
【考点】 旋转的性质，三角形内角和定理。
【分析】 根据旋转的性质可得：∠ A′=∠A，∠ A′CB′=∠ACB，
∵∠ A=40°，∴∠ A′=40°。
∵∠ B′=110°，∴∠ A′CB′=180°﹣ 110°﹣ 40°=30°。∴∠ ACB=30°。
∵将△ ABC绕着点 C顺时针旋转 50°后得到△ A′B′C′，∴∠ ACA′=50°，
∵四边形 ABCD为正方形，∴ AD=AB，∠ A=∠ABC=90°。∴∠ ADP+∠APD=90°。 由旋转可得： PD=PE，∠ DPE=90°，∴∠ APD+∠EPF=90°。 ∴∠ ADP=∠EPF。 在△ APD和△ FEP 中，∵∠ ADP=∠EPF，∠ A=∠F， PD=PE， ∴△ APD≌△ FEP（ AAS）。∴ AP=EF， AD=PF。 又∵ AD=AB，∴ PF=AB，即 AP+PB=PB+B。F ∴ AP=BF。∴ BF=EF 又∵∠ F=90°，∴△ BEF 为等腰直角三角形。∴∠ EBF=45°。 又∵∠ CBF=90°，∴∠ CBE=45°。故选 C。 12. （ 2012 山东日照 3 分） 如图，在 4×４的正方形网格中，若将△ ABC 绕着点 A 逆时针旋
人教中考数学专题复习分类练习 旋转综合解答题附详细答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B的坐标为（4，m）（5≤m≤7），反比例函数y＝16x（x＞0）的图象交边AB于点D．（1）用m的代数式表示BD的长；（2）设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m，连结PB，PD①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S，求当m为何值时，S取到最大值；②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在x轴上时，求m的值．【答案】（1）BD＝m﹣4（2）①m＝7时，S取到最大值②m＝5【解析】【分析】（1）先确定出点D横坐标为4，代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得出结论；（2）①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S＝﹣12（m﹣8）2+24，即可得出结论；②利用一线三直角判断出DG＝PF，进而求出点P的坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴AB⊥x轴上，∵点B（4，m），∴点D的横坐标为4，∵点D在反比例函数y＝16x上，∴D（4，4），∴BD＝m﹣4；（2）①如图1，∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，m），∴S矩形OABC＝4m，由（1）知，D（4，4），∴S△PBD＝12（m﹣4）（m﹣4）＝12（m﹣4）2，∴S＝S矩形OABC﹣S△PBD＝4m﹣12（m﹣4）2＝﹣12（m﹣8）2+24，∴抛物线的对称轴为m＝8，∵a＜0，5≤m≤7，∴m＝7时，S取到最大值；②如图2，过点P作PF⊥x轴于F，过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G，∴∠DGP＝∠PFE＝90°，∴∠DPG+∠PDG＝90°，由旋转知，PD＝PE，∠DPE＝90°，∴∠DPG+∠EPF＝90°，∴∠PDG＝∠EPF，∴△PDG≌△EPF（AAS），∴DG＝PF，∵DG＝AF＝m﹣4，∴P（m，m﹣4），∵点P在反比例函数y＝16x，∴m（m﹣4）＝16，∴m＝2+25或m＝2﹣25（舍）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键．2．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=120°．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）△PMN是等边三角形．理由见解析；（3）△PMN周长的最小值为3，最大值为15．【解析】分析：（1）由∠BAC=∠DAE=120°，可得∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS即可判定△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得PM=12CE，PM∥CE，PN=12BD，PN∥BD，同（1）的方法可得BD=CE，即可得PM=PN，所以△PMN是等腰三角形；再由PM∥CE，PN∥BD，根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，因为∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，所以∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，再由∠BAC=120°，可得∠ACB+∠ABC=60°，即可得∠MPN=60°，所以△PMN是等边三角形；（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=12BD，所以当PM最大时，△PMN周长最大，当点D在AB上时，BD最小，PM最小，求得此时BD的长，即可得△PMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最大，PM的值最大，此时求得△PMN周长的最大值即可.详解：（1）因为∠BAC=∠DAE=120°，所以∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，所以△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等边三角形．理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，∴PM=12CE，PM∥CE，∵点N，M分别是BC，DE的中点，∴PN=12BD，PN∥BD，同（1）的方法可得BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC =∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=120°，∴∠ACB+∠ABC=60°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形．（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=12 BD，∴PM最大时，△PMN周长最大，∴点D在AB上时，BD最小，PM最小，∴BD=AB-AD=2，△PMN周长的最小值为3；点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，∴BD=AB+AD=10，△PMN周长的最大值为15．故答案为△PMN周长的最小值为3，最大值为15点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定，解决第（3）问，要明确点D在AB上时，BD最小，PM最小，△PMN周长的最小；点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，△PMN周长的最大值为15.3．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD 中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）612；（3）△FGH的周长最大值为32（a+b），最小值为32（a﹣b）．【解析】试题分析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；（3）首先证明△GFH的周长=3GF=32BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；试题解析：解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=12BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=12EC，FH∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形．（2）如图2中，连接AF、EC．易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF2221-3，在Rt△ABF中，BF22AB AF-6，∴BD=CE=BF﹣DF61，∴FH=12EC61-．（3）存在．理由如下．由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=12BD，∴△GFH的周长=3GF=32BD，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为3 2（a+b），最小值为32（a﹣b）．点睛：本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．4．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P 处，再折出PB、PC，最后用笔画出△PBC(图1)．（1）求证：图1中的PBC是正三角形：（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN．①求证：IH=IJ②请求出NJ的长；（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1233）3＜a＜3，a＞3【解析】分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）①利用“HL”证Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一点Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x，则IQ=QN=2x、3，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可．（1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF∴PB=PC∵沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处∴PB=BC∴PB=PC=BC∴△PBC是正三角形：（2）证明：①如图∵矩形AHIJ∴∠H=∠J=90°∵△MNJ 是等边三角形∴MI=NI在Rt △MHI 和Rt △JNI 中MI NI MH NJ=⎧⎨=⎩ ∴Rt △MHI ≌Rt △JNI （HL ）∴HI=IJ②在线段IJ 上取点Q ，使IQ=NQ∵Rt △IHM ≌Rt △IJN ，∴∠HIM=∠JIN ，∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°，∴∠HIM=∠JIN=15°，由QI=QN 知∠JIN=∠QNI=15°，∴∠NQJ=30°，设NJ=x ，则IQ=QN=2x ，QJ=22=3QN NJ -x ，∵IJ=6cm ，∴2x+3x=6，∴x=12-63，即NJ=12-63（cm ）．（3）分三种情况：①如图：设等边三角形的边长为b，则0＜b≤6，则tan60°=3=2ab，∴a=32b，∴0＜b≤632=33；②如图当DF与DC重合时，DF=DE=6，∴a=sin60°×DE=63=33，当DE与DA重合时，a=643sin603==︒，∴33＜a＜43；③如图∵△DEF是等边三角形∴∠FDC=30°∴DF=643cos303==︒∴a＞3点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．5．如图1，ABCD和AEFG是两个能完全重合的平行四边形，现从AB与AE重合时开始，将ABCD固定不动，AEFG绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），AB=a,BC=2a；并发现：如图2，当AEFG旋转到点E落在AD上时，FE的延长线恰好通过点C．探究一:（1）在图2的情形下，求旋转角α的度数；探究二:（2）如图3，当AEFG旋转到点E落在BC上时，EF与AD相交于点M，连接CM，DF，请你判断四边形CDFM的形状，并给予证明；探究三:（3）如图1，连接CF，BF，在旋转过程中△BCF的面积是否存在最大的情形，如果存在，求出最大面积，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）α=120°；（2）四边形CDFM是菱形，证明见解析；（3）存在△BCF的面积最大的情形，S△BCF 33a2.【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质知∠D=∠B，AB=CD=a，可得∠D=∠DEC，由等角对等边知CD=CE，由AE=AB=a，AD=BC=2a，可得DE=CE，即可证得△CDE是等边三角形，∠D=60°，由两直线平行，同位角相等可得∠DAB=120°，即可求得α；（2）由旋转的性质以及∠B=60°，可得△ABE是等边三角形，由平行线的判定以及两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形ABEM是平行四边形，再由由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；（3）当点F到BC的距离最大时，△BCF的面积最大，由于点F始终在以A为圆心AF为半径的圆上运动，故当FG与⊙A相切时，点F到BC的距离最大，过点A作AH⊥BC于点H，连接AF，由题意知∠AFG=90°.由∠ABH=∠G=60°，AB=a，AG=2a，可得AH、AF的值.可求得点F到BC的最大距离.进而求得S△BCF的值.试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B，AB=CD=a，∵∠AEF=∠B，∠AEF=∠DEC，∴∠D=∠DEC，∴CD=CE，∵AE=AB=a，AD=BC=2a，∴DE=CE.，∴CD=CE=DE，∴△CDE是等边三角形，∴∠D=60°，∵CD∥AB，∴∠D+∠DAB=180°，∴∠DAB=120°，∴α=120°.；（2）四边形CDFM是菱形.证明：由旋转可得AB=AE，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°，∴∠BAG=∠BAE+∠GAE=60°+120°=180°，∴点G，A，B在同一条直线上，∴ME ∥AB，BE∥AM，∴四边形ABEM是平行四边形，∴AM=AB=ME，∴CD=DM=MF，∵CD ∥AB∥MF，∴四边形CDFM是平行四边形，∵∠D= 60°，CD=DM，∴△CDM是等边三角形，∴CD=DM，∴四边形CDFM是菱形；（3）存在△BCF的面积最大的情形.∵CB的长度不变，∴当点F到BC的距离最大时，△BCF的面积最大.∵点F始终在以A为圆心AF为半径的圆上运动，∴当FG与⊙A相切时，点F到BC的距离最大，如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接AF，则∠AFG=90°.∵∠ABH=∠G=60°，AB=a，AG=2a，∴AH=AB×sin60°=32a，AF=AG×sin60°=3 a.∴点F到BC的最大距离为3a+ 3a=33a.∴S△BCF=12×2a×33a=33a2.点睛：此题考查了旋转的洗澡那个会、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，三角形的面积的求法，关键是运用旋转前后，图形的对应边相等、对应角相等的性质解题.6．把两个直角边长均为6的等腰直角三角板ABC和EFG叠放在一起（如图①），使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）探究：在上述旋转过程中，BH与CK的数量关系以及四边形CHGK的面积的变化情况（直接写出探究的结果，不必写探究及推理过程）；（2）利用（1）中你得到的结论，解决下面问题：连接HK，在上述旋转过程中，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时BH的长度；若不存在，说明理由．【答案】(1) BH=CK;(2) 存在，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置，此时BH 的长度为．【解析】（1）先由ASA证出△CGK≌△BGH，再根据全等三角形的性质得出BH=CK，根据全等得出四边形CKGH的面积等于三角形ACB面积一半；（2）根据面积公式得出S△GHK=S四边形CKGH-S△CKH=12x2-3x+9，根据△GKH的面积恰好等于△ABC面积的512，代入得出方程12x2-3x+9=512×12×6×6，求出即可．解：（1）BH与CK的数量关系：BH=CK，理由是：连接OC，由直角三角形斜边上中线性质得出OC=BG，∵AC=BC，O为AB中点，∠ACB=90°，∴∠B=∠ACG=45°，CO⊥AB，∴∠CGB=90°=∠KGH，∴都减去∠CGH得：∠BGH=∠CGK，在△CGK和△BGH中∵，∴△CGK≌△BGH（ASA），∴CK=BH，即BH=CK；四边形CHGK的面积的变化情况：四边形CHGK的面积不变，始终等于四边形CQGZ的面积，即等于△ACB面积的一半，等于9；（2）假设存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的512的位置．设BH=x，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x，CH=CB﹣BH=6﹣x，∴S△CHK=12CH×CK=3x﹣12x2，∴S△GHK=S四边形CKGH﹣S△CKH=9﹣（3x﹣12x2）=12x2﹣3x+9，∵△GKH的面积恰好等于△ABC面积的512，∴12x2﹣3x+9=512×12×6×6，解得136x=236x=（经检验，均符合题意）．∴存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的512的位置，此时x的值为36±．“点睛”本题考查了旋转的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，但是一道比较好的题目．7．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．（1）当点N落在边BC上时，求t的值．（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题8．如图2，边长为2的等边△ABC内接于⊙O，△ABC绕圆心O顺时针方向旋转得到△，A′C′分别与AB、AC交于E、D点，设旋转角度为．（1）当＝，△A′B′C′与△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合；（2）当＝60°时（如图1），该图（）A．是中心对称图形但不是轴对称图形B．是轴对称图形但不是中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形（3）如图2，当，△ADE的周长是否会发生变化，如会变化，说明理由，如不会变化，求出它的周长.【答案】（1）120°；（2）C；（3）△的周长不变.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的中心角为120°可直接求解；（2）根据题意可知，当=60°时，点A、、B、、C、为⊙O的六等分点，，所有的三角形都是正三角形，由此可得到所有图形即是轴对称图形，又是中心对称图形；（3）得到结论：周长不发生变化，连接A，根据弦相等，则它们所对的弧相等的性质可得，即，再根据等弧所对的圆周角相等，得，由等角对等边的性质可得，同理，因此可求△的周长==.【详解】解：（1）120°.如图，可根据等边三角形的性质直接根据三角形的内角和求得∠O=120°；（2）C（3）△的周长不变；理由如下：连接AA′，∵，∴，∴，∴，∴，同理，，∴△的周长=．即考点：正多边形与圆，圆周角定理9．如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，计算指针所指区域内的数字之和．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．（1）请你通过画树状图或列表的方法分析，并求指针所指区域内的数字和小于10的概率；（2）小亮和小颖小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：指针所指区域内的数字和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜．你认为该游戏规则是否公平？请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．【答案】（1）13；（2）不公平．【解析】试题分析：（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平．试题解析：（1）共有12种等可能的结果，小于10的情况有4种，所以指针所指区域内的数字和小于10的概率为13．（2）不公平，因为小颖获胜的概率为；小亮获胜的概率为512．小亮获胜的可能性大，所以不公平．可以修改为若这两个数的和为奇数，则小亮赢；积为偶数，则小颖赢．考点：1．游戏公平性；2．列表法与树状图法．10．思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC 和△ADE 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，且AE ＜AC ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当△ADE 在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ； ②如图3，当α＝90°时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC ＝3，DE ＝l ，请直接写出PC 2的值．【答案】（1）200；（2）①PC ＝PE ，PC ⊥PE ；②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ，见解析；③PC 21033+. 【解析】 【分析】（1）由CD ∥AB ，可得∠C ＝∠B ，根据∠APB ＝∠DPC 即可证明△ABP ≌△DCP ，即可得AB ＝CD ，即可解题．（2）①延长EP 交BC 于F ，易证△FBP ≌△EDP （SAS ）可得△EFC 是等腰直角三角形，即可证明PC ＝PE ，PC ⊥PE ．②作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，易证△FBP ≌△EDP （SAS ），结合已知得BF ＝DE ＝AE ，再证明△FBC ≌△EAC （SAS ），可得△EFC 是等腰直角三角形，即可证明PC ＝PE ，PC ⊥PE ．③作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°，得∠FBC ＝∠EAC ，同②可证可得PC ＝PE ，PC ⊥PE ，再由已知解三角形得∴EC 2＝CH 2+HE 2＝1033+求出22110332PC EC +==【详解】（1）解：∵CD ∥AB ，∴∠C ＝∠B ， 在△ABP 和△DCP 中，BP CP APB DPC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABP ≌△DCP （SAS ）， ∴DC ＝AB ． ∵AB ＝200米． ∴CD ＝200米， 故答案为：200．（2）①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ． 理由如下：如解图1，延长EP 交BC 于F ， 同（1）理，可知∴△FBP ≌△EDP （SAS ）， ∴PF ＝PE ，BF ＝DE ， 又∵AC ＝BC ，AE ＝DE ， ∴FC ＝EC ， 又∵∠ACB ＝90°，∴△EFC 是等腰直角三角形， ∵EP ＝FP ， ∴PC ＝PE ，PC ⊥PE ．②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ． 理由如下：如解图2，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ， 同①理，可知△FBP ≌△EDP （SAS ）， ∴BF ＝DE ，PE ＝PF ＝12EF ， ∵DE ＝AE ， ∴BF ＝AE ，∵当α＝90°时，∠EAC ＝90°， ∴ED ∥AC ，EA ∥BC ∵FB ∥AC ，∠FBC ＝90， ∴∠CBF ＝∠CAE ， 在△FBC 和△EAC 中，BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△FBC ≌△EAC （SAS ）， ∴CF ＝CE ，∠FCB ＝∠ECA ， ∵∠ACB ＝90°， ∴∠FCE ＝90°，∴△FCE 是等腰直角三角形，∵EP ＝FP ， ∴CP ⊥EP ，CP ＝EP ＝12EF ． ③如解图3，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC ＝∠EAC ＝α＝150° 同②可得△FBP ≌△EDP （SAS ），同②△FCE 是等腰直角三角形，CP ⊥EP ，CP ＝EP ＝22CE ， 在Rt △AHE 中，∠EAH ＝30°，AE ＝DE ＝1， ∴HE ＝12，AH ＝3， 又∵AC ＝AB ＝3， ∴CH ＝3+32， ∴EC 2＝CH 2+HE 2＝1033+ ∴PC 2＝21103322EC +=【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．。
2023年中考数学专题复习课件： 旋转问题
第3题图②
∵∠ACB＋∠ACF＝∠DEC＋∠CEF＝180°，∴∠ACF＝∠CEF.∵∠CEF
第3题图②
(3)如图③，将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于∠ABC)，若 ∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数． (3)解：如图，在AD上取一点M.使得AM＝CB，连接BM. ∵AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，∴△ABM≌△CDB(SAS)，∴BM＝BD，∠M
2
2
【答案】135°；
(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时．①在图②中依题意补全图形，并求 ∠ADB的度数； (2)①补全图形，如解图①.∵线段CA绕点C顺时针旋转α得到线段CD，∴CD
2
2
第1题解图①
第1题图②
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连接BE.用 等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明． ② 2 CE＝2BE－AD.证明：如解图②，过点C作CG∥BD，
AB2 AC 2 1 2
G
第4题图②
∟
则∠CGN＝90°.
∴CG＝ 1 CD＝ 5 .
2
2
∵∠C＝∠C，∠CGN＝∠CAB＝90°，∴△CGN∽△CAB.
5
∴ CG CN ，即 2 CN ，∴CN＝ ；
CA CB
8 10
25 8
G
第4题图②
∟
(3)如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的
交EB的延长线于点G， BD与EC相交于点F， ∵BC＝CD，CE平分∠BCD，∴CE垂直平分BD，∴BE＝DE，∠EFB＝90°
第1题解图②
矩形的旋转变换
矩形的旋转变换介绍------矩形是一种常见的几何图形，它具有四个直角，四条边长分别相等的特征。
在计算机图形学领域中，矩形的旋转变换是一种常见的操作，可以使矩形绕某个中心点进行旋转。
旋转变换原理------矩形的旋转变换是通过使用旋转矩阵来实现的。
旋转矩阵是一个二维矩阵，用来描述旋转变换的属性。
对于一个给定的矩形，可以通过旋转矩阵将其每个顶点坐标进行变换，从而实现旋转效果。
旋转变换步骤------进行矩形的旋转变换通常需要以下步骤：1. 确定旋转中心点：旋转中心点是矩形绕其旋转的中心位置，可以是任意点。
2. 计算旋转角度：确定矩形旋转的角度，可以是正值（顺时针方向）或负值（逆时针方向）。
3. 构建旋转矩阵：根据旋转中心点和旋转角度，构建旋转矩阵。
4. 应用旋转变换：将矩形的每个顶点坐标通过旋转矩阵进行变换，得到旋转后的新坐标。
示例------以下是一个简单的示例，展示了一个矩形绕中心点进行顺时针旋转90度的变换：原始矩形坐标：A(0, 0)B(0, 2)C(3, 2)D(3, 0)旋转中心点：(1.5, 1)旋转角度：90度应用旋转变换后的新坐标：A'(1, 1)B'(1, 3)C'(2, 3)D'(2, 1)注意事项------在进行矩形的旋转变换时，需要注意以下事项：- 确定旋转中心点和旋转角度时，需根据具体需求作出决策。
- 应用旋转变换时，要保持坐标的准确性，避免计算错误。
- 在实际应用中，可以使用计算机图形学相关的库或软件来进行旋转变换操作，提高效率与准确性。
总结------矩形的旋转变换是计算机图形学中常见的操作，通过使用旋转矩阵可以实现矩形绕指定中心点旋转的效果。
在进行旋转变换时，要注意确定旋转中心点和旋转角度，并保持准确的坐标计算。
矩形旋转问题
矩形旋转问题
矩形旋转问题是数学中一个普遍的问题，它研究如何以一个简单的矩形的形状，如果可以通过旋转、缩放或移动，来设计出一个完全不同的形状，并且要求该新形状仍然是一个矩形。
矩形旋转问题一般是在几何学中探讨的，特别是就旋转和缩放操作有关的几何学问题，例如如何设计出一个新的形状，其中包括给定一定角度或缩放比例，使给定的矩形可以被旋转或者变形，但仍旧是一个矩形。
矩形旋转问题有许多应用，可以应用于图形学和计算机图像处理，也可以应用于空间搜索，图像分割和物体识别等，还可以用来实现机器人的移动，棋盘游戏等。
矩形旋转问题主要有两种方法来求解，一是利用几何学知识，找出使得矩形旋转后变形的转换条件，然后根据条件进行计算；二是利用数学模型，首先建立矩形的数学模型，然后找出使矩形旋转的变换，最后使用相关的数学知识进行计算求解。
矩形旋转可以用许多不同的数学工具来解决，也有不少文献探讨了这个问题，但这个问题依然具有挑战，因为它和多变性、变换技术以及经典几何学知识有紧密的联系，在许多情况下，还可以和数学建模和计算性能相结合，并且在研究过程中，也可以和计算机算法相结合，一起探究有关的研究和实现。
总的来说，矩形旋转问题是一个普遍的数学问题，从几何学和数学模型的角度来看，它可以用来解决许多实际问题，包括图像处理、
空间搜索和机器人移动等，但仍然存在新的挑战以及研究新的方法来求解，因此这个问题仍然具有很大的挑战性，也值得继续研究。
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专题45 以矩形为基础的图形的旋转变换问题【例题精讲】两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）．（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．【针对训练】1、如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F．（1）求的值；（2）四边形EFDB′的面积为；（3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离．2、已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：（1）如图2，在正方形ABCD中，点为线段BC关于点B的逆转点；（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F 是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．①补全图；②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝AD．（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．4、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，DG交EC于O点（1）求证：DO＝OG；（2）若∠ABC＝135°，AC＝2，求DG的长；（3）若∠ABC＝90°，BC＞AB，且＝时，直接写出的值．5、如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个．（回答直接写序号）①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：①当∠CAE＝90°时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．6、如图1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2．（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；（2）请你在图3中，画出当α＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；（3）若AD＝1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是．7、综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．解决问题（1）如图①，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接AE、AD、BD，当△DEC绕点C继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；探索发现（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转△DEC，当B、A、E三点共线时，求BD的长；（4）在图①的基础上，写出一个边长比为1：：2的三角形（可添加字母）8、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．9、如图，已知点A（0，8），B（16，0），点P是x轴上的一个动点（不与原点O重合），连结AP，把△OAP沿着AP折叠后，点O落在点C处，连结PC，BC，设P（t，0）．（1）如图1，当AP∥BC时，试判断△BCP的形状，并说明理由．（2）在点P的运动过程中，当∠PCB＝90°时，求t的值．（3）如图2，过点B作BH⊥直线CP，垂足为点H，连结AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．10、问题情境：数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．解决问题：（1）如图1，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，当△DEC绕点C继续旋转到如图2所示的位置时，连接AE、AD、BD，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由．11、如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB交于点F，连接BE．（1）求BC的长；（2）求证∠ABE＝∠ABC；（3）当FB＝FE时，求CD的长．12、（1）如图1，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．填空：①旋转角为°；②线段OD的长是；③∠BDC＝°；（2）如图2，O是△ABC内一点，且∠ABC＝90°，BA＝BC．连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA，OB，OC满足什么条件时，∠BDC＝135°？请说明理由．13、在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．（1）问题发现：如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝度．（2）拓展探究：如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明．（3）解决问题如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE的长．13、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．14、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝4，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至DE∥AC时，请直接写出BD的长．15、（1）问题发现如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，∠BCD的度数是；线段BD，AC之间的数量关系是．（2）类比探究在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，请问（1）中的结论还成立吗？（3）拓展延伸如图3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝90°，若点P满足PB＝PC，∠BPC＝90°，请直接写出线段AP的长度．16、综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，△ACD和△BCE是两个等边三角形纸片，其中，AC＝5cm，BC＝2cm．解决问题（1）勤奋小组将△ACD和△BCE按图1所示的方式摆放（点A，C，B在同一条直线上），连接AE，BD．发现AE＝DB，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将△BCE绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求△ABC的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将△BCE沿CD方向平移acm，得到B'C'E'，连接AB'，B'C，当△AB'C恰好是以AB'为斜边的直角三角形时，求a的值．请你直接写出a的值．17、如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F．（1）求的值；（2）四边形EFDB′的面积为；（3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离．。