数学物理实验第一+二节(复数项级数+幂级数)

第三章
幂级数展开
重点
1、求幂级数收敛半径的方法； 2、复变函数Taylor展开条件与展开方法; 3、复变函数Laurant展开条件与展开方法; 4、解析延拓的方法； 5、奇点的的分类以及极点阶的确定。
1
§3.1
复数项级数
一、复数项级数定义及其收敛判据
1. 复数项级数定义：
w
k 1
k
w1 w2 w3 .....
1 1 z2
所求结果为
1 1 z z z ... 1 z2
2 4 6
( z 1)
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三、幂级数性质
1、级数在收敛圆内绝对且一致收敛 证明 收敛圆半径为R, 做比收敛圆稍微缩小的圆周C R1 ,半径为R1 ∵
k a ( z z 0) ≤ a k R1
k k
由 a k R 构成的常数级数
说明： ⑴每一项均为复数 ⑵实数项级数是复数项级数的特例 ⑶一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论
w
k
n
k

u i v
k k
k
n
n
k
2
2、复数项级数的收敛判据---Cauchy 收敛判据 级数 wk收敛的充分必要条件为 k 对于任意给定的正数 ,总存在自然数N使得当n>N时， 对于任意的自然数p都有：
两边积分，并应用Cauchy公式 把级数的和记作
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1 ( z) = 2i
1 2i
( ) 1 a0 a1 ( z0 ) d + 1 d c R1 z 2i cR1 ( z ) 2ic z d R1
a2 ( z0 ) c R1 z d .....
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下列级数是否收敛？是 否绝对收敛？ n n 1 8i 1 i 1 n i. 1 1 ; 2 ; 3 n 1 n n 0 n! n 1 n 2 n 1 1 解 1 n 发散， bn 2 收敛， 原级数发散 n1 n 1 n n 1 n1 n
以z0为圆心,作半径为R的圆周Ck,则幂级数在圆的内部绝对收敛 在圆外发散,这个圆称为幂级数的收敛圆,半径叫做收敛半径,至 于收敛圆周上的各点,幂级数收敛或发散需要具体分析.
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圆的内部指的是比这个圆稍微小一些的闭区域,以z0为圆心作一 半径R1稍微小于R的圆周 C R1 ,在 C R 所围的闭圆域上,幂级数(1)
沿回路 C R1 逐项积分并用柯西公式可得
w ( z ) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )
(n) (n) (n)
a | z z 0| lim a | z z 0|
k 1 k k
k 1 k
ak 1 lim | z z0 | 1 k a k
绝对收敛，否则发散。 收敛半径为
ak R lim k a k 1
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ak R lim k a k 1
如果 | z z0 | R 则级数(1)绝对收敛
k 1
a R
k 0 k

k
1
则有
a 1 lim a R = lim a R = R R ＜1 a R
k 1 k 1 k k
k 1 k
k 1
1
k
1
1
a R 收敛 ,则级数 a ( z z 0) 绝对且一致收敛
k
k


k 0
k
1
k 0
k
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2、级数在收敛圆内部是解析函数（无奇点）。 证明 由于级数在收敛圆内一致且绝对收敛，则说明级数 在偏小的 C R1 上一致收敛，则它可 c R 上逐项积分.
圆周|z|=1上。如果限制在实数域里边,则1-x2+x4+…=1/(1+x2),
|x|=1,即x=士1,并不是奇点,条件|x|<1就不那么容易理解了!
n! 1 n 1 遍乘 如果用有界函数 2 i z
w( ) a0 a1 ( z0 ) a2 ( z0 )2 ... 可得 a0 n ! w( ) n! n ! a1 ( z0 ) n 1 n 1 n 1 2 i z 2 i z 2 i z
k k
k k
w 也是绝对收敛的。
k k
k k
c.改变绝对收敛级数的各项先后次序其和不变。 和相同

w1, w2 , wi , wj ,..., wk
w1, w2 , wj , wi ,..., wk
5
……
2）一致收敛及其性质： ⑴ 一致收敛定义： 如果级数是定义在区域B（或境界线L）上，则在 区域B（或L）上的各点z，对于给定的小正数 ，存在 与z无关的正整数N,使得n >N时，对于任意的自然数p 恒有： n p wk ( z) 成立。
所有的系数ak=1,则收敛半径为
ak 1 R lim lim 1 k a k 1 k 1
因此收敛圆是以t=0为圆心而半径为1,收敛圆的内部可以表示 为|t|<1 这是一个几何级数,公比为t,所以前n+1项的和
n 1 k 2 n
n 1 1 t 1 k 若|t|<1,则有 lim t lim n n 1 t 1 t k 1 n
如果 | z z0 | R 则后项与前项的模之比的极限
| ak 1 || z z0 |k 1 ak 1 lim lim | | R 1 k k | a || z z | k ak k 0
即对级数(1)来说,后面项的模越来越大,必然是发散级数,即
| z z0 | R 级数(1)发散
k n 1
则称级数 说明：
w 为一致收敛。
k 1 k
a、一致收敛中N与z无关。
b、一致收敛是对区域B或L而言。 c、复数项级数是B 的解析函数，其级数和一定是B上的收敛 函数。
d、若
wk mk而 m
k
k
收敛则该级数是绝对一致收敛的。
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(2)性质
连续性
级数 wn ( z ) 在B内一致收敛，且wn(z)
n ! a2 ( z0 ) 2 ... n 1 2 i z
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a0 n ! w( ) n! n ! a1 ( z0 ) n 1 n 1 n 1 2 i z 2 i z 2 i z n ! a2 ( z0 ) 2 ... n 1 2 i z
2
a0 a1( z z0 ) a2 ( z z0 )2 .....
即级数可用连续函数的回路积分来表示，且连续函数的 回路积分可在积分号下求任意多次导数，说明该级数是一个 解析函数。 3、级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次。（证明略）
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例2的幂级数和为1/(1+z2),具有孤立奇点z=士i,而士i正好在收敛
2
组成的新级数
或写为 u1 v1 、 u2 v2 、… uk vk
k k
2
2
2
2
2
收敛，则称这个级数 w 为绝对收敛级数。
……
4
⑵ 性质： a. 如果级数 w 是绝对收敛的，则该级数收敛。
k k
，
常用级数绝对收敛来判断级数的收敛
b. 如果级数 w 和 是绝对收敛的，则它们的乘积
a (z z )
k 0 k 0
k
a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) ....(1)
2
其中z0,a0,a1,a2,…都是复常数,这样的级数叫做以z0为中心的 幂级数
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二、幂级数的收敛半径及其求法：
1、收敛半径R： 1）d’Alembert法（比值判别法）则求级数收敛半径：如果
(k ) f ( k ) ( z ) wn ( z) n 1
n 1
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几个定理：
n

n an ibn , a ib
n n
定理一 lim n lim a n a , lim bn b
定理二 n收敛 an和 bn都收敛
un 1 ( n 1 )! 8 2 , 0, n n! n! un n 1 8 n! 原级数绝对收敛.
例1 :
8i n
8n
8n1
3

1n
n1
1 收敛， n 收敛， n 12 n

原级数收敛， 但不绝对收敛。
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§3.2 幂 级 数 一、幂级数表示
1 t t 1 t t ... t 1 t k 1
n
在收敛圆内,幂级数的和为1/(1-t)
2 k
1 1 t t ... t ... 1 t
(| t | 1)
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例2 求幂级数
1 z 2 z 4 z 6 ...
的收敛圆, z为复变数
2 对所有的正实数除
z z0外都是发散的,
3既存在使级数收敛的正 实数也存在使级数发散 的正实数 ,
则级数 z z0 除外处处发散.
R
0
.
.
圆内部绝对收敛，外部发 散，圆周上不能做出一 般结论
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例1 求幂级数 1 t t 解:
2
... t k ...
的收敛圆,t为复变数
n
k n 1
w
k
n p
成立。
由 w1 w2 w3 ... wn p 给定 ，存在N， 和N一一对应关系 记为N(ε)
3
二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质
1) 绝对收敛及其性质： ⑴ 绝对收敛定义 由复数级数
2
w 的各项模 w1 、 w …. w k
k k
1
的各项的模 | a ( z z )k || a | Rk k 0 k 1 对正的常数项级数 应用比值判别法
k | a | R k 1 k 0

| ak 1 | R1k 1 ak 1 1 lim lim | | R1 R1 1 k k | a | R k ak R k 1
1
为应用柯西公式,把z记作 ， 把级数的和记作 w( ) 2 ( ) = a0 + a1( z0 ) + a2( z0 ) … 1 1 两边乘以 2i z
1 ( ) 1 a0 1 a1( z0 ) 1 a2 ( z0 )2 2 i z 2 i z 2 i z 2 i z
n1



n1
n1
定理三 若 n 收敛 n也收敛 , 且 n
n 1 n 1 n 1
n 1



n
n 1
n收敛的必要条件是 lim n 0
n

n 1
n绝对收敛 a n , bn绝对收敛
n 1 n 1
连续，则该级数在B内连续
n 1

级数 wn ( z ) 在C上一致收敛，且wn(z)
可积性
在C上连续，则
C n 1
n 1
w ( z)dz w ( z)dz
n n 1 C n


级数 wn ( z ) 在B内一致收敛于f(z)，且
解析性
wn(z)在B内解析，则f(z)在BHale Waihona Puke Baidu解析，且
解: 记z2=t,则本例的级数即 1 t t 2 t 3 ...
系数交替为1和 -1,则t平面上的收敛半径为
ak 1 R lim lim 1 k a k 1 k 1
由此z平面上的收敛半径为 R 1 收敛圆内部表示为 z 1 本例也是几何级数,公比为 -z2在 z 1 条件下,求出和为
此常数项级数收敛,由此,幂级数(1)在收敛圆的内部不仅绝对而
且一致收敛.
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2）Cauchy法（根值判别法）求收敛半径
lim a z z 0 ＜1绝对收敛。 若＞1发散。
k K k
k
收敛半径为
R = lim k
1
k
a
k
对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。（证略）
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情况： 收敛圆与收敛半径： 收敛域只能是下面三种 1对所有的正实数都收敛 ,则级数整个 z平面绝对收敛 .