数学物理实验第一+二节(复数项级数+幂级数)
4.1复数项数列、复数项级数

级数收敛的必要条件
n =1
n =1
定理3:级数 n = (an + ibn ) 收敛的必要条件是
lim n = lim ( an + ibn ) = 0.
n →
n →
证明:由定理2及实数项级数收敛的必要条件可知
级数
n =1
n
收敛,则 级数
a
n =1
n
和 bn 都收敛;
n =1
n =1
n =1
n =1
所以当 an 与 bn 绝对收敛时, n 也绝对收敛.
2
同时有 an n ,bn n ,所以当 n 绝对收敛时,
a
n =1
n
n =1
与 bn 也绝对收敛.
推论:
n =1
n =1
n
n =1
n =1
绝对收敛的充要条件是级数 an 与 bn 也绝对收敛.
复变函数与积分变换
第一节 复数项级数
一、复数项数列
二、复数项级数
一、复数项数列
定义1: 设 n = 1,2,∙∙∙ 为一复数列,其中 = + , 又设
= +为一确定的复数.如果对于任意给定的 > 0,相应地总
能找到一个正数 , 使得当 > 时,不等式 − <
→∞
当n > 时,有 n − α < ,即 (n + ) − ( + ) < 成立,
从而有
所以
n − ≤ (n −) + ( − ) < ,
4-1复数项级数与幂级数

21
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim
n
sn
(
z0
)
s(z0
)
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而 s(z0)称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则 它的和一定是z的一个函数s(z):
s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
s(z)称为级数
3
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
1 1
ni ni
;
收敛到-1
(2)
zn
(1)n
n
i
; 1
不收敛
(3)
zn
1
e
ni 2
.
n
收敛到0
4
二、级数的概念
1.定义 设{n} {an ibn} (n 1,2, )为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
n n
但 1 i2n1 1 (1)n i
n1 n
n1
n
(1 1 1 ) i(1 1 1 ) 1 i (1)n 1
23
23
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, 虽 (1)n 1收敛,
n1 n
n1
n
原级数仍发散.
18
例2 级数 (8i)n 是否绝对收敛?
n1 n 所以原级数非绝对收敛.
20
四. 幂级数
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序 列,其中各项在区域D内有定义.表达式
复数项级数与幂级数

那末级数 � 发散.
=1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是: 利用极限 lim sn = s .
n→ ∞
8
3.复数项级数收敛的条件
∞
∞
(1)※定理2 级数 � = � ( + ) 收敛的
∞
证
=
=
∞
充要条件 � 和 � 都收敛.
n =1
19
级数最前面n项的和
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + + f n ( z )
称为这级数的部分和.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) = s( z0 )
n→∞
∞
存在, 那末称级数 ∑ f n ( z ) 在 z0 收敛 , s( z0 )称为
=
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
= + + ⋯ + 称为级数的部分和.
7
2. 收敛与发散
∞
如果部分和数列 { sn } 收敛 , 那末级数 � 收敛,
并且极限 lim sn = s 称为级数的和 .
n→ ∞
=1
如果部分和数列 { sn } 不收敛 ,
规定 ∞ = +∞
5
※例2 证明:
已知
lim =
→∞
, <
,
<
∞ , >
lim
∞,
> →∞ =
, =
,
=
不存在, = −
《复数项级数》课件

1
局部调和公式
学会使用局部调和公式计算级数的极限。
2
狄利克雷补全和
掌握狄利克雷补全和的定义和性质,了解其与黎曼-黎博希茨定理的关系。
3
测度为零的级数
学习测度为零的级数定义,理解测度为零的意义及其应用概念。
总结与展望
结论总结
逐步总结本次课程所涉及的知识点,强化学生对知 识的记忆并强化知识点之间的联系。
《复数项级数》PPT课件
本课件将介绍复数项级数的基础概念,收敛性判别法和多项级数的应用。让 我们开始我们的数学之旅吧!
什么是复数项级数
定义
复数项级数是具有形如 a_1±ia_2±...±ia_n±...的无穷加法运 算的级数,其中n为正整数, a_n∈R。
收敛级数与发散级数
若级数的部分和随着n趋近于无穷 大而趋向于某一有限数,则称该级 数收敛;否则称之为发散。
未来展望
展望未来,介绍额外的信息和知识,展开人们对复 数项级数的深入思考。
绝对收敛性
通过学习绝对收敛性判别法,判别级数绝对收敛的 充分条件。
多项级数的应用
容斥原理与级数
学习如何运用容斥原Байду номын сангаас和级数解决 实际问题,并能灵活运用。
多项级数求和
掌握多项级数求和的基本方法,学 会灵活使用,解决具体问题。
数列的极限概念
了解数列极限的概念及其性质,运 用数列的极限判定数列的收敛性。
复数项级数的应用
重要概念
掌握重要概念如N次偏和、常数项 级数和振荡级数。能够理解其定义 和相关性质。
收敛性判别法
无理数型级数
通过无理数型级数掌握级数的收敛性概念和性质。
比较判别法
能够理解比较判别法的定义,通过学习该方法判别 级数的收敛性。
复数项级数 (2)

n cn
n n 1
或
lim n
n
cn
lim n n
1 n3
lim 1 1. n n n3
23
所以收敛半径 R 1, 即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,
在圆周
z
1上, 级数
zn n1 n3
1 n1 n3
收敛的 p 级数 ( p 3 1).
所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
n1
z n0
z 1 z
所以
I
c(1z
1
1
z
)dz
c1z dz
c1
1
z
dz
2i 0 2i.
32
五、小结与思考
这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定 理等内容,应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级 数的运算性质.
33
思考题
幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?
34
思考题答案
由于在收敛圆周上 z 确定, 可以依复数项级 数敛散性讨论.
n0
或
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn .
n1
这种级数称为幂级数.
5
二、幂级数的敛散性
1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理)
阿贝尔介绍
如果级数 cnzn在 z z0( 0) 收敛, 那末对
n0
满足 z z0 的 z, 级数必绝对收敛, 如果在z z0
级数发散, 那末对满足 z z0 的 z, 级数必发散.
四、典型例题
例1 求幂级数 zn 1 z z2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn
1
z
z2
z n1
02-4.1复数项数列、复数项级数教学课件

分别为 an 和 bn 的部分和. Sn 收敛的充要条件是 n,n
n=1
n=1
收敛,即级数 an 和 bn 都收敛.
n=1
n=1
复数项级数与实数项级数收敛的关系
定理2: 级数 n = (an + ibn ) 收敛的充要条件是级数 an 和
n
=
( lim
n→
an
+
ibn
)
=
0.
证明:由定理2及实数项级数收敛的必要条件可知
级数 n 收敛,则 级数 an 和 bn 都收敛;
n=1
n=1
n=1
lim
n→
an
=
0,
lim
n→
bn
= 0,
从而
lim
n→
n
= 0.
结论:lim n→
n
0
n
n=1
发散.
n=1
n=1
n=1
n=1
证明:因 Sn = 1 + 2 + + n
= (a1 + a2 + + an ) + i(b1 + b2 + + bn ) = n + i n
其中 n = a1 + a2 + + an, n = b1 + b2 + + bn
证明:反之,如果 lim
������→∞
������n
=������,
lim
数学物理方法 级数

第四节 Laurent级数表示
双边幂级数
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
2 4 6 8
数学物理方法2015.02
第一节 复数项级数
复数项级数 概念
形如 w1 w2 wn wn 的表达
式被称为复数项级数,其中wn是复数。
n 1
收敛与发散
若 wn 的前n项和 Sn w j 有极限(n), 则称该级数收敛,且称此极限值为该无穷级数的 和;否则称为发散。
n 1
可积性
在C上连续,则
C n 1 n
n 1
w ( z)dz w ( z)dz
n 1 C n
数学物理方法2015.02
第一节 复数项级数
级数 wn ( z ) 在B内一致收敛f(z),且
n 1
解析性
wn(z)在B内解析,则f(z)在B内解析,且
函数 f(z)=1/(1-z2) 分别在1<|z|< 和 0<|z-1|<2内的 Laurent级数展开
2 1 -1
1 -1
1
1<|z|<
数学物理方法2015.02
0<|z-1|<2
第五节 孤立奇点的分类
概念 若函数 f(z) 在点z0处不可导,而在z0的某邻域
内除z0外连续可导,则称z0为f(z)的孤立奇点; 若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外 的不可导点,则称z0为f(z)的非孤立奇点。
4-1复数项级数和幂级数

∞ ∞ 1 1 1 1 1 n 1 = (1 + + + L) − i (1 − + − L) = ∑ + i ∑ ( −1) n 2 3 2 3 n =1 n n =1 ∞ ∞ 1 n 1 因为 级数 ∑ 发散, 虽 ∑ ( −1) 收敛 , n n =1 n n =1
原级数仍发散 .
22
( 8i )n 是否绝对收敛? 是否绝对收敛? 例5 级数 ∑ n=1 n!
级数收敛的必要条件(定理4 级数收敛的必要条件 定理4)
因为实数项级数
∑1 an和∑1 bn收敛的必要条件是 n= n=
n→ ∞
∞
∞
lim an = 0 和 lim bn = 0 .
n→ ∞
所以复数项级数 ∑ α n收敛的必要条件是
n=1
∞
lim α n = 0
n→∞
15
注意: 注意:条件 αn →0⇔αn →0 (n→∞) ,该条件只是级数 ∞ 1 收敛的必要条件 而不是充分的, 必要条件, 收敛的必要条件,而不是充分的,比如级数 ∑ n=1 n 1 但是它是发散的。 尽管通项 → 0 ,但是它是发散的。
• 从导数与积分的角度研究解析函数均 获得成功.于是,我们自然会想从数 学分析中选取别的研究角度如幂级数 来讨论解析函数.实践证明,这种选 择是成功的. • 讨论解析函数的台劳级数和罗伦级数 展开式。
1
第四章 复级数
§4-1 复数项级数和幂级数 §4-2 Taylor级数 级数 §4-3 Laurent级数 级数
则称 {zn } 极限是 α ,或者 {zn } 收敛且收敛到 α , 记作 lim z n = α
n→ ∞
定理1
lim z n = α
数学物理基本方法4.1数项级数、幂级数

幂级数在物理学中的应用
弹性力学
幂级数在弹性力学中用于 描述弹性体的应力和应变 关系。
热力学
热力学中的理想气体状态 方程就是通过幂级数来表 达的。
电磁学
在电磁学中,幂级数用于 描述电磁波的传播和电磁 场的分布。
数项级数与幂级数在金融领域的应用
复利计算
通过使用幂级数和数项级数,可以更精确地计算 复利,这对于金融投资和保险非常重要。
定义
数项级数与幂级数的乘法运算是 将两个级数的对应项相乘,得到
一个新的级数。
规则
乘法运算有特定的规则,如合并 同类项、调整系数等,需要细心
操作避免出错。
应用
数项级数与幂级数的乘法运算在 数学、物理、工程等领域有广泛 应用,如求解物理问题、研究复
合材料的性质等。
Part
05
数项级数与幂级数的应用实例
数学物理基本方法 4.1数项级数、幂级 数
• 数项级数简介 • 幂级数简介 • 数项级数与幂级数的联系与区别 • 数项级数与幂级数的运算方法 • 数项级数与幂级数的应用实例
目录
Part
01
数项级数简介
数项级数的定义
01
数项级数是无穷序列的和,表示为 $sum_{n=0}^{infty} a_n$,其中 $a_n$是序列中的第$n$项。
的时间序列数据。
Part
03
数项级数与幂级数的联系与区 别
数项级数与幂级数的共同点
01
两者都是无穷序列
数项级数和幂级数都是无穷序列,可以表示为无限多个项的和或乘积。
02
两者都有收敛和发散的概念
数项级数和幂级数都有收敛和发散的概念,收敛的级数或幂级数具有确
定的极限值,而发散的级数或幂级数则没有确定的极限值。
复数项级数与幂级数

C
n0 C
或
z a
f
(z)dz
n0
ncn1(za)n1
37
五、小结与思考
通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念; 熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛 的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对 收敛与条件收敛的概念与性质.
38
思考题
如果复 数 n和 项 n均 级 发 ,问 数 : 散
证 因为 s n 1 2 n
( a 1 a 2 a n ) i ( b 1 b 2 b n )
nin,
8
根据{sn}极限存在的充要 : 条件
{n}和{n}的极限 , 存在
于级 是 数 an和 bn都收 . 敛
n1
n1
说明 复数项级数的审敛问题
(定理二)
实数项级数的审敛问题
n1
ln im n 0
重要结论: ln i m n0级n 数 1n发.散
11
例如 ,级数 ein:
n1
因 ln i 为 m nln i e m in 0 ,
不满足必要条件, 所以原级数发散.
启示: 判别级数的敛散性时, 可先考察 ln im n ?0
如果
lim
n
n
0,
ln im n0,
n0
n0
25
如 果 级 数
c
n
z
n 0
发
散
,
且如果
|
z
||
z0
|
n0
用 反证 法 , 设 级数 cn z n反 而收 敛 , 则 根据 n0
前 面 的 结 论 可 导 出
c
n
z
n收
0
1-2复数项级数幂函数

第四章 复变函数的级数【P 43-61】(3学时)§ 2-1 级数的基本性质【P 43-47】无穷级数:将无穷多个数12,,....,....n u u u 相加,写成12.........n u u u ++++的形式, 就称为无穷级数,记为1kk u∞=∑。
无穷级数的收敛性问题:无穷级数仅仅是一种形式上的相加。
这种加法是 不是具有“和数”呢? 这个“和数”的确切意义是什么呢?收敛与发散: 定义无穷级数1k k u ∞=∑的前N 项的和1NN k k S u ==∑。
如果当N →∞时N S 趋向于一个固定的极限值S , 就称该无穷级数是收敛,该极限值S 就是该无穷级数的“和”,即: 11lim lim ]N k N k N N k k S u S u ∞→∞→∞==⎡⎤===⎢⎥⎣⎦∑∑。
若当N →∞时N S 的极限不存在,就称无穷级数1k k u ∞=∑发散。
(一)复数项级数本章我们主要学习复变函数项级数的性质。
在学习复变函数项级数之前,先简单介绍一下复数项级数。
1. 复数项级数: 如果无穷级数121k k k z z z z ∞==++++∑中的每一项均为复数,该级数就称为复数项级数。
2. 复数项级数的收敛性:将复数项级数中的复数项k z 表示为k k k z u iv =+, 其中,k k u v 分别为k f 的实部和虚部,则: 111k k k k k k z u i v ∞∞∞====+∑∑∑, 从而复数项级数1k k z ∞=∑的收敛问题就归结为两个实数项级数1k k u ∞=∑与1k k v ∞=∑的收敛问题。
如果实数项级数1k k u ∞=∑与1k k v ∞=∑都是收敛的,则复数项级数1k k z ∞=∑也是收敛的,否则复数项级数1k k f ∞=∑就是发散的。
因为复数项级数的收敛问题可以归结为两个实数项级数的收敛问题,于是实数项级数的许多性质和规律常可直接移用于复数项级数。
zh4

第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 复数项级数 幂级数 泰勒级数 罗朗级数 孤立奇点
级数
第一节
复数项级数
第一节
一 复数列的极限 二 级数的概念
第四章 级数
复数项级数
-2-
第一节
复数项级数
一
复数列的极限
定义 设 { n }( n 1,2,) 为一个复数列, 其中
n an ibn , 又设 a ib 为一定复数, 如果对 任意给定的 0, 相应的总可以找到一个正整数 N ,
1 in 所以原级数绝对收敛。 2) 由于 | 2 | 2 收敛, n 1 n n 1 n n 1 i 3) 由于 | | n 发散,所以原级数不是 n 1 n 1 n n in ( 1)n ( 1)n1 i , 而利 绝对收敛,又由于 n 1 n n 1 2 n n 1 2 n 1
- 21 -
第二节
幂级数
收敛半径 R 0 。 例1 [解]
第四章 级数
n z 求幂级数 的收敛圆盘和和函数。 n 0
幂级数的部分和为
n 1
Sn ( z ) 1 z z
由于
1 z ( z 1) 1 z
n
| z | 1 lim S n ( z ) 1 n | z | 1 1 z 当 | z | 1 时,幂 所以当 | z | 1 时,幂级数是发散的,
- 15 -
(4.2.2)
第二节
幂级数
n f ( z ) c z n 1 如果取 n 我们得 z 的幂级数: n n c z c c z c z n 0 1 n n 0
1-2 复数项级数 幂级数

∞
n
zn 例3 讨论 的敛散性。 ∑ n!的敛散性。 n=0 n ∞ ∞ z rn 解 令z = r, ∑ = ∑ = er ! n=0 n! n=0 n
zn ∴∑ 在复平面上处处绝对收 。 敛 ! n=0 n
∞
∞
1 iπ 练习: 练习: 讨论 1+ e n的敛散性。 ∑ n 的敛散性。 n=0
n
---级数的部分和 级数的部分和 ∃ 若∀z0 ∈ D lim sn ( z0 ) = s( z0 ), 称级数(1)在z0收敛,
n→ ∞
k =1
lim 不存在, 其和为s( z0 ), sn ( z0 )不存在,称级数(1)发散,
n→ ∞
若级数(1)在 内处处收敛 其和为z的函数 内处处收敛, 若级数 在D内处处收敛,其和为 的函数 级数(1)的和函数 级数 s( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ⋯ + f n ( z )+⋯ ---级数 的和函数 特殊情况,在级数 中 特殊情况,在级数(1)中 f n ( z ) = cn ( z − z0 ) n 得
∞
π
cos in en + e−n 的敛散性。 讨论 ∑ 2n 的敛散性。 cos in = 2 n=0
∞
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质
1. 幂级数的概念
定义 设复变函数列: 设复变函数列: f n ( z )} z ∈ D, n = 1,2,⋯ {
∑
∞
n =1
f n ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + ⋯ + f n ( z ) + ⋯ (1)
关于幂级数的数学实验

关于幂级数的数学实验 一、 二、 结论:
f ( x) = sin x 与 f ( x) = sin( x + x0 ) 的图象
一般函数与多项式函数图象
在一定条件下,不同的函数都可以用多项式函数来近似。
进一步: 在一定条件下,可用幂级数来表示函数。
一 幂级数的收敛区间 1. 幂级数 (1)
lim | an | = ρ 和 lim n→∞
n n→∞
| an+1 | =ρ | an |
求收敛半径. 可用直比法 在例2)中, 令
( x 1) 2 n an ( x) = n 32 n
则
( x 1) 2( n+1) an+1 ( x) n 32 n ( x 1) 2 (n + 1) 32( n+1) = = ( x 1) 2 → (n → ∞) 2n 2( n +1) ( x 1) an ( x) (n + 1) 3 9 n 32 n
对每个
∑ u ( x)
n
设
区间I上一致收敛:
定理14.5 若幂级数(2)的收敛半径为R(>0), 且大x=R(或x= -R)时收敛, 则在它
的区间[0,R](或[-R,0])上一致收敛.
lim n | an | = ρ = +∞ 故收敛半径为: R = 0 收敛域为: {0}
n→∞
2)
( x 1) 2 n ∑ n 32n n =1
∞
令
∞
y = ( x 1) 2 则
(3)
∞ ( x 1) 2 n yn ∑ n 32n = ∑ n 32n n =1 n =1
对幂数(3)
1 n 1 2n an+1 (n + 1) 32( n+1) n 32 n 1 3 = = = → (n → ∞) 2( n +1) n +1 2 1 an (n + 1) 3 9 3 32 n n 32 n
数学物理方法幂级数展开实用教案

双边(shuāngbiān)幂级数和罗朗展开
• 例3: • 题目: • 以b=0为中心把f(z)=1/[z(z-1)]展开。 • 分析(fēnxī) • 因为f(z)有两个单极点z=0和z=1, • 所以它以b=0为中心的解析环有两个 • 0<|z|< 1和1<|z|<∞,需要分别展开 • 解答: • 在环域0<|z|< 1中 • f(z) = 1/[z(z-1)]= -1/[z(1-z)] = -1/z
项; 第第1十7七页页,/共共181页8。页
感谢您的观看(guānkàn)。
第第1十8八页页,/共共181页8。页
• 解答:
• f(z) = exp(z)
• f(n)(z) = exp(z)
• f(n)(0) = 1
第第7七页页,/共共181页8。页
幂级数和泰勒(tài lè)展开
• 例2: • 题目: • 在b=0的邻域上把f(z)=1/(1-z)展开(zhǎn kāi)。 • 解答: • f(z) = 1/(1-z) • f’(z) = 1/(1-z)2 • f”(z) = 2/(1-z)3 • f(n)(z) = n!/(1-z)n+1 • f(n)(0) = n! • an= 1 • f(z) = ∑k=0 zk • 该幂级数在圆|z|<1内收敛;
• = limk |ak+1(z-b)k+1 /ak(zb)k|=|z-b|/R
• |z-b|<R
<1,绝对收敛;
• |z-b|=R
=1,不确定;
• |z-b|>R
>1,发散。 第第5五页页,/共共181页8。页
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说明: ⑴每一项均为复数 ⑵实数项级数是复数项级数的特例 ⑶一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论
w
k
n
k
u i v
k k
k
n
n
k
2
2、复数项级数的收敛判据---Cauchy 收敛判据 级数 wk收敛的充分必要条件为 k 对于任意给定的正数 ,总存在自然数N使得当n>N时, 对于任意的自然数p都有:
1
为应用柯西公式,把z记作 , 把级数的和记作 w( ) 2 ( ) = a0 + a1( z0 ) + a2( z0 ) … 1 1 两边乘以 2i z
1 ( ) 1 a0 1 a1( z0 ) 1 a2 ( z0 )2 2 i z 2 i z 2 i z 2 i z
1
的各项的模 | a ( z z )k || a | Rk k 0 k 1 对正的常数项级数 应用比值判别法
k | a | R k 1 k 0
| ak 1 | R1k 1 ak 1 1 lim lim | | R1 R1 1 k k | a | R k ak R k 1
a | z z 0| lim a | z z 0|
k 1 k k
k 1 k
ak 1 lim | z z0 | 1 k a k
绝对收敛,否则发散。 收敛半径为
ak R lim k a k 1
11
ak R lim k a k 1
如果 | z z0 | R 则级数(1)绝对收敛
沿回路 C R1 逐项积分并用柯西公式可得
w ( z ) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )
(n) (n) (n)
圆周|z|=1上。如果限制在实数域里边,则1-x2+x4+…=1/(1+x2),
|x|=1,即x=士1,并不是奇点,条件|x|<1就不那么容易理解了!
n! 1 n 1 遍乘 如果用有界函数 2 i z
w( ) a0 a1 ( z0 ) a2 ( z0 )2 ... 可得 a0 n ! w( ) n! n ! a1 ( z0 ) n 1 n 1 n 1 2 i z 2 i z 2 i z
n ! a2 ( z0 ) 2 ... n 1 2 i z
21
a0 n ! w( ) n! n ! a1 ( z0 ) n 1 n 1 n 1 2 i z 2 i z 2 i z n ! a2 ( z0 ) 2 ... n 1 2 i z
n
k n 1
w
k
n p
成立。
由 w1 w2 w3 ... wn p 给定 ,存在N, 和N一一对应关系 记为N(ε)
3
二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质
1) 绝对收敛及其性质: ⑴ 绝对收敛定义 由复数级数
2
w 的各项模 w1 、 w …. w k
k k
两边积分,并应用Cauchy公式 把级数的和记作
19
1 ( z) = 2i
1 2i
( ) 1 a0 a1 ( z0 ) d + 1 d c R1 z 2i cR1 ( z ) 2ic z d R1
a2 ( z0 ) c R1 z d .....
a (z z )
k 0 k 0
k
a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) ....(1)
2
其中z0,a0,a1,a2,…都是复常数,这样的级数叫做以z0为中心的 幂级数
10
二、幂级数的收敛半径及其求法:
1、收敛半径R: 1)d’Alembert法(比值判别法)则求级数收敛半径:如果
k k
k k
w 也是绝对收敛的。
k k
k k
c.改变绝对收敛级数的各项先后次序其和不变。 和相同
w1, w2 , wi , wj ,..., wk
w1, w2 , wj , wi ,..., wk
5
……
2)一致收敛及其性质: ⑴ 一致收敛定义: 如果级数是定义在区域B(或境界线L)上,则在 区域B(或L)上的各点z,对于给定的小正数 ,存在 与z无关的正整数N,使得n >N时,对于任意的自然数p 恒有: n p wk ( z) 成立。
(k ) f ( k ) ( z ) wn ( z) n 1
n 1
7
几个定理:
n
n an ibn , a ib
n n
定理一 lim n lim a n a , lim bn b
定理二 n收敛 an和 bn都收敛
2
a0 a1( z z0 ) a2 ( z z0 )2 .....
即级数可用连续函数的回路积分来表示,且连续函数的 回路积分可在积分号下求任意多次导数,说明该级数是一个 解析函数。 3、级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次。(证明略)
20
例2的幂级数和为1/(1+z2),具有孤立奇点z=士i,而士i正好在收敛
2
组成的新级数
或写为 u1 v1 、 u2 v2 、… uk vk
k k
2
2
2
2
2
收敛,则称这个级数 w 为绝对收敛级数。
……
4
⑵ 性质: a. 如果级数 w 是绝对收敛的,则该级数收敛。
k k
,
常用级数绝对收敛来判断级数的收敛
b. 如果级数 w 和 是绝对收敛的,则它们的乘积
2 对所有的正实数除
z z0数 ,
则级数 z z0 除外处处发散.
R
0
.
.
圆内部绝对收敛,外部发 散,圆周上不能做出一 般结论
15
例1 求幂级数 1 t t 解:
2
... t k ...
的收敛圆,t为复变数
解: 记z2=t,则本例的级数即 1 t t 2 t 3 ...
系数交替为1和 -1,则t平面上的收敛半径为
ak 1 R lim lim 1 k a k 1 k 1
由此z平面上的收敛半径为 R 1 收敛圆内部表示为 z 1 本例也是几何级数,公比为 -z2在 z 1 条件下,求出和为
un 1 ( n 1 )! 8 2 , 0, n n! n! un n 1 8 n! 原级数绝对收敛.
例1 :
8i n
8n
8n1
3
1n
n1
1 收敛, n 收敛, n 12 n
原级数收敛, 但不绝对收敛。
9
§3.2 幂 级 数 一、幂级数表示
k 1
a R
k 0 k
k
1
则有
a 1 lim a R = lim a R = R R <1 a R
k 1 k 1 k k
k 1 k
k 1
1
k
1
1
a R 收敛 ,则级数 a ( z z 0) 绝对且一致收敛
k
k
k 0
k
1
k 0
k
18
2、级数在收敛圆内部是解析函数(无奇点)。 证明 由于级数在收敛圆内一致且绝对收敛,则说明级数 在偏小的 C R1 上一致收敛,则它可 c R 上逐项积分.
如果 | z z0 | R 则后项与前项的模之比的极限
| ak 1 || z z0 |k 1 ak 1 lim lim | | R 1 k k | a || z z | k ak k 0
即对级数(1)来说,后面项的模越来越大,必然是发散级数,即
| z z0 | R 级数(1)发散
第三章
幂级数展开
重点
1、求幂级数收敛半径的方法; 2、复变函数Taylor展开条件与展开方法; 3、复变函数Laurant展开条件与展开方法; 4、解析延拓的方法; 5、奇点的的分类以及极点阶的确定。
1
§3.1
复数项级数
一、复数项级数定义及其收敛判据
1. 复数项级数定义:
w
k 1
k
w1 w2 w3 .....
1 1 z2
所求结果为
1 1 z z z ... 1 z2
2 4 6
( z 1)
17
三、幂级数性质
1、级数在收敛圆内绝对且一致收敛 证明 收敛圆半径为R, 做比收敛圆稍微缩小的圆周C R1 ,半径为R1 ∵
k a ( z z 0) ≤ a k R1
k k
由 a k R 构成的常数级数
k n 1
则称级数 说明:
w 为一致收敛。
k 1 k
a、一致收敛中N与z无关。
b、一致收敛是对区域B或L而言。 c、复数项级数是B 的解析函数,其级数和一定是B上的收敛 函数。
d、若
wk mk而 m
k
k
收敛则该级数是绝对一致收敛的。
6
(2)性质
连续性
级数 wn ( z ) 在B内一致收敛,且wn(z)
此常数项级数收敛,由此,幂级数(1)在收敛圆的内部不仅绝对而
且一致收敛.
13
2)Cauchy法(根值判别法)求收敛半径
lim a z z 0 <1绝对收敛。 若>1发散。
k K k
k
收敛半径为
R = lim k
1
k