含参量正常积分34页PPT
含参变量的正常积分
x
lim d f (x x, y) f (x, y) dy
x0 c
x
由拉格朗日中值定理
lim
x0
d
c fx (x x, y)dy
fx在=R上==连=续=,由 ==定理1
d
c
lim
x0
fx(x
x, y)dy
d
c fx (x, y)dy
固定x, 作积分
d
I (x) f (x, y)dy
c
(1)
此积分是x的函数, 其定义域为x [a,b],
则称此函数为定义在[a,b]上
y
含参量x的(正常)积分,
d
R
简称含参量积分.
c
oa
x bx
一般地,设有二元函数f (x, y),
如果可积
(x, y) G (x, y) a x b,c(x) y d (x)
形区域R [a,b][c,d]上连续，则函数
JI ((xy))
db ca
ff
((xx,,
yy))ddyx
在[ca, db]上连续。
注：(1). 设 f (x, y)在R [a,b][c,d]上连续，则
x0 [a,b],有 :
d
d
lim f (x, y)dy lim f (x, y)dy
d
d
f
(x, y)dy
d
f (x, y)dy
dx c
c x
证明分析 : x [a,b],设x充分小, x x [a,b],
要证, I (x)在[a,b]上可微,且
I(x)
《数学分析》第十九章 含参变量积分
0, 0,(x1, y1), (x2, y2 ) R,当 x1 x2 , y1 y2 ,
有 f (x1, y1) f (x2, y2) .
故当x 时有
d
I(x x) - I(x) c f (x x, y) f (x, y)dy. d c dx (d c).
d
I(x) c f (x, y)dy, x [a,b]
称为含参量 x 的正常积分,或简称含参量积分.
类似地称
b
J ( y) a f (x, y) dx
为含参变量 y 的积分。
I ( y) 是一个由含参变量的积分所确定的函数，下面我
们研究这种函数的连续性，可微性与可积性。
2、 含参量正常积分的性质:
F2( y0 )
lim
y y0
b( y) y
b( y0 ) y0
f
(x,
y)
b( y0 )
f
(b( y0 ),
y0 )
同样可以证明
定理证毕。
F3( y0 ) a( y0 ) f (a( y0 ), y0 )
例1:
求
1 dx
lim
0
1 x2 2.
I
' 2
(u)
d du
d
H (u, y)dy
c
d
c Hu (u, y)dy
d c
f (u, y)dy I (u).
从而I1'
(u
)
I
' 2
(u),
含参变量积分.ppt
定理2 如果函数 f ( x, y) 在矩形
R(a x b, y )
上连续,则
b
b
a [ f ( x, y)dy]dx [a f ( x, y)dx]dy.
公式（2）也可写成
b
b
a dx f ( x, y)dy dya f ( x, y)dx.
(2)
(2)
要点是:积分号与积分号的互换.
( xx )
( x)
f ( x x, y)dy f ( x, y)dy.
xx ( xx )
(x)f ( x ຫໍສະໝຸດ x, y)dy( xx )
(x)
( x)
f ( x x, y)dy f ( x x, y)dy
( xx )
(x)
( xx )
f ( x x, y)dy,
R(a x b, b )
上连续，那么由积分
(
x)
f
(
x,
y)dy
(a
x b)
确定的函数 ( x)在 [a, b]上也连续.
同理
x
x
x
f
x,
ydy
3
也是参变量 x的函数.
要点是:积分号与极限号的互换.
高等数学（下）
例1 求
lim 1 e xydx.
y0 0
高等数学（下）
定理1证 设 x 和 x x 是[a,b]上的两点，则 ( x x) ( x)
x 0
高等数学（下）
证 因为 ( x) lim ( x x) ( x) ,
x0
x
为了求 ( x)，先利用公式(1)作出增量之比
( x x) ( x)
x
f ( x x, y) x
数学《含参量积分》讲义
第十九章 含参量积分§1 含参量正常积分设:[,][,]f a b c d R ⨯→连续, 形如(,)dc f x y dy ⎰的积分, 称为含参量(x 的)正常积分. 若[,]x a b ∀∈,(,)dcf x y dy ⎰存在 (固定x 时, (,)f x y 关于y 可积), 则由()(,)dcx f x y dy ϕ=⎰([,]x a b ∈)定义了[,]a b 上的函数ϕ. 1) ϕ的连续性由于[,]a b 是闭区间,考察连续性就是考察一致连续性, 即需证 12 0,0,||:x x εδδ∀>∃>-<121212|()()||(,)(,)||(,)(,)|dddcccx x f x y dy f x y dy f x y f x y dy ϕϕε-=-≤-<⎰⎰⎰,只需1212[,],||: |(,)(,)|y c d x x f x y f x y d cεδ∀∈-<-<-,而f 在[,][,]a b c d ⨯上连续,则其在[,][,]a b c d ⨯上也一致连续. 因而121212120,0,,[,],,[,], ||,||:x x a b y y c d x x y y εδδδ∀>∃>∀∈∀∈-<-<1122|(,)(,)|f x y f x y d cε-<-特别地, 121212[,],,[,],|-|<: |(,)(,)|y c d x x a b x x f x y f x y d cεδ∀∈∈-<-.故有下面的结论.定理1 若f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则函数()(,)dcx f x y dy ϕ=⎰在[,]a b 上连续, 即()lim (,)lim ()()(,)lim (,)d d dccc x xx xx xx f x y dy x x f x y dy f x y dy ϕϕϕ→→→=====⎰⎰⎰.2) ϕ的可导性 设[,],[,]x a b x h a b ∈+∈, 则()()(,)(,)(,), 01(,) (: )dc dx h h cdx x cx h x f x h y f x y dyhhf x h y dy f x y dy f ϕϕθθ+-+-==+⋅<<→⎰⎰⎰条件连续定理2 若f 与x f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则函数()(,) ([,])dcx f x y dy x a b ϕ=∈⎰在[,]a b 上连续可导, 且()(,)dx cx f x y dy ϕ'=⎰.更一般地, 我们有定理3 设f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则由(,)(,), [,]tcx t f x y dy t c d ψ=∈⎰定义的ψ在[,][,]a b c d ⨯上连续, 且当x f 连续时, 1C ψ∈(因而ψ可微) . 定理4 设f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 函数:[,][,]a b c d β→连续, 则函数()()(,) , [,]x cx f x y dy x a b βϕ=∈⎰连续. 进一步, 若x f 连续, β可微, 则ϕ可导. 且()'()(,)+(,())()x x cx f x y dy f x x x βϕββ'=⋅⎰定理5 若,,f αβ连续, 则函数()()()(,), [,]x x x f x y dy x a b βαϕ=∈⎰连续. 进一步, 若x f 连续, ,αβ可导, 则ϕ可导, 且()()()(,)+(,()) ()(,()) ()x x x x x f x y dy f x x x f x x x βαϕββαα'''=⋅-⋅⎰注 上述定理中[,]a b 均可改为(,)a b 或任意区间.3) ϕ的可积性定理6 若(,)f x y 在矩形域[,][,]a b c d ⨯上连续, 则()(,), ([,])d cx f x y dy x a b ϕ=∈⎰与()(,), ([,])bay f x y dx y c d ψ=∈⎰分别在[,]a b 和[,]c d 上可积.引入累次积分及记号(,)[(,)],(,)[(,)]bdb da cacdbd bcacadx f x y dy f x y dy dx dy f x y dx f x y dxdy∆∆==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.定理7 (累次积分定理, 交换积分次序) 若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则(,)(,)bd d baccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰例1 1) 1220lim 14x dx x ααπα+→=++⎰.2) 11222223220011111arctan (0)arctan +()22(1)dx dx x x ααααααααα=≠⇒=+++⎰⎰.3) 设f 连续, 10()()()xn x f t x t dt ϕ-=-⎰, 求()n ϕ.4)设cos sin ()x xF x e =⎰, 求'F .5) 设(,)()()xy x y F x y x yz f z dz =-⎰, f 可微, 求xy F .例2 求1(,), (0)ln b ax x I a b dx b a x-=>>⎰.例3 求120ln(1)1x I dx x +=+⎰例4 讨论122()()yf x F y dx x y =+⎰的连续性, 其中f 为[0,1]上的正值连续函数.例5 试分别求累次积分221122200()x y dx dy x y -+⎰⎰与221122200()x y dy dx x y -+⎰⎰.§2 含参量反常积分设函数(,)f x y 定义在无界区域[,][,)a b c ⨯+∞上. 若对任一固定的[,]x a b ∈, 反常积分(,)cf x y dy +∞⎰收敛, 则其值为定义在[,]a b 上(关于x )的函数. 记为()x ϕ.即 ()(,) [,]cx f x y dy x a b ϕ+∞=∈⎰称为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分, 简称含参量反常积分. 取1,,n A c A =↑+∞ 则 1()(,)() n ndA n A nx f x y dy x ϕϕ+==∑∑⎰.因而我们可仿照讨论函数项级数来讨论反常积分. 先比较一下函数项级数与反常积分性质判别方法x E ∈, )x 收敛)x =∑一致收敛(nx ϕ'∑x E ∈, ,)x y dy )cx dy +∞=⎰一致收敛b 上可微,)x y dy (cf x +∞bdx dx =⎰例1 证Cauchy 准则例2 反常积分()(,)cx f x y dy ϕ+∞=⎰在[,]a b 上一致收敛⇔对任一趋于+∞的递增数列1{},()n A A c = 函数项级数111(,)()n nA n A n n f x y dy x ϕ++∞+∞===∑∑⎰在[,]a b 上一致收敛.例3 证明可微性.例4 证明Abel 和Dirichlet 判别法.例5 1) 证明: 含参量积分2cos 1xydx x+∞+⎰在R 上一致收敛.2) 证明:sin xydy y+∞⎰在[,),(0)δδ+∞>上一致收敛,但在(0,)+∞上不一致收敛. 3) 证明: 11sin ,(0)y x dx y x+∞<⎰在(,],(0)δδ-∞<上一致收敛, 但在(,0)-∞上不一致收敛.4) 证明: 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续,(,)cf x y dy +∞⎰在[,)a b 上收敛,(,)cf b y dy +∞⎰发散, 则(,)cf x y dy +∞⎰在[,)a b 上不一致收敛.例6 证明: 0sin ()kxxI k e dx x+∞-=⎰在[0,)+∞上连续, 并求()I k 的值.例7 求2cos cos (,),(,0)x xI dx xαβαβαβ+∞-=>⎰.例8 求证: 222400()cos (xx exdx edx γϕγγ+∞+∞---==⇒=⎰⎰.例9 (198P 定理13) (了解,不证明)设(,)f x y 定义在[,)[,)a c +∞⨯+∞上连续. 若 1)(,)af x y dx +∞⎰关于y 在任何闭区间[,]c d 上一致收敛,(,)cf x y dy +∞⎰关于x 在任何闭区间[,]a b 上一致收敛;2) 积分|(,)|acdx f x y dy +∞+∞⎰⎰与|(,)|cady f x y dx +∞+∞⎰⎰中有一个收敛, 则另一个积分也收敛, 且(,)(,)accadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰§3 Euler 积分含参量积分 10(), 0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰1110(,)(1), ,0p q B p q x x dx p q --=->⎰称为Euler 积分, Gamma 函数, Beta 函数. 一、Γ函数11101()()()s x s x s x e dx x e dx I s J s +∞----Γ=+=+⎰⎰对()I s : 1s ≥时, 正常积分; 0<1s <时, 收敛的瑕积分. 对()J s : 0s >时, 收敛的反常积分(无限). 故0s >, ()s Γ有定义.1. ()s Γ在定义域(0,)+∞上连续可导.对任何闭区间[,],(0)a b a >, 对()I s , 当01x ≤≤时, 从而()I s 在闭区间[,]a b 上一致收敛. 而对于()J s , 当1x ≥时, 11s xb xx e x e ----≤, 由于110b x x e dx --⎰收敛, 从而()J s 在闭区间[,]a b 上一致收敛. 从而()s Γ在0s >上连续.又1100()ln s xs x x e dx x e dx s+∞+∞----∂=∂⎰⎰, 类似可证在[,]a b 上一致收敛. 从而()s Γ在[,]a b 上可导. 故()s Γ在0s >上可导. 且10()10()ln , 0()(ln ), 0s x n s x n s x e xdx s s x e x dx s +∞--+∞--'Γ=>Γ=>⎰⎰.2. 0(1)()(1)!!x s s s n n e dx n +∞-Γ+=⋅Γ⇒Γ+==⎰3. Γ图像4. Γ的延拓定义 (1)(), 10, (0,)s s s s n sΓ+Γ=-<<≠-5. Γ的其他形式22210, ()2, (0)s y x y s y e dy s +∞--=Γ=>⎰10, (), (0,0)s s py x py s p y e dy s p +∞--=Γ=>>⎰二、B 函数1. (,)B p q 在定义域 0,0p q >>上连续.1) 定义域 0,0p q >>. 1,1p q ≥≥为正常积分. 当01,1p q <<≥时, 0为瑕点,1()(0)p f x xx -→. 而当1q <时, 0,1为瑕点,1112102()()()f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰,11()(0),()(1)(1)p q f x x x f x x x --→-→. 从而 0p >时, (,),(0)B p q q >收敛.2) 在 0,0p q >>连续.0,0p q ∀>>, 1111(1)(1), (,)p q p q x x x x p p q q -----≤-≥≥ (,)B p q ⇒在,p p q q ≥≥上一致收敛.1. 对称性 (,)(,)B p q B q p =作变换1x y =-得 1111110(,)(1)(1)(,)p q p q B p q x x dx y y dy B q p ----=-=-=⎰⎰2. 递推公式 1(,)(,1) (0,1)1q B p q B p q p q p q -=->>+-1(,)(1,) (1,0)1p B p q B p q p q p q -=->>+-(1)(1)(,)(1,1) (1,1)(1)(2)p q B p q B p q p q p q p q --=-->>+-+-3. 其他形式2212120cos , (,)sin cos q p x B p q d πϕϕϕϕ--==⎰10, (,)1(1)p p q y y x B p q dy y y -+∞+==++⎰ 11101, (,)(1)p q p q y y x B p q dy t y --++==+⎰三、Γ函数与B 函数的关系 1) ()()(,)()p q B p q p q Γ⋅Γ=Γ+2) (,1)()(1)sin B p p p p p ππ-=Γ⋅Γ-=3)1()2Γ=(120111()(,)222B πΓ===⎰) 11()2()22Γ-=-Γ=-321()()232Γ-=-Γ-=1()2n Γ+=1()2n Γ-= 4) 20111(,)sin cos (,), (,1)222p q p q I p q x xdx B p q π++==>-⎰ 特别地, 0,1q p =>-时,20(21)!!111()()()22(2)!!1222sin (2)!!22(1)()22(21)!!p n p p p nn xdx p p n p np n ππ-⎧++Γ⋅ΓΓ⎪=⎪===⎨≠⎪Γ+Γ⎪+⎩⎰三、利用Euler 积分求积分 例 1 1)6111()(1)16663dx x π+∞=ΓΓ-=+⎰2)10113(,)4444B ==⎰习 题 课例 1 证明: 10()(,)F y f x y dy =⎰连续, 这里1(,)01x y f x y x y x y>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.例 2 求22222220ln(sin cos ), (0)(0,0)a x b x dx a b a b π++≠>>⎰例 3 求101sin(ln ), (0)ln b ax x dx b a x x->>⎰例 4 证明: 0xy xe dy +∞-⎰在[,],(0)a b a >上一致收敛, 但在(0,]b 上不一致收敛.例 5 求22222(0)a x b x ee dx b a x --+∞->>⎰例 6 1) 对极限202xy xye dy +∞-⎰能否进行极限与积分运算次序.2) 2130(22)xy dy y xy e dx +∞--⎰⎰能否交换积分次序.3) 对230()xy F x x edy +∞-=⎰能否交换积分与求导次序.例 7 设10()(,)()u x k x y v y dy =⎰,其中(1)(,)(1)x y x y k x y y x x y-≤⎧=⎨->⎩,v 为[0,1]上的连续函数, 求证: ()()u x v x ''=-.。
数学分析(下)19-1含参量正常积分
§1含参量正常积分对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.一、含参量正常积分的定义二、含参量正常积分的连续性三、含参量正常积分的可微性四、含参量正常积分的可积性五、例题返回一、含参量正常积分的定义(,)f x y [,][,]R a b c d =´设是定义在矩形区域上的定义在[,]c d 上以y 为自变量的一元函数. 倘若这时(,)f x y [,]c d 在上可积, 则其积分值()(,)d ,[,](1)d c I x f x y y x a b =Îò是定义在[,]a b 上的函数.一般地, 设(,)f x y 为定义在区域二元函数.当x 取[,]a b 上的定值时,函数是(,)f x yG数在闭区间[(),()]c x d x 上可积, 则其积分值()()()(,)d ,[,] (2)d x c x F x f x y y x a b =Îò是定义在[,]a b 上的函数.()I x ()F x 用积分形式(1) 和(2) 所定义的这函数与通称为定义在[,]a b 上的含参量x 的(正常)积分, 或简称为含参量积分.二、含参量正常积分的连续性()I x 的连续性(,)f x y 定理19.1() 若二元函数在矩形区域[,][,]R a b c d =´上连续, 则函数=ò()(,)d dc I x f x y y 在[ a , b ]上连续.证设对充分小的[,],x a b Î,[,]x x x a b +Î有D D (若x 为区间的端点,则仅考虑00x x D D ><或), 于是()()[(,)(,)]d ,(3)dc I x x I x f x x y f x y y +-=+-òD D 由于(,)f x y 在有界闭区域R 上连续, 从而一致连续,0,e >0,d >即对任意总存在对R 内任意两点1122(,)(,)x y x y 与，只要1212||,||,x x y y d d -<-<就有-<1122|(,)(,)|. (4)f x y f x y e 所以由(3), (4)可得, ||,x d D 当时<+-£+-ò|()()||(,)(,)|d dc I x x I x f x x y f x y yD D d ().d c x d c e e <=-ò即I (x ) 在[,]a b 上连续.同理可证:若(,)f x y 在矩形区域R 上连续,则含参量y 的积分=ò()(,)d (5)b a J y f x y x 在[c ,d ]上连续.注1对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:若(,)f x y 在矩形区域R 上连续,则对任何Î0[,],x a b 都有®®=òò00lim (,)d lim (,)d .d d c c x x x x f x y y f x y y 这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的.[,][,][,],a b c d c d ´Á´上连续可改为在上连续其中Á为任意区间.注2 由于连续性是局部性质,定理19.1中条件f 在()F x 的连续性(,)f x y 定理19.2() 若二元函数在区域=££££{(,)|()(),}G x y c x y d x a x b 上连续, 其中c (x ), d (x )为[,]a b 上的连续函数, 则函数=ò()()()(,)d (6)d x c x F x f x y y在[,]a b 上连续.证对积分(6)用换元积分法, 令()(()()).y c x t d x c x =+-当y 在c (x )与d (x )之间取值时, t 在[0, 1] 上取值,且d (()())d .y d x c x t =-所以从(6)式可得=ò()()()(,)d d x c x F x f x y y 10(,()(()()))(()())d .f x c x t d x c x d x c x t =+--ò由于被积函数+--(,()(()()))(()())f x c x t d x c x d x c x 在矩形区域[,][0,1]a b ´上连续,由定理19.1得积分(6)所确定的函数F (x ) 在[a , b ]连续.Dx x a b +Î[,](,)(,),f x x y f x y q e D =+-<d d注由于可微性也是局部性质, 定理19.3 中条件f 与[,][,][,],x f a b c d c d ´Á´在上连续可改为在上连续其中Á为任意区间.四、含参量正常积分的可积性由定理19.1与定理19.2推得:()I x 的可积性(,)f x y 定理19.5() 若在矩形区域[,][,]R a b c d =´[,]a b 上连续,则I (x )与J (x )分别在和[,]c d 上可积.这就是说: 在(,)f x y 连续性假设下, 同时存在两个求积顺序不同的积分:éùêúëûòò(,)d d bda c f x y y x éùêúëûòò(,)d d .dbca f x y x y 与为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作òòd (,)d bdacx f x y yòòd (,)d .dbcay f x y x 与前者表示(,)f x y 先对y 求积然后对x 求积, 后者则表示求积顺序相反. 它们统称为累次积分.在(,)f x y 连续性假设下,累次积分与求积顺序无关.(,)f x y =´[,][,]R a b c d 定理19.6若在矩形区域上连续, 则d (,)d d (,)d .(8)bddbaccax f x y y y f x y x =òòòò证记定理19.3,五、例题ln(1)xy +例3计算积分x x1a a+æö另一方面解由于(9)中被积函数1(,)()()n F x t x t f t -=-以及同理()()().n x f x j =()x j 于是附带说明:当x = 0 时,及复习思考题()(,)d ,dc I x f x y x =ò()I x [,)a +¥能否推得在上一致连续?。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第19章 含参量积分
则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在[ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c
f ( x, y)dy c
fx ( x, y)dy .
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证 对于[a, b]内任意一点x, 设 x x [a, b] (若 x为 区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy .
(1)
是定义在 [ a,b]上的函数.
一般地, 设 f ( x, y)为定义在区域
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G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}
上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在[a, b]上的连
续函数(图19-1),
y
y d(x)
G
y c(x)
限运算与积分运算的顺序是可以交换的.
注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件 f 在 [a,b][c,d ] 上连续可改为在 [c,d ] 上连续, 其中 为任意区间.
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定理19.2 ( F ( x)的连续性 ) 若二元函数 f ( x, y)在区 域 G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}上连续, 其
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dy (d( x) c( x))dt . 所以从(6)式可得
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x) 1 0 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))dt.
由于被积函数 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
第十八章 含参量积分
第十八章 含参量积分第一节 含参量正常积分从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题，首先研究含参量积分.设()y x f ,是定义在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上的二元函数.当x 取[]b a ,上某定值时，函数()y x f ,则是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘若这时()y x f ,在[]d c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为()x I ，就有()()[].,,,⎰=dcb a x dy y x f x I （1）一般地，设()y x f ,为定义在区域()()(){}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,上的二元函数，其中()x c ，()x d 为定义在[]b a ,上的连续函数（图18-1），若对于[]b a ,上每一固定的x 值，()y x f ,作为y 的函数在闭区间()[()]x d x c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记作)(x F 时，就有 )(x F ()()()[].,,, b a x dy y x f x d xc ∈=⎰ （2）图18-1用积分形式所定义的这两个函数（1）与（2），通常为定义在[]b a ,上的含参量x 的（正常）积分，或简称含参量积分.下面讨论含参量积分的连续性、可微性与可积性.定理18-1(连续性) 若二元函数()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则函数 ()()dy y x f dc⎰=,x I在[]b a ,上连续.证 设[]b a x ,∈，对充分小的x ∆，有[]b a x x ,∈∆+（若x 为区间的端点，则仅考虑（0>∆x 或0<∆x ），于是 ()()()[]⎰-∆+=-∆+dcdy y x f y x x f x I x x I .,,)( （3）由于()y x f ,在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即对任给的正数ε，总存在某个整数δ，对R 内任意两点()11,y x 与()22,y x ，只要,||,||2121δδ<-<-y y x x就有()().|,|2211ε<--y x f y x f （4） 所以由(3),(4)可推得；当.||ε<∆x()()()()()⎰⎰-=<-∆+≤-∆+dcd cc d dx dy y x f y x x f x I x x I .|,,|||εε这就证得()x I 在[]b a ,上连续.同理可证：若()y x f ,在矩形区域R 上连续，则含参量y 的积分()()dy y x f y J ba⎰=, （5）在()d c ,上连续.对于定理18-1的结论也可以写成如下的形式：若()y x f ,在矩形区域R 上连续，则对任何[]b a x ,0∈，都有()()⎰⎰→→=dcdc x x x x dy y x f dy y x f |,lim ,lim这个结论表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的. 定理18-2（连续性） 设二元函数()y x f ,在区域(){()()}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,上连续，其中()x c ，()x d 为[]b a ,上连续函数，则函数()()()()dy y x f x F x d x c ⎰=, （6）在[]b a ,上连续证 对积分（6）用换元积分法，令()()()().x c x d t x c y -+=当y 在()x c 与()x d 取值时，t 在[]1,0上取值，且()(()).dt x c x d dy -=所以从（6）式可得()()()()dy y x f x F x d x c ⎰=,=()()()()()()()()dt x c x d x c x d t x c x f --+⎰10,.由于被积函数()()()()()()x c x d x c x d t x c x f --+])(,[在矩形区域[][]1,0,⨯b a 上连续，由定理18-1得积分（6）所确定的函数()x F 在[]b a ,上连续.下面讨论含参量积分的求导与积分运算的可交换性. 定理18-3（可微性） 若函数()y x f ,与其偏导数()y x f x,∂∂都在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上可微，且()()dy y x f x dy y x f dx d d c dc⎰⎰∂∂=,,. 证 对于[]b a ,内任意一点x ，设[]b a x x ,∈∆+（若x 为区间端点，则讨论单侧导数），则()()()()dy xy x f y x x f x x I x x I d c ⎰∆-∆+=∆-∆+,,由微分学的拉格朗日中值定理及()y x f ,在有界闭域R 上连续（从而一致连续），对任给正数ε，存在正数δ，只要当δ<∆x 时，就有εθ<-∆+=),(),(y x f y x x f x x ),(),(),(y x f xy x f y x x f x -∆-∆+其中)1,0(∈θ.因此dyy x f xy x f y x x f dy y x f f x Ix d cx d c ),(),(),(),(-∆-∆+≤-∆∆⎰⎰).(c d -<ε这就证得对一切[]b a x ,∈，有.),()(dy y x f x x I d dd c x⎰∂∂=定理18-4（可微性）设),(),,(y x f y x f x 在[][]q p b a R ,,⨯=上连续，)(),(x d x c 为定义在[]b a ,上其值含于[]q p ,内的可微函数，则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F在[]b a ,上可微，且).())(,()())(,(),()()()(x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x '-'+='⎰（7）证 把)(x F 看作复合函数：).(),(,),(),,()(x d d x c c dy y x f d c x H x F dc====⎰由复合函数求导法则及活动上限积分的求导法则，有).())(,()())(,(),()()()(x c x c x f x d x d x f dy y x f dx dd d H dx dc c H x H x F dx d x d x c x '-'+=∂∂+∂∂+∂∂=⎰关于函数)(x I 和)(x F 的可积性，可由定理18-1与定理18-2推得：定理18-5（可积性） 若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则)(x I 和)(y J 分别在[]b a ,和[]d c ,可积.这就是说：在),(y x f 连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：dx dy y x f ba d c ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡),(与dy dx y x f d cb a ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡),(. 为书写简便起见，今后将上述两个积分写作dy y x f dx bad c⎰⎰),(和dx y x f dy d c ba ⎰⎰),(前者表示),(y x f 先对y 求积然后对x 求积，后者则求积顺序相反，它们统称为累次积分，或更确切地称为二次积分.下面的定理指出，在),(y x f 连续性假设下，累次积分与求积顺序无关. 定理18-6 若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则 dy y x f dx bad c⎰⎰),(=dx y x f dy d c ba ⎰⎰),(. (8)证 记⎰⎰=ua dcdy y x f dx u I ,),()(1⎰⎰=dcuadx y x f dy u I ,),()(2其中[]b a u ,∈，现在分别求)(1u I 与)(2u I 的导数。
数学分析 第十九章 课件 含参变量的积分
d c
| x | ，就有 | f ( x x, y ) f ( x. y ) | 因此只要
y [c, d ] 都成立，因而
| I ( x x) I ( x) | | f ( x + x) f ( x, y ) | dy
c d
d c
d
，对
d c
即
I ( x, u ) 在 ( x0 , u0 ) 点连续，由 I ( x0 , u0 ) [a, b] [c, d ]
的任意性，便证得 I ( x, u ) 在[a, b] [c, d ]连续。 （2）由微积分基本定理，I 对u有连续的偏导数
I f ( x, u ) u
又由定理19.2，I对x也有连续的偏导数
注意到 I(0)=0，故
I (1) I (1) I (0) I ( ) d
0
1
1 1 [ ln 2 ln(1 )]d 2 0 1 4 2 1 ln(1 ) 1 1 2 [ ln(1 ) ln 2 arctan ]| d 0 0 1 2 8 2
0
dx 1 cos x 0
1 arctan t 1 0 1 2 1 2 2
因此
I ( ) 1 2 1 2 (1 1 2 )
积分得
I ( )
d 1 2 (1 1 2 )
则 F ( x)
d ( x)
c( x)
f ( x, y)dy 在[a, b]连续。
证明: 令u=d (x) ,v=c (x), I ( x, u ) f ( x, y)dy
含参量正常积分
( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) ，只要
| x1 x2 | , | y1 y2 | ,
就有
| f ( x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) | .
(4)
所以由(3), (4)可得,
当 | x | 时,
则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在 [ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c f ( x, y)dy c fx ( x, y)dy .
证 对于 [a, b]内任意一点x, 设
区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
x x [a, b] (若 x为
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy .
证 设 x [ a, b], 对充分小的
x 为区间的端点, 则仅考虑
x , 有x x [a, b](若 xx) c [ f ( x x, y) f ( x, y)]dy, (3)
由于 f ( x, y)在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续,
一、含参量正常积分的定义
设 f ( x, y)是定义在矩形区域
R [ a, b][ c, d ]上的
二元函数.当 x取
[ a, b]上的定值时,函数
是 f (x, y)
定义在 [ c, d ]上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时
f ( x, y)在 [ c, d ]上可积, 则其积分值
d
I( x) c f ( x, y)dy , x [a, b]
在矩形区域
[ a , b][0 ,1]上连续, 由定理19.1得积分
第十九章含参量积分
(ii) 、 可微性:
d
R (a x b, c y d ) 上连续,则
若函数 f ( x, y) 与其偏导数 f ( x, y) 都在矩形域 x
I(x) f ( x, y)dy 在 [a, b] 上可微, 且 c d d d f ( x, y )dy f ( x, y )dy c x dx c
d
c
f ( x, y) dy dx dy f ( x, y ) dx dy
b d a c d b c a
b
a d
dx dy
d
c b
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
c
a
要研究这两个积分是否相等？
(iii )、 可积性 : 若二元函数 f ( x, y) 在矩形域R(a x b, c y d ) 上连续,
y1 y2 ,
有 f ( x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) .
故当x 时有
I(x x) - I(x) f ( x x, y) f ( x, y) dy. dx (d c).
c c d
d
从而I ( x)在[a, b]上连续. 同理可证: 若f ( x, y)在矩形域R上连续， 则含参量y的积分
d u c a
其中u [a, b],则
u a
d u I (u ) I ( x)dx I (u ). dx a
J(y) f ( x, y)dx 在[c, d ]上连续. a 注 : 由连续性， 若f ( x, y)在矩形域R上连续， 则x0 [a, b], 都有
x x0 c
含参量正常积分课件
(若x 为区间的端点, 则仅考虑 x 0 或 x 0),
于是 ( x x) ( x)
d
[ f ( x x, y) f ( x, y)]dy, (3)
c
由于 f ( x, y)在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续.
即对任意 0 , 总存在 0 , 对R 内任意两点
( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) ，只要
dx
x c dx d dx
d(x)
c( x) fx ( x, y)dy f ( x, d ( x))d( x)
f ( x, c( x))c( x) .
§1 含参量正常积分 定义 连续性
可微性
可积性
例题
注 由于可微性也是局部性质, 定理19.3 和定理19.4 中条件f 与fx 在 [a,b][c,d ] 上连续可改为在 [c,d ] 上连续，其中 为任意区间.
(6)
在[ a, b]上连续.
证 对积分(6)用换元积分法, 令 y c( x) t(d( x) c( x)) .
§1 含参量正常积分 定义 连续性
可微性
可积性
例题
当 y 在c (x)与d (x)之间取值时, t 在 [0, 1] 上取值, 且
dy (d( x) c( x))dt .
所以从(6)式可得
§1 含参量正常积分 定义 连续性
可微性
可积性
例题
定理19F.2(（x) 的连续性）
若二元函数 f ( x, y) 在区域 G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}
上连续, 其中c(x), d(x)为[ a, b] 上的连续函数,
则函数
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x)
数学分析-第十二章-广义积分与含参变量积分-PPT
f
(x)dx也相应成
立.
9
2.Cauchy收敛原理
定理 1.1. 设 f ( x)在[a, )有定义, 且在任意
闭区间[a, A]上可积.
则
a
f ( x)dx收敛的充要
条件是: 0,X a, 当 A/ , A// X 时,
A//
A/
f ( x)dx
.
推论 1.1.
若
a
f ( x) dx收敛,
则
a
f ( x)dx收敛.
10
定义.
若
a
f(x) dx
收敛,
则称
a
f
(x)dx
绝对收敛.
若
a
f
(x)dx
收敛,
而
a
f(x) dx发散,
则
称
a
f
(x)dx
条件收敛.
11
3. 比较判别法
定理 1.2. 设 f ( x)在[a, )有定义, 且在任意
闭区间[a, A]上可积. 又设存在 X0 a, 使得
31
2.Cauchy收敛原理
定理2.1. 设 f ( x ) 在( a , b ] 有定义, 且在任意闭
区间[a,b](0)可积, a 是瑕点. 则
b
a
f
( x)dx
收敛的充要条件是:
0, 0,
当 0,/ 时,
a/
f (x)dx . a
32
推论2.1. 设 a
是
f
(x)
的瑕点.
若
b
a
f (x) dx
x g( x)
那么得到下列结论
(1)当 0l时,
若
19数学分析课件含参量积分
第十九章 含参量积分目的与要求：1. 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则；2. 掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．3. 了解Γ函数与B 函数的定义与有关性质重点与难点：本章重点是含参量正常积分的连续性，可微性和可积性, 含参量反常积分的一致收敛性概念，性质；难点则是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明第一节 含参量正常积分一 含参量正常积分的概念1 定义设二元函数),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上有定义，且对[]b a ,内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间[]d c ,上可积，则定义了x 的函数)(x I =⎰d c dy y x f ),(，∈x []b a , （1）设二元函数),(y x f 在区域{}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=),()(),(上有定义，函数()()x d x c ,为[]b a ,上的连续函数，且对[]b a ,内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间[])(),(x d x c 上可积，则定义了x 的函数)(x F =()()⎰x d x c dy y x f ),(，∈x []b a ,（2） 称（1）和（2）为含参量x 的正常积分．类似可定义含参量y 的正常积分．二 含参量正常积分的连续性、可微性与可积性1 连续性定理19．1(连续性) 若二元函数),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则函数)(x I =⎰dc dy y x f ),(在[]b a ,上连续．证 设∈x []b a ,，对充分小的x ∆，有∈∆+x x []b a ,（若x 为区间端点则考虑0>∆x 或0<∆x ），于是-∆+)(x x I )(x I =⎰-∆+dcdy y x f y x x f )],(),([ （3）由于),(y x f 在有界闭区域R 上连续，从而一致连续，即对任给的正数ε，总存在某个正数δ，对R 内任意两点()11,y x 与()22,y x ，只要δ<-21x x , δ<-21y y就有 ()()ε<-2211,,y x f y x f （4）所以由（3）（4）可得：当δ<∆x ，)()(x I x x I -∆+≤⎰-∆+d c dy y x f y x x f ),(),(≤⎰dc dy ε=()cd -ε这就证得)(x I 在[]b a ,上连续．（同理，若二元函数),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则函数)(y J =⎰ba dx y x f ),(在[]d c ,上连续．） 定理19．1的结论可写成：若二元函数),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则∈∀0x []b a , 都有 ⎰→d c x x dy y x f ),(lim 0⎰→=dc x x dy y x f ),(lim 0（极限运算与积分运算交换顺序）. 定理19．2(连续性) 设二元函数),(y x f 在区域{}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=),()(),(上连续，其中函数()()x d x c ,为[]b a ,上的连续函数，则函数)(x F =()()⎰x d x c dy y x f ),(，∈x []b a , （6） 在[]b a ,上的连续．证明： 对积分（6）作换元，令))()(()(x c x d t x c y -+=，则)(x F =()()⎰x d x c dy y x f ),(=⎰--+10))()()))(()(()(,(dt x c x d x c x d t x c x f 由于))()()))(()(()(,(x c x d x c x d t x c x f --+在矩形[][]1,0,⨯b a 上连续，由定理19．1即得)(x F 在[]b a ,上的连续.2 可微性定理19．3(可微性) 若函数),(y x f 与其偏导数),(y x f x∂∂都在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则)(x I =⎰d cdy y x f ),(在[]b a ,上可微，且⎰d c dy y x f dx d ),(=⎰∂∂dcdy y x f x ),( 证明：设∈x []b a ,，对充分小的x ∆，有∈∆+x x []b a ,（若x 为区间端点则考虑单侧导数），于是 x x I x x I ∆-∆+)()(⎰∆-∆+=dcdy x y x f y x x f ),(),(. 由于拉格朗日中值定理及),(y x f x ∂∂在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续（从而一致连续），即对任给的正数ε，总存在某个正数δ，只要δ<∆x ，就有 ()()()y x f xy x f y x x f x ,,,-∆-∆+=()()εθ<-∆+y x f y x x f x x ,, ()10<<θ 因此()⎰-∆∆dc x dy y x f x I ,()()()dy y x f x y x f y x x fd c x ⎰-∆-∆+≤,,,()c d -<ε 这就证得对一切∈x []b a ,，有 ()x I dx d =⎰∂∂dc dy y x f x ),(． 定理19．4(可微性) 若函数),(y x f 与其偏导数),(y x f x∂∂都在区域[][]q p b a R ,,⨯=上连续，()()x d x c ,为定义在[]b a ,上其值含于[]q p ,的可微函数，则)(x F =()()⎰x d x c dy y x f ),(， 在[]b a ,上可微，且)(x F '=()()⎰x d x c x dy y x f ),(+)())(,(x d x d x f ')())(,(x c x c x f '- （7）证 把)(x F 看作复合函数：)(x F ＝),,(d c x H =⎰dc dy y x f ),(,其中 ()()xd d x c c ==,由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有)(x F dxd =dx dd d H dx dc c H x H ∂∂+∂∂+∂∂=()()⎰x d x c x dy y x f ),(+)())(,(x d x d x f ')())(,(x c x c x f '-3 可积性定理19．5(可积性) 若二元函数),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则函数)(x I =⎰d c dy y x f ),(和)(y J =⎰ba dx y x f ),(分别在[]b a ,和[]dc ,上可积．证 由)(x I ,)(y J 的连续性即知.定理19．6(可积性) 若二元函数),(y x f 在矩形[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则⎰⎰d c b a dy y x f dx ),(=⎰⎰bad c dx y x f dy ),(证 记()=u I 1⎰⎰d c u a dy y x f dx ),(，()=u I 2⎰⎰ua d c dx y x f dy ),(其中∈u []b a ,，现分别求()u I 1与()u I 2的导数.对于()u I 2，令()y u H ,=⎰u a dx y x f ),(，则有()=u I 2()⎰dc dy y u H ,因为()y u H ,与()y u H u ,=),(y u f 都在R 上连续，由定理19．3()u I 2'=()⎰d c dy y u H du d ,()⎰=d c u dy y u H ,⎰=dcdy y u f ),()(u I = 故得()='u I 1()u I 2'，∈u []b a ,，又()a I 1=()a I 20= 故得()u I 1=()u I 2，∈u []b a ,，取b u =即得⎰⎰d c b a dy y x f dx ),(=⎰⎰b ad c dx y x f dy ),(．三 应用的例例1 求⎰+→++αααα12201lim x dx 解 记()=αI ⎰+++ααα1221x dx ，由于2211,1,ααα+++x 连续，所以 ⎰+→++αααα12201lim x dx ＝41102π=+⎰xdx 例2 计算积分解 考虑()=αI ()dx x x ⎰++10211ln α，由定理19．3 =dx x x x x ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++1022211111αααα =()()10221ln 1ln 21arctan 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++x x x ααα =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++απαα1ln 2ln 214112 所以 ()='⎰10ααd I ()ααπααd ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++1021ln 2ln 21411 =()1021ln 8απ+10arctan 2ln 21α+()1I - =2ln 4π()1I -另一方面 ()='⎰10ααd I ()()01I I -()1I =所以 I ()1I =2ln 8π=例3 设()x f 在0=x 的某个邻域内连续，验证当x 充分小时，函数()x ϕ=()()()⎰---x n dt t f t x n 01!11的各阶导数存在，且()()x n ϕ=()x f . 解 ()t x F ,=()()t f t x n 1--及其偏导数()t x F x ,在原点的某方邻域内连续，()x ϕ'=()()()()⎰----xn dt t f t x n n 021!11()()()t f x x n n 1!11---+ =()()()⎰---xn dt t f t x n 02!21 同理 ()()x k ϕ=()()()⎰-----xk n dt t f t x k n 01!11 特别当1-=n k 时有 ()()x n 1-ϕ=()⎰xdt t f 0， 故 ()()x n ϕ=()x f . 例4 求=I dx x x x ab ⎰-1ln 解 因为 ⎰b a y dy x =x x x ab ln -， 所以=I dx x x x a b ⎰-10ln =⎰⎰b a y dy x dx 10=⎰⎰b a y dx x dy 10=⎰+b a dy y 11=a b ++11ln 注：从例子中可体会到含参量的正常积分的分析性质对一些困难的积分的求出提供了方便.作业 p178 1，2，3，4，5，6.第二节 含参量反常积分一 一致收敛性概念及其判别法1 含参量x 的无穷限反常积分定义设函数),(y x f 定义在无界区域{}b x a y c y x R ≤≤+∞<≤=,),(上，若对[]b a ,内每一个固定的x ，反常积分⎰+∞cdy y x f ),(都收敛，则它的值定义了[]b a ,上一个x 的函数，记为)(x I =⎰+∞cdy y x f ),(，∈x []b a , （1）称（1）式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分.2 一致收敛的定义定义1 若含参量的反常积分（1）与函数)(x I 对任给的正数ε，总存在某个实数c N >，使得当N M >时，对一切∈x []b a ,，都有即则称含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛于)(x I3 一致收敛的柯西准则定理19．7含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某个实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切∈x []b a ,，都有例1 证明参量的反常积分在),[+∞δ上一致收敛（其中0>δ），但在),0(+∞上不一致收敛．证 令 xy u =⎰+∞A dy y xy sin =⎰+∞Axdu u u sin 其中0>A ，由于⎰+∞0sin du u u 收敛，故对任给的0>ε，总存在正数M ，使当M A >'时就有ε<⎰+∞'A du u u sin 取M A >δ，则当δM A >时，对一切0>≥δx ，由⎰+∞A dy y xy sin =⎰+∞Axdu u u sin 有 所以⎰+∞0sin dy y xy 在0>≥δx 上一致收敛． 再证⎰+∞sin dy y xy 在),0(+∞上不一致收敛． 按一致收敛的定义,只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数()c M >，总相应地存在某个M A >及某个()∞+∈,0x ，使得 因⎰+∞sin du u u 收敛，故对任何正数0ε与()c M >，总相应地存在某个()0>x ，使得00sin sin ε<-⎰⎰∞+∞+xM du u u du u u 即有 00sin ε-⎰+∞du u u <<⎰+∞du u u x M sin 00sin ε+⎰+∞du u u令0sin 2100>=⎰+∞du uuε,则可得所以⎰+∞sin dy y xy在),0(+∞上不一致收敛． 4 一致收敛的充要条件定理19．8 含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =()x u n n∑∞=1（7）在[]b a ,上一致收敛．证 [必要性]由（1）在[]b a ,上一致收敛，故对任给的正数ε，必存在c M >，使当M A A >'>''时，对一切∈x []b a ,总有ε<⎰'''A A dy y x f ),( （8）又由()∞→+∞→n A n ，所以对正数M ，存在正整数N ，只要N n m >>时，就有M A A n m >>．由（8）对一切∈x []b a ,，就有 这就证明了级数(7)在[]b a ,上一致收敛. [充分性] 略5 一致收敛的M 判别法设有函数()y g ，使得)(),(y g y x f ≤，b x a ≤≤，+∞<≤y c若()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛．6 一致收敛的狄里克莱判别法（1）对一切实数c N >，含参量的反常积分()⎰Nc dy y x f ,对参量x 在[]b a ,上一致有界，即存在正数M ，对一切，c N >及一切∈x []b a ,，都有()M dy y x f Nc≤⎰,；（2）对每一个∈x []b a ,，函数()y x g ,关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量x ，()y x g ,一致地收敛于0，则含参量的反常积分()⎰+∞cdy y x g y x f ,),(在[]b a ,上一致收敛．7 一致收敛的阿贝尔判别法（1）设⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛（2）对每一个∈x []b a ,，函数()y x g ,关于y 是单调函数，且对参量x ，()y x g ,在[]b a ,上一致有界，则含参量的反常积分，()⎰+∞cdy y x g y x f ,),(在[]b a ,上一致收敛．例2 证明含参量的反常积分dy xxy⎰+∞+021cos 在()+∞∞-,上一致收敛．证 由22111cos x x xy +≤+，因dy x ⎰+∞+0211收敛和一致收敛的M 判别法即可得．含参量的反常积分dy x xy⎰+∞+021cos 在()+∞∞-,上一致收敛． 例3 证明含参量的反常积分dy xxe xy⎰+∞-0sin 在[]d ,0上一致收敛． 证 由dx x x ⎰+∞sin 收敛从而一致收敛，=-xy e 1≤-xye ，()[]d y x ,0),0[,⨯+∞∈及对每一个[]d y ,0∈,xye -单调，据阿贝尔判别法即得含参量的反常积分dy xxe xy⎰+∞-0sin 在[]d ,0上一致收敛．例4 证明：若),(y x f 在[]),[,+∞⨯c b a 上连续，又⎰+∞cdy y x f ),(在),[b a 上一致收敛，但在b x =处发散，则⎰+∞cdy y x f ),(在),[b a 上不一致收敛．证 反证法．假若积分⎰+∞cdy y x f ),(在),[b a 上一致收敛．则对于任给的0>ε，总存在c M >，当M A A >',时对一切∈x ),[b a 恒有， 由假设),(y x f 在[]),[,+∞⨯c b a 上连续，所以⎰+∞cdy y x f ),(在),[b a 上是x 的连续函数．在上面不等式中令b x →，得到当M A A >>'时，而ε是任给的，因此⎰+∞cdy y x f ),(在b x =处收敛，这与假设矛盾．所以⎰+∞cdy y x f ),(在),[b a 上不一致收敛．二 含参量反常积分的性质 1 连续性定理19．9设),(y x f 在[]),[,+∞⨯c b a 上连续，若含参量反常积分)(x I =⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛，则)(x I 在[]b a ,上连续．证 由定理19．8，对任一递增且趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数)(x I =∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛．又由于),(y x f 在[]),[,+∞⨯c b a 上连续，故每个()x u n 都在[]b a ,上连续．由函数项级数的连续性定理，函数)(x I 在[]b a ,上连续． 2 可微性定理19．10设),(y x f 和),(y x f x 在[]),[,+∞⨯c b a 上连续，若含参量反常积分)(x I =⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上收敛，⎰+∞cxdy y x f),(在[]b a ,上一致收敛，则)(x I 在[]b a ,上可微，且 )(x I '=⎰+∞cxdy y x f),(证 对任一递增且趋于∞+的数列{}n A （其中c A =1），令由定理19．3推得 ()⎰+='1),(n nA A xndy y x fx u由⎰+∞c xdy y x f),(在[]b a ,上一致收敛，及定理19．8，可得()='∑∞=x u n n1∑⎰∞=+11),(n A A xn ndy y x f在[]b a ,上一致收敛，据函数项级数逐项求导定理,即得=')(x I ()='∑∞=x u n n1∑⎰∞=+11),(n A A xn ndy y x f=⎰+∞cxdy y x f),(即⎰+∞cdy y x f dxd),(=⎰+∞cxdy y x f),(3 可积性定理19．11 设),(y x f 在[]),[,+∞⨯c b a 上连续，若)(x I =⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛，则)(x I 在[]b a ,上可积，且⎰⎰+∞bacdy y x f dx ),(=⎰⎰+∞cbadx y x f dy ),(证 由定理19．9知)(x I 在[]b a ,上连续从而可积，又由定理19．9的证明函数项级数)(x I =∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛，由逐项求积定理，即有⎰⎰+∞b acdy y x f dx ),(=⎰badx x I )(=()dxx u n ban∑⎰∞=1=∑⎰⎰∞=+11),(n baA A n ndy y x f dx=∑⎰⎰∞=+11),(n A A ban ndx y x f dy=⎰⎰+∞cbadx y x f dy ),(定理19．12 设),(y x f 在),[),[+∞⨯+∞c a 上连续，若（1）⎰+∞adx y x f ),(关于y 在任何闭区间[]d c ,上一致收敛，⎰+∞cdy y x f ),(于x 在任何闭区间[]b a ,上一致收敛， （2）积分()dy y x f dx ca⎰⎰+∞+∞,与()dx y x f dy ac⎰⎰+∞+∞, （18）中有一个收敛，则dy y x f dx ca⎰⎰+∞+∞),(=dx y x f dy ac⎰⎰+∞+∞),(证 不妨设（18）中第一个积分收敛，由此得 也收敛．当c d >时，d I =dy y x f dx dx y x f dy cadca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞-),(),(=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞--addcadcady y x f dx dy y x f dx dx y x f dy ),(),(),(根据条件（1）及定理19．11，可推得d I =⎰⎰+∞+∞addy y x f dx ),(+≤⎰⎰+∞A addy y x f dx ),(⎰⎰+∞+∞Addy y x f dx ),(+≤⎰⎰+∞Aaddy y x f dx ),(dy y x f dx Ad⎰⎰+∞+∞),( （20）由条件（2），对任给的0>ε，有0>G ，使当G A >时，有选定A 后，由⎰+∞cdy y x f ),(的一致收敛性，存在0>M ，使得当M d >时有这两个结果应用到（20）式得到 即0lim =+∞→d d I ，这就证明了（19）式．三 应用举例例5 计算 I =⎰+∞--0sin sin dx xaxbx e px（a b p >>,0）解 x ax bx sin sin -=⎰baxydy cosI =⎰+∞--0sin sin dx x ax bx epx=⎰⎰+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0cos dx xydy e b a px=⎰⎰+∞-0cos xydy e dx bapx由于pxpxexy e--≤cos 及反常积分⎰+∞-0dx epx收敛,所以⎰+∞-0cos xydx e px 在],[b a 上一致收敛.又xy e px cos -在],[),0[b a ⨯+∞上连续,I =⎰⎰+∞-b apx xydx e dy cos 0=⎰+badyy p p22=-p b arctan p a arctan 例6 计算⎰+∞sin dx x ax 解 在上例中,令0=b ,则有)(p F ⎰+∞-=0sin dx xaxe px=p a arctan ()0>p由于上述反常积分在0≥p 上一致收敛.从而)(p F 在0≥p 上连续.⎰+∞sin dx x ax=)0(F )(lim 0p F p +→= ⎰+∞-→+=0sin lim dx xaxe pxp =p a p arctan lim 0+→=a sgn 2π例7 计算 )(r ϕ=dx rx e x ⎰+∞-0cos 2解 由 ≤-rx ex cos 22x e-和⎰+∞-02dx ex 收敛，dx rx e x ⎰+∞-0cos 2一致收敛，类似地 ()dx rx e r x ⎰+∞-∂∂0cos 2=dx rx xe x ⎰+∞--0sin 2也一致收敛，)(r ϕ'=dx rx xe x ⎰+∞--0sin 2dx rx xeAxA ⎰-+∞→-=0sin lim 2=Ax A rx e 0sin 21(lim 2-+∞→)cos 2102⎰--Ax rxdx re=⎰+∞--0cos 22rxdx e rx =)(2r r ϕ-于是 )(ln r ϕ=c rln 42+-， )(r ϕ=42r ce -由 )0(ϕ=⎰+∞-02dx e x =2π， 得)(r ϕ=422r e-π四 含参量的无界函数反常积分设),(y x f 在区域],[],[d c b a R ⨯=上有定义，若对某些x 的值，d y =为函数),(y x f 的瑕点，则称⎰dcdy y x f ),(为参量x 的无界函数反常积分．定义2 对任给正数ε，总存在某正数c d -<δ，使得当δη<<0时，对一切],[b a x ∈，都有则称含参量反常积分⎰dcdy y x f ),(在],[b a 上一致收敛．注：可参照含参量无穷限反常积分的办法建立相应的含参量的无界函数反常积分的一致收敛判别法,并讨论它们的性质. 作业 P189 1，2，3，4.第三节 欧拉积分一 欧拉积分的概念 含参量积分)(s Γ=⎰+∞--01dx e x xs ，0>s 称为格马函数),(q p B =⎰---111)1(dx x xq p ，0,0>>q p 称为贝塔函数注：相当一部分困难的定积分和反常积分（如原函数为非初等函数），可通过合适的变量变换转化为欧拉积分，利用欧拉积分的性质，查表来得到近似值． 二 Γ函数 1 定义域由于格马函数)(s Γ=⎰+∞--01dx e x x s ，0>s 可以写成)(s Γ=⎰+∞--01dx e x x s =⎰--101dx e x xs ⎰+∞--+11dx e x xs ()()s J s I +=（1）定义域 由于()s I =⎰--11dx e x x s 当1≥s 时是正常积分，当10<<s 是收敛的反常积分，()s J =⎰+∞--11dx e x x s 当0>s 是收敛的反常积分，故知Γ函数)(s Γ=()s I +()s J 的定义域为0>s （2）Γ函数在定义域0>s 内连续且可导在任何区间[]b a ,()0>a 上，对于函数()s I ，当10≤<x 时有x a x s e x e x ----≤11，由于⎰--101dx e x x a 收敛，从而()s I 在区间[]b a ,上一致收敛，因而连续， 对于()s J ，当∞+≤x 1时，有xb xs e x ex ----≤11，由于⎰+∞--11dx e x x b 收敛，从而()s J 在区间[]b a ,()0>a 上也一致收敛，因而连续，于是Γ函数)(s Γ=()s I +()s J 在定义域0>s 内连续． 用上述同样的方法考察积分()⎰+∞--∂∂01dx e x s xs ⎰+∞--=01ln xdx e x xs 它在任何区间[]b a ,()0>a 上一致收敛.于是)(s Γ在[]b a ,上可导,由b a ,的任意性,)(s Γ在0>s 上可导,且)(s Γ'⎰+∞--=1ln xdx e xxs ,0>s仿照上面的方法,还可推得)(s Γ函数在定义域0>s 内存在任意阶导数．())(s n Γ()⎰+∞--=1ln dx x e x nx s ,0>s2 递推公式)1(+Γs =)(s s Γ⎰-Axs dx e x 0=Ax sex 0--+⎰--Axs dx e x s 01=As eA --+⎰--Ax s dx e x s 01,令+∞→A 即得 )1(+Γs =)(s s Γ设 1+<≤n s n 则 )1(+Γs =)(s s Γ()()()n s n s s s -Γ--== 1n 为正整数时：)1(+Γn =()()1121Γ⋅- n n =⎰+∞-=0!!n dx e n x3 图象()+∞=Γ+→s s 0lim ，()+∞=Γ+∞→s s lim4 延拓()()ss s 1+Γ=Γ，（除了 ,2,1,0--=s 以外） 5 )(s Γ的其他形式（1）令2y x =可得)(s Γ=⎰+∞--01dx e x xs =⎰+∞--01222dy e y ys ,(0>s )（2）令py x =可得)(s Γ=⎰+∞--01dx e x xs =⎰+∞--01dx e y ppy s s,(0>s ,0>p ) 三 B 函数1 ),(q p B 在定义域0,0>>q p 内连续),(q p B =⎰---111)1(dx x xq p ，0,0>>q p 当1<p 时0=x 为瑕点，当1<q 时1=x 为瑕点，应用柯西判别法可证得当0,0>>q p 时,这两个反常积分都收敛,所以),(q p B 的定义域为0,0>>q p .对于任何00>p ,00>q ，有()()11110011-----≤-q p q p x x x x , 00,q q p p ≥≥，而积分()⎰---111001dx x xq p 收敛,故⎰---111)1(dx x x q p 在00,q q p p ≥≥上一致收敛，因而推得),(q p B 函数在定义域0,0>>q p 内连续.2 对称性 ),(q p B =),(p q B作变换y x -=1，),(q p B =⎰---111)1(dx x xq p =⎰---111)1(dy y y q p =),(p q B3 递推公式),(q p B =()1,11-B -+-q p q p q ， （1,0>>q p ） （8）),(q p B =()q p q p p ,111-B -+-， （0,1>>q p ） （9）),(q p B =()()()()()1,12111--B -+-+--q p q p q p q p ， （1,1>>q p ） 证明 当1,0>>q p 时，),(q p B =⎰---111)1(dx x xq p =()()⎰----+-1211111dx x x p q px x q p q p=()[]()⎰-------1211111dx x x x x p q q p p =()⎰----102111dx x x p q q p ()⎰-----101111dx x x p q q p =()1,1-B -q p p q ()q p pq ,1B -- 移项整理即得 ),(q p B =()1,11-B -+-q p q p q公式（9）可由对称性和公式（8）推得,而最后一个公式则可由公式（8）,（9）推得. 4 ),(q p B 的其他形式 （1）令ϕ2cos =x ，则有),(q p B =⎰---111)1(dx x xq p =⎰--21212cos sin 2πϕϕϕd p q .（2）令yyx +=1，则有 ),(q p B =⎰---111)1(dx x xq p =()dy y y qp p ⎰+∞+-+011.（3）令ty 1=，则有()()⎰⎰+-+∞+-+-=+0111111dt t t dy y y qp q qp p ()dy y y qp q ⎰+-+=111),(q p B =()dy y y qp p ⎰+∞+-+011=()dy y y qp p ⎰+-+111()dy y y qp p ⎰+∞+-++111=()dy y y qp p ⎰+-+111()dy y y qp q ⎰+-++111()dy y y y qp q p ⎰+--++=1111四 Γ函数与B 函数的关系当n m ,为正整数时，由于)1,(m B =mdx x m 111=⎰-， ),(n m B =()1,11-B -+-n m n m n =11-+-n m n 22-+-n m n 11+m )1,(m B=11-+-n m n 22-+-n m n 11+m m1=11-+-n m n 22-+-n m n 11+m m 1()()!1!1--m m()()()!1!1!1-+--=n m m n =()()()m n m n +ΓΓΓ 对于任何实数0,0>>q p 也有相同的关系式（待以后证明）),(q p B =()()()q p q p +ΓΓΓ （0,0>>q p ）作业 P194 1，2，3，4.。
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30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
含参量正常积分
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 —来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
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27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
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28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
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29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克