数字电路(第一章逻辑代数基础)

数字电路技术基础
东南大学计算机系
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刘其奇
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第一章 逻辑代数基础
1-1 概述
1-1-1 数字量和模拟量
自然界中物理量分为两大类：
数字量：它们的变化在时间上和数量上都是离散的； 在时间上不连续。
模拟量：它们的变化在时间上或数值上是连续的。 数字信号：表示数字量的信号，是在两个稳定状态之 间作阶跃式变化的信号。 脉冲：是一个突然变化的电压或电流信号。
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有权码
常用BCD码 十进制数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
无权码
8421BCD
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
5421BCD
0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 1100
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2）变量常量关系定律
0、 1律：A • 1 = A; (2 )
A • 0 = 0;（1）
A + 1 = 1; （11） A + 0 = A（12） ;
互补律：A • A = 0； ） A + A = 1;（14） （4
3）逻辑代数的特殊定律
重叠律：A • A = A； ） A + A = A; （13） （3
Y = A + A BC( A + BC + D) + BC = A + ( A + BC)( A + BC + D) + BC = A + A ( A + BC + D) + BC( A + BC + D) + BC = A + BC
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2）A + A • B = A + B （22）
证明 : A + A • B = ( A + A ) • ( A + B) = A + B
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BCD码不是二进制计数体制
BCD码：4位二进制数表示一位十进制数。 以8421码为例： 表示一位十进制数，和二进制计数体制一致。
（79）10 =（1001111）2
按权相加：64+8+4+2+1 = 79
用8421码表示： （79）10=（0111 1001）BCD
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编码的可靠性
01111000
交换律：AB = BA（5） ;
A + B = B + A（15） ;
; 结合律：A (BC) = ( AB)C（6） A + (B + C) = ( A + B) + C（16） ;
分配律：A (B + C) = AB + AC（7） ;
与对或的分配
A + BC = ( A + B)( A + C); ） 或对与的分配 （17
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4）A • ( A + B) = A
（24）
证明：A • ( A + B) = A • A + A • B = A + A • B = A
（21）式
同（21）吸收法，消去和式
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5）A • B + A • C + B • C = A • B + A • C （25）
证明：A • B + A • C + B • C
余3BCD
0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100
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有权码：8421码、5421码、2421码 四位二进制数各有相应的权。每一位的1在不同代码中代 表固定的数值。
无权码：余3BCD码，也有四位。与8421码比较，对应于 相同的十进制数，余3码比相应的8421码多出0011（3）。 每一位的1在不同代码中不代表固定的数值。
2 13 2 2 2 6 3 1 0 余数 1 0 1 1
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因此：（13）10=（1101）2
十进制净小数用 乘2取整法 例： 将十进制纯小数0.562转换成误差不大于2-6的二进制数
0.562×2=1.124 0.124×2=0.248 0.248×2=0.496 0.496×2=0.992
1 0 0 0
A B
=
Y
同或真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 1 0 0 1
Y = A⊙ B = A • B + A • B
异或逻辑与同或逻辑互为反运算
A ⊕B = A ⊙ B A ⊙ B = A ⊕B
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1-3
逻辑代数的基本公式和常用公式
1-3-1 逻辑代数的基本公式
三大类，八条基本定律 1）与普通代数相似的定律
如果用触发器表示计数器的状态，则4个触发器要同 时发生状态变化。 由于触发器电气、工艺方面的差别，其翻转的速度不 完全一致。可能出现瞬间误码。 011100001000
瞬间误码
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可靠性编码 代码本身具有一种特性和能力，在代码形成过程中不易出 错，或者说代码出错容易发现。 1）格雷码（Gray） 格雷码是这样一种编码：任意两个相邻的数，它们的格雷 码表示形式中仅有一位不同。 因此按格雷码接成计数器形式，每次状态转换过程只有一 个计数器翻转。避免发生竞争—冒险现象。
&
Y A B
Y
≥1 Y = A +B
A
1
Y=A
Y
Y = A•B
复合逻辑运算
&
≥1
Y = A+B
& &
≥1
Y = A•B
Y = A • B+C • D
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异或逻辑
A B
=1
Y
Y = A ⊕B = A • B + A • B
异或真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 0
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同或逻辑
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常用二进制的权
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
2) 十进制转换成二进制 十进制整数用 除2取余法 例：将十进制13转换成二进制形式
A • A • B = A • ( A + B) = A • B
当A和一个乘积项的非相乘时，而且A为乘积项的因子 时，则A这个因子可以消去。消去因子
证明：（ - 2） 26 A • A • B = A • ( A + B) = A • A + A • B = A • (1 + B) = A
当A和一个乘积项的非相乘时，而且A为乘积项的因子 时，结果就是A 。消去因子
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（三）码制
代码：以数字形式出现，已经没有数量的含义，而 是用来表示不同事物的特征。这些数码称为代码。 遵循一定的规则编制代码，这些规则称为码制。
BCD码：十进制数的代码表示。具有二进制形式，却 有十进制数特点。是一种以二进制形式编码的十进制 数码（Binary Coded Decimals）。简称BCD码。 0—9数字，必须用四位二进制数表示。
B A +BA +B A 1 1 0 0
1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0
0 1 1
相等
相等
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1-3-2 逻辑代数的常用公式及公式化简
与—或逻辑表达式：若干乘积项相加的形式。（积之和）
Y = ABC + BC + ACD Y = AC + BC
在与—或逻辑函数式中，若其中包含的乘积项已经最少， 而且每个乘积项里的因子也不能再减少时，则称此逻辑 函数式为最简形式。 逻辑函数式除了与—或形式外，还有与—非、或—非、与 或非形式，根据具体的逻辑器件来决定。
注意：相邻两组代码，彼 此只有一个元素不相同
17Biblioteka 2) 奇偶校验码 奇偶校验代码包含两部分：信息位和奇偶校验位。
两种编码形式：
奇校验：使得一个代码组中信息位和校验位中“1” 的总和为奇数。
偶校验：使得一个代码组中信息位和校验位中“1” 的总和为偶数。
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1-2
逻辑代数中的三种基本运算
基本逻辑运算
A B
(K-1) (K-2) (K-3) (K-4)
0.992×2=1.984
所以
1
(K-5)
最后余小数0.984>0.5，四舍五入K-6=1。 （0.562)10=(0.100011)2
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3）十、二、十六进制的相互转换
二进制转换成十六进制
从最低位开始，四位二进制合成一位十六进制，不足四位， 高位补零。
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V
t
3
模拟电子技术：对模拟信号进行产生、放大、应用 的电路
数字电子技术：专门研究数字信号的产生、整型、 运算、 编码等
数字电路：工作在数字信号下的电子电路称为数字 电路。 数字电路包括脉冲电路和数字逻辑电路
脉冲电路：研究脉冲的产生、变换以及脉冲的测量 等。
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1-1-2
数制和码制
（一）数制：数字量的计数方法
日常生活中计数体制是十进制；
数字电路中使用的数制是二进制和十六进制。
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（二）不同数制之间的转换：
1）二进制转换成十进制
按权相加法：将各位二进制数的权值乘上系数，相加。
例：求二进制数11010.101相应的十进制数。 （11010.101）=124+123+022+121+020+12-1+02-2+12-3 =16+8+0+2+0+0.5+0+0.125=(26.625)10