4第四章导热问题的数值解法
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每一个节点可以看作是以它为中心的一个小区域 的代表。它由相邻两节点连线的中垂线构成，这 个小区域称作元体或控制体。
基本概念：网格线、节点、步长、控制容 积
(m,n) N
n
y
y
x x
M m
（b）
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程 如下： • 首先划分各节点的类型；
2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关 于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近 似解的方法。
连续——离散(任意情况)
一、 数值解法的实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把 原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热 物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替， 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程， 来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。
（5） 求解代数方程组
如前图所示，除 m=1 的左边界上各节点的温度已知外， 其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N个方 程，则构成一个封闭的代数方程组。实际工程问题代数方 程的个数在103-106数量级，只有利用现代计算机才能迅 速获得所需要的解。 1）常物性、无内热源（或具有均匀的内热源）的导热 代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再 变化——线性代数方程组；
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的 数值解。
二、 物理问题的数值求解过程
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
用数值解法求解二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
y
h3t f
t0
h2t f
• 其次，建立节点离散方程； • 最后，代数方程组的形成。
对节点 (m,n) 的代数方程， 当 △x=△y 时，有：
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1)
（4） 设立迭代初场
代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法， 传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用 迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一个 解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进。
2t
m,n
将上式改写成 x2 的表达式，有 m,n
2t tm1,n 2tm,n tm1,n o(x2 )
x2 m,n
x2
同样可得：
2t tm, 2tm,n tm,n1 o(y2 )
y2 m,n
y 2
这是二节导数的差分表达式
表示未明确写出的
级数余项中的ΔX
的最低阶数为2
根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
2t x2
2t y 2
0
得
tm1,n 2tm,n tm1,n tm,n1 2tm,n tm,n1 0
x2
y2
若 △x=△y 则有
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1)
(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体现。
h1t f
x
（1）建立控制方程及定解条件
针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方 程）为：
2t x2
2t y 2
0
（2）区域离散化（确立节点）
用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分 成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定 温度值的空间位置，称为节点 (结点)，节点的位 置用该节点在两个方向上的标号m，n表示。相 邻两节点间的距离称步长。
§4.2内节点离散方程的建立方法
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的 温度ti,j来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j 用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点 (i-1,j)的温度ti-1,j
2）如果物性为温度的函数，则方程的系数不再是 常数，而是温度的函数，这些系数在迭代过程中要 不断更新——非线性代数方程：
3）是否收敛判断：用迭代法求解代数方程是否收 敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所 得之解的偏差是否小于允许值。
（6）解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度分 布，根据温度场应进一步计算通过的热流量， 热应力及热变形等。因此，对于数值分析计算 所得的温度场及其它物理量应作详细分析，以 获得定性或定量上的结论。
t x2 2t x3 3t x4 4t
tm1,n tm,n x x m,n
2
x2
m,n
6
x3
24 x4
m,n
tm1,n
tm,n
x
t x
m,n
x2 2
2t x2
m,n
x3 6
3t x3
m,n
x4 24
4t x4
将上两式相加可得
tm1,n
tm1,n
2tm,n
x2
2t x2
x4 4t 12 x4
对每个元体，可用傅里叶导热定律写出其能量守恒的
表达式。如图所示，从节点 (m-1,n) 通过界面 w 传
导到节点 (m,n) 的热流量：
w
y
tm1,n tm,n x
同理：通过界面 e,n,s 传导给节点（ m,n ）的热流量也可
求得（省略）
n
w
m 1, n
s
m, n 1 m, n m 1, n
m, n 1 e
第四章 热传导问题的数值解法
Numerical Methods of Heat Conduction
主要内容
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 §4-2 内节点离散方程的建立方法 §4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 §4-4 非稳态导热问题的数值解法
1 、重点内容：
① 掌握导热问题数值解法的基本思路； ② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方 程。
对元体 (m,n), 根据能量守恒定律可知：
2 、掌握内容：数值解法的实质。 3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式
及其稳定性。
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
导热问题一般为:
c t (t)
0 t f (x, y.z)
边界条件
上述问题的解法有以下两种:
1. 理论解(analytical method): 通过对上述方程积分求得(有限 情况)。
基本概念：网格线、节点、步长、控制容 积
(m,n) N
n
y
y
x x
M m
（b）
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程 如下： • 首先划分各节点的类型；
2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关 于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近 似解的方法。
连续——离散(任意情况)
一、 数值解法的实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把 原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热 物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替， 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程， 来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。
（5） 求解代数方程组
如前图所示，除 m=1 的左边界上各节点的温度已知外， 其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N个方 程，则构成一个封闭的代数方程组。实际工程问题代数方 程的个数在103-106数量级，只有利用现代计算机才能迅 速获得所需要的解。 1）常物性、无内热源（或具有均匀的内热源）的导热 代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再 变化——线性代数方程组；
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的 数值解。
二、 物理问题的数值求解过程
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
用数值解法求解二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
y
h3t f
t0
h2t f
• 其次，建立节点离散方程； • 最后，代数方程组的形成。
对节点 (m,n) 的代数方程， 当 △x=△y 时，有：
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1)
（4） 设立迭代初场
代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法， 传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用 迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一个 解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进。
2t
m,n
将上式改写成 x2 的表达式，有 m,n
2t tm1,n 2tm,n tm1,n o(x2 )
x2 m,n
x2
同样可得：
2t tm, 2tm,n tm,n1 o(y2 )
y2 m,n
y 2
这是二节导数的差分表达式
表示未明确写出的
级数余项中的ΔX
的最低阶数为2
根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
2t x2
2t y 2
0
得
tm1,n 2tm,n tm1,n tm,n1 2tm,n tm,n1 0
x2
y2
若 △x=△y 则有
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1)
(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体现。
h1t f
x
（1）建立控制方程及定解条件
针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方 程）为：
2t x2
2t y 2
0
（2）区域离散化（确立节点）
用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分 成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定 温度值的空间位置，称为节点 (结点)，节点的位 置用该节点在两个方向上的标号m，n表示。相 邻两节点间的距离称步长。
§4.2内节点离散方程的建立方法
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的 温度ti,j来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j 用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点 (i-1,j)的温度ti-1,j
2）如果物性为温度的函数，则方程的系数不再是 常数，而是温度的函数，这些系数在迭代过程中要 不断更新——非线性代数方程：
3）是否收敛判断：用迭代法求解代数方程是否收 敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所 得之解的偏差是否小于允许值。
（6）解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度分 布，根据温度场应进一步计算通过的热流量， 热应力及热变形等。因此，对于数值分析计算 所得的温度场及其它物理量应作详细分析，以 获得定性或定量上的结论。
t x2 2t x3 3t x4 4t
tm1,n tm,n x x m,n
2
x2
m,n
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m,n
tm1,n
tm,n
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m,n
x2 2
2t x2
m,n
x3 6
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m,n
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4t x4
将上两式相加可得
tm1,n
tm1,n
2tm,n
x2
2t x2
x4 4t 12 x4
对每个元体，可用傅里叶导热定律写出其能量守恒的
表达式。如图所示，从节点 (m-1,n) 通过界面 w 传
导到节点 (m,n) 的热流量：
w
y
tm1,n tm,n x
同理：通过界面 e,n,s 传导给节点（ m,n ）的热流量也可
求得（省略）
n
w
m 1, n
s
m, n 1 m, n m 1, n
m, n 1 e
第四章 热传导问题的数值解法
Numerical Methods of Heat Conduction
主要内容
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 §4-2 内节点离散方程的建立方法 §4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 §4-4 非稳态导热问题的数值解法
1 、重点内容：
① 掌握导热问题数值解法的基本思路； ② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方 程。
对元体 (m,n), 根据能量守恒定律可知：
2 、掌握内容：数值解法的实质。 3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式
及其稳定性。
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
导热问题一般为:
c t (t)
0 t f (x, y.z)
边界条件
上述问题的解法有以下两种:
1. 理论解(analytical method): 通过对上述方程积分求得(有限 情况)。