四章导热问题的数值解法

传热（物理）问题的数值求解过程
建立控制方程及定解条件 区域离散化
建立节点物理量的代数方程 求解代数方程组
获得数值解并分析结果
4.1 有限差分法的基本原理
1、基本思想：
• 将求解区域离散、以节点网格代替物体，以 每个节点的温度作为未知量
• 在节点上用差分代替微分，将微分方程式近 似地变成差分方程式——线性的代数方程组
a(1) n3
a(1) nn
xn
bn(1)
第一列中主元素以下的各元素都化为零
(2) 对n-1阶线性方程组
n
aij(1)xj bi(1)
j2
(i2,n)
进行消元，消元法同上，经过消元以后得另一个新的n阶线性方程组
a11 a12 a13 a1n x1 b1
0
a(1) 22
a(1) 23
a(1) 2n
f(x 2 h ) f(x ) 2 h f(x ) 2 h 2 f(x ) 4 h 3f(x ) 3
(d)
由式(a)得： f(x)f(xh)f(x)O(h)
(e)
h
由式(b)得：f(x)f(x)f(xh)O (h)
(f)
h
由式(a)与式(b)相减得：
f(x)f(xh)f(xh)O (h2) (g) 2h
t
x
t
tf
（e）
图4-4 对流边界节点
假想节点 [(i1),j] 那么，在节点(i，j)处的导热方程的有 限差分形式为：
ti 1 ,j t （ i 1 ） ,j ti,j 1 ti,j 1 4 ti,j l2q v,ji 0 （f）
再利用中心差分公式，边界条件(e)式的有限差分形式为：
t t (i1),j i1,j
边界条件的有限差分形式为：
t t (i1),j i1,j
2l
1ti,j
1tf
(k)
ti,j1 2tli,(j1)2ti,j 2tf
(m)
联立式(j)、式(k)和式(m)，并消去 t (i1), j 和 t i , ( j 1) 得：
[ 2 t i 1 ,j 2 t i,j 1 ( 4 2 l1 2 l2 ) t i,j] ( 2 l1 2 l2 ) t f l2 q v ,j i0
传热学的基本研究方法，a 适应性不好；b 费用昂贵。
数值解法：有限差分法(finite-difference method)、有限元法 (finite element method)、 有限体积法(finite volume method)、 边界元法(boundary- element method)、离散元法(discrete element method)······
第四章 导热问题的数值解法
Numerical method for heat conduction
1 求解导热问题的三种基本方法：
(1) 理论分析法；(2) 数值计算法；(3) 实验法
2. 三种方法的基本求解过程:
(1)理论分析方法: 直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分， 获得解析解 (close solution)
节点的节点方程。有多少个温度未知的节点就列 出多少个方程，将这些线性方程组成线性方程组。
3 求解线性方程组。便得到各节点的温度值。
计算精度取决于网格疏密程度。对于传热 和流体力学问题的求解，一般认为差分法优于 其他数值方法。
4.3 线性代数方程组的求解
4.3.1 直接法 高斯一约当消元法
对于n阶线性方程组
若两个边界都是绝热的，在上式中令 1 2 0 得 ：
2 ti 1 ,j 2 ti,j 14 ti,j l2qv,ji 0
用有限差分法求解二维稳态导热问题的步骤：
1 领域划分。
将物体分割成很多小方块，以每个小方块的中心 为节点，形成有很多节点的网络。
2 列方程。根据表4-1中所列出的公式，找出对应
函数f(xh)、f(xh) 、f(x2h) 、f(x2h) 在点x的泰勒 级数展开式分别为：
f(x h ) f(x ) h f(x ) h 2f(x ) h 3f(x ) (a)
2 !
3 !
f(x h ) f(x ) h f(x ) h 2f(x ) h 3f(x ) (b)
2 !
3 !
f(x 2 h ) f(x ) 2 h f(x ) 2 h 2 f(x ) 4 h 3f(x ) (c) 3
ti,j 1 (2 ty i,)j2 ti,j 1q v,ji 0
如果假定正方形网格为xyl,则：
ti 1 ,j ti 1 ,j ti,j 1 ti,j 1 4 ti,j l2q v,ji 0
物理意义：节点热平衡
2 边界上节点的差分方程式 1. 对流边界节点(i，j)
边界面上的节点(i，j)满足下面的第三类边界条件：
将整个区域划分步长为 x、y 的矩形有限差分网格，
p
节点 p (i, j )的坐标 (x，y)为：
xix y jy
i、j为整数
图4-3间距为Δx、Δy的矩形网格
节点P的温度t（x，y）和热源 qv(x, y)可表示为：
t(x ,y )P t(i x ,j y ) ti,j
q v(x ,y )P q v(i x ,j y ) q v,ji
n
x(1) i
aii1(bi
aijx（j0）)
i1,2,,n
j1 ji
(2) 数值计算法: 把在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离 散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于 这些点上的物理量值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量 的值；并称之为数值解(numerical solution)
(3) 实验法: 在传热学基本理论的指导下，采用实验的方法对所研 究对象的传热过程进行实验研究，从而求得所求量的方法
二阶导数向后差分： f(x)f(x)f(xh 22 h)2f(xh) 二阶导数中心差分： f(x)f(xh)f(hx2h)2f(x)
一阶导数的差分及其误差：
f (x)
f(x)f(xh)f(xh) 2h
f(x)f(xh)f(x) h
f (x)
f(x)f(x)f(xh) h
f '(x)
xh x xh
x
4.3.2 迭代法---逐步逼近求解方程的方法
分类：简单选代法和高斯一赛德尔迭代法
简单迭代法 ：
将方程 改写为
n
aijxj bi
j1
Leabharlann Baidu
(i1,2,n)
n
xi aii1(bi aijxj ) i1,2,,n
j1
ji
假定初值为 x 1 (0 ),x 2 (0 ), ,x n (0 )
将其代入方程上式得
n
aijxj bi
j1
用矩阵形式表示
(i1,2,n)
a11 a12 a1n x1 b1
a21
a22
a2n
x2
b2
an1
an2
ann
xn
bn
消元步骤：
(1) 首先使第一行主对角线上的元素a11为主元素——绝对值最大 的元素。如果主对角线上的元素不为主元素，那么可以利用换行的 方法把主元素调到主对角钱上来，使得其绝对值最大。
引入下列关系式：
x ih ,x h (i 1 )h ,x h (i 1 )h … … f(x )fi,f(x h )fi 1 ,f(x h )fi 1 … …
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一 阶 导 数 向 前 差 分 ： fi '
fi1 h
fi
一 阶 导 数 向 后 差 分 ： fi '
fi1
式中：
f i
df dx
i
fi
d2 f dx 2
i
图4-2 有限差分表达 式的几何意义
向前和向后差分的误差比中心差分的误差高，中心差分应用较广。
4.2 稳态导热问题的差分表达式
1。内部节点的差分方程式
物理性质参数为常数的具有内热源的二维稳态导热方程：
2t 2t qv 0（a）
xix
x2 y2
0 0 0 0 0 0
a1,n 1 a (1)
2,n 1
a(2) 3,n 1
a(n2) n 1,n 1 0
a1n
a (1) 2n
x1
x2
a ( 2 ) 3n
x3
a(n2) n 1,n
a (n1) nn
x
n
1
x n
b1
b (1) 2
=
b (2) 3
x2
b2(1)
0
0
a(2) 33
a3 (2n)x3 b3(2)
0
0
a(2) n3
a(2) nn
xn
bn(2)
(3) 用同样方法进行n—1次消元，最后能得到一个三角形矩阵， 消元过程结束。三角形矩阵为
a11 a12 a13
0
a (1) 22
a (1) 23
0
0
a(2) 33
• 解此代数方程组，得到节点上温度的近似值
2、函数 f（x）在点 x 的导数的有限差分表达式：
函数f (x)在点 x 0 的泰勒级数展开形式为：
f( x ) f( x 0 ) ( x x 0 )f( x 0 ) ( x 2 ! x 0 ) 2f( x 0 ) ( x 3 ! x 0 ) 3 f( x 0 )
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
fi fi1 h
一 阶 导 数 中 心 差 分 ： fi '
fi1 fi1 2h
二 阶 导 数 向 前 差 分 ： f i ''
fi 2 fi1 h2
fi 2
二 阶 导 数 向 后 差 分 ： f i
fi2 2 fi1 h2
fi
二 阶 导 数 中 心 差 分 ： f i
fi1 2 fi h2
[2 ti 1 ,j ti,j 1 ti,j 1 4 ti,j] l2q v,j i 0
2. 两对流边界相交处的节点(i，j)
图4-4 对流边界节点
由于其处于两个边界上，则其边界条件为:
t
x
1t
1tf
xt 2t 2tf
在节点(i，j)处导热方程的有限差分形式可写为：
ti 1 ,j t （ i 1 ） ,j ti,j 1 ti, （ j 1 ） 4 ti,j l2q v,ji 0 (j)
2l ，
ti,j
tf
(g)
联立式(f)和式(g)，并消去t (i1), j 得
[2 ti 1 ,j ti,j 1 ti,j 1 (4 2 l)ti,j] (2 ltf l2q v,j) i 0
如果图中所示边界为绝热边界，则导热方程在节点(i，j)的有
限差分形式可直接在上式中令 0得到，即
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h 2 及 h 3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f(x)f(xh)f(x)
h
一阶导数向后差分： f(x)f(x)f(xh) h
一阶导数中心差分：
f(x)f(xh)f(xh) 2h
二阶导数向前差分： f(x)f(x)f(xh 22 h)2f(xh)
b b
( n
( n
n
n
1
2 1
) )
回代步骤 从第n个方程可得
xn
bn( n1)
a
(n nn
1)
再将解得的 x n代入第n-1个方程解出 x n 1，再将x n ，x n 1
代人第n-2个方程解出x
最后可解得 x 1 。
n
2
。如此不断地回代，
以上的消元过程及回代过程都可编成计算机通用程序。
在节点P，温度对x和y的二阶导数的有限差分表达式：
2t x2
x2t2
ti1,j
2ti,j ti1,j (x)2
P
i,j
2t y2
y2t2
ti,j1(2 tyi,)j2ti,j1
P
i,j
将上式代入方程(a)中可得二维稳态导热方程的有限差分形式为：
ti 1 ,j 2 ti,j ti 1 ,j ( x )2
再将第一个方程乘以 ai1 / a11分别与第i个方程相加（i＝2，…,n） 得一个新的n阶线性方程组
a11 a12
0
a(1) 22
a13
a(1) 23
a1n x1
a(1) 2n
x2
b1
b2(1)
0
a(1) 32
a(1) 33
a 3(1n)x3 b3 (1)
0
a(1) n2
由式(a)和式(c)消去f (x) 得：
f(x)f(x)f(x h 2 2 h ) 2f(x h ) O (h 2) (h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f(x)f(x)f(x h 2 2 h ) 2f(x h ) O (h 2) (i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f(x )f(x h )f(x h ) 2f(x ) O (h 3 ) (j) h 2