动力学中的临界问题

动力学中的临界问题
在动力学问题中，常常会出现临界状态，对于此类问题的解法一般有以下三种方法： 1．极限法：
在题目中如果出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题，处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来，达到尽快求解的目的。

[例1]如图1—1所示，质量为m 的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ，对物体施加一个与水平方向成θ角的力F ，试求：
（1）物体在水平面上运动时力F 的值；
（2）物体在水平面上运动所获得的最大加速度。

解析：要使物体能够运动，水平方向的力必须要大于最大静摩擦力（近似等于此时的滑动摩擦力），当力F 有极小值时，物体恰好在水平面上做匀速直线运动，对物体的受力如图1—2所示，由图示得： N F μθ=cos min ① mg N F =+θsin min ②
解得：θ
μθμsin cos min -=
mg
F ③
当力F 有最大值时，物体将脱离水平面，此时地面对物体的支持力恰好为零，根据受
力分析得：
ma F =θcos max ④ mg F =θsin max ⑤ 解得：θ
sin max mg
F =
⑥ ∴物体在水平面上运动所获得的最大加速度： θgctg a = ⑦
则物体在水平面上运动时F 的范围应满足：
θ
μθμsin cos -mg
≤F ≤θsin mg
[例2]如图2—1所示，质量均为M 的两个木块A 、B 在水平力F 的作用下，一起沿光
滑的水平面运动，A 与B 的接触面光滑，且与水平面的夹角为
，求使A 与B 一起运动时的水平力F 的范围。

解析：当水平推力F 很小时，A
与B 一起作匀加速运动，当F 较大时，B 对A 的弹力竖直向上的分力等于A 地面对A 的支持力为零，此后，物体A 将会相对B 滑动。

显而易见，本题的临界条件就是水平力F 为某一值时，恰好使A 沿AB 面向上滑动，即物体A 对地面的压力恰好为零，受力分析如图2—2。

对整体：Ma F 2= ①
隔离A ：
0=A N ②
图1—1
图1—2
X
图2—1 G 图2—2
Ma N F =-o 60sin ③
060cos =-Mg N o ④
联立上式解得：Mg F 32=
∴ 水平力F 的范围是：0＜F ≤Mg 32
2．假设法：
有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界状态，也可能不会出现临界状态，解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。

[例3]一斜面放在水平地面上，倾角为θ= 53°，一个质量为kg 2.0的小球用细绳吊在斜面顶端，如图3—1所示。

斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计斜面与水平面的摩擦，当斜面以2
/10s m 的加速度向右运动时，求细绳的拉力及斜面对小球的弹力。

解析：根据题意，先分析物理情景：斜面由静 止向右加速运动过程中，斜面对小球的支持力将会 随着a 的增大而减小，当a 较小时（a →0），小球受
此时细绳平行于斜面；当a 足够大时，斜面对小球 的支持力将会减少到零，小球将会“飞离”斜面， 此时绳与水平方向的夹角将会大于θ角。

而题中给
出的斜面向右的加速度2/10s
m a =，到底是属于上述两种情况的哪一种，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定，这是解决此类问题的关键所在。

设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为0a ，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。

对小球受力分析如图3—2所示。

易知：0ma mgctg =θ ∴ 20/5.7s m gctg a ==θ ∵ 2
/10s m a =＞0a
∴ 小球已离开斜面，斜面的支持力N = 0，
同理，由图3—2的受力分析可知，（注意：此时细绳与斜面的夹角小于θ） 细绳的拉力：
T =
==+22)()(22ma mg 2.83牛 方向沿着细绳向上。

3．数学方法：
将物理过程转化为数学表达式，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件。

如二次函数、不等式、三角函数等等。

[例4]如图4—1所示，质量为M 的木块与水平地面的动摩擦因数为μ，用大小为F 的
图3—1
T
ma 图3—2
恒力使木块沿地面向右作直线运动，木块M 可视为质点，则怎样施力才能使木块产生最大的加速度？最大加速度为多少？
解析：设当力F 与水平方向成角θ时，M 的加速度最大，如图4—2所示，对M 有，
Ma F Mg F =--)sin (cos θμθ ①
整理得：g M
F a μθμθ-+=
)
sin (cos ②
由上式可知，当θμθsin cos +取最大值时，a 最大。

令A =+θμθsin cos ③ 则：)sin(1)sin 1cos 11(
12
2
2
2
ϕθμ
θμ
μ
θμμ++=++
++=A ④
其中)11
arcsin(
2
μ
ϕ+=
而=max A 2
1μ+，与此相对应的角θ为：)11arcsin(
2
2
μ
π
θ+-=
⑤
∴ 加速度a 的最大值： g M
F a μμ-+=2max
1 ⑥
说明：此题并非在任何条件下都能达到上述最大加速度的，因为当θ达到一定值时，就有可能使物体脱离地面，因此，F 、M 、μ必须满足一定的取值，即θsin F ≤Mg 。

F
图4—1
F
图4—2。