6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程(2014)
刚体绕定轴转动 力矩讲解
刚体绕定轴转动力矩讲解刚体绕定轴转动是物理学中的一个基本概念，它与我们日常生活紧密相关。
在机器运转、车辆行驶、球类运动、人体姿势等方面都具有重要作用。
力矩的计算可以帮助我们更好地理解刚体转动的规律和特点，以及如何减小运动过程中的摩擦损失。
一、力矩的定义力矩是刚体绕定轴转动的一个重要物理量，表示力对于转动物体的影响程度。
换句话说，力矩代表了力对于旋转的影响。
力矩的定义为力乘以力臂，即M=F×L。
其中，F是施加力的大小，L是施力部分到轴的垂直距离。
力矩的单位是牛·米(N·m)。
二、力矩方向力矩的方向是垂直于力臂和力的平面。
当施加的力垂直于力臂时，力矩的方向与力的方向相同。
当施加的力不垂直于力臂时，力矩的方向与力的方向不同。
例如，当我们开车向左转时，发动机产生的推力作用在车轮上，车轮又通过车轴作用于车身。
此时，车身受到的偏向右侧的推力会以一个垂直于车身和推力平面的方向，产生一个向右的力矩，从而使车身向左旋转。
三、力矩对转动过程的影响力矩的大小和方向直接影响物体旋转的速度和方向。
如果力矩的大小越大，则物体越容易旋转，转动速度也会更快。
反之，如果力矩的大小越小，则物体旋转的速度会变慢，甚至停止旋转。
此外，力矩的方向也会影响物体旋转的方向。
例如，在21世纪以前，人们使用手摇脚踏车等交通工具，脚踩的力矩与轮子的直径就影响了车速。
当轮子的直径越大时，给定的力就可以产生更大的力矩，从而可以更快地旋转轮子，提高车速。
四、力矩对弹性和耗能的影响刚体转动过程中，摩擦力和阻力都会抵消物体的动能，从而减缓物体的运动速度。
为了减小耗能，可以通过减小力矩的大小来实现。
另外，灵活的物体，在旋转过程中会变形，因此会有一部分弹性势能被储存，当刚体停止或者倒转时，则会释放出来，从而重复利用能量。
例如，在儿童玩具模型飞机中，弹性势能的利用充当了关键角色。
当人们给玩具模型飞机的机翼打入动能时，机翼会以某个角度形变，蓄储弹性势能。
工程力学06-刚体绕定轴的转动微分方程分析
在车辆工程中，车辆的动力学分析需要考虑车体的转动惯量、轮胎的阻尼等因素。通过 优化车辆的动力学特性，可以提高车辆的操控性能和行驶稳定性。
05
刚体绕定轴转动的微分方程 的扩展分析
多质点刚体的转动分析
刚体的定义
刚体是一个理想化的物理模型，指在运动过程中，其内部 任意两点间的距离始终保持不变的物体。
外力矩
作用在刚体上的外力对转动轴的力矩 总和，其大小等于力与力臂的乘积， 方向垂直于力和力臂所在的平面。
刚体绕定轴转动的运动微分方程
运动微分方程
描述刚体绕定轴转动的运动状态， 包括角速度、角加速度和外力矩
之间的关系。
转动定律
刚体绕定轴转动的运动微分方程 的一种形式，表述为刚体的转动 惯量与外力矩的乘积等于刚体的
刚体特性
无弹性、无质量、无体积， 只考虑形状和大小。
刚体的分类
根据其形状和大小，可以 分为平面刚体、空间刚体 等。
刚体的转动自由度
自由度定义
描述物体运动状态的独立 变量个数。
刚体的转动自由度
描述刚体绕定轴转动的独 立变量个数，通常为3个。
自由度的计算
根据刚体的形状和大小， 计算其绕定轴转动的自由 度。
角加速度
描述刚体绕定轴转动的加速度， 用矢量表示，其大小等于单位时 间内角速度的变化量，方向与角 速度变化的方向相同。
刚体绕定轴转动的动力学方程
动力学方程
角动量
描述刚体绕定轴转动时所受外力矩与 角动量之间的关系，是刚体动力学的 基本方程。
描述刚体绕定轴转动的惯性性质，等 于刚体的质量乘以质心到转动轴的距 离再乘以角速度。
02 03
刚体的弹性力学分析方法
对于刚体的弹性力学分析，可以采用有限元法或有限差分 法等数值计算方法，将刚体离散化为有限个小的单元，并 建立每个单元的应力-应变关系。通过求解离散化的方程 组，可以得到刚体的位移、应变和应力等参数。
6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程(2014)
外力矩 M
内力矩为0
转动惯量 J
刚体的转动定律 讨论
M Jβ
ri fi
h mi
-fi
(1) 与牛顿定律 F ma 比较
(2) 转动惯量 J Δmi ri
2
三. 转动惯量
定义式 质量不连续分布
J z mi ri
z
2
J z mi ri
2
dm
质量连续分布
r
F
P
h
• •
力矩是矢量 —— 反映力的大小、方向和作用点 在刚体的定轴转动中，力矩矢量只有两个指向
讨论 (1) 力对定轴的力矩
Mo
F
A
力对轴的力矩为 M r ' F O . Z r (2) 力对点的力矩 —更为一般的物体转动 F// MO r F
解
· ·
设 J C k ml 2
k是一个无量纲的量 z
C
立方体绕棱边z的转动惯量为
l 2 1 J z J C m( ) (k ) ml 2 2 2
分成八个相同的小立方体
· ·
他们绕各自棱边的转动惯量为 1 m l 2 J小 (k )（ ） （ ） 2 8 2 八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC 1 8 1 k (k ) k J C 8J小 32 2 6
mg
dm g
M 1 3 3g cos d d mgl cos 2 J 2 ml 2l dt d 3 g cos 3g sin 2 d d 2l l 0 0
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止 求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元
5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程解析
m
R
0
2m 3 m 2 r dr R 2 R 2
10
例3 求质量为m、半径为R、厚为h 的均匀圆盘 的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解: 取半径为r宽为dr 的薄圆环: 圆环质量:
R
h
dm 2πrdr h
圆环转动惯量:
r
dJ r dm 2πhr dr
z
mk ak Fk f k
o
vk
在圆轨迹切线方向 投影： mk ak mk rk Fk f k 两边乘以rk，得：m
2 k k
mk
r Fk rk fk rk
对整个刚体求和,得：
( m r ) Fk rk f k rk
力不在转动平面内时:
h θ
r
A
F Fn F//
F F
M F r sin F h Fτ r
z z
r
F
F
矢量形式： M r F
方向由右螺旋法则确定。
h θ
A
Fn
F
2
二、刚体绕定轴的转动微分方程 作用在 mk 上的合外力 Fk ，合内力 f k
L
0
1 2 2 x dx mL 3
2
O
m
dx C
L
x
1 2 J C x dx mL L /2 12
L /2
m
O
2
L dx
x
1 2 L J D J C mL J C m 此关系具有普遍意义 4 2
13
平行轴定理
J D J C mL
力矩 刚体定轴转动的转动定律解析
如图 dS 2 rdr, m , dm dS 2 rdr R2
dJ r2dm 2 r3dr
J
dJ
R
2
r3dr
1
mR2
0
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
9
例3.1 如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒 的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直； (2)转轴通过棒一端并与棒垂直.
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m dm dx
l
dJ x2dm x2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J
dJ
l
2 l
2
x2dx
1 12
ml 2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
J l x2dx 1 ml2
0
3
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量.
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
二 刚体定轴转动的转动定律
物理学教程 （第二版）
Fit (mi )ait
力矩 刚体定轴转动的转动定律
dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2
m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J
力矩+刚体定轴转动的转动定律
rF
sin
rF
F
Mz
r F
F
·
Fn
F// F
式中为力F到轴的距离
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
F 的两个分力即可。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用 。
第3章 刚体力学基础
第2节
大学物理学(力学和电磁
M 的方向垂直于r和F所决定的平面，指向用右手法则确定。
第3章 刚体力学基础
第2节
2）力矩的单位: 牛·米 (N·m)
大学物理学(力学和电磁
•2
学)
3)
在直角坐标系中，表示式为
i jk
M x yF z zF y
M x y z
M y zF x xF z
Fx Fy Fz
M z xF y yF x
力对固定点的力矩为零的情况：
有两种情况, M 0
(1)力F等于零， (2)力F的作用线与矢径r共线 （力F的作用线穿过O点, 即， 有心力对定点的力矩恒为零）。
有心力的力矩为零
第3章 刚体力学基础
第2节
大学物理学(力学和电磁
•3
学)
２、力对固定轴z轴的力矩：
M z rF sin
r sin F
的乘积等于作用在刚体上的合外力矩。
— 刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与 刚体的转动惯量成反比。
第3章 刚体力学基础
•5
第2节 三 转动定律的应用
大学物理学(力学和电磁
•6
学)
刚体的转动惯量就是组成刚体的各质元的质量与 其到转轴的距离的平方的乘积之和．是刚体转动时惯 性大小的量度．
理论力学第4节 刚体的定轴转动和平面运动微分方程
圆盘质心 加速度
aC
2M 3mR
FN
2）如果作用于圆盘的力偶矩 M
圆盘连滚带滑，所受摩擦力为
3 2
fmgR
时，则
F mgf
aC fg
2(M mgfR) mR2
0
d
dt
maC F
FN mg
1 mR 2 M FR
2
纯滚动 应满足
M C aC
mg F
FN
F f FN
M
3 2
fmgR
解得
F
2M 3R
，M
3 2
RF
，aC
2M 3mR
讨论
M
1）为使圆盘作纯滚动，应满足
作用于圆盘 的力偶矩
M
3 2
fmgR
C aC mg F
• 刚体绕定轴转动的运动微分方程：绕定轴转动的刚 体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作 用在刚体上的所有外力对转轴力矩的代数和。
例11-5 如图所示一均质圆盘质量 m = 100kg，半径 r = 0.5m，转速 n 擦因数 f = 0.6。开始加制动闸，使闸块对轮
dt
J C
n
M C (Fi(e) )
i1
式中 M 为刚体的质量，aC 为质心的加速度，J C为刚 体对通过质心Cz轴的转动惯量。
MaC
F (e) R
y
d(JC)
dt
JC
n
M C (Fi(e) )
i1
d
dt
d 2
第六章刚体动力学_大学物理
第七章机械振动刚体转动的角坐标、角位移、角速度和角加速度的概念以及它们和有关线量的关系刚体定轴转动的动力学方程，熟练使用刚体定轴转动定律刚体对固定轴的角动量的计算，正确应用角动量定理及角动量守恒定理掌握刚体的概念和刚体的基本运动理解转动惯量的意义及计算方法，会利用平行轴定理和垂直轴定理求刚体的转动惯量掌握力矩的功，刚体的转动动能，刚体的重力势能等的计算方法了解进动现象和基本描述§6.1 刚体和自由度的概念一. 力矩力是引起质点或平动物体运动状态(用动量描述)发生变化的原因.力矩则是引起转动物体运动状态(用动量聚描述)发生变化的原因.将分解为垂直于z 轴和平行于z 轴的两个力及,如右图.由于不能改变物体绕z 轴的转动状态,因此定义对转轴z 的力矩为零.这样,任意力对z 轴的力矩就等于力对z 轴的力矩,即力矩取决于力的大小、方向和作用点.在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,因此一般可视为代数量.根据力对轴的力矩定义,显然,当力平行于轴或通过轴时,力对该轴的力矩皆为零.讨论:(1)力对点的力矩.(2) 力对定轴力矩的矢量形式力矩的方向由右螺旋法则确定.(3) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴的力矩.例: 已知棒长L,质量M,在摩擦系数为μ 的桌面转动(如图)求摩擦力对y 轴的力矩.解: 以杆的端点O 为坐标原点,取Oxy坐标系,如图在坐标为x 处取线元dx,根据题意,这一线元的质量和摩擦力分别为则该线元的摩擦力对y轴的力矩为积分得摩擦力对y轴的力矩为注: 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,例如二. 刚体对定轴的转动定律实验证明: 当力矩M为零时,则刚体保持静止或匀速转动,当存在M时,角加速度β与M成正比,而与转动惯量J 成反比,即.也可写成国际单位中k=1.若设作用在刚体上的外力对z轴的力矩总和为合外力矩,刚体对z 轴的转动惯量为J, 则有上式表明,刚体绕定轴转动时,刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用在刚体上所有外力对该轴的力矩的代数和.该式称为刚体绕定轴转动微分方程,也称转动定律.讨论:(1) M 正比于β ,力矩越大,刚体的β越大(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同(3) 与牛顿定律比较,转动定律的理论证明:如右图,在刚体上任取一质量元,作用在质量元上的力可以分为两类:表示来自刚体意外一切力的合力(称外力),表示来自刚体内各质点对该质量元作用力的合理(称内力).刚体绕定轴Z 转动过程中,质量元以为半径作圆周运动,按牛顿第二定律,有将此矢量方程两边都投影到质量元的圆轨迹切线方向上,则有再将此式两边乘以,则得对固定轴的力矩对所有质量元求和,则得等式右边第一项为合外力矩;第二项为所有内力对z 轴的力矩总和,由于内力总是成对出现,而且每对内力大小相等、方向相反,且在一条作用线上,因此内力对z 轴的力矩的和恒等于零.又.则有即证.三. 转动惯量刚体对某Z 轴的转动惯量,等于刚体上各质点的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积之和,即事实上刚体的质量是连续分布的,故上式中的求和可写为定积分,即刚体对轴转动惯量的大小决定于三个因素,即刚体的质量、质量对轴的分布情况和转轴的位置.(1) J 与刚体的总质量有关例 1 两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量解：在如图的棒上取一线元dx,则积分得其转动惯量为显然，本题中，则(2) J 与质量分布有关例2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量解: 在如图的圆环上取一线元dl,则积分得其转动惯量为例3 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量解: 在如图的圆盘上取一宽为dr的圆环带,令,则质量元则积分得圆盘的转动惯量为(3) J 与转轴的位置有关例 4 均匀细棒绕端点轴转动惯量解: 在如图棒上取一线元dx,积分得棒的转动惯量为例 5 均匀细棒对通过中心并与棒垂直得轴的转动惯量解: 如图,以杆的中心O为坐标原点,取Oxz坐标系.积分得棒对z轴的转动惯量为四. 平行轴定理及垂直轴定理1. 平行轴定理设刚体得质量为M,质心为C,刚体对通过质心某轴z(称为质心轴）得转动惯量为.如有另一与z 轴平行的任意轴,且z和两轴间的垂直距离L.刚体对轴的转动惯量设为,则可以证明：.即刚体对任意轴(轴)的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴(z轴)的转动惯量加上刚体的质量与两轴间垂直距离L平方的乘积.这个结论称为平行轴定理.例1 : 求均匀细棒的转动惯量.解: 如图,已知均质杆对质心轴z 的转动惯量为,为通过杆的一端、且与z 轴平行的轴的转动惯量,按平行轴定理有2.垂直轴定理如右图所示, x、y轴在刚体内, z轴垂直于刚体.则刚体对z 轴的转动惯量等于其对x、y轴的转动惯量之和此即为垂直轴定理.例求对圆盘的一条直径的转动惯量解：以圆盘圆心C为坐标圆点,建立xyz 坐标系如右图.易求得圆盘对z 轴的转动惯量为根据垂直轴定理,有又则五. 转动定律的应用举例例1 一轻绳绕在半径r =20 cm 的飞轮边缘,在绳端施以F =98 N 的拉力,飞轮的转动惯量J =0.5 kg·m 2,飞轮与转轴间的摩擦不计,(如图)求: (1) 飞轮的角加速度(2) 如以重量P =98 N 的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度解: (1) 根据转动定律,有(2) 分别对物体和飞轮进行受力分析,如图所示,根据牛顿运动定律和转动定律,有，因为，所以有例2一根长为l , 质量为m 的均匀细直棒,可绕轴O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置求它由此下摆角时的解: 在直棒上取如图的质量元dm ,则积分得整个直棒重力对轴O的力矩为又故由上式可以看出,重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩.则角加速度为:又, 则杆下摆至角速度为例3圆盘以在桌面上转动,受摩擦力而静止求到圆盘静止所需时间解:在圆盘内取一半径为r 的,厚度为dr 的环带, 其质量为该环带的摩擦力对质心轴的力矩为积分得圆盘的摩擦力力矩为由转动定律得所以,得则例4如图一个刚体系统,已知转动惯量,现有一水平作用力作用于距轴为处求轴对棒的作用力(也称轴反力)解: 设轴对棒的作用力为N,分解为.由转动定律得由质心运动定理得解得打击中心则思考题1. 刚体可有不止一个转动惯量吗? 除了刚体的形状和质量以外,要求它的转动惯量,还要已知什么信息?2.能否找到这样一个轴,刚体绕该轴的转动惯量比绕平行于该轴并通过质心的轴的转动惯量小?3.刚体在力矩作用下绕定轴转动,当力矩增大或减小时,其角速度和角加速度将如何变化?4.猫有一条长长的尾巴,它习惯于在阳台上睡觉,因而从阳台上掉下来的事情时有发生.长期的观察表明猫从高层的楼房的阳台掉到楼外的人行道上时,受伤的程度将随高度的增加而减少,据报道有只猫从32层楼掉下来,也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤.为什么会这样呢?(点击图片播放动画)§ 6.2 绕定轴转动刚体的动能动能定理一. 转动动能刚体I 绕定轴z 转动,转动惯量,某时刻t ,角速度ω ,角加速度为β,设想刚体是由大量质点组成,现研究质量为的质点i,如图.显然,质点i 的速度为,由质点动能的定义知,质量i 的动能为由于动能为标量且永为正,故整个刚体的动能E等于组成刚体所有质点动能的算数和,即即绕定轴转动刚体的动能,等于刚体对转动的转动惯量于其角速度平方乘积的一半. 将刚体绕定轴转动的动能与质点的动能加以比较,再一次看出转动惯量对应于质点的质量,即转动惯量是刚体绕轴转动惯性大小的量度.二.力矩的功力的累积过程——力矩的空间累积效应功的定义如图,设绕定轴z 转动刚体上P 点作用有一力,现研究刚体转动时力在其作用点P 的元路程ds 上的功.由图易得即作用在定轴转动刚体上的力的元功,等于该力对转轴的力矩于刚体的元角位移的乘积.这也称为力矩的元功.力矩作功的微分形式对一有限过程刚体从角坐标到的过程中,力矩对刚体所作的功为若力矩M为常数,则上式可以进一步写成既作用在定轴转动刚体上的常力矩在某一转动过程中对刚体所作的功,等于该力矩与刚体角位移的乘积.讨论:(1) 合力矩的功(2) 力矩的功就是力的功(3) 内力矩作功之和为零三. 转动动能定理——力矩功的效果力矩的元功此式表示绕定轴转动刚体动能的微分,等于作用在刚体上所有外力元功的代数和.这就是绕定轴转动刚体的动能定理的微分形式. 若定轴转动的刚体在外力作用下,角速度从变到,则由微分式,可得到式中A 表示刚体角速度从变到这一过程中,作用于刚体上的所有外力所作功的代数和. 上式表明,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量,等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和.这就是绕定轴转动刚体的动能定理的积分形式.刚体的机械能等于刚体的动能、重力势能之和.其中的重力势能为故刚体的机械能又可表示为刚体的机械能守恒,则有对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立.例1一根长为l , 质量为m 的均匀细直棒,可绕轴O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置求它由此下摆角时的解: 易得杆摆至角时对O 轴的力矩为由动能定理,重力矩作的功得又,由此得即例2图示装置可用来测量物体的转动惯量.待测物体A 装在转动架上,转轴Z 上装一半径为r的轻鼓轮,绳的一端缠绕在鼓轮上,另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m 的重物.重物下落时,由绳带动被测物体A绕Z 轴转动.今测得重物由静止下落一段距离h .所用时间为t .求物体 A 对Z 轴的转动惯量.设绳子不可伸缩,绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计.待测物 A 的机械能:重物m 的机械能:由机械能守恒得:又则可得故,物体 A 对Z 轴的转动惯量为思考题1.两个重量相同的球分别用密度为的金属制成,今分别以角速度绕通过球心的轴转动,试问这两个球的能量之比多大?§ 6.3 动量矩和动量矩守恒定律一. 质点动量矩( 角动量) 定理和动量矩守恒定律1.质点的动量矩设一质点在平面S ,如图所示.在时刻t,质点的动量为,对某固定点O质点的位矢为,则质点对O点的动量矩(或质点对O点的角动量)定义为: 位矢和动量的矢积,即根据矢积定义,质点对O点动量的大小为:指向由右螺旋法则确定.(可以证明,质点对某点的动量矩,在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩)特例：质点作圆周运动时,说明: (1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关(2) 当质点作平面运动时,质点对运动平面内某参考点O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩例一质点m ,速度为v ,如图所示A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为.求此时刻质点对三个参考点的动量矩解: 质点对某点的动量矩, 在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩2. 质点的动量矩定理质点为m 的质点，在力的作用下运动，某一时刻t ,质点相对固定点O 的位矢为,速度为,按上述质点动量矩的定义,有两边对时间求导,得由于,故上式右边第二项为零,而第一项中,因此,上式右边第二项是作用在质点上所有力的合力对O 点的力矩,即此式表明,在惯性系中,质点对任意固定点O的动量矩对时间的导数,等于作用在质点上所有力的合力对同一点O 的力矩.这就是质点动量矩定理.质点动量矩定理的微分形式:质点动量矩定理的积分形式:质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量说明:(1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果质点动量矩定理也可直接用来求解质点动力学问题,特别是质点在运动过程中始终和一个点或一根轴相关联的问题,例如单摆运动,行星运动等问题.3. 质点动量矩守恒定律在质点动量矩定理可以看出,当作用在质点上的合力对固定点的力矩恒为零时,质点对该点的动量矩为常矢量,即若时,=常矢量这就是质点动量守恒定律.讨论:(1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一,它不仅适用于宏观体系,也适用于微观体系, 且在高速低速范围均适用(2) 通常对有心力：过O 点,M= 0, 动量矩守恒.例如由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积例发射一宇宙飞船去考察一质量为M 、半径为R 的行星, 当飞船静止于空间距行星中心4R 时,以速度发射一质量为m 的仪器.要使该仪器恰好掠过行星表面求θ 角及着陆滑行的初速度多大解:由引力场(有心力)系统的机械能守恒得由质点的动量矩守恒得则所以有二. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律1. 刚体定轴转动的动量矩刚体以角速度ω 绕定轴z转动时,刚体上任意一点均在各自所在的垂至于z轴的平面那作圆周运动,如图.由于刚体上任一质点对z轴的动量矩都具有相同的方向(或者说都具有相同的正负号),因此整个刚体对z轴的动量矩应为各质点对z轴的动量矩之和,即上式表明,绕定轴转动刚体对z 轴的动量矩,等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积.2. 刚体定轴转动的动量矩定理将动量矩表达式对时间求导,得由于刚体对给定轴的转动惯量是一常量,因此利用前面讲过的转动定律,可以将上式进一步写成上式表明,绕定轴转动刚体对z轴的动量矩对时间的导数,等于作用在刚体上所有外力对z轴的力矩的代数和.这就是刚体绕定轴转动情况下的动量矩定理.动量矩定理微分形式:将上式两边乘以dt并积分,得动量矩定理积分形式:,分别表示在时刻转动刚体对z轴得动量矩,成为在时间内对z 轴得冲量矩.冲量矩表示了力矩在一段时间间隔内的积累效应.上式表明,定轴转动刚体的动量矩在某一时间间隔内的增量,等于同一时间间隔内作用在刚体上的冲量矩.3. 刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律当作用在定轴转动刚体上的所有外力对转轴的力矩代数和为零时,根据动量矩定理式,刚体在运动过程中动量矩保持不变(守恒),即=0时,=常量.以上的讨论是对绕定轴转动的刚体进行的.对绕定轴转动的可变形物体来说,如果物体上各点绕定轴转动的角速度相同,即可用同一角速度来描述整个物体的转动状态,则某一时刻t , 物体对转动轴的动量矩也可表示为该物体在时刻t 对同一轴的转动惯量与角速度的乘积.只是由于物体上各点相对于轴的位置是可变的,所以对轴的转动惯量不再是一个常量,可表示为可以证明,这是可变形物体对转轴的动量矩对时间的导数仍然等于作用于该可变形物体的所有外力对同一轴的力矩的代数和,即仍成立. 这时如果作用在可变形物体上所有外力对该轴的力矩的代数和恒为零,则在运动过程中,可变形物体对转轴的动量矩保持不变(守恒).更一般地说,如果作用在质点系上所有外力对某一固定轴的力矩之和为零,则质点系对该轴的动量矩保持不变,这是动量矩守恒定律的更为一般的表述形式.动量矩守恒定律在实际生活中及工程中有着广泛的应用.例如花样滑冰的表演者可以容过伸展或收回手脚(改变对轴的转动惯量)的动作来调节旋转的角速度.例一长为l 的匀质细杆,可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动,开始时杆静止于水平位置.一质量与杆相同的昆虫以速度垂直落到距O点l /4 处的杆上,昆虫落下后立即向杆的端点爬行,如图所示.若要使杆以匀角速度转动.求昆虫沿杆爬行的速度解:设杆和昆虫的质量均为m ,昆虫与杆碰后以共同的角速度转动.昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统,和外力矩为零,动量矩守恒,故有化简此式可得杆的转动角速度,即由题可知,此后杆以此角速度作匀速转动.设碰后t 时刻,杆转过角,昆虫爬到距O 点为r的位置处, 此时,昆虫和杆系统所受合外力矩为根据动量定理,有由题设不变,所以其中的值为带入上式有因此,为了使保持不变,昆虫的爬行速率应为说明:此题使一个系统绕定轴转动问题.在解此题的过程中应用了动量矩定理,该定理与刚体绕定轴转动定律的区别.三. 进动如图为一玩具陀螺,我们发现如果陀螺不绕自身对称轴旋转,则它将在起重力对质点O的力矩作用下翻到.但是当陀螺以很高的转速绕自身对称轴(称作自转或自旋)时,尽管陀螺仍然受重力矩作用,陀螺却不会翻到.陀螺的重力对O点的力矩作用结果将使陀螺的自转轴沿虚线所示的路径画出一个圆锥面来.我们称陀螺高速旋转时,其轴绕铅直轴的转动为进动.陀螺绕其对称轴以角速度高速旋转,如下图.对固定点O,它的动量矩L 可近似(未计进动部分的动量矩)表示为作用在陀螺上的力对O 点的力矩只有重力的力矩.显然, 垂至于动量矩矢量,按动量矩定理→可见在极短的时间内,动量矩的增量与d与平行, 也垂直于.这表明,在dt 时间内,陀螺在重力矩作用下,其动量矩的大小未变,但方向却改变了(方向绕铅直轴z 转过了dθ角)事实上,由于,带入动量矩定理式中.得所以,若陀螺自转角速度保持不变,则进动角速度也应保持不变.实际上由于各种摩擦阻力矩的作用,将使不断减小,与此同时,进动角速度Ω 将逐渐增大,进动将变得不稳定.以上的分析是近似的,只适用于自转角速度比进动角速度Ω 大得多得情况.因为有进动的存在,陀螺的总动量矩除了上面考虑到的因自转运动产生的一部分外,尚有进动产生的部分.只有在时,才能不计及因进动而产生的动量矩.思考题1. 如果一个质点在作直线运动,那么质点相对于那些点动量矩守恒?2. 如果作用在质点上的总力矩垂直于质点的动量矩,那么质点动量矩的大小和方向会发生变化吗?3. 当刚体转动的角速度很大时,作用在上面的力及力矩是否一定很大?4. 一个人随着转台转动,两手各拿一只重量相等的哑铃,当他将两臂伸平,他和转台的转动角速度是否改变?5. 试说明: 两极冰山的融化是地球自转速度变化的原因之一.。
刚体定轴转动的转动定律力矩PPT
求 θ角及着陆滑行时的速度多大？
解 引力场（有心力）
v0
系统的机械能守恒
质点的动量矩守恒
m r0
v R
OM
m 1 2m v v 0 r 00 2s iGπ n r0 M) ( 1 2 m m m vv 2 R GRMm vv0r0R sin4v0sin
sin14123RGv0M 21/2
1/2
LZ Δmiviri Δmiri2 JZ
i
i
LZJZ(所有质元对 Z 轴的动量矩之和)
2. 刚体定轴转动的动量矩定理
对定轴转动刚体，Jz 为常量。
dLZ dt
JZ
d
dt
dLZ dt
Mz
M zd t d L z d J
动量矩定理 微分形式
t1 t2M zd t 1 2d JJ2 J1（动量矩定理积分形式）
0tm1m 1m 2m 21 2 gmtr
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体定轴转动的动能
Δ m 1 ,Δ m 2 ,,Δ m k ,,Δ m N r 1 ,r 2 ,,r k ,,r N v 1 , v 2 , , v k , , v N
Δmk 的动能为
Ek 12Δmkvk212Δmkrk22
F FF Fn
2)力对点的力矩
Mo
M O r F
F
大小 M OrF sin
O . r
指向由右螺旋法则确定 力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
F
M Z r F
（力对轴的力矩只有两个指向）
r
A
FF
2. 刚体定轴转动的转动定律
第 k个质元 F k f k m k a k
《刚体的定轴转动》课件
实例二
陀螺在受到外力矩作用后发生定轴转动。分析过程中应用了转动定 律，解释了陀螺的进动现象。
实例三
电风扇在启动时，叶片的角速度从零逐渐增大到稳定值。分析过程中 应用了转动定律，解释了电风扇叶片角速度的变化规律。
CHAPTER
03
刚体的定轴转动的动能与势能
动能与势能的定义
动能定义
物体由于运动而具有的能量，用 符号E表示，单位是焦耳(J)。
势能定义
物体由于相对位置或压缩状态而 具有的能量，常用符号PE表示， 单位是焦耳(J)。
刚体的定轴转动动能与势能的计算
转动动能计算
刚体的转动动能等于刚体绕定轴转动的动能，等于刚体质量与角速度平方乘积的一半， 即E=1/2Iω^2。
势能计算
刚体的势能等于刚体各质点的势能之和，等于各质点的位置坐标与相应的势能函数的乘 积之和。
01
数学表达式：Iα=M
02
转动惯量的计算：根据刚体的质量和形状，可以计算出其转动
惯量。
角加速度的计算：根据作用在刚体上的外力矩和刚体的转动惯
03
量，可以计算出其角加速度。
转动定律的实例分析
实例一
匀速转动的飞轮在受到阻力矩作用后，角速度逐渐减小，直至停止 转动。分析过程中应用了转动定律，解释了飞轮减速直至停止的原 因。
CHAPTER
02
刚体的定轴转动定律
转动定律的内容
刚体定轴转动定律
对于刚体绕固定轴的转动，其转动惯量与角加速度乘积等于作用 在刚体上的外力矩之和。
转动定律的物理意义
描述了刚体在力矩作用下绕固定轴转动的运动规律。
转动定律的适用范围
适用于刚体在力矩作用下的定轴转动，不适用于质点和弹性体的转 动。
刚体的定轴转动
r1
r2
d
f1
内力中任一对作用力与反作用力大小 相等，方向相反，则任一对作用力与反作 用力的力矩相加为零。
f r sin 0 F r sin f r sin (
合内力矩
i i
i i i
f2
2
i
i i
i
刚体定轴转动的转动定律
M J
mi ri )
dV 2rdr
2 R2
1
J r dV R 2r dr
3
l
R1
R2
1 4 4 R2 R1 2
1 mR12 R22 2
1 2 2 2 2 l R2 R1 R1 R2 2
小结：
10.刚体的转动惯量决定于刚体各部分的质量对给 定转轴的分布情况。 (1) 与刚体的质量有关 （2) 在质量一定情况下，还与质量的分布有关， 亦即与刚体的形状、大小和各部分的密度有关。 (3) 转动惯量与转轴的位置有关 20.Ｊ的单位: SI 千克·米2(kg·m2) ；
ω v
动平 面 转
ω
0
θ
P
X
方向：当刚体转动加快时角加速度方向与角速度 方向相同；当刚体转动减慢时两者方向相反。
d d 2 2 dt dt
ω
与 方向相同
设向上为正方向
角速度增量 2 1
ω2 ω1
当刚体转动加快ω 2＞ω 1，则Δ ω ＞0，β 为正值，方向向上； 当刚体转动减慢ω 2＜ω 1，则Δ ω ＜0，β 为负值，方向向下。 若角加速度为恒矢量，这种变 速转动称为匀变速转动 0 t 运动方程：
刚体的定轴转动定理和方程
N
N
N
F irisin i firisiin ( m iri2)
i 1
i 1
i 1
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
N
firi sini 0
i1
N
N
得到： Firisini (miri2)
i1
i1
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表
示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚
A r1 o 1
A
B r2
o2
B
角速度 d
dt
角加速度 d
dt
•刚体定轴转动的运动学
转动平面:
p'
刚体上垂直转轴 的平面
p
坐标系如图：O 点是转轴
0
x
和平面的交点
转动方向逆时针方向为正
P 为刚体上的任一质点其角坐标可确定刚体在空间的 位置
角坐标: ft 左式为定轴转动的运动方程
角位移: 21
N21.62
圈
(4) ' t' 0 .8 ra /sd
a n r ' 2 0 .3m 2 /s 2
at
a ' a 2 n a t 2 0 . 5 m s 2 1a
合加速度的方向与轮缘切线方向夹角
arctaann 38.70
at
a
an
§5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一. 力矩
理论计算 J
miri2（分立）单位：
r2dm（连续）kg m2
例：
mr
O
dm
一质点对O点：J = m r 2
同样质量做成半径r 的圆环，对中心轴
大学物理-力矩-转动定律-转动惯量
F
p
18
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
J 0.5
mg T ma
(2) Tr J
a r
两者区别?
rO
F T
T
J
mgr mr 2
98 0.2 0.5 10 0.22
i
J r2dm
9
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四. J 的计算
质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
对质量体分布的刚体：
在圆规迹切线方向
mk ak mk rk Fk fk
两边乘以rk，并对整个刚体求和
第二章 动力学基础
z
o
vk
mk
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
k
k
k
5
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
17
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四、转动定律的应用举例
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘， 在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。
rO
求: (1) 飞轮的角加速度。
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。
刚体的定轴转动定律
r
F F
其中,d为转轴到力的作用线的垂直距离,称为力臂 3.若作用于刚体的力与转轴既不平行也不垂直时, 可将力分解为平行和垂直于轴的两个分力,再计算
二、定轴转动定律
质点系的角动量定理: dL 对于刚体,这一关系照 M 样成立，因刚体也是一 dt 个质点系。
Z
但对定轴转动，比如刚体绕Z轴运动， 就只要考虑沿Z轴方向的分量。
J M1
t
解： 以刚体为研究对象 ,以M0的方向为轴的正方向,则:
M 0 M 1 J M 0 a
d dt M 0 a J
J
M 0 a dt J
d
dt J
0
M 0 a
at J
0
1 a
M 0 (1 e
)
例4 设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能 自由旋转，设此杆自水平静止释放。求： 1)当杆与铅直方向成角时的角加速度： 2)当杆过铅直位置时的角速度： 已知：m，L 求：，，N 解：以杆为研究对象 建立OXYZ坐标系
N
M
抵消
T2 T1 ' m g T ' 3 2
T1
r
已知： 1 , m2 , m3 , r m 求： a1 , a2 , T1 , T2 解：以 m1 , m2 , m3 为研究 对象。 受力分析：m1 m1 g.T1 '
m1
m1 g
a1
m2
m2 g
m2 m2 g.T2 ' m3 m3 g , N, T1 , T2
a+
m1g - T= m1a….(1) (2m1 m2 )r T’r=J…(2) m1m2 g 2m1 g T a 2 …(3) J mr / 2 2m m 2m m
刚体的定轴转动和平面运动微分方程
（c）
（d）
（e）
二、刚体的平面运动微分方程
应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，可建立起刚体平面运
动微分方程，研究刚体平面运动的动力学问题。
设刚体具有质量对称平面，在该平面内受到平面力系
F1(e) ，F2(e) ，F3(e) ， ，Fn(e) 的作用，刚体将在该平面内运动。
根据运动学，平面运动可分解为随基点的平动
（e）
（4）根据刚体平面运动微分方程，可得
maCx FB
（f）
maCx FA mg
（g）
J C FAl cos FB l sin
（h）
将式（d）、式（e）分别代入式（f）、式（g）得
FB m( 2l cos l sin )
（i）
FA mg m( 2l sin l cos )
由于轴承 A ，B 处的约束力的对于 z 轴的力矩
等于零，根据刚体对 z 轴的动量矩定理，有
dLz
M z ( F (e) )
dt
d
J z M z ( F (e) )
dt
图10-18
或
J z M z ( F (e) )
（10-24）
d2
J z 2 M z ( F (e) )
n
MaC F (e)
d
(e)
( J C ) M C (F )
dt
图10-21
式中，M为刚体的质量；J 为刚体对质心C的转动惯量。
将上面第一式写成投影的形式，并注意到
C
d 2 xC
d 2 yC
d
aCx 2 ，aC y 2 ，
力矩_刚体定轴转动定律
m2
m1
1 2
m
r
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，
有
T1
T2
2m1m2 m2 m1
g
a m2 m1 g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量
重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和 J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，
再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1 和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小， 这样就能角精确地测出a来。
注 （1）在定轴动问题中 ，如不加说明，所指的力矩 是指力在转动平面内的分力 对转轴的力矩。
力矩
（2） M Z rF2 sin F2d
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
（3） F1 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
rF2ຫໍສະໝຸດ （4）在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
定轴转动定律
此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M rdmg g rreddr
ge02
d
R
0
r
2dr
2 geR3
3
因m=eR2，代入得
M
2 mgR
3
根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即
获得负的角加速度.
定轴转动定律
2 mgR J 1 mR2 d
N
firi sin i 0
i1
定轴转动定律
得到：
N
Firi
sin i
N
(mi
工程力学—刚体定轴转动微分方程
6.2 刚体对轴的转动惯量
由前知，刚体对轴 z 的转动惯量定义为：刚体 上所有质点的质量与该质点到轴 z 的垂直距离的平
方乘积的算术和。即 Iz miri2
对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式
动惯量, 于是得
r
IZ MZ (Fi )
或
d
r
Iz dt Mz (F)
d2
r
Iz dt2 Mz (F)
刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用 于刚体上的外力对该轴之矩的代数和。以上各式均称为刚 体绕定轴转动的微分方程。应用刚体定轴转动的微分方程 可以解决动力学两类问题。
6.2.3 平行移轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通 过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的 质量与两轴间距离平方的乘积，即
I z I zC md 2
z
Iz
l d x m x2 1 ml2
0l
3
O
Iz1
l
2 l
2
m l
d
x
x2
1 12
(2)
z1 z
z2
ab
C
(1)－(2)得
I2 I1 m(b2 a2 )
例2 均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对 轴O的转动惯量。
O
解： I O IOA I AB
l
2l
A
B
2l
1 ml2 1 (2m)(2l)2 (2m)( 2l)2 3 12
5ml2
0
刚体绕定轴转动 力矩解读
dm dr krdr
m dm
0
m
L
1 2 krdr kL 2
x
x dx
2m 2mrdr k 2 , dm L L2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M dM
0
2 mg df dm g rdr 2 L dM rdf L 2mg 2
L2
2 r dr mgL 3
力对定点o的力矩
Mo
O .
F
r
说明：可以证明：力对任意点的力矩，在通过该点的任一
轴上的投影，等于该力对该轴的力矩。
例 已知棒长 L ,质量 m，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图) 求 摩擦力对y轴的力矩 解
y
m L
M dm dx L
根据力矩
df dm g
O
x dx
x
吊箱平动
x A xB R cos(t 0 ) y A yB L R sin(t 0 ) L
2 xA ( y A L) 2 R 2
v Ax v Ay
dx A R sin(t 0 ) dt dy A R cos(t 0 ) dt
刚体
v
P
r'
v r' an r ' 2 dv a r' dt
r
×O
角速度与角加速度的矢量表示
① 对于角速度矢量，规定：角速度矢量的大小就是角速度的 大小，方向沿转轴方向，其指向由右手螺旋法则确定：右 手四指指向刚体转动方向，拇指指向为 方向。 ② 角加速度矢量
r 3i 4 j 5k (m) 求 p点的速度
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例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 x 面内转动，初始时它在水平位置 m l O 求 它由此下摆 角时的 x
解 取一质元
M mgxC
M xdm g g xdm
C
dm
由转动定律
1 M mgl cos 2
xdm mxC
m
J z :刚体绕任意轴的转动惯量 JZ ? J c :刚体绕通过质心轴的转动惯量
JC
d :两轴间垂直距离
例 均匀细棒的转动惯量
z
z
L m
L/ 2
L 1 2 J Z m mL JZ 2 3
2
1 J z ML2 12
薄板垂直轴定理
z x
y
Jz Jx Jy
2
外力矩 M
内力矩为0
转动惯量 J
刚体的转动定律 讨论
M Jβ
ri fi
h mi
-fi
(1) 与牛顿定律 F ma 比较
(2) 转动惯量 J Δmi ri
2
三. 转动惯量
定义式 质量不连续分布
J z mi ri
z
2
J z mi ri
2
dm
质量连续分布
解
· ·
设 J C k ml 2
k是一个无量纲的量 z
C
立方体绕棱边z的转动惯量为
l 2 1 J z J C m( ) (k ) ml 2 2 2
分成八个相同的小立方体
· ·
他们绕各自棱边的转动惯量为 1 m l 2 J小 (k )（ ） （ ） 2 8 2 八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC 1 8 1 k (k ) k J C 8J小 32 2 6
m
G T T t h
v0=0
mg T ma
运动学方程
a
a R
1 2 h at 2
mg
gt 2 Jo ( 1)mR 2 1.14kg m 2 2h
例 一不变的力矩M作用在绞车的鼓轮上使轮顺时针转动，如图 所示。 绳子的质量忽略不计， 鼓轮可看作均质圆柱。 开始时此系统静止， M 求 鼓轮转过角j 时，绳中的张力及鼓轮的角速度 r m1 解 对鼓轮 使用转动定律 m2
(2)
rO
T F
T
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mg
mg T ma Tr J a r
mgr 2 J mr 98 0.2 2 21 . 8 rad/s 2 0.5 10 0.2
例 一个作定轴转动的轮子，对轴的转动惯量为J=2.0kg．m2 ， 正以角速度ω0匀速转动。现对轮子加一恒定的力矩 M=-7.0N·m，经过时间t=8.0s时轮子的角速度为-ω0 求 ω0
d 解 M J dt
0 Mdt
t
0
0
Jd
Mt 2 J 0
0 14rad / s
例 R=0.2m, m=1kg, h=1.5m, v0=0 。绳轮无相对滑动，轻绳不 可伸长，下落时间t=3s
求 J0
解 由转动定律得
N
R 定轴O
TR J 0
由牛顿定律得
则填满后的总质量为m+m/
m m/ π R2 R2 2 2 / m πr r
2 mr m/ 2 2 (R r )
1 J 满 （m m /）R 2 2
J小o
1 / 2 m r m/ d 2 2
J J 满 J 小o
d
例 求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量
mg
dm g
M 1 3 3g cos d d mgl cos 2 J 2 ml 2l dt d 3 g cos 3g sin 2 d d 2l l 0 0
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止 求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元
§6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一. 力矩
• •
力
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度 z
定义： 力 F 的大小与 O 点到 F 的
作用线间垂直距离 h 的乘积
Mz
O
M z ( F ) Fh Fr sin 矢量式 Mz r F
(3) J 与转轴的位置有关 z O M L z M x O
L/ 2
R dr r O
m
L dm
2
J
L
0
1 2 x dx ML 3
2
dm
x
1 J x dx ML2 L / 2 12
结论：刚体的转动惯量与刚体的质量、质量分布和转 轴的位置均有关
平行轴定理
z d C
J z J c md 2
m, a
根据牛顿第二定律，第 i 个质元
圆周轨迹切线投影 同乘以 ri 对所有质元求和
Fi fi mi ai
外 力
内 力
Fi fi mi ai Fi ri fi ri mi ai ri mi ri 2β
ai=ri
Fi r i fi r i ( mi ri ) β
dm ds 2π rdr
R
dM rdf r gdm
R
2 摩擦力矩 M dM mgR 0 3 2 1 d 2 d 由转动定律 M J mgR mR 3 2 dt dt t 0 3R 3R 0 t 0 dt 0 4gd 4g
m
J R dm R
2 0
2 m
0
2 mR dm
问题
质量分布的均匀性对圆环绕 中心轴旋转的转动惯量有影响吗?
例 质量均匀分布的圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds 2π rdr m 2mr 2π rdr 2 dr dm ds 2 πR R R 2m 3 m 2 m 2 J r dm 2 r dr R 0 R 0 2
说明
F
(1) 力对任意点的力矩，在通过该点 的任一轴上的投影，等于该力对 该轴的力矩。
(2) 力矩随参考点而变
O r
A
F
例 已知棒长 L ,质量 m，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图) 求 摩擦力对转轴的力矩
m df dm g 解 dm dx m L L m 根据力矩 dM gxdx O x L L m 1 d x M gxdx mgL 0 L 2
z 例 求对薄圆盘的一条直径的转动惯量
m 圆盘 R
1 2 已知 J z mR 2 Jz Jx Jy
垂直轴定理
C
y
Jx Jy
1 J x J y mR 2 4
x
例 求对过圆环中心且垂直于圆 环平面的转轴O 的转动惯量
解 J 棒，c
3r
m
m r O
C
1 m(3r ) 2 12
m
Байду номын сангаас
r
J r dm
2 V
•
转动惯量的三个要素
z M dm L x
(1) J 与刚体的总质量有关 例 两根等长、质量均匀分布的
O
x
细木棒和细铁棒 绕端点轴 转动惯量 L 2 L 2 M 1 2 J x dx 0 x dx ML 0 L 3
J铁 J木
R O m
(2) 当刚体质量一定，J 与质量分布有关 dm 例 圆环绕中心轴旋转的转动惯量
M J
刚体的定轴转动定律
M kJ
M z Jz
刚体绕 z 轴转动 的角加速度
作用在刚体上所有的外力对 刚体对 z 轴 定轴 z 轴的力矩的代数和 的转动惯量 说明 (1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 (3) 与牛顿定律比较： M F, J
即
1 J C ml 2 6
五. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98N 的 拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5kg· m2，飞轮与转轴间的摩擦不 计， 求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P=98N的物体挂在绳
端，试计算飞轮的角加速度 解 (1) Fr J
例 一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量
1 2 J ml ，现用一水平冲力作用于距轴为 l' 处 3
求 轴对棒的作用力(也称轴反力)。 解 设轴对棒的作用力为 N , 由转动定律
Ny
O
Nx
Nx, N y
Fl ' J
l' F
C
mg
l 质点系 由质心运 F N x macx m 2 l 2 动定理 N y mg macy m 0 打击中心 2 ml Fl ' 3l ' 2 Nx F F ( 1) l' l Nx 0 2 J 2l 3 N y mg • 质心运动定理与转动定律联用
J 棒，O
3 2 J 棒，C m( r r ) 2
J 环,o mr
2
J O J 环，O J 棒，O 8mr 2
例 从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系 统的质量为m,两圆盘中心O 和O′相距为d ，且(d + r) < R 求 挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量 解 使用补偿法 设小圆盘的质量为m/ R O m O′ r