高二数学数列极限1B(学生版)
高二数学数列的极限
数列的极限一、知识要点（1）数列极限的概念：一般地，在n 无限增大的变换过程中，如果无穷数列{}n a 中的n a 无限趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=。
（2）数列的极限运算：如果B b A a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么B A b a n n n ±=±∞→)(lim ；B A b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim ；)0(lim≠=∞→B B Ab a nn n注：在使用数列极限的运算法则时，必须注意以下两点：(a)参与运算的每一个数列的极限都是存在的； (b)参与运算的数列的个数必须是有限个。
（3）几个重要的极限1lim 0(1),lim0,lim (n n n n q q C C C n →∞→∞→∞=<==为常数）（4）无穷等比数列各项的和在无穷等比数列{}n a 中，如果01q <<，n s 表示其前n 项和，那么我们称nn s s ∞→=lim 为这个无穷等比数列各项的和，且qa s -=11。
注：若一个等比数列的各项的和存在，则蕴含着其公比q 满足01q <<。
二、例题选讲例1 求下列极限：（1）lim n →∞； （2）12009lim (0)12010nn n a a a →∞->+ （3）2421222lim4nnn →∞++++； （4）22221232lim()1111n nn n n n →∞++++++++；例2 （1）若21lim()01n n an b n →∞+--=+，求实数a b 、的值； （2）已知,133lim =+-∞→nnnn n a a 求实数a 的取值范围。
例3 计算： （1）111lim[]1223(1)n n n →∞+++⨯⨯+；（2）2421111lim[(1)(1)(1)(1)]2222n n →∞++++； （3）1111lim[(1)(1)(1)(1)]3452n n n →∞----+例4 求数列{}n a 的极限：（1）1(),()321,()1n n n a n n n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪+⎩为奇数为偶数； （2）1(),()321,()1n n n a n n n ≤⎧⎪⎪=⎨-⎪>⎪+⎩661010例 5 已知等比数列{}n a 的首项为a ，公比为(01)q q <≤，前n 项和记为n S ，令n G =2222123()n a a a a n N ++++∈，求limnn nS G →∞。
《高数》数列极限课件PPT
定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限 值等于该点的函数值，因此，函数的 连续性可以看作是极限的一种特殊情 况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具， 而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜 率存在，而这个切线斜率可以通过函 数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关 系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变 量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数， 这个常数就是函数的极限值。函数极限和数 列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极 限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关， 如导数、定积分等。通过数列极限，我们可 以更好地理解这些概念的本质和性质。同时 ，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有 着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的 变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要 的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、 级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观 地理解数列收敛和发散的概念。在平 面坐标系中，我们可以绘制数列的图 像，通过观察图像的变化趋势来理解 数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的 点，而发散数列的图像则会远离这个 点。通过比较不同数列的图像，我们 可以更好地理解数列极限的性质和特 点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区 间套，则该数列收敛。
高二数学数列的极限
7.7（1）数列的极限上海市建平中学徐程一、教学内容分析极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要.二、教学目标设计1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣.三、教学重点及难点重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.难点：数列极限的定义的理解.四、教学用具准备电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈.五、教学流程设计六、教学过程设计 一、 情景引入1、创设情境，引出课题1. 观察教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完.2. 思考教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？ 学生 ： , 21, , 81 , 41 , 21n3．讨论教师； 随着n 的增大，数列{}n a 的项会怎样变化？学生： 慢慢靠近0.教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题二、学习新课2、观察归纳，形成概念（1）直观认识教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势（a ） ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于0③当n 无限增大时，相应的项n101可以“无限趋近于”常数0 （b ） ,)1(,,31,21,1nn--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小②当n 无限增大时，相应的项nn )1(-可以“无限趋近于”常数0 （c ） ,1,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1③当n 无限增大时，相应的项1+n n 可以“无限趋近于”常数1 教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：（a ）从右趋近 （c ）从左趋近 （b ）从左右两方趋近，使学生明白不同的趋近方式教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其实我们的先辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣.”概念辨析教师：归纳数列极限的描述性定义学生：一般地，如果当项数n 无限增大时，数列{}n a 的项无限的趋近于某一个常数n 那么就说数列{}n a 以a 为极限.教师：是不是每个数列都有极限呢？学生1：（思考片刻）不是.如n a n =学生2： 2n a n = n n a )1(-=教师：请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限.（a ）⎪⎩⎪⎨⎧-=nn n a n 11 （b ）无穷数列：,3333.0,,333.0,33.0,3.0n学生1：数列（a ）有极限，当n 是奇数时，数列{}n a 的极限是0，当n 是偶数时，数列{}n a 的极限是1.数列（b ）的极限是0.4.教师： 有不同意见吗？学生2：数列（b ）的极限是0.34学生3：数列（b ）的极限不存在（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b ）的极限持有n 是奇数 n 是偶数各自不同的观点，但对数列（a ）的极限的认识基本赞同学生1的观点.）教师： 数列（a ）有极限吗？数列（b ）的极限究竟是多少？（学生们沉思） 学生4：数列（a ）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数列（b ）的极限是31. 教师：回答的非常正确（用动画演示数列（b ）的逼近过程），同学们对（a ）判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对（b ）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b ）随着n 的无限增大，它会趋近于0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述.（2）量化认识教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？ 学生：用n n a 和a 之间的距离的缩小过程，即 a a n - 趋近0教师：现在以数列n n a n n )1(-=为例说明这种过程观察：距离量化：n n a n n 10)1(0=--=-，随着n 的增大，n1的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要n n 充分的大，都有n1比给定的正数小.教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找n .问题拓展学生：老师再来几个其它的数列 教师：以上我们以提到的 , 21, , 81 , 41 , 21n 和 ,1011,,1011,1011,101132n ---- 为例，大家可以再操作一下. 教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？ 学生：只要数列有极限，对于给定的正数ε，总可以找到一项N a ，使得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.教师：顺理成章的给出数列极限的N -ε定义：一般地，设数列{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数N n >，就有ε<-a a n ，那么就说数列{}n a 以a 为极限，记作a a n n =∞→lim ，或者∞→n 时a a n →.教师：常数数列的极限如何？学生：是这个常数本身.教师：为什么？学生：因为极限和项的差的绝对值为0，当然比所有给定的正数小.三、巩固练习讲授例题 已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n ① 把这个数列的前5项在数轴上表示出来.②写出n 1-n a 的解析式.③⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 中的第几项以后的所有项都满足10011<-n a ④指出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 的极限. 课堂练习第41至42的练习.四、课堂小结①无穷数列是该数列有极限的什么条件.②常数数列的极限就是这个常数.③数列极限的描述性定义.④数列极限的N -ε的定义.五、作业布置1．课本第42页习题2，3,42．根据本节课的学习，结合你自己对数列极限的体会，写一篇《我看极限》的短文，格式不限（本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.）七、教学设计说明对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.。
1-2数列极限-1-文档资料42页
证: 用反证法. 假设
及
且 ab.
取
因 nl im xna, 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
从而
xn
ab 2
同理, 因 nl im xn b, 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 从而 xn a2b
矛盾取 . 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , 因N a b b 2 2 2 此a a , 收则x 敛当数n列3a>a22的bNb极时x限nx,nx必n3满b唯a22a足b一的. 不等式
分析 当n无限增大时, xn无限接近于a .
当n无限增大时, |xna|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xna|可以任意小,要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意 小的正数.
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事 先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近 于常数a.
高等数学的特点
概念更复杂 理论性更强
表达形式更加抽象 推理更加严谨
高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极 限概念是高等数学的重要概念。
极限理论是高等数学的基础理论， 是高等数学的精华所在， 是高等数学的灵魂。
因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键， 也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。
例3.
设
xn0,且 lni m xna0,证明
lim
n
xn
a.
证:
0,
因为
lim
n
xn
a,
所以
当 n > N 时, 总有
从而
xn a
1-2数列极限
4.放大的技巧：利用各种不等式
歌谣：证明规律遵 关键要把准
N能找到 如何找N
执果索其因 依据ε找N 结论断言真
适当放大身
若把技巧问
不等式来寻
（二）数列极限的概念
1．数列的概念 2．数列极限的描述性定义 3．数列极限的精确定义 4．数列极限的意义
（二）数列极限的概念
1．数列的概念 2．数列极限的描述性定义 3．数列极限的精确定义 4．数列极限的意义
2.关于N
依赖于ε，有时可记作N（ε）.
不唯一.
例1 例2 例3 注
证明 lim 1 sin n 0
n n
2
证明 lim n a 1 (a 1) n
证明 lim qn 0 ( q 1) n
1.记住重要结论
2.证明的关键： 依据ε找N（N可以不同）
3.找N的方法： 常用“适当放大”的方法
取
N
1
1,
当 n N 时，1 1 1
n
数列极限的精确定义：
设{ xn}为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正整数 N ,使得当n N 时，不
等式 xn a 都成立, 那么就称常数a 是数列 { xn}的
极限,或者称数列{ xn}收敛于a ,记为
x n
M,
则称数列{ xn}有界,
否则,
称为无界.
定理2 如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界.
注 (1) 如果数列xn无界, 那么数列xn一定发散.
(2) 如果数列xn有界, 数列 xn不一定收敛.
二、收敛数列的性质
（三）收敛数列的保号性
定理3
1-02-数列的极限-PPT精品文档
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
2、唯一性
定理2 收敛的数列极限唯一。
证 设 l n ix n m a ,又 l n ix n m b , 由定义,
0,N 1,N 2.使当 得 n N 1 时x 恒 n a 有 ;
定理2 收敛的数列极限唯一。
证 法二 设 l n ix n m a ,又 l n ix n m b ,
假设a
b,不
妨
设
a
b,则 可 取 0
a
2
b
0,
lim
n
xn
a
对于0
0,N 1,n
N1,
xn a
0,
xn
a
0
a
2
b
,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
11， n
任给0,要xn1,只要n1,或n1,
所以, 取N1,则当nN时,就有n(1)n11
n
n(1)n1 n
Xn
1
1 2n
1
数 定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
列
x1, x2,, xn,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn}.
例如 2,4,8, ,2n, ; { 2 n }
高二数学数列、函数的极限知识精讲 人教版
高二数学数列、函数的极限知识精讲 人教版一. 本周教学内容：高三新课：数列、函数的极限二. 本周教学重、难点： 1. 数列极限 （1）定义（2）运算法则如果a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，那么① b a b a b a n n n n n n n ±=±=±∞→∞→∞→lim lim )(lim② b a b a b a n n n n n n n ⋅=⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim③ b a b a b a n n n n nn n ==∞→∞→∞→lim lim lim （0≠b ）④ a c a c a c n n n n ⋅==⋅∞→∞→lim )(lim （c 为常数）（3）几个常用的极限① 0lim =∞→c n （c 为常数）② 0)1(lim =∞→pn n（>p 0）③ c ad cn b an k k n =++∞→lim （N k ∈R d c b a ∈,,,*且0≠c ） ④ 0lim =∞→nn q （1<q ）2. 函数的极限（1）当∞→x 时，)(x f 的极限 （2）当0x x →时，)(x f 的极限 （3）运算法则如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0，那么① b a x g x f x x ±=±→)]()([lim 0② b a x g x f x x ⋅=⋅→)]()([lim 0③ )0()()(lim≠=→b bax g x f x x【典型例题】[例1] 考察下面的数列，写出它们的极限。
（1） ,1,,271,81,13n（2） ,1057,,995.6,95.6,5.6n - （3） ,)2(1,,81,41,21n---解：（1）}1{3n 的项随n 的增大而减少，但大于0，且当n 无限地增大时，31n 无限地趋于0，因此01lim 3=∞→nn 。
沪教版高中数学高二上册数列的极限名师课件PPT
沪教版高中数学高二上册数列的极限 名师课 件PPT【 完美课 件】
通过对下列数列的研究，分析当n无限增大时下
列数列的项 an 的变化趋势及共同特征:
（1）
1
n
递减 无限趋近于0
（2）
n
n
1
递增 无限趋近于1
（3）
1 2
n
摆动 无限趋近于0
（4）an
1 1n4 n 1 n n5 n 1
的混乱局面称为数学的第二次危机。
• 在17世纪和整个18世纪由于微积分理论的产生及 其在各个领域的广泛应用，使得微积分理论得到 了飞速发展。但另一方面，整个微积分理论却建 立在含糊不清的无穷小概念上。
• 达朗贝尔和柯西把极限概念作为微积分基础，
为无穷小量的整个运算提供了可靠的根据，为化 解第二次数学危机做出了巨大贡献。
1 2100
•••
n
•••
1 n
•••
2
1 n
•••
2
an (1) 3 2
5 9 17
•••
4 8 16
1 2100 1 •••
1
n
1
•••
2
沪教版高中数学高二上册数列的极限 名师课 件PPT【 完美课 件】
判 断an
2n 1 有没有极限，并说明理由. n
解：
an
2n 1 n
2
1 n
lim
思考
1.是不是所有的数列都有极限呢？
2.无穷项的常数列有极限吗？
3.(1)n 有极限吗？
4.
1 n
与
1 2
n
的极限都等于0，但趋近方式不同，
1 n
呈递减方式，
人教版高中数学课件：高二数学课件-数列的极限
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性，即收敛 数列只能收敛到一个唯一的极 限值。
收敛数列具有有界性，即收敛 数列的项值必须在一定范围内 波动，不会无限增大或减小。
收敛数列具有保序性，即如果 一个数列收敛到极限a，那么对 于任何正整数n，都有 an≥an+1。
03
数列极限的应用
利用极限求数列的通项公式
总结词
通过数列的极限，我们可以推导出数列的通项公式。
详细描述
在数列的极限中，如果一个数列的极限值存在，那么这个极限值就是数列的通项 公式。例如，对于等差数列，其通项公式可以通过求差分比值的极限得到。
利用极限证明数列的单调性
总结词
通过比较相邻项的极限，可以证明数 列的单调性。
极限的唯一性
极限的唯一性是数列极限的一个 重要性质，即一个数列只能有一
个极限值。
如果一个数列有两个不同的极限 值，那么这个数列就不会收敛。
极限的唯一性对于研究数列的性 质和函数的变化规律非常重要， 是数学分析中的一个基本原则。
THANK YOU
数列极限的存在性
01
02
03
单调有界定理
如果数列单调递增且有上 界或单调递减且有下界， 则该数列存在极限。
闭区间套定理
如果数列满足闭区间套的 条件，则该数列存在极限 。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$，存在正整 数N，使得当$n, m > N$ 时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$，则该数列 存在极限。
04
数列极限的求解方法
直接代入法
1.2数列的极限
●
xn (1)n1 趋势不定
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定义: 若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列 的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称之发散 .
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
a xn a
收敛数列的任一子数列收敛于同一极限。（证明略）.
说明: 该性质有以下两个推论
● 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 , 则原数列一定发散
● 若数列有一个子列发散，则原数列一定发散 .
例如
发散 !
lim
k
x
2k
1
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内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
(n N)
即xn U ( a , )
(n N)
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例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
xn 1
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n
1
因此 ,
取
N
[1 ],
则当
n
N
时, 就有
n (1)n 1
n
故
lim
n
xn
lim n (1)n n n
1
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二、收敛数列的性质
1. （唯一性）收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
高数数列的极限ppt课件
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列是整标函数 xn f (n).
6
3 数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
28
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 . 19
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注意 有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
20
3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
21
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n
xn
a
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在 .
几何解释
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
11
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
证法一:
设
lim
n
xn
a,又 lim n
xn
b, 由定义,
0, N1 , N2 .使得
当n
N
时恒有
1
xn
a
;
当n
N
时恒有
高二数学说课稿-数列极限说课稿
高二数学说课稿-数列极限说课稿对于老师来说，上好一堂课很重要，所以说课稿就成了很重要的课前预备，看了"高二数学说课稿：数列极限说课稿'以后你会有很大的收获：高二数学说课稿：数列极限说课稿各位评委、老师们：你们好！我是北大附中的数学老师李宁。
北大附中是北京市重点中学。
有机会能参与这次教学研讨活动，向全国各省的数学老师们学习，我深感荣幸。
这次我说课的内容是高中代数课本〔下册〕第六章第二部分6.4节数列极限的起始课。
这部分内容在课本第60页至65页。
下面由我依据自己编写的教案，把我对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简约认识作一个说明。
盼望专家们、老师们对我说课的内容多提珍贵看法。
一、关于教学目的的确定：众所周知，对数列极限这个概念的理解可为今后高等数学的学习奠定基础，但由于同学对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响同学对后继知识的学习，因此，我从知识、技能、情感等方面确定了本次课的教学目标。
1．在知识上，使同学理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简约的数列极限；2．在技能上，培育同学观测、分析、概括的技能和在探究问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。
体验"从详细到抽象，从非常到一般再到非常'的认识过程；3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发同学的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。
二、关于教学过程的设计：为了达到以上教学目的，依据北大附中教学传统把这次课连排两节。
在详细教学中，依据"按部就班原那么'，我把这次课分为三个阶段："概念探究阶段'；"概念建立阶段'；"概念巩固阶段'。
下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。
〔一〕"概念探究阶段'1.这一阶段要解决的主要问题在这一阶段的教学中，由于留意到同学在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述改变过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，好像这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：①使同学了解以讨论函数值的改变趋势的观点讨论无穷数列，从而发觉数列极限的过程；②使同学形成对数列极限的初步认识；③使同学了解学习数列极限概念的须要性。
高二数学数列的极限课件
an a
无限地接近0),
那么就说数列 {an }以 或者说 a是数列
a 为极限， {an } 的极限。
即
n ,
an a .
四、例题讲解 例1、判断：
趋近于5，所以5是该数列的极限。（
1 (1) 数 列 3.9,3.99,3.999,…,4- n 10
Tip: |an-c| 无限地接近0. (2)数列3.9,3.99,3.999,3.9999,3.99999 的极限是4。( )
10
n
,
1 2 3 (2) , , , 2 3 4
(3)
n , , n＋1
n
递增
无限趋近
1
1 1 ( 1) 1， ， ，， ... ， .... 2 3 n
摆动
无限趋近
0
三、数列极限的定义
一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷 数列 an 的项 an 无限地趋近于某个常数 a ，
(即
（2）
1， 2， 3， ，n， ；
（3）
1 2 3 n , , , , , . 2 4 9 16 ( n 1)
1 2 3 n n1 , , , , ( 1) , . 2 3 4 n
（ 4）
六、极限思想的应用—— 刘徽与“割圆术”
×
,… ）
×
Tip：无穷数列存在极限. （3）数列1,3,－4,11,5,5.1,5.01,5.001, 1 5.0001,…，5+ n 5 ,…没有极限。（ ） Tip：与前面有限项无关.
10
×
四、例题讲解 例2、考察下面的数列，写出它们的极限： 1 1 1 0 （1） 1， ， ， ， ， ； 3 8 27 n 5 （2） 6.5， 6.95， 6.995， ， 7 n ， ； 7 10 1 1 1 1 （3） , , , , n , ； 0 2 4 8 ( 2)
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一、基础巩固
1.已知下列四个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 存在，且 存在，则 也存在；
④若 ，
其中假命题的个数是（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
2.下列数列中，极限不存在的数列是（）
（A） （B） （C） （D）
3. 的值为（）
（A） （B） （C） （D）
4.若 ，则 的取值范围是（）
7.
8.计算：
9.已知数列 （ ）为等差数列，且 ， ，
则 ()
10.若数列 是首项为1，公比为 的无穷等比数列，且 各项的和为 ，则
的值是 ()
(A) 1. (B) 2. (C) . (D) .
【课堂总结】
1、数列的极限的定义是什么？极限一定是数列中的项吗？为什么？能否举个例子？
2、无穷递缩等比数列的所有项和怎么求？公式能否推到出来？在用这个公式的时候应该注意什么？
15．将直线l1：nxyn0、l2：xnyn0(nN*)、x轴、y轴围成的封闭区域的面积记为Sn，
则 _______________．
根式型( 型)，通过有理化变形使得各式有极限；
数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果 ， ，那么
.
特别地，如果 是常数，那么，
无穷等比数列的各项和： 公比的绝对值小于 的无穷等比数列前 项的和当 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做 ；
【典型例题分析】
例1、求下列数列的极限： ； ；
总结规律：
例2、 等于（）
设等差数列 的公差 是 ，前 项的和为 ，则
例3、 若 ，求 和 的值；
若 ，求 的取值范围.
例4、两个数列 、 中， 成等差数列，且 成等比数列。
(1)证明 是等差数列；
(2)若 的值。
例5、已知 ，数列 满足
（1）写出数列 的前五项，试归纳出 的表达式，并用数学归纳法证明。
（A） （B）
（C） （D）
5.已知以下四个极限式：
① ② ③ ④
其中值为0的有__________________（只需填序号）
6.计算： _________________。
7.若 ，则a的取值范围是___________。
二、能力提升
8.已知围是______________.
学科教师辅导讲义
年级：高三辅导科目：数学课时数：
课题
数列的极限（一）
教学目的
1、理解数列极限的概念；
2、掌握数列极限的运算法则；
3、掌握常用的数列极限。
4、掌握公比 <1时，无穷等比数列前n项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式，并能用于解决简单问题。
教学内容
【知识梳理】
（一） 主要知识及主要方法：
（2）求 。
（3）若 求数列 的前n项的和Sn。
【课堂小练】
1.一个等比数列的前n项和 ，则该数列各项和为（）
A． B．1C．－ D．任意实数
若 ，则 的取值范围是()
3. ；
4.已知 ，则 ； ；
5. 已知数列 的前 项和 满足 ，则其各项和 等于 ( )
6.若数列 的通项公式是 ， ，…，
则 ()
数列极限的定义：
一般地，如果当项数 无限增大时，无穷数列 的项 无限趋近于某个常数
（即 无限地接近于 ），那么就说数列 以 为极限.记作 .
注： 不一定是 中的项
几个重要极限： （ ， 为常数）； （ 是常数）；
；
极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；
指数型( 和 型），通过变形（如通分，约分）使得各式有极限；
9. ______________
10.求下列数列的极限：
（1）
（2）
（3）
11.已知 求常数 的值。
12.对于数列 ，已知 ，求 的值。
三、创新探究
13.已知 上有定义， 且满足 ，有
。
（1）求 ；
（2）证明： 在 上是奇函数；
（3）在数列 中， ， ，设 ，求
四、高考体验
14. 的值为（）
（A）0（B） （C） （D）1
3、数列极限常见的解题技巧
现阶段求数列的极限，总是把被求极限的数列变形成四个常见的基本极限，再依据极限的四则运算求解，所谓的解题“技巧”，也就是如何变形的问题。
一般地，关于n的数列通项 ，如果仅仅只在底数的位置中含序号n，往往变形成 ，利用 求解；如果仅仅只在指数的位置中含序号n，往往变形成 ，利用 求解；如果既在底数的位置中含有序号n，又在指数的位置上含序号n，往往变形为 的形式，利用 求解。同时遵循先化简，再变形的原则。