射影面积法
二面角求法总结
二面角求法总结一、定义法定义法是求二面角的基本方法，它通过定义二面角的平面角来求解。
具体来说，如果两个平面相交，那么它们会在交线上形成一个角，这个角就是二面角的平面角。
通过找到这个角的两边，我们可以使用三角函数来求解这个角的大小。
二、垂线法垂线法是一种常用的求二面角的方法，它通过找到一个垂直于两个平面的交线的直线，并将这个直线延长到一个已知点，然后使用三角函数来求解这个角的大小。
这个方法的关键在于找到正确的垂线，并且这个垂线应该是垂直于交线的。
三、射影面积法射影面积法是一种利用射影面积定理求解二面角的方法。
通过找到两个平面上的两条射线和它们之间的夹角，我们可以使用射影面积定理来求解这个角的大小。
这种方法需要先找到正确的射线和夹角，然后使用射影面积定理来计算结果。
四、三垂线定理法三垂线定理法是一种利用三垂线定理来求解二面角的方法。
如果一个平面内的直线与另一个平面垂直，那么这个直线与第一个平面的交点与第二个平面的交点的连线与原直线的夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于找到正确的三垂线定理的应用条件，并且正确地应用三垂线定理来计算结果。
五、角平分线法角平分线法是一种利用角平分线定理来求解二面角的方法。
如果一个平面内的角平分线与另一个平面垂直，那么角平分线与原直线的夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于找到正确的角平分线的应用条件，并且正确地应用角平分线定理来计算结果。
六、向量法向量法是一种利用向量的数量积和向量积来求解二面角的方法。
通过找到两个平面上的两个向量，我们可以使用向量的数量积和向量积来计算这两个向量的夹角，这个夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于正确地找到两个向量，并且正确地应用向量的数量积和向量积来计算结果。
七、坐标法坐标法是一种利用坐标系来求解二面角的方法。
通过建立适当的坐标系，我们可以将二面角的问题转化为求解一个几何量的值的问题。
这种方法的关键在于建立正确的坐标系，并且正确地使用代数方法来计算结果。
射影面积法求二面角原理
射影面积法求二面角原理引言：在几何学中，二面角是指由两个平面所夹成的角度，它是空间几何中的基本概念之一。
求解二面角的方法有很多种，其中一种常用的方法是射影面积法。
本文将介绍射影面积法求解二面角的原理和应用。
一、二面角的定义和性质二面角是由两个平面所夹成的角度，可以用来描述两个平面的夹角大小。
二面角有以下性质：1. 二面角的大小范围是0°到180°之间；2. 二面角的大小与两个平面的夹角大小有关，但不仅仅取决于两个平面的夹角；3. 二面角的大小与两个平面的位置有关，即两个平面的相对位置不同，二面角的大小也会有所变化。
二、射影面积法的原理射影面积法是一种常用的求解二面角的方法，它基于以下原理：1. 任意两个平面所夹成的角度可以通过两个平面的射影面积来求解；2. 射影面积是指一个平面在另一个平面上的投影面积，可以用来表示两个平面之间的夹角大小；3. 射影面积可以通过投影公式和向量运算来计算。
三、射影面积法的应用射影面积法在几何学和物理学中有广泛的应用，其中包括以下几个方面：1. 几何学中的角度计算：通过射影面积法可以计算任意两个平面所夹的角度大小，从而求解几何问题；2. 物理学中的力学问题：在力学问题中，二面角可以表示两个力的夹角，通过射影面积法可以计算力的合成和分解；3. 工程学中的结构设计：在结构设计中，二面角可以表示两个构件的夹角，通过射影面积法可以计算结构的稳定性和强度。
四、射影面积法的计算步骤射影面积法的计算步骤如下：1. 确定两个平面的方程；2. 计算两个平面的交线；3. 确定投影方向和投影面积；4. 计算射影面积；5. 根据射影面积计算二面角大小。
五、射影面积法的优缺点射影面积法作为一种求解二面角的方法，具有以下优点：1. 原理简单易懂，计算步骤清晰明确；2. 适用范围广泛，可以应用于多个学科领域；3. 结果准确可靠，能够满足实际需求。
然而，射影面积法也存在一些缺点：1. 计算过程稍复杂，需要一定的数学基础和计算能力；2. 对于一些特殊情况，射影面积法可能无法提供准确的结果；3. 在实际应用中，射影面积法往往需要结合其他方法和技术进行综合分析。
巧用面积射影公式S射=S原·cosθ解题
Ｏ ＱＵＬ Ｅ ＮＸＥＩ Ｋ ￣
…
一
一
２
，
故ａ 而 一 一一 ｛ ｔ＿ 阳 ＝ √ √ 一
一
＋ 一 一 ３４ 午ＸＸ
的状况．
（ ＡＢ Ｂ Ｉ） 上 Ｃ
个方法就是面积射影法 ， 本文通过对近几年来立 体 几何题 中求面积和二面 角的 问题 进行研 究 ， 现 ： 发 利
一
哪个面 的射影 ， 然后代入公式进行求解 即可．
【 １ 如 图 ，已 知 正 四 棱 柱 Ａ Ｄ ～ 例 】 ＢＣ
ＡＢｃＤ ， Ｅ在棱 Ｄ Ｄ 上 ， 面 Ｅ Ｃ／ 且 面 点 截 Ａ ‘ ＤＢ， ／
【６ 函 ， 一｝ 值 ． 例】求 数（ ｝ 的域 薹 ）
解 析 ： 。 ｆ （０） ． 。
５ ｆ ４ ｉＯ 一 一 ｓｎ ） ３ （ ２ ｏ０ ’ － － ｃ ｓ ）
‘ ． ．
系， 则可考虑通过 构造几何 图形将题设中的数 量关系
直接在图形 中得 以实现 ， 然后 ， 借助 于图形的性质 ， 而
二 、 式 的 运 用 公 １ 巧 用公 式 求 面积 ．
在实 际立体几何题 目中大多还是 以求三角形的 四、 构造几何图形 如果 问题条件 中的 数量关 系有明显 或隐含 的几 何意义与背景 ， 能以某种方式与几何图形建立起联 若
一
步到位 ， 简捷 明了．
１（ ｆ ｃ ｄ 口 ＋ｂ＋ｂ ）
得 到 问题 的解 决 ．
‘
【 ５ 设 ａ ６Ｃｄ都是正数 ， 例 】 、、、 证明 ： 存在一个三
—
构造平 面直角坐标 系 ３ ７
射影面积法求二面角原理
射影面积法求二面角原理引言：射影面积法是一种常用于计算几何体二面角的方法，它基于射影面积的概念，通过计算几何体在某一平面上的投影面积来确定二面角的大小。
本文将介绍射影面积法求二面角的原理和应用。
一、射影面积法的基本原理射影面积法是基于几何体在不同平面上的投影面积与几何体二面角之间的关系来进行计算的。
具体而言，我们可以通过在几何体上选择一个合适的平面，将几何体投影到该平面上，然后计算投影面积，最后利用投影面积与二面角之间的关系，求解二面角的大小。
二、射影面积法的步骤1. 选择适当的平面：根据几何体的特点和问题的要求，选择一个合适的平面进行投影。
通常情况下，选择与几何体的某一面垂直的平面可以简化计算过程。
2. 进行投影：将几何体投影到所选择的平面上，得到投影面积。
投影的方法可以根据几何体的形状和问题的要求灵活选择，常用的投影方法包括平行投影和中心投影等。
3. 计算投影面积：根据投影所得到的平面图形的形状和大小，使用几何学方法计算投影面积。
根据平面图形的形状，可以使用不同的计算公式，如矩形的投影面积为底边长度乘以高度，三角形的投影面积为底边长度乘以高度的一半等。
4. 计算二面角：根据投影面积与二面角之间的关系，利用所得到的投影面积计算二面角的大小。
具体的计算方法可以根据几何体的特点和问题的要求选择，常用的计算方法包括使用正弦定理、余弦定理等。
三、射影面积法的应用举例1. 求解四面体的二面角：对于一个四面体，可以选择一个面作为投影面，将四面体投影到该面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解四面体的二面角。
2. 求解棱柱的二面角：对于一个棱柱，可以选择柱面作为投影面，将棱柱投影到柱面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解棱柱的二面角。
3. 求解球体的二面角：对于一个球体，可以选择一个切面作为投影面，将球体投影到该切面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解球体的二面角。
四、射影面积法的优缺点射影面积法作为一种计算几何体二面角的常用方法，具有一定的优点和缺点。
射影面积法求二面角原理
射影面积法求二面角原理概述：射影面积法是计算二面角的常用方法之一，它基于物体在不同角度下的射影面积的变化来求解二面角。
二面角是指由两个平面所夹的角，它在几何学和计算几何学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍射影面积法求解二面角的原理及其应用。
一、射影面积法原理射影面积法通过计算物体在不同角度下的射影面积来求解二面角。
具体步骤如下：1.选择观察点：确定观察点的位置，通常选择观察点位于物体所在平面外部，且与物体的一条边垂直相交。
2.确定观察面：从观察点出发，选择一个平面作为观察面，该平面与物体的一条边垂直相交，并且与观察点所在平面垂直。
3.计算射影面积：在观察面上，以物体的一条边为边界，通过观察点将物体投影到观察面上，计算投影的面积。
4.改变观察角度：保持观察点不变，改变观察面与物体的夹角，重复步骤3，计算不同角度下的射影面积。
5.计算二面角：根据不同角度下的射影面积，利用数学方法求解二面角的大小。
二、射影面积法的应用射影面积法可以应用于多个领域，包括几何学、物理学、计算机图形学等。
以下是该方法的一些具体应用：1.计算物体的空间角：射影面积法可以用于计算物体在空间中所占的角度，例如计算两个平面所夹的角度、计算一个立体角等。
2.三维建模：在计算机图形学中，射影面积法可以用于三维建模和渲染，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以生成真实感的三维模型。
3.物体识别：射影面积法可以应用于物体识别和目标跟踪，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以对物体进行形状和姿态的判断。
4.光线追踪：在光线追踪算法中，射影面积法可以用于计算光线与物体的相交情况，从而实现真实感的光影效果。
总结：射影面积法是一种常用的求解二面角的方法，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以准确地求解二面角的大小。
该方法在几何学、物理学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，可以用于计算物体的空间角、三维建模、物体识别和光线追踪等方面。
射影面积法的原理简单易懂，但在具体应用中需要注意选择合适的观察点和观察面，以及正确计算射影面积。
射影面积法在高考中的运用
射影面积法在高考中的运用随着社会科学的发展和技术的进步，许多新技术和新方法在高考中得到了广泛应用。
射影面积法作为数理化科目高考中较新的一种统计方法，在最近几年中，越来越多地受到了高考考生和教师的重视。
本文试图分析射影面积法在高考中的运用，从而探讨其在高考中的优势和不足。
一、射影面积法是什么射影面积法，也称为网格分析法或空间网格分析法，是一种基于地理或重点空间点的信息编码方法。
其基本原理是将地图上的特定区域划分为一个个的小面积单位，每一单位面积都有一组指定的参数。
研究者可以根据该参数来统计出不同区域的特征，并利用这些特征推断出区域之间的相关性。
二、射影面积法在高考中如何运用1、射影面积法可以帮助考生更准确地了解高考知识点射影面积法可以帮助考生更准确地了解高考知识点。
通过计算和分析射影面积，考生可以更全面地掌握高考知识点，掌握知识点之间的内在联系，甚至进一步推导出新的知识点。
2、射影面积法可以提高高考的答题准确率因为射影面积法可以帮助考生更准确地了解知识点，所以考生在高考中使用此方法，可以提高其答题准确率。
三、射影面积法在高考中的优势和不足1、射影面积法在高考中具有很强的优势射影面积法可以有效地提高答题准确率，可以帮助考生更全面的了解高考知识点，还可以有效地分析地理内容。
2、射影面积法也有其不足之处尽管射影面积法有很多优势，但它也存在一些不足之处，比如难以解决较大范围的问题，而且需要大量计算时间，计算结果可能会出现误差。
综上所述，射影面积法在高考中是一种很有帮助的统计方法，可以帮助考生更加准确地掌握高考知识点，提高答题准确率。
当然，射影面积法也有其不足之处，应根据实际情况灵活运用，以及不断完善运用方法，相信在不久的将来，射影面积法会在高考中发挥更大的作用。
射影面积法求二面角
射影面积法（cosS S 射影原）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。
例1、 如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD 中， AD ∥BC,∠ABC=90°，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=BC=1，AD=21 .求面SCD 与面SAB 所成的角的大小。
解法1：可用射影面积法来求， 这里只要求出S △SCD 与S △SAB 即可， 故所求的二面角θ应满足cos θ==111212322⨯⨯⨯⨯=6。
例2．（2008理）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；A CBP图1SDCBA解：（Ⅰ）证略（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥． 又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且ACPC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 的射影， CE AP ∴⊥．∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 的射影， 于是可求得：2222=+===CB AC AP BP AB ，622=-=AE AB BE ，2==EC AE 则1222121=•=•==∆CE AE S S ACE 射， 3622121=•=•==∆EB AE S S ABE 原 设二面角B AP C --的大小为ϑ，则3331cos ===原射S S ϑ ∴二面角B AP C --的大小为33arccos =ϑ练习1： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的 棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成 锐角的余弦值.（答案：所求二面角的余弦值为cos θ=32）.ABE P A 1D 1B 11EDBCA图52. 如图一，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AP AB ==,22BC =,E F ，分别是AD PC ，的中点.(1)证明：PC ⊥平面BEF ；（2）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小. 题（1）解略；题（2）中平面BEF 与平面BAP 夹角即为平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角.方法一：垂面法在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得的图形便是二面角的平面角.如图一：PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,PA BC ∴⊥.又,BC AB ABPA A ⊥=,BC ∴⊥平面BAP .又BC ⊂平面PBC ,∴平面PBC ⊥平面BAP . 由题（1），PC ⊥平面BEF ，PC ⊂平面BEF ，∴平面PBC ⊥平面BEF . 所以PBF ∠是所求二面角的平面角.222221122,22PB PA AB PF PC AB BC PA =+===++, 2sin ,.24PF PBF PBF PB π∴∠==∠= 即平面BEF 与平面BAP 夹角为4π. 方法二：平移平面法如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角.如图二：取BC 的中点G ，连接,FG EG .,E F 分别是,AD PC 的中点，,EGAB FG PB ∴.又,FG EG G AB PB B ==,∴平面EFG 平面BAP .∴二面角B EF G --的大小就是平面BEF 与平面BAP 夹角的大小.可以证明BFG ∠为二面角B EF G --的平面角，并求出其大小为4π. 方法三：射影法利用公式'cos S Sθ=，其中S 表示二面角的一个半平面某个多边形的面积，'S 表示此多边形在另一个半平面射影的面积，θ表示原图形与射影图形所成的二面角.如图三：取PB 的中点H ，连接,FH AH ,F 为PC 中点, ,FH BC AE BC ∴.由解法一知，BC ⊥平面BAP ,FH ∴⊥平面BAP ，AE ⊥平面BAP ,∴点F 、E 在平面BAP 的射影分别为H 、A . BEF ∴∆在平面BAP 上的射影为BAH ∆. 可以证明BEF ∆和BAH ∆均为直角三角形.1,,2HFBC AEBC HF BC BC ==, ∴四边形HFEA 为平行四边形，EF AE ∴=. 记平面BEF 与平面BAP 夹角为θ，则2cos BAH BEF S S θ∆∆==, 所以4πθ=，即平面BEF 与平面BAP 夹角为4π.3.已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。
射影面积法求二面角
射影面积法求二面角.
射影面积法是一种求解二面角大小的方法。
对于图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的二面角，可以利用射影面积公式（cosθ=S射/S斜）求得其
大小。
例如，在底面为一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，
AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，SA=AB=BC=1，
AD=2.要求面SCD与面SAB所成的角的大小，可以利用射影
面积法，求出S△SCD和S△SAB，然后根据cosθ=S射/S斜
的公式计算出二面角θ的大小。
又如，对于三棱锥P-ABC，其中AC=BC=2，∠ACB=90，AP=BP=AB，PC⊥AC。
要求证PC⊥AB，并求二面角B-AP-
C的大小。
可以通过证明△APC≌△BPC和PC⊥BC，进而推
出PC⊥AB。
然后，利用射影面积法，求得S射和S原，根据cosθ=S射/S原的公式计算出二面角B-AP-C的大小。
练题中，要求求解正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的
中点E所在平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值。
根据题目的条件，可以得出CE=1/√2，AE=√3/2，因此S射/S
原=1/3，所求二面角的余弦值为cosθ=2/3.
另一题中，要求在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2√2，E，F分别是AD，PC的中点。
由于题目中未给出要求的角的具体信息，无
法进行求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
射影面积法
在两平面间二面角的求法中,一种是利用余弦定理,另外一种便是射影面积法. 详细方法:一个面上取个三角型面积为S1 在另一个面上做或者找到那个三角形的射影（即
以3个点的射影为顶点的三角形）的面积S2。
二面角为X 则COSX=S2/S1
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
用法：∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥AO ∴a⊥PO
逆定理
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
用法：
⊥AO
∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥PO ∴a
例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC 在平面α内，点在α外，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥ α，垂足分别是E 、F 、O ，PE=PF
求证：∠BAO=∠CAO
证明：连接PA ，
OE ，OF ∵ PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥ α， ∴AB ⊥OE ，AC ⊥OF （三垂线定理的逆定理） ∵ PE=PF ，PA=PA ，∴Rt PAE ≌Rt PAF 。
∴AE=AF 又AO=AO ∴，∴Rt AOE ≌Rt AOF 。
∴ ∠BAO=∠CAO
用公式法求二面角的平面角
大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就
确定．它们之间一定存在着某种必然的内在联系．事实上，我们有如下的定理． 定理 设 为一个三面角， ，
，
，
二面角 的平面角为
，则有
．
略证：如图，
， ，则 ．令 ，
．在
△ 中，
，
．同理，
，
．故
．
又在△ 中， ， ①
在△
中，
． ②
α
A
B
C
O P
E F
由①，②得．证毕
同理可证，当，中有一个为钝角（或直角）时，公式也照样成立（这里从略）．
由此可知：（1）将此公式反过来，只要知道了，，，即可求平面角；（2）此公式与三角形中的余弦定理有相似之处，不妨把它叫做三面角的余弦定理．
例1 已知正三棱锥侧面与底面的夹角为，任两侧面的夹角为 ，求证
．
略证：如图2，设为正棱锥，构成三面角．又设的平面角为，的平面角为，．
由公式得:
，故．①又，故．②
由①，②得．
例2 如图，在梯形中，，，，，
，，平面，求以为棱的二面角
的大小（1994年上海高考题）．
略解：构成三面角，令，则
，cos
10
ϕ=，
设，，，．
由，
，，知，．又在△中，由，，得．
在△中，．令，则
，
．
由公式得，．
∴．
例3 如图,已知正三棱柱
111
ABC A B C
-，为的中点，（1）求证：
1
//
AB平面BDC1；（2）若，求以为棱的二面角的大小．（1994年上海高考题）
略解：为三面角，连结，交于．连结．
11
111
11
22
DE AB BC
DBE
AB BC DE BC
⎫
==⎪
⇒∆
⎬
⎪
⊥⇒⊥⎭
是等腰直角三角形．
令，则，．
由，得．
设，，，
例3图
D
C B
C1B
1
A1
A
，，．
由公式得
即，．
∴．
AND：
AB和平面α所成的角是θ,,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′,成角θ2.设∠BAC=θ,
cosθ1cosθ2=cosθ3.
在两个互相垂直的平面的交线上任取一点,过这点在两个平面内各作一条射线,设这两条射线
在过这点的交线的垂面的同侧且与交线所成角分别θ1θ2。
这两条射线所成角为θ3.则有cosθ1cosθ2=cosθ3.。