射影面积法
二面角求法总结
二面角求法总结一、定义法定义法是求二面角的基本方法，它通过定义二面角的平面角来求解。
具体来说，如果两个平面相交，那么它们会在交线上形成一个角，这个角就是二面角的平面角。
通过找到这个角的两边，我们可以使用三角函数来求解这个角的大小。
二、垂线法垂线法是一种常用的求二面角的方法，它通过找到一个垂直于两个平面的交线的直线，并将这个直线延长到一个已知点，然后使用三角函数来求解这个角的大小。
这个方法的关键在于找到正确的垂线，并且这个垂线应该是垂直于交线的。
三、射影面积法射影面积法是一种利用射影面积定理求解二面角的方法。
通过找到两个平面上的两条射线和它们之间的夹角，我们可以使用射影面积定理来求解这个角的大小。
这种方法需要先找到正确的射线和夹角，然后使用射影面积定理来计算结果。
四、三垂线定理法三垂线定理法是一种利用三垂线定理来求解二面角的方法。
如果一个平面内的直线与另一个平面垂直，那么这个直线与第一个平面的交点与第二个平面的交点的连线与原直线的夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于找到正确的三垂线定理的应用条件，并且正确地应用三垂线定理来计算结果。
五、角平分线法角平分线法是一种利用角平分线定理来求解二面角的方法。
如果一个平面内的角平分线与另一个平面垂直，那么角平分线与原直线的夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于找到正确的角平分线的应用条件，并且正确地应用角平分线定理来计算结果。
六、向量法向量法是一种利用向量的数量积和向量积来求解二面角的方法。
通过找到两个平面上的两个向量，我们可以使用向量的数量积和向量积来计算这两个向量的夹角，这个夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于正确地找到两个向量，并且正确地应用向量的数量积和向量积来计算结果。
七、坐标法坐标法是一种利用坐标系来求解二面角的方法。
通过建立适当的坐标系，我们可以将二面角的问题转化为求解一个几何量的值的问题。
这种方法的关键在于建立正确的坐标系，并且正确地使用代数方法来计算结果。
射影面积法求二面角原理
射影面积法求二面角原理引言：在几何学中，二面角是指由两个平面所夹成的角度，它是空间几何中的基本概念之一。
求解二面角的方法有很多种，其中一种常用的方法是射影面积法。
本文将介绍射影面积法求解二面角的原理和应用。
一、二面角的定义和性质二面角是由两个平面所夹成的角度，可以用来描述两个平面的夹角大小。
二面角有以下性质：1. 二面角的大小范围是0°到180°之间；2. 二面角的大小与两个平面的夹角大小有关，但不仅仅取决于两个平面的夹角；3. 二面角的大小与两个平面的位置有关，即两个平面的相对位置不同，二面角的大小也会有所变化。
二、射影面积法的原理射影面积法是一种常用的求解二面角的方法，它基于以下原理：1. 任意两个平面所夹成的角度可以通过两个平面的射影面积来求解；2. 射影面积是指一个平面在另一个平面上的投影面积，可以用来表示两个平面之间的夹角大小；3. 射影面积可以通过投影公式和向量运算来计算。
三、射影面积法的应用射影面积法在几何学和物理学中有广泛的应用，其中包括以下几个方面：1. 几何学中的角度计算：通过射影面积法可以计算任意两个平面所夹的角度大小，从而求解几何问题；2. 物理学中的力学问题：在力学问题中，二面角可以表示两个力的夹角，通过射影面积法可以计算力的合成和分解；3. 工程学中的结构设计：在结构设计中，二面角可以表示两个构件的夹角，通过射影面积法可以计算结构的稳定性和强度。
四、射影面积法的计算步骤射影面积法的计算步骤如下：1. 确定两个平面的方程；2. 计算两个平面的交线；3. 确定投影方向和投影面积；4. 计算射影面积；5. 根据射影面积计算二面角大小。
五、射影面积法的优缺点射影面积法作为一种求解二面角的方法，具有以下优点：1. 原理简单易懂，计算步骤清晰明确；2. 适用范围广泛，可以应用于多个学科领域；3. 结果准确可靠，能够满足实际需求。
然而，射影面积法也存在一些缺点：1. 计算过程稍复杂，需要一定的数学基础和计算能力；2. 对于一些特殊情况，射影面积法可能无法提供准确的结果；3. 在实际应用中，射影面积法往往需要结合其他方法和技术进行综合分析。
巧用面积射影公式S射=S原·cosθ解题
Ｏ ＱＵＬ Ｅ ＮＸＥＩ Ｋ ￣
…
一
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２
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故ａ 而 一 一一 ｛ ｔ＿ 阳 ＝ √ √ 一
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的状况．
（ ＡＢ Ｂ Ｉ） 上 Ｃ
个方法就是面积射影法 ， 本文通过对近几年来立 体 几何题 中求面积和二面 角的 问题 进行研 究 ， 现 ： 发 利
一
哪个面 的射影 ， 然后代入公式进行求解 即可．
【 １ 如 图 ，已 知 正 四 棱 柱 Ａ Ｄ ～ 例 】 ＢＣ
ＡＢｃＤ ， Ｅ在棱 Ｄ Ｄ 上 ， 面 Ｅ Ｃ／ 且 面 点 截 Ａ ‘ ＤＢ， ／
【６ 函 ， 一｝ 值 ． 例】求 数（ ｝ 的域 薹 ）
解 析 ： 。 ｆ （０） ． 。
５ ｆ ４ ｉＯ 一 一 ｓｎ ） ３ （ ２ ｏ０ ’ － － ｃ ｓ ）
‘ ． ．
系， 则可考虑通过 构造几何 图形将题设中的数 量关系
直接在图形 中得 以实现 ， 然后 ， 借助 于图形的性质 ， 而
二 、 式 的 运 用 公 １ 巧 用公 式 求 面积 ．
在实 际立体几何题 目中大多还是 以求三角形的 四、 构造几何图形 如果 问题条件 中的 数量关 系有明显 或隐含 的几 何意义与背景 ， 能以某种方式与几何图形建立起联 若
一
步到位 ， 简捷 明了．
１（ ｆ ｃ ｄ 口 ＋ｂ＋ｂ ）
得 到 问题 的解 决 ．
‘
【 ５ 设 ａ ６Ｃｄ都是正数 ， 例 】 、、、 证明 ： 存在一个三
—
构造平 面直角坐标 系 ３ ７
射影面积法求二面角原理
射影面积法求二面角原理引言：射影面积法是一种常用于计算几何体二面角的方法，它基于射影面积的概念，通过计算几何体在某一平面上的投影面积来确定二面角的大小。
本文将介绍射影面积法求二面角的原理和应用。
一、射影面积法的基本原理射影面积法是基于几何体在不同平面上的投影面积与几何体二面角之间的关系来进行计算的。
具体而言，我们可以通过在几何体上选择一个合适的平面，将几何体投影到该平面上，然后计算投影面积，最后利用投影面积与二面角之间的关系，求解二面角的大小。
二、射影面积法的步骤1. 选择适当的平面：根据几何体的特点和问题的要求，选择一个合适的平面进行投影。
通常情况下，选择与几何体的某一面垂直的平面可以简化计算过程。
2. 进行投影：将几何体投影到所选择的平面上，得到投影面积。
投影的方法可以根据几何体的形状和问题的要求灵活选择，常用的投影方法包括平行投影和中心投影等。
3. 计算投影面积：根据投影所得到的平面图形的形状和大小，使用几何学方法计算投影面积。
根据平面图形的形状，可以使用不同的计算公式，如矩形的投影面积为底边长度乘以高度，三角形的投影面积为底边长度乘以高度的一半等。
4. 计算二面角：根据投影面积与二面角之间的关系，利用所得到的投影面积计算二面角的大小。
具体的计算方法可以根据几何体的特点和问题的要求选择，常用的计算方法包括使用正弦定理、余弦定理等。
三、射影面积法的应用举例1. 求解四面体的二面角：对于一个四面体，可以选择一个面作为投影面，将四面体投影到该面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解四面体的二面角。
2. 求解棱柱的二面角：对于一个棱柱，可以选择柱面作为投影面，将棱柱投影到柱面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解棱柱的二面角。
3. 求解球体的二面角：对于一个球体，可以选择一个切面作为投影面，将球体投影到该切面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解球体的二面角。
四、射影面积法的优缺点射影面积法作为一种计算几何体二面角的常用方法，具有一定的优点和缺点。
射影面积法求二面角原理
射影面积法求二面角原理概述：射影面积法是计算二面角的常用方法之一，它基于物体在不同角度下的射影面积的变化来求解二面角。
二面角是指由两个平面所夹的角，它在几何学和计算几何学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍射影面积法求解二面角的原理及其应用。
一、射影面积法原理射影面积法通过计算物体在不同角度下的射影面积来求解二面角。
具体步骤如下：1.选择观察点：确定观察点的位置，通常选择观察点位于物体所在平面外部，且与物体的一条边垂直相交。
2.确定观察面：从观察点出发，选择一个平面作为观察面，该平面与物体的一条边垂直相交，并且与观察点所在平面垂直。
3.计算射影面积：在观察面上，以物体的一条边为边界，通过观察点将物体投影到观察面上，计算投影的面积。
4.改变观察角度：保持观察点不变，改变观察面与物体的夹角，重复步骤3，计算不同角度下的射影面积。
5.计算二面角：根据不同角度下的射影面积，利用数学方法求解二面角的大小。
二、射影面积法的应用射影面积法可以应用于多个领域，包括几何学、物理学、计算机图形学等。
以下是该方法的一些具体应用：1.计算物体的空间角：射影面积法可以用于计算物体在空间中所占的角度，例如计算两个平面所夹的角度、计算一个立体角等。
2.三维建模：在计算机图形学中，射影面积法可以用于三维建模和渲染，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以生成真实感的三维模型。
3.物体识别：射影面积法可以应用于物体识别和目标跟踪，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以对物体进行形状和姿态的判断。
4.光线追踪：在光线追踪算法中，射影面积法可以用于计算光线与物体的相交情况，从而实现真实感的光影效果。
总结：射影面积法是一种常用的求解二面角的方法，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以准确地求解二面角的大小。
该方法在几何学、物理学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，可以用于计算物体的空间角、三维建模、物体识别和光线追踪等方面。
射影面积法的原理简单易懂，但在具体应用中需要注意选择合适的观察点和观察面，以及正确计算射影面积。
射影面积法在高考中的运用
射影面积法在高考中的运用随着社会科学的发展和技术的进步，许多新技术和新方法在高考中得到了广泛应用。
射影面积法作为数理化科目高考中较新的一种统计方法，在最近几年中，越来越多地受到了高考考生和教师的重视。
本文试图分析射影面积法在高考中的运用，从而探讨其在高考中的优势和不足。
一、射影面积法是什么射影面积法，也称为网格分析法或空间网格分析法，是一种基于地理或重点空间点的信息编码方法。
其基本原理是将地图上的特定区域划分为一个个的小面积单位，每一单位面积都有一组指定的参数。
研究者可以根据该参数来统计出不同区域的特征，并利用这些特征推断出区域之间的相关性。
二、射影面积法在高考中如何运用1、射影面积法可以帮助考生更准确地了解高考知识点射影面积法可以帮助考生更准确地了解高考知识点。
通过计算和分析射影面积，考生可以更全面地掌握高考知识点，掌握知识点之间的内在联系，甚至进一步推导出新的知识点。
2、射影面积法可以提高高考的答题准确率因为射影面积法可以帮助考生更准确地了解知识点，所以考生在高考中使用此方法，可以提高其答题准确率。
三、射影面积法在高考中的优势和不足1、射影面积法在高考中具有很强的优势射影面积法可以有效地提高答题准确率，可以帮助考生更全面的了解高考知识点，还可以有效地分析地理内容。
2、射影面积法也有其不足之处尽管射影面积法有很多优势，但它也存在一些不足之处，比如难以解决较大范围的问题，而且需要大量计算时间，计算结果可能会出现误差。
综上所述，射影面积法在高考中是一种很有帮助的统计方法，可以帮助考生更加准确地掌握高考知识点，提高答题准确率。
当然，射影面积法也有其不足之处，应根据实际情况灵活运用，以及不断完善运用方法，相信在不久的将来，射影面积法会在高考中发挥更大的作用。
射影面积法求二面角
射影面积法（cosS S 射影原）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。
例1、 如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD 中， AD ∥BC,∠ABC=90°，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=BC=1，AD=21 .求面SCD 与面SAB 所成的角的大小。
解法1：可用射影面积法来求， 这里只要求出S △SCD 与S △SAB 即可， 故所求的二面角θ应满足cos θ==111212322⨯⨯⨯⨯=6。
例2．（2008理）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；A CBP图1SDCBA解：（Ⅰ）证略（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥． 又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且ACPC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 的射影， CE AP ∴⊥．∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 的射影， 于是可求得：2222=+===CB AC AP BP AB ，622=-=AE AB BE ，2==EC AE 则1222121=•=•==∆CE AE S S ACE 射， 3622121=•=•==∆EB AE S S ABE 原 设二面角B AP C --的大小为ϑ，则3331cos ===原射S S ϑ ∴二面角B AP C --的大小为33arccos =ϑ练习1： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的 棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成 锐角的余弦值.（答案：所求二面角的余弦值为cos θ=32）.ABE P A 1D 1B 11EDBCA图52. 如图一，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AP AB ==,22BC =,E F ，分别是AD PC ，的中点.(1)证明：PC ⊥平面BEF ；（2）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小. 题（1）解略；题（2）中平面BEF 与平面BAP 夹角即为平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角.方法一：垂面法在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得的图形便是二面角的平面角.如图一：PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,PA BC ∴⊥.又,BC AB ABPA A ⊥=,BC ∴⊥平面BAP .又BC ⊂平面PBC ,∴平面PBC ⊥平面BAP . 由题（1），PC ⊥平面BEF ，PC ⊂平面BEF ，∴平面PBC ⊥平面BEF . 所以PBF ∠是所求二面角的平面角.222221122,22PB PA AB PF PC AB BC PA =+===++, 2sin ,.24PF PBF PBF PB π∴∠==∠= 即平面BEF 与平面BAP 夹角为4π. 方法二：平移平面法如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角.如图二：取BC 的中点G ，连接,FG EG .,E F 分别是,AD PC 的中点，,EGAB FG PB ∴.又,FG EG G AB PB B ==,∴平面EFG 平面BAP .∴二面角B EF G --的大小就是平面BEF 与平面BAP 夹角的大小.可以证明BFG ∠为二面角B EF G --的平面角，并求出其大小为4π. 方法三：射影法利用公式'cos S Sθ=，其中S 表示二面角的一个半平面某个多边形的面积，'S 表示此多边形在另一个半平面射影的面积，θ表示原图形与射影图形所成的二面角.如图三：取PB 的中点H ，连接,FH AH ,F 为PC 中点, ,FH BC AE BC ∴.由解法一知，BC ⊥平面BAP ,FH ∴⊥平面BAP ，AE ⊥平面BAP ,∴点F 、E 在平面BAP 的射影分别为H 、A . BEF ∴∆在平面BAP 上的射影为BAH ∆. 可以证明BEF ∆和BAH ∆均为直角三角形.1,,2HFBC AEBC HF BC BC ==, ∴四边形HFEA 为平行四边形，EF AE ∴=. 记平面BEF 与平面BAP 夹角为θ，则2cos BAH BEF S S θ∆∆==, 所以4πθ=，即平面BEF 与平面BAP 夹角为4π.3.已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。
射影面积法求二面角
射影面积法求二面角.
射影面积法是一种求解二面角大小的方法。
对于图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的二面角，可以利用射影面积公式（cosθ=S射/S斜）求得其
大小。
例如，在底面为一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，
AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，SA=AB=BC=1，
AD=2.要求面SCD与面SAB所成的角的大小，可以利用射影
面积法，求出S△SCD和S△SAB，然后根据cosθ=S射/S斜
的公式计算出二面角θ的大小。
又如，对于三棱锥P-ABC，其中AC=BC=2，∠ACB=90，AP=BP=AB，PC⊥AC。
要求证PC⊥AB，并求二面角B-AP-
C的大小。
可以通过证明△APC≌△BPC和PC⊥BC，进而推
出PC⊥AB。
然后，利用射影面积法，求得S射和S原，根据cosθ=S射/S原的公式计算出二面角B-AP-C的大小。
练题中，要求求解正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的
中点E所在平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值。
根据题目的条件，可以得出CE=1/√2，AE=√3/2，因此S射/S
原=1/3，所求二面角的余弦值为cosθ=2/3.
另一题中，要求在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2√2，E，F分别是AD，PC的中点。
由于题目中未给出要求的角的具体信息，无
法进行求解。
二面角大小的几种求法(归类总结分析)
二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
I.寻找有棱二面角的平面角的方法(定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法)一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。
例空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B-PC-A 的大小。
解：过PC 上的点D 分别作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ，连EF.∴∠EDF 为二面角B-PC-A 的平面角，设CD=a ，∵∠PCA=∠PCB=600，∴CE=CF=2a ，DE=DF=a 3，又∵∠ACB=900，∴EF=，∴∠EDF=31328332222=⋅-+a a a a PB αC AE FD二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
例在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
解：如图，PA ⊥平面BD ，过A 作AH ⊥BC 于H ，连结PH ，则PH ⊥BC 又AH ⊥BC ，故∠PHA 是二面角P-BC-A 的平面角。
在Rt △ABH 中，AH=ABsin ∠ABC=aSin30°=2a ；在Rt △PHA 中，tan ∠PHA=PA/AH=22aa =，则∠PHA=arctan2.三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
射影面积法在高考中的运用
射影面积法在高考中的运用《射影面积法（ProjectionPlaneMethod）》是一种有效率考核学生空间概念能力的教学方法，它将运用平面图形和空间图形的平面转换原理，通过有效地组织学生的视觉图形认知，辅助学生更好地理解空间概念，加深对空间概念基础知识的认知，最终提高学生的学习成绩。
射影面积法在高考中的应用已经有了显著的成效，从而为学生的学习提供了一种新的思维方式。
射影面积法是一种有效地考核学生空间概念能力的教学方法。
它通过有效地运用平面图形和空间图形的平面转换原理，利用视觉图形认知加深学生对空间概念的理解，从而提高学生的空间概念能力和学习的效果。
射影面积法在高考计算机科目中的应用，主要是通过把三维空间中的立体图形，转化为合适的二维平面图形，然后计算图形的面积来考核学生的空间概念能力。
射影面积法在高考中的运用主要有如下几个方面：一是用于检验学生的空间概念能力。
射影面积法可以用来检验学生对立体图形理解的能力，以及能否将其正确转换为二维平面图形，并计算出正确的面积值。
二是训练学生的解空间问题能力。
射影面积法可以帮助学生更好地理解三维立体图形，从而更好地解决空间问题，同时也可以帮助学生掌握空间概念的正确认知。
三是培养学生的对立体图形的认知能力。
学生既可以在教学中感知立体图形的信息，又可以通过认知原理把三维空间中的立体图形正确转换为二维平面图形，从而培养学生正确理解立体图形的能力。
射影面积法在高考中得到了广泛的应用，可以有效地帮助学生提高空间概念能力和解决空间问题的能力，从而更好地提高学生的学习成绩。
首先，射影面积法可以有效地检验学生的空间概念能力。
其次，它可以训练学生的解空间问题的能力，帮助学生更好地理解空间概念，更好地解决空间问题，帮助学生掌握正确的空间概念认知。
最后，射影面积法可以帮助学生培养正确理解立体图形的能力，加强学生对立体图形信息的认知。
综上所述，射影面积法在高考中有着显著的应用效果。
它让学生更好地理解空间概念，加强对立体图形的认知，从而提高学生的学习成绩。
射影面积法在高考中的运用
射影面积法在高考中的运用
中国拥有丰富的古文化，在古代，儒家就提出了“以射影面积法”的概念，这一概念也在中国的艺术和文学作品中得到了广泛的运用。
射影面积法是以把一定实际矩形面积限定在合适的范围内，设计出尽量合理、尽量不规则、兼容并蓄的平面结构。
从中国古代到现代，射影面积法在许多场景中得到了应用。
尤其是在高考中，射影面积法为考生制定出合理的考试结构，使考题的质量更加稳定，让考生能够全面把握考试内容，得到优异的成绩。
射影面积法在考题结构中的应用，不仅使考试结构更加合理，而且也能够将考试内容按照重点，精准分配给每个考生，从而给考生更多的反应机会，让考生得到更多考试知识和技能。
此外，射影面积法也会在高考中有更多的应用。
例如，可以将高考考题题型完全按照射影面积法进行设计，从而让每一个考题都更加精确、更加合理。
也可以将高考的分值也按照射影面积法进行设计，比如将高考中的重点知识点放大，而将不重要的知识点缩小。
这样可以让考生能够更加清楚地掌握重点知识点，取得更好的成绩。
总之，射影面积法是一种非常有效的考试结构设计方法，它可以让考生了解考试的重要内容，可以更好的发挥考生的潜力，提高考生的考试成绩。
正是由于射影面积法的出色运用，让我们的高考更加客观、安全和公平，也给考生更多的发挥机会，更好地发掘考生的潜能。
射影面积法
射影面积法在两平面间二面角的求法中,一种是利用余弦定理,另外一种便是射影面积法. 详细方法:一个面上取个三角型面积为S1 在另一个面上做或者找到那个三角形的射影（即以3个点的射影为顶点的三角形）的面积S2。
二面角为X 则COSX=S2/S1三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
用法：∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥AO ∴a⊥PO逆定理三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
用法：⊥AO∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥PO ∴a例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC 在平面α内，点在α外，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥ α，垂足分别是E 、F 、O ，PE=PF求证：∠BAO=∠CAO证明：连接PA ，OE ，OF ∵ PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥ α， ∴AB ⊥OE ，AC ⊥OF （三垂线定理的逆定理） ∵ PE=PF ，PA=PA ，∴Rt PAE ≌Rt PAF 。
∴AE=AF 又AO=AO ∴，∴Rt AOE ≌Rt AOF 。
∴ ∠BAO=∠CAO用公式法求二面角的平面角大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就确定．它们之间一定存在着某种必然的内在联系．事实上，我们有如下的定理． 定理 设 为一个三面角， ，，，二面角 的平面角为，则有．略证：如图，， ，则 ．令 ，．在△ 中，，．同理，，．故．又在△ 中， ， ①在△中，． ②αABCO PE F由①，②得．证毕同理可证，当，中有一个为钝角（或直角）时，公式也照样成立（这里从略）．由此可知：（1）将此公式反过来，只要知道了，，，即可求平面角；（2）此公式与三角形中的余弦定理有相似之处，不妨把它叫做三面角的余弦定理．例1 已知正三棱锥侧面与底面的夹角为，任两侧面的夹角为 ，求证．略证：如图2，设为正棱锥，构成三面角．又设的平面角为，的平面角为，．由公式得:，故．①又，故．②由①，②得．例2 如图，在梯形中，，，，，，，平面，求以为棱的二面角的大小（1994年上海高考题）．略解：构成三面角，令，则，cos10ϕ=，设，，，．由，，，知，．又在△中，由，，得．在△中，．令，则，．由公式得，．∴．例3 如图,已知正三棱柱111ABC A B C-，为的中点，（1）求证：1//AB平面BDC1；（2）若，求以为棱的二面角的大小．（1994年上海高考题）略解：为三面角，连结，交于．连结．111111122DE AB BCDBEAB BC DE BC⎫==⎪⇒∆⎬⎪⊥⇒⊥⎭是等腰直角三角形．令，则，．由，得．设，，，例3图DC BC1B1A1A，，．由公式得即，．∴．AND：AB和平面α所成的角是θ,,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′,成角θ2.设∠BAC=θ,cosθ1cosθ2=cosθ3.在两个互相垂直的平面的交线上任取一点,过这点在两个平面内各作一条射线,设这两条射线在过这点的交线的垂面的同侧且与交线所成角分别θ1θ2。
二面角四种求法_5个例题解决二面角难题
四法求二面角二面角是高考的热点内容之一，求二面角的大小应先作出它的平面角，下面介绍作二面角的平面角四种方法：定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。
（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
注：o 点在棱上，用定义法。
(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。
注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。
注：点O 在二面角内，用垂面法。
(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ S A 图3 αβO B l O 图5 β α l CB A例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。
（三垂线定理法）分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。
解∵ PC⊥平面ABC∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA －C的平面角。
设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴∠PAC＝45°∴在Rt△DEA评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。
例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。
（图1－126）（垂面法）分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ.同理，有PB⊥a，∵ PA∩PB=P，∴ a⊥面PAQB于Q又 AQ、BQ平面PAQB∴ AQ⊥a，BQ⊥a.∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角。
(完整版)用射影面积法求二面角在高考中的妙用
用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理 已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为'S ，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则SS 'cos =θ.本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.证明：如图，平面β内的△ABC 在平面α的射影为△BC A '，作BC AD ⊥于D ，连结AD. α⊥'AA Θ于'A ，α∈D ，AD ∴在α内的射影为D A '. 又α⊂⊥BC BC AD ,Θ，BC D A ⊥∴'（三垂线定理的逆定理）. 'ADA ∠∴为二面角α—BC —β的平面角.设△ABC 和△BC A '的面积分别为S 和'S ，θ=∠'ADA，则D A BC S AD BC S ''21,21⋅=⋅=. SS AD BC DA BC AD D A '''2121cos =⋅⋅==∴θ. 典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1 如图,已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是A A 1棱的中点，则面BE C 1与面AC 所成的二面角的大小为( ) A.︒45 B. 21arctan C. 42arctanD. 32arccos 解：连结AC ，则△1EBC 在面AC 内的射影是△ABC ，设它们的 面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ . 设正方体的棱长为2，则AB = BC = 2，.31)22(,22,52211=+===EC BC BE.103cos 1sin ,1012cos 1211212121=∠-=∠=⋅-+=∠EBC EBC BC BE EC BC BE EBC.32cos ,221,3sin 21''11===⋅==∠⋅=∴S S BC AB S EBC BC BE S θ 32arccos =∴θ. 故答案选D.例2（04北京）如图, 已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形(1) 求证:BC ⊥SC;(2) 求面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小; (3) 设棱SA 的中点为M, 求异面直线DM 与SB 所成的角的大小. （1）证明：Θ SD ⊥面AC ，∴SC 在面AC 内的射影是SD.又Θ四边形ABCD 是正方形，⊂BC 面AC ，∴ BC ⊥SC （三垂线定理）.'AA B D Cα1 C A 1 C A（2）解：Θ SD ⊥面AC ，⊂CD 面AC ，CD SD ⊥∴.又Θ四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴. 而D SD AD =I ，∴CD ⊥面ASD. 又AB ∥CD ，∴BA ⊥面ASD.∴△SBC 在面SAD 的射影是△SAD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ .Θ,2,3,1,9022==-=∴==︒=∠SD BC SB SC SB BC SCB .22cos ,2121,2221''===⋅==⋅=∴S S SD AD S SC BC S θ 故所以面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小为4π.（3）解：取AB 的中点E ，连结DE 、ME. EB AE MS AM ==,Θ，∴ME ∥SB.∴异面直线DM 与SB 所成的角就是DME ∠，设θ=∠DME .25,232122=+===AE AD DE SB ME ，2221,222===+=SA MD SD AD SA .02cos 222=⋅-+=∴ME MD DE ME MD θ. 故2πθ=.所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2π. 解法二：⊥BA Θ面SAD ，∴SB 在面SAD 内的射影是SA.又SA DM MS AM SD AD ⊥∴===,,1Θ. 而⊂DM 面SAD ，SB DM ⊥∴（三垂线定理）. 所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2π. 例3 （04浙江）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面 互相垂直，AB = 2，AF = 1，M 是线段EF 的中点. (1) 求证：AM ∥平面BDE ； (2) 求证：面AE ⊥平面BDF ； (3) 求二面角A —DF —B 的大小. 证明：（1）设O BD AC =I ，则AC AO 21=，连结OE. Θ四边形ACEF 是矩形，EF EM 21=， AO EM =∴，EM ∥AO.∴四边形AOEM 是平行四边形，从而AM ∥EO.又⊂EO Θ平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE. （2）Θ四边形ABCD 是正方形，AC BD ⊥∴.又Θ正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AC EC ⊥，面BD I 面AE= AC ， ∴BD EC 面⊥，从而BD EC ⊥. 而C EC AC =I ，AE BD 面⊥∴. ⊂BD Θ平面BDF ， ∴面AE ⊥平面BDF.D AMC BEFD A MC BEFO（3）解：A AF AD AF BA AD BA =⊥⊥I Θ,,，ADF BA 面⊥∴.∴△BDF 在面ADF 上的射影是△ADF ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. ΘAB = 2，AF = 1，3,2,2====∴FD FB BD AD .连结FO ，则2,22=-=⊥BO FB FO BD FO ..21cos ,2221,221''===⋅==⋅=∴S S AF AD S FO BD S θ故3πθ=.所以二面角A —DF —B 的大小为3π. 例4 （08天津）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩 形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD . （1）证明：AD ⊥平面PAB ；（2）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （3）求二面角P —BD —A 的大小. （1）证明：,22,2===PD PA AD Θ222PD PA AD =+∴.︒=∠∴90PAD ，即PA DA ⊥.又Θ四边形ABCD 是正方形， AB DA ⊥∴.而A PA AB =I ，AB 、PA ⊂面PAB ，∴AD ⊥平面PAB. （2）ΘAD ∥BC ，∴异面直线PC 与AD 所成的角就是PC 与BC 所成的角，即PCB ∠. 在△PAB 中，AB = 3，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD ，7,72222==⋅-+=∴PB AB PA AB PA PB .由（1）得，AD ⊥平面PAB.PB CB ⊥∴，即︒=∠90CBP . 又ΘBC = AD = 2，27tan ==∠∴BC PB PCB . 27arctan =∠PCB . 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为27arctan . （3）作AB PE ⊥于E ，连结DE.由（1）知，PE AD ⊥，而A AD AB =I ， ⊥∴PE 面ABCD.∴△PBD 在面ABCD 内的射影是△EBD ，设 它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ .2,160cos ,1322=-==︒==+=AE AB BE PA AE AD AB BD .14255cos 1sin ,14212cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠BPD BPD PD PB BD PD PB BPD . 221,255sin 21'=⋅==∠⋅⋅=∴AD BE S BPD PD PB S .554cos '==∴S S θ，554arccos =θ.D MC BEFOPA DB CEPA DB所以二面角P —BD —A 的大小为554arccos.点评：例1和例2 中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！金指点睛1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD.（1）证明：AB ⊥平面V AD ；（2）求面V AD 与面VDB 所成二面角的大小.2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点. （1）证明：ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线； （2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小.3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角A —PC —D 的大小.4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是SD上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）. （1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ；（2）若二面角C —AE —D 的大小为︒60，求λ的值.金指点睛的参考答案1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD.（1）证明：AB ⊥平面V AD ； （2）求面V AD 与面VDB 所成二面角的大小. （1）证明：取AD 的中点E ，连结VE. AD VE ED AE VD VA ⊥∴==,,Θ.又Θ平面V AD ⊥底面ABCD ，VE ⊂平面V AD ，S A B D CEV D C A B 1CC BADE 1A1BEB C A D PV D C∴VE ⊥底面ABCD. ∴V A 在底面ABCD 的射影是AD.ΘAB ⊥AD ，AB ⊂底面ABCD ，∴ AB ⊥V A （三垂线定理）. 而,A AD VA =I V A 、AD ⊂平面V AD ，故AB ⊥平面V AD.（2）由（1）可知，AB ⊥平面V AD ，∴△VBD 在平面V AD 的射影是△V AD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. 设正方形的边长为1，则2,222=+==VA AB VB BD .47cos 1sin ,432cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠VBD VBD BV BD VD BV BD VBD .4360sin 21,47sin 21'=︒⋅==∠⋅=∴VD VA S VBD BV BD S .721cos '==∴S S θ，721arccos =θ.所以面V AD 与面VDB 所成二面角的大小为721arccos .2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点.（1）证明：ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线；（2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小. （1）证明：取AC 的中点F ，连结EF 、BF. EF EC AE FC AF ∴==,,1Θ∥1121,CC EF CC =. 在直三棱柱ABC —111C B A 中，⊥1CC 面ABC ，11BB CC =，1CC ∥1BB ，121BB DB =， EF ∴∥DB ，EF= DB ，⊥EF 面ABC. ∴四边形BDEF 是矩形. 从而1BB ED ⊥. 在Rt △ABD 和Rt △D B C 11中，D B BD D B C ABD B C AB 11111,90,=︒=∠=∠=. ∴ Rt △ABD ≌Rt △D B C 11.D C AD 1=∴. 而,1EC AE = 1AC ED ⊥∴ 所以ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线.（2）解：连结1AB .2221,,2BC AB AC BC AB AB AC AA +=∴===Θ.︒=∠=∠∴90111CBA A B C ，即⊥11B C 面11A ABB1AC ∴在面11A ABB 内的射影是1AB .∴△D AC 1在面11A ABB 内的射影是△D AB 1.设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ.设AB = BC = 1，则22,26,22,2,22222111=-==+=====AE AD DE BD AB AD D B AC CC AC .4221,22211'1=⋅==⋅=∴AB DB S DE AC S . .3,21cos 'πθθ===S S 所以二面角11C AD A --的大小为3π. 3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6. （1）求证：BD ⊥平面PAC ；1C C B A DE 1A 1B1CC BADE1A1B F1CC BADE1A1B（2）求二面角A —PC —D 的大小.（1）证明：在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，︒=∠=∠90BAD ABC ， AD = 2，32=AB ，BC = 6.33tan ,33tan ==∠==∠∴BC AB ACB AB AD ABD . ︒=∠=∠∴30ACB ABD . 而︒=∠+∠90DBC ABD ， ︒=∠+∠∴90DBC ACB ，即AC BD ⊥.又Θ PA ⊥平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，BD PA ⊥∴.A AC PA =I Θ，PA 、AC ⊂平面PAC ，故BD ⊥平面PAC.（2）解：连结PE. 由（1）知，BD ⊥平面PAC.∴△PDC 在平面PAC 内的射影是△PEC ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. ΘPA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，PB BC ⊥∴（三垂线定理）.7222=+=AB PA PB ，从而822=+=BC PB PC . 72)(,522222=-+==+=AD BC AB DC AD PA PD .3330cos ,30,90=︒⋅=∴︒=∠︒=∠BC EC ACB BEC Θ.5431cos 1sin ,5472cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠CPD CPD PD PC CD PD PC CPD . 3621,312sin 21'=⋅==∠⋅⋅=∴PA EC S CPD PD PC S . .31933arccos ,31933cos '===θθS S 所以二面角A —PC —D 的大小.31933arccos4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是SD上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）.（1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ； （2）若二面角C —AE —D 的大小为︒60，求λ的值.（1）证明：连结BD. Θ四边形ABCD 是正方形，BD AC ⊥∴. 又Θ SD ⊥平面ABCD ，SD = a ，点E 是SD 上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ），∴点E 在线段SD 上，且不与点D 重合，因而BE 在平面ABCD 内的射影是BD. ∴对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE （三垂线定理）.（2）解：设O BD AC =I ，连结EO.Θ SD ⊥平面ABCD ，点E 是SD 上的点，⊂CD 平面ABCD ， CD SD ⊥∴. 又Θ四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴.而D AD SD =I ，SD 、AD ⊂面SAD. ∴CE 在平面SAD 内的射影是AE. ∴△CAE 在在平面SAD 内的射影是△DAE. 设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ，则︒=60θ. a a a EC EA a AC a DE a AD 2221)(,2,,λλλ+=+===∴==Θ.a AO EA EO AC EO 242,222λ+=-=⊥∴. 2121cos ,2121,221212'2'22=+===⋅=+=⋅=∴λλθλλS S a AD ED S a EO AC S .解得22=λ，所以λ的值为22.EB CA DPEB C A DPSA BD CEO。
射影面积法推导过程
射影面积法推导过程第一篇嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊神奇的射影面积法推导过程哟！想象一下，咱们有一个平面图形，就像一个可爱的小饼干。
然后呢，有一束光照过来，这图形在某个平面上就有了影子，这个影子的面积可就有大用处啦！咱们先从简单的开始。
假如有一个三角形，它斜着放着。
当光线垂直照下来的时候，它在水平面上的影子就变得特别有趣。
我们来仔细瞧瞧，三角形的面积公式是底乘以高除以 2 对吧？那它的射影呢，其实也有类似的关系。
因为光线垂直的时候，原来三角形的高在水平面上的射影长度会发生变化。
比如说原来的高是 h，和光线的夹角是θ ，那射影的长度就是h 乘以cosθ 。
这样一来，原来三角形的面积和它射影的面积之间就有了一个巧妙的联系。
再复杂一点的图形也不怕，咱们可以把它们分割成一个个小三角形，分别找它们的射影，然后加起来。
是不是感觉有点神奇啦？其实射影面积法就是这么有趣，让我们能轻松解决好多难题呢！第二篇哈喽呀，朋友们！今天咱们要一起探索射影面积法的推导过程，准备好你们的小脑袋瓜哟！你看，咱们生活中到处都有影子，图形也不例外。
射影面积法就像是图形影子的魔法秘籍。
比如说有一个多边形，它的边边拐来拐去的。
但是别担心，咱们可以一条边一条边地来看它们的射影。
每一条边在光线照射下都有自己的影子长度。
然后呢，我们把这些边的射影长度组合起来，就能得到整个多边形射影的形状和面积。
假设这个多边形有好多好多的顶点，我们把相邻的顶点连起来，就变成了一堆小三角形。
对于每个小三角形，我们都能按照前面说的方法找到它的射影面积。
把这些小三角形的射影面积加起来，哇塞，就得到了整个多边形的射影面积啦！是不是感觉像是在玩一个有趣的拼图游戏？通过射影面积法，我们能更巧妙地理解图形之间的关系，解决那些看似复杂的数学问题。
怎么样，是不是很有趣呀？。
面积射影定理
面积射影定理射影定理是我们初中时就接触了的几何定理，它是由古希腊数学家欧几里得提出的一个重要定理，在它的帮助下我们不仅可以证明勾股定理，还可以快捷地解决许多几何问题。
在这里我想介绍一下同样由他提出的一个重要定理——面积射影定理。
定理的叙述如下：平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。
（即原射S S =θcos ）。
相信大家对这个定理一定不会感到陌生，因为在学习立体几何时我们就曾用它来求二面角的余弦值。
但是定理的相关证明并没给出，所以在这里提供一种方法（可能不是很靠谱-_-）。
本着由特殊到一般的理念，我们就先从三角形开始吧。
个三角形所在平面成θ角，而为了方便，不妨将它们平移至特殊位置。
（如图）于是易知θcos ==∆∆DE CE ABD S ABC S 。
而对于无法平移至一边重合的三角形，我们可以采用延长一边的办法补全两个三角形，再结合相似知识，同样可以得证，接下来我们开始讨论一般图形了，一般图形所具有的特点是没有明显的高和宽，这就迫使我们不得不转变思路。
所以，我们可以尝试将图形分割，并且可以想象，当图形被等分成无限多块时，如果每一小块都符合定理，那么整个图形也就同样符合了。
因此，我们以一个不规则图形为例进行说BA E明。
在图示的心形图形中，我们将图形用正方形网格进行分割，当网格数趋于无穷大时，图形将被分割为无限多块面积相等的小正方形（就如同构成影像的像素），所以证明一般图形就转为证明正方形了。
在证明正方形时我们则可以将正方形分成两个三角形，再结合上开头的结论，这样，证明就完成了。
关于面积射影定理的应用，当属大家所熟知的求二面角余弦值了。
但是在其他地方它也可以大显身手，比如求椭圆的面积。
我们知道椭圆是圆柱体被一斜平面所截时产生的图形，（如图）圆面与圆柱底面成θ角，由面积射影定理得θcos 圆椭圆S S =，即θπcos 2r S =椭圆。
又因为r b r a 22,cos 22==θ,所以ab a b r S πθθπθπ=⋅⋅==cos cos cos 2椭圆 影子不仅为人们提供了阴凉，还将完整的物体展现给了我们。
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射影面积法
在两平面间二面角的求法中,一种是利用余弦定理,另外一种便是射影面积法. 详细方法:一个面上取个三角型面积为S1 在另一个面上做或者找到那个三角形的射影（即
以3个点的射影为顶点的三角形）的面积S2。
二面角为X 则COSX=S2/S1
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
用法：∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥AO ∴a⊥PO
逆定理
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
用法：
⊥AO
∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥PO ∴a
例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC 在平面α内，点在α外，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥ α，垂足分别是E 、F 、O ，PE=PF
求证：∠BAO=∠CAO
证明：连接PA ，
OE ，OF ∵ PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥ α， ∴AB ⊥OE ，AC ⊥OF （三垂线定理的逆定理） ∵ PE=PF ，PA=PA ，∴Rt PAE ≌Rt PAF 。
∴AE=AF 又AO=AO ∴，∴Rt AOE ≌Rt AOF 。
∴ ∠BAO=∠CAO
用公式法求二面角的平面角
大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就
确定．它们之间一定存在着某种必然的内在联系．事实上，我们有如下的定理． 定理 设 为一个三面角， ，
，
，
二面角 的平面角为
，则有
．
略证：如图，
， ，则 ．令 ，
．在
△ 中，
，
．同理，
，
．故
．
又在△ 中， ， ①
在△
中，
． ②
α
A
B
C
O P
E F
由①，②得．证毕
同理可证，当，中有一个为钝角（或直角）时，公式也照样成立（这里从略）．
由此可知：（1）将此公式反过来，只要知道了，，，即可求平面角；（2）此公式与三角形中的余弦定理有相似之处，不妨把它叫做三面角的余弦定理．
例1 已知正三棱锥侧面与底面的夹角为，任两侧面的夹角为 ，求证
．
略证：如图2，设为正棱锥，构成三面角．又设的平面角为，的平面角为，．
由公式得:
，故．①又，故．②
由①，②得．
例2 如图，在梯形中，，，，，
，，平面，求以为棱的二面角
的大小（1994年上海高考题）．
略解：构成三面角，令，则
，cos
10
ϕ=，
设，，，．
由，
，，知，．又在△中，由，，得．
在△中，．令，则
，
．
由公式得，．
∴．
例3 如图,已知正三棱柱
111
ABC A B C
-，为的中点，（1）求证：
1
//
AB平面BDC1；（2）若，求以为棱的二面角的大小．（1994年上海高考题）
略解：为三面角，连结，交于．连结．
11
111
11
22
DE AB BC
DBE
AB BC DE BC
⎫
==⎪
⇒∆
⎬
⎪
⊥⇒⊥⎭
是等腰直角三角形．
令，则，．
由，得．
设，，，
例3图
D
C B
C1B
1
A1
A
，，．
由公式得
即，．
∴．
AND：
AB和平面α所成的角是θ,,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′,成角θ2.设∠BAC=θ,
cosθ1cosθ2=cosθ3.
在两个互相垂直的平面的交线上任取一点,过这点在两个平面内各作一条射线,设这两条射线
在过这点的交线的垂面的同侧且与交线所成角分别θ1θ2。
这两条射线所成角为θ3.则有cosθ1cosθ2=cosθ3.。