射影面积法求二面角

射影面积法（cos
S S 射影原
）
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜
射S S =
θ）求出二面角的大小。

例1、 如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD 中， AD ∥BC,∠ABC=90°，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=BC=1，
AD=2
1 .求面SCD 与面SAB 所成的角的大小。

解法1：可用射影面积法来求， 这里只要求出S △SCD 与S △SAB 即可， 故所求的二面角θ应满足cos θ=
=
1
112
12322
⨯⨯⨯⨯=
6。

例2．（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中，
2AC BC ==，90ACB ∠=，
AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；
A C
B
P
图1
S
D
C
B
A
解：（Ⅰ）证略
（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥． 又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC
PC C =，
BC ∴⊥平面PAC ．
取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．
EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．
∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影， 于是可求得：
2222=+===CB AC AP BP AB ，622=-=AE AB BE ，
2==EC AE 则1222
121=•=•=
=∆CE AE S S ACE 射， 3622
1
21=•=•=
=∆EB AE S S ABE 原 设二面角B AP C --的大小为ϑ，则3
3
3
1cos =
=
=
原
射S S ϑ ∴二面角B AP C --的大小为3
3arccos =ϑ
练习1： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的 棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成 锐角的余弦值.
（答案：所求二面角的余弦值为cos θ=
3
2）.
A
B
E P A 1
D 1
B 1
1
E
D
B
C
A
图5
2. 如图一，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，
2AP AB ==,22BC =,E F ，分别是AD PC ，的中点.
(1)证明：PC ⊥平面BEF ；（2）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小. 题（1）解略；题（2）中平面BEF 与平面BAP 夹角即为平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角.
方法一：垂面法
在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得的图形便是二面角的平面角.
如图一：PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,PA BC ∴⊥.
又
,BC AB AB
PA A ⊥=,BC ∴⊥平面BAP .
又BC ⊂平面PBC ,∴平面PBC ⊥平面BAP . 由题（1），PC ⊥平面BEF ，PC ⊂平面BEF ，∴平面PBC ⊥平面BEF . 所以PBF ∠是所求二面角的平面角.
222221122,22
PB PA AB PF PC AB BC PA =+==
=++, 2sin ,.24
PF PBF PBF PB π
∴∠=
=∠= 即平面BEF 与平面BAP 夹角为
4
π
. 方法二：平移平面法
如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角.
如图二：取BC 的中点G ，连接,FG EG .
,E F 分别是,AD PC 的中点，,EG
AB FG PB ∴.
又
,FG EG G AB PB B ==,
∴平面EFG 平面BAP .
∴二面角B EF G --的大小就是平面BEF 与平面BAP 夹角的大小.
可以证明BFG ∠为二面角B EF G --的平面角，并求出其大小为4
π. 方法三：射影法
利用公式'cos S S
θ=，其中S 表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积，'
S 表示
此多边形在另一个半平面射影的面积，θ表示原图形与射影图形所成的二面角.
如图三：取PB 的中点H ，连接,FH AH ,
F 为PC 中点, ,FH BC AE BC ∴.
由解法一知，BC ⊥平面BAP ,
FH ∴⊥平面BAP ，AE ⊥平面BAP ,
∴点F 、E 在平面BAP 内的射影分别为H 、A . BEF ∴∆在平面BAP 上的射影为BAH ∆. 可以证明BEF ∆和BAH ∆均为直角三角形.
1
,,2
HF
BC AE
BC HF BC BC ==
, ∴四边形HFEA 为平行四边形，EF AE ∴=. 记平面BEF 与平面BAP 夹角为θ，则2
cos BAH BEF S S θ∆∆==
, 所以4
πθ=
，即平面BEF 与平面BAP 夹角为
4
π.
3.已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。

[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作
E
P
C
B
A
F
平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。

解1：（三垂线定理法）
取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC
∴平面
PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC
∴BE ⊥平面
PAC
由三垂线定理知BF ⊥PC
∴BFE ∠为二面角
A-PC-B 的平面角
设PA=1,E 为AC 的中点，BE=
23,EF=4
2
∴tan BFE ∠=
6=EF
BE
∴BFE ∠=argtan 6
解2：（三垂线定理法）
取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接
FM
AB=AC,PB=PC ∴
AE ⊥BC,PE ⊥BC
∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC
∴
平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE
由三垂线定理知AM ⊥PC
∴FMA ∠为二面角
A-PC-B 的平面角
P
C A
E
F M
图1
图2
设PA=1，AM=
22,AF=7
21
.=PE AE AP
∴sin FMA ∠=
7
42=AM AF ∴FMA ∠=argsin
7
42
解3：（投影法）
过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC
∴平面
PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC
∴BE ⊥平面
PAC
∴PEC ∆是PBC ∆在平面
PAC 上的射影
设PA=1,则PB=PC=2,AB=1
4
1
=
∆PEC S ,47=
∆PBC S
由射影面积公式得，7
7
cos
arg ,77=∴==
∆∆θθPBC PEC S S COS , 4.在单位正方体1111A B C D ABCD -中， 求二面角1A A C B --的度数。

P
C
B
A
E
图3
一、三垂线法
利用三垂线定理或逆定理构造出二面 角的平面角，进而求解。

解法一. 作1,AO AC ⊥取1A B 的中点M , 连结.OM AM .
1AM A B ⊥
AM BC ⊥ 1A B
BC B =
由三垂线逆定理知
1
OM AC ⊥
AOM ∴∠为所求二面角1A A C B --的平面角 在1Rt A AC 中 111
3AA AC AO AC AC =
⋅=
AM sinAOM AO ∴=
= 60AOM ∴∠= 二．射影法
利用斜面面积和射影面积的关系：S S cos θ=⋅射影斜面 （θ为斜面与射影所成二面角的平面角）直接求解。

解法二、取AC 的中点G ，连结BG
1
1BG AC
BG AA AC
AA A
⊥⊥=
∴ 1A BC 在平面1A AC 上的射影为1A GC
12
Rt
A BC
S =
12244
AGC
Rt
A AG
S
S ==
-= 由 11A GC
Rt
A BC S
S cos θ=⋅ 1
2
cos θ∴=
从而二面角1A A C B --的大小为60。