高中数学 双曲线范例例题
专题10双曲线问题(解答题)
专题10双曲线问题（解答题）一、解答题1．已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()-．(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.3．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b -=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=u u u r u u u u r ，求b 的取值范围． 4．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN P ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ V 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ V 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10． (1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，右焦点为). (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线2y x =+与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，求AB . 7．已知双曲线E ：2214x y -=与直线l ：3y kx =-相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点． (1)当k 变化时，求点M 的轨迹方程；(2)若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C 、D 两点，问：是否存在实数k ，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）实轴端点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，右焦点为F ，离心率为2，过1A 点且斜率1的直线l 与双曲线C 交于另一点B ，已知1A BF △的面积为92． (1)求双曲线的方程；(2)若过F 的直线l '与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．9．过点()4,2的动直线l 与双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>交于,M N 两点，当l 与x 轴平行时，MN =l 与y 轴平行时，MN =(1)求双曲线E 的标准方程；(2)点P 是直线1y x =+上一定点，设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，若12k k 为定值，求点P 的坐标．10．已知双曲线E ：22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，其右准线为l ，点2F 到直线l 的距离为32，过点2F 的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，6AB =． (1)求双曲线E 的标准方程；(2)设直线1AF 与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．11．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且ABD △是直角三角形．(1)求双曲线C 的方程；(2)M 、N 是C 右支上的两动点，设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，若122k k =-，求点A 到直线MN 的距离d 的取值范围．12．已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为()2,0,F O 为坐标原点，过点F 作直线l 与一条渐近线垂直，垂足为A ，与另一条渐近线相交于点B ，且,A B 都在y 轴右侧，OA OB +=(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线1l 与双曲线C 的右支相切，切点为1,P l 与直线23:2l x =交于点Q ，试探究以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点.13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,,F F C 的离心率为2，直线l 过2F 与C 交于,M N 两点，当2OM OF =时，12MF F △的面积为3.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知,M N 都在C 的右支上，设l 的斜率为m .①求实数m 的取值范围；②是否存在实数m ，使得MON ∠为锐角？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.14．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，且经过点. (1)求C 的方程：(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，求AB 的取值范围：(3)已知点P是C上的动点，是否存在定圆222:()0O x y r r+=>，使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与C的另一交点），总满足PM PN=？若存在，求出圆O的半径r：若不存在，请说明理由.15．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的焦点与椭圆2215xy+=的焦点重合，其渐近线方程为y=. (1)求双曲线C的方程；(2)若,A B为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线1:3l y x=过AB的中点，求直线AB的斜率.。
高中数学-双曲线例题
高中数学-双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）． （2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上．（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223，解：（1）设双曲线方程为122=+n y m x∵ P 、Q 两点在双曲线上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259n m n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m ∴所求双曲线方程为191622=+-y x说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ）∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是1522=-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为181222=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。
高中选修双曲线经典例题
y
MC1 r 2 MC2 r 2
M
圆 M 与圆 C 2 内切
MC1 MC2 2 2 8
圆心 M 的轨迹是以 C 1 , C 2 为焦点的双曲线的右支
C1
O
C2
x
x y 1 ( x 2) 2 14
2
2
例 1： （1）求下列双曲线的渐近线方程
x2 y2 y2 x2 ① 1； ② 1 ； ③ x 2 y 2 4 ； 9 81 25 49
解：原方程化简为
kx2 y 2 1 8 4
若 k 0 ，表示 y 2 或 y 2 这两条直线 若 k 0 ，可化简为
x2 y2 1 8 4 k
若 k 0 ，表示双曲线（焦点在 y 轴） 若 k 2 ，表示圆（圆心在原点，半径为 2 ） 若 k 2 ，表示椭圆（焦点在 y 轴） 若 0 k 2 ，表示椭圆（焦点在 x 轴）
思考：给定双曲线，如何求渐近线方程？ 等轴双曲线的渐近线为
y
a x b
y x
c 3． 双曲线的焦距与长轴长的比 a
双曲线离心率的范围是 离心率越 离心率越 大
称为双曲线的离心率，用 ；
e 表示，即
e
c a
；
e1
，双曲线开口越大；
趋近于 1 ，双曲线开口越小。
三．直线与双曲线
1. 公共点问题： 代数运算：联立方程组 几何图形：交点个数 2. 弦长问题：
例 5： （1） F1 , F2 是双曲线
x2 y2 1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足 9 16
y
PF1 PF2 32 ，则 F1 PF2 ____； 90
双曲线性质总结及经典例题
双曲线性质总结及经典例题双曲线知识点总结1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）例题分析定义类1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x2双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y轴上时，23=b a ，313=e4 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
1已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22b y =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y =1.解法二：设双曲线方程为kx -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x【例1】若椭圆()0122 n m ny m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A. a m -B. ()a m -21 C. 22a m -D.am -()1221m PF PF m∴+=，()1222a PF PF a∴-=±，()()()2212121244PF PF m a PF PF m a-⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M（5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PMPF 21+最小，则P 点的坐标为XY O F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127922=-y x 中，令3y =，得2122 3.xx x =⇒=±∴0，取23x =所求P 点的坐标为23（，）.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求.【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b-=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.【例7】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ） A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。
双曲线优秀经典例题讲解
双 曲 线是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）.解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m).设双曲线的方程为12222=-by a x （a >0,b >0）令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y－55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以,1)55(12252222=--b y .112132222=-by解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--(2)11213(1) 1)55(122522222222b y b y 由方程（2）得 b y 125= （负值舍去）.代入方程（1）得,1)55125(12252222=--bb化简得 19b 2+275b －18150=0 （3） 解方程（3）得 b ≈25 (m).所以所求双曲线方程为：.162514422=-y x 例2. ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．解：取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，因为4=BC ，所以B(0,2-)，)0,2(c ．利用正弦定理，从条件得2421=⨯=-b c ，即2=-AC AB ．由双曲线定义知，点A 的轨迹是B 、C 为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为32的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为1322=-y x (1>x )． 变式训练3：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准线的距离为l .（1）求双曲线的方程；（2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值.典型例题（1）解：依题意有：.3,1,,12,3222222==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==b a c b a c aa b解得可得双曲线方程为.1322=-y x （2）解：设).,(,),,(0000y x N y x M --可得由双曲线的对称性,33,33,13.),,(222020220222020000-=-==---=++⋅--=⋅P P P P P P P P PNPM P P x y x y y x x x y y x x y y x x y y k k y x P 同理所以又则设所以.3333322202=-+--=⋅x x x x k k P P PNPM 例3. 设双曲线C ：1222=-y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q 。
双曲线函数的最值问题举例(附练习、答案)
双曲线函数的最值问题举例(附练习、答案)双曲线函数是数学中常见的一类函数，对于这类函数的最值问题，我们可以通过一些实际例子来加深理解。
下面提供了一些练题和相应的答案，帮助读者更好地掌握双曲线函数的最值问题。
练题1. 设函数 $f(x) = e^x - e^{-x}$，求函数 $f(x)$ 在定义域内的最小值和最大值。
2. 函数 $g(x) = \sinh(x)$ 在 $[-1, 1]$ 区间上是增函数还是减函数？并求其最小值和最大值。
3. 对于任意正实数 $a$，函数 $h(x) = \cosh(ax)$ 在定义域内的最大值是否存在？如果存在，是多少？答案1. 解答：首先求函数的一阶导数：$$f'(x) = e^x + e^{-x}$$然后求导数为零的点，即：$$e^x + e^{-x} = 0$$由于 $e^x$ 恒大于零，所以 $e^x + e^{-x}$ 恒大于零，即不存在导数为零的点。
因此函数 $f(x)$ 在定义域内没有极值点，也就是没有最小值和最大值。
2. 解答：首先求函数的一阶导数：$$g'(x) = \cosh(x)$$函数 $g(x)$ 的一阶导数为 $\cosh(x)$，根据双曲函数的性质可知 $\cosh(x) > 0$，即在定义域内函数 $g(x)$ 是增函数。
当 $x = 0$ 时，$\sinh(0) = 0$，所以函数 $g(x)$ 在 $[-1, 1]$ 区间上最小值为 0。
当 $x = 1$ 时，$\sinh(1) \approx 1.1752$，所以函数 $g(x)$ 在$[-1, 1]$ 区间上最大值为约 1.1752。
3. 解答：函数 $h(x) = \cosh(ax)$ 为双曲余弦函数，其定义域为实数集。
双曲余弦函数的最大值为 $\cosh(0) = 1$，当且仅当 $ax = 0$ 时取到最大值。
因此，函数 $h(x)$ 在定义域内的最大值为 1。
高中数学双曲线题型归纳
高中数学双曲线题型归纳类型一 双曲线的定义【例1】已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．1-1设P 是双曲线1201622=-y x 上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝( ) A ．1 B ．17 C ．1或17 D ．以上答案均不对1-2已知F 是双曲线112422=-y x 的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点， 则|PF |＋|P A |的最小值为( ) A ．5 B ．5＋43 C ．7 D ．91-3已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．类型二 几何性质【例2】设F 1，F 2分别为双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ＋4y ＝02-1若双曲线()013222>=-b b y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的41，则该双曲线的虚轴长是（ ） A .2B .1C .55 D .5522-2设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．2-3中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2， 且F 1F 2＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．类型三双曲线的标准方程【例3】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则双曲线的方程是( )3-1双曲线mx2+ y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（）A.- 14B.-4 C.4 D.143-2设双曲线与椭圆1362722=-yx有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是．3-3根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为5 4；(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；(3)经过两点P(－3，27)和Q(－62，－7)．类型四直线与双曲线的位置关系【例4】(1)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为23.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．【例4】(2)双曲线12=2x的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）-yA. 1y D. 3=x2+=x2-y2-=xy B. 22-=xy C. 34-1已知双曲线,问过点A （1，1）能否作直线,使与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
双曲线(高考数学压轴题常考题型)
双曲线 (高考数学压轴题常考题型)例1.已知双曲线22:1,2x c y -=设过点(A -的直线l 的方向向量(1,)e k =当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 的距离；证明：当k>2时，在双曲线C 的右支上不存在点Q 使之到直线l。
解：（1）双曲线C的渐近线0m y ±=，即0x ±=∴直线l的方程0x ±+=∴直线l 与m的距离d ==（2）证法一：设过原点且平行于l 的直线:0,b kx y -=则直线l 与b 的距离d=，当2k >时，d >又双曲线C的渐近线为0x ±=，∴双曲线C 的右支在直线b 的右下方， ∴双曲线C 右支上的任意点到直线l。
故在双曲线C 的右支上不存在点Q 00(,)x y 到到直线l证法二：假设双曲线C 右支上存在点Q00(,)x y 到直线l，则2200(1)22(2)x y =-=⎪⎩ 由（1）得00y kx =+设t =当k >时，0t =>：20t ==>将00y kx t =+代入（2）得22200(12)42(1)0k x tkx t ---+=， （*）2k >，0t >∴22120,40,2(1)0.kkt t -<-<-+<∴方程（*）不存在正根，即假设不成立， 故在双曲线C 的右支上不存在点Q00(,)x y 到直线l例 2. （07江西）设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使OM ON =0，其中点O 为坐标原点．解：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =的双曲线．方程为：2211x y λλ-=-．（2）解法一：设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．y即211111012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以12λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦， 所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．因为0OM ON =，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．由①②知，23λ<． 解法二：设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，．①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<，所以12λ=；②当12x x ≠时，221102202211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩．又01MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-；由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x x λλ==+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-． 本店铺更多免费资料于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，解得：23λ<<．由①②知23λ<．。
双曲线经典例题
【例1】若椭圆()0122φφn m n y m x =+与双曲线221x y a b-=)0(φφb a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A. a m -B. ()a m -21C. 22a m -D. a m -【解析】椭圆的长半轴为()121PF PF ∴+=()122PF PF ∴-=±()()()2212121244PF PF m a PF PF m a -⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM PF21+最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =，右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ，连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小.在127922=-y x 中，令3y =，得212x x x =⇒=±∴Q f 0，取x =所求P 点的坐标为（）.（2）渐近线——双曲线与直线对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k=-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b-=中，令222200x y x y a b a b -=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b -=，而无须考虑其实、虚轴的位置.XYO F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32（3）共轭双曲线将双曲线22221x y a b -=的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22221x y b a-=.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例4】两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：221211e e +=1.【证明】双曲线22221x y a b -=的离心率22221122c c a b e e a a a +=⇒==；双曲线22221x y b a-=的离心率22222222c c a b e e b b b +=⇒==.∴2222222212111a b e e a b a b+=+=++.（4）等轴双曲线——和谐对称 与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.【例5】设CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【证明】如图设等轴双曲线方程为()2221x y a -=，直线CD ：y=m.代入（1）：22x x m=±+.故有：()()2222,,,C x m m Dx m m-++.取双曲线右顶点(),0Ba .那么：()()2222,,,BC x m a m BD x m a m=-+-=+-u u u r u u u r()22220,BC BD a a m m BC BD ⎡⎤⋅=-++=∴⊥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r Q .即∠CBD=90°.同理可证：∠CAD=90°.● 通法 特法 妙法（1）方程法——为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.【例6】如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）25 （D ）31+XOYCDA B【解析1】设AB 交x 轴于M ，并设双曲线半焦距为c ，∵△AB F 2是等边三角形，∴,.22c OM MA c ==点2c A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线方程：()()2222222222222233444c b a c a b c c a a c a c a ⋅-⋅=⇒--=-.化简得：422442284084041c a c a e e e e -+=⇒-+=⇒=+=.（∵e ＞1，∴24e=-及1e =舍去）故选D.【解析2】连AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1F 2之长为2c.令1122,.AF r AF r ==由直角三角形性质知：211221221222r r ar c r a c r c r r -=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+⋅=⎩⎪⎩. ∵()222222222124,24220220r r c a c c c a ac c e e +=∴++=⇒+-=⇒--=.∵e ﹥1，∴取1e =.选D.【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.（2）转换法——为解题化归立意【例7】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ）A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m 的倾斜角为β.显然。
双曲线的经典例题讲解
双曲线的经典例题讲解双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。
已知点P(x 0，y 0)在双曲线22a x －22by = 1 (a ＞0，b ＞0)上，F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦点。
若点P 在右半支上，则| PF 1| =e x 0+ a ，| PF 2| =e x 0－a ；若点P 在左半支上，则| PF 1| =－(e x 0+ a) ，| PF 2| =－(e x 0－a)．利用焦半径公式解题，可使解题过程简单明了，下面列举几例，供参考。
一、求双曲线的标准方程 例1、 设F 1、F 2是双曲线22a x －22by = 1 (a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，l 为左准线，离心率e=23，P(－328,m)是左支上一点，P 到l 的距离为d ，且d ，| PF 1|，| PF 2|成等差数列，求此双曲线方程。
二、求值例2 双曲线92x －162y =1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若P F 1⊥P F 2，则点P 到x 轴的距离为_____________.三、求范围例3 如图，已知梯形ABCD 中，|AB| = 2|CD|，点E 分有向线段−→−AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线离心率e 的取值范围．四、其他问题 例4 在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A(x 1，y 1),B(26,6),C(x 3,y 3)与F(0，5)的距离成等差数列。
求证：AC 的垂直平分线经过某一定点。
例5 已知双曲线252x －1442y = 1的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ．能否在双曲线的左支上找到一点P，使| PF|是P到l的距离与| PF2|的等比中项？若能，试求出点1坐标；若不能，请说明理由．。
高中数学双曲线经典例题
高中数学双曲线经典例题螁一、双曲线定义及标准方程虿2222=2，动圆yM﹣4）与两圆+（x+4）y+x=2，C：（：1．已知两圆C21，C都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）21螈C．B A．x=0 莆．D ．C袁2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：肀；12 x轴上，虚轴长为，离心率为）焦点在（1蒀，渐近线方程为．）顶点间的距离为6 （2膅且过点的双曲线的标、与双曲线有相同的焦点，3羁准方程是4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）蒁两点的双曲线的标准方程．是双曲线=1上一点，F，5、已知PF是双曲线的两个焦点，21羈若|PF|=17，则|PF|的值为．21二、离心率袄1、已知点F、F分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，21羁若△PFF为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为．21：（a＞0，是双曲线Cb＞0）的两个焦点．若，2、设FF21袂在C上存在一点P．使PF⊥PF，且∠PFF=30°，则C的离心率为．2112、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a3，0）蚀和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）．D．A．B．C羇、焦点三角形3肁．2﹣=1的右支上的动点，xF为双曲线的右焦点， 1、设P是双曲线聿已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为．膇22=75的左右焦点，5yPFF，分别是双曲线3x是双曲线﹣2、．已知蚆21上的一点，且∠FPF=120°，求△FPF的面积．21123、已知双曲线焦点在y轴上，F，F为其焦点，焦距为10，焦距是膁21实轴长的2倍．求：（1）双曲线的渐近线方程；葿（2）若P为双曲线上一点，且满足∠FPF=60°，求△PFF的面积．衿21124、直线与双曲线的位置关系蒄与双曲线L）的直线只有一个公共点，1已知过点P（，1薅则直线L 的斜率k= ＿＿＿＿、综合题型5袀．222yx，以该椭圆上的点(a>b>0)的离心率为如图，已知椭圆1 芇2为顶点的三角形的周长为4(2＋F1、F21)，一和椭圆的左、右焦点22ba等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；蒇(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2＝1；蚅(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存芁在，求λ的值；若不存在，请说明理由．高中数学双曲线经典例题罿参考答案与试题解析芆一．选择题（共2小题）蚅2222=2y4﹣），+：xC洛阳校级期末）已知两圆：（+4）+y=2，C（x?2015．1（秋21蚂动圆M与两圆C，C都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）21x=0 B．A．蒇．DC ．肅【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆C：（x+4）1螄2222=2，动圆M与两圆C+y，C都相切，+y=2，C：（x﹣4）221∴|MC|=|MC|，即M点在线段C，C的垂直平分线上2121蝿又C，C的坐标分别为（﹣4，0）与（4，0）21腿∴其垂直平分线为y轴，袄∴动圆圆心M的轨迹方程是x=0袄2222=2+4）y内切，与圆C：（x：②若一内切一外切，不妨令与圆C（x+4）+y﹣=221膀2）的距离的差是4，0M到（4，0）的距离减到（﹣，由双曲线外切，则有）为焦点，以04，的轨迹是以（﹣4，0）与（为实半轴长的的定义知，点M222，故此双曲线的方程为=c=14﹣b双曲线，故可得a的轨迹方程为M 综①②知，动圆蚇应选D．袇齐齐哈尔三模）双曲线的焦距为2c，直线2．（2014?l羄过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l）的取值范围是（e．则双曲线的离心率的距离之和．．CDAB．．薁+=1，即bx+ay﹣l【解答】解：直线ab=0的方程为．荿，）到直线l的距离＞1，得到点（1，0由点到直线的距离公式，且a蚆，．的距离.（﹣1，0）到直线l同理得到点肄，得．由．羂242+25≤0﹣25e 于是得．5≥2e ，即4e螆2≤5．≤e解不等式，得莅由于e＞1＞0，膄．的取值范围是所以e膈故选D．薈二．填空题（共5小题）膃是双曲线=1上一点，FP?2013．3（秋城区校级期末）已知，F是双21芄．曲线的两个焦点，若|PF|=17，则|PF|的值为33．21c==10．知，a=8，b=6【解答】，则解：由双曲线方程蕿∵P是双曲线上一点，羆∴||PF|﹣|PF||=2a=16，21膆又|PF|=17，1芄∴|PF|=1或|PF|=33．22羀又|PF|≥c﹣a=2，2蚈∴|PF|=33．2羅故答案为33莄4．（2008秋?海淀区期末）已知点F、F分别是双曲线的两个焦点，P为该双21莁为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为曲线上一点，若△PFF．21为直角，不妨令角FF为直角，双曲线方程或角解：【解答】由题意，角F221膆﹣=1=1﹣，代入双曲线方程）y，c（P此时螄．y=解得蒃又三角形PFF为等腰三角形得PF=FF，22211螂22，﹣a故得=2c，即2ac=c袈2e=1 ﹣1=0即e，解得﹣2e螇故双曲线的离心率是薃故答案为．衿2﹣=1的右支上的动点，P是双曲线xF为5．（2014秋?象山县校级月考）设薀的最小值为| |PA|+|PF，双曲线的右焦点，已知A（31），则2﹣．【解答】解：设双曲线左焦点为F，2薆由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF|=2a，即|PF|=|PF|﹣2a，22蚃则|PA|+|PF|=|PF|+|PA|﹣2a≥|FA|﹣2a，22芀当P、F、A三点共线时，|PF|+|PA|有最小值，22肈此时F（﹣2，0）、A（3，1），2芅PA|=|AF|+|PF则||=，22螃而对于这个双曲线，2a=2，蚁所以最小值为﹣2．蝿故答案为：﹣2．肄张家港市校级期末）与双曲线有相同的焦点，且过点2011秋?6．（袃．的双曲线的标准方程是，【解答】解：设所求双曲线的方程为肁的焦点为（±，0∵已知双曲线）膇2=5①∴所求双曲线中的c肆∵双曲线过点袃∴②膈222③+b且c=a罿22=1，，b a联立①②③解得=4袅．∴双曲线的方程为羃．故答案为：．蕿：（a＞0，Cb＞0）的两个焦点．若F7．（2013?湖南）设F，是双曲线21莇的离心率为=30°，则CF．使PF⊥PF，且∠PF．在C上存在一点P2211【解答】解：依题意可知∠FPF=90°|FF|=2c，2211蚄，|PF|=|FF||FF|=c=c， |∴PF|=211122肃|PF|=2a=（﹣1由双曲线定义可知|PF|﹣）c21羀∴e==．聿故答案为：．蚇三．解答题（共4小题）膂22=75的左右焦点，P3xF分别是双曲线是双曲线上的一点，﹣5y8．已知F，21莁且∠FPF=120°，求△FPF的面积．221122=75，可化为=1﹣【解答】解：由题意，双曲线3x5y薇22﹣2PF?PFcos120°=（PF得弦余定理可160=PF+PF﹣PF）由211122蒆2+3PF?PF=100+3PF?PF，2121∴PF?PF=20．21节=5．×sin120°=×20S=PF?PF21F1PF2螂△故答案为：A．艿9．（2014春?湄潭县校级期中）已知双曲线焦点在y轴上，F，F为其焦点，焦21芅距为10，焦距是实轴长的2倍．求：（1）双曲线的渐近线方程；莂（2）若P为双曲线上一点，且满足∠FPF=60°，求△PFF的面积．2112罿）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则【解答】解：（1蚇∵焦距是实轴长的2倍，羄∴c=2a，蒂=a，∴b=莀±x；∴双曲线的渐近线方程为y=蒈222﹣2PF?PFcos60°=（PF﹣4c定）（2由余弦理可得PF=PF+PF）211221肇22+PF?PF=4a+PF?PF，2121∵焦距为10，蒂∴2c=10，2a=5螀∴PF?PF=75．21袆=．=S∴?75?=PF?PFsin60°2F1PF21螅△（，﹣2岳阳校级期末）求焦点在坐标轴上，且经过点A）和10．（2008秋?薂2 ，）两点的双曲线的标准方程．B（﹣22=1，（mn＞0），【解答】解：设所求双曲线方程为：mxny﹣膁，）在双曲线上，B（﹣2因为点A（，﹣2）和薈所以可得：，薄解得，蚂故所求双曲线方程为．薂11．（2009秋?天心区校级期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：肆；12）焦点在1 x轴上，虚轴长为，离心率为（薇，渐近线方程为．）顶点间的距离为（26 螁轴上，设所求双曲线的方程为=1．解：（1）焦点在x【解答虿由题意，得解得a=8，c=10．螈222=100﹣64=36a∴b．=c﹣莆轴上的双曲线的方程为．x 所以焦点在袁轴上时，设所求双曲线的方程为x=1（2）当焦点在肀b=．，a=3由题意，得解得蒀轴上的双曲线的方程为．所以焦点在x 膅轴上双曲线的方程为．同理可求当焦点在y。
双曲线试题及答案
双曲线试题及答案1. 已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)，其中 \(a = 3\)，\(b = 4\)，求双曲线的焦点坐标。
答案：双曲线的焦点坐标为 \((\pm\sqrt{a^2 + b^2}, 0)\)，代入 \(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。
2. 双曲线 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\) 的渐近线方程是什么？答案：双曲线的渐近线方程为 \(y = \pm\frac{b}{a}x\)，代入\(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到渐近线方程为 \(y =\pm\frac{4}{3}x\)。
3. 如果一个双曲线的中心在原点，且通过点 \((2, 3)\)，并且其一条渐近线方程为 \(y = 2x\)，求双曲线的方程。
答案：设双曲线方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}= 1\)，由于渐近线方程为 \(y = 2x\)，可知 \(\frac{b}{a} = 2\)。
将点 \((2, 3)\) 代入方程得 \(\frac{4}{a^2} - \frac{9}{b^2} =1\)。
联立 \(b = 2a\) 解得 \(a = 1\)，\(b = 2\)，因此双曲线方程为 \(x^2 - \frac{y^2}{4} = 1\)。
4. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\) 与直线\(y = mx + 1\) 相交，求直线的斜率 \(m\) 的取值范围。
答案：将直线方程代入双曲线方程，得到 \(\frac{x^2}{16} -\frac{(mx + 1)^2}{9} = 1\)。
整理得 \((9 - 16m^2)x^2 - 32mx -70 = 0\)。
高二数学双曲线练习题
高二数学双曲线练习题1. 已知双曲线H的焦点为F1和F2，离心率为e。
点P在双曲线上，且PF1与PF2的距离之差为a。
证明：线段PF1与线段PF2的中点M在双曲线H上。
解答：设双曲线H的中心为O，双曲线的两个顶点为A和B，焦点F1和F2分别在双曲线的右侧和左侧。
设点M为线段PF1与线段PF2的中点。
首先，根据双曲线的定义，我们知道焦点F1和F2到双曲线上任意一点P的距离之差等于该点P到曲线的准线AB的距离之差。
也就是说，有PF1 - PF2 = d1 - d2，其中d1和d2分别为点P到准线AB的距离。
因为点M是线段PF1与线段PF2的中点，所以可以得到MF1 =MF2。
又由双曲线的性质可知，对于任意一点P，PF1 - PF2 = d1 - d2。
将点M代入上述等式，可以得到MF1 - MF2 = d1 - d2。
由于MF1 =MF2，因此d1 - d2 = 0。
根据上述推导，我们可以得出结论：当且仅当点P在双曲线上时，线段PF1与线段PF2的中点M在双曲线上。
2. 若双曲线的离心率e = 2，焦距为2a。
已知双曲线上一点的坐标为(x, y)，满足x^2 + y^2 = 4。
求该点关于双曲线的对称点的坐标。
解答：设焦点为F1(-ae, 0)和F2(ae, 0)，双曲线的中心为O(0, 0)，焦距为2a。
由双曲线的性质可知，对于双曲线上任意一点P(x, y)，有PF1 - PF2 = 2a。
代入坐标得到√((x+ae)^2 + y^2) - √((x-ae)^2 + y^2) = 2a。
将已知条件x^2 + y^2 = 4代入上述等式，得到√((x+2)^2 + y^2) -√((x-2)^2 + y^2) = 4。
为了求在双曲线上关于点P对称的点Q的坐标，可以通过求解上述方程组得到点Q的坐标。
将方程两边平方并整理，得到((x+2)^2 + y^2) - 2√((x+2)^2 +y^2)√((x-2)^2 + y^2) + ((x-2)^2 + y^2) = 16。
整理《双曲线》典型例题12例(含标准答案)
带教日志、《阶段考核表》、单位考勤原始记录
II－６
独立临床／实践
５分
继承人独立从事所继承专业的实践天数
得分＝10×（实际独立实践天数／420）
同II－５
续表
教
学
实
绩
30
分
III－７
带教日志4分
（1）计算带教日志篇数；（2）专家抽查一定数量日志；（3）专家评议记录质量差者，酌情扣
(2)全国统编《中药鉴定学》
附
加
分
15
分
I学历3分
研究生3分本科生2分
大专生1.5分中专生1分
毕业证书原件并提供复印件。
著作3分
查阅参加导师经验整理并已出版著作,时间在1990.12----1993.12
主编3分,副主编2分,编辑1分
参加章节编写每2万字1分,最多计至3分。
著作原件，并提供复印件
科研4分
得分＝５×（实际从事专业年限／25）
继承人所在单位人事部门提供人事档案，学历证书原件及复印件
继
承
表
现
25
分
II－３
职业道德
５分
A5分
B4分
C3分
D2分
职业道德高尚，有突出事例，曾获单位表彰或系统通报表扬。
职业道德良好，有典型事例，获锦旗或感谢信。
职业道德良好，未受过病人举报和批评。
职业道德较差，受到病人举报和批评一次。
D:立、法、方、药合乎辩证理论和导师一致；
E:医嘱符合理、法、方、药要求和导师一致；
符合一以上五条都具备；基本符合一具备C、D二条；大体符合C、D二条中具备一条；不符合C、D、E无一条具备
高中数学 双曲线范例例题
例题 1 双曲线的定义
如右图，在方格纸中有两组同心圆，圆心分别 为 F1 与 F2，若 P 点在以 F1，F2 为焦点的双曲 在线，试问 A，B，C，D，E 五点中，哪些点 亦在此双曲线上？
解■ ∵ PF1＝2， PF2 ＝3 ∴︱PF1－PF2︱＝1 而︱AF1－AF2︱＝2 ，︱BF1－BF2︱＝3 ，︱CF1－CF2︱＝1 ︱DF1 －DF2︱＝1 ，︱EF1 －EF2︱＝0 ∴︱PF1－PF2︱＝︱CF1－CF2︱＝︱DF1－DF2︱＝1 故 P，C，D 三点位于同一双曲线上
且方程式形如
－x2 b2
＋
y2 a2
＝1
又 c＝2，贯轴长 2a＝2，所以 a＝1而 bΒιβλιοθήκη ＝c2－a2 ＝ 22 －12＝3
得双曲线方程式为－x2 ＋ y2 ＝1 31
上一题 下一题
例题 4 双曲线的各要素
(1) 已知一双曲线的方程式为 4x2－16y2＝64，试求其贯轴长、共轭轴
长、中心、焦点及顶点坐标。
例题 13 由双曲线的一般型态求诸要素
已知双曲线 Γ 的方程式为 4x2－y2＋8x＋4y－4＝0，试求其贯轴长、共
轭轴长、中心、焦点、顶点及渐近线方程式。
解■ 将方程式 4x2－y2＋8x＋4y－4＝0，依 x，y 配方
得 4（x2＋2x＋1）－（y2－4y＋4）＝4
整理得（x＋1）2 －（y－2）2 ＝1 ，其中 a＝1，b＝2
范例 4 求双曲线的各要素
解■
(1)
将方程式
4x2－16y2＝64
改写成
x2 42
－ y2 22
＝1
与标准式比较，得知此双曲线的中心在原点 O（0 , 0）
高中数学双曲线例题
A BCPOxy例题 定义类1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x 2双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，23=b a ，313=e 3 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．[解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 12222=-by a x 上， 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线依题意得a=680, c=1020，13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”4 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
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例题 1 双曲线的定义
如右图，在方格纸中有两组同心圆，圆心分别 为 F1 与 F2，若 P 点在以 F1，F2 为焦点的双曲 在线，试问 A，B，C，D，E 五点中，哪些点 亦在此双曲线上？
解■ ∵ PF1＝2， PF2 ＝3 ∴︱PF1－PF2︱＝1 而︱AF1－AF2︱＝2 ，︱BF1－BF2︱＝3 ，︱CF1－CF2︱＝1 ︱DF1－DF2︱＝1 ，︱EF1－EF2︱＝0 ∴︱PF1－PF2︱＝︱CF1－CF2︱＝︱DF1－DF2︱＝1 故 P，C，D 三点位于同一双曲线上
而 b2＝c2－a2＝22－12＝3 得双曲线方程式为 x2 － y2 ＝1
13
例题 3 双曲线的标准式（中心在原点）
(2) 已知一双曲线的两焦点为（0 , 2）与（0 , －2），贯轴长为 2，试求
此双曲线的标准式。
解■ (2) 如右图所示
因为焦点为（0 , 2），（0 , －2）
所以中心为原点，贯轴在 y 轴上
＝1上任一点
可得 b2x02－a2y02＝a2b2
又
P（x0
,
y0）到
L1
的距离为∣bx0－ay∣0 b2＋a2
P（x0
,
y0）到
L2
的距离为∣bx0＋ay∣0 b2＋a2
例题 7 双曲线与渐近线
试证：双曲线 Γ：
x2 a2
－ y2 b2
＝1上任一点
P
到两直线
L1：bx－ay＝0
与
L2：bx＋ay＝0
且方程式形如 － x2 b2
＋
y2 a2
＝1
又 c＝2，贯轴长 2a＝2，所以 a＝1
而 b2＝c2－a2 ＝ 22 －12＝3
得双曲线方程式为－x2 ＋ y2 ＝1 31
上一题 下一题
例题 4 双曲线的各要素
(1) 已知一双曲线的方程式为 4x2－16y2＝64，试求其贯轴长、共轭轴
长、中心、焦点及顶点坐标。
的截面图，颈部 AB ＝4 是双曲线的贯轴长。出风口直径
EF ＝8，入风口直径 CD ＝28，已知 AB，CD ，EF 互相
平行，且 AB 与 CD 的距离为 24，试求AB 与 EF 的距离。
解■
代入
x2 4
－
y b
2
2
＝1
可得
b2＝12，而
F
点的
x
坐标为
4，
y 坐标即为 AB 与 EF 的距离，
焦点为（0 , 5）与（0 , －5） 顶点为（0 , 4）与（0 , －4）
上一题 下一题
例题 5 双曲线的应用
核电厂的冷却塔很多都是双曲面型的。右图是某冷却塔
的截面图，颈部 AB ＝4 是双曲线的贯轴长。出风口直径 EF ＝8，入风口直径 CD ＝28，已知 AB，CD ，EF 互相 平行，且 AB 与 CD 的距离为 24，试求AB 与 EF 的距离。
例题 4 双曲线的各要素
(2) 已知一双曲线的方程式为 16x2－9y2＝－144，试求其贯轴长、共轭 轴长、中心、焦点及顶点坐标。
解■ (2) 将方程式 16x2－9y2＝－144 改写成－x2 ＋ y2 ＝1 9 16
与标准式比较，得知此双曲线的中心在原点 O（0 , 0） 如右图所示，两焦点在 y 轴上， 且 a＝4，b＝3，c＝ a2＋b2 ＝ 42＋32 ＝5 所以贯轴长 2a＝8，共轭轴长 2b＝6
的距离乘积为定值
a2b2 a2＋b2
。
■證 故 P 到 L1 与 L2 的距离乘积为
∣bx0－ay∣0 ∣bx0＋ay∣0 ＝∣b2
b2＋a2
b2＋a2
x0 2－a 2 a2＋b2
y0∣2 ＝ a2b2 a2＋b2
上一题 下一题
主题 4 共轭双曲线与等轴双曲线
例题 8 共轭双曲线
试求双曲线 x2 － y2 ＝1 的共轭双曲线。 9 16
解■
(1)
将方程式
4x2－16y2＝64
改写成
x2 42
－ y2 22
＝1
与标准式比较，得知此双曲线的中心在原点 O（0 , 0）
如右图所示，两焦点在 x 轴上
且 a＝4，b＝2 c＝ a2＋b2 ＝ 16＋4＝2 5
所以贯轴长 2a＝8，共轭轴长 2b＝4
焦点为（2 5 , 0）与（－2 5 , 0） 顶点为（4 , 0）与（－4 , 0）
解■ x2 － y2 ＝1 的共轭双曲线为 x2 － y2 ＝－1
9 16
9 16
上一题 下一题
例题 9 等轴双曲线
一等轴双曲线的两焦点为 F1（0 , 2 2 ），F2（0 ,－2 2 ），求此双曲 线方程式。 解■ 此等轴双曲线的中心为 F1F2 的中点，即（0 , 0），
下一题
例题 2 （焦点到中心距离)2＝（半贯轴长)2＋（半共轭轴长)2
已知一双曲线的贯轴长为 6，两焦点的距离为 10，试求此双曲线的共 轭轴长。 解■ 由题意知 2a＝6，2c＝10，所以 a＝3，c＝5
因此 b＝ c2－a2 ＝ 52－32 ＝4 故共轭轴长 2b＝8
上一题 下一题
主题 2 双曲线的标准式
代入双曲线 x2 － y2 ＝1 4 12
可得 42 － y2 ＝1 y＝±6（负不合） 4 12
∴ AB 与 EF 的距离为6
上一题 下一题
主题 3 双曲线的渐近线
例题 6 求渐近线
试求双曲线 x2 － y2 ＝1 的两条渐近线方程式。 9 16
解■ x2 － y2 ＝1 的两条渐近线为 x－ y＝0 与 x＋ y＝0
解■ 将此冷却塔的截面图坐标化 设双曲线的中心为 O（0 , 0），贯轴在 x 轴上
∴ 2a＝4 a＝2
可假设此双曲线的方程式为
x2 a2
－ y2 b2
＝1，即
x2 4
－ y2 b2
＝1
又CD＝28， AB 与 CD 的距离为 24
故此双曲线通过 D（14 , －24）
例题 5 双曲线的应用
核电厂的冷却塔很多都是双曲面型的。右图是某冷却塔
9 16
34
34
即 4x－3y＝0 与 4x＋3y＝0
上一题 下一题
例题 7 双曲线与渐近线
试证：双曲线 Γ：
x2 a2
－ y2 b2
＝1上任一点
P
到两直线
L1：bx－ay＝0
与
L2：bx＋ay＝0
的距离乘积为定值
a y0）为双曲线 Γ：
x a
2 2
－
y2 b2
例题 3 双曲线的标准式（中心在原点）
(1) 已知一双曲线的两焦点为（2 , 0）与（－2 , 0），贯轴长为 2，试求
此双曲线的标准式。
解■ (1) 如右图所示
因为焦点为（2 , 0），（－2 , 0）
所以中心为原点，贯轴在 x 轴上
且方程式形如
x2 a2
－
y2 b2
＝1
又 c＝2，贯轴长 2a＝2，所以 a＝1