专题训练(二)探究整式中的规律问题
2019-2020整式找规律专题
2019-2020整式找规律专题（含答案）一、解答题 1．你会求的值吗?这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到=________利用上面的结论，求 （2）的值； （3）求的值.2．下列是用火柴棒拼出的一列图形．仔细观察，找出规律，解答下列各题：⑴第4个图中共有_________根火柴，第6个图中共有_________根火柴； ⑵第n 个图形中共有_________根火柴(用含n 的式子表示) ⑶若f(n)=2n −1（如f(−2)=2×(−2)−1，f(3)=2×3−1），求f(1)+f(2)++f(2017)2017L 的值．⑷请判断上组图形中前2017个图形火柴总数是2017的倍数吗，并说明理由? 3．观察下列算式：111111111111;;;2121262323123434==-==-==-⨯⨯⨯……（1）通过观察，你得到什么结论？用含n （n 为正整数）的等式表示：________． （2）利用你得出的结论，计算：1111(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)a a a a a a a a +++--------4．观察以下等式： 第1个等式：101011212++⨯=， 第2个等式：111112323++⨯=， 第3个等式：121213434++⨯=， 第4个等式：131314545++⨯=， 第5个等式：141415656++⨯=， ……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示)，并证明.5．先观察：1﹣=×，1﹣=×，1﹣=×，…（1）探究规律填空：1﹣= × ；（2）计算：（1﹣）•（1﹣）•（1﹣）…（1﹣）6．我们知道，，，……(1)猜想：13+23+33+…+(n－1) 3+n 3=×( ) 2×( ) 2． (2)计算：①13+23+33+…+993+1003； ②23+43+63+…+983+1003．7．有规律排列的一列数：2,4,6,8,10,12，…，它的每一项可用式子2n(n 是正整数)来表示；则有规律排列的一列数：1，－2,3，－4,5，－6,7，－8，… (1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？ (2)它的第100个数是多少？(3)2 017是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？8．已知x 1，x 2，x 3，…x 2016都是不等于0的有理数，若y 1=11x x ，求y 1的值．当x 1＞0时，y 1=11x x =11x x =1；当x 1＜0时，y 1=11x x =11x x =﹣1，所以y 1=±1（1）若y 2=11x x +22x x ，求y 2的值（2）若y 3=11x x +22x x +33x x ，则y 3的值为 ；（3）由以上探究猜想，y 2016=11x x +22x x +33x x +…+20162016x x 共有 个不同的值，在y 2016这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于 ． 9．（1）填空：______ ；______ ；______ ；（2）猜想：（a-b ）（a n-1+a n-2b+a n-3b 2+…+ab n-2+b n-1）= ______ （其中n 为正整数，且n≥2）； （3）利用（2）猜想的结论计算：①29+28+27+…+22+2+1②210-29+28-…-23+22-2．10．仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题： 例：求2342017122222++++++L 的值. 解：令S ＝2342017122222++++++L ， 则2S ＝23452018222222++++++L ， 所以2S ﹣S ＝201821- ，即S=201821-， 所以2342017122222++++++L ＝201821- 仿照以上推理过程，计算下列式子的值：① 234100155555++++++L ② 234520161333333L -+-+-++ 11．如图所示，用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： （1）第四、第五个“上”字分别需用 和 枚棋子． （2）第n 个“上”字需用 枚棋子．（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？ 12．观察下列三行数：0，3， 8，15，24, …2，5，10，17，26，…0，6，16，30，48，…（1）第行数按什么规律排列的，请写出来？（2）第、行数与第行数分别对比有什么关系？）（3）取每行的第个数，求这三个数的和13．观察下列各式：……由上面的规律：（1）求的值；（2）求…+2+1的个位数字．（3）你能用其它方法求出的值吗？14．有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；…对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于．（1）经过探究，我们发现：设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？请你直接写出正确的结论；（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”；（3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即，求证：．15．观察下列等式：第1个等式：1111(1) 1323a==-⨯第2个等式：21111() 35235a==-⨯第3等式：31111() 57257a==-⨯第4个等式：41111() 79279a==-⨯请解答下列问题：（1）按以上规律写出第5个等式：a5＝＝．（2）用含n的式子表示第n个等式：a n＝＝（n为正整数）．（3）求a1+a2+a3+a4+…+a2018的值．16．这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按这个方法放满整个棋盘就行。
华东师大版七年级数学上册第三章 整式的加减 专题训练试题(含答案)
华东师大版七年级数学上册第三章整式的加减专题训练试题专题(一)整式的化简与求值1．已知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|－|c－b|的结果是()A ．a＋cB ．c－aC ．－a－cD ．a＋2b－c2．有理数a，b 在数轴上的位置如图所示，则化简式子|a＋b|＋a 的结果是______．3．若多项式2x 2＋3x＋7的值为10，则多项式6x 2＋9x－7的值为______．4．已知xy＝－1，x＋y＝12，那么y－(xy－4x－3y)的值等于______．5．计算：(1)6a 2＋4b 2－4b 2－7a 2；(2)(8a－7b)－(4a－5b)；(3)－12(x 2y－2xy 2－x 2)－13(－x 2－x 2y－xy 2)；(4)2(x 3－2y 2)－(x－2y)－(x－3y 2＋2x 3)；(5)3x 2－[5x－(12x－3)＋3x 2]．6．已知A＝x 2－2x＋1，B＝2x 2－6x＋3.求：(1)A＋2B；(2)2A－B.7．先化简，再求值：(1)14(－4x 2＋2x－8)－(12x－1)，其中x＝12；(2)(－2ab＋3a)－2(2a－b)＋2ab，其中a＝3，b＝1；(3)2(a 2b－ab 2)－3(a 2b－1)＋2ab 2＋1，其中a＝2，|b＋1|＝0.8．若单项式3x 2y 5与－2x1－a y 3b－1是同类项，求下面代数式的值：5ab 2－[6a 2b－3(ab 2＋2a 2b)]．9．已知a2＋b2＝6，ab＝－2，求(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)的值．10．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试解决下列问题：(1)因为a＜0，所以|a|＝______；(2)因为b_____0，－b_____0，所以|b|＝_____；|－b|＝_____；(3)因为1＋a_____0，所以|1＋a|＝_____；(4)因为1－b＜_____，所以|1－b|＝_____＝_____；(5)因为a＋b＞0，所以|a＋b|＝_____；(6)因为a－b_____0，所以|a－b|＝_____＝_____．11．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A，B，C，其位置如图所示，化简：2|b ＋c|－3|a－c|－4|a＋b|.12．若多项式2mx2－x2＋5x＋8－(7x2－3y＋5x)的值与x无关，求m2－[2m2－(5m－4)＋m]的值．13．有一道题“先化简，再求值：17x 2－(8x 2＋5x )－(4x 2＋x －3)＋(5x 2＋6x －1)－3，其中x ＝2020.”小明做题时把“x ＝2020”错抄成了“x ＝－2020”．但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因？14．已知一个两位数，其十位数字是a，个位数字是b.(1)写出这个两位数；(2)若把这个两位数的十位数字与个位数字对换，得到一个新的两位数，这两个数的和能被11整除吗？为什么？其差又一定是哪个数的倍数？为什么？专题(二)整式中的规律探索1．a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2019的值是()A ．5B ．－14C .43D .452．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72019的结果的个位数字是()A．0B．1C．7D．83．用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为()A．3n B．6n C．3n＋6D．3n＋34．观察下列等式：①1＝12；②2＋3＋4＝32；③3＋4＋5＋6＋7＝52；④4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；…请根据上述规律判断下列等式正确的是()A．1009＋1010＋…＋3026＝20172B．1009＋1010＋…＋3027＝20182C．1010＋1011＋…＋3028＝20192D．1010＋1011＋…＋3029＝202025．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为_____．6．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，…，按此规律，那么请你推测第n组取1的种子数是_____粒．7．按规律写出空格中的数：－2，4，－8，16，_____，64.8.已知一列数：a，b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，3a＋5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是_____．9.观察下列各等式：第一个等式3＝2＋1，第二个等式5＝3＋2，第三个等式9＝5＋4，第四个等式17＝9＋8，…，按此规律猜想第六个等式是_____．10．观察下列各式：22－1＝1×3，32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，根据上述规律，第n个等式应表示为_____．11．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有_____个〇.…12．观察下列单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，…，－37x19，39x20，…，回答下列问题：(1)这组单项式的系数的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？(4)请你根据猜想，写出第2019，2020个单项式．参考答案专题(一)整式的化简与求值1．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|－|c－b|的结果是(A)A．a＋c B．c－a C．－a－c D．a＋2b－c 2．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简式子|a＋b|＋a的结果是－b．3．若多项式2x2＋3x＋7的值为10，则多项式6x2＋9x－7的值为2．4．已知xy＝－1，x＋y＝12，那么y－(xy－4x－3y)的值等于3．5．计算：(1)6a 2＋4b 2－4b 2－7a 2；解：原式＝(6－7)a 2＋(4－4)b 2＝－a 2.(2)(8a－7b)－(4a－5b)；解：原式＝8a－7b－4a＋5b ＝4a－2b.(3)－12(x 2y－2xy 2－x 2)－13(－x 2－x 2y－xy 2)；解：原式＝－12x 2y＋xy 2＋12x 2＋13x 2＋13x 2y＋13xy2＝－16x 2y＋56x 2＋43xy 2.(4)2(x 3－2y 2)－(x－2y)－(x－3y 2＋2x 3)；解：原式＝2x 3－4y 2－x＋2y－x＋3y 2－2x 3＝－y 2－2x＋2y.(5)3x 2－[5x－(12x－3)＋3x 2]．解：原式＝3x 2－(5x－12x＋3＋3x 2)＝3x 2－5x＋12x－3－3x2＝－92x－3.6．已知A＝x 2－2x＋1，B＝2x 2－6x＋3.求：(1)A＋2B；(2)2A－B.解：(1)A＋2B＝x 2－2x＋1＋2(2x 2－6x＋3)＝x 2－2x＋1＋4x 2－12x＋6＝5x 2－14x＋7.(2)2A－B＝2(x 2－2x＋1)－(2x 2－6x＋3)＝2x 2－4x＋2－2x 2＋6x－3＝2x－1.7．先化简，再求值：(1)14(－4x 2＋2x－8)－(12x－1)，其中x＝12；解：原式＝－x 2＋12x－2－12x＋1＝－x 2－1.当x＝12时，原式＝－(12)2－1＝－54.(2)(－2ab＋3a)－2(2a－b)＋2ab，其中a＝3，b＝1；解：原式＝－2ab＋3a－4a＋2b＋2ab＝－a＋2b.当a＝3，b＝1时，原式＝－3＋2＝－1.(3)(安阳期末)2(a2b－ab2)－3(a2b－1)＋2ab2＋1，其中a＝2，|b＋1|＝0.解：原式＝2a2b－2ab2－3a2b＋3＋2ab2＋1＝－a2b＋4.因为a＝2，|b＋1|＝0，即b＝－1，所以原式＝－22×(－1)＋4＝4＋4＝8.8．若单项式3x2y5与－2x1－a y3b－1是同类项，求下面代数式的值：5ab2－[6a2b－3(ab2＋2a2b)]．解：因为3x2y5与－2x1－a y3b－1是同类项，所以1－a＝2，3b－1＝5.解得a＝－1，b＝2.原式＝5ab2－(6a2b－3ab2－6a2b)＝5ab2－6a2b＋3ab2＋6a2b＝8ab2.当a＝－1，b＝2时，原式＝8×(－1)×22＝－8×4＝－32.9．已知a2＋b2＝6，ab＝－2，求(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)的值．解：原式＝－3a2＋8ab－3b2＝－3(a2＋b2)＋8ab，因为a2＋b2＝6，ab＝－2，所以原式＝－3×6＋8×(－2)＝－34.10．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试解决下列问题：(1)因为a＜0，所以|a|＝－a；(2)因为b＞0，－b＜0，所以|b|＝b；|－b|＝b；(3)因为1＋a＞0，所以|1＋a|＝1＋a；(4)因为1－b＜0，所以|1－b|＝－(1－b)＝b－1；(5)因为a＋b＞0，所以|a＋b|＝a＋b；(6)因为a－b＜0，所以|a－b|＝－(a－b)＝b－a．11．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A，B，C，其位置如图所示，化简：2|b ＋c|－3|a－c|－4|a＋b|.解：由数轴知，a＜b＜0＜c，且|b|＜|c|，所以b＋c＞0，a－c＜0，a＋b＜0.所以原式＝2(b＋c)－[－3(a－c)]－[－4(a＋b)]＝2b＋2c＋3(a－c)＋4(a＋b)＝2b＋2c＋3a－3c＋4a＋4b＝6a＋6b－c.12．若多项式2mx2－x2＋5x＋8－(7x2－3y＋5x)的值与x无关，求m2－[2m2－(5m－4)＋m]的值．解：2mx2－x2＋5x＋8－(7x2－3y＋5x)＝2mx2－x2＋5x＋8－7x2＋3y－5x＝(2m－8)x2＋3y＋8.因为此多项式的值与x无关，所以2m－8＝0，解得m＝4.m2－[2m2－(5m－4)＋m]＝m2－(2m2－5m＋4＋m)＝－m2＋4m－4，当m＝4时，原式＝－42＋4×4－4＝－4.13．有一道题“先化简，再求值：17x2－(8x2＋5x)－(4x2＋x－3)＋(5x2＋6x－1)－3，其中x＝2020.”小明做题时把“x＝2020”错抄成了“x＝－2020”．但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因？解：17x2－(8x2＋5x)－(4x2＋x－3)＋(5x2＋6x－1)－3＝17x2－8x2－5x－4x2－x＋3＋5x2＋6x－1－3＝10x2－1.因为当x＝2020和x＝－2020时，x2的值不变，所以他计算的结果是正确的．14．已知一个两位数，其十位数字是a，个位数字是b.(1)写出这个两位数；(2)若把这个两位数的十位数字与个位数字对换，得到一个新的两位数，这两个数的和能被11整除吗？为什么？其差又一定是哪个数的倍数？为什么？解：(1)10a＋b.(2)(10a＋b)＋(10b＋a)＝11a＋11b＝11(a＋b)，因为a，b都是整数，所以a＋b也是整数．所以这两个数的和能被11整除．(10a＋b)－(10b＋a)＝10a＋b－10b－a＝9a－9b＝9(a－b)，(10b＋a)－(10a＋b)＝10b＋a－10a－b＝9b－9a＝9(b－a)，因为a，b都是整数，所以a－b，b－a也是整数．所以这两个数的差一定是9的倍数．专题(二)整式中的规律探索1．a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2019的值是(D )A ．5B ．－14C .43D .452．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72019的结果的个位数字是(A )A ．0B ．1C ．7D ．83．用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n 个图形用的棋子个数为(D )A ．3nB ．6nC ．3n＋6D ．3n＋34．观察下列等式：①1＝12；②2＋3＋4＝32；③3＋4＋5＋6＋7＝52；④4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；…请根据上述规律判断下列等式正确的是(C )A ．1009＋1010＋…＋3026＝20172B ．1009＋1010＋…＋3027＝20182C ．1010＋1011＋…＋3028＝20192D ．1010＋1011＋…＋3029＝202025．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为3n＋2．6．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，…，按此规律，那么请你推测第n组取1的种子数是(2n＋1)粒．7．按规律写出空格中的数：－2，4，－8，16，－32，64.8.已知一列数：a，b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，3a＋5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是13a＋21b．9.观察下列各等式：第一个等式3＝2＋1，第二个等式5＝3＋2，第三个等式9＝5＋4，第四个等式17＝9＋8，…，按此规律猜想第六个等式是65＝33＋32．10．观察下列各式：22－1＝1×3，32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，根据上述规律，第n个等式应表示为(n＋1)2－1＝n(n＋2)．11．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有6058个〇.…12．观察下列单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，…，－37x19，39x20，…，回答下列问题：(1)这组单项式的系数的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？(4)请你根据猜想，写出第2019，2020个单项式．解：(1)这组单项式的系数的符号规律是(－1)n，系数的绝对值规律是2n－1.(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．(3)第n个单项式是(－1)n(2n－1)x n.(4)第2019个单项式是－4037x2019，第2020个单项式是4039x2020.。
整式中的两种规律探索问题(解析版)
专题05 整式中的两种规律探索问题类型一、数字类规律探索例.观察：（x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，据此规律，当（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0时，代数式x 2019﹣1的值为 _____． 【答案】0或﹣2【详解】解：根据题意得∶ （x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1， （x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1， （x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1， ……∶（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1 ∶（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0， ∶x 6﹣1＝0，解得：x ＝1或x ＝﹣1， 则x 2019﹣1＝0或﹣2， 故答案为：0或﹣2．【变式训练1】a 是不为1的有理数，我们把11-a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为1-11-2=，－1的差倒数为111(1)2=--，已知15a =，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推……，2021a 的值是（ ） A ．5 B ．14-C ．43D ．45【答案】B【解析】∶15a = ， 2a 是1a 的差倒数，∶211154a ==--， ∶3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，∶314151-4a ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，∶415415a ==-，根据规律可得n a 以5，1-4，45为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以202114a =-．故选B ．【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______． 【答案】0 1【解析】由题意得：第3个数是101-=，第4个数是110-=，第5个数是011-=-，第6个数是101--=-， 则前6个数的和是()()0110110++++-+-=， 第7个数是1(1)0---=，第8个数是0(1)1--=， 归纳类推得：这2021个数是按0,1,1,0,1,1--循环往复的，202163365=⨯+，且前6个数的和是0，∴这2021个数的和与前5个数的和相等，即为()011011++++-=，故答案为：0，1．【变式训练3】有一列数11315,,,,228432---，…，那么第n 个数为______． 【答案】()12nnn - 【详解】解：()11122-=-⨯，()221221242==-⨯，()3333182-=-⨯， ()4414414162==-⨯，()55551322-=-⨯，…… 由此发现：第n 个数为()12nnn-． 故答案为：()12nnn - 【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则()7a b +的展开式中从左起第三项为______．()1a b a b+=+()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++【答案】5221a b【详解】解：根据题意，()7a b +=7652433425677213535217a a b a b a b a b a b ab b +++++++，∶()7a b +的展开式中从左起第三项为5221a b ， 故答案为：5221a b ．类型二、图形类规律探索例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n 条直线相交最多有______个交点．【答案】 6(1)2n n - 【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即()22112⨯-=；三条直线相交最多有3个交点，即()33132⨯-=；四条直线相交最多有6个交点，即()44162⨯-=，五条直线相交最多有10个交点，即()551102⨯-=，……∶n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n ≥2）． 故答案为6；(1)2n n -． 【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．【答案】9【详解】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3=1+2，第3个图中有6个小球，6=1+2+3，第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……n（1+n）个小球，照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n（1+n）=45，∶12解得n=9或-10（舍去），故答案为：9．【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．【答案】10【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，∶摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，∶6n+2+6n+8=130，解得n=10．故答案为：10．【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第n层含有正三角形个数为___个．n【答案】114 126【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，则第n层中含有正三角形个数是6+12×（n-1）=126n-个，故答案为：114，126n-．【变式训练4】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．【答案】2021【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，∶第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，∶6064120213-=，∶用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，故答案为：2021．课后训练1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为（）A．99B．100C．101D．102【答案】B【详解】解：观察图形知：第一个图中有3=1+2×1个正方形， 第二个图中有5＝1＋2×2个正方形， 第三个图中有7＝1＋2×2个正方形， …故第n 个图中有1＋2×n ＝2n +1=201（个）正方形， 解得n =100 故选B ．2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（ ）颗棋子．A ．85B ．86C ．87D ．88【答案】B 【详解】偶数列数与排数表： 偶数列数排数 2 2 4 3 6 4 8 5 … … n 12n∶当n =16时，排数为：192n+=，∶前16列共有棋子：()9102123+-3=2-3=872⨯+++⨯…9（颗）， ∶第16列第8排的棋子位次是：87-1=86． 故选B ．3．将一正方形按如图方式分成n 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则n 的值为（ ）A ．12B ．16C ．18D ．20【答案】C【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ， 根据题意得，2a +2b =3a ， 整理得，a =2b ，∶竖排的一行的长方形的个数为3a ÷b =（3×2b ）÷b =6， ∶n =3×2+6×2=6+12=18． 故选：C ．4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【详解】解：设如图表所示：根据题意可得：x +6+20=22+z +y ， 整理得：x -y =-4+z ，x +22+n =20+z +n ，20+y +m =x +z +m ，整理得：x =-2+z ，y =2z -22， ∶x -y =-2+z -(2z -22)=-4+z ，解得：z =12， ∶x +y =3z -24=12 故选：D ．5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．【答案】16 674【详解】 每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……，∴第n 行的最后一个数字为：1+3(1)32n n -=-，∴第6行最后一个数字为：36216⨯-=；322020n -=，解得：674n =，故答案为：16,674．6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中11m =，12n =，则M 的值为________．【详解】解：∶1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，∶右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），∶M =m （n +1）， ∶M =11×(12+1)=143． 故答案为：143．7．为了求220211222+++⋯+的值，可令220211222S =+++⋯+，则220222222S =++⋯+，因此2022221S S -=-，所以220212022122221+++⋯+=-．按照以上推理计算出1220211333---+++⋯+的值是______． 【答案】2021332-- 【详解】解：令1220211333S ---=+++⋯+， 则1220212022133333S ----=++⋯++， 因此20221313S S --=-，则20222313S --=-，得：2021332S --=，所以20211220213313332-----+++⋯+=． 故答案为：2021332--．8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n （n 为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人．【答案】（6n +2） 【详解】解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐（2+6）人． 拼2张桌子，可以坐[2+（6×2）]人． 拼3张桌子，可以坐[2+（6×3）]人． …拼接n （n 为正整数）张桌子，可以坐（6n +2）人． 故答案是：（6n +2）．9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7136147⨯-⨯=，172316247⨯-⨯=，不难发现，结果都是7． 2012年8月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 262728293031（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； （2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？ （3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．【答案】（1）111710187⨯-⨯=，符合；（2）392107⨯-⨯=；（3）见解析 【详解】解：（1）由题意得：111710187⨯-⨯=，符合；（2）392107⨯-⨯=；答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；（3）设上边第一个数为x ，则其后的数为（x +1），第二行的两个数分别为（x +7），（x +8）， 根据题意，得22(1)(7)(8)8787x x x x x x x x ++-+=++--=．10．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表： 边上的小圆圈数1 2 3 4 5每个图中小圆圈的总数（3）如果用n 表示六边形边上的小圆圈数，m 表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m 和n 的关系是什么？【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）2331m n n =-+【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示， 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61（3）结合（1）（2）可知，m 与n 之间的函数关系为：()()()()()1...212...1m n n n n n n n n n n =+++++-++-++-++++首尾相加得()()21...(2)1m n n n n n n =+++++-++-⎡⎤⎣⎦()()21322213312n n n n n --=+-=-+ 2331m n n =-+．11．对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“筋斗数”．例如：m ＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m ＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；(2)若m 是“筋斗数”，且m 与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m ．【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”； 理由见解析(2)m 的值为9909或2110或6422【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：∶6=3+3，9=2×3+3，∶9633是“筋斗数”；∶6=4+2，28+2≠，∶2642不是“筋斗数”；(2)设m 的个位数为a ，0≤a ≤9，十位数为0＜b ≤9，且a 、b 为整数∶m 是“筋斗数”，∶m 的百位数为a +b ，千位数为2b +a ；∶m =1000（2b +a ）+100（a +b ）+10b +a =1100a +110b +2000b +a∶m 与13的和能被11整除，∶1100a +110b +2000b +a +13能被11整除，∶2b +a ≤9且a 、b 为整数，∶b ≤4.5∶1100a +110b 能被11整除，∶2000b +a +13能被11整除，∶b =0，a =9或b =1，a =0或b =2，a =2或b =3，a =4，或b =4，a =6，∶a +b =9，2b +a =9或a +b =1，2b +a =2或a +b =4，2b +a =6或a +b =7，2b +a =10（舍去）或a +b =10，2b +a =14（舍去），∶m 的值为9909或2110或6422 12．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……(1)试利用图形揭示的规律计算：1111111112481632641282562n++++++++＝_______． 并使用代数方法证明你的结论． (2)请给利用图（2），再设计一个能求：2341111122222n+++++的值的几何图形． 【答案】(1)112n - ，证明见解析；(2)见解析 【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为12n 时 ， 1111111112481632641282562n ++++++++的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即：112n - ， 1111111111124816326412825622n n ∴++++++++=-； ②设1111111112481632641282562n s =++++++++ ， 111111111212481632641282n s -=++++++++ ， 1212n s s ∴-=-，即112n s =-，1111111111124816326412825622n n∴++++++++=-； (2)如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为12的三角形，接着把面积为12的三角形等分成两个面积为14的三角形，再把面积为14的三角形等分成面积为18的三角形，如此进行下去，则2341111122222n +++++的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：112n -。
聚焦整式中的四大规律探究题
聚焦整式中的规律探究江苏 何春华在整式概念及运算中有一类规律探究问题很值得同学们注意，它考查了同学们实际应用与创新的能力，下面将整式中的规律问题归纳如下，供同学们学习时参考！一、数表中的“规律探究”例1观察下列数表：第 第 第 第一 二 三 四列 列 列 列第一行 1 2 3 4第二行 2 3 4 5第三行 3 4 5 6第四行 4 5 6 7…… … … … …请猜想第n 行第n 列上的数是 。
分析：通过观察、分析、比较，可知：第1行与第1列，第2行与第2列，第3行与第3列，第4行与第4列，交叉点上的数依次为1、3、5、7，它们是连续的奇数，所以可猜想第n 行与第n 列交叉点上的数为21n -。
答案：21n -二、图形中的“规律探究”例2用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第（n ）个图形中需要黑色瓷砖 块.（用含n 的式子表示）分析：观察第⑴个图形有黑色瓷砖4块；第⑵个图形有黑色瓷砖4＋3＝7（块），第⑶个图形中有黑色瓷砖4＋3＋3＝10（块），…，依次规律可得第（n ）个图形中有黑色瓷砖4＋3（1n -）＝31n +（块）。
答案：10，（31n +）。
点评：解答此类问题要仔细观察每个图形及变化规律，根据规律归纳总结出结论。
三、等式中的“规律探究”例3观察下列等式：（1） （2） （3） ……221 2111222222223332 ⨯⨯⨯⨯⨯⨯2＋＝（＋）＋＝（＋）3＋＝（＋）……则第n 个等式可以表示为 。
分析：通过观察可以发现，等式的左边是两项，第1项是从1开始的整数的平方，第2项是2与这个整数的乘积，所以在左边可用一般式子表示为n n 22+（n ≥1的整数），每一项等式的右边是这个整数与2的和的积，所以可用一般的式子表示为()2+n n ，所以第n 个等式为()222+=+n n n n 。
答案：()222+=+n n n n 。
专题 -整式中的规律题(原卷版)
专题02 整式中的规律题一、选择题1．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n ）和芍药的数量规律，那么当n =11时，芍药的数量为（ ）A. 84株B. 88株C. 92株D. 121株2.观察下列各单项式：a ，-2a 2，4a 3，-8a 4，16a 5，-32a 6，…，根据你发现的规律，第10个单项式是 （ ） A.-512a 10B. 29a 10C. 210a 10D. -210a 103.观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）A. 22n +B. 44n +C. 44n -D. 4n4. 如图，第①个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第②个图形，图中共有5个正方形；连接第②个图形中右下角正方形的对边中点得到第③个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第④个图形、第⑤个图形……，则第⑦个图形中共有（ ）个正方形.A ．21B ．25C ．29D ．325.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，按照这样的规律摆下去，用含n 的代数式表示第n个图形需要棋子的枚数为（）A．4n B．3n C．4n－2 D．3n+16.一组按规律排列的式子：4682,,,,357a a aa，则第2020个式子是（）A．20202020aB．20204040aC．40404039aD．20204039a7.如图，每个图形都是由同样大小的正方形按照一定的规律组成，其中第①个图形面积为2，第②个图形的面积为6，第③个图形的面积为12，…，那么第⑧个图形面积为（）A．42 B．56 C．72 D．908.如图，四个小朋友站成一排，老师按图中所示的规则数数，数到2018时对应的小朋友可得一朵红花，那么得红花的小朋友是（）A. 小沈B. 小叶C. 小李D. 小王9.把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：第一组：2，4；第二组：6，8，10，12；第三组：14，16，18，20，22，24第四组：26，28，30，32，34，36，38，40……则现有等式A m=（i，j）表示正偶数m第i组第j个数（从左到右数），如A10=（2，3），则A2018=（ ） A. （31，63）B. （32，17）C. （33，16）D. （34，2）10.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值应是（ ）A. 110B. 158C. 168D. 17811.将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2018应在（ ）A. A 处B. B 处C. C 处D. D 处12. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M 与m 、n 的关系是A. M =mnB. M =n (m +1)C. M =mn +1D. M =m (n +1)13.将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……，按如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C 的位置）是有理数4，那么，“峰6”中D 的位置是有理数（ ），2008应排在A 、B 、C 、D 、E 中的（ ） 位置．其中两个填空依次为（ ）A. 29，CB. ﹣29，DC. 30，BD. ﹣31，E14.定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 是奇数时，F （n ）＝3n +1；②当n 是偶数时，F （n ）＝2k n （其中k 是使得2kn 为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行．例如，取n ＝24，则：24F −−−→②第一次3F −−−→①第二次10F −−−→②第三次5……若n ＝13，则第2019次“F 运算”的结果是（ ） A ．1B ．4C ．2019D ．42019二、填空题15.一组代数式：2345251017a a a a--，，，…，观察规律，则第10个代数式是_______.16.如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则a n＝__________（用含n的代数式表示）．所剪次数 1 2 3 4 …n正三角形个数 4 7 10 13 …a n17.按如图程序输入一个数x，若输入的数x=﹣1，则输出结果为_________.18.已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是_______．（用含n的代数式表示）19.有一组多项式：a－b2，a3＋b4，a5－b6，a7＋b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为________，第n个多项式为________．20.一组按规律排列的式子：，，，－，，…，其中第7个式子是，第n个式子是(用含的n式子表示，n为正整数).21.已知，，且、均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”，那么在 的“分解”中，最小的数是 .22..如图，观察图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+…+8n （n 是正整数）的结果是23..已知0a >，11S a=，211S S =--，321S S =，431S S =--，541S S =，…（即当n 为大于1的奇数时，11n n S S -=；当n 为大于1的偶数时，11n n S S -=--），按此规律，2018S =__________.24.将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是__________．三、解答题25.观察下列一串单项式的特点：xy ，-2x 2y ，4x 3y ，-8x 4y ，16x 5y ，…(1)按此规律写出第9个单项式；(2)试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？26.观察下列三行数：0，3，8，15，24，…①2，5，10，17，26，…②0，6，16，30，48，…③(1)第①行数按什么规律排的，请写出来？(2)第②、③行数与第①行数分别对比有什么关系？(3)取每行的第n个数，求这三个数的和.27.观察以下等式：第1个等式：10101 1212++⨯=，第2个等式：11111 2323++⨯=，第3个等式：121213434++⨯=， 第4个等式：131314545++⨯=， 第5个等式：141415656++⨯=， ……按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n 个等式：___________(用含n 的等式表示)，并证明．28.（1）根据下列算式的规律填空：112=12236-⨯⨯， 112=233424-⨯⨯， 112=344560-⨯⨯， 114556-⨯⨯= ， （1）第n 个算式为 ； （2）利用上述规律计算：111+++1232348910⨯⨯⨯⨯⨯⨯。
专题 整式中的规律探究题(原卷版)
（苏科版）七年级上册数学《第3章 代数式》专题 整式中的规律探究题1．（2023春•耿马县期末）按一定规律排列的单项式：2a ，3a 2，4a 3，5a 4，6a 5，…，第n 个单项式是（ ）A ．（n +1）a nB ．（n +1）a 2nC ．na 2nD ．2na n2．（2022春•湖北期末）按一定规律排列的单项式：2a 2，4a 3，8a 4，16a 5，32a 6，…，第n 个单项式是（ ）A ．2n a nB ．2n ﹣1a n +1C ．2n a n +1D ．2n +1an3．（2023•大理市模拟）观察下列关于x 的单项式：x ，﹣3x 2，5x 3，﹣7x 4，9x 5，﹣11x 6，…，按此规律，第n 个单项式为（ ）A ．（2n ﹣1）x nB ．﹣（2n ﹣1）x nC ．（﹣1）n （2n ﹣1）x nD ．（﹣1）n +1（2n ﹣1）x n4．（2023•楚雄市二模）按一定规律排列的单项式：a 3，−a 25，a 39，−a 417，…，第n 个单项式是（ ）A ．(−1)n a n2n1B ．(−1)n a n 2n +11C ．(−1)n +1a n 2n 1D ．(−1)n +1a n 2n +115．（2022秋•云阳县期中）观察下列单项式：a ，﹣a 2，a 3，﹣a 4，a 5，…，按此规律第n 个单项式是 ．（n 为正整数）6．（2023•西藏）按一定规律排列的单项式：5a ，8a 2，11a 3，14a 4，…．则按此规律排列的第n 个单项式为 ．（用含有n 的代数式表示）7．按照规律填上所缺的单项式并回答问题：（1）a 、﹣2a 2、3a 3、﹣4a 4， ；（2）试写出第2008个单项式；（3）试写出第n 个单项式．8．观察下列单项式：﹣x ，3x 2，﹣5x 3，7x 4，…，﹣37x 19，39x 20，…，回答下列问题：（1）这些单项式的系数的规律是什么？（2）这些单项式的次数的规律是什么？（3）根据上面的规律，归纳出第n 个单项式是什么．（4）第2023和2024个单项式是什么？1．（2023•双柏县模拟）按一定规律排列的多项式：x ﹣y ，x 2+2y ，x 3﹣3y ，x 4+4y ，x 5﹣5y ，x 6+6y ，…，则第n 个多项式是（ ）A ．x n +（﹣1）n ny B ．（﹣1）n x n +ny C ．x n +（﹣1）n +1nyD ．（﹣1）n x n +（﹣1）n ny2．按一定规律排列的多项式：﹣x +2y ，x 2+4y ，﹣x 3+6y ，x 4+8y ，﹣x 5+10y ，x 6+12y ，…，根据上述规律，可知第n 个多项式是（ ）A ．（﹣1）n x n +ny B ．（﹣1）n x n +2ny C ．（﹣1）n +1x n +2nyD ．（﹣1）n x n +（﹣1）n ny3．一组按规律排列的多项式：a +b ，a 2﹣b 3，a 3+b 5，a 4﹣b 7，……，其中第10个式子的次数是（ ）A ．10B ．17C ．19D ．214．（2023•巧家县二模）观察下列代数式：1﹣x 2，2+x 3，3﹣x 4，4+x 5，……，根据其中的规律可得第2023个式子是（ ）A ．2022﹣x 2023B ．2022+x 2023C ．2023﹣x 2024D ．2023+x 20245．有一组多项式：a ﹣b 2，a 3+b 4，a 5﹣b 6，a 7+b 8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n 个多项式为 ．6．按一定规律排列的多项式：x +2y ，﹣x 2+4y ，x 3+8y ，﹣x 4+16y ，x 5+32y ，…，根据上述规律，则第n 个多项式是 ．7．观察下列各式及其展开式（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3（a +b ）4＝a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4（a +b ）5＝a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5……请你猜想（2x ﹣1）8的展开式中含x 2项的系数是（ ）A ．224B ．180C ．112D ．488．已知一列多项式：12x 2−x ，32x 2+2x ，56x 2−3x ，76x 2+4x ，910x 2−5x ，1110x 2+6x ，1314x 2−7x ，1514x 2+8x ，⋯（1）第9个多项式是 ，第10个多项式是 ．（2）当n 是奇数时，第n 个多项式是 ，第（n +1）个多项式是 ．（3）已知2x 2+x ＝3，求前100个多项式的和．1．（2023•牡丹江模拟）按一定规律排列的一列数依次为3，6，12，24，…，按此规律排列下去，这列数的第7个数是（ ）A ．96B ．124C ．192D ．2342．（2022秋•衡南县期末）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a 1，第二个三角数记为a 2，…，第n 个三角数记为αn ，计算a 2021﹣a 2020的值为（ ）A ．2021B ．2020C ．2019D ．20183．（2023春•镇雄县期末）一组按规律排列的式子：﹣2，52，−83，114，…．第n 个式子是（ ）（n 为正整数）A ．(−1)n +13n−1nB ．(−1)n3n−1n 1C ．(−1)n2n 1nD ．(−1)n3n−1n4．（2023春•渝北区校级期中）当x ≠﹣1时，我们把−1x 1称为x 的“和1负倒数”．如：2的“和1负倒数”为−121=−13，若x 1＝1，x 2是x 1的“和1负倒数”，x 3是x 2的“和1负倒数”…依次类推，则x 1•x 2•x 3•…x 2023的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．12D ．−125．（2023春•泗水县期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，3）表示8，已知1+2+3+⋯+n =n(n 1)2，则表示2023的有序数对是（ ）A ．（64，7）B ．（64，64）C ．（64，58）D ．（64，57）6．（2023•新洲区模拟）有一列数，记为a 1，a 2，⋯，a n ，记其前n 项和为S n ＝a 1+a 2+⋯+a n ，定义T n =S 1S 2⋯S nn为这列数的“亚运和”，现有99个数a 1，a 2，⋯，a 99，其“亚运和”为1000，则1，a 1，a 2，⋯，a 99这100个数的“亚运和”为（ ）A ．791B ．891C ．991D ．10017．（2023•天河区校级模拟）观察按一定规律排列的一组数：2，12，27，…，其中第n个数记为a n；第n+1个数记为a n+1，第n+2个数记为a n+2，且满足1a n+1a n+2=2a n+1，则a4＝ ，a2023＝ ．8．（2023•烈山区一模）观察以下等式：第1个等式21=11+11；第2个等式23=12+16；第3个等式25=13+115；第4个等式27=14+128．……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式： ；（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明你的结论．9．（2023秋•瓯海区校级月考）观察下列等式：第1个等式：a1=11×3=12×(1−13)；第2个等式：a2=13×5=12×(13−15)；第3个等式：a3=15×7=12×(15−17)；…青解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝ ．（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n＝ （n为正整数）；（3）求a1+a2+…+a100的值．1．（2023•洪山区开学）如图，摆第一个图形需要4根火柴，摆第二个图形需要7根火柴，…，以此类推．那么摆第八个图形需要（ ）根火柴．A ．24B ．27C ．25D ．282．（2022秋•凤翔县期末）找出以下图形变化的规律，则第2022个图形中黑色正方形的数量是（ ）A ．3030B ．3031C ．3032D ．30333．（2023•东海县开学）如图，一张正方形桌子四周可以坐4人，如果按如图所示的方式拼桌子，六张桌子拼在一起可以坐 人．4．（2023春•凉州区期末）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，按此规律，第100个图形中“〇”的个数为 ．5．（2022秋•无锡月考）探究规律：将棋子按下面的方式摆出正方形．（1）按图示规律，第（6）图需要 个棋子；（2）按照这种方式摆下去，摆第n（n为正整数）个正方形需要 个棋子；（3）按照这种方式摆下去，摆第2020个正方形需要多少棋子？6．下列图形按一定规律排列，观察并回答：（1）依照此规律，第四个图形共有 个★，第六个图形共有 个★；（2）第n个图形中有★ 个；（3）根据（2）中的结论，第几个图形中有2020个★？7．（2023春•肇东市期末）用棋子摆出下列一组图形：（1）填写表：图形编号123456图形中的棋子 （2）照这样的方式摆下去，那么第n个图形的棋子数是 枚；（3）如果某一图形共有102枚棋子，那么它是第 个图形．8．（2022秋•濮阳县期中）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．（1）2节链条长 cm，6节链条长 cm；（2）n节链条长多少cm？（3）如果一辆自行车的链条由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？9．（2022秋•永兴县期末）一串图形按如图所示的规律排列．（说明：下列所指的小正方形都是与第1个图形一样大小的正方形）（1）第5个图形中有几个小正方形？第6个图形呢？（2）求出第n个图形中小正方形的个数．（3）求出第20个图形中小正方形的个数．（4）是否存在某个图形，其小正方形的个数恰好是下列各数：①5050；②1000．给出你的判断，并说明理由．。
初一数学整式规律探索含答案
初一数学整式规律探索含答案规律探索中考要求内容基本要求略高要求较高要求。
学生需要根据特定的问题所提供的资料，合理选用知识和方法，通过代数式的适当变形求代数式的值。
同时，他们需要能够用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题。
代式学生需要了解代数式的值概念并能求代数式的值。
他们还需要能根据代数式的值或特征，推断这些代数式反映的规律。
整式有关概念学生需要了解整式及其有关概念。
他们需要理解整式加减运算法则并能进行简单的整式加减运算。
重难点学生需要能根据图、表、数、式中的排列特征，探究其中蕴藏的数式规律。
课前预德国著名大科学家XXX(1777～1855)出生在一个贫穷的家庭。
XXX在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误。
长大后，他成为当代最杰出的天文学家和数学家。
他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。
数学家们则称呼他为“数学王子”。
他八岁时进入乡村小学读书。
教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。
而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。
这一天正是数学教师情绪低落的一天。
同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了。
“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。
谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。
”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。
教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好。
有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。
还不到半个小时，XXX拿起了他的石板走上前去。
“老师，答案是不是这样？”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？XXX发现了一种计算级数1+2+3+。
(完整版)七年级数学整式的加减探索规律(习题及答案)
探索规律（习题）➢例题示范例1：观察图1至图4中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为M，则M=__________（用含n的代数式表示）．…图1 图2 图3 图4思路分析做图形规律的题，我们一般从两个方面来研究：（1）观察图形的构成．（2）转化．观察本题的图形，发现后面的图形总比前面的图形多3个小圆圈，可以采用分类的手段进行解决．分成原来的和增加的两类．①2+3×1②2+3×2③2+3×3④2+3×4则第n个：2+3n=3n+2．验证：当n=1时，3n+2=5，成立．故第n个图形中有(3n+2)个小圆圈．（想一想，还有其他观察角度吗？）例2：观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：…从第1个球起到第2 014个球止，共有实心球________个．思路分析①判断该题是循环规律，查找重复出现的结构，即循环节；②观察图形的变化规律，发现每10个球为一个循环，每个循环节里有3个实心球．故2 014÷10=201…4，201×3=603；③再从某个循环节开始查前4个球，发现有2个实心球，故总数为603+2=605（个）．➢巩固练习1.如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成下列各题．123456781011121314151617181920212223242526272829303132333435369…（1）表中第8行的最后一个数是_____，它是自然数______ 的平方，第8行共有________个数；（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是_________， 最后一个数是_________，第n 行共有_________个数． 2. 将1，-2，3，-4，5，-6，…按一定规律排成下表：（1）第8行的数是_________________________________； （2）第50行的第一个数是_______．3. 下列图形由边长为1的正方形按某种规律排列而成，依此规律，则第8个图形中正方形有（ ）…图3图2图1A．38个 B．41个 C．43个D．48个4.如下图所示，摆第1个“小屋子”要5枚棋子，摆第2个要11枚棋子，摆第3个要17枚棋子，则摆第30个要_________枚棋子．…第3个第2个第1个5. 下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n 个图案中白色正方形的个数为_________．…图3图2图16. 观察下列图形，根据图形及相应点的个数的变化规律，第n 个图形中点的个数为__________．图5图4图1图2图3…7. 如图1，一等边三角形的周长为1，将这个等边三角形的每边三等分，在每边上分别以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2；再将图2中的每一段作类似变形，得到图3；按上述方法继续下去得到图4，则第4个图形的周长为________，第n 个图形的周长为________________．…图1 图2 图38. 一个纸环链，纸环按“红黄绿蓝紫”的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 … … 黄 绿 蓝 紫 A ．2 012B ．2 013C ．2 014D ．2 0159. 小时候我们就用手指练习过数数，一个小朋友按图中的规则练习数数，数到2 013时对应的手指头是（ ） A ．大拇指B ．食指C ．小拇指D ．无名指大拇指1234567891011121314151617181910. 如图，平面内有公共端点的八条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OG ，OH ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，…．（1）“20”在射线______________上； （2）请任意写出三条射线上的数字排列规律； （3）“2 015”在哪条射线上？➢ 思考小结1. 我们学习了数的规律、式的规律、图形规律、循环规律等，它们都有对应的操作方法．（1）数与式的规律：①_________；②_________；③处理符号；④验证． （2）图形规律：①观察图形的构成：____________________；②转化：________________________________________． （3）循环规律：①________________；②____________________．HD【参考答案】➢巩固练习1.（1）64，8，15；（2）(n-1)2+1（或n2-2n+2），n2，(2n-1)．2.（1）29，-30，31，-32，33，-34，35，-36；（2）-1 226．3. C4.1795.5n+36.n2-n+17.6427，143n-⎛⎫⎪⎝⎭8. B9. C10.（1）OD（2）射线OA：8n-7；射线OB：8n-6；射线OC：8n-5；射线OD：8n-4；射线OE：8n-3；射线OF：8n-2；射线OG：8n-1；射线OH：8n．任选三个即可．（3）在射线OG上．➢思考小结1.（1）①标序号；②找结构．（2）①分类，去重，补形；②转化为数的规律或其他图形的规律．（3）①确定起始位置；②找循环节．。
华东师大版七年级数学上册第三章 整式的加减 专题训练试题(含答案)
华东师大版七年级数学上册第三章 整式的加减 专题训练试题专题(一) 整式的化简与求值1．已知有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b|－|c －b|的结果是( )A ．a ＋cB ．c －aC ．－a －cD ．a ＋2b －c2．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简式子|a ＋b|＋a 的结果是______．3．若多项式2x 2＋3x ＋7的值为10，则多项式6x 2＋9x －7的值为______． 4．已知xy ＝－1，x ＋y ＝12，那么y －(xy －4x －3y)的值等于______．5．计算：(1)6a 2＋4b 2－4b 2－7a 2；(2)(8a －7b)－(4a －5b)；(3)－12(x 2y －2xy 2－x 2)－13(－x 2－x 2y －xy 2)；(4)2(x 3－2y 2)－(x －2y)－(x －3y 2＋2x 3)；(5)3x 2－[5x －(12x －3)＋3x 2]．6．已知A ＝x 2－2x ＋1，B ＝2x 2－6x ＋3.求：(1)A ＋2B ； (2)2A －B.7．先化简，再求值：(1)14(－4x 2＋2x －8)－(12x －1)，其中x ＝12；(2)(－2ab ＋3a)－2(2a －b)＋2ab ，其中a ＝3，b ＝1；(3)2(a 2b －ab 2)－3(a 2b －1)＋2ab 2＋1，其中a ＝2，|b ＋1|＝0.8．若单项式3x 2y 5与－2x1－a y 3b －1是同类项，求下面代数式的值：5ab 2－[6a 2b －3(ab 2＋2a 2b)]．9．已知a2＋b2＝6，ab＝－2，求(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)的值．10．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试解决下列问题：(1)因为a＜0，所以|a|＝______；(2)因为b_____0，－b_____0，所以|b|＝_____；|－b|＝_____；(3)因为1＋a_____0，所以|1＋a|＝_____；(4)因为1－b ＜_____，所以|1－b|＝_____＝_____；(5)因为a＋b＞0，所以|a＋b|＝_____；(6)因为a－b _____0，所以|a－b|＝_____＝_____．11．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A，B，C，其位置如图所示，化简：2|b ＋c|－3|a－c|－4|a＋b|.12．若多项式2mx2－x2＋5x＋8－(7x2－3y＋5x)的值与x无关，求m2－[2m2－(5m－4)＋m]的值．13．有一道题“先化简，再求值：17x 2－(8x 2＋5x )－(4x 2＋x －3)＋(5x 2＋6x －1)－3，其中x ＝2 020.”小明做题时把“x ＝2 020”错抄成了“x ＝－2 020”．但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因？14．已知一个两位数，其十位数字是a ，个位数字是b.(1)写出这个两位数；(2)若把这个两位数的十位数字与个位数字对换，得到一个新的两位数，这两个数的和能被11整除吗？为什么？其差又一定是哪个数的倍数？为什么？专题(二) 整式中的规律探索1．a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2 019的值是( )A ．5B ．－14C .43D .452．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72 019的结果的个位数字是( )A．0 B．1 C．7 D．83．用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为()A．3n B．6n C．3n＋6 D．3n＋34．观察下列等式：①1＝12；②2＋3＋4＝32；③3＋4＋5＋6＋7＝52；④4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；…请根据上述规律判断下列等式正确的是( )A．1 009＋1 010＋…＋3 026＝2 0172B．1 009＋1 010＋…＋3 027＝2 0182C．1 010＋1 011＋…＋3 028＝2 0192D．1 010＋1 011＋…＋3 029＝2 02025．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为_____．6．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，…，按此规律，那么请你推测第n组取1的种子数是_____粒．7．按规律写出空格中的数：－2，4，－8，16，_____，64.8.已知一列数：a，b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，3a＋5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是_____．9.观察下列各等式：第一个等式3＝2＋1，第二个等式5＝3＋2，第三个等式9＝5＋4，第四个等式17＝9＋8，…，按此规律猜想第六个等式是_____．10．观察下列各式：22－1＝1×3，32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，根据上述规律，第n个等式应表示为_____．11．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2 019个图形中共有_____个〇.…12．观察下列单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，…，－37x19，39x20，…，回答下列问题：(1)这组单项式的系数的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？(4)请你根据猜想，写出第2 019，2 020个单项式．参考答案专题(一) 整式的化简与求值1．已知有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b|－|c －b|的结果是(A )A ．a ＋cB ．c －aC ．－a －cD ．a ＋2b －c2．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简式子|a ＋b|＋a 的结果是－b ．3．若多项式2x 2＋3x ＋7的值为10，则多项式6x 2＋9x －7的值为2． 4．已知xy ＝－1，x ＋y ＝12，那么y －(xy －4x －3y)的值等于3．5．计算：(1)6a 2＋4b 2－4b 2－7a 2； 解：原式＝(6－7)a 2＋(4－4)b 2＝－a 2.(2)(8a －7b)－(4a －5b)； 解：原式＝8a －7b －4a ＋5b ＝4a －2b.(3)－12(x 2y －2xy 2－x 2)－13(－x 2－x 2y －xy 2)；解：原式＝－12x 2y ＋xy 2＋12x 2＋13x 2＋13x 2y ＋13xy 2＝－16x 2y ＋56x 2＋43xy 2.(4)2(x 3－2y 2)－(x －2y)－(x －3y 2＋2x 3)； 解：原式＝2x 3－4y 2－x ＋2y －x ＋3y 2－2x 3＝－y 2－2x ＋2y.(5)3x 2－[5x －(12x －3)＋3x 2]．解：原式＝3x 2－(5x －12x ＋3＋3x 2)＝3x 2－5x ＋12x －3－3x 2＝－92x －3.6．已知A ＝x 2－2x ＋1，B ＝2x 2－6x ＋3.求：(1)A ＋2B ； (2)2A －B.解：(1)A ＋2B ＝x 2－2x ＋1＋2(2x 2－6x ＋3) ＝x 2－2x ＋1＋4x 2－12x ＋6 ＝5x 2－14x ＋7.(2)2A －B ＝2(x 2－2x ＋1)－(2x 2－6x ＋3) ＝2x 2－4x ＋2－2x 2＋6x －3 ＝2x －1.7．先化简，再求值：(1)14(－4x 2＋2x －8)－(12x －1)，其中x ＝12； 解：原式＝－x 2＋12x －2－12x ＋1＝－x 2－1.当x ＝12时，原式＝－(12)2－1＝－54.(2)(－2ab ＋3a)－2(2a －b)＋2ab ，其中a ＝3，b ＝1；解：原式＝－2ab＋3a－4a＋2b＋2ab＝－a＋2b.当a＝3，b＝1时，原式＝－3＋2＝－1.(3)(安阳期末)2(a2b－ab2)－3(a2b－1)＋2ab2＋1，其中a＝2，|b＋1|＝0.解：原式＝2a2b－2ab2－3a2b＋3＋2ab2＋1＝－a2b＋4.因为a＝2，|b＋1|＝0，即b＝－1，所以原式＝－22×(－1)＋4＝4＋4＝8.8．若单项式3x2y5与－2x1－a y3b－1是同类项，求下面代数式的值：5ab2－[6a2b－3(ab2＋2a2b)]．解：因为3x2y5与－2x1－a y3b－1是同类项，所以1－a＝2，3b－1＝5.解得a＝－1，b＝2.原式＝5ab2－(6a2b－3ab2－6a2b)＝5ab2－6a2b＋3ab2＋6a2b＝8ab2.当a＝－1，b＝2时，原式＝8×(－1)×22＝－8×4＝－32.9．已知a2＋b2＝6，ab＝－2，求(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)的值．解：原式＝－3a2＋8ab－3b2＝－3(a2＋b2)＋8ab，因为a2＋b2＝6，ab＝－2，所以原式＝－3×6＋8×(－2)＝－34.10．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试解决下列问题：(1)因为a＜0，所以|a|＝－a；(2)因为b＞0，－b＜0，所以|b|＝b；|－b|＝b；(3)因为1＋a＞0，所以|1＋a|＝1＋a；(4)因为1－b ＜0，所以|1－b|＝－(1－b)＝b－1；(5)因为a＋b＞0，所以|a＋b|＝a＋b；(6)因为a－b ＜0，所以|a－b|＝－(a－b)＝b－a．11．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A，B，C，其位置如图所示，化简：2|b ＋c|－3|a－c|－4|a＋b|.解：由数轴知，a＜b＜0＜c，且|b|＜|c|，所以b＋c＞0，a－c＜0，a＋b＜0.所以原式＝2(b＋c)－[－3(a－c)]－[－4(a＋b)]＝2b＋2c＋3(a－c)＋4(a＋b)＝2b＋2c＋3a－3c＋4a＋4b＝6a＋6b－c.12．若多项式2mx2－x2＋5x＋8－(7x2－3y＋5x)的值与x无关，求m2－[2m2－(5m－4)＋m]的值．解：2mx2－x2＋5x＋8－(7x2－3y＋5x)＝2mx2－x2＋5x＋8－7x2＋3y－5x＝(2m－8)x2＋3y＋8.因为此多项式的值与x无关，所以2m－8＝0，解得m＝4.m2－[2m2－(5m－4)＋m]＝m2－(2m2－5m＋4＋m)＝－m2＋4m－4，当m＝4时，原式＝－42＋4×4－4＝－4.13．有一道题“先化简，再求值：17x2－(8x2＋5x)－(4x2＋x－3)＋(5x2＋6x－1)－3，其中x＝2 020.”小明做题时把“x＝2 020”错抄成了“x＝－2 020”．但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因？解：17x2－(8x2＋5x)－(4x2＋x－3)＋(5x2＋6x－1)－3＝17x2－8x2－5x－4x2－x＋3＋5x2＋6x－1－3＝10x2－1.因为当x＝2 020和x＝－2 020时，x2的值不变，所以他计算的结果是正确的．14．已知一个两位数，其十位数字是a ，个位数字是b.(1)写出这个两位数；(2)若把这个两位数的十位数字与个位数字对换，得到一个新的两位数，这两个数的和能被11整除吗？为什么？其差又一定是哪个数的倍数？为什么？解：(1)10a ＋b.(2)(10a ＋b)＋(10b ＋a)＝11a ＋11b ＝11(a ＋b)，因为a ，b 都是整数，所以a ＋b 也是整数．所以这两个数的和能被11整除．(10a ＋b)－(10b ＋a)＝10a ＋b －10b －a ＝9a －9b ＝9(a －b)，(10b ＋a)－(10a ＋b)＝10b ＋a －10a －b ＝9b －9a ＝9(b －a)，因为a ，b 都是整数，所以a －b ，b －a 也是整数．所以这两个数的差一定是9的倍数．专题(二) 整式中的规律探索1．a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2 019的值是(D )A ．5B ．－14C .43D .452．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72 019的结果的个位数字是(A )A ．0B ．1C ．7D ．83．用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n 个图形用的棋子个数为(D )A ．3nB ．6nC ．3n ＋6D ．3n ＋34．观察下列等式：①1＝12；②2＋3＋4＝32；③3＋4＋5＋6＋7＝52；④4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；…请根据上述规律判断下列等式正确的是(C ) A ．1 009＋1 010＋…＋3 026＝2 0172 B ．1 009＋1 010＋…＋3 027＝2 0182 C ．1 010＋1 011＋…＋3 028＝2 0192 D ．1 010＋1 011＋…＋3 029＝2 02025．归纳“T ”字形，用棋子摆成的“T ”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n 个“T ”字形需要的棋子个数为3n ＋2．6．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，…，按此规律，那么请你推测第n组取1的种子数是(2n＋1)粒．7．按规律写出空格中的数：－2，4，－8，16，－32，64.8.已知一列数：a，b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，3a＋5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是13a＋21b．9.观察下列各等式：第一个等式3＝2＋1，第二个等式5＝3＋2，第三个等式9＝5＋4，第四个等式17＝9＋8，…，按此规律猜想第六个等式是65＝33＋32．10．观察下列各式：22－1＝1×3，32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，根据上述规律，第n个等式应表示为(n＋1)2－1＝n(n＋2)．11．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2 019个图形中共有6058个〇.…12．观察下列单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，…，－37x19，39x20，…，回答下列问题：(1)这组单项式的系数的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？(4)请你根据猜想，写出第2 019，2 020个单项式．解：(1)这组单项式的系数的符号规律是(－1)n，系数的绝对值规律是2n－1.(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．(3)第n个单项式是(－1)n(2n－1)x n.(4)第2 019个单项式是－4 037x2 019，第2020个单项式是4 039x2 020.。
新人教部编版七年级数学5.难点探究专题：整式中的规律探究(选做)
难点探究专题：整式中的规律探究（选做） ——从特殊到一般，探寻多方规律◆类型一 整式规律探究一、有规律的一列数1。
已知一组数：1，3，5，7，9，…按此规律，第n 个数是 。
【方法9①】2。
观察下列一组数：32，1，710，917，1126，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n 个数是 （n 为正整数）。
二、有规律的一列单项式3。
有一组单项式：a 2，－a 32，a 43，－a 54，a 65，…则第10个单项式是 ，第n 个单项式是 。
4。
观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第2017个单项式是【方法9①】（ ）A 。
2017x 2017B 。
4033x 2016C 。
4033x 2017D 。
4035x 2017三、数的循环规律或式中的规律5。
如图是钢琴键盘的一部分，若从4开始，依次弹出4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…按照上述规律弹到第2016个音符是 。
6。
设a n 为n 4（n 为正整数）的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6。
则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 24＋a 25＝ 。
7。
（2016·滨州中考）观察下列式子：1×3＋1＝22；7×9＋1＝82；25×27＋1＝262；79×81＋1＝802；…可猜想第2016个式子为____________________________________________________。
四、数表中的规律8。
（2016·邵阳中考）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（ ）A 。
y ＝2n ＋1B 。
y ＝2n ＋nC 。
y ＝2n ＋1＋nD 。
y ＝2n ＋n ＋19。
（2016·新疆中考）如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x 的值为 。
整式的加减专题训练
解题技巧专题：整式求值的方法类型一：先化简，再代入求值1.先化简，再求值：(1)－3(3x2－2x＋1)－3(－2x2－5x)，其中x＝－1；解：原式＝－9x2＋6x－3＋6x2＋15x＝－3x2＋21x－3.当x＝－1时，原式＝－3×1－21－3＝－27.(2)2(a2－ab)－3(23a2－ab)－5，其中a＝－2，b＝3.解：原式＝2a2－2ab－2a2＋3ab－5＝ab－5.当a＝－2，b＝3时，原式＝(－2)×3－5＝－6－5＝－11.2.设A＝2x2－3xy＋2y，B＝4x2－6xy－3x－y.(1)求B－2A；(2)已知x＝2，y＝3，求B－2A的值.解：(1)B－2A＝4x2－6xy－3x－y－2(2x2－3xy＋2y)＝4x2－6xy－3x－y－4x2＋6xy －4y＝－3x－5y.(2)当x＝2，y＝3时，B－2A＝－3×2－5×3＝－21.类型二：先变型，再整体代入求值3.已知a＋2b＝5，则3(2a－3b)－4(a－3b＋1)＋b的值为( C )A.14B.10C.6D.不能确定4.已知xy＝1，x＋y＝12，则多项式y－(xy－4x－3y)的值等于 1 .5.当x＝1时，多项式ax3＋bx＋1的值为5，则当x＝－1时，多项式12ax3＋12bx＋1的值为-1.6.先化简，再求值：(3x2＋5x－2)－2(2x2＋2x－1)＋2x2－5，其中x2＋x－3＝0.解：原式＝x2＋x－5.∵x2＋x－3＝0，∵x2＋x＝3.∵原式＝3－5＝－2.类型三：利用“无关”求值和说理7.已知A＝2x2＋ax－5y＋1，B＝x2＋3x－by－4，且对于任意有理数x，y，式子A－2B的值不变，则(a－13a)－(2b－23b)的值是23.8.老师出了这样一道题：“当a＝2019，b＝－2020时，计算(2a3－3a2b－2ab2)－(a3－2ab2＋b3)＋(3a2b－a3＋b3)的值.”但在计算过程中，同学甲错把“a＝2019”写成“a＝－2019”，而同学乙错把“b＝－2020”写成“b＝－20.20”，可他俩的运算结果都是正确的，请你找出其中的原因，并说明理由.解：原因是该多项式的值与字母a、b的取值无关.理由如下：原式＝2a3－3a2b－2ab2－a3＋2ab2－b3＋3a2b－a3＋b3＝0，即多项式的值与a、b的取值无关.所以无论a、b取何值，都不会改变运算结果.类型四：与绝对值相关的整式化简求值9.若a≤0，则|a|＋a＋2等于( B )A.2a＋2B.2C.2－2aD.2a－210.已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示.(1)填空：A、B之间的距离为a－b，B、C之间的距离为b－c，A、C 之间的距离为a－c；(2)化简：|a－1|－|c－b|－|b－1|＋|－1－c|.解：由图可得a－1>0，c－b<0，b－1<0，－1－c>0，所以原式＝a－1－[－(c－b)]－[－(b－1)]＋(－1－c)＝a－1＋c－b＋b－1－1－c ＝a－3.拓展专题：整式运算中添括号的问题类型一：整式加减中添括号的法则方法点拨：添括号法则：添括号后，①若括号前面的符号为“＋”，则括号里的式子符号不变，如：a＋b＋c＝a＋(b ＋c)；②若括号前面的符号为“－”，则括号里的式子改变符号，如：a－b－c＝a－(b ＋c).1.下列变形正确的是( A)A.x－y＋z＝x－(y－z)B.x－y－z＝x＋(y－z)C.x＋y－z＝x＋(y＋z)D.x＋y＋z＝x－(－y＋z)2.在等式1－a2＋2ab－b2＝1－( )中，括号里应填( A)A.a2－2ab＋b2B.a2－2ab－b2C.－a2－2ab＋b2D.－a2＋2ab－b23.对多项式3a＋4b－c进行添括号，正确的是( D)A.3a＋(4b＋c)B.3a－(4b＋c)C.3a＋4(b－c)D.3a－(－4b＋c)4.在括号里填上相应的式子：(1)m－3n－2p＋q＝m－( )；(2)a＋2b－c－d＝2b－()；(3)a－b＋c－d＝a－()＋c.5.按下列要求给多项式－a3＋2a2－a＋1添括号.(1)使最高次项系数变为正数；(2)把奇次项放在前面是“－”号的括号里，其余的项放在前面是“＋”号的括号里.解：(1)根据题意可得－a3＋2a2－a＋1＝－(a3－2a2＋a－1).(2)根据题意可得－a3＋2a2－a＋1＝－(a3＋a)＋(2a2＋1).类型二：运用添括号法则化简求值6.已知2x＋3y＝1，则3－6x－9y的值为( A)A.0B.3C.－3D.47.已知a＋b＝3，b－c＝12，则a＋2b－c的值为( A)A.15B.9C.－15D.－98.(1)已知x－2y＝5，则5＋(3x－2y)－(5x－6y)＝；(2)已知a＋b＝10，ab＝－2，则(3a－2b)－(－5b＋ab)＝.9.(1)已知3x＋5y2＋3＝6，求－3x－4y2＋9x＋14y2－7的值；解：原式＝6x＋10y2－7＝2(3x＋5y2)－7.因为3x＋5y2＋3＝6，所以3x＋5y2＝3.所以原式＝2×3－7＝－1.(2)已知x2－xy＝－3，2xy－y2＝－8，求2x2＋4xy－3y2的值；解：原式＝2x2－2xy＋6xy－3y2＝2(x2－xy)＋3(2xy－y2).因为x2－xy＝－3，2xy－y2＝－8，所以原式＝2×(－3)＋3×(－8)＝－30.(3)已知xy＝－2，x－y＝3，求(－3xy－7y)＋[4x－3(xy＋y－2x)]的值.解：原式＝－3xy－7y＋(4x－3xy－3y＋6x)＝－3xy－7y＋4x－3xy－3y＋6x＝－6xy＋10(x－y).当xy＝－2，x－y＝3时，原式＝－6×(－2)＋10×3＝42.难点探究专题：整式中的规律探索类型一：整式规律探究一、有规律的一列数1.一列数1，4，7，10，13，…，按此规律排列，第n个数是3n－2 .2.按一定规律排的一列数依次为：2，－5，10，－17，26，…，按此规律排列下去，这列数中第n个数(n为正整数)是(－1)n＋1.二、有规律的一列单项式3.按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，…，第n个单项式是( C)A.(－1)n－1x2n－1B.(－1)n x2n－1C.(－1)n－1x2n＋1D.(－1)n x2n＋14.按一定规律排列的一列数依次为－22a，55a，－810a，1117a…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是312(1)1nnan--+(n为正整数).三、数的循环规律5.如图是钢琴键盘的一部分，若从4开始，依次弹出4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…，按照上述规律弹到第2021个音符是 4 .6.设a n为n4(n为正整数)的末位数，如a1＝1，a2＝6，a3＝1，a4＝6.则a1＋a2＋a3＋…＋a24＋a25＝.解析：a1～a10依次为1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，a11～a20与a1～a10分别相等，a21～a25与a1～a5分别相等，因此a1＋a2＋a3＋…＋a24＋a25＝(4×6＋1×4＋5＋0)×2＋(6×2＋1×2＋5)＝85.7.如图，是一个运算程序示意图.若第一次输入k的值为125，则第2020次输出的结果是.解析：∵第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是1，……，∵第2n次输出的结果是5，第(2n＋1)次输出的结果是1(n为正整数).∵第2020次输出的结果是5.四、数表中的规律8.如图，下列各图中的三个数之间具有相同规律.依此规律用含m，n的式子表示y，则y＝.9.如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x 的值为.解析：∵左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，∵2n＝20，m＝2n－1.解得n＝10，m＝19.∵右下角数字：第一个为1＝1×2－1，第二个为10＝3×4－2，第三个为27＝5×6－3，∵第n个为2n(2n－1)－n.∵x＝19×20－10＝370.故答案为370.10.如图所示的数表是由1开始的连续自然数排列而成的，根据你观察的规律完成下面问题：(1)第8行共有15 个数，最后一个数是64 ；(2)第n行共有2n-1 个数，第一个数是(n－1)2＋1 ，最后一个数是n2.类型二：图形规律探究11.(2019·青海中考)如图，将图∵中的菱形剪开得到图∵，图中共有4个菱形；将图∵中的一个菱形剪开得到图∵，图中共有7个菱形……如此剪下去，第5个图中共有13 个菱形，第n个图中共有3n-2 个菱形.12.如图是用棋子摆成的图案：根据图中棋子的排列规律解决下列问题：(1)第4个图中有22 枚棋子，第5个图中有32 枚棋子；(2)猜想第n个图中棋子的数量(用含n的式子表示).解：第n个图中棋子的数量为[n(n＋1)＋2]枚.易混易错专题：整式的加减易错点一：把“π”当做字母或系数漏掉符号1.在式子－15a3b，33πx，4a2b2－2ab－6，－a，25x y，0中，单项式有( C)A.2个B.3个C.4个D.5个2.单项式－116πa 3b 的系数与次数分别是( D )A.－116，5B.116，5C.116π，4D.－116π，4 3.多项式3a 2b －a 2－2ab ＋a －1是 次多项式，它的二次项系数之和是 . 4.已知多项式－2m 3n 2－5中，含字母的项的系数为a ，多项式的次数为b ，常数项为c ，则a ＋b ＋c ＝ .易错点二：去括号时符号弄错或漏乘 5.下列等式中正确的是( C )A.2(a ＋1)＝2a ＋1B.－(a ＋b )＝－a ＋bC.－(a －b )＝b －aD.－(3－x )＝3＋x 6.化简：(1)2(x －3x 2＋1)－3(2x 2－x －2)；解：原式＝(2x －6x 2＋2)－(6x 2－3x －6)＝2x －6x 2＋2－6x 2＋3x ＋6＝－12x 2＋5x ＋8.(2)2x 2－215232x x x ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解：原式＝2x 2－5x ＋2(12x －3)－x 2＝2x 2－5x ＋x －6－x 2＝x 2－4x －6.易错点三：多项式加减时漏掉括号7.已知A ＝3x 2－2xy ＋y 2，B ＝2x 2＋3xy －4y 2，求： (1)A －2B ； (2)2A ＋B .解：(1)A －2B ＝(3x 2－2xy ＋y 2)－2(2x 2＋3xy －4y 2)＝3x 2－2xy ＋y 2－4x 2－6xy ＋8y 2＝－x 2－8xy ＋9y 2.(2)2A ＋B ＝2(3x 2－2xy ＋y 2)＋(2x 2＋3xy －4y 2)＝6x 2－4xy ＋2y 2＋2x 2＋3xy －4y 2＝8x 2－xy －2y 2.8.已知A 、B 是两个多项式，其中B ＝－3x 2＋x －6，A 与B 的和等于－2x 2－3. (1)求多项式A ；解：(1)根据题意得A ＝(A ＋B )－B ＝－2x 2－3－ (－3x 2＋x －6)＝－2x 2－3＋3x 2－x ＋6＝x 2－x ＋3. (2)当x ＝－1.5时，求A 的值.(2)当x ＝－1.5时，A ＝(－1.5)2－(－1.5)＋3＝94＋32＋3＝274.易错点四：利用整式的定义求字母时考虑不全面9.若关于x ，y 的多项式y 2＋(m －3)xy ＋2x |m |是三次三项式，则m 的值为( A ) A.－3 B.3 C.±3 D.不确定10.(2019－2020·仁寿县期末)如果关于x 的多项式mx 4＋4x 2－12与多项式3x n ＋5x的次数相同，那么－2n 2＋3n －4＝ .解析：∵关于x的多项式mx4＋4x2－12与多项式3x n＋5x的次数相同，∵当m≠0时，n＝4，故－2n2＋3n－4＝－2×42＋3×4－4＝－32＋12－4＝－24；当m＝0时，n＝2，故－2n2＋3n－4＝－2×22＋3×2－4＝－8＋6－4＝－6.故答案为－6或－24.11.若(n－1)x|m|－1y2－(n－2)xy2＋x2＋4是关于x，y的四次三项式，求多项式m n －(m＋n)2＋2的值.解：因为(n－1)x|m|－1y2－(n－2)xy2＋x2＋4是关于x，y的四次三项式，所以|m|－1＝2，n－2＝0.所以m＝±3，n＝2.当m＝3时，m n－(m＋n)2＋2＝32－(3＋2)2＋2＝9－25＋2＝－14.当m＝－3时，m n－(m＋n)2＋2＝(－3)2－(－3＋2)2＋2＝9－1＋2＝10.综上所述，m n－(m＋n)2＋2的值为－14或10.。
整式规律探索类型题目
整式规律探索类型题目一．填空题（共11小题）1．一组按规律排列的式子：，，，，…则第n个式子是（n为正整数）．2．观察一列单项式：﹣x，4x2，﹣9x3，16x4，…，则第n个单项式是．3．观察下列单项式：3a2、5a5、7a10、9a17、11a26…它们是按一定规律排列的，那么这列式子的第n个单项式是．4．观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此规律写出第n个式子是．5．观察下列单项式：xy2，﹣2x2y4，4x3y6，﹣8x4y8，16x5y10，…根据你发现的规律写出第n个单项式为．6．观察下列单项式：﹣a，2a2，﹣3a3，4a4，﹣5a5，…可以得到第2015个单项式是；第n个单项式是．7．观察下列关于x的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按此规律写出第9个单项式是，第n个单项式是．8．有一列式子，按一定规律排列成﹣3a2，9a5，﹣27a10，81a17，﹣243a26，…．（1）当a=1时，其中三个相邻数的和是63，则位于这三个数中间的数是；（2）上列式子中第n个式子为（n为正整数）．9．有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是．10．观察下列多项式：2a﹣b，4a+b2，8a﹣b3，16a+b4，…按此规律，则可以得到第7个多项式是．11．一组按规律排列的多项式：a+b，a2+b3，a3+b5，a4+b7…其中第10个式子是；第n个式子是．二．解答题（共14小题）12．学规律在数学中有着极其重要的意义，我们要善于抓住主要矛盾，提炼出我们需要的信息，从而解决问题．（1）观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，通过观察，用你所发现的规律确定32014的个位数字是；（2）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果a n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18=，a n=；（3）观察下面的一列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…根据你发现的规律，第5个单项式为；第7个单项式为；第n个单项式为．13．观察下面有规律的三行单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为；（2）第二行第n个单项式为；（3）第三行第8个单项式为；第n个单项式为．14．如图，将正偶数按照图中所示的规律排列下去，若用有序实数对（a，b）表示第a行的第b个数．如（3，2）表示偶数10．（1）图中（8，4）的位置表示的数是，偶数42对应的有序实数对是；（2）第n行的最后一个数用含n的代数式表示为，并简要说明理由．15．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中第6行的最后一个数是，第n行的最后一个数是；（2）若用（a，b）表示一个数在数表中的位置，如9的位置是（4，3），则168的位置是．16．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5=；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n=（n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．（4）探究计算：．17．观察下面三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64…；0，6，﹣6，18，﹣30，66…；1，﹣，，﹣，，﹣，…；（1）第一行数的第8个数为；（2）若第一行的第n个数用（﹣2）n表示，则第三行的第n个数表示为；（3）取每一行的第m个数，三个数的和记为p，①当m=10时，求p的值；②当m=时，|p+30000|的值最小．18．观察下面三行数：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…①0，﹣6，6，﹣18，30，﹣66，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…③（1）第①行第n个数是．（2）第②③行数与第①行相应的数分别有什么关系？（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和．19．观察下面三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②3，﹣3，9，﹣15，33，﹣63，…．③（1）第①行数的第n个数是；（2）请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是；同理直接写出第③行数的第n个数是；（3）取每行的第k个数，这三个数的和能否等于﹣509？如果能，请求出k的值；如果不能，请说明理由．20．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中第9行的最后一个数是，它是自然数的平方，第9行共有个数；（2）表中第（n+1）行的第一个数是，最后一个数是，第（n+1）行共有个数；（用含n的代数式表示）（3）求第（n+1）行各数之和．是；第是；（2）若第1行的某一列的数为c，则第2行与它同一列的数为；（3）已知第n列的三个数的和为5037，若设第1行第n列的数为x，试求x的值．22．仔细观察下列三组数第一组：1、﹣4、9、﹣16、25…第二组：0、﹣5、8、﹣17、24…第三组：0、10、﹣16、34、﹣48…解答下列问题：（1）每一组的第6个数分别是、、；（2）分别写出第二组和第三组的第n个数、；（3）取每组数的第10个数，计算它们的和．23．观察下面三行数：①2，﹣4，8，﹣16，…②﹣1，2，﹣4，8，…③3，﹣3，9，﹣15，…（1）第①•行数按什么规律排列的，请写出来？（2）第②‚、③ƒ行数与第 ①行数分别对比有什么关系？（3）取每行的第9个数，求这三个数的和？24．观察下列3行数﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64…①0，6，﹣6，18，﹣30，66…②3，﹣3，9，﹣15，33，﹣63…③（1）第①行的第n个数是．（2）（Ⅰ）请将第 行数中的每个数都减去第 行数中对应位置的数，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是．（Ⅱ）直接写出第③行数的第n个数是．（3）取每行数的第k个数，这三个数的和能否等于﹣509？如果能，请你求出k值；如果不能，请说出理由．25．由从1开始的连续自然数组成如下三角形的数表，观察规律并完成解答．（1）从表中我们发现：第10行的最后一个数是；我们猜想：第n行的最后一个数应为．（2）求第10行各数之和．（3）第n行各数之和是（直接写答案）．。
七年级数学上册人教版整式的加减专题复习——规律探究(解析版)
整式的加减专题复习——规律探究（解析版）第一部分典例剖析+针对训练类型一数式规律典例1（2021秋•南岗区校级期中）有一列数，按一定规律排列而成：﹣1，3，﹣9，27，﹣81，243，…，其中某三个相邻数的和是1701，则这三个数中最小的数是．思路引领：设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为1701，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入﹣3x和9x 中，取其中最小值即可得出结论．解：设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，依题意，得：x﹣3x+9x＝1701，解得：x＝243，∴﹣3x＝﹣729，9x＝2187．∵﹣729＜243＜2187，故答案为：﹣729．总结升华：本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．典例2（2022秋•涟水县校级月考）观察下面三行数，并按规律填空：①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，，，…；②0，6，﹣6，18，﹣30，66，，…；③﹣3，3，﹣9，15，﹣33，63，，…．（1）按第①行数的规律，分别写出第7和第8个数；（2）请你分别写出第②③行的第7个数；（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和．思路引领：（1）根据已知数据都是前一个数乘2的到得，再利用第奇数个系数为负数即可得出答案；（2）根据3行数据关系分别分析得出即可；（3）根据（2）得出的规律分别求出每行第9个数，再把它们相加即可．解：（1）∵①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，∴第7个数是﹣128，第八个数是256；（2）第②行数是第①行数加上2，第③行数正好比第①行数少1得到的，即第二行的第7个数是﹣128+2＝﹣126，第三行的第7个数是﹣128﹣1＝﹣129；（3）根据以上所求得出：第一行第9个数为﹣512，第二行第9个数为﹣512+2＝﹣510，第三行第9个数为﹣512﹣1＝﹣513，则这三个数的和是：﹣512﹣510﹣513＝﹣1535．总结升华：此题主要考查了数字变化规律，根据已知数据得出得数字第②行数是第①行数加上2，第③行数正好比第①行数少1得到的是解题关键．针对训练11．（2021•武汉）按照一定规律排列的n个数：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三个数的和为768，则n为（）A．9B．10C．11D．12思路引领：观察得出第n个数为（﹣2）n，根据最后三个数的和为768，列出方程，求解即可．解：由题意，得第n个数为（﹣2）n，那么（﹣2）n﹣2+（﹣2）n﹣1+（﹣2）n＝768，当n为偶数：整理得出：3×2n﹣2＝768，解得：n＝10；当n为奇数：整理得出：﹣3×2n﹣2＝768，则求不出整数．故选：B．总结升华：此题考查规律型：数字的变化类，找出数字的变化规律，得出第n个数为（﹣2）n是解决问题的关键．2．（2021秋•新洲区期中）有一串数：﹣2018，﹣2014，﹣2010，﹣2006，﹣2002…按一定的规律排列，那么这串数中前个数的和最小．思路引领：根据题目中数据的特点，可以写出第n个数，然后令第n个数等于0，即可得到相应的n的值，从而可以解答本题．解：∵有一串数：﹣2018，﹣2014，﹣2010，﹣2006，﹣2002…∴这串数的第n个数为﹣2018+4（n﹣1）＝4n﹣2022，当4n﹣2022＝0时，解得，n＝505…2，∴那么这串数中前505个数的和最小，故答案为：505．总结升华：本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出第多少个数的值为0．类型二数阵、数表规律典例3（2020秋•江汉区月考）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25行第20个数是．思路引领：观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行的第一个数，结论可得．解：观察数字的变化可知：第n行有n个偶数．∵第1行的第一个数是：2＝1×0+2；第2行第一个数是：4＝2×1+2；第3行第一个数是：8＝3×2+2；第4行第一个数是：14＝4×3+2；•∴第n行第一个数是：n（n﹣1）+2．∴第25行第一个数是：25×24+2＝602．∴第25行第20个数是：602+2×19＝640．故答案为：640．总结升华：本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算．准确找出数字的变化规律是解题的关键．典例4（2019秋•江汉区期中）有这样一对数，如下表，第n+3个数比第n个数大2（其中n是正整数）第1个第2个第3个第4个第5个……a b c（1）第5个数表示为；第7个数表示为；（2）若第10个数是5，第11个数是8，第12个数为9，则a＝，b＝，c＝；（3）第2019个数可表示为．思路引领：（1）根据第n+3个数比第n个数大2，即可求解；（2）根据第n+3个数比第n个数大2，分别求出第10、11、12个数即可求出结果；（3）根据数字的变化规律，解：（1）∵第n+3个数比第n个数大2，∴第5个数比第2个数大2，∴第5个数为b+2．∵第4个数比第1个数大2，∴第4个数为a+2，∴第7个数比第4个数大2，∴第7个数为a+4．故答案为b+2、a+4．（2）∵第10个数为a+6，第11个数为b+6，第12个数为c+6，∴a+6＝5，b+6＝8，c+6＝9解得a＝﹣1，b＝2，c＝3．故答案为﹣1、2、3．（3）第一组数是a、b、c第二组数是a+2、b+2、c+2第三组数是a+4、b+4、c+4第四组数是a+6、b+6、c+6…第n组数的第三个数是c+（2n﹣2）2019÷3＝673，第2019个数是第673组的第三个数，∴第673组的第三个数是c+2×673﹣2＝c+1344．故答案为c+1344．总结升华：本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找数字的变化规律．针对训练21．（2021秋•播州区期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a6＝，a2020＝．思路引领：根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到a6和a2020的值．解：由题意可得，a1＝1，a2＝1+2＝3，a3＝1+2+3＝6，a4＝1+2+3+4＝10，a5＝1+2+3+4+5＝15，…，∴a n＝1+2+3+…+n=n(n+1)2，∴当n＝6时，a6=6×72=21，当n＝2020时，a2020=2020×20212=2041210，故答案为：21，2041210．总结升华：本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求项的值．2．（2018秋•江夏区期中）已知一列数：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，将这列数排成下列形式：按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是（）A．﹣46B．﹣36C．37D．45思路引领：观察排列规律得到第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有1个数，…，第9行有9个数，则可计算出前9行的数的个数45，而数字的序号为偶数时，数字为负数，于是可判断第10行数的第1个数为﹣46．故选A．解：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有1个数，…，第9行有9个数，所以前9行的数的个数为1+2+3+…+9＝45，而数字的序号为奇数时，数字为正数，数字的序号为偶数时，数字为负数，所以第10行数的第1个数为﹣46．故选：A．总结升华：本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关系解决这类问题．3．（2017秋•海淀区校级期中）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．（1）可求得x＝，第2017个格子中的数为．（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m的值，若不能，请说明理由．（3）若取前3格子中的任意两个数记作a、b，且a≥b，那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算|9﹣★|+|9﹣☆|+|★﹣☆|得到，其结果为；若a、b为前19格子中的任意两个数记作a、b，且a≥b，则所有的|a﹣b|的和为．思路引领：（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出x的值，再根据第9个数是2可得☆＝2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2014除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解；（2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．（3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．解：（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴9+★+☆＝★+☆+x，解得：x＝9，★+☆+x＝☆+x﹣6，∴★＝﹣6，所以，数据从左到右依次为9、﹣6、☆、9、﹣6、☆、…，第9个数与第三个数相同，即☆＝2，所以，每3个数“9、﹣6、2”为一个循环组依次循环，∵2017÷3＝672…1，∴第2017个格子中的整数与第1个格子中的数相同，为9．故答案为：9，9；（2）9﹣6+2＝5，2018＝2015+3＝2015+9﹣6，2015÷5＝403，403×3＝1209，所以是第1209+1+1＝1211个数，即m＝1211，故前1211个数的和为2018；（3）∵取前3格子中的任意两个数，记作a、b，且a≥b，∴所有的|a﹣b|的和为：|9﹣（﹣6）|+|9﹣2|+|﹣6﹣2|＝30．∵由于是三个数重复出现，那么前19个格子中，这三个数，9出现了7次，﹣6和2各出现了6次．∴代入式子可得：|9﹣（﹣6）|×7×6+|9﹣2|×7×6+|2﹣（﹣6）|×6×6＝1212．故答案为：30，1212．总结升华：本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是找出数字间的关系，得出规律．类型三图形的增长规律典例4（2021•汉川市模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则第10个图形中右下方的“三角形数”中的所有点数是．思路引领：观察图象中点的个数的规律有第一个图形是4＝1+3，第二个图形是9＝3+6，第三个图形是16＝6+10，…则按照此规律得到第10个图形的规律即可．解：∵第1个图形是4＝1+（1+2），第2个图形是9＝（1+2）+（1+2+3），第3个图形是16＝（1+2+3）+（1+2+3+4），…∴第10个图形是112＝（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）＝55+66．故答案为：66．总结升华：此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．典例5（2020秋•江夏区期中）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的数量是（）A．360B．363C．365D．369思路引领：观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白色地砖多1个，求出第n个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑色地砖的块数，再把n＝14代入进行计算即可．解：第1个图案只有（2×1﹣1）2＝12＝1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共（2×2﹣1）2＝32＝9，其中黑色的有12（9+1）＝5块，第3个图案有黑色与白色地砖共（2×3﹣1）2＝52＝25，其中黑色的有12（25+1）＝13块，…第n 个图案有黑色与白色地砖共（2n ﹣1）2，其中黑色的有12[（2n ﹣1）2+1]，当n ＝14时，黑色地砖的块数有12×[（2×14﹣1）2+1]=12×730＝365．故选：C ．总结升华：本题考查图形的变化规律，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号之间的关系是解题的关键． 针对训练31．（2021秋•中山市期中）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形共有 个〇．思路引领：观察图形的变化先得前几个图形中圆圈的个数，可以发现规律：第n 个图形共有（3n +1）个〇，进而可得结果． 解：观察图形的变化可知： 第1个图形共有1×3+1＝4个〇； 第2个图形共有2×3+1＝7个〇； 第3个图形共有3×3+1＝10个〇； …所以第n 个图形共有（3n +1）个〇； 所以第10个图形共有10×3+1＝31个〇； 故答案为：31．总结升华：本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．2．（2018秋•硚口区期中）对于大于或等于2的整数的平方进行如下“分裂”，如下分别将22、32、42分裂成从1开始的连续奇数的和，依此规律，则20182的分裂数中最大的奇数是 ．思路引领：由题意可知：每个数中所分解的最大的奇数是前边底数的2倍减去1．由此得出答案即可．解：自然数n2的分裂数中最大的奇数是2n﹣1．20182分裂的数中最大的奇数是2×2018﹣1＝4035，故答案为：4035．总结升华：此题考查数字的变化规律，注意根据具体的数值进行分析分解的最大的奇数和底数的规律，从而推广到一般．3．（2022•仙居县校级开学）如图，都是由棱长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（10）个图形由（）个正方体叠成．A．120B．165C．220D．286思路引领：根据图形的变换规律，可知第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+⋯+ n(n+1)2，据此可得第（6）个图形中正方体的个数．解：由图可得：第（1）个图形中正方体的个数为1；第（2）个图形中正方体的个数为4＝1+3；第（3）个图形中正方体的个数为10＝1+3+6；第（4）个图形中正方体的个数为20＝1+3+6+10；故第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+⋯+n(n+1)2，∴第10个图形中正方体的个数为1+3+6+10+15+21+28+36+45+55＝220．故选：C．总结升华：本题主要考查了图形变化类问题，解决问题的关键是依据图形得到变换规律．解题时注意：第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+⋯+n(n+1)2．类型四乘方规律典例6（2022•内蒙古）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（ ） A ．0B ．1C ．7D ．8思路引领：由已知可得7n 的尾数1，7，9，3循环，则70+71+…+72022的结果的个位数字与70+71+72的个位数字相同，即可求解．解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，… ∴7n 的尾数1，7，9，3循环， ∴70+71+72+73的个位数字是0， ∵2023÷4＝505…3，∴70+71+…+72022的结果的个位数字与70+71+72的个位数字相同， ∴70+71+…+72022的结果的个位数字是7， 故选：C ．总结升华：本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．典例7（2022秋•东港区校级月考）求1+2+22+23+……+22007的值，可令S ＝1+2+22+23+……+22007，则2S ＝2+22+23+24+……+22008，因此2S ﹣S ＝22009﹣1，即S ＝22009﹣1，仿照以上推理，计算出1+3+32+33+……+32022值为32023−12．思路引领：令S ＝1+3+32+33+……+32022，则3S ＝3+32+33+……+32023，作差求出S 即可． 解：令S ＝1+3+32+33+……+32022， 则3S ＝3+32+33+……+32023， ∴3S ﹣S ＝32023﹣1， 则S =32023−12，即1+3+32+33+……+32022=32023−12．故答案为：32023−12．总结升华：本题考查数字的变化规律，通过观察所给的求和方法，灵活应用此方法求和是解题的关键． 针对训练41．（2021秋•罗湖区期中）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；……，已知按一定规律排列的一组数：2501，2502，2503，……，2999，21000．若2500＝a ，用含a 的式子表示这组数之和是（ ） A ．2a 2﹣2aB ．2a 10﹣2a 5﹣2C ．2a 2﹣aD ．2a 20﹣a思路引领：把所求的数列的各数提取2500，可得：2500×（2+22+23+…+2499+2500），利用所给的等式的规律求解即可．解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…， ∴2+22+23+…+2n ＝2n +1﹣2， ∴2501+2502+2503+…+2999+21000 ＝2500×（2+22+23+…+2499+2500） ＝2500×（2500+1﹣2） ＝2500×（2×2500﹣2）， ∵2500＝a ， ∴原式＝a （2a ﹣2） ＝2a 2﹣2a ． 故选：A ．总结升华：本题主要考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出规律．2．（2019秋•汾阳市期末）任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m 3分裂后，其中有一个奇数是203，则m 的值是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16思路引领：观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m 3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数203的是从3开始的第101个数，然后确定出101所在的范围即可得解．解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m 3分裂成m 个奇数，所以，到m 3的奇数的个数为：2+3+4+…+m =(m+2)(m−1)2，∵2n +1＝203，n ＝101，∴奇数203是从3开始的第101个奇数， ∵(13+2)(13−1)2=90，(14+2)(14−1)2=104，∴第101个奇数是底数为14的数的立方分裂的奇数的其中一个， 即m ＝14． 故选：B ．总结升华：本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．3．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示：则第4个方框中x+y的值是（）A．11B．12C．13D．14思路引领：找出求解过程图中的规律，利用此规律求得m，n，x，y的值，将相应字母的值代入即可得出结论．解：求解过程图中的表格中的规律为：第一行前两个格为十位数字的平方，后两个格为个位数字的平方，平方后不是两位数，十位数字用0代替，第二行从第二个格开始表示的是两位数中个位数字与十位数字的乘积的2倍，第三行为从右开始将一二行数字相加的和，足10进1，∵62＝36，∴m＝3，n＝6，∵6×7×2＝84，∴x＝8，y＝4，∴x+y＝12．故选：B．总结升华：本题主要考查了有理数的乘方，求代数式的值，找出求解过程图中的规律是解题的关键．类型五幻方规律典例8（2021秋•江阴市期中）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（）A．﹣6或﹣3B．﹣8或1C．﹣1或﹣4D．1或﹣1思路引领：由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论．解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4，∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，则﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5，6+4+b+c＝2，得c＝﹣3，a+c+4+d＝2，a+d＝1，∵当a＝﹣1时，d＝2，则a+b＝﹣1﹣5＝﹣6，当a＝2时，d＝﹣1，则a+b＝2﹣5＝﹣3，故选：A．总结升华：本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2．典例9（2020•冷水江市一模）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，m＝．思路引领：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可．解：1+2+3+…+9＝45，根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，∴第一列第三个数为：15﹣2﹣5＝8，第三列第二个数为：15﹣3﹣5＝7，第三个数为：15﹣2﹣7＝6，如图所示：∴m＝15﹣8﹣6＝1．故答案为：1．总结升华：本题考查数的特点和有理数的加法，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键．针对训练51．（2021秋•南安市期中）现有七个数﹣1，﹣2，﹣2，﹣4，﹣4，﹣8，﹣8将它们填入图1（3个圆两两相交分成7个部分）中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为m，如图2给出了一种填法，此时m＝64，在所有的填法中，m的最大值为256．思路引领：观察图象，可得这7个数，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每个圆内部的4个数之积相等且最大所以﹣8，﹣8必须放在被乘两次的位置．与﹣8，﹣8同圆的只能为﹣1，﹣4，其中﹣4m＝256解：观察图象，可得这7个数，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每个圆内部的4个数之积相等且最大所以﹣8，﹣8必须放在被乘两次的位置．与﹣8，﹣8同圆的只能为﹣1，﹣4，其中﹣4放在中心位置，如图∴m＝（﹣8）×（﹣8）×（﹣1）×（﹣4）＝256总结升华：本题考查有理数的乘法，关键是找到两个（﹣8）的位置．2．将9个数填入幻方的九个方格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如表一：按此规律将满足条件的另外6个数填入表二，则表二中这9个数的和为（用含a的整式表示）．表一492357816表二a+5a+1a﹣1思路引领：根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等作出图形，根据题意列出关于a与x的方程，可得x＝a+2，进一步求出这9个数的和即可．解：如图所示：4+x+a﹣1+a+3＝a﹣3+a+1+a+3，解得x＝a﹣5，a+3+x+a+3＝2a+6+a﹣5＝3a+1，3（3a+1）＝9a+3．故答案为：9a+3．总结升华：此题考查了列代数式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．类型六其他规律典例10（2019秋•武昌区校级期中）某初中七（5）班学生军训排列成7×7＝49人的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点4个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则15次点名后蹲下的学生人数可能是（）A．3B．27C．49D．以上都不可能思路引领：假设站立记为“+1”，则蹲下为“﹣1”．原来49个“+1”，乘积为“+1”，每次改变其中的4个数，即每次运算乘以4个“﹣1”，即乘以了“+1”，乘积为“+1”，即可得出结论．解：假设站立记为“+1”，则蹲下为“﹣1”．原来49个“+1”，乘积为“+1”，每次改变其中的4个数， 即每次运算乘以4个“﹣1”，即乘以了“+1”， 15次点名后，乘积仍然是“+1”， 所以，最后出现“﹣1”的个数为偶数， 即蹲下的学生人数为偶数， 选项A ，B ，C 都不符合题意， 故选：D ．总结升华：此题主要考查了奇数与偶数，有理数乘法中积的符号的判断，解决本题的关键是利用有理数的乘法进行解决． 针对训练61．（2019秋•硚口区期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x 是集合的一个元素时，100﹣x 也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m ，且1180＜m ＜1260，则该黄金集的元素的个数是（ ） A ．23B ．24C ．24或25D ．26思路引领：由黄金集合的定义，可知一个整数是x ，则必有另一个整数是100﹣x ，则这两个整数的和为x +100﹣x ＝100，只需判断1180＜m ＜1260内100的个数即可求解． 解：在黄金集合中一个整数是x ，则必有另一个整数是100﹣x ， ∴两个整数的和为x +100﹣x ＝100， 由题意可知，1180＜m ＜1260时， 100×12＝1200，100×13＝1300， ∴这个黄金集合的个数是24或25个； 故选：C ．总结升华：本题考查有理数，新定义；理解题意，通过两个对应元素和的特点，结合m 的取值范围，进而确定元素个数是解题关键．第二部分 专题提优训练1．观察下面一列数：1，12，2，13，1，3，14，23，32，4，15，12，1，2，5，16，…（已写出了第1至第16个数）．（1）第7，第8，第9，第10个数的积是 ，前16个数的积是 ； （2）按此规律，第30个数是 ；（3）在上面这列数中，从左起第m 个数记为F （m ），当F （m ）=92020时，求m 的值． 思路引领：（1）根据规律直接写出数计算即可；（2）根据题意将数字从左边开始分别以1个数，2个数，3个数，…，为一组，每组数据的积为1，且分子递增1，分母递减1，然后根据规律得出第30个数即可； （3）根据F （m ）=92020判断出F （m ）是第几组第几个数即可得出m 的值． 解：（1）根据题意知，第7，第8，第9，第10个数的积是14×23×32×4＝1，前16个数的积是1×（12×2）×（13×1×3）×（14×23×32×4）×（15×24×1×42×5）×16=16，故答案为：1，16；（2）由（1）知，将数字从左边开始分别以1个数，2个数，3个数，…，为一组，每组数据的积为1，且分子递增1，分母递减1， ∵1+2+3+4+5+6+7＝28，∴第30个数在第8组的第2个数，即1+18−1=27，故答案为：27；（3）∵F （m ）=92020，2020+9＝2029，∴F （m ）是第2028组第9个数，前面有2027组数， ∴m ＝（1+2+3+4+…+2027）+9=1+20272×2027+9=2055387． 总结升华：本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化分组分析规律是解题的关键．2．（2021秋•丹江口市期中）观察一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，将这列数排成下列形式：（1）在表中，第12行第6个数是 ；（2）在表中，“2021”是其中的第 行，第 个数；（3）将表中第i 行的最后一个数记为a i ，如第1行的最后一个数记为a 1，即a 1＝1，第2行的最后一个数记为a 2，即a 2＝3，如此下去，a 3＝﹣6，a 4＝﹣10，…，第n 行的最后一个数记为a n ，则用含n 的式子表示|a n |为 ； （4）在（3）的条件下，计算1a 1+1a 2−1a 3−1a 4+1a 5+1a 6−1a 7−1a 8+1a 9+1a 10．思路引领：（1）先求出前11行一共有66，即可求解；（2）求出前n 行共有n(n+1)2个数，再求前63行共有2016个数，即可求2021的位置；（3）由题意可得，1+2+3+......+n =n(n+1)2，即可求解； （4）原式=2(1−12+12−13+13−14+......+19−110+110−111)，再运算即可． 解：（1）由题可知，第一行1个数，第二行2个数，…，第n 行n 个数， ∴前11行一共有1+2+3+…+11＝66， ∴第12行第一个数是67， ∴第12行第6个数是﹣72， 故答案为：﹣72；（2）由题意可得，前n 行共有n(n+1)2个数，∴当n ＝63时，前63行共有2016个数， ∴2021时第64行的第5个数， 故答案为：64，5；（3）由题意可得，1+2+3+......+n =n(n+1)2， ∴|a n |=n(n+1)2， 故答案为：n(n+1)2； （4）1a 1+1a 2−1a 3−1a 4+1a 5+1a 6−1a 7−1a 8+1a 9+1a 10=11+13+16+110+......+145=2(11×2+12×3+13×4+......+19×10+110×11) =2(1−12+12−13+13−14+......+19−110+110−111)=2(1−111) =2011．总结升华：本题考查数字的变化规律，根据题意探索数字的排列规律是解的关键． 3．（2022•东莞市校级一模）找出以下图形变化的规律，则第2022个图形中黑色正方形的数量是 3033 ．思路引领：仔细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案． 解：∵当n 为偶数时第n 个图形中黑色正方形的数量为n +12n 个；当n 为奇数时第n 个图形中黑色正方形的数量为n +12（n +1）个，∴当n ＝2022时，黑色正方形的个数为2022+1011＝3033个． 故答案为：3033．总结升华：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并正确的找到规律．4．（2020秋•西城区校级期中）古希腊毕达格拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…．由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．（1）请你写出一个既是三角形数又是正方形数的自然数 ．（2）类似地，我们将k 边形数中第n 个数记为N （n ，k ）（k ≥3）．以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数：N （n ，3）=12n 2+12n 正方形数：N （n ，4）＝n 2 五边形数：N （n ，5）=32n 2−12n 六边形数：N （n ，6）＝2n 2﹣n …根据以上信息，得出N （n ，k ）＝ ．（用含有n 和k 的代数式表示）思路引领：（1）由题意得第8个图的三角形数是36，所以既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36；（2）由已知等式进行变形进而可推出结果．解：（1）由题意第8个图的三角形数为12×8（8+1）＝36，∴既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36， 故答案为36．（2）∵N （n ，3）=n 2+n 2=(3−2)n 2+(4−3)n2，N （n ，4）＝n 2=2n 2+0×n 2=(4−2)n 2+(4−4)n2， N （n ，5）=32n 2−12n =(5−2)n 2+(4−5)n2，N （n ，6）＝2n 2﹣n =4n 2−2n 2=(6−2)n 2+(4−6)n2， 由此推断出N （n ，k ）=(k−2)n 2+(4−k)n2（k ≥3）．故答案为：(k−2)n 2+(4−k)n2（k ≥3）．总结升华：本题考查三角形数、正方形数的规律、完全平方数与归纳推理等知识，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键．5．（2020秋•江夏区校级月考）观察下列等式：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，…，若12+22+32+42+52+…+n 2的个位数字是1（0＜n ≤2020，且n 为整数），下列选项中，n 的最大值是（ ） A ．2001B ．2006C ．2011D ．2019思路引领：通过计算发现每10个数，末位数字循环一次，再结合选项进行判断即可求解． 解：∵12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，112＝121，122＝144，132＝169，…， ∴每10个数，末位数字循环一次， ∴1+4+9+6+5+6+9+4+1+0＝45， ∵2001÷10＝200……1， ∴200×45+1＝9001； ∵2006÷10＝200……6， ∴200×45+1+4+9+6+5+6＝9031； ∵2011÷10＝201……1， ∴201×45+1＝9046； ∵2019÷10＝201……9， ∴202×45＝9090； ∵2006＞2001， ∴n 的最大值为2006， 故选：B ．总结升华：本题考查数字的变化规律，通过探索每个数的尾数的循环规律，并运用规律求解是解题的关键．6．（2021•碧江区 模拟）观察等式：2+22＝23﹣2：2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100，若250＝a，则用含a的式子表示这组数的和是．思路引领：由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，∴原式＝2a2﹣a．故答案为：2a2﹣a．总结升华：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．7．（2019秋•武汉期中）如图，在边长为1厘米的正方形网格有12个格点，用这些格点做三角形顶点，一共可以连成面积为2平方厘米的三角形个数为（）A．24B．32C．28D．12思路引领：根据面积等于底乘以高依次分情况分析既可以得到三角形个数．解：①如图以AB为底时，与对边CF的四个顶点都可以构成面积等于2平方厘米的三角形，类似这样的三角形共有16个，②如图以AC为底与线段BE上的三个点可以构成面积等于2平方厘米的三角形，类似这样的三角形共有12个，其中有四个直角三角形是重复的，故三角形总个数：16+12﹣4＝24个，。
人教版七年级数学第二章 整式 规律探索题目专项训练题
第二章 整式 规律探索题目专项训练题姓名___________班级__________学号__________分数___________一、选择题1．下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……，第2002个数应是( )A ．20022；B ．20022－1；C ．20012；D ．以上答案不对；2．如图，当有20个白色的点时，则黑色的点有( ) A ．19个；B ．190个；C ．380个；D ．400个；※3．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是( )A ．2010；B ．2011；C ．2012；D ．2013；※4．将正偶数按下表排成五列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24…… …… 28 26根据上面排列规律，则2000应在( )A ．第125行第1列；B ．第125行第2列；C ．第250行第1列；D ．第250行第2列；※5．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文 明文(解密)．已知加密规则为：明文a b c ，，对应的密文a ＋1，2b ＋4，3c ＋9．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为( )A ．4，5，6；B ．6，7，2；C ．2，6，7；D ．7，2，6；二、填空题6．有一列数为 3，5，7，9，11……，则表示第n 个数的式子是_________．7．观察下面的单项式：a ，－2a 2，4a 3，－8a 4，…．根据你发现的规律，第8个式子是______．8．观察下列各式：12＋1＝1×2，22＋2＝2×3，32＋3＝3×4，……，请你将猜想到的规律用自然数n (n ≥1)表示出来___________________．9．我国北宋时期数学家贾宪在他的著作《开方作法本源》中的“开方作法本源图”如下图所示，通过观察你认为图中a ＝____________；1 1 11 2 1 1 3 3 1 1 4 a 4 1 1 5 10 10 5 110．如下图，第一个图形由4根木棒拼成，第二个图形由7根木棒拼成…求第n个图形有____________根木棒．(1) (2) (3) (4)…11．如图，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是＝______________________．……(1)(2)(3)(4)……12．下图是用黑白两种颜色的正六边形地砖，按规律拼成的若干个图案，按此规律请你写出：第4个图案中有白色地砖_________块；第n块图案中有白色地砖_________块．第1个第2个第3个…13．下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n(n是正整数)个图案中由____________个基础图形组成．(1)(2)(3)……14．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第(3)个图形中有黑色瓷砖-_________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块(用含n的代数式表示)．（1）（2）（3）15．某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面，第1次铺2块，如图(1)；第2次把第1次铺的完全围起来，如图(2)；第3次把第2次铺的完全围起来，如图(3)；…．依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所使用的木板数(1)(2)(3)※16．流水线上生产小木珠涂色的次序是:先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，……继续下去第1993个小珠的颜色是_____色．三、解答题17．电影院第一排有n个座位，后面每排都比前一排多一个座位⑴第二排、第三排、第四排、第五排各有多少座位？⑵第m排有多少个座位？第53排有多少个座位？本题的题目特征____________，应该采用的方法____________．思维的过程：第一步：罗列与之相类似的最简单题目⑴第一排有____________个座位；⑵第二排有____________个座位；⑶第三排有____________个座位；⑷第四排有____________个座位；⑸第五排有____________个座位；…(n)第m排有____________个座位；第二步：发现规律，发现规律的本质就是将所罗列的内容与罗列时的序号建立联系．你发现的规律是____________________________________；第三步：利用规律解题．※18．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36………(1)表中第8行的最后一个数是____________，它是自然数____________的平方，第8行共有____________个数；(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是_________，最后一个数是________，第n行共有_________个数；(3)求第n行各数之和．19．将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如下表：2 4 6 8 1012 14 16 18 2022 24 26 28 3032 34 36 38 40… …(1)十字框中的五个数的和与中间的数18有什么关系？(2)设中间的数为x ，用代数式表示十字框中的五个数的和，(3)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于2010吗？如能，写出这五位数，如不能，说明理由。
(完整版)难点探究专题：整式中的规律探究(选做)
难点探究专题：整式中的规律探究（选做）——从特殊到一般，探寻多方规律 ◆类型一 整式规律探究一、有规律的一列数1.（雅安模拟）已知一组数：1，3，5，7，9，…按此规律，第n 个数是 .2.观察下列一组数：32，1，710，917，1126，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n 个数是 （n 为正整数）.二、有规律的一列单项式3.有一组单项式：a 2，－a 32，a 43，－a 54，a 65…，则第10个单项式是 ，第n 个单项式是 .4.（富顺县校级模拟）有一个多项式为－a ＋2a 2－3a 3＋4a 4－5a 5＋…按照这样的规律写下去，第2016项为 ，第n 项为 .5.（临沂中考）观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第2015个单项式是【方法18①】（ ）A .2015x 2015B .4029x 2014C .4029x 2015D .4031x 2015三、数的循环规律或式中的规律6.（河南模拟）如图是钢琴键盘的一部分，若从4开始，依次弹出4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…按照上述规律弹到第2016个音符是 .7.设a n 为正整数n 的n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 24＋a 25＝ .8.（滨州中考）观察下列式子： 1×3＋1＝22； 7×9＋1＝82； 25×27＋1＝262； 79×81＋1＝802； …可猜想第2016个式子为________________________________________. 四、数表中的规律9.（东莞市一模）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n 的值是（ ）A .48B .56C .63D .7410.（重庆校级月考）观察下面一组数：－1，2，－3，4，－5，6，－7…，将这组数排成如图的形式，按照此规律排下去，则第11行中从左边数第10个数是（）A.－110B.110C.－111D.11111.如下一排方格中，第1个小方格中的数字是3，第4个小方格中的数字是－1，第7个小方格中的数字是2，其他每个小方格中的字母分别代表一个数，已知任意连续四个小方格中数字的积都等于24，则第2016个小方格中的数字是（）3 a b －1 c d 2 e …A.－4B.－1C.2D.312.观察下列数表：第一列第二列第三列第四列第一行 1 2 3 4第二行 2 3 4 5第三行 3 4 5 6第四行 4 5 6 7……………请猜想第n行与第n列的交叉点上的数是.13.下列数表是由1开始的连续自然数排列而成的，根据你观察的规律完成下面问题：（1）第8行共有个数，最后一个数是；（2）第n行共有个数，第一个数是，最后一个数是.◆类型二图形规律探究14.（荆州中考）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（）A.671B.672C.673D.67415.（山西中考）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）.16.如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n幅图中共有个.【方法18②】17.（宁波中考）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒……按此规律，图案⑦需根火柴棒.18.按如下规律摆放三角形：①②③（1）第④堆三角形的个数为；（2）第n堆三角形的个数为.19.如图，将一组正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作，……根据以上操作，若要得到2014个小正方形，则需要操作的次数是.20.（安微模拟）如图是用棋子摆成的图案：根据图中棋子的排列规律解决下列问题：（1）第4个图中有颗棋子，第5个图中有颗棋子；（2）写出你猜想的第n个图中棋子的颗数（用含n的式子表示）.参考答案与解析1．2n－12.2n＋1n2＋1解析：因为1＝55，这样分子为去掉1后的一列奇数，即2n＋1，而分母为2＝12＋1，5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，26＝52＋1，即n 2＋1.故填2n ＋1n 2＋1.3．－a 1110 (－1)n ＋1·a n ＋1n4．2016a 2016 (－1)n na n5．C 解析：系数为2n －1，指数与序号相同． 6．4 7.858．(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2 9．C 10.B 11.B 12.2n －113．(1)15 64 (2)2n －1 (n －1)2＋1 n 2 14．B 15.(4n ＋1) 16.7 (2n －1) 17.50 18．(1)14 (2)3n ＋219．671 解析：由图形中小正方形个数可知4＝1＋3×1，7＝1＋3×2，10＝1＋3×3.故第n 次操次共有(3n ＋1)个小正方形，所以3n ＋1＝2014，n ＝671.20．解：(1)22 32 (2)n (n ＋1)＋2.。
探究整式中的规律问题
探究整式中的规律问题北京市第五十七中学于艳一．设计思路：数学大师陈省身先生提倡“数学好玩”，本节课将纸牌魔术融入探究整式中的规律问题教学中，通过剖析纸牌魔术与数学知识之间的关系，让学生感受数学的神奇作用和无穷乐趣.在魔术揭秘的过程中，利用字母表示数和整式中的规律去解决一般性问题，培养他们的观察能力、逻辑思维能力、推理能力以及逆向思维能力，从而学会应用数学知识透过现象“看”本质.通过由浅入深、引导启发、小组讨论、合作探究、探究揭秘等多种教学形式，使得学生应用本节课所学创新设计并表演魔术.二．教学过程：【学习目标】通过扑克牌魔术探究整式的规律问题【学习重点】探究扑克牌魔术中的整式规律问题【学习难点】1.学习并表演扑克牌魔术.2.探究扑克牌魔术中的整式规律问题3.将实际问题抽象成数学问题.环节一：魔术表演一一“心灵感应”【魔术流程】1. 教师以“魔术师”的身份出现，手中拿了副52张扑克牌（除去大小王），让学生来切牌（将纸牌的下半副移到上面或者是将上半副移到下面）.2.让一名学生从老师手中的整副牌中任意抽取一张牌，当老师背过身后，再向其他同学展示抽出的这张牌，记住这张牌的花色和点数，并将这张牌握在手里.3.当老师转回身，看了一下这位同学，就能知道被同学抽走的那张牌的点数与花色是什么了.这个魔术表演3次，请不同的同学来切牌和抽牌，增加神秘感.设计意图：增加魔术的神秘感，激发学生的好奇心与探究学习的动力.师问：猜猜看，老师是怎么变的这个魔术？生答：牌都是一样的等等.教师展示所有牌面，看似是“乱”的，让我们一起来探秘吧！环节二：小组动手操作要求：小组阅读PPT展示的魔术指令，并完成魔术操作1.小组分角色：魔术师，切牌员，抽牌人，监督员，还有观众；2.魔术指令，在扑克牌中取出红桃1-13共13张牌，魔术师取出牌，并将这13张牌按照牌的点数从小到大排列后，监督员负责监督，然后将纸牌收拢（牌面朝下）码齐；3.魔术师将牌递给切牌员让切牌员来切牌，切牌次数少于4次，切完牌后将牌还给魔术师；4.魔术师让抽牌人任取一张牌，魔术师如何确定抽牌人取走的牌是什么？5.换角色，再表演一次.设计意图：(1).培养学生的阅读能力.(2).经过亲身体验魔术的神奇.(3).通过动手操作与实践,学生自己悟出其中的量与量之间的联系.师问: 想一想，当同学抽走一张纸牌的时候，魔术师并没有看到是哪一张，但是魔术师是否能够掌握被抽走的纸牌与其他纸牌之间的关联呢?生答：被抽走纸牌的上一张和下一张师问:这种关联在魔术表演时如何操作呢？生答：需要知道被抽走的纸牌的上一张或下一张，操作方法只需将整副牌在被抽走牌处分为两部分，将上部分移到下部分，如果想确定被抽走牌的上一张，魔术师只需在转过身后时看一眼底牌，如果想确定被抽走牌的下一张，只需在转过身后时偷看顶牌.师问: 那么这副牌遵循了什么样的限制条件呢?生答：这13张牌按照牌的点数从小到大排列的，后一张比前一张大1师问:请同学们再想一想，老师切牌的时候，仅仅只是将纸牌的下半副移到上面或者是将上半副移到下面，这时，整副纸牌的规律是否发生变化？师问：想一想，这个魔术里面用到了什么数学知识呢?生答：被抽走牌后，将上部分移到下部分后，此时底牌点数用a表示，那么被抽走的牌为1a+，规律就是后一牌的点数比前一张牌大1，用到了用字母表示数以及整式规律等数学知识.环节三：小组合作探究探究：1. 红桃1-13，这13张纸牌有没有其它的排列方式，能获得同样的魔术效果?学生展示：①底牌点数用a表示，那么被抽走的牌为2a+即后一张的点数比前一张大2,牌的排列顺序见图1.图1②底牌点数用a表示，那么被抽走的牌为3a+即后一张的点数比前一张大3, 牌的排列顺序见图2.图22. 如果再加上黑桃1-13，共26张牌可以设计出小魔术吗？3. 请小组展示魔术.设计意图：(1).对找规律的数学知识加深并应用.(2).培养学生的创新能力与意识.(3).让学生表演自己设计的魔术，提高兴趣与参与度.学生表演并揭秘：（学生设计想法很多，在这里只展示两种）①花色交替，底牌点数用a表示，那么被抽走的牌为1a+，即后一张的点数比前一张大1，牌的排列顺序见如图3.图3②花色交替出现，底牌点数用a表示，那么被抽走的牌为3a+即后一张的点数比前一张大3, 牌的排列顺序见图4.图4环节四：“心灵感应”魔术揭秘牌数增加到52张牌（除去大小王），教师再表演一次，提出问题：1.我们要想确定被抽出的牌，需要已知什么牌？2.底牌和被抽出的牌的关系是什么？3.整副牌的点数关系是什么？花色是什么顺序？4.用什么方法表示更简洁直观？共表演6次，学生列表归纳找规律：规律：花色排序：红桃、黑桃、方片和梅花点数规律：后一张牌的点数比前一张牌大3、图5设计意图：（1）通过扑克牌魔术，培养学生列表解决问题（2）通过对扑克牌魔术中的某些量建立整式模型，理解该扑克牌魔术中的整式规律问题.为学习其它扑克牌魔术及探究其原理积累经验.环节五：逆向思维,创新设计已知规律，请你来设计“读心术”魔术1.规律：一副牌52张扑克牌（除去大小王），点数为1-12的牌，可以相互组合成6对和数是13的牌组：1-12、2-11、3-10、4-9、5-8、6-7.2.以小组为单位，参照上面的扑克牌魔术以及给定的规律，设计一个扑克牌魔术.3．小组派代表表演魔术，看看谁更有魔术师的“范儿”.设计意图：（1）培养学生的逆向思维（2）体会特殊中蕴含着一般规律，借助一般规律可以更好地进行扑克牌魔术表演.三. 课后反思数学教学要提高学生学习兴趣和学习的有效性，将纸牌魔术和数学结合起来的教学与实践活动课，不但提高学生的兴趣与参与度，还培养了学生数学学科素养，在探究纸牌魔术中所蕴含的整式规律问题时，学生通过数据分析，进行逻辑推理，建立整式模型，提高学生洞察力、思维能力与逆向思维能力.培养学生用数学的眼光看问题，用数学的眼光看生活，用数学的眼光看世界.教师将纸牌魔术作为探究整式规律教学的数学活动，具备挑战性，这种挑战性是由魔术本身的神秘效果引起的，学生想要学会魔术，必然要掌握魔术背后的数学知识，渗透了《考试说明》注重考查基础知识和基本技能，注重考查思维过程、思想方法，注重学以致用、用学科知识解决生活问题.教师开始设计魔术指令，让学生先阅读再实践魔术，渗透中考对阅读能力、实验探究能力等学科核心能力的考查的难点，通过引导与设计让学生自己攻破用字母表示数的难点，学生自己悟出列表是必要的.本人在校开设了《纸牌魔术与数学》的选修课，学生通过纸牌魔术学习数学知识，拓展了教学资源的宽度和广度，提高了学生的综合素质与能力，渗透了新《考试说明》五个“考出来”的命题指导思想.。
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专题训练（二）探究整式中的规律问题
类型1 数与式的规律
1.（2018梧州）按一定规律排列的一列数依次为 ,35,26,15,10,3,2，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是（ ）
A 、9999
B 、10000
C 、10001
D 、10002
2.（2018云南）按一定规律排列的单项式：,,,,,,65432 a a a a a a ---则第n 个单项式是（ ）
A 、n a
B 、n a -
C 、n n a 1)
1(+- D 、n n a )1(- 3.（2018百色）观察以下一列数：,,25
11,169,97,45,3 则第20个数是 。
4.（2018泰安）如图，观察“田”字格中各数之间的关系，则c 的值为
类型2 数列的规律
5.（2018宜昌）1261年，我国南宋数学家杨辉用如图所示的三角形解释二项和的惩罚规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”.请观察图中的数字排列规律，则，
的值分别为( )
A ．
B ． C. D ．
6.（2018淄博）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 。
7.（1）已知一列数,,,,,4321 a a a a 满足下列条件：a 1=-1，a 2=-|a 1+3|，a 3=-|a 2+4|，a 4=-|a 3+5|，…依此类推，则a 2015-a 2014的值为
（2）已知一列数,,,,,4321 a a a a 满足下列条件：1=a
8.已知一列数,,,,321 a a a 其中211=
a
9.（2018荆州）将1个1,2个21，3个31，…，n 个n
1（n 为正整数）顺次排成一列：,,1,1,,31,31,31,21,21,1 n n 记,11=a ,212=a ,2
13=a …，11a S =，212a a S +=，3213a a a S ++=， …n n a a a a S ++++= 321，求2018S 的值。
10.（2018孝感)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1,3,6,10，…，记,11=a ,32=a ,63=a …，那么10210114--+a a a 的值是 。
2
（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是____。
(2)我们自上往下，在每个圆圈中都按图④的方式填上一串连续的整数−23，−22，−21，…，求图④中所有圆圈中各数的绝对值之和。