平面向量与立体几何(doc 11页9

平面向量与立体几何(doc 11页9

平面向量1.向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量.（向量可以平移）。

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是

不同的两个概念：两个向量平行包

含两个向量共线, 但两条直线平行

不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有)；

④三点共线共线；

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量

叫做相反向量。的相反向量是－。

2. 向量的表示方法：

（1）几何表示法：用有向线段表示，如，

注意起点在前，终点在后；

（2）符号表示法：用一个小写的英文字母

来表示，如等；

（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标

系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3. 平面向量的基本定理：

如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向

量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数、，使a =e 1＋e 2。

4. 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向

量，记作.

5. 平面向量的数量积：

（1）向量的夹角：对于非零向量,a b ，作

,OA OB ==a b ，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量,a b 的夹角，当θ＝0时，,a b 同向，当θ＝π时，,a b 反向，当θ＝2π时，,a b 垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向

量,a b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos θa b 叫做,a b 的数量积（或内积或点积），记作：⋅a b ，即a •b ＝

||||cos θa b 。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

（3）b 在a 上的投影的数量为||cos θ⋅=b

a b a ，它

是一个实数，但不一定大于0。

（4）⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的模||

a 与

b 在a 上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量

,a b ，b ，其夹角为θ，则：

①0⊥⇔•=a b a b ； ②当a ，b 同向时，a •b ＝a b ，特别地，

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,=•==a a a a a a ；当a 与b 反向时，a •b ＝－a b ；当θ为锐角时，a •b ＞0，且,a b 不同向，a •b >0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a •b ＜0，且,a b 不反向，a •b ＜0是θ为钝角的必要非充分条件；

③非零向量,a b 夹角θ的计算公式：

cos θ•=a b a b ；④||||||•≤a b a b 。 6. 向量的运算：

（1）几何运算：向量加减法：利用“平行

四边形法则”“三角形法则”进行，特别要注意：若M 为AB 中点，则2OA OB OM +=；

（2）坐标运算：设1122

(,),(,)x y x y ==a b ，则：

①向量的加减法运算：12(x x ±=±a b ，12

)y y ±。

②实数与向量的积：()()1111,,x y x y λλλλ==a 。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即

一个向量的坐标等于表示这个向

量的有向线段的终点坐标减去起

点坐标。

④平面向量数量积：1212x x y y •=+a b 。 ⑤向量的模：22||x y =+a 。

⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则()()222121||AB x x y y =-+-

7. 向量的运算律：

（1）交换律：+=+a b b a ，()()λμλμ=a a ，•=•a b b a ；

（2）结合律：()(),++=++--=-+a b c a b c a b c a b c ，

()()()λλλ•=•=•a b a b a b ；

（3）分配律：()(),λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b ，

()+•=•+•a b c a c b c 。

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地

方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()•≠•a b c a b c ，为什么？

8. 向量平行(共线)的充要条件：向量a 与非零向

量b 平行的充要条件是存在实数λ使得λ=a b ；1221

//x y x y ⇔=a b

9. 向量垂直的充要条件：0||||⊥⇔⋅=⇔+=-a b a b a b a b

12120x x y y ⇔+=。

10. 向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量

和为零向量，要注意运用；

（2）||||||||||||-≤±≤+a b a b a b ，

等号当且仅当,a b 同向或反向或有0时才有可能成立

（3）在ABC ∆中，

①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为123123

,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭

。 ②1()3

PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，特别地PA PB PC P ++=⇔0为ABC ∆ 的

重心；

③PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂

心；

④向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；

（4）向量 PA PB PC 、、中三终点A

B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=.

立体几何（文科只关注平行、垂直即可）

1. 平面的基本性质：

（1）公理1：一条直线的两点在一个平面

内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。

（2）公理2：如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在