黑龙江省哈尔滨市第九中学2021届高三上学期第二次月考 文科数学
2021届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三上学期第三次月考数学(文)试题
（
为参数）．以原点
为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程
．
（1）写出曲线 的普通方程； （2）设 是曲线 上的动点， 是曲线
上的动点，求
的最大值．
22. 已知函数
（1）当
，
（2）当
，
．
时，求曲线
在点
时，求证：曲线
处的切线方程；
与
有公共点．
20. 如 图 ， 在 三 棱 柱 ．
中，侧面
f
( x1 )
f
(x2 )
f
(x3) ，
则 x3 f (x1) 的最大值为( )
A. 1
B.1
C. 4
D.16
4
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本题共 4 小题；共 20 分）
13. 已知向量
， b (4 k,2) ，若 与 共线，则实数 的值为
．
14. 数列
中，
且
，则 的通项公式为
哈尔滨市第九中学 2021 届高三上学期第三次月考 （数学文科）试卷
（时间：120 分钟 满分：150 分 ）
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. 已 知 集 合
,集合
,则
A.
B.
C.
D.
2. 已知 为虚数单位，若 z (1 i) 2 ，则
．
15. 设 是
，
，若 与 的等差中项是 4 ，则
．
的最大值
16. 过点
的直线 与圆
最小值时，直线 的方程为
．
相交于 ， 两点，则
取得
哈尔滨第九中学校2020-2021学年高二下学期4月月考数学(文)试卷
高二月考数学试题（文科）考试时间：120分钟一、单选题(本题共12小题，每题5分，共60分.)1．某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是（ ） A ．35B ．40C ．60D ．452．若函数21()f x x x=+，则()1f '-=（ ） A ．1-B ．1C ．3-D ．33．下表是某厂1-4月份用水量情况（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 用水量y4.5432.5用水量y 与月份x 之间具有线性相关关系，其线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =-+，则ˆa 的值为（ ） A ．2.5B ．5C ．5.25D ．3.54．抽查8件产品，设“至少抽到3件次品”为事件M ，则M 的对立事件是（ ） A ．至多抽到2件正品 B ．至多抽到2件次品 C ．至多抽到5件正品 D ．至多抽到3件正品5．函数21()ln 3f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．6,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．66,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．60,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．6,⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭6．某校甲､乙课外活动小组(两小组人数相等)20次活动成绩组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，若甲､乙两组平均成绩分别用1x ，2x 表示，标准差分别用1s ，2s 表示，则（ ）A ．12x x >，12s s >B ．12x x >，12s s <C ．12x x <，12s s >D ．12x x <，12s s <7．中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为（ ） A ．35 B ．25C ．45D ．158．若函数()()xf x x a e =+的极值点为1，则a =（ ） A ．－1B ．－2C ．0D ．19．经统计某射击运动员随机命中的概率可视为710，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2 没有击中，用3，4，5，6，7，8，9 表示击中，以 4个随机数为一组， 代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，5550 0371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281 根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为（ ） A ．25B ．310C ．720D ．1410．在正三角形ABC ∆内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为（ ） A ．31π-B ．31π-C ．31π- D ．31π- 11．已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，ABC △为等边三角形．若点A 在x 轴上，点B ，C 在双曲线T 上，且双曲线T 的虚轴为ABC △的中位线，则双曲线T 的渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．53y x =±C ．y x =D ．y x = 12．已知函数()()21x f x mx e x =--，若不等式()0f x <的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围（ ） A ．2211,12e e ⎛⎫++⎪⎝⎭ B ．2211,12e e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ C ．323121,32e e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ D ．323121,32e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.）13．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从60袋这种牛奶中抽取12袋进行检验.利用随机数表抽取样本时，先将60袋牛奶按00，01，…，59进行编号，若从随机数表第8行第7列的数开始向右读，则第4袋牛奶的编号为____________. (下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 16 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 14．在区间[]0,5上随机取一个实数x ，满足220x x -≤的概率为____________. 15．已知抛物线方程为212x y =，过抛物线的焦点作倾斜角为60°的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则||AB =_____________.16．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是_____________.三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分10分)某班同学利用劳动节进行社会实践，对[]2555，岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；（2）从年龄段在[)4050，的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中每组各选多少人？18．（本小题满分12分）据了解，温带大陆性气候，干燥，日照时间长，昼夜温差大，有利于植物糖分积累．某课题研究组欲研究昼夜温差大小/℃x 与某植物糖积累指数()/y GI 之间的关系，得到如下数据: 组数第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 昼夜温差/℃x 1011131286某植物糖积累指数/y GI20 24 30 28 18 15该课题研究组确定的研究方案是先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下组数分组低碳族的人数占本组的频率 第一组[)2530， 120 0.6第二组[)3035，195p第三组[)3540， 100 0.5 第四组[)4045，a0.4第五组[)4550， 30 0.3 第六组[]5055，150.3的2组数据进行检验，假设这剩下的2组数据恰好是第一组与第六组数据．（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过2．58，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（1）中所得线性回归方程是否理想?（参考公式:回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计()()()211ˆˆˆ,iii ni n i x x yy bay bx x x ==--==--∑∑ 19．（本小题满分12分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为1A ，2A ，3A ，乙协会编号为4A ，丙协会编号分别为5A ，6A ，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率； （3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率. 20．（本小题满分12分）已知()322126f x x mx x =--+的一个极值点为2.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]22-,上的最值.21．（本小题满分12分）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+-+．（1）若()f x 在(1,)+∞上单调，求a 的取值范围；（2）若()f x 在(1,)+∞上有极小值，求该极小值的最大值．22．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F △ （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点M 为椭圆C 的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 均不是椭圆C 的右顶点），且满足AM BM ⊥，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．高二月考数学试题（文科）答案一、单选题1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B 9．A 10．D 11．A 12．C 二、填空题 13．10 14．2515．48 16．(,]e -∞ 三、解答题17．（10分）【答案】（1）图形见解析，n =1000；p =0.65；a =60；（2）[)4045，岁中有4人，[)4550，岁中有2人.（1）第二组的频率为()10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=，所以高为0.30.06.5=频率分布直方图如下：第一组的人数为1202000.6=，频率为004502..⨯=，所以20010000.2n ==． 由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=， 所以1950.65300p ==．第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．（2）因为[)4045，岁年龄段的“低碳族”与[)4550，岁年龄段的“低碳族”的比值为2：1， 所以采用分层抽样法抽取6人，[)4045，岁中有4人，[)4550，岁中有2人． 18．（12分）【答案】（1）171277y x =-；（2）该小组所得线性回归方程是理想的． （1）由表中2月至5月份的数据， 得11(1113128)11,(24302818)2544x y =+++==+++=，故有()()520(1)2513(3)(7)34iii x x y y =--=⨯-+⨯+⨯+-⨯-=∑，()5222222021(3)14i i x x =-=+++-=∑，34171712,251114777b a y bx ∴===-=-⨯=-，即y 关于x 的线性回归方程为171277y x =-； （2）由171277y x =-，当10x =时，171215810777y =⨯-=，1581820 2.5877-=<， 当6x =时，1712906777y =⨯-=，901515 2.5877-=<，则该小组所得线性回归方程是理想的．19．（12分）【答案】（1）15种；（2）35；（3）415P =. （1）由题意，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，15{,}A A ，16{,}A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，25{,}A A ，26{,}A A ， 34{,}A A ，35{,}A A ，36{,}A A ，45{,}A A ，46{,}A A ，56{,}A A ，共15种.（2）因为丙协会至少有一名运动员参加双打比赛，所以编号为5A ，6A 的两名运动员至少有一人被抽到，其结果为：设“丙协会至少有一名运动员参加双打比赛”为事件A ，15{,}A A ，16{,}A A ，25{,}A A ，26{,}A A ，35{,}A A ，36{,}A A ，45{,}A A ，46{,}A A ，56{,}A A ，共9种，所以丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率93()155P A ==. （3）两名运动员来自同一协会有{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，56{,}A A ，共4种， 参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率为415P =. 20．（12分）【答案】（1）在区间()1,2-上单调递减，在区间(),1-∞-，()2,+∞上单调递增；（2）最小值为14-，最大值为13.（1）因为()322126x mx f x x =--+，所以()26212x x f x m =--'，因为()32126f x x mx x =--+的一个极值点为2，所以()262221202f m =⨯-⨯-='，解得3m =，此时()3223126x x f x x =--+，()()()26612612f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=，得1x =-或2x =，令()0f x '<，得12x -<<；令()0f x '>，得1x <-或2x >，故函数()f x 在区间()1,2-上单调递减，在区间(),1-∞-，()2,+∞上单调递增. （2）由（1）知，()f x 在[]2,1--上为增函数，在(]1,2-上为减函数，所以1x =-是函数()f x 的极大值点，又()22f -=，()113f -=，()214f =-，所以函数()f x 在区间[]22-,上的最小值为14-，最大值为13. 21．（12分）【答案】（1）1(,0][,)2-∞+∞；（2）ln 22-.（1）2'1(21)(1)()ln (21)()2(21)ax x f x x ax a x f x ax a x x--=+-+⇒=+-+=， 当0a ≤时，因为(1,)x ∈+∞，所以'()0f x <，因此()f x 在(1,)+∞上单调递减，符合题意；当12a ≥时，因为(1,)x ∈+∞，所以'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增，符合题意；当102a <<时，即112a >，当112x a<<时，'()0f x <，所以此时()f x 单调递减，当12x a>时，'()0f x >，所以此时()f x 单调递增，显然不符合题意， 综上所述：a 的取值范围为：1(,0][,)2-∞+∞；（2）由（1）可知：当0a ≤或12a ≥时，()f x 在(1,)+∞上单调，所以不存在极值， 因此102a <<， 当112x a<<时，'()0f x <，所以此时 ()f x 单调递减， 当12x a >时，'()0f x >，所以此时()f x 单调递增，因此当12x a=时，函数有极小值，极小值为211111()ln ()(21)()ln 2122224f a a a a a a a a=+-+=---， 令'22111114()ln 21(0)()4244ag a a a g a a a a a -=---<<⇒=-+=， 当104a <<时，'()0g a >，函数()g a 单调递增， 当1142a <<时，'()0g a <，函数()g a 单调递减， 所以当14a =时，函数()g a 有最大值，最大值为：111()ln(2)1ln 2214444g =-⨯--=-⨯.22．（12分）【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）证明见解析，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）由椭圆的对称性可知：当点P 落在椭圆的短轴的两个端点时12PF F △的面积最大，此时122b ⨯⨯=b =222a bc =+得：2314a =+=． ∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+， 联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()()222348430k x mkx m +++-=， 则()()222264163430m k k m ∆=-+->，即22340k m +->， 122834mk x x k ∴+=-+，()21224334m x x k-=+． ()()1212y y kx m kx m ∴=++()221212k x x mk x x m =+++()2223434m k k -=+．椭圆的右顶点为()2,0M ，AM BM ⊥，0MA MB ∴⋅=，()()1212220x x y y ∴--+=，即()121212240y y x x x x +-++=，()()2222234433434m k m k k --∴+++2164034mk k ++=+． 整理可得：2271640m km k ++=，解得：12m k =-，227k m =-，（1m ，2m 均满足22340k m +->）． 当2m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线l 过右顶点()2,0，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
2021届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2021届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合()(){}210M x x x =+-<，{}10N x x =+<，则M N =（ ）A ．()1,1-B ．()2,1-C ．()2,1--D ．()1,2【答案】C【分析】解出集合M 、N ，利用交集的定义可求得集合M N ⋂. 【详解】()(){}()2102,1M x x x =+-<=-，{}()10,1N x x =+<=-∞-，因此，()2,1M N =--.故选：C.2．若复数z 满足1zi i =+，则复数z 是（ ） A ．1i -- B ．1i +C ．1i -+D ．1i -【答案】D【分析】由复数的除法运算计算即可. 【详解】由1zi i =+，可得11iz i i+==-. 故选：D.3．点P 到直线3y =的距离比到点F (0，-1)的距离大2，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．24y x = B ．24y x =-C ．24x y =D ．24x y =-【答案】D【分析】根据题意，点P 在3y =的下方，故点P 到直线1y =的距离和到点F (0，-1)的距离相等，可得点的轨迹为以F (0，-1)为焦点，以直线1y =为准线的抛物线，即可得解.【详解】根据题意，设点(,)P x y ，且点P 在3y =的下方， 故点P 到直线1y =的距离和到点F (0，-1)的距离相等，所以点的轨迹为以F (0，-1)为焦点，以直线1y =为准线的抛物线， 所以P 的轨迹方程为24x y =-，故选：D.4．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（ ）34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 A ．25 B ．23C ．12D ．07【答案】C【分析】根据随机数表依次进行选取即可．【详解】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字， 大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为07，04，08，23，12， 则抽取的第5个零件编号为12. 故选：C ．【点睛】本题考查简单随机抽样的应用，同时考查对随机数表法的理解和辨析． 5．某程序框图如图所示，若输出结果是126，则判断框中可以是（ ）A ．6i >B ．7i >C ．6i ≥D ．5i ≥【答案】A【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行后输出的结果，从而得出所求.【详解】根据题意可知该循环体运行情况如下:第1次: S =0＋21=2，i =1＋1=2 第2次: S =2+22=6，i =3 第3次: S =6+23=14，i =4 第4次: S=14＋24=30，i =5 第5次: S =30＋25=62，i =6 第6次: S =62＋26=126，i =7因为输出结果是126，结束循环，判断框应该是i >6. 故选:A【点睛】本题主要考查了循环结构，条件分支结构，考查了运算能力，属于中档题． 6．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【详解】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ， 由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x ﹣y|≤2， 由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=7．已知三个不同的平面α，β，γ，三条不重合的直线m ，n ，l ，有下列四个命题． ①若m l ⊥，n l ⊥，则//m n ．②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ． ③若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥．④若//m α，n αβ=，则//m n ．其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】在①中，根据题意，结合空间中的线线关系即可判断是否正确；在②中，根据题意，结合空间中的没没关系，即可判断是否正确；在③中，由面面垂直的判断定理得αβ⊥，即可判断是否正确；在④中，根据题意，结合空间中的线线关系即可判断是否正确．【详解】由三个不同的平面α，β，γ，三条不重合的直线m ，n ，l ，知： 在①中，若m l ⊥，n l ⊥，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若m α⊥，//m n ，n β⊂，则由面面垂直的判断定理得αβ⊥，故③正确； 在④中，若//m α，n αβ=，则m 与n 异面或平行，故④错误．故选：A ．8．已知x 与y 之间的几组数据如表．如表数据中y 的平均值为2.5，若某同学对m 赋了二个值分别为1.5，2得到二条线性回归直线方程分别为11ˆyb x a =+，22ˆy b x a =+对应的相关系数分别为1r ，2r 下列结论中错误的是（ ）参考公式：线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，其中()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-．相关系数()()niix x y y r --=∑．A ．21b =B ．相关系数中，21r r >C ．12b b >D ．12a a >【答案】D【分析】根据所给数据，分m 取1.5，2两个数值，进行分类讨论即可得解. 【详解】根据图表可得52x =由y 的平均值为2.5，若m 取1.5，则 3.5n =，代入公式可得1ˆ 1.1b =，1r =≈11ˆˆ0.25a y b x =-=-， 所m 取2，则3n =，此时代入公式可得2ˆ1b =，21r ==，22ˆˆ0a y b x =-=， 所以12ˆˆaa >错误， 故选：D. 9．已知,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且3cos2cos 02πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．4B ．24-C ．4D ．24【答案】A【分析】由已知条件结合二倍角公式和诱导公式可先求sin θ，进而可求cos θ，然后结合两角和的正弦公式可求.【详解】,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且3cos2cos 02πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， cos 2sin 0θθ∴+=即22sin sin 10θθ-++=，解得：sin 1θ=或1sin 2θ=-，cos θ∴=，则)sin cos 224sin θθπθ⎛⎫=+== ⎝⎭+⎪， 故选：A.【点睛】关键点点睛：通过三角恒等变换和诱导公式，构造成一元二次方程求解；注意角的范围.10．已知12,F F 是双曲线22221(0,0x y a b a b-=>>）的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()1,12+C ．()1,3D ．()12,12-+【答案】B【分析】由题意可用双曲线参数,,a b c 表示22||,||,||AB BF AF ，由2ABF 是锐角三角形，令2BF A θ∠=结合余弦定理即得2221cos 12()(0,1)1e e θ-=-∈+，进而可求离心率的取值范围.【详解】由题意知，若如图所示，则2(,)b A c a --，2(,)b B c a-，∴22||b AB a =，42222||||4b BF AF c a==+令2BF A θ∠=，则有2222222222||||||1cos 12()2||||1BF AF AB e BF AF e θ+--==-⋅+， 2ABF 是锐角三角形，有2221012()11e e -<-<+，得221012e e -<<+ ∴22(12)e <，而1e >可知：e 的范围(1,12)故选：B.【点睛】关键点点睛：利用双曲线参数表示三角形的三边，应用余弦定理结合锐角三角形中内角余弦值范围为(0,1)，双曲线离心率1e >求离心率范围. 11．等差数列{}n a 中，28a =，前6项和和666S =，设2(1)n nb n a =+，12n n T b b b =+++，则n T =A ．111n -+ B ．112n -+ C ．1121n -+ D ．1122n -+ 【答案】D【详解】由题意得1161566,8a d a d +=+= ,解得16,2,6(1)224n a d a n n ===+-⨯=+ ,因此2111(1)(24)(1)(2)12n b n n n n n n ===-++++++ ,因此1111111123341222n T n n n =-+-++-=-+++ ,选D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +. 12．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为 A ．（85，＋∞） B ．（165，＋∞） C ．[85，＋∞） D ．[165，＋∞） 【答案】B【分析】利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2 的取值范围．【详解】由题得f′（x ）=4k k x +﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()24x k x k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（x ＞0，k ＞0）由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），即21144k k x x +-﹣1=24k k x +﹣224x ﹣1，化简得4（x 1+x 2）=（k+4k）x 1x 2， 而x 1x 2＜212()2x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+4k ）212()2x x +， 即x 1+x 2＞164k k +对k ∈[4，+∞）恒成立，令g （k ）=k+4k，则g′（k ）=1﹣24k =()()222k k k+-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5，∴164k k +≤165， ∴x 1+x 2＞165，故x 1+x 2的取值范围为（165，+∞）. 故答案为B【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题 的关键，属于中档题.二、填空题13．设x ∈R ，向量()(),1,1,2a x b ==-，且a b ⊥，则a b +=_______________________．【分析】先根据a b ⊥求出x 的值，再求+a b 得解. 【详解】因为a b ⊥， 所以20,2x x -=∴=, 所以(2,1)a =， 所以+(3,1)a b =-，所以223)=1+(10a b =+-. 故答案为：10.14．若实数,x y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最大值是______________．【答案】2【分析】确定目标函数与截距关系，作出可行域，数形结合根据几何意义找到最优解，代回目标函数即可. 【详解】作出可行域如图，由2z x y =+，得122zy x =-+，表示一组斜率为12-的直线.且目标函数z 的几何意义为直线122z y x =-+的截距2z的2倍，当直线过点(0,1)A 时，截距最大，即目标函数取最大值，max 0212z =∴+⨯=.故答案为：2.【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱32AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于______． 【答案】8π【详解】试题分析：由已知条件得：01121sin 602AA ⨯⨯⨯⨯=∴12AA =，∵22202cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴BC =， 设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =，∴1R =，∴=∴球的表面积等于248ππ=. 【解析】1.棱柱的体积公式；2.余弦定理；3.球的表面积.16．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =，则有下列命题：①()y g x =-与()h x 有“隔离直线”；②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,0-；④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-．其中真命题的序号为_______________________．（请填上所有正确命题的序号） 【答案】②④【分析】利用导数结合“隔离直线”的定义可判断①的正误；利用“隔离直线”的定义求出b 、k 所满足的不等式，求出k 、b 的取值范围，可判断②③的正误；求出函数()f x 和()h x 图象的公共点以及公切线方程，结合利用导数法证明出()f x e ≥-、()g x e ≤-，结合“隔离直线”的定义可判断④的正误.【详解】对于①，构造函数()()()21x f x g x x xϕ=+=+，其中0x <， 则()32212120x x x x xϕ-'=-=<，所以，函数()x ϕ在(),0-∞上单调递减， ()10ϕ-=，当1x <-时，()()10x ϕϕ>-=，此时()()f x g x >-；当10x -<<时，()()10x ϕϕ<-=，此时()()f x g x <-. 所以，()y g x =-与()h x 不存在“隔离直线”，①错误；对于②，设()f x 和()g x 之间的“隔离直线”为y kx b =+，当0x <时，21x x>，则2x kx b ≥+在(),0-∞上恒成立， 设()21f x x kx b =--，二次函数()1f x 图象的对称轴为直线2k x =. 当0k ≥时，则()100f b =-≥，可得0b ≤；当0k <时，2140k b ∆=+≤，则24k b ≤-. 不等式1kx b x +≥在(),0-∞上恒成立，即1b kx x ≥-在(),0-∞上恒成立， 若0k >，函数1y kx x=-在(),0-∞上单调递减，该函数在(),0-∞上无最小值，此时b 无解；若0k =，可得1b x ≥，当(),0x ∈-∞时，()1,0x∈-∞，则0b ≥； 若0k <，则1b kx x≥-，由基本不等式可得11kx kx x x ⎡⎤⎛⎫-=--+≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当x=b ≥-由上可知，当0k =时，0b =；当0k <时，24k b -≤≤-，0k =，0b =也满足24k b -≤≤-，由上可知24k -≤-，整理可得464k k -≥，即()3640k k +≤，40k ∴-≤<.由题意可知，(2minmax4k b ⎛⎫-≤≤- ⎪⎝⎭，所以40b -≤≤，故②正确；对于③，由②可知，40k -≤≤，故③错误；对于④，()2f x x =、()2ln h x e x =，则fe =，2h e e ==，则fh =，所以，函数()f x 、()g x 的图象的公共点为)e ，()2f x x '=，则f '=()2eg x x'=，则g '=()f g e ''=，所以，函数()f x 、()g x 的图象在公共点)e 处有公切线y e x -=，即y e =-.构造函数()()(22210x x e x e x ϕ=--=-+=≥，所以，()f x e ≥-.构造函数()()22ln 2ln x e x e e x e ϕ=--=-+，则())22x e x xxϕ'=-=.当0x <<()20x ϕ'>，此时函数()2x ϕ单调递增；当x >()20x ϕ'<，此时函数()2x ϕ单调递减.所以，()220x ϕϕ≤=，即()g x e ≤-.综上可知，()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-，④正确. 故答案为：②④.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.三、解答题17．已知函数()f x ()()23cos cos 2x x x πππ⎛⎫+⋅-++⎪⎝⎭． (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()32f A =,2,4a b c =+=，求,b c .【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间是,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）b=c=2【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为1sin 262x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间；（2）由()32f A =,求得3A π=，利用余弦定理，结合2,4a b c =+=，列方程组可求得,b c 的值.【详解】(1)∵()f x =3sin(3π+x)·cos(π−x)+cos 2(2π+x)， ∴()3sin f x x =- (−cos x)+(−sin x)2=31cos 21sin 2sin 22262x x x π-⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，由 2kπ−2π2x-6π2kπ+2π，k ∈Z ， 可得函数()f x 的单调递增区间是,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z ．(2)由()32f A =,得，sin(2A-6π)+12=32，sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵0<A<π，∴0<2A<2π，112,2,666623A A A ππππππ-<-<-== ∵a=2，b+c=4 ①， 根据余弦定理得，4=2b +2c −2bccos A=2b +2c −bc=(b+c)2−3bc=16−3bc ， ∴bc=4 ②，联立①②得，b=c=2．．【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18．惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国I卷的题型结构，其中第22，23题为选做题，考生只需从中任选一题作答．已知文科数学和理科数学的选做题题目无任何差异，该校参加模拟考试学生共1050人，其中文科学生150人，理科学生900人．在测试结束后，数学老师对该学校全体高三学生选做的22题和23题得分情况进行了统计，22、23题统计结果如下表参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++（1）在答卷中完成如下22⨯列联表，并判断能否至少有99.9%的把握认为“选做22题或23题”与“学生的科类（文理）”有关系；（2）在第23题得分为0的学生中，按分层抽样的方法随机抽取6人进行答疑辅导，并在辅导后从这6人中随机抽取2人进行测试，求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率．【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；（2）25．【分析】（1）本题首先可根据题中信息将22⨯列联表补充完整，然后求出2K，与表中数据进行对比即可得出结果；（2）本题首先可根据分层抽样得出理科生有4名以及文科生有2名，然后列出所有的可能情况以及抽中的2名学生均为理科生的所有的可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】（1）如图，可根据题中信息将22⨯列联表补充完整：则()2210501101008004091014035026.92310.82811509003K⨯⨯-⨯=⨯>⨯⨯=≈，故有99.9%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关.（2）根据分层抽样的性质易知，6名学生中理科生有4名，文科生有2名，记4名理科生为a、b、c、d，2名文科生为E、F，从这6人中随机抽取2人，所有的可能情况有15种，依次为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，被抽中的2名学生均为理科生的所有的可能情况有6种，依次为：ab、ac、ad、bc、bd、cd，故被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率62155 P==.【点睛】关键点点睛：本题考查通过独立性检验解决实际问题、分层抽样的应用以及古典概型概率的计算，可通过列出所有的可能情况以及满足限制条件的所有可能情况求出概率，考查计算能力，是中档题.19．如图1，菱形ABCD中，60A︒∠=，DE AB⊥于E，将AED沿DE翻A ED'，使A E BE'⊥，如图2．（1）求证：A E '⊥平面BCDE ； （2）求三棱锥C A BD '-的体积；（3）在线段A D '上是否存在一点F ，使//EF 平面A BC '？若存在，求DFFA '的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（283；（3）存在；1DF FA ='． 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证；（2）转换顶点，等体积变换，由C A BD A BCD V V ''--=可得结果；（3）分别取A D '，A C '的中点F ，M ，连EF ，FM ，BM ．只需证明四边形EBMF 为平行四边形即可.【详解】（1）在菱形ABCD 中，因为DE AB ⊥，所以DE AE ⊥，所以A E DE '⊥， 因为A E BE '⊥，DE BE E ⋂=，DE ⊂平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE ， 所以A E '⊥平面BCDE ．（2）C A BD A BCD V V ''--=．由（1）知A E '⊥平面BCDE ． 因为菱形ABCD 中，60A ︒∠=，4AB =， 所以ABD △，BCD △是边长为4的等边三角形． 所以13444322BCDS=⨯⨯⨯= 因为DE AB ⊥于E 为AB 中点，2AE EB ==． 所以三棱锥A BCD '-中，高2A E '=， 所以C A BD V '-A BCD V '-=13BCDS A E '=⋅14323=⋅83=． （3）在A D '上存在一点F ，使//EF 平面A BC '．分别取A D '，A C '的中点F ，M ，连EF ，FM ，BM ．因为FM 为A DC '的中位线，所以//FM DC ，且12FM DC =，在菱形ABCD 中，//EB DC ，且12EB DC =，所以//FM EB ，且FM EB =， 所以四边形EBMF 为平行四边形，所以//EF BM ，因为EF ⊂/平面A BC '，BM ⊂平面A BC '，所以//EF 平面A BC '， 因为F 为A D '中点，所以1DFFA ='． 【点睛】关键点点睛：第（3）问的关键点是：证明四边形EBMF 为平行四边形.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距为4，直线1:bl y x c=与椭圆相交于A ，B 两点，2F 关于直线1l 的对称点为()0,E b 斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C ，D 两点．（1）求椭圆的标准方程．（2）求四边形ACBD 的面积取值范围．【答案】（1）22184x y +=；（2）3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【分析】（1）求出b 、c 的值，进一步求出a 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线2l 的方程为y x m =-+，设点()11,C x y 、()22,D x y ，将直线2l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出m 的取值范围，由斜率关系可得出12l l ⊥，根据四边形的面积公式求出四边形ACBD 面积关于m 的关系式，由此可求得结果. 【详解】（1）线段EF 的中点为,22c b ⎛⎫⎪⎝⎭，直线EF 的斜率为EF b k c =-，由已知条件可得241c b b c c =⎧⎪⎨-⋅=-⎪⎩，解得2b c ==，a ∴==，因此，椭圆的标准方程为22184x y +=；（2）设直线2l 的方程为y x m =-+，设点()11,C x y 、()22,D x y ．由22184x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得2234280x mx m -+-=，()2221612289680m m m ∆=--=->，所以，2012m ≤<，由韦达定理可得1221243283x x m m x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 由（1）知直线1:l y x =代入椭圆得A ⎛ ⎝、B，得AB =， 由直线2l 与线段AB 相交于点P ，由y x y x m=⎧⎨=-+⎩，解得2mx y ==，所以323m -<<，解得m ⎛∈ ⎝，满足0∆>．12CD x =-==，而21l k =-与11l k =，知21l l ⊥，12ACBD S AB CD ∴=⋅=四边形由m ⎛∈ ⎝，得232,03m ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦∴四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解. 21．已知函数()ln f x x ax =-，(0,]x e ∈，其中e 为自然数的底数． （1）若1x =为()f x 的极值点，求()f x 的单调区间和最大值．（2）是否存在实数a ，使得()f x 的最大值是3-．若存在，求出a 的值．若不存在，说明理由． （3）设ln ()xg x x =，(0,]x e ∈，在（1）的条件下，求证：1()()02f xg x ++<． 【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递，在(]1e ，上单调递减；()f x 的最大值为(1)=1f -；（2）存在；2e a =．【分析】（1）f (x)lnx ax =-，(0x ∈，]e ，由()10f '=，求出1a =，即可得到函数的单调区间与最大值；（2）()g x 的单调增区间是1(0,)a，单调减区间是1(a ，)e ，利用()g x 在(0，]e 上的最大值为3-，求a 的值．（3）可得()()1max g x g e e==，又()f x 的最大值为()11f =-，可得对于区间(0，]e 上的任意x ，即可得证．【详解】解：（1）因为()ln f x x ax =-，(0,]x e ∈所以11()ax f x a x x'-=-=-． 由()01f '=，得1a =．故()ln f x x x =-，11()1x f x x x'-=-=-， 若()0f x '>，则01x <<， 若()0f x '<，则1e x <<．所以()f x 在()0,1上单调递，在(]1e ，上单调递减． 所以()f x 的最大值为(1)=1f -．（2）假设存在实数a ，使()ln ((0,e])f x x ax x =-∈有最大值3-，11()ax f x a x x'-=-=-， ①当0a ≤时，()f x 在(]0e ，上单调递增，max ()(e)1e 3f x f a ==-=-，4ea =（舍去）． ②当10e<a时，()f x 在(]0e ，上单调递增， max ()(e)1e 3f x f a ==-=-，4ea =（舍去）． ③当1e >a 时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， max 1()ln 1f x f a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭3=-，则2e a =，满足条件．综上所述，存在实数2e a =，使得当(]0e x ∈，时，()f x 有最大值3-． （3）因为()f x 的极大值为1-，即()f x 在(]0e ，上的最大值为1-， 所以()0f x <，max ()1f x =-． 由ln ()xg x x=，得21ln ()x g x x -'=，因为当(0,e)x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在区间(0,e)上单调递增．所以max 11()(e)e 2g x g ==<．因为()1f x ≤-，1()g x e≤，(0,]x e ∈， ∴对于区间(0，]e 上的任意x ，总有111()()1022f xg x e++<-++<，即1()()02f xg x ++<． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 22．已知()|1|| -1|f x x a x a =+++． （1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集;（2）若1≥x 时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1) (,2][1,)-∞-+∞．(2) [0)+∞，. 【分析】（1）将a =1代入f （x ）中，去绝对值后分别解不等式即可；（2）x ∈（0，1）时，不等式f （x ）＜x +2恒成立等价于当x ∈（0，1）时，|ax -1|＜1恒成立，然后分a ≤0和a ＞0讨论即可．【详解】解：（1）解法1：当1a =时，不等式()3f x ≥可化简为13x x ++≥. 当–1x <时，13x x ---≥，解得2x -≤，所以2x -≤； 当10x -≤<时，13x x +-≥，13≥，无解； 当0x ≥时，13x x ++≥，解得1≥x ，所以1≥x ﹒ 综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．解法2：当1a =时，21(1)()11(10)21(0)x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++=-≤<⎨⎪+≤⎩当1x <-时，213x --≥，解得2x -≤，所以2x -≤； 当10x -≤<时，13≥，无解；当0x ≥时，213x +≥，解得1≥x ，所以1≥x ． 综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．（2）解法1：当1≥x 时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥.令()(1)1g x a x =-+，则()g x 的图像为过定点()11，斜率为a 的一条直线，数形结合可知，当0a ≥时，11ax a -+≥在[1)+∞，上恒成立. 所以，所求a=解法2：当1≥x 时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥. 由不等式的性质得11ax a -+-≤或11ax a -+≥， 即(1)2a x --≤或(1)0a x -≥.当1≥x 时，a R ∀⊂，不等式2(1)2a x -≤-不恒成立； 为使不等式(1)0a x -≥恒成立，则0a ≥.综上，所求a=【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．23．在平面直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为()2cos 0a a ρθ=>，且曲线 C 与直线l 有且仅有一个公共点.（1）求a ；（2）设,A B 曲线 C 上的两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的最大值．【答案】（1）1；（2）【分析】（1）分别将直线l 的参数方程、曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用圆心到直线l 的距离等于半径求解a ； （2）设()1,A ρθ，2,3B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别代入曲线C 的极坐标方程，得到1ρ和2ρ， 计算12ρρ+的最大值．【详解】（1）直线l的普通方程是30x -=，曲线 C 的直角坐标方程是222()x a y a -+=，依题意直线l 与圆相切，则|3|2a d a -==，解得3a =-或 1a =， 因为0a >，所以 1a =； （2）如图，不妨设()1,A ρθ，2,3B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则12cos ρθ=，22cos 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以122cos 2cos 3OA OB πρρθθ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭3cos 3sin 23cos 6πθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以当π2π6k θ+=，即π2π6k θ=-，k Z ∈时，OA OB +最大值是23．【点睛】解决极坐标方程与参数方程的综合问题时，可将方程化为直角坐标方程，然后利用平面解析几何的方法求解．在极坐标系中，设极点为O ，若已知两点的极坐标分别为()11,A ρθ，(),B ρθ22，则12+OA OB ρρ+=.。
2021年黑龙江省哈尔滨九中高考数学三模试卷(文科)
2021年黑龙江省哈尔滨九中高考数学三模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()A. (M∩P)∩SB. (M∩P)∪SC. (M∩P)∩∁U SD. (M∩P)∪∁U S2.命题“∀x>0，总有(x+1)e x>1”的否定是()A. ∀x>0，总有(x+1)e x≤B. ∀x≤0，总有(x+1)e x≤1C. ∃x0≤0，使得(x0+1)e x0≤1D. ∃x0>0，使得(x0+1)e x0≤13.学校为了解900名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，3，⋯，900，从这些新生中用系统抽样方法抽取100名学生进行体质测验.若26号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A. 18学生B. 269号学生C. 616号学生D. 815号学生4.希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积(我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形).在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为()A. 35B. 916C. 716D. 255.若a，b∈R，直线l：y=ax+b，圆C：x2+y2=1.命题p：直线l与圆C相交；命题q：a>√b2−1.则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数y=x2ln|x||x|的图象大致是()A. B.C. D.7.已知m为实数，i为虚数单位，若m+(m2−1)i>0，则m+i1−i=()A. −1B. 1C. −iD. i8.设△ABC的三边长分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则S=12(a+b+c)r，类比这个结论可知：若四面体P−ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体P−ABC的体积为V，则V=()A. (S1+S2+S3+S4)RB. 12(S1+S2+S3+S4)RC. 13(S1+S2+S3+S4)R D. 14(S1+S2+S3+S4)R9.三位四进制数中的最大数333等于十进制数的是()A. 63B. 83C. 189D. 25210.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是()A. 直线B1C与直线AC所成的角为60°B. 直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C. 直线B1C与直线AD1所成的角为90°D. 直线B1C与直线AB所成的角为90°11. 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，当x >0时，lnxf′(x)<−1xf(x)，则使得(x 2−9)f(x)<0成立的x 的取值范围是( )A. (−3,0)∪(3,+∞)B. (−∞,−3)∪(3,+∞)C. (−3,0)∪(0,3)D. (−∞,−3)∪(0,3)12. 若AB =3，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，平面内一点P 满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则sin∠PAB 的最大值是( ) A. √32B. 12C. 13D. 2√23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若cos(α−π4)=√24，则sin2α的值为______ ．14. 椭圆x 216+y 29=1内，过点M(2,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为______ ．15. 已知x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0 x −2y +4≥03x −y −3≤0，则√x 2+y 2的最大值为______ ．16. 已知数列{a n }与{b n }前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0，2S n =a n 2+a n ，n ∈N ∗，b n =2⋅3n +1(3n +a n )(3n+1+an+1)，则T n 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设a 为常数，函数f(x)=asin2x +cos(2π−2x)+1(x ∈R)．(1)设a =√3，求函数y =f(x)的单调递增区间及频率f ； (2)若函数y =f(x)为偶函数，求此函数的值域．18. 某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，统计了本校高三年级每名学生一学期数学成绩的平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到如表．附表及公式：其中n=a+b+c+d，K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果判断数学成绩与性别是否有关；(2)规定成绩在80分以上为优秀，请你根据已知条件补全所列的2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”．19.如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)均在抛物线上．(Ⅰ)写出该抛物线的方程及其准线方程；(Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．20.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=π，求四棱锥B−EB1C1F的体积．321.已知函数f(x)=axlnx(a∈R)的极小值为−1．e(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)任取两个不等的正数x 1，x 2，且x 1<x 2，若存在正数x 0，使得f′(x 0)=f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1成立．求证：x 1<x 0<x 2．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosϕy =2sinϕ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：ρsin(α−θ)=sin(α−π)(0<α<π2). (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设P(−1,0)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点若S △BPO =2S △APO ，求cosα．23. 已知函数f(x)=|x −1|+2|x|．(1)解不等式f(x)≥2；(2)若f(x)的最小值为A ，且正实数m ，n 满足m +n =A ，求(1m +m)(1n +n)的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由图知，阴影部分在集合M中，在集合P中，但不在集合S中，故阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩C U S，故选：C．利用阴影部分所属的集合写出阴影部分所表示的集合．本题考查集合的交集、并集、补集的定义、并利用定义表示出阴影部分的集合．2.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x>0，总有(x+1)e x>1”的否定是：∃x0≤0，使得(x0+1)e x0≤1．故选：D．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意可知，抽取的间隔是9，若26号学生被抽到，则26+9k，k∈Z被抽到，故当k=27时，26+9×27=269，所以被抽到的是269号．故选：B．利用系统抽样的抽取方法，即按相同的间隔数抽取，即可得到答案．本题考查了抽样方法，主要考查了系统抽样的理解和应用，解题的关键是掌握系统抽样的方法，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的14，不妨设第一个三角形的面积为1． ∴第三个三角形的面积为1；则阴影部分的面积之为(1−14)(1−14)=916：第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率：9161=916，故选：B ．我们要根据已知条件，求出第3个大正三角形的面积，及黑色区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据P =N(A)N求解．5.【答案】B【解析】解：若直线与圆相交，则圆心到直线的距离d =√1+a 2<1，即b 2<1+a 2，则a 2>b 2−1，即a >√b 2−1或a <√b 2−1，则充分性不成立， 反之成立，即p 是q 的必要不充分条件， 故选：B ．根据直线和圆相交的条件求出a ，b 的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相交的条件是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题． 根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断． 【解答】解：当x >0时，y =xlnx ，y′=1+lnx ，即0<x <1e 时，函数y 单调递减，当x >1e ，函数y 单调递增， 又因为函数y 为偶函数，故排除ABC ， 故选：D ．7.【答案】D【解析】解：∵m +(m 2−1)i >0， ∴{m >0m 2−1=0，解得：m =1．则m+i1−i =1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ．故选：D ．由m +(m 2−1)i >0，得{m >0m 2−1=0，求解得到m 的值，然后代入m+i 1−i ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．8.【答案】C【解析】解：△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，内切圆半径为r ，由三角形的面积等于三个小三角形面积和可得，S =12r(a +b +c)． 类比这个结论可知：四面体S −ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，体积为V ，内切球半径为R ， 球心到切点的距离为R ，则四面体的体积等于四个小三棱锥的体积和， 可得：V =13(S 1+S 2+S 3+S 4)R ． 故选：C ．由三角形类比四面体，面积类比体积，由内切圆类比内切球，由平面类比空间，结合等体积法得结论． 本题考查类比推理，训练了利用等体积法求多面体的体积，是基础题9.【答案】A【解析】解：三位四进制数333对应的十进制的数为：3×42+3×41+3×40=63． 故选：A ．将三位四进制数333按权展开求和即可求解．本题考查进位制的转化，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1=60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1=B1C=CD1=AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC=√63BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ=OCB1C =√63BC√2BC=√33≠12，故选项B错误；连接BC1，∵AD1//BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C 所成的角为θ，由cosθ=OC B1C可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．本题考查异面直线夹角、线面角的求法，利用平移法找出异面直线夹角，以及理解线面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：令g(x)=f(x)lnx(x>0)，则g′(x)=f′(x)lnx+1xf(x)<0，∴当x >0时，g(x)=f(x)lnx 单调递减． 又g(1)=f(1)ln1=0，∴当x ∈(0,1)时，g(x)>0，而此时lnx <0，∴f(x)<0； 当x ∈(1,+∞)时，g(x)<0，而此时lnx >0，∴f(x)<0； 又f(x)是奇函数，∴当x ∈(−1,0)时，f(x)>0； 当x ∈(−∞,−1)时，f(x)>0； ∵(x 2−9)f(x)<0，∴当x <0时，x 2−9<0，解得−3<x <0；① 当x >0时，x 2−9>0，解得x >3；②综合①②，得(x 2−9)f(x)<0成立的x 的取值范围为(−3,0)∪(3,+∞)， 故选：A ．令g(x)=f(x)lnx(x >0)，则当x >0时，g(x)=f(x)lnx 单调递减，而g(1)=0，于是可得当x ∈(0,1)∪(1,+∞)时，f(x)<0；x ∈(−1,0)∪(−∞,−1)时，f(x)>0，从而可求得(x 2−9)f(x)<0的解． 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，考查推理能力及运算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：根据题意，作图如下：又因为，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |表示PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |表示PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影， 如上图，分别过点C 作CE ⊥PA ，CF ⊥PB ，点E ，F 为垂足， 则有PE =PF ，又因为PC 公用，所以△PCE≌△PCF ， 即得PC 即为∠APB 的角平分线，又因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 根据角平分线的性质，可得PAPB =ACCB =2，又因为AB =3，所以AC =2，CB =1，设PB =x ，则PA =2x ，在△PAB 中，根据余弦定理可得：cos∠PAB =PA 2+AB 2−PB 22PA⋅PB=4x 2+9−x 212x=3x 2+912x=x 4+34x≥2√x 4⋅34x=√32， 当且仅当x2=32x ，即x =√3时，“=”成立， 此时sin∠PAB 取得最大值，即sin∠PAB =12． 故选：B ．根据向量数量积的定义可知，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |表示PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |表示PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影，然后借助图象进行求解即可．本题主要考查向量数量积的使用，以及三角形余弦定理的使用，属于中档题．13.【答案】−34【解析】解：∵cos(α−π4)=√24，可得：√22cosα+√22sinα=√24，两边平方，可得：cosα+sinα=12，两边平方可得：1+2sinαcosα=14， ∴解得：sin2α=−34． 故答案为：−34．由已知利用两角差的余弦函数公式可求cosα+sinα=12，进而平方后利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】9x +8y −26=0【解析】解：设弦的两个端点的坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∵A 、B 两点均在椭圆上，∴x 1216+y 129=1，x 2216+y 229=1，对两式相减，可得(x 1−x 2)(x 1+x 2)16+(y 1−y 2)(y 1+y 2)9=0，∵点M(2,1)为AB 的中点，∴x 1+x 2=4，y 1+y 2=2，∴直线AB 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=−98，∴直线AB 的方程为y −1=−98(x −2)，即9x +8y −26=0， 故答案为：9x +8y −26=0．根据点M(2,1)为AB 的中点，利用“点差法”，可得直线AB 的斜率k ，再将M 点代入，即可求解． 本题考查了直线斜率的坐标公式，以及“点差法”，需要学生有较强的计算能力，属于中档题．15.【答案】√13【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −2y +4=03x −y −3=0，解得A(2,3)，√x 2+y 2的几何意义为可行域内的动点到原点的距离， 则√x 2+y 2的最大值为|OA|=√22+32=√13． 故答案为：√13．由约束条件作出可行域，再由√x 2+y 2的几何意义，即可行域内的动点到原点的距离求解． 本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．16.【答案】[744,14)【解析】解：数列{a n }前n 项和分别为S n ，且a n >0，2S n =a n 2+a n ，①，当n =1时，解得a 1=1(0舍去)，当n ≥2时，2S n−1=a n−12+a n−1，②，①−②得：(a n −a n−1−1)(a n +a n−1)=0， 故a n −a n−1=1(常数)，所以：数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列； 则a n =n ． 故b n =2⋅3n +1(3n +a n )(3n+1+a n+1)=2⋅3n +1(3n +n)(3n+1+n+1)=13n +n−13n+1+n+1，所以：T n =14−111+111−130+...+13n +n −13n+1+n+1=14−13n+1+n+1<14， 由于b n =13n +n −13n+1+n+1>0， 所以b n+1b n=13n+1+n+1−13n+2+n+213n +n −13n+1+n+1>1，故数列{b n }单调递增；所以T n ≥T 1=744．故T n 的取值范围是：[744,14)． 故答案为：[744,14)．首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法和数列的单调性的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，数列的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a =√3，所以函数f(x)=asin2x +cos(2π−2x)+1 =√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，令2x +π6∈[2kπ−π2,2kπ+π2],k ∈Z ， 解得x ∈[kπ−π3,kπ+π6],k ∈Z ，所以函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ， 函数是频率f =22π=1π；(2)因为函数是偶函数，则f(−x)=f(x)，即asin(−2x)+cos(2π+2x)+1=asin2x +cos(2π−2x)+1， 即−asin2x +cos2x =asin2x +cos2x ，所以a =0， 所以f(x)=cos2x +1， 当x ∈R 时，cos2x ∈[−1,1]， 所以cos2x +1∈[0,2]，故函数f(x)的值域为[0,2]．【解析】本题考查了三角函数的单调性以及频率，考查了三角函数的奇偶性以及值域问题，属于基础题． (1)代入a 的值，化简函数f(x)的解析式，根据正弦函数的单调性，求出函数f(x)的单调递增区间以及频率； (2)根据偶函数的定义求出a 的值，然后化简函数f(x)，再由三角函数的性质即可求出函数的值域．18.【答案】(1)男生的平均分x −1=45×3+55×9+65×18+75×15+85×6+95×960=71.5，女生的平均分x −2=45×6+55×4+65×5+75×10+85×13+95×240=71.5，从男、女生各自的平均分来看，数学成绩与性别无关；(2)由题表可知，在抽取的100名学生中，男生组中成绩优秀的有15人，女生组中成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表如下：优秀 非优秀 合计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计3070100计算可得K 2=100×(15×25−15×45)230×70×60×40≈1.786<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”．【解析】(1)利用平均数的计算公式求解即可；(2)由题中的信息，补全2×2列联表，由公式计算K 2的值，对照临界值表中的数据，即可得到答案． 本题考查了特征数的求解以及独立性检验的应用，解题的关键是掌握平均数的计算公式以及独立性检验的方法，属于基础题．19.【答案】解：(I)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2=2px∵点P(1,2)在抛物线上∴22=2p ×1，得p =2 故所求抛物线的方程是y 2=4x 准线方程是x =−1(II)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB则k PA =y 1−2x 1−1(x 1≠1)，k PB =y 2−2x 2−1(x 2≠1)∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA=−k PB 由A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线上，得y12=4x1(1)y22=4x2(2)∴y1−214y12−1=−y2−214y22−1∴y1+2=−(y2+2)∴y1+y2=−4由(1)−(2)得直线AB的斜率k AB=y2−y1x2−x1=4y1+y2=−44=−1(x1≠x2)【解析】(I)设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．(II)设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA=−k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．20.【答案】证明：(1)由题意知AA1//BB1//CC1，又∵侧面BB1C1C是矩形且M，N分别为BC，B1C1的中点，∴MN//BB1，BB1⊥BC，∴MN//AA1，MN⊥B1C1，又底面是正三角形，∴AM⊥BC，A1N1⊥B1C1，又∵MN∩AM=M，∴B1C1⊥平面A1AMN，∵B1C1⊂平面EB1C1F，∴平面A1AMN⊥平面EB1C1F；解：(2)∵AO//平面EB1C1F，AO⊂平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F=NP，∴AO//NP，∵NO//AP，∴AO=NP=6，ON=AP=√3，过M作MH⊥NP，垂足为H，∵平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ，平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F =NP ，MH ⊂平面A 1AMN ， ∴MH ⊥平面EB 1C 1F ， ∵∠MPN =π3， ∴MH =MPsin π3=3，∴S EB 1C 1F =12(B 1C 1+EF)⋅NP =12(6+2)×6=24， ∴V B−EB 1C 1F =V M−EB 1C 1F =13S EB 1C 1F ⋅MN =24．【解析】(1)先求出线线平行，可得线线垂直，即可求线面垂直，最后可得面面垂直；(2)利用体积转化法，可得V B−EB 1C 1F =V M−EB 1C 1F =13S EB 1C 1F ⋅MN ，再分别求MN ，S EB 1C 1F 即可求结论． 本题考查了空间位置关系，线面平行，线面垂直，面面垂直，体积公式，考查了运算能力和空间想象能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)显然a ≠0，f′(x)=a(1+lnx)，令f′(x)=0，解得x =1e ， 当a >0时，若0<x <1e ，f′(x)<0，f(x)为减函数； 若x >1e ，f′(x)>0，f(x)为增函数； ∴f(x)在x =1e 处取得极小值，∴f(1e )=−1e解得a =1当a <0时与题意不符，综上，a =1， (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=xlnx ，f′(x)=1+lnx ， ∴f′(x 0)=1+lnx 0， ∴1+lnx 0=f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1，即lnx 0=f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1−1，∴lnx 0−lnx 1=f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1−1−lnx 1=x 2lnx 2−x 2lnx 1x 2−x 1−1=−lnx 1x 21−x 1x 2−1，设x 1x 2=t ，t ∈(0,1)，则g(t)=−lnt 1−t−1=t−lnt+11−t，t ∈(0,1)令ℎ(t)=t −lnt +1，则ℎ′(x)=1−1t <0，ℎ(x)在t ∈(0,1)上递减， ∴ℎ(t)>ℎ(1)=1， 即t −lnt +1>0， 由1−t >0， ∴g(t)>0， 即lnx 0−lnx 1>0， ∴lnx 0>lnx 1， ∴x 0>x 1， 同理可证x 0<x 2， 故x 1<x 0<x 2．【解析】(Ⅰ)求函数的导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可得到结论．(Ⅱ)求出f′(x 0)后把lnx 0用lnx 1，lnx 2表示，再把lnx 0与lnx 1作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最小值大于0，从而得到lnx 1<lnx 0，运用同样的办法得到lnx 0<lnx 2，最后得到要证的结论； 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了通过构造函数，利用函数的单调性和极值证明不等式，是一道难度较大的综合题型．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =2cosϕy =2sinϕ，(φ为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4．直线l 的极坐标方程为：ρsin(α−θ)=sin(α−π)(0<α<π2)，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为y =tanα(x +1)(0<α<π2).(2)把直线的方程转换为参数方程为{x =−1+tcosαy =tsinα(t 为参数)，代入x 2+y 2=4．得到t 2−2cosαt −3=0， 所以t 1+t 2=2cosα，t 1t 2=−3， 由于S △BPO =2S △APO ， 所以|BP|=2|AP|， 即t 2=−2t 1，所以t 1=−2cosα，t 2=4cosα， 整理得cos 2α=38，故cosα=√64．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果； (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)由f(x)={1−3x,x ≤0x +1,0<x <13x −1,x ≥1，当x ≤0，由f(x)≥2⇒1−3x ≥2⇒x ≤−13； 当0<x <1，由f(x)≥2⇒x +1≥2⇒x ≥1(舍)； 当x ≥1，由f(x)≥2⇒3x −1≥2⇒x ≥1． 综上：x ≤−13或x ≥1，即不等式的解集为(−∞,−13]∪[1,+∞)． (2)由(1)可知A =1，则m +n =1， 由(1m +m)(1n+n)=(mn)2+m 2+n 2+1mn =(mn)2+(m+n)2−2mn+1mn=(mn)2−2mn+2mn=mn +2mn −2，由m +n ≥2√mn =mn ≤14⇒mn ∈(0,14], 当mn =14时，原式取最小值为254．第(2)问解法二：由(1)可知A =1，则m +n =1，∵(1m +m)(1n +n)=1mn +mn +n m +mn又∵mn =m(1−m)=−m 2+m(m ∈(0,1)) ∴mn ∈(0,14],∴当mn =14时，(1mn +mn)min =4+14=174．又nm +m n≥3√n m ⋅m n=2，当且仅当m =n =12时，等号成立．∴当m =n =12时，1mn +mn 和nm +mn 同时取得最小值． ∴(1mn +mn)的最小值是254．【解析】(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)求出A的值，可得m+n=1，可得(1m +m)(1n+n)=mn+2mn−2，由基本不等式可得mn≤14，由对勾函数的性质即可求解mn+2mn−2的最小值．本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高三数学文月考试卷含解析
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤。
其中正确命题的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．1参考答案：C2. 已知复数z=﹣2+i，则复数的模为（）A．1 B．C．D．2参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=﹣2+i代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z=﹣2+i，∴，则复数的模，故选：B．3. 如果实数x，y满足条件，那么2x-y的最大值为( )(A)2 (B)l(C) -2 (D) -3参考答案：B4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．πC．πD．12π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D 为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故选：C．5. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．2参考答案：B【考点】程序框图．【分析】已知b=8，判断循环条件，i＜8，计算循环中s，i，k，当x≥8时满足判断框的条件，退出循环，输出结果s即可．【解答】解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：6. 设{a n}是等比数列，则“a1<a2 <a4”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B 略7. 函数的图像向右平移一个单位长度，所得图像与曲线关于y轴对称，则=（）A．B．C．D．参考答案：D略8. 已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜2）=0.3，则P（2＜X＜4）的值等于（）A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4参考答案：D【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量X服从正态分布N（3，σ2），得到曲线关于x=3对称，根据曲线的对称性得到结论．【解答】解：随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴曲线关于x=3对称，∴P（2＜X＜4）=1﹣P（X＜2）=0.4，故选：D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．9. 若的展开式中项系数为20，则的最小值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1参考答案：C【知识点】均值定理二项式定理与性质【试题解析】的通项公式为：令12-3r=3，所以r=3．所以所以故答案为：C10. 执行如图所示的程序框图．则输出的所有点A.都在函数的图象上B.都在函数的图象上C.都在函数的图象上D.都在函数的图象上参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 二项式的展开式中的系数为60，则正实数__________参考答案：12. 双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）A.2B.C.D.4参考答案：B13. 设向量满足则参考答案：2因为所以14. 若某校老、中、青教师的人数分别为、、，现要用分层抽样的方法抽取容量为的样本参加普通话测试，则应抽取的中年教师的人数为_____________．参考答案：15. 已知角是函数在处切线的倾斜角，则参考答案：略16. 某程序框图如右图所示，现将输出（值依次记为若程序运行中输出的一个数组是则数组中的参考答案：3217. 函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”，下列函数中存在“倍值区间”的函数有________（填序号）.①；②；③；④参考答案：①③④考点：新定义，命题真假判断．【名师点睛】本题考查新定义问题，对新概念“倍值区间”的理解与转化是解题的关键．对新概念的两个条件中单调性比较容易处理，因此在考虑问题时先研究单调性，然后在单调区间内再考虑区间，“倍值区间”实质就是方程在单调区间内有两个不等的实根，特别是④，还要通过研究函数的单调性来确定其零点的存在性，这是零点不能直接求出时需采用的方法：证明存在性．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
《精编》黑龙江省哈尔滨市高三数学上学期第二次月考试题 文 新人教A版.doc
哈尔滨市第九中学2021届高三学年第二次月考数学〔文〕试题〔考试时间：120分钟 总分值：150分〕一、选择题〔此题共12小题，每题5分，共60分。
在以下各题的四个选项中，只有一项为哪一项最符合题意的〕 1．角α的终边过点()()4,30P m m m -≠，那么2sin cos αα+的值是A ． 11或-B ． 2255或-C ． 215或-D ． 25或-1 2．函数)20,0,0,)(sin()(πϕωϕω<<>>∈+=A R x x A x f 的局部图像如以下列图．那么)(x f 的解析式为.A )423sin(2)(π+=x x f.B )43sin(2)(π+=x x f.C )4523sin(2)(π+=x x f.D )63sin(2)(π+=x x f3．在ABC ∆中,c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边,假设,cos 2C b a =那么此三角形一定是 .A 等腰直角三角形.B 等腰三角形.C 直角三角形 .D 等腰三角形或直角三角形4．由函数)656(3sin 2ππ≤≤=x x y 与函数)(2R x y ∈=的图像围成一个封闭图形,那么这个封闭图形的面积为x34.πA 32.πB3.πCπ.D5． 假设扇形圆心角的弧度数为２，且扇形弧所对的弦长也是２，那么这个扇形的面积为.A21cos 1.B22sin 2.C 21sin 1.D 22cos 26． ()[]21=cos 112，，f x x x x -∈-，那么导函数()'f x 是 A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值，又有最小值的奇函数7．函数3=3+y x x c -的图象与x 轴恰有两个公共点，那么c ＝.A 11或- .B 93或- .C 22或- .D 31或-8．使函数)2cos(3)2sin()(θθ+++=x x x f 为奇函数，且在]4,0[π上是减函数的一个θ值是.A 3π.B35π .C 34π .D 32π9． α为第二象限角，sin cos αα+=，那么cos 2α=A ．B ． ．D ．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()2121>0f x f x x x --．那么有A ． ()()()20.320.3<2<log 5f f f B ． ()()()0.322log 5<2<0.3f f fC ． ()()()20.32log 5<0.3<2f f f D ． ()()()20.320.3<log 5<2f f f11．给出以下四个命题: ① 函数x y tan =在它的定义域内是增函数；② 假设βα,是第一象限角，且βα>，那么βαtan tan >；③ 函数|)32tan(|π+=x y 的最小正周期为2π;④ 函数x y tan 11+=的定义域是},4|{Z k k x x ∈+≠ππ．其中正确的命题个数是.A 4 .B 3 .C 2 .D 112． ()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-。