高考专项练习题3：简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词
(江苏专用)高考数学一轮复习 考点03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词必刷题(含解析)-人教版
考点03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1、已知命题“∃x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a≥0”为真命题，则实数a 的取值X 围是____．【答案】[－8，＋∞)【解析】原命题的否定为∀x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a<0.因为y ＝x 2＋2x 在区间[1，2]上单调递增，所以x 2＋2x≤8<－a ，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a 的取值X 围是a<－8的补集，即a≥－8，故a 的取值X 围是[－8，＋∞)．2、若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值X 围是________．【答案】[－22，22]【解析】因为“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.3、已知命题；命题是增函数.若“”为假命题且“”为真命题，则实数m 的取值X 围为_______.【答案】[1，2)【解析】命题p ：∀x ∈R ，x 2+1＞m ，解得：m ＜1；命题q ：指数函数f （x ）=（3-m ）x 是增函数，则3-m ＞1，解得：m ＜2，若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则p ，q 一真一假，p 真q 假时：无解， p 假q 真时： ，解得：1≤m＜2， 故答案为：[1，2）．4、现有下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”；②若集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则A ∩(∁R B )＝A ；③函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是φ＝k π＋π2(k ∈Z)； ④若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则b 与a －b 的夹角为60°.其中为真命题的是________．【答案】②③【解析】命题①假，因为其中的存在符号没有改；命题②真，因为∁R B ＝(－1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝A ；命题③真，若φ＝k π＋π2(k ∈Z)，则f (x )＝sin(ωx ＋k π＋π2)＝±cos ωx 为偶数；命题④假，因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以由三角形法则可得|a |， |b |的夹角为60°，b 与(a －b )的夹角为120°.所以填写答案为②③.5、已知命题p ：∃x ∈[0，π2]，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值X 围是________． 【答案】[－1,2]【解析】依题意，cos 2x ＋cos x －m ＝0在x ∈[0，π2]上恒成立，即cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2(cos x ＋14)2－98，由于x ∈[0，π2]，所以cos x ∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值X 围是[－1,2]．6、已知命题p 1：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0成立；p 2：对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题： ①(綈p 1)∧(綈p 2)；②p 1∨(綈p 2)；③(綈p 1)∧p 2；④p 1∧p 2.其中为真命题的是________(填序号)．【答案】③【解析】∵方程x 20＋x 0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 20＋x 0＋1<0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1.∴对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．∵綈p 1为真命题，p 2为真命题，∴(綈p 1)∧p 2为真命题． 7、设命题p ：函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32x是R 上的减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2－4x ＋3在区间[0，a ]上的值域为[－1，3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，某某数a 的取值X 围． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4 【解析】因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个命题为真命题．若命题p 为真，则0<a －32<1，所以32<a <52； 若命题q 为真，则g (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1，3]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2－4a ＋3≤3，解得2≤a ≤4. ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧32<a <52，a <2或a >4，所以32<a <2； ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ≤4，a ≤32或a ≥52， 所以52≤a ≤4. 综上所述，实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4. 8、已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p ：若α∥β，n ⊂α，m ⊂β，则m ∥n ；命题q ：若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；下面的命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．①p ∨q ；②p ∧q ；③p ∨綈q ；④綈p ∧q .【答案】①④【解析】∵命题p 是假命题，命题q 是真命题．∴綈p 是真命题，綈q 是假命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∨綈q 是假命题，綈p ∧q 是真命题．9、写出下列命题的否定，并判断真假．(1)∃x 0∈R ，x 20－4＝0；(2)∀T ＝2k π(k ∈Z)，sin(x ＋T )＝sin x ；(3)集合A 是集合A ∪B 或A ∩B 的子集；(4)a ，b 是异面直线，∃A ∈a ，B ∈b ，使AB ⊥a ，AB ⊥b .【解析】它们的否定及其真假分别为：(1)∀x ∈R ，x 2－4≠0(假命题)．(2)∃T 0＝2k π(k ∈Z)，sin(x ＋T 0)≠sin x (假命题)．(3)存在集合A 既不是集合A ∪B 的子集，也不是A ∩B 的子集(假命题)．(4)a ，b 是异面直线，∀A ∈a ，B ∈b ，有AB 既不垂直于a ，也不垂直于b (假命题)．10、命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，某某数a 的取值X 围．【答案】1≤a <2，或a ≤－2.【解析】设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，所以3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假． (1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所某某数a 的取值X 围为1≤a <2，或a ≤－2.11、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值X 围．【答案】0<a ≤12或a ≥1 【解析】由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，所以命题p 为真命题时a 的取值X 围是0<a <1，令y ＝x ＋|x －2a |，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2a x ≥2a ，2a x <2a .不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a >1，即a >12.即q 真⇔a >12.若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1，所以命题p 和q 有且只有一个命题为真命题时a 的取值X 围是0<a ≤12或a ≥1. 12、已知m ∈R ，设命题p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0恒成立；命题q ：∃x ∈[1，2]，log 12(x 2－mx ＋1)<－1成立，如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，某某数m 的取值X 围．【答案】{m |m <12或m ＝32} 【解析】若p 为真，则∀x ∈[－1, 1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立．设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，所以f (x )在区间[－1，1]上的最小值为－3，所以4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32， 所以当p 为真时，12≤m ≤32； 若q 为真，则∃x ∈[1，2], x 2－mx ＋1>2成立，所以∃x ∈[1，2]，m <x 2－1x成立． 设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ， 易知g (x )在区间[1，2]上是增函数，所以g (x )的最大值为g (2)＝32，所以m <32， 所以当q 为真时，m <32. 因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，所以p 与q 必是一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，所以m ＝32； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，所以m <12. 综上所述，m 的取值X 围是{m |m <12或m ＝32}. 13、已知命题函数在内恰有一个零点；命题函数在上是减函数，若为真命题，则实数的取值X 围是___________． 【答案】【解析】命题p ：函数f （x ）=2ax 2﹣x ﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点，则f （0）f （1）=﹣（2a ﹣2）＜0，解得a ＞1；命题q ：函数y=x 2﹣a 在（0，+∞）上是减函数，2﹣a ＜0，解得a ＞2．∴￢q ：a ∈（﹣∞，2]．∵p 且￢q 为真命题，∴p 与￢q 都为真命题，∴ 解得1＜a≤2．则实数a 的取值X 围是（1，2]．故答案为：（1，2]．14、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，某某数a 的取值X 围．【答案】(0，1]∪[4，＋∞).【解析】因为函数y ＝a x在R 上单调递增，所以命题p ：a >1.因为不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，所以a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4，所以命题q ：0<a <4.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以p ，q 中必是一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥4，解得a ≥4； 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <4，解得0<a ≤1. 综上所述，a 的取值X 围为(0，1]∪[4，＋∞).15、命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，某某数a 的取值X 围．【答案】1≤a <2，或a ≤－2【解析】设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，所以3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所某某数a 的取值X 围为1≤a <2，或a ≤－2.16、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值X 围．【答案】0<a ≤12或a ≥1 【解析】由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，所以命题p 为真命题时a 的取值X 围是0<a <1，令y ＝x ＋|x －2a |，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2a x ≥2a ，2a x <2a .不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a >1，即a >12.即q 真⇔a >12.若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1，所以命题p 和q 有且只有一个命题为真命题时a 的取值X 围是0<a ≤12或a ≥1. 17、已知命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解；命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋4>0恒成立．若命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，某某数a 的取值X 围．【答案】(－∞，0)∪[1，4)【解析】命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解，则a <1；由命题q 得，a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，解得0<a <4， 所以命题q ：0≤a <4.因为命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个真命题． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ≥4或a <0，解得a <0；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0≤a <4，解得1≤a <4. 综上所述，实数a 的取值X 围是(－∞，0)∪[1，4)．18、设：实数x 满足，：实数x 满足. （1）若，且p ∧q 为真，某某数x 的取值X 围； （2）若且是的充分不必要条件，某某数a 的取值X 围.【答案】（1）；（2）【解析】 (1)由得， 当时,，即为真时，. 由,得,得，即q 为真时，. 若为真,则真且真,所以实数的取值X 围是.(2)由得,，. 由,得,得. 设,,若p 是q 的充分不必要条件，则是的真子集，故，所以实数的取值X 围为.19、已知k 为实常数，命题p ：方程x 22k －1＋y 2k －1＝1表示椭圆；命题q ：方程x 24＋y 2k －3＝1表示双曲线. (1) 若命题p 为真命题，求k 的取值X 围；(2) 若命题“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求k 的取值X 围．【答案】(1) (1，＋∞) (2) (－∞，1]∪[3，＋∞)【解析】(1) 若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，k －1>0，2k －1≠k－1，解得k>1，即k 的取值X 围是(1，＋∞)．(2) 若命题q 为真命题，则k －3<0，即k<3.因为“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，所以p ，q 必是一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧k>1，k≥3， 解得k≥3； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧k≤1，k<3，解得k≤1. 综上所述，k 的取值X 围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．。
高考第一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习
高考第一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习一、选择题1．已知命题p ：3≥3，q ：3＞4，则下列选项正确的是( )．A ．“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“p ”为真B ．“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ”为真C ．“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“p ”为假D ．“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ”为假2．下列命题中，正确的是( )．A ．命题“任意的x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 2－x ≥0”B ．命题“p 且q 为真”是命题“p 或q 为真”的必要不充分条件C ．“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”的否命题为真D ．若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π43．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，设h (x )＝f (x )g (x )，则下列说法不正确的是( )．A ．存在x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x ) B ．任意的x ∈R ，f ⎝⎛⎫x －π2＝g (x ) C ．任意的x ∈R ，h (－x )＝h (x )D ．任意的x ∈R ，h (x ＋π)＝h (x )4．(2011广东深圳调研)若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则( )．A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 同真同假5．若命题p ：任意的x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ≤－3或a ≥2B ．a ≥2C ．a ＞－2D ．－2＜a ＜26．下列命题：①任意的x ∈R ，不等式x 2＋2x ＞4x －3均成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x ＞1；③“若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a ＞c b”的逆否命题是真命题； ④若命题p ：任意的x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：存在x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p 且(q )是真命题．其中真命题为( )．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题7．设命题p ：c 2＜c 和命题q ：任意的x ∈R ，x 2＋4cx ＋1＞0.若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是__________．8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，且p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为__________．9．(2012江西赣州联考)设有两个命题：p ：不等式21+4>>23xm x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立；q ：f (x )＝－(7－2m )x 是R 上的减函数，如果“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)存在x 0∈R ，2040x －＝；(2)任意的T ＝2k π(k ∈Z )，sin(x ＋T )＝sin x ；(3)集合A 是集合A ∪B 或A ∩B 的子集；(4)a ，b 是异面直线，存在A ∈a ，B ∈b ，使AB ⊥a ，AB ⊥b .11．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围．12．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式200220x ax a ＋＋，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1．D 解析：因为p 真，q 假，由含有逻辑联结词的命题的真值表可以判断，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，p 为假．2．C 解析：A 中否定不能有等号，B 中命题“p 且q 为真”是命题“p 或q 为真”的充分不必要条件，D 中概率计算错误，故选C.3．C 解析：对于A ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x ，g (x )＝sin x ，若f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )， 只需sin x ＝0，即x ＝k π，k ∈Z ，故存在x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )； 对于B ，f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x ＝g (x )，即任意的x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝g (x )，故B 正确； 对于C ，由于h (x )＝f (x )g (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x 为奇函数， 即h (－x )＝－h (x )，故C 不正确；对于D ，由h (x )＝12sin 2x 知，其最小正周期为π，故D 正确． 综上，A ，B ，D 正确，C 不正确，故选C.4．B 解析：命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则p 为假命题，q 为真命题．5．B 解析：依题意，a ＋2＞0且Δ＝16－4(a ＋2)(a －1)≤0，解得a ≥2.6．A 解析：由x 2＋2x ＞4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2＞0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知，要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立，需要x ＞1，故②正确；由a ＞b ＞0得0＜1a ＜1b ，又c ＜0，可得c a ＞c b，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 为真命题，所以p 且(q )为假命题，所以选A.二、填空题7．⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1 解析：p ：由c 2＜c 得0＜c ＜1； q ：由Δ＝16c 2－4＜0，得－12＜c ＜12. 要使p 和q 有且仅有一个成立，实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1. 8．[3,8) 解析：p (1)：3－m ＞0，即m ＜3.p (2)：8－m ＞0，即m ＜8.∵p (1)是假命题，p (2)是真命题，∴3≤m ＜8.9．1＜m ＜3 解析：p 为真命题，则有1＜m ≤4；q 为真命题，则有7－2m ＞1，即m ＜3，∴1＜m ＜3.三、解答题10．解：它们的否定及其真假分别为：(1)任意的x ∈R ，x 2－4≠0(假命题)．(2)存在T 0＝2k π(k ∈Z )，sin(x ＋T 0)≠sin x (假命题)．(3)存在集合A 既不是集合A ∪B 的子集，也不是A ∩B 的子集(假命题)．(4)a ，b 是异面直线，任意的A ∈a ，B ∈b ，有AB 既不垂直于a ，也不垂直于b (假命题)．11．解：由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4>0，x 1＋x 2＝－2m >0 得m ＜－1，∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p 或q 为真，p 且q 为假可知，命题p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2<m <3，此时－1≤m ＜3. ∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．12．解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 02＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p 或q ”为假命题，∴a ＞2或a ＜－2，即a 的取值范围为{a |a ＞2或a ＜－2}．。
1.3(2015文)简单的逻辑联结词,全称量词与存在量词(知识点)
1.3简单的逻辑联结词，全称量词与存在量词
1. 逻辑连接词
（1）一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”
（2）一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”
（3）一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”
（4）命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断，如下表：
2.全称量词与存在量词
（1）常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. （2）常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.
(3)全称量词用符号“”表示；存在量词用符号“”表示.
3.全称命题与特称命题
（1）含有全称量词的命题，叫做全称命题.“对中任意一个有成立”可
用符号简记为
(2) 含有存在量词的命题，叫做特称命题. “中存在元素有成立”
可用符号简记为
4.含有一个量词的命题的否定
注意：（1）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题
（2）命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论。
1.3简单的逻辑连接词,全称量词与存在量词
解析:命题 p:存在 x∈R,使 tan x=1 是真命题,命题 q:x -3x+2<0 的解集 是{x|1<x<2}也是真命题,∴ ①命题“p 且 q”是真命题;②命题“p 且(������ q)”是假 命题;③命题“(������ p)或 q”是真命题;④命题“(������ p)或(������ q)”是假命题,故应选 D.
1 2 2
5 2
2
解析:由 sin x= >1,可得命题 p 为假;由 x +x+1= ������ +
2
5
2
+ ≥ ,可得
4 4
3
3
命题 q 为真,则命题“p 且 q”是假命题;命题“p 且(������ q)”是假命题;命题“(������ p)且 q”是真命题;命题“(������ p)或(������ q)”是真命题.
1.命题 p:x2+y2<0;q:x2+y2≥0.下列命题为假命题的是( B ). A.p 或 q C.q B.p 且 q D.������ p
高考专题练习： 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断2.(1)全称量词和存在量词常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p∨q”的否定是“(﹁p)∧(﹁q)”，“p∧q”的否定是“(﹁p)∨(﹁q)”．(4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．()(2)命题p和﹁p不可能都是真命题．()(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．()(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区|(1)全称命题或特称命题的否定出错；(2)不会利用真值表判断命题的真假；(3)判断命题真假时忽视对参数的讨论．1．命题“正方形都是矩形”的否定是________．答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若1x＞1y，则x＜y.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨q中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q 为假命题；②p∨q为真命题；③﹁q为真命题，则p∧(﹁q)为真命题；④﹁p为假命题，则(﹁p)∨q为假命题．答案：②③3．若p：∀x∈R，ax2＋4x＋1>0是假命题，则实数a的取值范围为________．答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题是________．(填序号)①p1∧p4②p1∧p2③﹁p2∨p3④﹁p3∨﹁p4解析：方法一：对于p1，由题意设直线l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，则由l1∩l2＝A，知l1，l2共面，设此平面为α，由B∈l2，l2⊂α，知B∈α，由C∈l1，l1⊂α，知C∈α，所以l3⊂α，所以l1，l2，l3共面于α，所以p1是真命题．对于p2，当A，B，C三点不共线时，过A，B，C三点有且仅有一个平面；当A，B，C三点共线时，过A，B，C的平面有无数个，所以p2是假命题，﹁p2是真命题．对于p3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，﹁p3是真命题．对于p4，若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l，所以p4是真命题，﹁p4是假命题．故p1∧p4为真命题，p1∧p2为假命题，﹁p2∨p3为真命题，﹁p3∨﹁p4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p1，由题意设直线l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，则A，B，C三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A∈α，B∈α，C∈α，所以AB⊂α，BC⊂α，CA⊂α，即l1⊂α，l2⊂α，l3⊂α，所以p1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1C ．∀x ∈R ，2x －x 2＜1D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( )A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 15B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 15D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1.(2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 角度二 全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x ＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x ＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0 B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确； 当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误； 若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ． 2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－a4≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p 真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)[A级基础练]1．命题“∀x＞0，xx－1＞0”的否定是()A．∃x＜0，xx－1≤0B．∃x＞0，0≤x≤1C．∀x＞0，xx－1≤0 D．∀x＜0，0≤x≤1解析：选B．因为xx－1＞0，所以x＜0或x＞1，所以xx－1＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0，0≤x≤1，故选B．2．已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为()A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数解析：选D．由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．3．已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p∧q是真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B．充分性：若﹁p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则﹁p为假命题．所以“﹁p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．4．已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是()A．“p∨q”为真命题B．“p∧q”为真命题C．“﹁p”为真命题D．“﹁q”为假命题解析：选A．由a＞|b|≥0，得a2＞b2，所以命题p为真命题．因为x2＝4⇔x ＝±2，所以命题q为假命题．所以“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“﹁p”为假命题，“﹁q”为真命题．综上所述，可知选A．5．(2021·广州市阶段训练)已知命题p：∀x∈R，x2－x＋1＜0；命题q：∃x ∈R，x2＞2x.则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(﹁p)∧qC．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)解析：选B．当x＝1时，x2－x＋1＝1＞0，所以p为假命题，﹁p为真命题．当x＝3时，x2＞2x，所以q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q为假命题，(﹁p)∧q 为真命题，p∧(﹁q)为假命题，(﹁p)∧(﹁q)为假命题，故选B．6．已知命题p：f(x)＝x3－ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)＝x cos x的图象关于y轴对称．则下列命题为真命题的是()A．﹁p B．qC．p∧q D．p∧(﹁q)解析：选D ．对于f (x )＝x 3－ax ，有f (－x )＝(－x )3－a (－x )＝－(x 3－ax )＝－f (x )，为奇函数，其图象关于原点对称，所以p 为真命题；对于g (x )＝x cos x ，有g (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ＝－g (x )，为奇函数，其图象关于原点对称，所以q 为假命题，则﹁p 为假命题，p ∧q 为假命题，p ∧(﹁q )为真命题，故选D ．7．已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0，4]C ．[4，＋∞)D ．(0，4)解析：选D ．因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D ．8．设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )A ．p 为假命题B ．﹁q 为真命题C ．p ∨q 为真命题D ．p ∧q 为假命题解析：选C ．函数f (x )不是偶函数，仍然有∃x ∈R ，使得f (－x )＝f (x )，p 为假命题；f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥0），－x 2（x ＜0）在R 上是增函数，q 为假命题．所以p ∨q 为假命题，故选C ．9．已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x 的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨(﹁q )，其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C．由于Δ＝4a2＋4＞0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋4x的值为负值，故命题q为假命题．所以p∨q，p∧(﹁q)，(﹁p)∨(﹁q)是真命题，故选C．10．命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p可写为____________________．解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．答案：∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋111．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝________．解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3<x<－1，得x＝－2.答案：－212．已知命题p：f(x)＝1－2mx2在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q：不等式x2－2x>m－1的解集为R.若命题“p∨q”为真，则实数m的取值范围是________；若“p∧q”为假，则实数m的取值范围是________．解析：对于命题p，由f(x)＝1－2mx2在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，解得m<12；对于命题q，不等式x2－2x>m－1的解集为R等价于不等式(x－1)2>m 的解集为R，因为(x－1)2≥0恒成立，所以m<0.若p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，所以m<12；若p∧q为假，则p，q至少有一个为假．若p为假，则m≥12；若q为假，则m≥0，所以m≥0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [)0，＋∞ [B 级 综合练]13．(2020·河北九校第二次联考)下面有四个命题：①“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，e x 0≤0”；②命题“若θ＝π6，则cos θ＝32”的否命题是“若θ＝π6，则cos θ≠32”；③“ln m ＜ln n ”是“e m ＜e n ”的必要不充分条件；④若命题p 为真命题，q 为假命题，则p ∨q 为真命题．其中所有正确命题的序号是( )A ．①②④B ．①③C ．①④D ．②④解析：选C ．由全称命题的否定可知，命题①正确；否命题是对条件和结论都进行否定，故否命题应是“若θ≠π6，则cos θ≠32”，命题②错误；ln m ＜ln n⇒0＜m ＜n ⇒e m ＜e n ，e m ＜e n ⇒m ＜n ，当m ，n 均为负数时，ln m 和ln n 无意义，则推不出ln m ＜ln n ，因此“ln m ＜ln n ”是“e m ＜e n ”的充分不必要条件，所以命题③错误；当p 为真命题或q 为真命题时，命题p ∨q 就为真命题，命题④正确．故选C ．14．(2021·贵阳市四校联考)给出下列三个命题：①命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则﹁p ：∃x 0∈R ，sin x 0＞1；②在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则角A 与角B 相等；③命题：“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题是假命题． 以上正确命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：选C ．①中，根据全称命题的否定为特称命题，知﹁p ：∃x 0∈R ，sin x 0＞1，故①正确；②中，在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则有2A ＝2B 或2A ＋2B＝π，所以角A与角B相等或互余，故②错误；③中，因为命题：“若tan x＝3，则x＝π3”是假命题，所以其逆否命题是假命题，故③正确．综上所述，正确命题的序号是①③，故选C．[C级提升练]15．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(﹁q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为()A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名解析：选D．由(﹁q)∧r是真命题，得﹁q为真命题，q为假命题(乙没得第二名)，且r为真命题(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假命题，只能p 为真命题(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D．16．能够说明命题p：∃x0∈R，x20＋2ax0＋a≤0是假命题的一个实数a是________．解析：因为p为假命题，所以﹁p为真命题．又﹁p：∀x∈R，x2＋2ax＋a＞0，故Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1，可取a＝12(区间(0，1)内的数均可)．答案：12(答案不唯一，在区间(0，1)内任一数均可)。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(解析版)
考点03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是()A．∀x∈R，x2－πx＜0B．∀x∈R，x2－πx≤0C．∃x0∈R，x20－πx0≤0 D．∃x0∈R，x20－πx0＜0【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R，x20－πx0＜0”．故选D. 2．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数【答案】C【解析】.将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题，因此“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，所以选C.3．下列命题错误的是（）A．命题“ ，”的否定是“，”;B．若是假命题，则，都是假命题C．双曲线的焦距为D．设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且【答案】B【解析】对于选项A，由于特称命题的否定是特称命题，所以命题“ ，”的否定是“，”，是正确的.对于选项B, 若是假命题，则，至少有一个是假命题，所以命题是假命题.对于选项C, 双曲线的焦距为2c=2,所以是真命题.对于选项D, 设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且,是真命题.故答案为：B.4．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是()A．(¬p)∨(¬q)为真命题B．p∨(¬q)为真命题C．(¬p)∧(¬q)为真命题D．p∨q为真命题【答案】A【解析】.命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题¬p是“第一次射击没击中目标”，命题¬q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(¬p)∨(¬q)为真命题，故选A.5．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞) B．(－∞，3) C．(1，3) D．【答案】C【解析】由“”是真命题可知命题p,q均为真命题，若命题p为真命题，则：，解得：，若命题q为真命题，则：，即，综上可得，实数a的取值范围是，表示为区间形式即.本题选择C选项.6．已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】.充分性：若2a＞2b，则2a－b＞1，∴a－b＞0，即a＞b.当a＝－1，b＝－2时，满足2a＞2b，但a2＜b2，故由2a＞2b不能得出a2＞b2，因此充分性不成立．必要性：若a2＞b2，则|a|＞|b|.当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但2－2＜21，即2a＜2b，故必要性不成立．综上，“2a＞2b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．故选D.7．已知命题，使；命题，都有，下列结论中正确的是A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧q”是真命题C．命题“p∧q”是真命题D．命题“p∨q”是假命题【答案】A【解析】由判断，所以为假命题；命题，所以为真命题，所以命题“p∧q”是真命题，故选A．8．已知命题p ：存在x 0∈R ，x 0－2＞lg x 0；命题q ：任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0.给出下列结论： ①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且¬q ”是假命题； ③命题“¬p 或q ”是真命题；④命题“p 或¬q ”是假命题． 其中所有正确结论的序号为( ) A ．②③ B ．①④ C ．①③④ D ．①②③【答案】D【解析】对于命题p ，取x 0＝10，则有10－2＞lg 10，即8＞1，故命题p 为真命题；对于命题q ，方程x 2＋x ＋1＝0，Δ＝1－4×1＜0，故方程无解，即任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0，所以命题q 为真命题．综上“p 且q ”是真命题，“p 且¬q ”是假命题，“¬p 或q ”是真命题，“p 或¬q ”是真命题，即正确的结论为①②③.故选D.9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．0＜a ＜12C.12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1【答案】A【解析】.因为函数f (x )过点(1，0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合可得a ≤0或a ＞1.观察选项，根据集合间的关系{a |a ＜a |a ≤0或a ＞1}，故选A.10．下列命题正确的是（ ） A ． 命题的否定是：B ． 命题中，若，则的否命题是真命题C ． 如果为真命题，为假命题，则为真命题，为假命题D ．是函数的最小正周期为的充分不必要条件【答案】D【解析】在A 中，命题的否定是：，故A 错误；在B 中，命题中，若，则的否命题是假命题，故B 错误；在C 中，如果为真命题，为假命题，则与中一个是假命题，另一个是真命题，故C 错误；在D 中，∴ω=1⇒函数f （x ）=sin ωx-cos ωx 的最小正周期为2π，函数f （x ）=sin ωx-cos ωx 的最小正周期为2π⇒ω=±1．∴是函数的最小正周期为的充分不必要条件，故D 正确．故选：D ．11．设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】.|a －3b |＝|3a ＋b |⇔|a －3b |2＝|3a ＋b |2⇔a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2⇔2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故选C.12．(2018·温州模拟)下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2 D ．a 3＞b 3【答案】A【解析】.由选项中的不等式可得a ＞b ，a ＞b 推不出选项中的不等式．选项A 中，a ＞b ＋1＞b ，反之a ＞b 推不出a ＞b ＋1；选项B 中，a ＞b ＞b －1，反之a ＞b －1推不出a ＞b ，为必要不充分条件；选项C 为既不充分也不必要条件；选项D 为充要条件，故选A.13．已知命题p ：对任意x ∈(0，＋∞)，log 4x ＜log 8x ；命题q ：存在x ∈R ，使得tan x ＝1－3x ，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(¬p )∧(¬q ) C ．p ∧(¬q ) D ．(¬p )∧q 【答案】D【解析】.当x ＝1时，log 4x ＝log 8x ，所以命题p 是假命题；函数y ＝tan x 的图象与y ＝1－3x 的图象有无数个交点，所以存在x ∈R ，使得tan x ＝1－3x ，即命题q 是真命题，故(¬p )∧q 是真命题，选D. 14．有关下列说法正确的是( )A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的必要不充分条件B ．若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＞0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2－x －1＜0 C ．命题“若x 2－1＝0，则x ＝1或x ＝－1”的否命题是“若x 2－1≠0，则x ≠1或x ≠－1” D ．命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p ∧q )∨(¬q ∧p )为真命题 【答案】D【解析】对于A ，由f (0)＝0，不一定有f (x )是奇函数，如f (x )＝x 2；反之，函数f (x )是奇函数，也不一定有f (0)＝0，如f (x )＝1x.∴“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的既不充分也不必要条件．故A 错误；对于B ，若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＞0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2－x －1≤0.故B 错误；对于C ，命题“若x 2－1＝0，则x ＝1或x ＝－1”的否命题是“若x 2－1≠0，则x ≠1且x ≠－1”．故C 错误；对于D ，若命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题，不妨设p 为真命题，q 为假命题，则¬p ∧q 为假命题，¬q ∧p 为真命题，则(¬p ∧q )∨(¬q ∧p )为真命题；反之，若(¬p ∧q )∨(¬q ∧p )为真命题，则¬p ∧q 或¬q ∧p 至少有一个为真命题．若¬p ∧q 真，¬q ∧p 假，则p 假q 真；若¬p ∧q 假，¬q ∧p 真，则p 真q 假；不可能¬p ∧q 与¬q ∧p 都为真．故命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p ∧q )∨(¬q ∧p )为真命题．故选D.15．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m 的最大值为________． 【答案】1【解析】由x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3可得－1≤tan x ≤ 3.∴1≤tan x ＋2≤2＋3，∵“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，∴实数m 的最大值为1.16．已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}．现有以下结论： ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧¬q ”是假命题； ③命题“¬p ∨q ”是真命题；④命题“¬p ∨¬q ”是假命题． 其中正确结论的序号为________． 【答案】①②③④【解析】∵当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题，命题¬p 为假命题． 由x 2－3x ＋2＜0，解得1＜x ＜2， ∴命题q 为真命题，命题¬q 为假命题．∴命题“p ∧q ”是真命题，命题“p ∧¬q ”是假命题，命题“¬p ∨q ”是真命题，命题“¬p ∨¬q ”是假命题． 17．已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)【解析】已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题， ∴原命题的否定是“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，显然a ≠0.∴f (1)f (0)＜0， 即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)＜0， 即(a －1)2(2a －1)＞0， 解得a ＞12，且a ≠1，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)．18．设p ：实数a 满足不等式3a ≤9，q ：函数f (x )＝13x 3＋3（3－a ）2x 2＋9x 无极值点．已知“p ∧q ”为真命题，并记为r ，且t ：a 2－⎝⎛⎭⎫2m ＋12a ＋m ⎝⎛⎭⎫m ＋12＞0，若r 是¬t 的必要不充分条件，则正整数m 的值为________． 【答案】1【解析】若p 为真，则3a ≤9，得a ≤2.若q 为真，则函数f (x )无极值点，∴f ′(x )＝x 2＋3(3－a )x ＋9≥0恒成立， 得Δ＝9(3－a )2－4×9≤0，解得1≤a ≤5. ∵“p ∧q ”为真命题， ∴p 、q 都为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，1≤a ≤5⇒1≤a ≤2. ∵a 2－⎝⎛⎭⎫2m ＋12a ＋m ⎝⎛⎭⎫m ＋12＞0， ∴(a －m )⎣⎡⎦⎤a －⎝⎛⎭⎫m ＋12＞0， ∴a ＜m 或a ＞m ＋12，即t ：a ＜m 或a ＞m ＋12，从而¬t ：m ≤a ≤m ＋12，∵r 是¬t 的必要不充分条件， ∴¬t ⇒r ，r ⇒/ ¬t ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m ＋12＜2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，m ＋12≤2， 解得1≤m ≤32，又∵m ∈N *，∴m ＝1.。
高考数学一轮复习专题训练—简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲要求 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.2.已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 B解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题.3.命题：“∃x0∈R，x20－ax0＋1<0”的否定为________.答案∀x∈R，x2－ax＋1≥04.(2020·唐山模拟)已知命题p：f(x)＝x3－ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)＝x cos x的图象关于y轴对称.则下列命题为真命题的是()A.綈pB.qC.p∧qD.p∧(綈q)答案 D解析根据题意，对于f(x)＝x3－ax，有f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝－(x3－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，p为真命题；对于g(x)＝x cos x，有g(－x)＝(－x)cos(－x)＝－x cos x，为奇函数，其图象关于原点对称，q为假命题，则綈p为假命题，q为假命题，p∧q 为假命题，p∧(綈q)为真命题.5.(2021·郑州质检)已知命题p：∀x>0，3x>1；命题q：若a<b，则a2<b2，下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(綈q)C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)答案 B解析p：∀x>0，3x>1为真命题，则綈p为假命题，取a＝－2，b＝－1，则a2>b2，所以q为假，綈q为真命题，因此p ∧(綈q )为真命题.6.(2021·合肥调研)能说明命题“∀x ∈R 且x ≠0，x ＋1x ≥2”是假命题的x 的值可以是________(写出一个即可). 答案 －1(任意负数) 解析 当x >0时，x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号， 当x <0时，x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号， ∴x 的取值为负数即可，例如x ＝－1.考点一 含有逻辑联结词的命题1.(2020·西安检测)已知命题p ：若a >|b |，则a 2>b 2；命题q ：m ，n 是直线，α为平面，若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n .下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.p ∧(綈q ) C.(綈p )∧q D.(綈p )∧(綈q )答案 B解析 若a >|b |，则a 2>b 2，∴p 真，对于命题q ：由m ∥α，n ⊂α，则m 与n 异面或平行，∴q 假，则綈q 为真，因此p ∧(綈q )为真命题.2.(2021·成都调研)已知命题p ：函数y ＝2sin x ＋sin x ，x ∈(0，π)的最小值为22；命题q ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0.下列命题为真命题的是( ) A.(綈p )∧q B.p ∨q C.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q )答案 D解析命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y>22sin x·sin x＝22，等号取不到，所以命题p是假命题.命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以綈p为真，綈q为真.因此，只有(綈p)∧(綈q)为真命题.3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(綈p)∨(綈q)B.p∧(綈q)C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q答案 A解析命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q).4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1∧p4；②p1∧p2；③綈p2∨p3；④綈p3∨綈p4.答案 ①③④解析 p 1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p 1为真命题；p 2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p 3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p 4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知綈p 2，綈p 3， 綈p 4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题. 感悟升华 1.“p ∨q ”，“p ∧q ”，“綈p ”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题的真假.2.p ∧q 形式是“一假必假，全真才真”，p ∨q 形式是“一真必真，全假才假”，綈p 与p 的真假性相反.考点二 全称量词与存在量词【例1】 (1)(2021·江南十校联考)已知f (x )＝sin x －tan x ，命题p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)<0，则( )A.p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 B.p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 C.p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 D.p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 (2)已知命题p ：∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫13x，命题q ：∃x ∈R ，2x ＋21－x ＝22，则下列命题中是真命题的是( ) A.p ∧qB.(綈p )∧qC.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q )答案 (1)C (2)A解析 (1)当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，sin x <1，tan x >1. 此时sin x －tan x <0，故命题p 为真命题.由于命题p 为特称命题，所以命题p 的否定为全称命题， 则綈p 为：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0. (2)由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x的图象的位置关系， 知∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫13x成立，p 为真命题. 又2x ＋21－x ≥22x ·21－x ＝22，当且仅当2x ＝21－x ，即x ＝12时，上式取等号，则q 为真命题.因此p ∧q 为真命题.感悟升华 1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.【训练1】 (1)已知集合A 是奇函数集，B 是偶函数集.若命题p ：∀f (x )∈A ，|f (x )|∈B ，则綈p 为( )A.∀f (x )∈A ，|f (x )|∉BB.∀f (x )∉A ，|f (x )|∉BC.∃f (x )∈A ，|f (x )|∉BD.∃f (x )∉A ，|f (x )|∉B(2)(2020·兰州诊断)已知命题p ：“∃x 0∈R ，1x 0＋1>0”的否定是“∀x ∈R ，1x ＋1<0或x ＋1＝0”；命题q ：“x <2 021”的一个充分不必要条件是“x <2 020”，则下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.綈q C.p ∧(綈q ) D.(綈p )∧q答案 (1)C (2)A解析 (1)全称命题的否定为特称命题需：改写量词，否定结论. ∴綈p ：∃f (x )∈A ，|f (x )|∉B .(2)命题p ：“∃x 0∈R ，1x 0＋1>0”的否定是“∀x ∈R ，1x ＋1<0或x ＋1＝0”，故命题p 是真命题.命题q ：“x <2 021”的一个充分不必要条件是“x <2 020”，为真命题. 故p ∧q 为真命题，其余为假命题. 考点三 由命题的真假求参数【例2】 (1)已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(綈p )∧q 为真命题，则x 的值为( ) A.1 B.－1 C.2D.－2(2)(经典母题)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________. 答案 (1)D (2)⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 (1)因为綈p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(綈p )∧q 为真，所以綈p 与q 同时为真. 由2x≥3x，得⎝⎛⎭⎫23x≥1，所以x ≤0.①由x 2＝2－x ，得x ＝1或x ＝－2.② 由①②知x ＝－2.(2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0， 当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ， 得0≥14－m ，所以m ≥14.【迁移】 本例(2)中，若将“∃x 2∈[1，2]”改为“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是______________________________________. 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，对∀x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.感悟升华 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练2】 (2021·豫北名校联考)已知p ：函数f (x )＝x 2－(2a ＋4)x ＋6在(1，＋∞)上是增函数，q ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋2a －3>0，若p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围为________. 答案 (－∞，－1]解析 依题意，p 为真命题，綈q 为真命题. 若p 为真命题，则2a ＋42≤1，解得a ≤－1.①若綈q 为真命题，则∃x 0∈R ，x 20＋ax 0＋2a －3≤0成立. ∴a 2－4(2a －3)≥0，解之得a ≥6或a ≤2.②结合①②，知a ≤－1，即实数a 的取值范围是(－∞，－1].A级基础巩固一、选择题1.命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为()A.∀x>1，x2－1≤0B.∀x≤1，x2－1≤0C.∃x0>1，x20－1≤0D.∃x0≤1，x20－1≤0答案 C解析命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p：∃x0>1，x20－1≤0.2.(2020·贵阳检测)给出两个命题：p：“事件A与事件B对立”的充要条件是“事件A与事件B 互斥”；q：偶函数的图象一定关于y轴对称，则下列命题是假命题的是()A.p∨qB.p∧qC.(綈p)∨qD.(綈p)∧q答案 B解析由于“事件A与事件B对立”是“事件A与事件B互斥”的充分不必要条件，故命题p 是假命题.又q为真命题，因此p∨q，(綈p)∨q，(綈p)∧q均为真命题，p∧q为假命题.3.命题“∃x0∈R，1<f(x0)≤2”的否定形式是()A.∀x∈R，1<f(x)≤2B.∃x0∈R，1<f(x0)≤2C.∃x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)>2D.∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2答案 D解析 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为：∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2. 4.已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A.(－∞，0)B.[0，4]C.[4，＋∞)D.(0，4)答案 D解析 因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定为“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题.则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4.5.命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为( ) A.p ∧q B.p ∨q C.p ∧(綈q ) D.綈q 答案 B解析 由于y ＝log 2(x －2)的单调递增区间是(2，＋∞)， 所以命题p 是假命题.由3x >0，得3x ＋1>1，所以0<13x ＋1<1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1)，故命题q 为真命题，綈q 为真命题.所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题.6.已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，1 B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)答案 D解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1， 命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题， ∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0， ∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞).7.已知命题p ：∀x >0，e x >x ＋1，命题q ：∃x ∈(0，＋∞)，ln x ≥x ，则下列命题正确的是( ) A.p ∧q B.(綈p )∧q C.p ∧(綈q ) D.(綈p )∧(綈q )答案 C解析 令f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时， f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0，即e x >x ＋1，则命题p 真； 令g (x )＝ln x －x ，x >0，则g ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0， 即当x ＝1时，g (x )取得极大值，也是最大值， 所以g (x )max ＝g (1)＝－1<0，∴g (x )<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q 假， 因此綈q 为真，故p ∧(綈q )为真.8.已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A.[e ，4]B.(－∞，e]C.[e ，4)D.[4，＋∞)答案 A解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题.由∀x ∈[0，1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4. 二、填空题9.命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是____________. 答案 ∃x 0∈R ，f (x 0)·g (x 0)＝0解析 命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是“∃x 0∈R ，f (x 0)·g (x 0)＝0”.10.若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m 的最大值为________. 答案 1解析 由x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，得1≤tan x ＋2≤2＋ 3. ∵“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则m ≤1. ∴实数m 的最大值为1.11.下列四个命题：p 1：任意x ∈R ，2x >0；p 2：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0；p 3：任意x ∈R ， sin x <2x ；p 4：存在x ∈R ，cos x >x 2＋x ＋1.其中是真命题的为________. 答案 p 1，p 4解析 ∀x ∈R ，2x >0恒成立，∴p 1是真命题. 又x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0，∴p 2是假命题.由sin ⎝⎛⎭⎫－32π＝1>2－32π，∴p 3是假命题. 取x ＝－12时，cos ⎝⎛⎭⎫－12>cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝32， 但x 2＋x ＋1＝34<32，∴p 4为真.综上，p 1，p 4为真命题，p 2，p 3是假命题.12.(2021·安徽六校联考)若命题“∃x 0∈R ，使得k >x 20＋1成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________. 答案 (－∞，1]解析 “∃x 0∈R ，使得k >x 20＋1成立”是假命题等价于“∀x ∈R ，都有k ≤x 2＋1恒成立”是真命题.因为x 2＋1≥1，即x 2＋1的最小值为1，要使k ≤x 2＋1恒成立，只需k ≤(x 2＋1)min ，即k ≤1.B 级 能力提升13.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D.∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20 答案 D解析 改变量词，否定结论.∴该命题的否定应为：∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20.14.(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题 ①p ∨q ；②綈p ∨q ；③p ∧綈q ；④綈p ∧綈q . 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.③④答案 A解析 由不等式组画出平面区域D ，如图阴影部分所示，在图中画出直线2x ＋y ＝9，可知p 为真命题，綈p 为假命题，作出直线2x ＋y ＝12，2x ＋y ≤12表示直线及其下方区域，易知命题q 为假命题；命题綈q 为真命题；∴p ∨q 为真，綈p ∨q 为假，p ∧綈q 为真，綈p ∧綈q 为假. 故真命题的编号为①③.15.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解；命题q ：若m ＝19，则f [f (－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是____________(填序号).①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∧(綈q ). 答案 ②解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0， 所以命题p 为假命题，命题綈p 为真命题； 当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f [f (－1)]＝f ⎝⎛⎭⎫13＝19－f ⎝⎛⎭⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，命题綈q 为假命题； 逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题.16.已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q为假命题，则实数m的取值范围为________.答案(－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析由命题p：∃x0∈R，(m＋1)(x20＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，得Δ＝m2－4<0，可得－2<m<2，若p∧q为真命题，则－2<m≤－1，因为p∧q为假命题，所以m≤－2或m>－1.。
fhmw简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
2给定命题p：对任意实数x都有ax2 ax 1 0成立， q : 关于x的方程x 2 x a 0有实根，如果p q为真命题。 p q为假命题，求实数a的取值范围
3设p : 实数x满足x 4ax 3a 0, 其中a>0,q:实数
2 2
x满足
｛x
x2 x 6 0
x
练习：1“全等三角形的面积一定都相等”的否定：
常见词语的否定形式有: 原 语 是 都是 > 句 否 定 不 不都 ≤ 形 是 是 式
至少 有 一个 一个 也 没有
至多 有 一个 至少 有 两个
对任意 x∈ A 使 p(x)真 存在 x0∈A 使 p(x0)假
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1.含“或”“且”“非”命题真假的判断 (1)对于“p∧q”命题:一假则假,都真才真.
例 1 已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=c 在 R 上单调递减;q:函数
x
1 2 f(x)=x -2cx+1 在 , 上为增函数,若 “p∧q” 为假, “p∨q” 2
为真,求实数 c 的取值范围.
解:∵函数 y=c 在 R 上单调递减,∴0<c<1.即 p:0<c<1. ∵c>0 且 c≠1,∴ p:c>1.
第3节
简单的逻辑联结词、全称量词与
存在量词
2.理解全称量词与存在量 最新考纲 词的意义. 1.了解逻辑联结词 “或” “且” 3.能正确地对含有一个量 “非”的含义. 词的命题进行否定.
高考数学专题知识突破：考点3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考点简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1) 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联接词．(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(4) 一个命题p的否定记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．2.复合命题及其真假判断(1) 复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．(2) 复合命题p∧q，p∨q，非p以及其真假判断：简记为：p∧q中p、q有假则假，同真则真；p∨q有真为真，同假则假；p与¬p必定是一真一假．3. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．4. 含有一个量词的命题的否定x ∈M ，p (x )，，典例剖析题型一 含有一个量词的命题的否定例1 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是_________________________． 答案 任意一个无理数，它的平方不是有理数解析 根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．变式训练 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，则p 是________．答案 存在x ∈A,2x ∉B解析 命题p ：任意x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定p 应为：存在x ∈A,2x ∉B . 解题要点 ①要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”；②在写出全称命题（或存在性命题）的否定时，一般要在两个地方做出变化：一是量词符号，全称量词要改为存在量词，存在量词要改为全称量词；二是命题中结论要进行否定． ③弄清命题的否定与否命题的区别“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论.题型二 复合命题真假判断例2 下列命题中的假命题是________．①存在x ∈R ，sin x ＝52②存在x ∈R ，log 2x ＝1 ③任意x ∈R ，(12)x >0 ④任意x ∈R ，x 2≥0 答案 ①解析 因为任意x ∈R ，sin x ≤1<52，所以①是假命题；对于②，存在x ＝2，log 2x ＝1；对于③，根据指数函数图象可知，任意x ∈R ，(12)x >0；对于④，根据二次函数图象可知，任意x ∈R ，x 2≥0.变式训练 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．①p∧q②p∧q③p∧q④p∧q答案④解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、p为假命题，q为真命题，p∧q、p∧q为假命题，p∧q为真命题，故选④.解题要点若要判断一个含有逻辑联结词的命题即复合命题的真假，其步骤如下：(1)判断复合命题的结构；(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；(3)依据“或”——有真则真，“且”——有假则假，“非”——真假相反，作出判断即可．题型三由命题真假求参数范围例3命题“存在x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．答案[－22，22]解析由题可知原命题的否定“任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－22≤a≤2 2.变式训练已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋2ax ＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案{a|a≤－2或a＝1}解析由题意知，p为真，则a≤1；q为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实数解，从而Δ≥0，解得a≤－2或a≥1，∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，∴a≤－2或a＝1.解题要点以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先求出两命题分别为真时参数满足的条件，然后依据“p且q”“p或q”“￢p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解．当堂练习x≥”的否定为．1. 命题“对任意x∈R,都有202．若p，q是两个简单命题，且“p或q”是假命题，则必有．(填序号)①p真q真②p真q假③p假q假④p假q真3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是．(填序号)①￢p或q②p且q③￢p且￢q④￢p或￢q4．已知p：2＋2＝5，q：3>2，则下列判断正确的是．(填序号)①“p或q”为假，“非q”为假②“p或q”为真，“非q”为假②“p且q”为假，“非p”为假④“p且q”为真，“p或q”为假5．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(￢q)；④(￢p)∨q中，真命题是．课后作业1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是_______．(填序号)①不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 ②存在x∈R，x3－x2＋1≤0③存在x∈R，x3－x2＋1>0 ④对任意的x∈R，x3－x2＋1>02．下列命题中正确的是_______．(填序号)①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题②“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件③命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”④已知命题p：x∈R，x2＋x－1<0，则￢p：∃x∈R，x2＋x－1≥03．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是_______．(填序号)①p∧q②￢p∧￢q③￢p∧q④p∧￢q4．已知命题p：x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则￢p为____________________．5．对于下述两个命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形；q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“￢p”中真命题的个数为_______．6．下列命题中的假命题是_______．(填序号)①x∈R，2x－1>0 ②x∈N*，(x－1)2>0 ③x∈R，lg x<1 ④x∈R，tan x＝2 7．若命题“x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是_______．答案[2,6]8．已知命题p：x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：x∈R，使sin x＋cos x＝2，则下列判断：①p且q是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④非p是真命题其中正确的是_______．(填序号)9．命题“x∈R，|x|≤0”的否定是“________________”．10．若命题“x∈R使x2＋2x＋m≤0”是假命题，则m的取值范围是______________．11．命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．12．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为________________________．13．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．当堂练习1. 答案对任意x∈R,使得20x<2．答案③解析∵“p或q”为假命题，∴p，q均为假命题.3．答案④解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而￢p或￢q为真命题.4．答案②解析∵p为假命题，q为真命题，∴p或q真，非q假.5．答案②③解析当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而￢p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而￢q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(￢q)为真命题；④(￢p)∨q为假命题．课后作业1．答案③2．答案②解析若p∨q为真命题，则p，q有可能一真一假，此时p∧q为假命题，故①错；易知由“x＝5”可以得到“x2－4x－5＝0”，但反之不成立，故②正确；选项③错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故④错．3．答案④解析依题意，命题p是真命题．由x＞2⇒x＞1，而x＞1x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则￢q是真命题，p∧￢q是真命题，选④.4．答案∀x∈R，x2＋2x＋2>0解析根据含有量词的命题的否定形式，所以该题中￢p为：x∈R，x2＋2x＋2>0. 5．答案 1解析由题可得p假q假，∴p∧q，p∨q均为假命题，￢p为真命题.6．答案②解析①项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；②项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾；③项，当x＝110时，lg 110＝－1<1；④项，当x∈R时，tan x∈R，∴x∈R，tan x＝2.故选②. 7．答案[2,6]解析 ∵命题“x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，∴命题“x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m 2－4(2m －3)≤0，∴2≤m ≤6.8．答案 ②④解析 由题意知p 假q 真，故②④正确.9．答案 x ∈R ，|x |>0解析 根据“x ∈M ，p (x )”的否定为“x ∈M ，p (x )”可直接写出答案． 10．答案 m ＞1解析 由题意得x 2＋2x ＋m ＞0恒成立，∴4－4m ＜0，得m ＞1.11．答案 存在k >0，方程x 2＋x －k ＝0无实根12．答案 存在两个等边三角形，它们不相似13．答案 [－8, 0]解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a <0. 综上，－8≤a ≤0.。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.答案 doc
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：p ，q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即有真为真． (2)p ∧q ：p ，q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即有假即假． (3)綈p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则綈q ”，否命题是“若綈p ，则綈q ”．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．( √ ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ ) (3)若命题p ，q 中至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．( √ ) (4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )(5)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( × ) 题组二 教材改编2．[P18B 组]已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题． 3．[P28T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是_______________________________． 答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形 题组三 易错自纠4．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由綈p 为真知，p 为假，可得p ∧q 为假；反之，若p ∧q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件，故选A. 5．下列命题中， 为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，－x 2－1<0B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0 D ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0 答案 A6．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1 解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x＋1的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．p ∧(綈q )D ．綈q 答案 B 解析 函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p 为假命题．由3x >0，得0<13x ＋1<1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，故命题q 为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题．故选B.2．(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q ) 答案 B解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题． ∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题．故选B.3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号)答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交． 思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假典例 (2017·韶关南雄二模)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2 答案 B解当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B. 命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＞0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫130x ＜0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 D ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫130x ≤0答案 D解析 全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R,1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R,1＜f (x )≤2B ．∃x 0∈R,1＜f (x 0)≤2C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 答案 D 解析 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2”．思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题中的真命题是( )A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝32 B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x 答案 B解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；设f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0， ∴∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，即e x >x ＋1，故B 正确；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，sin x <cos x ，故D 错误．故选B. (2)(2017·福州质检)已知命题p ：“∃x 0∈R ， －x 0－1≤0”，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ， －x 0－1≥0B ．∃x 0∈R ， －x 0－1>0C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0答案 C 解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C. 题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．答案 [－12，－4]∪[4，＋∞) 解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真，∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ， 由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是______答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． 跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞) D ．(－3,1) 答案 B解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D D ．[－2,2] 答案 A 解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时， 则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断0e x 0e x 0e x典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立． 答案 B(2)(2018届全国名校大联考)已知命题p ：∀x ∈R,3x <5x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q ) D ．(綈p )∧(綈q ) 答案 B解析 若x ＝0，则30＝50＝1，∴p 是假命题，∵方程x 3＝1－x 2有解，∴q 是真命题，∴(綈p )∧q 是真命题．二、充要条件的判断：典例2 (1)(2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知命题甲是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2＋xx －1≥0”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则下列说法正确的是( )A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析 x 2＋xx －1≥0等价于x (x ＋1)(x －1)≥0且x ≠1，解得－1≤x ≤0或x >1.由log 3(2x ＋1)≤0，得0<2x ＋1≤1，得－12<x ≤0.∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B.(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C. 三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析 命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0. 答案 (－∞，0]课时达标 第3讲一、选择题1．(2016·浙江卷)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2D 解析 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．故选D.2．(2019·北京朝阳期中)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞0；命题q ：在曲线y ＝cos x 上存在斜率为2的切线，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题解析 易知命题p 是真命题，对于命题q ，y ′＝－sin x ，设切点坐标为(x 0，cos x 0)，则切线斜率k ＝－sin x 0≠2，即不存在x 0∈R ，使得－sin x 0＝2，所以命题q 为假命题，所以綈q 为真命题，所以p ∧(綈q )是真命题，故C 项正确．3．(2019·忻州二中期末)已知命题p ：x ＞2是x 2＞4的充要条件，命题q ：若a c 2＞b c2，则a ＞b ，那么( )A ．“p 或q ”为真B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假 A 解析 由已知得命题p 是假命题，命题q 是真命题，根据真值表可知A 项正确． 4．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧(綈q )是假命题C ．命题(綈p )∨q 是真命题D ．命题(綈p )∧(綈q )是假命题D 解析 取x 0＝π4，有tan π4＝1，故命题p 是真命题；当x ＝0时，x 2＝0，故命题q 是假命题．再根据复合命题的真值表，知D 项正确．5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D 解析 命题p 的否定是綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1<0成立，即不等式ax 2＋ax ＋1<0有解．当a ＝0时，1<0，不等式无解；当a ＞0时，要使不等式有解，则a 2－4a >0，解得a >4；当a ＜0时，不等式显然有解．综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．故选D.6．(2019·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．[0,2]C ．RD ．∅B 解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．命题p 为假命题时，有0≤m ＜e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是[0,2]． 二、填空题7．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.解析 若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝0.答案 08．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 由题可知“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，所以可得Δ＝(－3a )2－4×2×9≤0，解得－22≤a ≤2 2. 答案 [－22，22]9．(2019·黄冈中学期中)下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，sin x ＝－1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0；则命题p ∧(綈q )是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③. 答案 ①③ 三、解答题10．(2019·岳阳一中月考)已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．(1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数x 的取值范围．解析 (1)设使命题p 成立的集合为A ，命题q 成立的集合为B ，则A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1＋m ≥5，1－m ≤－1，解得m ≥4.故实数m 的取值范围为[4，＋∞)．(2)根据条件可知p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x >6或x <－4，无解．当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧x >5或x <－1，－4≤x ≤6，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.故实数x 的取值范围为[－4，－1)∪(5,6]．11．(2019·忻州二中期中)已知命题p ：存在a ＞0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减；命题q ：存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0.若命题p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围．解析 若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a ≥2，所以0＜a ≤1.若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根．所以Δ＝[－16(a －1)]2－4×16＜0，所以12＜a ＜32.因为命题p ∧q 为真命题，所以命题p ，q 都为真，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤1，12＜a ＜32，所以12＜a ≤1.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1. 12．已知命题p ：∃x ∈[0,2]，log 2(x ＋2)＜2m ；命题q ：关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个相异实数根．(1)若(綈p )∧q 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解析 令f (x )＝log 2(x ＋2)，则f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，故当x ∈[0,2]时，f (x )最小值为f (0)＝1，故若p 为真，则2m ＞1，m ＞12；对于q ：Δ＝4－12m 2＞0，即m 2＜13时，方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两相异实数根，所以－33＜m ＜33. (1)若(綈p )∧q 为真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33＜m ＜33，故－33＜m ≤12，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－33，12. (2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 一真一假，若p 真q 假，则实数m 满足⎩⎨⎧m ＞12，m ≤－33或m ≥33，即m ≥33； 若p 假q 真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33＜m ＜33，即－33＜m ≤12.综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－33，12∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞.13．[选做题]命题p ：f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时的最大值不超过2，命题q ：正数x ，y 满足x ＋2y ＝8，且a ≤2x ＋1y恒成立，若p ∨(綈q )为假命题，求实数a 的取值范围．解析 当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ≤2，解得－1≤a ≤0； 当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1≤2，解得0<a <1； 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ≤2，解得1≤a ≤2. 所以使命题p 为真的a 的取值范围是[－1,2]． 由x ＋2y ＝8得x 8＋y4＝1，又x ，y 都是正数，所以2x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x 8＋y 4＝12＋⎝⎛⎭⎫x 8y ＋y 2x ≥12＋2x 8y ·y2x＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 8y ＝y 2x ，x ＋2y ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时，等号成立，故⎝⎛⎭⎫2x ＋1y min ＝1.因为a ≤2x ＋1y 恒成立，所以a ≤1，所以使命题q 为真的a 的取值范围是(－∞，1]．因为p ∨(綈q )为假命题，所以p 假q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >2，a ≤1，则a <－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1)．。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(含解析)
归纳与技巧：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础知识归纳一、简单的逻辑联结词1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．二、全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．三、含有一个量词的命题的否定基础题必做1．若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题答案：D2．(教材习题改编)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，x0＋1x0＝2 B．∃x0∈R，sin x0＝－1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0答案：C3．命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是()A．∃x0∉∁R Q，x30∈Q B．∃x0∈∁R Q，x30∉QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q解析：选D其否定为∀x∈∁R Q，x3∉Q.4．(教材习题改编)命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：__________________.答案：所有的三角形都不是等边三角形5．命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．解析：∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0为假命题，则∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0恒成立，有Δ＝9a2－72≤0，解得－22≤a≤2 2.答案：[－22，2 2 ]解题方法归纳1.逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．含有逻辑联结词命题的真假判定典题导入[例1]已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④[自主解答]命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，故①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．[答案] D解题方法归纳1．“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．以题试法1．(1)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．其中正确的结论是()A．①③B．②④C．②③D．①④(2) 已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞) B．[1,4]C．[e,4] D．(－∞，1]解析：(1)选A“非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题⇒p与q均为真命题．(2)选C “p ∧q ”是真命题，则p 与q 都是真命题．p 真则∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，需a ≥e ；q 真则x 2＋4x ＋a ＝0有解，需Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4.p ∧q 为真，则e ≤a ≤4.全称命题与特称命题的真假判断典题导入[例2] 下列命题中的假命题是( )A ．∀a ，b ∈R ，a n ＝an ＋b ，有{a n }是等差数列B ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0C ．∀x ∈R,3x ≠0D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0[自主解答] 对于A ，a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)＋b －(an ＋b )＝a 常数．A 正确；对于B ，∀x ∈(－∞，0)，2x >3x ，B 不正确；对于C ，易知3x ≠0，因此C 正确；对于D ，注意到lg 1＝0，因此D 正确．[答案] B解题方法归纳1．全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可．2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．以题试法2． 下列命题中的真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0cos x 0＝35B ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0>1C ．∀x ∈R ，x 2≥x －1D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x解析：选C 由sin x cos x ＝35，得sin 2x ＝65>1，故A 错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B ，D 错误；因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，所以C 正确．全称命题与特称命题的否定典题导入[例3] 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( ) A ．所有能被2整除的整数都是奇数 B ．所有不能被2整除的整数都不是奇数 C ．存在一个能被2整除的整数是奇数 D ．存在一个不能被2整除的整数不是奇数[自主解答] 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D.[答案] D若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________． 答案：所有能被2整除的整数都不是奇数解题方法归纳1．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．2．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． 3．要判断“綈p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p ”的真假，p 与綈p 的真假相反．4．常见词语的否定形式有：原语句 是 都是 >至少有一个 至多有一个 对任意x ∈A 使p (x )真 否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x 0∈A 使p (x 0)假以题试法3． 已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0解析：选C 命题p 的否定为“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f ( x 1))(x 2－x 1)<0”．1．将a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2改写成全称命题是( ) A ．∃a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 B ．∃a <0，b >0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 C ．∀a >0，b >0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 D ．∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2解析：选D 全称命题含有量词“∀”，故排除A 、B ，又等式a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2对于全体实数都成立，故选D.2． 设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q 为真C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C 命题p ，q 均为假命题，故p ∧q 为假命题．3． 已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(綈p )∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨(綈q )解析：选D 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以綈p 为假命题，綈q 为真命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题．4．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )`都是偶函数D ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A 由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．5． 下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件解析：选D 因为∀x ∈R ，e x ＞0，故排除A ；取x ＝2，则22＝22，故排除B ；a ＋b ＝0，取a ＝b ＝0，则不能推出ab＝－1，故排除C.6． 已知命题p 1：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0；p 2：∀x ∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．(綈p 1)∧(綈p 2)B ．p 1∨(綈p 2)C ．(綈p 1)∧p 2D ．p 1∧p 2解析：选C ∵方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 2＋x ＋1<0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1，∴∀x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．∵綈p 1为真命题，p 2为真命题，∴(綈p 1)∧p 2为真命题．7． 下列说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 0＋1x 0>2，则綈p ：∀x ∈R ，均有x ＋1x ≤2B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题解析：选D 显然选项A 正确；对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确；对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确；对于D ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故选项D错误．8． 已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＝1或a ≤－2B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析：选A 若命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0真，则a ≤1.若命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0真，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，a ≥1或a ≤－2，又p 且q 为真命题所以a ＝1或a ≤－2.9．命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋5＝0”的否定是________． 答案：对任何x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠010．已知命题p ：“∀x ∈N *，x >1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．解析：q ：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0，当x 0＝1时，x 0＝1x 0成立，故q 为真．答案：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0真11．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a 2－4>0，解得a >2或a <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)12．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________． 解析：由题意得sin θ－1≥0.又－1≤sin θ≤1，∴sin θ＝1. ∴θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．故cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12. 答案：1213．已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x －1x －2≤0的解集是{x |1<x <2}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是真命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．其中正确的是________．解析：因为命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以命题“p ∧q ”是假命题，命题“p ∧(綈q )”是真命题，命题“(綈p )∨q ”是假命题，命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．答案：②④ 14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的．在②中l 1⊥l 2⇔a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．答案：①③1．下列说法错误的是( )A ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：若“a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x 0∈R ，ln(x 20＋1)<0，则綈p ：∀x ∈R ，ln(x 2＋1)≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件解析：选D sin θ＝12是θ＝30°的必要不充分条件，故选D.2． 命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：选B ∵当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题．3．已知命题p ：“∃x 0∈R,4x 0－2x 0＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.答案：(－∞，1] 4．下列四个命题：①∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2；②对∀x ∈R ，sin x ＋1sin x≥2；③对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x ＋1tan x≥2；④∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝ 2. 其中正确命题的序号为________．解析：∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]； 故①∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2错误； ④∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2正确； ∵sin x ＋1sin x ≥2或sin x ＋1sin x ≤－2，故②对∀x ∈R ，sin x ＋1sin x≥2错误；③对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >0，1tan x >0，由基本不等式可得tan x ＋1tan x ≥2正确． 答案：③④5．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时，2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)设A ＝{x |x ≤a ，或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2，或x >3}，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2]．6．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时， ⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为{ a |}a >2，或a <－2.1． 有下列四个命题：p 1：若a ·b ＝0，则一定有a ⊥b ；p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝a 1－2x ＋1都恒过定点⎝⎛⎭⎫12，2；p 4：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F ≥0.其中假命题的是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 3C ．p 1，p 3D ．p 2，p 4解析：选A 对于p 1：∵a ·b ＝0⇔a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，当a ＝0，则a 方向任意，a ，b 不一定垂直，故p 1假，否定B 、D ，又p 3显然为真，否定C.2．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”“綈q ”中，是真命题的有________．解析：依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真．答案：綈p ，綈q3．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解：若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎨⎧Δ＝m 2－4>0，m >0. 解得m >2，即p ：m >2.若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0.解得1<m <3，即q ：1<m <3.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 、q 两命题应一真一假，即p 为真、q 为假或p 为假、q 为真．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3或⎩⎨⎧ m ≤2，1<m <3. 解得m ≥3或1<m ≤2.∴m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．。
高中 掌握简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 知识点+例题+练习
教学过程3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，非p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，非p(x)辨析感悟1．逻辑联结词的理解与应用(1)命题p∧q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．()(2)命题p∨q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．() 2．对命题的否定形式的理解(3) “有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．()(4) 命题p：∃n0∈N,2n0＞1 000，则非p：∃n∈N,2n≤1 000.()(5) 设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则非p：∃x∉A,2x∉B.()(6)已知命题p：若x＋y＞0，则x，y中至少有一个大于0，则非p：若x＋y≤0，则x，y中至多有一个大于0.()[感悟·提升]1．一个区别逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形．有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“并且”、“綉”的含义为“且”；“或者”、“≤”的含义为“或”；“不是”、“”的含义为“非”．2．两个防范一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，非p指的是命题的否定，只需否定结论．如(5)、(6)；二是否定时，有关的否定词否定不当，如(6)．考点一含有逻辑联结词命题的真假判断【例1】设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函教学效果分析教学过程p2：∃x0∈(0,1)，12log x0＞13log x0；p3：∀x∈(0，＋∞)，12x⎛⎫⎪⎝⎭＞12log x；p4：∀x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，12x⎛⎫⎪⎝⎭＜13log x.其中真命题是________．规律方法对于存在性命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立.【训练3】(2013·开封二模)下列命题中的真命题是________(填序号)．①∃x∈R，使得sin x＋cos x＝32；②∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1；③∃x∈(－∞，0)，2x<3x；④∀x∈(0，π)，sin x>cos x.1．逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．答题模板1——借助逻辑联结词求解参数范围问题教学效果分析。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(3)
1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[知识梳理]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．(2)概念用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.(3)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(4)命题的否定与否命题的区别①定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若p，则q”的否定为“若p，则綈q”，而否命题为“若綈p，则綈q”．②与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．2．全称量词和存在量词3．全称命题和特称命题4．复合命题的否定(1)“綈p”的否定是“p”；(2)“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；(3)“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．[诊断自测]1．概念思辨(1)若p∧q为真，则p∨q必为真；反之，若p∨q为真，则p∧q必为真．()(2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A2－1P27T3)命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0答案 B解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.故选B.(2)(选修A2－1P18T1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，x2>0，则()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(綈q)是真命题D．命题p∨(綈q)是假命题答案 C解析由于x＝10时，x－2＝8，lg x＝lg 10＝1，故命题p为真命题，令x＝0，则x2＝0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，綈q是真命题，进而得到命题p∧(綈q)是真命题，命题p∨(綈q)是真命题．故选C.3．小题热身(1)(2015·浙江高考)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析 “f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )>n ”，全称命题的否定为特称命题．故选D.(2)(2015·山东高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 若0≤x ≤π4，则0≤tan x ≤1，∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.∴实数m 的最小值为1.题型1 含有逻辑联结词的命题的真假典例1 (2018·江西七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解；命题q ：若m ＝19，则f [f (－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )利用复合命题的真假判断方法，逐项验证法．答案 B解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0，所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题．故选B.典例2(2017·武汉模拟)若存在正常数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出下列三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin x 2，其中是“限增函数”的是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．③注意放缩法的应用．答案 B解析 对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 可化为 (x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a 2－a ＋b ，即x ≤－a 2－a ＋b 2a对一切x ∈R 均成立，因函数的定义域为R ，故不存在满足条件的正常数a ，b ，故f (x )＝x 2＋x ＋1不是“限增函数”；对于②，若f (x )＝|x |是“限增函数”，则 f (x ＋a )≤f (x )＋b 可化为：|x ＋a |≤|x |＋b ， ∴|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |恒成立，又 |x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |， ∴|x |≥a －b 22b ，显然当a <b 2时式子恒成立， ∴f (x )＝|x |是“限增函数”； 对于③，∵－1≤f (x )＝sin x 2≤1， ∴f (x ＋a )－f (x )≤2，∴当b ≥2时，a 为任意正数，使f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，故f (x )＝sin x 2是“限增函数”．故选B.方法技巧1．判断含逻辑联结词命题真假的方法与步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．见冲关针对训练1.(2)判断命题真假的步骤确定含有逻辑联结词的命题的构成形式⇒判断其中简单命题的真假⇒根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假2．含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．见典例1.冲关针对训练1．(2018·天星二联)已知命题p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则a<c<b；命题q：“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是() A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 C解析因为0<a＝0.30.3<0.30＝1，b＝1.20.3>1.20＝1，c＝log1.20.3<log1.21＝0，所以c<a<b，故命题p为假命题，綈p为真命题；由x2－x－6>0可得x<－2或x>3，故“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，q为真命题，故(綈p)∧q为真命题．故选C.2．(2018·山西八校联考)已知命题p：存在n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x∈R，x2＋2>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )答案 C解析 当n ＝1时，f (x )＝x 3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p 是真命题，则綈p 是假命题；“∃x ∈R ，x 2＋2>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，故q 是假命题，綈q 是真命题．所以p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )均为假命题，p ∧(綈q )为真命题．故选C.题型2 全称命题与特称命题角度1 全称命题、特称命题的真假判断典例(2017·贵阳模拟)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点本题用赋值法、分离常数法．答案 B解析 取α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A 正确；取φ＝π2时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，B 错误；对于三次函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋lnx ＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，D 正确．故选B.角度2 全称命题、特称命题的否定典例 (2018·厦门模拟)已知命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥xB ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0C ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥xD ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0 用构造函数法，求导法．答案 B解析 令f (x )＝sin x －x ，则f ′(x )＝cos x －1<0， 函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2递减，f (x )max <f (0)＝0，故sin x <x ，命题p 是真命题，由命题的否定的定义，要否定命题的结论，同时改写量词知綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0.故选B.方法技巧全(特)称命题的常见题型及解题策略1．全(特)称命题的真假判断．①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可．②要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．见角度1典例．2．全(特)称命题的否定．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．见角度2典例．冲关针对训练1．(2018·晋中模拟)已知f (x )＝e x －x ，g (x )＝ln x ＋x ＋1，命题p ：∀x ∈R ，f (x )>0，命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，使得g (x 0)＝0，则下列说法正确的是( )A ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0C ．q 是真命题，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0D ．q 是假命题，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0 答案 C解析 f ′(x )＝e x －1，由f ′(x )>0得x >0，由f ′(x )<0得x <0，即当x ＝0时，函数f (x )取得极小值，同时也是最小值f (0)＝e 0－0＝1－0＝1>0，所以∀x ∈R ，f (x )>0成立，即p 是真命题．g (x )＝ln x ＋x ＋1在(0，＋∞)上为增函数，当x →0时，g (x )<0，g (1)＝0＋1＋1＝2>0，则∃x 0∈(0，＋∞)，使得g (x 0)＝0成立，即命题q 是真命题．则綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0， 综上只有C 成立．故选C.2．(2017·安徽皖江名校联考)命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题．则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题．∴四个命题中正确的有2个命题．故选B.题型3 由命题的真假求参数的取值范围典例1已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若P ∨Q 是假命题，则实数a的取值范围是________．注意分情况讨论．答案 a ≤－2或a >2解析 命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增，∴0<a <1. 又∵命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，∴a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0， 即－2<a ≤2.若P ∨Q 为假命题，则P 假Q 假，命题P 为假时，有a ≤0或a ≥1；命题Q 为假时，有a ≤－2或a >2，所以P ∨Q 为假时a ≤－2或a >2.[结论探究] 在本例条件下，若P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．答案 －2<a ≤0或1≤a ≤2解析 若P ∨Q 为真，P ∧Q 为假，命题P 和Q 一真一假，若P 真Q 假，无解；若P 假Q 真，有－2<a ≤0或1≤a ≤2.典例2 (2018·河北调研)对任意的x >0，总有f (x )＝a －x －|lg x |≤0，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，lg e －lg (lg e)]B ．(－∞，1]C ．[1，lg e －lg (lg e)]D ．[lg e －lg (lg e)，＋∞)用数形结合法．答案 A解析 对任意的x >0，总有f (x )＝a －x －|lg x |≤0，即a －x ≤|lg x |恒成立，设y ＝－x ＋a ，g (x )＝|lg x |，如图，当直线y ＝－x ＋a 与g (x )相切时，a 取得最大值，设切点为A (x ，y )，则－1＝(－lg x )′，得到x ＝lg e ，所以y ＝－lg (lg e)，所以切线方程为：y ＋lg (lg e)＝－(x －lg e)，令x ＝0得到y ＝lg e －lg (lg e)， 所以a 的取值范围为(－∞，lg e －lg (lg e)]．故选A.方法技巧利用命题真假求参数取值范围的求解策略1．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．见典例1.2．全称命题可转化为恒成立问题．同时注意数形结合思想的应用．见典例2.冲关针对训练(2018·寿县月考)已知命题P ：∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[25，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫143，＋∞ D ．(－∞，25]答案 A解析 若∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 恒成立，则a <⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ，x ∈(2,3)． ∵f (x )＝x ＋5x 在(2，5)上是减函数，在(5，3)上为增函数，∴函数f (x )的最小值是f (5)＝25，则a <2 5.∵命题P ：∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 是假命题，∴a ≥25，实数a 的取值范围是[25，＋∞)．故选A.1．(2017·山东高考)已知命题p ：∀x ＞0，ln (x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 B解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln (x＋1)＞ln 1＝0，∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.2．(2018·郑州质检)设命题p：∀x>0，log2x<2x＋3，则綈p为()A．∀x>0，log2x≥2x＋3 B．∃x>0，log2x≥2x＋3C．∃x>0，log2x<2x＋3 D．∀x<0，log2x≥2x＋3答案 B解析由全称命题的否定为特称命题，知綈p为∃x>0，log2x≥2x＋3.故选B.3．(2017·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是()A．若a>b>0，则ln a<ln bB．向量a＝(1，m)，b＝(m,2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1C．命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋2)·2n－1”D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题答案 D解析A中，因为函数y＝ln x(x>0)是增函数，所以若a>b>0，则ln a>ln b，错误；B中，若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，错误；C中，命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∃n∈N*,3n≤(n＋2)·2n－1”，错误；D中，原命题的逆命题是“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”，该逆命题是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，正确．故选D.4．(2017·皖南名校联考)设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数y＝ln (x2＋ax＋1)的值域是R，如果命题p或q是真命题，p 且q为假命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，3] B．(－∞，－2]∪[2,3)C ．(2,3]D ．[3，＋∞)答案 B 解析 若p 为真命题，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0在区间[－1，1]上恒成立，即a ≥3x 2在区间[－1,1]上恒成立，所以a ≥3；若q 为真命题，则方程x 2＋ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4≥0，即a ≥2或a ≤－2.由题意知，p 与q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥3，－2<a <2，则a ∈∅；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ≥2或a ≤－2，则a ≤－2或2≤a <3. 综上所述，a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选B.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武邑模拟)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为() A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1 B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1 D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案 B解析“∀x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1”．故选B.2．下列四个命题：其中的真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 D解析3．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)答案 C解析 由题知：x 0＝－b 2a 为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的．故选C.4．(2018·广东五校一诊)下列命题错误的是( )A ．若p ∨q 为假命题，则p ∧q 为假命题B ．若a ，b ∈[0,1]，则不等式a 2＋b 2<14成立的概率是π16C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”D ．已知函数f (x )可导，则“f ′(x 0)＝0”是“x 0是函数f (x )的极值点”的充要条件答案 D解析 选项A ，若p ∨q 为假命题，则p 为假命题，q 为假命题，故p ∧q 为假命题，正确；选项B ，使不等式a 2＋b 2<14成立的a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故不等式a 2＋b 2<14成立的概率是14×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1221×1＝π16，正确；选项C ，特称命题的否定是全称命题，正确；选项D ，令f (x )＝x 3，则f ′(0)＝0，但0不是函数f (x )＝x 3的极值点，错误．故选D.5．(2017·河西区三模)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，e 2]B ．(－∞，e]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)答案 B解析 命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0.∴a ≤(e x )min ＝e ，若綈p 是假命题，∴p 是真命题，∴a ≤e.则实数a 的取值范围为(－∞，e]．故选B.6．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．(0,2)答案 C解析 由题可知若p ∧q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题，对于命题p 为真，则m <0，对于命题q 为真，则m 2－4<0，即－2<m <2，所以命题p 和命题q 均为真命题时，实数m 的取值范围是(－2,0)．故选C.7．(2018·黄冈模拟)下列四个结论：①若x >0，则x >sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件；④命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0<0”．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，则当x >0时，x －sin x >0－0＝0，即当x >0时，x >sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误．综上，正确结论的个数为3.故选C.8．(2017·广东七校联考)已知命题p ：∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上无零点．则下列命题中是真命题的是( )A ．綈pB ．p ∧qC ．(綈p )∨qD ．p ∧(綈q )答案 D解析 设h (x )＝x ＋a x ＋1.易知当a ＝－12时，函数h (x )为增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16>0，则此时函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12<0，g (1)＝1>0，∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上有零点，即q 是假命题，根据真值表可知p ∧(綈q )是真命题．故选D.9．(2018·广州测试)已知命题p ：∃x >0，e x －ax <1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x 在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 作出y ＝e x 与y ＝ax ＋1的图象，如图．当a ＝1时，e x ≥x ＋1恒成立，故当a ≤1时，e x －ax <1不恒成立；当a >1时，可知存在x ∈(0，x 0)，使得e x －ax <1成立，故p 成立，即p ：a >1，由函数f (x )＝－(a －1)x 是减函数，可得a －1>1，得a >2，即q ：a >2，故p 推不出q ，q 可以推出p ，p 是q 的必要不充分条件．故选B.10．(2017·泰安模拟)已知命题p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1<1，q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2]C ．[0,2]D ．R答案 C解析 对于命题p ，mx 2＋1<1，得mx 2<0，若p 为真命题，则m <0，若p 为假命题，则m ≥0；对于命题q ，对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若命题q 为真命题，则m 2－4≤0，即－2≤m ≤2，若命题q 为假命题，则m <－2或m >2.因为p ∨(綈q )为假命题，则需要满足命题p 为假命题且命题q 为真命题，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，解得0≤m ≤2，故选C.二、填空题11．若∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________． 答案 12解析 因为∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，所以sin θ≥1.又sin θ∈[－1,1]，所以sin θ＝1，故θ＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2k π＝cos π3＝12. 12．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1.所以所求的m 的取值范围是1<m <2.13．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析 由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 14．(2017·衡水调研)直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记OP →＝aOM →＋bON →(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线C 的顶点．(1)当OP →与ON →平行时，b ＝________；(2)给出下列命题：①∀a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形；②∃a <0且b <0，使得OP →与ON →垂直；③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1恒成立．其中，所有正确命题的序号是________．答案 (1)－1 (2)①②③解析 (1)∵OM →＝(1,2)，ON →＝(1，－2)，∴OP →＝aOM →＋bON →＝(a ＋b,2a －2b )．∵OP →∥ON →，∴2a －2b ＋2(a ＋b )＝0，∴a ＝0.∵抛物线的准线为x ＝－1，点P 在准线上，∴P 点的横坐标为－1，∴a ＋b ＝－1，∴b ＝－1.(2)对于①，假设是等边三角形，则P (－1,0)，|PM |＝22，|MN |＝4，|MN |≠|PM |，这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于②，OP →与ON →垂直，OP →·ON →＝0，得到a ＝53b ，∴②正确；③显然成立．三、解答题15．(2018·吉林大学附中模拟)设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x ＋7.若“∃x ∈[0，＋∞)，f (x )<a ＋1”是假命题，求实数a 的取值范围．解 y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9x ＋a 2x －7，x >0，0，x ＝0，9x ＋a 2x ＋7，x <0.又“∃x ≥0，f (x )<a ＋1”是假命题，则∀x ≥0，f (x )≥a ＋1是真命题，①当x＝0时，0≥a ＋1，解得a ≤－1；②当x >0时，9x ＋a 2x －7≥a ＋1，结合基本不等式有6|a |－7≥a ＋1，得a ≥85或a ≤－87，①②取交集得a 的取值范围是a ≤－87.16．(2018·福建晨曦中学联考)已知命题p ：函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点，命题q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求a 的取值范围．解 若命题p 为真，则函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点，因为二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12－2×1＋a <0，22－2×2＋a >0，所以0<a <1.若命题q 为真，则函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，由Δ＝(2a －3)2－4>0，得4a 2－12a ＋5>0，解得a <12或a >52.因为p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，所以p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧ 0<a <1，12≤a ≤52，所以12≤a <1；②若p 假q 真，则⎩⎨⎧ a ≤0或a ≥1，a <12或a >52，所以a ≤0或a >52.故实数a 的取值范围是a ≤0或12≤a <1或a >52.。
1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
“有些”“有一个”“某个”“有的”等. 、 、 、
⑶全称量词用符号“____”表示；存在量词用符号
“____”表示.
⑷全称命题与特称命题
含有全称量词 ①_____________的命题叫全称命题.
含有存在量词 ②_____________的命题叫特称命题.
3. 命题的否定
⑴全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是 全称命题. ⑵p 或 q 的否定为:非 p 且非 q;
a x
2
,故只有当 a
0
时, f x 在 0 , 时, f x
x
2
上是增函数,因此 A,B 不对;当 a 函数,因此 C 对,D 不对.
0
是偶
题型分类 深度剖析
题型一 用“或” “且”“非”联结简单命题 、 、 判断其真假
【例 1】写出由下列各组命题构成的“ p q ”,“ p q ”, “ p ”形式的复合命题,并判断真假. ⑴p:1 是质数;q:1 是方程 x 2 互相垂直; ⑶p: 0 ;q: x
⑵p:函数 y q:方程 x
2
x x2
2
的图象与 x 轴没有公共点. 没有实根.
的图象[解]⑵ p q :函数 y 共点,且方程 x 2
p q
x x2
x2 0
2
真
:函数 y
x x2
x2 0
2
的图象与 x 轴没有公共
,故 p 1 为假;
在 p 2 : x (0 ,1), lo g
1 2
x lo g 1 x
中，
当x
1 2
时, lo g
1
1 2
2021年高考数学考点03简单的逻辑联结词全称量词与存在量词必刷题文含解析
考点03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．已知命题函数在定义域上为减函数，命题在中，若，则，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．【答案】B2．已知命题，命题，则下列说法正确的是（）A．命题是假命题 B．命题是真命题C．命题是假命题 D．命题是真命题【答案】D【解析】命题p：∃x=0∈R，cosx＞sinx，因此是真命题．命题q：∀x∈（0，π），sinx+＞2，是假命题，取x=时，+=2，此时不成立，因此是假命题．则下列判断正确的是：命题p∧（￢q）是真命题．故选：D．3．下列四个结论：①命题“”的否定是“”；②若是真命题，则可能是真命题；③“且”是“”的充要条件；④当时，幂函数在区间上单调递减.其中正确的是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【答案】A4．已知命题命题q:，则下列命题中为真命题的是A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，故命题是假命题，又命题是真命题，故为假，为假，为假，为真命题，故选D.5．已知命题：，有，：，，则在命题：；：；：和：中，真命题是( )A．， B．， C．， D．，【答案】C6．给出下列四个命题:①“若为的极值点，则=0”的逆命题为真命题；②“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是；③若命题p：，则；④命题“，使得”的否定是：“，均有”.其中不正确的个数是( )A． 3 B． 2 C． 1 D． 0【答案】A【解析】“若x0为y=f(x)的极值点，则=0”的逆命题为: “若=0，则x0为y=f(x)的极值点”,为假命题,即①不正确;“平面向量的夹角是钝角”的必要不充分条件是,即②不正确;若命题p: ，则,即③不正确;特称命题的否定为全称命题,即④正确.即不正确的个数是3.故选A.7．下列命题正确的是（）A．命题的否定是：B．命题中，若，则的否命题是真命题C．如果为真命题，为假命题，则为真命题，为假命题D．是函数的最小正周期为的充分不必要条件【答案】D8．命题“”的否定是A． B．C． D．【答案】D【解析】由全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，故选C. 9．下列说法错误的是（）A．若，则；B．若，，则“”为假命题. C．命题“若，则”的否命题是：“若，则”；D．“”是“”的充分不必要条件；【答案】D10．下列命题中是假命题的是（）A． B．C． D．【答案】C11．命题“”的否定是( )A． B． C． D．【答案】D【解析】全称命题的否定为特称命题，则命题“”的否定是.本题选择D选项.12．命题：“x>l, x2>l”的否定为( )A．x>l, x2<1 B．x<l, x2<1 C．x>l, x2 1 D．x<l, x2≤1【答案】C【解析】全称命题的否定形式为特称命题：x>l, x2 1所以选C13．已知命题，则（）A．命题：，为假命题 B．命题：，为真命题C．命题：，为假命题 D．命题：，为真命题【答案】D14．命题“对，都有”的否定为A．对，都有B．在R上的最小值小于在R上的最大值C．使得D．使得【答案】D【解析】由于全称命题的否定为特称命题，所以“对，都有”的否定为“使得”，故答案为：D.15．已知命题，则为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为命题是全称命题，所以它的否定将全称命题改为特称命题，然后对结论否定.16．命题关于的不等式命题函数某某数的取值X围.【答案】17．设命题p：为R上的减函数，命题q：函数命题q：在上恒成立．若p∨q 为真命题，p∧q为假命题，求c的取值X围．【答案】【解析】由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．若p真，由y＝c x为减函数，得0<c<1.当时，由不等式(x＝1时取等号)知在上的最小值为2若q真，则，即若p真q假，则；若p假q真，则. .综上可得，18．已知，设命题函数在上单调递减，命题函数的图像与交于不同的两点．如果为假，为真，某某数的取值X围．【答案】19．已知命题p:函数的定义域为R,命题q:函数在(0,+∞)上是减函数,若为真命题,某某数a的取值X围【答案】20．已知命题曲线1与轴没有交点；命题函数或为真命题, 且为假命题,则实数的取值X围.【答案】【解析】由y=1与x轴没有交点，知＜0，∴m＜；由q：f（x）=﹣（5﹣2m）x在R上是减函数，知5﹣2m＞1，∴m＜2由题意p，q一真一假，若p真q假，m．若p假q真，m综上所述，m的取值X围为21．已知c＞0，设命题p：函数y＝c x q：当x∈时，函数f(x)＝x＋恒成立.如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值X围是________.【答案】22．已知命题函数在内恰有一个零点；命题函数在上是减函数，若为真命题，则实数的取值X围是___________．【答案】【解析】命题p：函数f（x）=2ax2﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点，则f（0）f（1）=﹣（2a﹣2）＜0，解得a＞1；命题q：函数y=x2﹣a在（0，+∞）上是减函数，2﹣a＜0，解得a＞2．∴￢q：a∈（﹣∞，2]．∵p且￢q为真命题，∴p与￢q都为真命题，∴解得1＜a≤2．则实数a的取值X围是（1，2]．故答案为：（1，2]．23．已知命题:,,则为_________________.【答案】,24．已知命题“”.若命题是假命题，则实数的取值X围是_____________. 【答案】【解析】因为命题是假命题，所以p是真命题，即，所以有解即可，令，，利用二次函数可知，故.25．命题“存在实数,使”是假命题,则实数的取值X围为________.【答案】【解析】∵“存在实数,使”是假命题，∴“任意∈R，使（m+1）2﹣m+m﹣1＞0”是真命题，当m+1=0时，（m+1）2﹣m+m﹣1＞0，即﹣2＞0，不是对任意∈R恒成立；②当m+1≠0时，∈R，使（m+1）2﹣m+m﹣1＞0，即m+1＞0且△=（﹣m）2﹣4（m+1）（m﹣1）＜0，化简得：3m2＞4，解得或m＜﹣，∴综上，实数m的取值X围是．故答案为：．。
专题3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(解析版)
备战2022年高考数学核心考点专题训练专题3 全称量词与存在量词一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 有下列四个命题：p1∀x∈R sinx≤1p2∃n∈N n2>2n：，．：，：的充要条件是． p 3a +b =0a b =−1：若是真命题，则p 一定是真命题．p 4p ∨q 其中真命题是 ( )A. ， B. ， C. ，D. ， p 1p 2p 2p 3p 3p 4p 1p 4【答案】Ap1∀x∈R[−1,1]【解析】对于：，，因为正弦函数值域为，所以该命题为真命题；p2∃n∈N n=332>23对于：，，因为当时，，所以该命题为真命题；p3a+b=0b≠0a+b=0对于：的充要条件是，因为需要保证，而中b可以为0，所以该命题为假命题；p4p∨q p∨q对于：若是真命题，则p一定是真命题，因为若是真命题，则有可能p为真，也有可能q为真，所以该命题为假命题．p1p2所以其中的真命题是和，故选A．2. 下列有关命题的说法中错误的是( )A. 若为真命题，则中至少有一个为真命题．p∨q p,qB. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题．y=f(x)y=f(x)C. 命题“，有且”的否定形式是“，有且”∀n∈N∗f(n)∈N∗f(n)≤n∃n0∈N∗f(n0)∈N∗f(n0)>n0.D. 是“直线和直线平行”的充要条件。
′′a=−1′′l1:ax+2y+6=0l2:x+(a−1)y+a2−1=0【答案】CA.p∨q p,q.【解析】解：若为真命题，则中至少有一个为真命题为真命题；B.命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题为假命题，正确；y=f(x)y=f(x).C.命题“，有且”的否定形式是“，有且”不正确；∀n∈N∗f(n)∈N∗f(n)≤n∃n0∈N∗f(n0)∈N∗f(n0)>n0.D.是“直线和直线平行”的充要条件正确．a=−1l1:ax+2y+6=0l2:x+(a−1)y+a2−1=0故选C．3. 下列命题中的假命题是()A. ，B. ，∃x0∈(0,+∞)x0<sin x0∀x∈(−∞,0)e x>x+1C. ，D. ，∀x>05x>3x∃x0∈R ln x0<0【答案】Ax>sinx∃x0∈(0,+∞)x0<sin x0【解析】解：时，，所以，不正确；x∈(−∞,0)g(x)=e x−x−1g′(x)=e x−1<0，令，可得，g(x)>g(0)=0∀x∈(−∞,0)e x>x+1函数是减函数，，可得，恒成立．∀x>05x>3x由指数函数的性质的可知，，正确；∃x0∈R ln x0<0x∈(0,1)，，的当时，恒成立，所以正确．故选A．4. 有下面四个判断，其中正确的个数是( )①b∈R a+b≠6a≠3b≠3命题：“设a、，若，则或”是一个真命题②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题③∀a b∈R a2+b2≥2(a−b−1)∃a b∈R a2+b2≤2(a−b−1)命题“、，”的否定是：“、，”A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B①b∈R a+b≠6a≠3b≠3a=3b=3【解析】解：命题：“设a、，若，则或”的逆否命题为：“若且，a+b=6①则”是一个真命题，所以是真命题；②若“p或q”为真命题，一真即真，所以p、q均为真命题说法不正确；③∀a b∈R a2+b2≥2(a−b−1)∃a b∈R a2+b2≤2(a−b−1)命题“、，”的否定是：“、，”不满足全称命题的否定是特称命题，所以不正确；正确命题的个数是1个．故选B．∀x∈R ax2+ax+1>0∃x0∈(0,π4)a<tan x0p∧q5. 已知p：，，q：，，若为真，则实数a的取值范围为A. B. C. D.(0,1)[0,1)(0,1][0,1]【答案】B①a=0【解析】解：根据题意可得，命题p：时，则恒成立；②a≠0{a>0△=a2−4a<0⇒0<a<4时，则需；0≤a<4故a范围为；∵∃x0∈(0,π4)a<tan x0⇒a<1命题q：，，；p∧q0≤a<1当为真时，则a的范围为．故选：B．6. 给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②a>b2a>2b−1a≤b2a≤2b−1命题“若，则”的否命题为“若，则”；③∀x∈R x2+1≥1∃x∈R x2+1<1“，”的否定是“，”；④△ABC A>B sinA>sinB在中，“”是“”的充要条件．其中正确的命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C①①【解析】解：若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；②a>b2a>2b−1a≤b2a⩽2b−1②命题“若，则”的否命题为“若，则”，故正确；③∀x∈R x2+1≥1∃x∈R x2+1<1③“，”的否定是“，”，故正确；④△ABC A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB在中，，A>B sinA>sinB④故“”是“”的充要条件，故正确．故选C．7. 下列说法中错误的是()A. “”是“”的充分不必要条件x<1x2−3x+2>0B. 命题“，”的否定为“，”∀x∈R sin x≤1∃x0∈R sin x0>1C. 命题“若x，y都是偶数，则是偶数”的否命题是“若x，y都不是偶数，则不是偶数”x+y x+yD. 设命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则为真命题(¬p)∨(¬q)【答案】CA.x2−3x+2>0x<1x>2∴x<1x2−3x+2>0【解析】解：的解为或，“”是“”的充分不必要条件，故A正确；B.由全称命题的否定为存在性命题知命题“，”的否定为“，”，故B正∀x∈R sin x≤1∃x0∈R sin x0>1确；C.命题“若x，y都是偶数，则是偶数”的否命题是“若不都是偶数，则不是偶数”，故C错x+y x,y x+y误；D.命题p正确，命题q不正确，例如，那么是真命题，故D正确．lg10=1>0故选C．8. 下列有关命题的叙述，错误的个数为( )①p∨q p∧q若为真命题，则为真命题②x>5x2−4x−5>0“”是“”的充分不必要条件③p:∃x0∈R x20+x0−1<0¬p:∀x∈R x2+x−1≥0若命题，使得，则使的④x2−3x+2=0x=1x=2x≠1x≠2x2−3x+2≠0命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B①p∨q p∧q【解析】解：对于，若为真命题，则p，q至少有一个为真，即可能有一个为假，所以不一定①为真命题，所以错误，②x2−4x−5>0x>5x<−1x>5x2−4x−5>0对于，由可得或，所以“”是“”的充分不必要条件，所以②正确，③③对于，根据特称命题的否定为全称命题，可知正确，④x2−3x+2=0x=1x=2x≠1x≠2x2−3x+2≠0对于，命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，④所以错误，所以错误命题的个数为2．故选B．9. 以下四个命题：①x=y x2=y2②p∧q“若，则”的逆否命题为真命题若为假命题，则p，q均为假命题③a=2f(x)=log a x(0,+∞)“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件④∃x0∈R x20+x0+1<0¬p∀x∈R x2+x+1≥0()对于命题p：，，则为：，其中真命题的个数是A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个【答案】B①x=y x2=y2①【解析】解：对于，若，则为真命题，所以其逆否命题为真命题，故正确；②p∧q②对于，若为假命题，则p与q至少有一个为假命题，故错误；③f(x)=log a x(0,+∞)a>1a=2f(x)=log a x对于，若函数在区间上为增函数，则，所以“”是“函数在区(0,+∞)③间上为增函数”的充分不必要条件，故正确；④¬p∀x∈R x2+x+1≥0④对于，命题，则为：，，故正确．故选B．10. 下列命题中正确的是()A. 若为真命题，则为真命题p ∨q p ∧q B. “”是“”的充要条件ab >0b a +a b ⩾2C. 命题“，则或”的逆否命题为“若或，则” x 2−3x +2=0x =1x =2x ≠1x ≠2x 2−3x +2≠0D. 命题p ：，使得，则：，使得∃x ∈R x 2+x−1<0¬p ∀x ∈R x 2+x−1>0【答案】B【解析】解：选项A ，若为真命题，则p 与q 可一真一假，所以不一定为真命题，所以A 错误； p ∨q p ∧q 选项B ，若，则，由基本不等式可知，“”是“”的充要条件，所以B 正确； ab >0b a >0ab >0b a +a b ⩾2选项C ，命题“，则或”的逆否命题为“若且，则”，所x 2−3x +2=0x =1x =2x ≠1x ≠2x 2−3x +2≠0以C 错误； 选项D ，命题p ：，使得，则：，使得，所以 D 错误； x 2+x−1<0x 2+x−1≥0故选B ．二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 下列结论：若命题存在，使得；命题对任意，，则命题“p 且①p:x ∈R tanx =1q:x ∈R x 2−x +1>0”为假命题； 已知直线，，则的充要条件为；¬q ②l 1:ax +3y−1=0l 2:x +by +1=0l 1⊥l 2a b =−3③命题“若，则”的逆否命题为“若则”x 2−3x +2=0x =1x ≠1x 2−3x +2≠0.其中正确结论的序号为___________．【答案】①③①p∧¬q①【解析】解：对于，p真，q真，所以命题是假命题，故正确；②a=b=0l1⊥l2②对于，当时，也成立，故错误；③x2−3x+2=0x=1x≠1x2−3x+2≠0对于，根据逆否命题的定义可知，“若，则”的逆否命题为“若，则是正确的，①③所以正确结论的序号为．①③故答案为．(1)12. 下列命题：①②③④奇数都不能被2整除；有的实数是无限不循环小数；正四棱柱的侧面都是正方形；角平分⑤⑥线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；有的菱形是正方形；存在四边形其内角和大于360°.()其中既是全称命题又是真命题的是________填上所有满足要求的序号．(2)p:∃x0∈R,x20+4x0+1<m已知为假命题，则实数m的取值范围是________．(3)p(x):2x−4x−m≤0p(1)3p(2)−2p(3)已知，若是假命题，是真命题，则实数m的取值范围为________．(4)C:x2+y2−4x+4y−1=03y+4x+4a=0已知p：圆上恰好有2个不同的点到直线l：的距离为1；q：不等式的解集为若为真命题，则实数a的取值范围是________．x2−2x>a−1R.p∧(¬q)【答案】 (1)①④ (2)(−∞,−3](3)[−4,−2)(4)(2,92)【解析】含存在量词，是特称命题；是全称命题，②⑤⑥①③④不能被2整除的数是奇数，故是真命题；①①底面是正方形的正棱柱是正四棱柱，侧面可能是正方形，也可能是矩形，③故假命题；③角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，是角平分线的性质，故是真命题． ④④故答案为．①④【解答】(2)解：由于命题为假命题，则为真命题，所以p:∃x 0∈R,x 20+4x 0+1<m ¬p:∀x ∈R,x 2+4x +1≥m m ≤(x2+4x +1)min =−3.故答案为．(−∞,−3]【解答】(3)解：因为是假命题，所以，解得．p(1)2−4−m >0m <−2又是真命题，所以，解得．3p(2)−2p(3)3(4−8−m)≤2(8−12−m)m ≥−4故实数m 的取值范围是．[−4,−2)故答案为．[−4,−2)【解答】(4)解：将圆C 化成标准方程，得，可知圆心，半径为3． (x−2)2+(y +2)2=9C(2,−2)由题知圆心C 到直线l ：的距离． 3y +4x +4a =0d =|2+4a|5若p 为真命题，可得，解得或．2<d <4−112<a <−32<a <92若q 为真命题，则恒成立，因为恒成立，所以，a <(x−1)2(x−1)2≥0a <0由为真命题，得p 为真命题且q 为假命题，所以． p ∧(¬q){−112<a <−3或2<a <92a⩾0⇒2<a <92故答案为． (2,92)13. 对于实数m ，若两函数，满足：或；f(x)g(x)①∀x ∈[m,+∞),f(x)<0g(x)<0，则称函数和互为“m 相异”函数．若和②∃x ∈(−∞,m],f(x)g(x)<0f(x)g(x)f(x)=ax 2+ax−1g(x)=x−1互为“1相异”函数，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(−∞,−4)【解析】解：依题意，函数和互为“1相异”函数， f(x)=ax 2+ax−1g(x)=x−1则函数，满足：f(x)g(x)或；．g(x)<0对于且恒成立， ∵由或知： ∴g(x)<0对于恒成立； 由知：，使得．f(x)>0，∵f(x)=ax 2+ax−1当时，由二次函数的图象和性质知，不满足条件；a >0①当时，不满足条件；a =0②当时，二次函数图象开口向下，对称轴方程为， a <0f(x)=ax 2+ax−1x =−12f(0)=−1<0①②f(x)max=f(−12)>014a−12a−1>0根据条件，由二次函数的图像特征，知：即，∴a<−4．(−∞,−4)故答案为：．14. 下列命题中正确结论的序号是___________①x2−3x+2=0x=2x≠2x2−3x+2≠0命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”②a>b ac2>bc2“”是“”的充分不必要条件③∃x∈R x2−x>0∀x∈R x2−x≤0命题：“，”的否定是“，”④p∨q p,q若“”为假命题，则均为假命题⑤p:x∈A∩B¬p x∉A或x∉B若命题，则命题是【答案】①③④⑤①x2−3x+2=0x=2x≠2x2−3x+2≠0①【解析】解：对于，若，则”的逆否命题是“若，则”，正确；②a>b c=0ac2=bc2∴a>b ac2>bc2∴②对于，尽管有，但是当时，，“”不是“”的充分条件，错误；③∃x∈R x2−x>0∀x∈R x2−x≤0对于，存在量词命题的否定为全称量词命题，所以“，”的否定是“，”③正确；④p∨q p,q④对于，由复合命题的真值表知，若“”为假命题，则均为假命题，正确；⑤p:x∈A∩B¬p x∉A或x∉B∴⑤对于，由命题的否定规则知：若命题，则命题是正确，正确．①③④故答案为．P:∀x∈R ln(x2+x+a)>0Q:∃x0∈[−2,2]2a≤2x0P∧Q15. 已知命题，恒成立，命题，使得，若命题为真命题，则a的取值范围是____．,2]【答案】(54【解析】解：因为命题，恒成立， ln(x 2+x +a)>0所以对于恒成立， x 2+x +a−1>0即，解得；Δ=1−4(a−1)<0a >54因为命题，使得， 2a ⩽2x 0所以，a ≤2因为命题为真命题，P ∧Q 所以命题P 与Q 均为真命题，则，即． {a >54a ≤2 54<a ≤2故答案为．(54,2]16. 已知命题p ：，；命题q ：当时，恒成立．若“”与“非∃x 0∈R x 20+2x 0−a =0x ∈[13,3]x +4x >a p ∧q p ”同时为假命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】[4,+∞)【解析】解：当p 为真命题时，，解得． Δ=4+4a ≥0a ≥−1当q 为真命题时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以， f(x)=x +4x [13,2][2,3](x +4x )min =4因为当时，恒成立，所以则． x ∈[13,3]x +4x >a a <4若“”与“非p 同时为假命题，则p 真q 假， p ∧q 则，解得． {a⩾−1a⩾4a ≥4。
高中数学 考点3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(含2017高考试题)
考点3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题
1。
(2017·山东高考理科·T3）已知命题p：∀x>0,ln（x+1）〉0；命题q:若a〉b，则a2〉b2,下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B。
p∧q C。
p∧q D.p∧q
【命题意图】本题考查简单的含逻辑联结词命题的真假判断，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力.
【解析】选B.因为x〉0,所以x+1〉1,所以ln（x+1)〉0，则命题p为真命题；因为1〉—2,但12<(-2）2,所以命题q是假命题，则q是真命题,所以p∧q是真命题.
2。
（2017·山东高考文科·T5）已知命题p：∃x∈R，x2-x+1≥0;命题q：若a2<b2,则a〈b.下列命题为真命题的是( ）
A.p∧q B。
p∧⌝q C。
⌝p∧q D. ⌝p∧⌝q
【命题意图】本题考查简单的含逻辑联结词命题的真假判断,意在考查考生的分析问题、解决问题的能力.
【解析】选B.由x=0时x2—x+1≥0成立知p是真命题,由12<22，12<(—2）2可知q 是假命题.
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志.。
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t”为真命题
8、已知命题 t∃
，
ᅇ t ；命题 t
， t t ᮈ ᅇ ，给出下列结ห้องสมุดไป่ตู้：
①命题“ ”为真命题 ②命题“
t”为假命题
③命题“ t ”为真命题 ④命题“
t”为真命题
其中所有正确结论的序号为（ ）
A、②③ 9、函数
A、 t
B、①④ C、①③④ D、①②③
tᅇ t
有且只有一个零点的充分不必要条件是（
， ‴函数
ᮈ 㠮
㠮t㠮 㠮
t
t
无极值点.已知“
”
h t ᮈ t h h t ᮈ ᅇ ,若 是 ݐ的必要不充分条件，
则正整数 h 的值为
“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要
条件是( )
A、 t
t为真命题
B、
t为真命题
C、 t
t为真命题
D、
为真命题
5、已知 t
t t ᅇ t t t,若“ ”是真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A、 ᮈ t ∞t B、 ∞ 㠮t C、 ᮈ 㠮t D、 ∞ ᮈt ∪ 㠮 t ∞t
）
B、 t t ᮈ C、ᮈ t t ᮈ D、
或 ᅇᮈ
10、下列命题正确的是（ ）
A、命题“∃
t ᮈ ᅇ 㠮 ”的否命题是“
tᮈt㠮 ”
B、命题∆ 中，若 ᅇ ,则
ᅇ
的否命题是真命题
C、如果
为真命题， 为假命题，则 为真命题， 为假命题
D、ω ᮈ 是函数
的最小正周期为 2π的充分不必要条件
11、设 均为单位向量，则“ 㠮 㠮 t ”是“ ”的（ ）
高考专项练习题 3：简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词
1、“
”的否定是（ ）
A、
t
B、
C、∃
D、∃
t
2、命题“若 h 都是偶数，则 t h 也是偶数”的逆否命题是（ ）
A、若 t h 是偶数，则 与 h 不都是偶数 偶数
B、若 t h 是偶数，则 与 h 都不是
C、若 t h 不是偶数，则 与 h 不都是偶数 是偶数
16、已知命题 t∃
，使 ݐ
ᮈ,命题 t 㠮 t t 的解集为 ᮈ t t ā。现
有以下结论：①命题“ ”为真命题；②命题“
t”为假命题；③命题“ t ”
为真命题；④命题“ t
t”为假命题. 其中所有正确结论的序号为
17、已知函数
t ᮈ.若命题“
ᮈ t ”是假命题，则实数 的取
值范围是
18、设 t实数 满足不等式㠮 为真命题，并记为 ，且 ݐt
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条 件
12、下面四个条件中，使 ᅇ 成立的充分不必要条件是（ ）
A、 ᅇ t ᮈ B、 ᅇ ᮈ C、 ᅇ
D、 㠮 ᅇ 㠮
13、已知命题 t
t ∞ t t tt ‴命题 t∃
ݐ
ᮈ 㠮 ，则下列命题为
真命题的是（ ）
A、
B、 t
D、若 t h 不是偶数，则 与 h 都不
3、下列命题错误的是（ ）
A、命题“∃
t ᮈ ᅇ 㠮 ”的否命题是“
tᮈ 㠮 ”
B、若
是假命题，则 都是假命题
C、双曲线
h 㠮
ᮈ 的焦距为
D、设 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得
α，且 //
4、在射击训练中，某战士射击了两次，设命题 p 是“第一次射击击中目标”，命题 q 是
t
C、
t
D、 t
14、有关下列说法正确的是（ ）
A、“
”是“函数 是奇函数”的必要不充分条件
B、若 t∃
，
ᮈᅇ 则 t
ᮈt
C、命题“若 ᮈ ,则 ᮈ 或
ᮈ”的否命题是“若
ᮈ”
D、命题 和命题 有且只有一个为真命题的充要条件是
ᮈ ，则 t
ᮈ或 t为真命题
15、若
㠮 h ݐt 为为真命题，则实数 h 的最大值为
6、已知 都是实数，那么“ ᅇ ”是“ ᅇ ”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条 件
7、已知命题 t∃
，使 t
结论中正确的是（ ）
ᮈ;命题 t
，都有 t t t 㠮 ᅇ ，下列
A、命题“ t ”为真命题 B、命题“
t”为真命题
C、命题“ ”为真命题
D、命题“ t