知识讲解_全称量词与存在量词_提高

全称量词与存在量词

编稿：张希勇 审稿：李霞

【学习目标】

1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；

2．能准确地使用全称量词和存在量词符“∀” “∃ ”来表述相关的教学内容；

3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；

4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

【要点梳理】

要点一、全称量词与全称命题

全称量词

全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.

常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符“∀”表

示，读作“对任意”.

全称命题

全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.

一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，

记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.

要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0

的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；

（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.

要点二、存在量词与特称命题

存在量词

定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.

常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符“∃ ”

表示，读作“存在 ”.

特称命题

特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.

一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，

记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.

要点诠释：

（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使

sin()sin sin αβαβ+=+.

（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.

（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述

要点三、 含有量词的命题的否定

对含有一个量词的全称命题的否定

全称命题p ：x M ∀∈，()p x

p 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；

从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简

单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意

,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.

对含有一个量词的特称命题的否定

特称命题p ：0x M ∃∈，0()p x

p 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；

从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分

0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”

的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”.

要点诠释：

(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；

(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.

(3) 正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个、 小于等于

否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于.

要点四、全称命题和特称命题的真假判断

①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证

明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元

素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.

②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，

使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M

中，使 ()p x 成立得元素不存在.

【典型例题】

类型一：量词与全称命题、特称命题

例1.指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相

应的数学符表示.

（1） 对任意正实数2,20a a a -->；

（2） 对某个大于10的正整数n ，1024n =.

【解析】

（1）命题（1）中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合.命

题（1）可以写成“20,20a a a ∀>-->”.

（2）命题（2）中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整

数集合.命题（2）可写成“*10,1024n n n N ∃>∈=.

【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所

有”，“任意”，“任何”，“存在”，“有的”，“至少有”等词语，或隐含有这些词语的意思.

举一反三：

【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：

（1） 任何一个实数除以1仍等于这个数；

（2） 等边三角形的三边相等；

（3） 存在实数0x ，使2030x ->。

【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题

【高清课堂：全称量词与存在量词395491例1】

【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题.

（1）∀x ∈R ，x 2+1≥1；

（2）所有素数都是奇数；

（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；

（4）有些整数只有两个正因数.

【答案】

（1）有全称量词“任意”，是全称命题；

（2）有全称量词“所有”，是全称命题；

（3）有存在量词“存在”，是特称命题；