知识讲解_全称量词与存在量词_提高
全称量词和存在量词
x 2 5x 6 0 g (1) 0 2 x 3x 2 0 g (1) 0
解得：x (,1) (3,)
学而时习之
1.判断下列命题的真假：
假 (1)x Z, x 2 2;...............( 2)x R , x 2 2; 真
"" 表示。
2
要牢记！
例
(1)对任意正实数 , a 2 a 2 0 a
a 0, a a 2 0
( 2)对某个大于 的正整数n, ( 2 ) n 1024 10 n 10, n N , ( 2 ) n 1024
1.
例2.判断下列命题的真假，并给出证明：
⑤x R, x x 1 0
2
解： ①存在一个实数的绝对值不是正数。
②存在一个矩形，它的对角线不互相垂直。 ③任何一个向量都有方向。 ④有的人不晨练。
⑤x R, x x 1 0
2
学而时习之
1.判断下列命题的真假： (1)x N , x 2 2............(2)x R, x 2 2; 真 假 (3)x Z , x 2 3 x 2 0
存 在 一 个 不 成 立
所 有 不 成 立
X
X
且
X
词 语 的 不 否 是 定
不 一 定 是
不 都 是
小 于 或 等 于
大 于 或 等 于
或
一 个 也 没 有
至 多 个
至 少 两 个
存 在 一 个 成 立
X-1
X
X
例2.写出下列命题的否定形式：
①实数的绝对值是正数；②矩形的对角线互相垂直； ③有的向量没有方向； ④所有的人都晨练。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解5---全称量词与存在量词
高一数学复习考点知识与题型专题讲解1.5全称量词与存在量词【考点梳理】考点一全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”考点二含量词的命题的否定p 綈p 结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题【题型归纳】题型一：含全称量词和存在量词命题的判断1．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（ ） A ．对任意的a 、b R ∈，都有222220a b a b +--+< B ．菱形的两条对角线相等 C ．x R ∀∈，2x x =D ．正方形是矩形2．下列命题不是存在量词命题的是（ ）A ．有些实数没有平方根B ．能被5整除的数也能被2整除C ．在实数范围内，有些一元二次方程无解D ．有一个m 使2m -与||3m -异号 3．设2(1):x p x x +<，则以下说法错误的是（ ） A ．“(),x R p x ∀∈”是假命题B ．()p x 是假命题 C ．“(),x R p x ∃∈”是假命题D ．“(),x R p x ∃∈”是真命题 题型二：含含量词的命题的否定问题4．命题“()0,1x ∀∈，20x x -<”的否定是（ ） A ．()0,1x ∀∉，20x x -≥B ．()0,1x ∃∈，20x x -≥ C ．()0,1x ∀∉，20x x -<D ．()0,1x ∀∈，20x x -≥5．已知命题P ：x R ∀∈，210x +>，则命题P 的否定为（ ） A ．x R ∃∈，210x +≤B ．x R ∀∈，210x +< C ．x R ∃∉，210x +≤D ．x R ∀∈，210x +≤6．已知命题0:(0,1)p x ∃∈使得2340x x --=成立，则p ⌝为（ ）A ．01x ∀∈（，）都有2340x x --<恒成立B ．(0,1)x ∀∈都有2340x x --≠恒成立C ． (01) x ∃∈，都有2340x x --=恒成立D ．0(0,1)x ∃∈都有2340x x --≠恒成立题型三：根据全称命题的真假求参数问题7．若命题“x R ∀∈，使220x x m -->”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．(,2)-∞C ．[1,1]-D ．(,0)-∞8．已知命题:p x R ∃∈，210mx +≤；命题:q x R ∀∈，210x mx ++>．若p ，q 都是假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．2m ≤-B ．2m ≥C ．2m ≥或2m ≤-D ．22m -≤≤9．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣B ．103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣D ．13a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣题型四：根据存在量词命题的真假求参数问题10．若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．2{|}2a a -≤≤B ．{|2a a ≤-或}2a ≥ C ．2{|2}a a -<<D ．{2|a a <-或}2a >11．命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤12．若命题“0x ∃∈R ，20390x mx -+<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞【双基达标】一、单选题 13．命题p ：“有些三角形是等腰三角形"的否定是（）A ．有些三角形不是等腰三角形B ．有些三角形可能是等腰三角形C ．所有三角形不是等腰三角形D ．所有三角形是等腰三角形 14．命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≥2x +1”的否定形式是（ ） A ．∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0<2x +1 B ．∀x ∈R ，∀n 0∈N *，使得n 0<2x +1 C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x 0+1 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x 0+115．下列命题中是全称命题并且是真命题的是（ ） A ．所有菱形的四条边都相等 B ．若2x 为偶数，则x 为自然数 C ．若对任意x ∈R ，则2210x x ++> D ．π是无理数16．下列全称量词命题中真命题的个数为（ ） ①负数没有倒数；②对任意的实数a ，b ，都有220a b +≥； ③二次函数21y x ax =--的图象与x 轴恒有交点；④x R ∀∈，y R ∈，都有20x y +>.A ．1B ．2C ．3D ．417．若存在x ∈R ，使220x x a ++<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．1a ≤C ．11a -<<D ．11a -<≤18．若命题“2,2x R x a ∀∈+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]2-∞，B ．()2-∞，C ．[)2-∞，D ．()2+∞， 19．已知[]04x ∃∈，， 使2250x x m -+-<是真命题， 则m 的取值范围为（ ）A ．5∞+（，）B ．()13∞+，C ．()4∞+D ．()13∞-，20．若命题“[]1,2x ∀∈，10ax +>”是真命题，则a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞21．命题“任意a ∈R ，使方程10ax +=都有唯一解”的否定是（ ） A ．任意a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一 B ．存在a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一 C ．任意a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一或不存在 D ．存在a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一或不存在 22．下列说法错误的是（ ）A ．“若x ≠3，则x 2﹣2x ﹣3≠0”的逆否命题是“若x 2﹣2x ﹣3＝0，则x ＝3”B ．“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣3≠0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0﹣3＝0”C ．“x ＞3”是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的必要不充分条件D ．“x ＜﹣1或x ＞3” 是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的充要条件【高分突破】一：单选题23．命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是A ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+<B ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+≥C ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<D ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+≥24．已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞-B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-25．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．x R ∀∈，210x x -+≤C ．0x R ∃∈，2010x x -+<D ．0x R ∃∈，20010x x -+≤ 26．若命题“x R ∃∈，使()2110x a x ++<－”是假命题，则实数a 的取值范围为A ．13a ≤≤B ．13a ≤≤－C ．33a ≤≤－D ．11a ≤≤－27．若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为 A ．(,22⎤-∞⎦B ．223⎡⎤⎣⎦，C ．223⎡⎤-⎣⎦，D ．3λ= 28．已知命题P ：2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<若命题P 是假命题，则a 的取值范围为（ ）A ．13a ≤≤B ．13a -≤≤C ．13a <<D ．02a ≤≤二、多选题29．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有 A ．21,0.4x x x R $?+< B ．所有的正方形都是矩形 C ．2,220x x x $?+R …D ．至少有一个实数x ，使310x += 30．下列说法正确的是（ ）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D ．“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件 31．命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．8a ≥B ．9a ≥C ．10a ≥D ．11a ≥ 32．下列命题中，真命题的是（ ） A ．0a b -=的充要条件是1a b= B ．1a >，1b >是1ab >的充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“x R ∀∈都有210x x ++≥”D ．命题“x R ∀∈，210x x ++≠”的否定是“x R ∃∈，210x x ++=”33．取整函数：[]x =不超过x 的最大整数，如[1.2]1,[3.9]3,[ 1.5]2==-=-，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（ ） A ．,[2]2[]x R x x ∀∈=B ．,[2]2[]x R x x ∃∈=C ．,,[][],x y R x y ∀∈=则1x y -<D ．,,[][][]x y R x y x y ∀∈+≤+三、填空题34．命题“2,3210x R x x ∀∈-+>”的否定是__________.35．若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，36．已知命题“2,410x ax x ∀∈++>R ”是假命题，则实数a 的取值范围是_________________． 37．若全称命题：“x R ∀∈，2304kx kx +-<成立”是真命题，则实数k 的取值范围是______． 38．若对{}12x x x ∀∈≤≤，{}12t t t ∃∈≤≤，使得2x t m +>+成立，则实数m 的取值范围是_______.四、解答题39．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称； (3)存在整数x ，y ，使得243x y +=； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数.40．命题p ：任意x ∈R , 2x -230mx m ->成立；命题q ：存在x ∈R , 2x +410mx +<成立. （1）若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围; （2）若命题q 为假命题,求实数m 的取值范围;（3）若命题p 、q 至少有一个为真命题,求实数m 的取值范围;41．已知a ∈R ，命题p ：∀x ∈[－2，－1]，x 2－a≥0，命题q ：()2000,220x R x ax a ∃∈+--=．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，求实数a 的取值范围．42．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.43．已知m R ∈，命题p ：[0,1]x ∀∈，23x m m ≥-恒成立；命题q ：存在x ∈R ，使得220x x m -+->. （1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p ，q 有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围.【答案详解】1．D 【详解】对于A 选项，命题“对任意的a 、b R ∈，都有222220a b a b +--+<”为全称命题， 但()()2222222110a b a b a b +--+=-+-≥，该命题为假命题；对于B 选项，命题“菱形的两条对角线相等”为全称命题，该命题为假命题； 对于C 选项，命题“x R ∀∈，2x x =”为全称命题，当0x <时，2x x =-，该命题为假命题；对于D 选项，命题“正方形是矩形”为全称命题，该命题为真命题. 故选：D. 2．B 【详解】选项A 、C 中“有些”是存在量词，选项D 中“有一个”是存在量词，选项B 中不含存在量词，不是存在量词命题． 故选：B ． 3．C 【详解】由221551()244x x x +-=+-≥-，对于A 中，命题“(),x R p x ∀∈”是假命题，所以A 是正确的； 对于B 中，命题()p x 是假命题，所以B 是正确的；对于C 中，命题“(),x R p x ∃∈”是真命题，所以C 是错误的，D 是正确的.故选：C. 4．B 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求出结果. 【详解】则命题“()0,1x ∀∈，20x x -<”的否定为()0,1x ∃∈，20x x -≥， 故选：B. 5．A 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题P 的否定为：x R ∃∈，210x +≤， 故选：A. 6．B 【详解】因为命题0:(0,1)p x ∃∈使得2340x x --=成立，则p ⌝为(0,1)x ∀∈都有2340x x --≠恒成立， 故选：B. 7．A 【详解】解：因为命题“x R ∀∈，使220x x m -->”是真命题， 所以440m ∆=+<，解得1m <- 故m 的取值范围是(,1)-∞-． 故选：A ．8．B 【详解】因为命题p 为假命题，则命题p 的否定为真命题，即：2,10x R mx ∀∈+>为真命题， 解得0m ≥，同理命题q 为假命题，则命题q 的否定为真命题，即2,10R x mx ∃∈++≤为真命题， 所以240m ∆=-≥，解得2m ≥或2m ≤-， 综上：2m ≥， 故选：B 9．C先求当命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>为真命题时的a 的取值范围 （1）若0a =，则不等式等价为230x +>，对于x R ∀∈不成立， （2）若a 不为0，则04120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得13a >，∴命题p 为真命题的a 的取值范围为13aa ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣， ∴命题p 为假命题的a 的取值范围是13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣. 故选：C 10．C 【详解】命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是假命题， 则需满足240a ∆=-<，解得22a -<<.11．C命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤为真命题， 即{|19}x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤成立，即36a x x≥+能成立 设36()f x x x =+，则3636()212fx x x xx=+≥⋅=，当且仅当36x x=，即6x =时，取等号，即m i n ()12f x =，12a ∴≥，故a 的取值范围是12a ≥． 故选：C ． 12．C 【详解】若命题“0x ∃∈R ，200390x mx -+<”为假命题，则若命题“x ∀∈R ，2390x mx -+≥”为真命题， 所以29360m ∆=-≤，解得22m -≤≤. 故选：C. 13．C 【详解】 命题p ：“存在 x A ∈，使 ()P x成立”，p ⌝ 为：“对任意 x A ∈，有 ()P x 不成立”．故命题 p ：“有些三角形是等腰三角形’’，则 p ⌝ 是“所有三角形不是等腰三角形”．14．D 【详解】解：由特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≥2x +1”的否定形式为“∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x 0+1”， 故选：D ． 15．A 【详解】B 选项，是真命题，但不是全称命题；C 选项，是假命题，1x =-不成立；D 选项，是真命题，但不是全称命题． 故选：A 16．B 【详解】解：：①负数有倒数；故错误；②对任意的实数a ，b ，都有222a b ab +…；由于2()0a b -…恒成立，故正确； ③二次函数2()1f x x ax =--与x 轴恒有交点；由于△240a =+>，故恒有交点，故正确；④x R ∀∈，y R ∈，当0x y ==时，都有2||0x y +=．故错误． 所以真命题的个数为2. 故选：B ． 17．A 【详解】由题意知函数22y x x a =++的图象有在x 轴下方的部分，即440∆=->a ，解得1a <， 故选：A. 18．B 【详解】因为命题“2,2x R x a ∀∈+>”是真命题，且x R ∀∈，222x +≥， 所以2a <. 故选：B 19．C 【详解】因为[]1,4x ∃∈ 使2250x x m -+-<是真命题，所以2250x x m -+-<在[]1,4x ∈上能成立，即225x x m -+<在[]1,4x ∈上能成立，设()225g x x x =-+，开口向上，且对称轴为1x =，所以()g x 在[]1,4上的最小值为()2112154g =-⨯+=，故4m <，故选：C. 20．A 【详解】解：因为[]1,2x ∀∈，10ax +>，所以10210a a +>⎧⎨+>⎩，解得12a >-故选：A 21．D该命题的否定：存在a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一或不存在. 故选：D. 22．C 【详解】根据命题“若p 则q ”的逆否命题为“若q ⌝则p ⌝”，可知“若x ≠3，则x 2﹣2x ﹣3≠0”的逆否命题是“若x 2﹣2x ﹣3＝0，则x ＝3”，即A 正确；根据全称命题的否定是特称命题可知，“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣3≠0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0﹣3＝0，即B 正确；不等式x 2﹣2x ﹣3＞0的解为x ＜﹣1或x ＞3，故“x ＞3”可推出“x 2﹣2x ﹣3＞0”，但 “x 2﹣2x ﹣3＞0”推不出“x ＞3”，即“x ＞3”是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的充分不必要条件，C 错误，“x ＜﹣1或x ＞3” 是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的充要条件，D 正确. 故选：C. 23．C全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“[)30,,0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<，选C.24．B 【详解】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 25．C 【详解】命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是“0x R ∃∈，2010x x -+<” 故选：C 26．B 【详解】由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使()2110x a x ++≥－”，即2(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B. 27．A 【详解】因为命题“1[,2]2x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”为假命题，所以该命题的否定“1[,2]2x ∀∈，使得2210x x λ-+≥恒成立成立”，即221x xλ+≤对于1[,2]2x ∀∈恒成立，而2211122222x x x x x x +=+≥⋅=（当且仅当12x x =，即22x =时取等号），即22λ≤；故选A. 28．B 【详解】由题：命题P 是假命题，其否定:2,(1)10x R x a x ∀∈+-+≥为真命题， 即2(1)40a ∆=--≤，解得13a -≤≤. 故选：B 29．AC由条件可知：原命题为特称量词命题且为假命题，所以排除BD ；又因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，()2222110x x x ++=++>，所以AC 均为假命题，故选AC. 30．BD 【详解】解：A.命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”，故错误； B.命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”，正确；C.22x y x y >⇔>，x y >不能推出x y >，x y >也不能推出x y >，所以“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件，正确， 故选：BD. 31．CD 【详解】由题意，命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题，即20x a -≤在[]1,3x ∈上恒成立，即2a x ≥在[]1,3x ∈上恒成立，又由22()39man x ==，即9a ≥，结合选项，命题为真命题的一个充分不必要条件为C 、D. 故选：CD.32．BCD 【详解】A. 当0b =时，1a b=不成立，故不充分；当1a b=可推出0a b -=，故必要，故错误； B. 由不等式的基本性质知1a >，1b >可推出1ab >，故充分，故正确； C.存在量词命题的否定是全称量词命题，故正确； D. 全称量词命题的否定是存在量词命题，故正确； 故选：BCD 33．BC1.5x =时，[2][3]3x ==，但2[]2[1.5]212x ==⨯=，A 错；2x =时，[2][4]42[2]2[]x x ====，B 正确；设[][]x y k Z ==∈，则1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，∴1x y -<，C 正确；0.5,0.6x y ==，则[][]0x y +=，但[][1.1]1x y +==[][]x y >+，D 错．故选：BC ．34．2000,3210x R x x ∃∈-+≤ 【详解】由全称命题的否定可知，命题“2,3210x R x x ∀∈-+>”的否定是“0x R ∃∈，2032x x - 10+≤”，故答案为“0x R ∃∈，203210x x -+≤”. 35．[]1,3- 【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题， 则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．36．(,4]-∞ 【详解】当命题为真时，由0a >且0∆<可得4a >，故命题为假时，4a ≤，故实数a 的取值范围是(],4-∞．37．(3,0]-当0k =时，原不等式化为“304-<”对x R ∀∈显然成立．当0k ≠时，只需0k <⎧⎨∆<⎩,即2030k k k <⎧⎨+<⎩ 解得30k -<<．综合①②，得30k -<≤．故答案为：(3,0]-． 38．2m < 【详解】因为12x ≤≤，所以324x ≤+≤，又12t ≤≤，所以12m t m m +≤+≤+， 若对{}12x x x ∀∈≤≤， {}12t t t ∃∈≤≤，使得2x t m +>+成立， 则需()()min min 2x t m +>+，即31m >+，解得2m <， 故填：2m <. 39． 【详解】(1)2,0∈≥∀x R x ，是真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，； (3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数； (4)3,R x Q x Q ∃∈∈ð.真命题,例如332,2x x Q ==∈. 40． 【详解】解：（1）由题,()()22430m m ∆=---<,即24120m m +<,30m \-<<（2）由题,2(4)40m D=-?,即21640m -≤,1122m \-＃ （3）当q 是真命题时,由（2）, 12m >或12m <-∴若命题p 、q 至少有一个为真命题,由（1）,则需满足30m -<<或12m >或12m <- ∴0m <或12m > 41．(1)令()[]2,2,1f x x a x =-∈--，根据题意，“命题p 为真命题”等价于“当[]2,1x ∈--时，()0min f x ≥”． ∵()1min f x a =-，∴10a -≥，解得1a ≤.∴实数a 的取值范围为(],1∞-．(2)由(1)可知，当命题p 为真命题时，实数a 满足1a ≤．当命题q 为真命题，即方程有实数根时，则有Δ＝4a 2－4(2－a)≥0， 解得2a ≤-或1a ≥．∵命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，∴命题p 与q 一真一假①当命题p 为真，命题q 为假时，得121a a ≤⎧⎨-<<⎩，解得21a -<<； ②当命题p 为假，命题q 为真时，得121a a a >⎧⎨≤-≥⎩或，解得1a >．综上可得21a -<<或1a >．∴实数a 的取值范围为()()2,11,-⋃+∞． 42．【详解】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立， 而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤， 所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤； （2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立，只需()2min 10x x m -+-≤，而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤， 即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤， 依题意命题,p q 一真一假，若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <； 若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤， 综上，1m <或524m <≤.43．（1）[0,3]；（2）0m <或13m ≤≤.【详解】（1）∵[0,1]x ∀∈，23x m m ≥-∴230m m -≤，解得03m ≤≤，故实数m 的取值范围是[0,3]（2）当q为真命题时，则440m∆=->，解得1m<∵p，q有且只有一个真命题当p真q假时，031mm≤≤⎧⎨≥⎩，解得：13m≤≤当p假q真时，031m mm⎧⎨<⎩或，解得：0m<综上可知，13m≤≤或0m<故所求实数m的取值范围是0m<或13m≤≤.。
全称量词与存在量词(讲义)解析版--2023年初升高暑假衔接之高一数学
1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ∈∀，()x p 读作：对任意x 属于M ，有()x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =是无理数，3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ∀∈>，假命题；（2）,1x x R x ∀∈=，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x ∀∈>.易得当0x =时20x =,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ∀∈=,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，11≥+x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（3是无理数，但22=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ∈∃，()x p 读法：存在M 中的元素x ，使得()x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ++=．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据()2223122x x x ++=++≥，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于()22231220x x x ++=++≥>，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）N x ∈∀，14≥x （3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =与x =-，但它们都不是有理数，所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p 否定为：M x ∈∃，()x p ⌝（2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ∈∃，()x p 否定为：M x ∈∀，()x p ⌝考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ∀>>”的否定是（）A ．01x ∃>≤B ．01x ∀>≤C ．01x ∃≤≤D ．01x ∀≤≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】解：命题1x ∀>>，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>≤故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是（）A ．R x ∃∈，210x x -+>B ．R x ∃∈，210x x -+≥C ．R x ∀∈，210x x -+>D ．R x ∀∈，210x x -+≥【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是“R x ∀∈，210x x -+≥”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（）A ．N,2100n n ∀∈B ．N,21000n n ∀∈>C ．N,21000n n ∃∈D ．N,21000n n ∃∈<【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题[]2000:3,3,210p x x x ∃∈-++≤，则命题p 的否定为（）A ．[]23,3,210x x x ∀∈-++>B ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++>C ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++≤D ．[]20003,3,210x x x ∀∈-++<【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p []23,3,210x x x ∀∈-++>.故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.变式6-3写出下列各题中的p ⌝：（1）:,10p x Z x ∃∈->；（2）:,20p x Q x ∀∈-≥；（3）2:,10p x R x ∀∈+>；（4）2:,10p x R x ∃∈-<.【答案】（1）:,10p x Z x ⌝∀∈-≤；（2）:,20p x Q x ⌝∃∈-<；（3）2:,10p x R x ⌝∃∈+≤；（4）2:,10p x R x ⌝∀∈-≥.【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。
第05讲 全程量词与存在量词(考点讲解)
第05讲全程量词与存在量词【学习目标】1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.【知识结构】【考点总结】一、全称量词与全称命题二、存在量词与特称命题(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)；全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)；特称命题的否定是全称命题．(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.(2)特称命题：含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.【例题解析】题型一全称量词与全称命题【例1】试判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x4≥1；(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解 (1)由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋2≥2>0，即x 2＋2>0，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋2>0”是真命题.(2)由于0∈N ，当x ＝0时，x 4≥1不成立，所以命题“∀x ∈N ，x 4≥1”是假命题.(3)由于∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1”是真命题.规律方法 判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真，则全称命题为真；代入法：在给定的集合内找出一个x 0，使p (x 0)为假，则全称命题为假.【训练1】 试判断下列全称命题的真假：(1)∀x ∈R ，x 2＋1≥2；(2)任何一条直线都有斜率；(3)每个指数函数都是单调函数.解 (1)由于0∈R ，当x ＝0时，x 2＋1≥2不成立，所以“∀x ∈R ，x 2＋1≥2”是假命题.(2)当直线的倾斜角为π2时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题. (3)无论底数a >1或是0<a <1，指数函数都是单调函数，所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题. 题型二 存在量词与特称命题【例2】 判断下列特称命题的真假：(1)∃x 0∈Z ，x 30<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tan α无意义；(4)∃x 0∈R ，cos x 0＝π2. 解 (1)∵－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，∴“∃x 0∈Z ，x 30<1”是真命题.(2)真命题，如梯形.(3)真命题，当α＝π2时，tan α无意义. (4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1，1]，而π2>1， ∴不存在x 0∈R ，使cos x 0＝π2， ∴“∃x 0∈R ，cos x 0＝π2”是假命题. 规律方法 判定特称命题真假的方法：代入法：在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为真，则特称命题为真，否则命题为假.【训练2】 试判断下列特称命题的真假：(1)∃x 0∈Q ，x 20＝3；(2)∃x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0；(3)∃x 0∈R ，tan x 0＝1；(4)∃x 0∈R ，lg x 0＝0.解 (1)由于使x 2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3， 所以命题“∃x 0∈Q ，x 20＝3”为假命题.(2)因为x 0>0，y 0>0，所以x 20＋y 20>0，所以“∃x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0”为假命题.(3)当x 0＝π4时，tan π4＝1，所以“∃x 0∈R ，tan x 0＝1”为真命题. (4)当x 0＝1时，lg 1＝0，所以“∃x 0∈R ，lg x 0＝0”为真命题.题型三 全称命题、特称命题的应用方向1 根据特称命题的真假求参数的取值范围【例3－1】 若命题p ：存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，求实数a 的取值范围.解 由ax 20＋2x 0＋a <0，得a (x 20＋1)<－2x 0，∵x 20＋1>0， ∴a <－2x 0x 20＋1＝－2x 0＋1x 0， 当x 0>0时，x 0＋1x 0≥2， ∴0＞－2x 0＋1x 0≥－1， 当x 0<0时，x 0＋1x 0≤－2， ∴0＜－2x 0＋1x 0≤1， ∴－2x 0＋1x 0的最大值为1. 又∵∃x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0成立，∴只要a <1，∴a 的取值范围是(－∞，1).方向2 根据全称命题的真假求参数取值范围【例3－2】 若不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围. 解 ①当m ＋1＝0即m ＝－1时，原不等式为2x －6<0，不恒成立.②当m ＋1≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，Δ＝（m －1）2－4（m ＋1）·3（m －1）<0， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m <－1311或m >1，综上，m <－1311. 规律方法 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.【训练3】 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)若命题p ：1－sin 2x ＝sin x －cos x 是真命题，求实数x 的取值范围.解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫74，＋∞. (2)由1－sin 2x ＝sin x －cos x ， 得sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝sin x －cos x ， ∴（sin x －cos x ）2＝sin x －cos x ，即|sin x －cos x |＝sin x －cos x ，∴sin x ≥cos x .结合三角函数图象得，2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，此即为所求x 的取值范围.。
第3节 全称量词与存在量词
第3节全称量词与存在量词知识梳理1.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.2.全称命题和特称命题1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.2.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.3.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题.()(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题.()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词.()(4)“长方形的对角线相等”是特称命题.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.命题：“∃x0∈R，x20－ax0＋1<0”的否定为________.答案∀x∈R，x2－ax＋1≥03.命题“对于函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题(填“真”或“假”).答案真解析当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数.4.(多选题)(2021·济南调研)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有()A.∃x0∈R，x20－x0＋14＜0B.所有的正方形都是矩形C.∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝0D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0答案AC解析由条件可知：原命题应为特称命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x－122≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC.5.(2020·合肥调研)能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).答案－1(任意负数)解析当x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x<0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.6.若命题“∃t0∈R，t20－2t0－a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，－1]解析命题“∃t0∈R，t20－2t0－a＜0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.∴实数a的取值范围是(－∞，－1].考点一含有一个量词的命题的否定1.已知命题p：“∃x0∈R，e x0－x0－1≤0”，则綈p为()A.∃x0∈R，e x0－x0－1≥0B.∃x0∈R，e x0－x0－1＞0C.∀x∈R，e x－x－1＞0D.∀x∈R，e x－x－1≥0答案C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，e x－x－1＞0”，故选C.2.(2021·青岛模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形答案C解析“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形.3.(2021·山东重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，则綈p为()A.∀f(x)∈A，|f(x)|∉BB.∀f(x)∉A，|f(x)|∉BC.∃f(x)∈A，|f(x)|∉BD.∃f(x)∉A，|f(x)|∉B答案C解析全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论.∴綈p：∃f(x)∈A，|f(x)|∉B.4.若命题p的否定是“对所有正数x，x＞x＋1”，则命题p是________________.答案∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1感悟升华 否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.考点二 全称命题、特称命题的真假判断【例1】 (1)(多选题)(2021·德州模拟)下列四个命题中为真命题的是( ) A.∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0B.∃x 0∈(0，1)，log 12x 0＞log 13x 0C.∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞log 12xD.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜log 13x(2)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A.锐角三角形有一个内角是钝角 B.至少有一个实数x ，使x 2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x ，使1x ＞2 答案 (1)BD (2)B解析 (1)对于A ，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13x成立，故A 是假命题；对于B ，当x ＝12时，有1＝log 1212＝log 1313＞log 1312成立，故B 是真命题；对于C ，当0＜x ＜12时，log 12x ＞1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，故C 是假命题；对于D ，∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1＜log 13x ，故D 是真命题.(2)A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x ＜0，不满足1x ＞2，所以D 是假命题.感悟升华 判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.【训练1】 (1)(多选题)下列命题中是真命题的有( ) A.∀x ∈R ，2x －1＞0 B.∀x ∈N *，(x －1)2＞0 C.∃x 0∈R ，lg x 0＜1 D.∃x 0∈R ，tan x 0＝2(2)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( ) A.∀x ∈R ，f (－x )≠f (x ) B.∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x ) C.∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0) D.∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 (1)ACD (2)C解析 (1)当x ＝1时，(x －1)2＝0，故B 为假命题，其余都是真命题，故选ACD. (2)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题.考点三 由命题的真假求参数的取值范围【例2】 (1)已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为________.(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________. 答案 (1)(－∞，－2] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞解析 (1)由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2. (2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ， 由f (x )min ≥g (x )min ， 得0≥14－m ，所以m ≥14.感悟升华 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围.(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.【训练2】 (1)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m 的最大值为________.(2)(2020·潍坊调研)若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈ [－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)1 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，得1≤tan x ＋2≤2＋ 3.∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则m ≤1.∴实数m 的最大值为1.(2)由于函数g (x )在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集.函数f (x )的值域是[－1，3]，因为a ＞0，所以函数g (x )的值域是[2－a ，2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.A 级 基础巩固一、选择题1.命题p ：“∀x >1，x 2－1>0”，则綈p 为( ) A.∀x >1，x 2－1≤0 B.∀x ≤1，x 2－1≤0 C.∃x 0>1，x 20－1≤0D.∃x 0≤1，x 20－1≤0答案C解析命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为：∃x0>1，x20－1≤0.2.(多选题)(2020·重庆质检)下列命题中是真命题的有()A.∃x0∈R，log2x0＝0B.∃x0∈R，cos x0＝1C.∀x∈R，x2＞0D.∀x∈R，2x＞0答案ABD解析因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A，B均为真命题；02＝0，选项C为假命题；2x＞0，选项D为真命题.3.下列命题是真命题的为()A.所有的素数都是奇数B.∀x∈R，x2＋1≥0C.对于每一个无理数x，x2是有理数D.∀x∈Z，1x∉Z答案B解析对于A，2是素数，但2不是奇数，A假；对于B，∀x∈R，总有x2≥0，则x2＋1≥0恒成立，B真；对于C，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C假；对于D，1∈Z，但11＝1∈Z，D假，故选B.4.已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是()A.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0答案C解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0，故选C.5.(多选题)(2021·烟台调研)下列四个命题中是真命题的有()A.任意x∈R，3x>0B.存在x∈R，x2＋x＋1≤0C.任意x ∈R ，sin x <2xD.存在x ∈R ，cos x >x 2＋x ＋1 答案 AD解析 ∀x ∈R ，3x >0恒成立，A 是真命题. 又x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴B 是假命题.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π＝1>2－32π，知C 是假命题.取x ＝－12时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝32，但x 2＋x ＋1＝34<32，则D 为真.6.已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，0) B.[0，4] C.[4，＋∞) D.(0，4)答案 D解析 因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定为“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题.则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4.7.已知函数f (x )＝x 12，则( ) A.∃x 0∈R ，f (x 0)＜0 B.∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0 C.∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0D.∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)＞f (x 2) 答案 B解析 幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C 错误；D 选项中当x 1＝0，结论不成立.8.(2020·江南十校联考)已知f (x )＝sin x －tan x ，命题p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)<0，则( )A.p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B.p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C.p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D.p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0答案 C解析 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，sin x <1，tan x >1.此时sin x －tan x <0，故命题p 为真命题.由于命题p 为特称命题，所以命题p 的否定为全称命题， 则綈p 为：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0. 二、填空题9.命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0”的否定是________. 答案 ∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤010.下列命题中的假命题是________(填序号).①∃x 0∈R ，lg x 0＝1；②∃x 0∈R ，sin x 0＝0；③∀x ∈R ，x 3＞0；④∀x 1＞x 2，2x 1＞2x 2. 答案 ③解析 当x ＝10时，lg 10＝1，则①为真命题； 当x ＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x ＜0时，x 3＜0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x 1＞x 2，2x 1＞2x 2，则④为真命题.11.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.12.能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，则f (x )在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.答案 f (x )＝sin x ，x ∈[0，2](答案不唯一，再如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，1x，0<x ≤2)解析 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0).B 级 能力提升13.命题“∃n 0∈N *，f (n 0)∈N *，且f (n 0)≤n 0”的否定形式是( ) A.∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B.∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C.∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D.∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 B解析 因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃n 0∈N *，f (n 0)∈N *且f (n 0)≤n 0”的否定形式是“∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n ”. 14.(多选题)(2021·青岛质检)下列说法正确的是( ) A.“x ＝π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件B.定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最大值为30C.命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x ＞2”D.“所有的分数都是有理数”的否定是“有的分数不是有理数” 答案 ABD解析 由x ＝π4，得tan x ＝1，但由tan x ＝1不一定推出x ＝π4，可知“x ＝π4”是 “tan x ＝1”的充分不必要条件，所以A 正确；若定义在[a ，b ]上的函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 是偶函数，则⎩⎨⎧a ＋5＝0，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝5，则f (x )＝x 2＋5，其在[－5，5]上的最大值为30，所以B 正确；显然C 错误，D 正确.15.若“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________.答案 (－∞，22]解析 若“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立”是假命题， 即“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ＞2x 0＋1x 0成立”是假命题， 则“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ≤2x ＋1x 成立”是真命题， x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，当x 0＝22时，2x 0＋1x 0取最小值22， 故实数λ的取值范围为(－∞，22].16.已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12.。
高三数学知识点复习全称量词与存在量词
全称量词与存在量词知识梳理1、数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。
在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们p q p q困惑的症结所在。
一般地，全称命题P：∀ x∈M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：∃x∈M,使P（x）不成立。
存在性命题P：∃x∈M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：∀x∈M,有P（x）不成立。
用符号语言表示：P:∀∈M, p(x）否定为⌝ P: ∃∈M, ⌝ P（x）P:∃∈M, p(x）否定为⌝ P: ∀∈M, ⌝ P（x）典例剖析题型一全称命题的否定例1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x∈R，x2-2x+1≥0题型二存在性命题的否定例2：写出命题的否定（1）p：∃x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；备选题例3：写出下列命题的否定。
（1） 若x 2＞4 则x ＞2.。
（2） 若m≥0,则x 2+x-m=0有实数根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。
（4） 被8整除的数能被4整除。
（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
点击双基1、下列命题中，真．命题是 （ ） A. ,sin cos 1.5x R x x ∃∈+=.B (0,),1x x e ∀∈+∞> C ．2,1x R x x ∃∈+=D ．(0,),sin cos x x x π∀∈> 2、命题“存在x Z ∈，使22x x m ++≤0”的否定是（ ）.A 存在x Z ∈使22x x m ++0>.B 不存在x Z ∈使22x x m ++0> .C 对任意x Z ∈使22x x m ++≤0 .D 对任意x Z ∈使22x x m ++0>3、已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x > 4、若命题P ：2,10,x R x ∀∈->则命题P 的否定 .5、以下为真命题的序号是（1）2,x R x x ∃∈> （2）2,x R x x ∀∈> （3）2,80x Q x ∃∈-= （4）2,20x R x ∀∈+> 课外作业一、选择1、已知命题x x R x p sin ,:>∈∀，则p 的否定形式为 （ ）A ．x x R x p sin ,:<∈∃⌝B ．x x R x p sin ,:≤∈∀⌝C ．x x R x p sin ,:≤∈∃⌝D ．x x R x p sin ,:<∈∀⌝2、以下错误的是（ ）A ．“对任意实数x ，均有x 2－2x+1≥0；”的否定为：“存在一个实数x ，使得x 2－2x+1＜0”B ．“存在一个实数x ，使得x 2－9=0” 的否定为：“不存在一个实数x ，使得x 2－9=0”C ．“AB ∥CD ”且“AB=CD ” 的否定为：“AB 不平行于CD 或AB ≠CD ”D ．“△ABC 是直角三角形或等腰三角形” 的否定为：“△ABC 既不是直角三角形又不是等腰三角形”3、以下错误的是（ ）A ．命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为：“若023,12≠+-≠x x x 则”B ．“x=1”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题使得R x p ∈∃:012<++x x ，则01,:2≥++∈∀⌝x x R x p 均有 4、命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>， 5、命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 A.不存在0x ∈R, 02x >0 B.存在0x ∈R, 02x ≥0C.对任意的x ∈R, 2x ≤0D.对任意的x ∈R, 2x >06、已知:,10p x R x ∀∈+>，:32q >，则下列判断错误的是：（ ）A. “p q ∨”为真，“q ⌝”为假B. “p q ∧”为假，“p ⌝”为真C. “p q ∧”为假，“p ⌝”为假D. “p q ∧”为假，“p q ∨”为真 7、已知命题;25sin ,:=∈∃x R x p 使:,q x R ∀∈命题都有210.x x ++>给出下列结论：①命题“q p ∧”是真命题 ②命题“q p ⌝∧”是假命题③命题“q p ∨⌝”是真命题； ④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是（ ）. A ．②④ B ．②③ C ．③④ D ．①②③8、已知命题p:“[]21,2,0x x a ∀∈-≥”，命题q:“2,220x R x ax a ∃∈++-=”若“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}21a a a ≤-=或 B. {}212a a ≤-≤≤或C. {}1a a ≥D. {}21a a -≤≤二、填空9、命题“21,2≥+∈∃x R x ”的否定形式是______________________.10、若命题“∃x ∈R , 使x 2+ax +1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围为 .11、下列命题是全称命题的序号为（1）方程2x=5只有一解；（2）凡是质数都是奇数；（3）方程2x 2＋1=0有实数根；（4）没有一个无理数不是实数；（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；（6）集合A ∩B 是集合A 的子集；三、解答12、写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）p ：∀m ∈R ，方程x 2+x-m=0必有实根；（2）q ：∃∈R ，使得x 2+x+1≤0；13、写出下列命题的否定（1）所有人都晨练；（2）01,2>++∈∀x x R x ；（3）平行四边形的对边相等；（4）01,2=+-∈∃x x R x 。
全称量词和存在量词
解：(1)全称命题，因为x＝0时，x2＋x＋1 ＝1≠0，故是假命题．
(2)特称命题，是真命题，比如10既能被2整 除，又能被5整除．
(3)全称命题，是真命题．
(4)全称命题，是假命题，因为只有x＝2或x ＝1时满足．
例题讲解
类型二、全称命题与特称命题的表述 [例2] (1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角 和 为 360°. 试 用 不 同 的 表 述 写 出 全 称 命 题 “∀x∈S，p(x)”． (2)设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写 出特称命题“∃x∈R，q(x)”．
(2)令y＝0，则f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0)＝f(x)＋2＝(x ＋2×0＋1)x＝x2＋x，∴f(x)＋6＝x2＋x＋4.
∴要使在(0,4)上存在 )存在 x0 使 a＝x0＋x40＋1.而 x＋4x＋1≥4＋1＝5， 等号当且仅当 x＝2 时成立．
解析：当x＝0时，0∈N，但0<1. 故“∀x∈N，x≥1”是假命题． 答案：B
4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到 这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等； ④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形； ⑥存在三角形其内角和大于180°.
既是全称命题又是真命题的是________，既是特称 命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序 号)．
解：(1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,5×3＋1＝16 均为偶数，∴是真命题． (2)∵x20－6x0－5＝0 中，Δ＝36＋20＝56>0， ∴方程有两个不相等的实根，∴是真命题． (3)∵x20－x0＋1＝0 中，Δ＝1－4＝－3<0， ∴x02－x0＋1＝0 无解，∴是假命题． (4)∵x＝－1 时，|－1＋1|＝0，∴是假命题．
高三数学一轮复习知识点讲解1-2全称量词与存在量词、充要条件
高三数学一轮复习知识点讲解专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件【考纲解读与核心素养】1．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义. (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象能力.【知识清单】1. 充分条件与必要条件（1）若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； （2）若p ⇒q ，且q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件； （3）若p ⇒/q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； （4）若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；（5）若p ⇒/q 且q ⇒/p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2. 全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．（3）全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．2．存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．（3）特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为00,()x M p x ∃∈，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3．全称命题与特称命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．（2）“p 或q ”的否定为：“非p 且非q ”；“p 且q ”的否定为：“非p 或非q ”． （3）含有一个量词的命题的否定命题命题的否定,()x M p x ∀∈ 00,()x M p x ∃∈⌝00,()x M p x ∃∈,()x M p x ∀∈⌝【典例剖析】高频考点一 充要条件的判定例1.（2019年高考浙江）若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故选A.例2.（2018年浙江卷）已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.【思路点拨】一般地，充分、必要条件判断方法有三种.本题难度较小，根据线面平行的判定定理可得充分性成立，而由无法得到m 平行于平面内任一直线，即必要性不成立．例3．（2019·北京高考真题（理））设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件, 故选C. 【规律方法】充要关系的几种判断方法(1)定义法：若 ,p q q p ⇒≠> ，则p 是q 的充分而不必要条件；若,p q q p ≠>⇒ ，则p 是q 的必要而不充分条件；若,p q q p ⇒⇒，则p 是q 的充要条件； 若,p q q p ≠>≠> ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件 【变式探究】1.（2019年高考天津理）设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件， 即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.2.（2019·北京高考真题（文））设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】时，,为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.3．（2017·浙江省高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ． 高频考点二：充分条件与必要条件的应用例4.（江西省新八校2019届高三第二次联考）若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________． 【答案】3m >因为“3x >”是“x m >”的必要不充分条件， 所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >， 故答案为3m >. 【规律方法】1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面 (1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p 是q 的……”还是“p 的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断． 【变式探究】（安徽省江南片2019届高三开学联考）设p ：实数x 满足(3)()0x a x a --<，q ：实数x 满足302x x +>+． （Ⅰ）当1a =时，若p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）当0a <时，若p 是q ⌝的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()(),32,-∞--+∞；（2）()2,1--． 【解析】（Ⅰ）当1a =时，p ：13x <<，q ：3x <-或2x >-. 因为p q ∨为真，所以p ，q 中至少有一个真命题. 所以13x <<或3x <-或2x >-， 所以3x <-或2x >-，所以实数x 的取值范围是()(),32,-∞-⋃-+∞. （Ⅱ）当0a <时，p ：3a x a <<，由302x x +>+得：q ：3x <-或2x >-， 所以q ⌝：32x -≤≤-，因为p 是q ⌝的必要条件，所以{|32}{|3}x x x a x a -≤≤-⊆<<， 所以332a a <-⎧⎨>-⎩，解得21a -<<-，所以实数a 的取值范围是()2,1--. 【特别警示】根据充要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误． 高频考点三：全称量词与存在量词例5.（2018贵州凯里一中模拟）命题p ：0x R ∃∈，()02f x ≥，则p ⌝为（ ） A ． x R ∀∈， ()2f x < B ． x R ∀∈， ()2f x ≥ C ． 0x R ∃∈， ()2f x ≤ D ． 0x R ∃∈， ()2f x < 【答案】A【解析】根据特称命题的否定，易知原命题的否定为： (),2x R f x ∀∈<，故选A ． 例6．（2013·重庆高考真题（文））命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0【答案】D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．例7. 有下列四个命题，其中真命题是（ ）． A.n ∀∈R ，2n n ≥B.n ∃∈R ，m ∀∈R ，m n m ⋅=C.n ∀∈R ，m ∃∈R ，2m n <D.n ∀∈R ，2n n <【答案】B 【解析】对于选项A ，令12n =，则2111242⎛⎫=< ⎪⎝⎭，故A 错；对于选项B ，令1n =，则m ∀∈R ，1⋅=m m 显然成立，故B 正确； 对于选项C ，令1n =-，则21<-m 显然无解，故C 错； 对于选项D ，令1n =-，则2(1)1-<-显然不成立，故D 错. 故选：B 【规律方法】1．全称命题真假的判断方法（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立； （2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可． 2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真所有对象使命题真否定为假假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真4．常见词语的否定形式有：原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x ∈A 使p (x )真 否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x 0∈A 使p (x 0)假【变式探究】1．（2015·全国高考真题（理））设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P 的否定为（ ）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C 【解析】根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2.（2019·江苏省如东高级中学高三月考）命题“20,0x x ∀><都有”的否定是________.【答案】20,0x x ∃<≤有 【解析】全称量词改存在，再否定结论，即“20,0x x ∀><都有”的否定是：20,0x x ∃<≤有 故答案为：20,0x x ∃<≤有 3．给出下列命题：（1）x ∀∈R ，20x >；（2）x ∃∈R ，210x x ++≤；（3）a ∃∈RQ ，Rb ∈Q ，使得a b +∈Q ．其中真命题的个数为______． 【答案】1 【解析】对于（1），当0x =时，20x =，所以（1）是假命题；对于（2），2213310244x x x ⎛⎫++=++≥> ⎪⎝⎭，所以（2）是假命题；对于（3），当22a =，32b =+时，5a b +=，所以（3）是真命题． 所以共有1个真命题， 故填：1. 【易错提醒】1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．。
预备知识5 全称量词与存在量词(解析版)-2024-2025初升高衔接精品资料(新高一暑假学习提升)
专题05预备知识五：全称量词与存在量词1、理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性3、能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系对点特训一：全称量词命题与存在量词命题的真假判断1．（2024高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（）①x ∀∈R ，220x +>；②4,1x x ∀∈≥N ；③3,1x x ∃∈<Z ；④2,3x x ∃∈=Q ．A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐一判断各个命题即得.【详解】x ∀∈R ，2220x +≥>，①正确；当0x =时，401x =<，②错误；1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）命题“0x ∃>，230x -<”的否定是（）A．0x ∃≤，230x -<B．0x ∃>，230x -≥C．0x ∀≤，230x -<D．0x ∀>，230x -≥【答案】D【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】命题“0x ∃>，230x -<”为存在量词命题，其否定为：0x ∀>，230x -≥.故选：D2．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知命题p ：x ∀∈R ，3210x x +->，则p ⌝为（）A．0x ∃∈R ，300210x x +-≤B．0x ∃∈R ，300210x x +-<C．x ∀∈R ，3210x x +-≤D．x ∀∈R ，3210x x +-<【答案】A【分析】在给命题取否定时，需要将任意量词和存在量词互相转换，并对结论取否定.【详解】将原命题的任意量词x ∀∈R 换成存在量词0x ∃∈R ，结论中的“0>”换成“0≤”就得到原命题的否定p ⌝为：0x ∃∈R ，300210x x +-≤，从而A 正确.故选：A对点特训三：根据全称（特称）命题的真假求参数典型例题例题1．（22-23高三上·山东淄博·阶段练习）若命题p ：“0x ∀>，240x ax -+≥”是真命题，则实数a 的取值范围是（）1．（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“2R,2120x ax ax ∀∈-+>”是真命题，则a 的取值范围为（）A．012a a <>或B．012a a ≤>或C．012a <<D．012a ≤<【答案】D【分析】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得a 的取值范围.【详解】若命题“2R,2120x ax ax ∀∈-+>”是真命题，则当0a =时，不等式为120>对R x ∀∈恒成立；故“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件.故选：B.5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“x ∀∈R ，使2250x x m +-≠”是假命题，则实数m 的一个可能取值为.【答案】0（答案不唯一）【分析】由题意得2250x x m +-=有解，再根据一元二次方程根的判别式即可得解.【详解】因为命题“x ∀∈R ，使2250x x m +-≠”是假命题，所以命题“x ∃∈R ，使2250x x m +-=”是真命题，即方程2250x x m +-=有解，所以()2Δ5420m =-⨯⨯-≥，得258m ≥-，故实数m 的一个可能取值为0（满足258m ≥-即可）．故答案为：0（答案不唯一）.6．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“x ∃∈R ，使得220x x m -+=”是真命题，则实数m 的取值范围为．【答案】(],1-∞【分析】原命题转化为“方程220x x m -+=有实数解”，再由0∆≥可求实数m 的取值范围.【详解】若命题“R x ∃∈，使得220x x m -+=”是真命题，也就是“方程220x x m -+=有实数解”，∴0∆≥⇒440m -≥⇒1m ≤.故答案为：(],1-∞一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）命题“x ∀∈Z ，20x ≥”的否定是（）A．x ∃∈Z ，20x ≥B．x ∃∉Z ，20x ≤C．x ∃∈Z ，20x <D．x ∃∉Z ，20x <【答案】C【分析】根据命题“x M ∀∈，()p x ”的否定是“x M ∃∈，()p x ⌝”直接得出结果.【详解】命题“x ∀∈Z ，20x ≥”的否定是“x ∃∈Z ，20x <”．故选：C．2．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）命题“1x ∃≥，10x +≥”的否定是（）A．1x ∀≥，10x +<B．1x ∃≥，10x +<。
全称量词与存在量词
全称量词与存在量词简介在语言学中，量词被用来表示数量或度量。
而在数量的表达中，全称量词和存在量词是两种常见的用法。
全称量词表达的是全体的概念，而存在量词则表达的是部分的概念。
本文将详细介绍全称量词和存在量词的概念和用法，并举例说明。
全称量词全称量词是指用来表示集合中全部成员的量词。
它强调的是全体的概念，表示所有的事物都具有某个属性或满足某种条件。
常见的全称量词包括“每个”、“所有”、“任何”等。
在句子中，全称量词通常与“都”、“皆”等副词搭配使用，以强调全体的意义。
下面是一些例句：•每个人都有自己的梦想。
•所有学生都要参加体育课。
•任何人都可以报名参加比赛。
全称量词的用法具有普遍性，适用于各种不同的情况。
它是对整个集合进行描述和判断的一种方式。
存在量词存在量词是指用来表示集合中部分成员的量词。
它强调的是存在的概念，表示集合中至少有一个事物具有某个属性或满足某种条件。
常见的存在量词包括“有些”、“部分”、“某些”等。
在句子中，存在量词通常与“至少”、“不少于”等副词搭配使用，以强调存在的意义。
下面是一些例句：•至少有些人喜欢音乐。
•不少于部分学生参加了校运会。
•某些人对政治不感兴趣。
存在量词的用法侧重于对部分集合进行描述和判断。
它表示的是一个或一部分事物具有某种属性或满足某种条件。
全称量词与存在量词的异同点全称量词和存在量词虽然用法不同，但它们都可以用来描述集合中的事物，并对其进行判断。
它们的主要区别在于强调的程度和内容。
全称量词强调的是全体，表示整个集合中的事物都具有某个属性或满足某种条件。
它的范围更广，适用于所有的情况，无论是具体还是抽象的。
存在量词强调的是存在，表示集合中至少有一个事物具有某个属性或满足某种条件。
它的范围较窄，适用于一部分的情况，有时候可能只是指代一种可能性。
结论全称量词和存在量词是语言表达中常见的量词用法。
全称量词强调的是全体，表示整个集合中的事物都具有某个属性或满足某种条件；存在量词强调的是存在，表示集合中至少有一个事物具有某个属性或满足某种条件。
知识讲解_全称量词与存在量词
全称量词与存在量词【要点梳理】要点一：全称量词与全称命题 全称量词全称量词的概念：在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词． 常见的全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”、“任何”、“一切”等． 全称量词的表示：通常用符号“∀”表示，读作“对任意”． 全称命题全称命题的概念：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题的形式：对M 中任意一个x ，有()p x 成立．记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题．要点二：存在量词与特称命题 存在量词存在量词的概念：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词．常见的存在量词：“有些”、“至少有一个”、 “有一个”、“存在”等． 存在量词的表示：通常用符号“∃”表示，读作“存在”． 特称命题特称命题的概念：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题的形式：存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立．记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．要点诠释：（1）全称命题表示整体或全部的含义，而特称命题反映对个体或整体一部分的判断.（2）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,αβ∈∈R R 使sin()sin sin αβαβ+=+． （2）有些特称命题也可能省略了存在量词．例如：“正方形是矩形”，“球面是曲面等等”. （3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述.要点三： 全称命题与特称命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上要说明这个全称命题的否定是正确的．不难发现，全称命题的否定是特称命题．全称命题p ：x M ∀∈，()p x ；p 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝．对含有一个量词的特称命题的否定要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．不难发现，特称命题的否定是全称命题．特称命题p ：0x M ∃∈，0()p x ；p 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝．要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的； (3) 一些常见量词的否定如下表所示：要点四：全称命题和特称命题的真假判断① 要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立； 要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需找出一个反例即可，即在集合M 中找到一个元素0x ，使得0()p x 不成立．② 要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素0x ，使得0()p x 成立即可； 要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M 中，使 ()p x 成立得元素不存在．【典型例题】类型一：全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的辨析例1．指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示．（1）对任意正实数2,20a a a -->；（2）对某个大于10的正整数n ，1024n =． 【思路点拨】根据全称量词和存在量词的概念进行判断． 【解析】（1）该命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合．该命题可写成“20,20a a a ∀>-->”．（2）该命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合．该命题可写成“*10,1024n n n N ∃>∈=．【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”、“任意”、“任何”、“存在”、“有的”、“至少”、“有”等词语，或隐含有这些词语的意思． 举一反三：【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1）任何一个实数除以1仍等于这个数； （2）等边三角形的三边相等； （3）存在实数0x ，使2030x ->； （4）有一个实数，不能作除数； （5）棱柱是多面体；（6）有些四边形的四个边都相等．【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题；（4）特称命题；（5）全称命题；（6）特称命题.【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题．（1）∀x ∈R ，211x +≥； （2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数． 【答案】（1）有全称量词“任意”，是全称命题； （2）有全称量词“所有”，是全称命题； （3）有存在量词“存在”，是特称命题； （4）有存在量词“有些”；是特称命题．类型二：判断全称命题、特称命题的真假 例2．判断下列命题的真假：（1）4,12x x ∀∈+≥N ；（2）300,1x x ∃∈<Z ． 【思路点拨】（1）对412x +≥进行等价变形，可化为41x ≥，x 取自然数0，1，2，…代入验证；（2）中0x 取整数0，123±±±，，，…代入31x <，验证不等式是否成立. 【答案】（1）假命题；（2）真命题. 【解析】（1）由于0∈Ν，当0x =时，412x +≥不成立，故(1)为假命题； （2）由于1-∈Z ，当1x =-时能使31x <，所以（2）为真命题． 【总结升华】（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题．举一反三：【变式1】试判断下列命题的真假： （1）2,10x x ∀∈+>R ； （2）2,1x x ∀∈≥N ； （3）3,3x x ∃∈=Z ； （4）2,320x x x ∀∈-+=R ； （5）2,10x x ∃∈+=R .【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题. 【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ） ①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形；A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假．（1）三角形的内角和为180°； （2）每个二次函数的图象都开口向下； （3）存在一个四边形不是平行四边形； （4）2,20x R x ∀∈+>；（5）200,10x R x ∃∈+=． 【解析】（1）是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题． （2）是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题． （3）是特称命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题． （4）是全称命题且为真命题．由于x R ∀∈都有20x ≥，故2220x +≥>，p 为真命题；p ⌝：200,20x R x ∃∈+≤，p ⌝为假命题 （5）是特称命题且为假命题．因为不存在一个实数x ，使210x +=成立，p 为假命题；p ⌝：2,10x R x ∀∈+≠，p ⌝为真命题．【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题． 举一反三：【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假． （1）2,440x R x x ∀∈-+≥； （2）所有的正方形都是矩形；（3）2000,10x R x x ∃∈++≤； （4）至少有一个实数x 0，使得220x +=．【答案】（1）p ⌝：2000,440x R x x ∃∈-+<（假命题）；（2）p ⌝：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）； （3）p ⌝：2,10x R x x ∀∈++>（真命题）； （4）p ⌝：2,20x R x ∀∈+≠（真命题）．【变式2】“a 和b 都不是偶数””的否定形式是（ ）A ．a 和b 至少有一个是偶数B ．a 和b 至多有一个是偶数C ．a 是偶数，b 不是偶数D ．a 和b 都是偶数 ．【答案】A类型四：含有量词的命题的应用 例4．已知1:|1|23x p --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【思路点拨】本题是不等式与逻辑关系的综合性题目，应逐个突破，再完美衔接： 第一步：解p 与q 中的不等式；第二步：理解“p ⌝是q ⌝的必要不充分条件”的具体含义：“q ⌝∣p ⌝”≡“p ∣q ”； 第三步：问题转化为“对任意p 的x ，q 恒成立”. 【答案】[)9,+∞ 【解析】111:|1|221213210333x x x p x ----≤⇒-≤-≤⇒-≤≤⇒-≤≤ ()()22:210110q x x m ?x m x m -+-≤---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 又∵m >0∴不等式的解为1-m ≤x ≤1+m ．∵“p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p 是q 的充分不必要条件””， ∴不等式1|1|23x --≤的解集是()222100x x m m -+-≤>的解集的子集． 123,91109m m m m m -≤-≥⎧⎧∴⇒∴≥⎨⎨+≥≥⎩⎩∴实数m 的取值范围是[)9,+∞．【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了要点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决．举一反三：【变式1】若命题“∃x ∈R ，使得2(1)10x +a x+－＜”是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】∵“∃x∈R，使得2(1)10x+a x+－＜”是真命题，∴(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1．【变式2】已知c＞0，设命题p：函数y＝c x为减函数．命题q：当1,22x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数11()f x xx c=+>恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围．【答案】1{|0c1}2c c<≤≥或【解析】由命题p知：0＜c＜1．由命题q知：1522xx≤+≤，要使此式恒成立，则12>c，即12c>．又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，当p为真，q为假时，c的取值范围为12c<≤．当p为假，q为真时，c≥1．综上，c的取值范围为1{|0c1}2c c<≤≥或．。
全称量词与存在量词知识点总结
全称量词与存在量词知识点总结
嘿，朋友们！今天咱要来好好唠唠全称量词与存在量词这个知识点啦！
先来说说全称量词，就好比说“所有的鸟都会飞”，这其中“所有的”就是全称量词啦。
想象一下，就像把整个鸟的群体都包括进来了一样！比如说，在一个森林里，我们可以说“所有的树木都有叶子”。
再讲讲存在量词，“有的鸟是黑色的”，这里的“有的”就是存在量词，像是在茫茫鸟群中找到了一部分有特定特征的鸟哦！比如班级里，“有的同学喜欢唱歌”。
好多人一开始可能会觉得这两个概念比较抽象，不好理解，但其实它们就像我们生活中的小细节一样常见呀！比如说咱去超市买东西，“所有的饮料都摆在货架上”，这就是全称量词的体现呀；而“有的零食在促销”，这就是存在量词啦！
全称量词就像是一把大扫帚，一下子把所有的都扫进来；存在量词呢，则像一个小镊子，精准地夹出其中一部分。
两者相辅相成，让我们能更清楚地表达和理解各种情况呢。
大家仔细想想，要是没有这两个家伙，那我们说话得多费劲呀？怎么能准确地表达出所有的情况或者部分情况呢？它们就像是语言的魔法棒，让我们的表达更准确、更生动！
所以啊，全称量词与存在量词真的超级重要！可得好好掌握它们，这样我们在表达自己想法的时候就能更得心应手啦！记住它们，运用它们，让我们的语言变得更加丰富多彩吧！。
全称量词和存在量词
③由于－1∈Z，当 x＝－1 时，x3<1 成立． 所以命题“∃x0∈Z，x30<1”是真命题． ④由于使 x2＝3 成立的数只有± 3， 而它们都不是有理数． 因此，没有任何一个有理数的平方等于 3. 所以命题“∃x0∈Q，x02＝3”是假命题．
[答案] ①③
跟踪练习
1. 判断下列命题的真假． (1)∀x∈{1,3,5},3x＋1 是偶数； (2)∃x0∈R，x20－6x0－5＝0； (3)∃x0∈R，x20－x0＋1＝0； (4)∀x∈R，|x＋1|>0.
有些全称命题省略了量词在这种情况下千万不要将否定写成是或不是如第小题将否定写成负数的平方不是正数就错误了因为这个命题也是全称命题是假命题
1.4 全称量 词和存在量词
一、 全称量 词和存在量词
新课讲解
1．全称量词和全称命题
(1)全称量词： 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常 叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(4)至少有一个集合 A，满足 A {1,2,3}．
[解] (1)是全称命题．因为∀ x∈N,2x＋1 都是奇数， 所以该命题是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在 x0∈R，使x0－1 1＝0 成 立，所以该命题是假命题．
(3)是特称命题．当 m＝4，n＝3 时，使 m－n＝1 成 立，所以该命题是真命题．
(1)实数的平方大于或等于0； (2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立； (3)勾股定理．
第04讲 全称量词与存在量词(3大考点8种解题方法)(解析版)
第04讲全称量词与存在量词（3大考点8种解题方法）考点考向一、全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．二、含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：(1)全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定﹁p ：∃x ∈M ，﹁p (x )；(2)存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )，它的否定﹁p ：∀x ∈M ，﹁p (x )．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．命题命题的否定∀x ∈M ，p (x )∃x 0∈M ，p (x 0)考点精讲考点一：全称量词与全称命题题型一：判定全称命题的真假一、单选题1．（2021·全国·高一期末）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（）A ．x ∀∈R ，有3x =B ．所有的质数都是奇数C ．至少有一个实数x ，使20x ≤D ．有的正方形的四条边不相等【答案】A【分析】利用全称量词命题和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所有的都成立.【详解】对于A ，是全称量词命题，且为真命题，所以A 正确，对于B ，是全称量词命题，而2是质数，但2不是奇数，所以此命题为假命题，所以B 错误，对于C ，是特称量词命题，所以C 错误，对于D ，是特称量词命题，且为假命题，所以D 错误，故选：A.2．（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）下列是全称量词命题且是真命题的为（）A ．x R ∀∈，20x >B ．x ∀､y Q ∈，都有x y Q +∈C ．0x Z ∃∈，2011x -+≥D ．x ∀，y R ∈，0x y +>【答案】B【分析】根据全称量词和特称量词的定义和性质进行逐一判断即可.【详解】A ：当0x =时，不等式20x >不成立，因此本命题是假命题，所以本选项不符合题意；B ：因为x ∀､y Q ∈，都有x y Q +∈是真命题，且是全称命题，本选项符合题意；C ：本命题是特称命题，不符合题意；D ：因为当0x y ==时，0x y +>不成立，因此本命题是假命题，所以本选项不符合题意.故选：B3．（2022·湖南·高一课时练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A ．每个二次函数的图象都开口向上B ．存在一条直线与已知直线不平行C ．对任意实数a ，b ，若0a b -≤则a b ≤D ．存在一个实数x ，使等式2210x x -+=成立【答案】C【分析】根据全称量词命题的定义，结合命题真假的判断即可得到答案.【详解】易知C 正确；A 选项是假命题；B 选项是存在量词命题；D 选项是存在量词命题.故选：C.二、多选题4．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）下列叙述中正确的是（）A ．若AB A =，则A B ⊆；B ．若x A B ∈，则x A B ∈U ；C ．已知,a b ∈R ，则“b aa b<”是“0a b <<”的必要不充分条件；D ．命题“2,0x Z x ∀∈>”的是真命题.【答案】ABC【分析】根据交集、并集的定义判断A ，B ，根据充分条件、必要条件的定义判断C ，利用特例判断D ；【详解】解：对于A ：若AB A =，则A B ⊆，故A 正确；对于B ：若x A B ∈，则x A ∈且x B ∈，所以x A B ∈U ，故B 正确；对于C ：由b a a b <，即()()220b a b a b a b a a b ab ab-+--==，所以0a b >>或0a b <<或0b a >->或0b a ->>，故充分性不成立，由0a b <<可以得到b a a b <，故“b aa b<”是“0a b <<”的必要不充分条件，故C 正确；对于D ：当0x =时，20x =，故D 错误；故选：ABC 三、填空题5．（2022·江苏·高一）已知真分数ab （b >a >0）满足11a b ++>22a a b b ++，>1313a a b b ++++，>22a b ++，….根据上述性质，写出一个全称量词命题或存在量词命题（真命题）________【答案】0,0b a m n ∀>>>>，a m a nb m b n++>++（答案不唯一）【分析】结合条件及全称量词命题、存在量词命题的概念即得.【详解】∵真分数a b （b >a >0）满足11a b ++>22a a b b ++，>1313a a b b ++++，>22a b ++，…∴0,0b a m n ∀>>>>，a m a nb m b n++>++.故答案为：0,0b a m n ∀>>>>，a m a nb m b n++>++.题型二：根据全称命题的真假求参数一、单选题1．（2022·全国·高一专题练习）已知命题：“x R ∀∈，方程240x x a ++=有解”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．4a <B ．4a ≤C ．4a >D ．4a ≥【答案】B【分析】由根的判别式列出不等关系，求出实数a 的取值范围.【详解】“x R ∀∈，方程240x x a ++=有解”是真命题，故1640a ∆=-≥，解得：4a ≤，故选：B2．（2022·全国·高一专题练习）已知“2,0x x a ∀∈-R ”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．{}0aa ∣ B ．{0}aa <∣C ．{0}aa >∣D ．{}0aa ∣ 【答案】A【分析】根据题意只需要求2y x =的最小值即可.【详解】命题“2,0x x a ∀∈-R ”是真命题，即2a x 恒成立，得0a .故选：A 二、多选题3．（2022·江苏·高一）命题“对任意x >0，都有mx +1>0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．1m >-B ．1m >C ．0m =D ．2m >【答案】BCD【分析】对任意x >0，都有mx +1>0，即1m x>-，求得m 的范围，即可得解.【详解】解：因为对任意x >0，都有mx +1>0，所以1m x >-，又0x >，所以10x-<，所以0m ≥.故选：BCD.4．（2021·湖北·华中科技大学附属中学高一阶段练习）若“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题，则a 的取值可以是（）A ．4B ．5C ．3D ．2【答案】AB【分析】要使20x a -≤在[]1,2x ∈上恒成立，则2x a ≤，令2y x =，则max y a ≤，求出y 的最大值即可【详解】要使20x a -≤在[]1,2x ∈上恒成立，则2x a ≤，令2y x =，则max y a ≤，2y x =在[]1,2x ∈单调递增，则max 4y =，所以4a ≥，根据题意可得所求对应得集合是[)4,+∞的真子集，根据选项AB 符合题意.故选：AB.三、填空题5．（2021·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知命题p ：[]1,3x ∀∈-，220x a --≥，若p 为真命题，则实数a 的取值范围为___________.【答案】(],2-∞-【分析】利用分离常数法来求得a 的取值范围.【详解】命题p ：[]1,3x ∀∈-，220x a --≥，依题意p 为真命题，则22a x ≤-在区间[]1,3-上恒成立，[][]220,9,22,7x x ∈-∈-，所以2a ≤-.故答案为：(],2-∞-6．（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）若2,230x R x mx ∀∈-+≥恒成立，则实数m 的取值范围为________.【答案】[-.【分析】根据命题2,230x R x mx ∀∈-+≥恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】由题意，命题2,230x R x mx ∀∈-+≥恒成立，可得2240m ∆=-≤，解得m -≤≤即实数m 的取值范围为[-.故答案为：[-.四、解答题7．（2021·全国·高一单元测试）若命题“[]1,2x ∀∈，一次函数y x m =+的图象在x 轴上方”为真命题，求实数m 的取值范围．【答案】{}1m m >-【分析】由12x ≤≤得12m x m m +≤+≤+，要使一次函数y x m =+的图象在x 轴上方，需()min 0x m +>，由此可得实数m 的取值范围．【详解】解：当12x ≤≤时，12m x m m +≤+≤+．因为一次函数y x m =+的图象在x 轴上方，所以10m +>，即1m >-，所以实数m 的取值范围是{}1m m >-.考点二：存在量词与特称量词题型三：判定特称（存在性）命题的真假一、概念填空1．（2022·江苏·高一）判断正误．（1）命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．()（2）命题“三角形的内角和是180︒”是全称量词命题．()（3）命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．()【答案】正确正确错误【详解】（1）“任意”是全称量词，所以它是全称量词命题，该结论正确.（2）这里省略了全称量词“所有”，意思是“所有三角形内角和是180°”，该结论正确.（3）这里省略了全称量词“所有”，意思是“所有梯形有两边平行”，该结论错误.2．（2022·全国·高一课时练习）全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题:p x M ∀∈，()p x ，它的否定p ⌝：_________．全称量词命题的否定是存在量词命题．（2）存在量词命题的否定对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题:p x M ∃∈，()p x ，它的否定p ⌝：_________．存在量词命题的否定是全称量词命题．（3）在书写这两种命题的否定时，相应地_______变为全称量词，全称量词变为_______．【答案】x M ∃∈，()p x 不成立x M ∀∈，()p x 不成立存在量词存在量词3．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．（1）命题“有些菱形是正方形”是全称命题．()（2）命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．()（3）命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．()【答案】错误正确正确【详解】（1）“有些”是存在量词，所以它是存在量词命题，不是全称命题，故该结论错误.（2）“存在”是存在量词，所以它是存在量词命题，故该结论正确.（3）“有的”是存在量词，所以它是存在量词命题，故该结论正确.二、单选题4．（2021·全国·高一单元测试）以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是（）A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2【答案】B【分析】结合存在性命题的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】锐角三角形的内角都是锐角，A 是假命题.0x =时，20x ≤，所以B 选项中的命题既是存在性命题又是真命题.(0=，所以C 选项中的命题是假命题.0x <时，102x<<，所以D 选项中的命题是假命题.故选：B三、多选题5．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合P ，Q 是全集U 的两个非空子集，如果P Q Q ⋂=且P Q Q ⋃≠，那么下列说法中正确的有（）A ．P ∀∈，有x Q ∈B ．P ∃∈，使得x Q ∉C ．Q ∀∈，有x P ∈D ．Q ∃∈，使得x P∉【答案】BC【分析】根据P Q Q ⋂=且P Q Q ⋃≠确定正确选项.【详解】由于,P Q 是全集U 的非空子集，P Q Q ⋂=且P Q Q ⋃≠，所以Q 是P 的真子集，所以P ∃∈，使得x Q ∉、Q ∀∈，有x P ∈，即BC 选项正确.故选：BC6．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一期中）下列命题中为假命题的是（）A ．,e 0x R x ∀∈>B ．2,0x N x ∀∈>C ．00,ln 1x R x ∃∈<D ．200,10x N x *∃∈-=【答案】AB【分析】利用特值法，结合对数运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断.【详解】A ：当0x <时，e 0x <，故,e 0x R x ∀∈>为假命题；B ：当0x =时，20x =，故2,0x N x ∀∈>为假命题；C ：当01x =时，0ln 01x =<，故00,ln 1x R x ∃∈<为真命题；D ：当01x =时，2010x -=，故200,10x N x *∃∈-=为真命题.综上所述，假命题的有：AB.故选：AB.题型四：根据特称（存在性）命题的真假求参数一、单选题1．（2021·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）已知命题p ：∃x 0∈R ，x 02+ax 0+a ＜0是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，0）∪（0，4）B ．（0，4）C ．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D ．[0，4]【答案】D【分析】由命题p ：∃x 0∈R ，x 02+ax 0+a ＜0是假命题，可知：∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0，利用判别式法即可求解．【详解】由命题p ：∃x 0∈R ，x 02+ax 0+a ＜0是假命题可知：∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0，∴∆＝a 2﹣4×1×a ≤0，解得：a ∈[0，4]．故选：D ．2．（2022·山西·高一阶段练习）若“x R ∃∈，2390ax ax -+≤”是假命题，则a 的取值范围为（）A ．[0,4]B ．(0,4)C ．[0,4)D ．(0,4]【答案】C【分析】由“x R ∀∈，2390ax ax -+>”是真命题，利用判别式法求解.【详解】因为“x R ∃∈，2390ax ax -+≤”是假命题，所以“x R ∀∈，2390ax ax -+>”是真命题，所以当0a =时，90>成立；当0a ≠时，则29360a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<，综上：04a ≤<，所以a 的取值范围为[0,4)，故选：C 二、多选题3．（2021·江西·高一期中）命题:p x ∃∈R ，210x bx ++ 是假命题，则实数b 的值可能是（）A ．94-B ．32-C ．1-D ．12-【答案】BCD【分析】先由p 是假命题，得到p ⌝是真命题，求出b 的范围，对四个选项一一验证.【详解】由:p x ∃∈R ，210x bx ++ ，得:p x ⌝∀∈R ，210x bx ++>.由于命题p 是假命题，所以p ⌝是真命题，所以210x bx ++>在x ∈R 时恒成立，则240b ∆=-<，解得22b -<<.故选：BCD.4．（2021·全国·高一单元测试）已知p ：[]2,3x ∃∈，220x a -+≤成立，则下列选项是p 的充分不必要条件的是（）A ．6a >B ．6a <C ．10a ≥D ．10a ≤【答案】AC【分析】依题意由存在量词命题为真求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由p ：[]2,3x ∃∈，220x a -+≤成立，得当[]2,3x ∈时，()2min26a x ≥+=，即6a ≥.对于A ，“6a >”是“6a ≥”的充分不必要条件；对于B ，“6a <”是“6a ≥”的既不充分也不必要条件；对于C ，“10a ≥”是“6a ≥”的充分不必要条件；对于D ，“10a ≤”是“6a ≥”的既不充分也不必要条件.故选：AC.三、填空题5．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）命题“2000,410,x R x ax ∃∈-+<”为真命题，则实数a 的取值范围是_______．【答案】()(),44,-∞-⋃+∞【分析】根据命题为真可转化为方程2410x ax -+=有2个不等实根，利用判别式求解即可.【详解】因为命题“2000,410,x R x ax ∃∈-+<”为真命题，所以方程2410x ax -+=有2不等实根，故24410a ∆=-⨯⨯>，解得4a >或4a <-，故答案为：()(),44,-∞-⋃+∞四、解答题6．（2022·全国·高一专题练习）已知集合{}|14A x x =-≤≤，{2B x x =<-或}5x >.(1)求B R ð，()A ⋂R ðB ；(2)若集合{}21|C x m x m =<<+，且∃x C x A ∈∈，为假命题.求m 的取值范围.【答案】(1){}25B x x =-≤≤R ð，()()(),25,R A B ⋂=-∞-⋃+∞ð(2)2m ≤-或1m ≥【分析】（1）由集合的交并补运算可得解；（2）转化条件为A C ⋂=∅，对C 是否为空集讨论即可得解.(1){}25B x x =-≤≤R ð，{R 1A x x =<-ð或}4x >，(){R2A B x x ⋂=<-ð或}5x >；(2)∵∃x C x A ∈∈，为假命题，∴x C x A ∀∈∉，为真命题，即A C ⋂=∅，又{}21|C x m x m =<<+，{}|14A x x =-≤≤，当C =∅时，21m m ≥+，即1m ≥，A C ⋂=∅；当C ≠∅时，由A C ⋂=∅可得，2111m m m <+⎧⎨+≤-⎩，或2124m m m <+⎧⎨≥⎩，解得2m ≤-，综上，m 的取值范围为2m ≤-或1m ≥.7．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一开学考试）已知:p x ∃∈R ，220x ax ++=.():0,1q x ∀∈，20x a -<.(1)若p 为真命题，求a 的取值范围；(2)若p ，q 一个是真命题，一个是假命题，求a 的取值范围．【答案】(1))(,⎡+∞⋃-∞-⎣(2)(,1,⎡-∞-⋃⎣【分析】（1）根据p 为真命题，则0∆≥，解之即可；（2）分别求出p ，q 是真命题时，a 的范围，再分p 是真命题，q 是假命题时和p 是假命题，q 是真命题时，两种情况讨论，即可得出答案.(1)解：由:p x ∃∈R ，220x ax ++=，若p 为真命题，则280a ∆=-≥，解得a ≥a ≤-，所以a 的取值范围为)(,⎡+∞⋃-∞-⎣；(2)解：若q 为真命题时，则2a x >对()0,1x ∀∈恒成立，所以1a ≥，若p ，q 一个是真命题，一个是假命题，当p 是真命题，q 是假命题时，则1a a ⎧≥⎪⎨<⎪⎩1a a ⎧≤-⎪⎨<⎪⎩，解得a ≤-，当p 是假命题，q 是真命题时，则1a a ⎧-<<⎪⎨≥⎪⎩1a ≤<，综上所述(,1,a ⎡∈-∞-⋃⎣.8．（2021·安徽宣城·高一期中）设全集U =R ，集合{}15A x x =≤<，非空集合{}212B x x a =≤≤+，其中a R ∈.(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求a 的取值范围；(2)若命题“x B ∃∈，x A ∈R ð”是真命题，求a 的取值范围.【答案】(1)1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭；(2)[)2,+∞【分析】（1）由题意得出B A ⊆，从而列出不等式组，求a 的范围即可，（2）由题意R B A ≠∅ð，列出不等式，求a 的范围即可．(1)解：若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，又集合B 为非空集合，故有122125a a +⎧⎨+<⎩ ，解得122a < ，所以a 的取值范围1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭，(2)解：因为{}15A x x =≤<，所以{|1R A x x =<ð或5}x ，因为命题“x B ∃∈，x A ∈R ð”是真命题，所以R B A ≠∅ð，即125a + ，解得2a ．所以a 的取值范围[)2,+∞．考点三：含有一个量词的命题的否定题型五：全称命题的否定及其真假判断一、单选题1．（2022·河南河南·高一期末）命题“R x ∀∈，0x x -≥”的否定是（）A ．0R x ∃∈，000x x -<B ．R x ∀∈，0x x -≥C ．0R x ∃∈，000x x -≥D ．R x ∀∈，0x x -<【答案】A【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；【详解】解：命题“R x ∀∈，0x x -≥”为全称量词命题，其否定为“0R x ∃∈，000x x -<”；故选：A2．（2022·江苏·高一）命题“2(1,0),0x x x ∀∈-+<”的否定是（）A ．2(1,0),0x x x ∀∈-+≥B ．2(1,0),0x x x ∀∉-+<C ．2000(1,0),0x x x ∃∉-+≥D ．2000(1,0),0x x x ∃∈-+≥【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“2(1,0),0x x x ∀∈-+<”的否定是2000(1,0),0x x x ∃∈-+≥，故选：D3．（2022·全国·高一专题练习）已知命题:,0p x R x x ∀∈+>，则p 的否定为（）A ．,0x R x x ∀∈+≤B ．,0x R x x ∃∈+<C ．,0x R x x ∃∈+≤D ．,0x R x x ∀∈+<【答案】C【分析】根据全称命题的否定可得答案.【详解】:,0p x R x x ∀∈+>的否定为,0x R x x ∃∈+≤，故选：C4．（2022·河南·郑州市回民高级中学高一期末）命题“∀x ∈R ，|x |+x 2≥0”的否定是（）A ．∀x ∈R ，|x |+x 2<0B ．∀x ∈R ，|x |+x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|+20x <0D ．∃x 0∈R ，|x 0|+20x ≥0【答案】C【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“x R ∀∈，20x x +≥”的否定是“0x R ∃∈，2000x x +<”.故选：C.5．（2021·广西·高一阶段练习）命题“1x ∀>，2230x x --≤”的否定形式为（）．A ．01x ∃>，200230x x -->B ．1x ∀>，2230x x -->C ．1x ∀≤，2230x x -->D ．01x ∃≤，200230x x -->【答案】A【分析】依据全称命题的否定规则即可得到命题“1x ∀>，使2230x x --≤”的否定形式.【详解】命题“1x ∀>，2230x x --≤”的否定形式为01x ∃>，200230x x -->故选：A 二、多选题6．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列说法正确的是（）A ．已知命题p :2个三角形三个内角对应相等，q :2个三角形全等.则“若q ，则p ”是q 成立的性质定理.B ．集合M ={x |2x -6>0}，N ={x |-1<3x +2<8}.则x ∈R M ð是x ∈N 的必要不充分条件.C ．已知全集U =AB ={1，2，3…，8}，A ∩U B ð={1，4，5，6}.则B ={2，3，7，8}}D ．“∀x ∈{y |y 为两条对角线相等的四边形}，x 为矩形”的否定为假命题.【答案】ABC【分析】根据逻辑联结词的含义进行判断即可.【详解】对于A ，若q 则必然有p ，显然p 是q 成立时所具有的性质，故正确；对于B ，()()3,,1,2,M N =+∞=-(],3R M =-∞ð，则R N M ⊂ð，∴若x ∈N 则R x M ∈ð，反之R x M ∈ð，并不能推出x ∈N ，若故B 正确；对于C ，∵{}1,4,5,6U A B =ð，能推出{}1,4,5,6U B ⊆ð，由于A B U ⋃=，∴{}2,3,7,8B =，故C 正确；对于D ，两条对角线相等的四边形也可以是等腰梯形，故原命题为假，其否定即为真，故D 错误；故选：ABC 三、填空题7．（2022·广东茂名·高一期中）命题“3x ∀<-，223x x +>”的否定是___________．【答案】3x ∃<-，223x x +≤【分析】“∀”改为“∃”，“>”改为“≤”，即可得解.【详解】命题“3x ∀<-，223x x +>”的否定是：3x ∃<-，223x x +≤.故答案为：3x ∃<-，223x x +≤.题型六：特称命题的否定及其真假判断一、单选题1．（2022·广西柳州·高一期末）命题“[)0,x ∃∈+∞，210x -<”的否定为（）A ．[)20,,10x x ∀∈+∞-≥B ．()2,0,10x x ∃∈-∞-<C ．[)20,,10x x ∀∈+∞-<D ．[)20,,10x x ∃∈+∞-≥【答案】A【分析】根据存在量词命题的否定直接得出结果.【详解】命题“2[0,)10x x ∃∈+∞-<，”的否定为：“2[0,)10x x ∀∈+∞-≥，”.故选：A2．（2022·江苏·高一）命题“230,14x x x ∃>-+<”的否定是（）A ．230,14x x x ∀≤-+≥B ．230,14x x x ∀>-+≥C ．230,14x x x ∃>-+≥D ．230,14x x x ∃≤-+≥【答案】B【分析】由特称命题的否定判断【详解】命题“230,14x x x ∃>-+<”的否定是“230,14x x x ∀>-+≥”故选：B 二、多选题3．（2021·江苏·高一专题练习）下面四个结论正确的是（）A ．,R a b ∀∈，若a b >，则22a b >．B ．命题“2(3,),9x x ∈-+∞≤∃”的否定是“2(3,),9x x ∈-+∞>∀.C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件．D ．“0m <是关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根的充要条件．【答案】BD【分析】举特值判断A ；根据特称命题的否定判断B ，根据充分条件和必要条件的定义进行判断C 、D 作答．【详解】对于A ，取1,3a b ==-，满足a b >，而22a b <，A 不正确；对于B ，存在量词命题的否定是全称量词命题，则“2(3,),9x x ∈-+∞≤∃”的否定是“2(3,),9x x ∈-+∞>∀”，B 正确；对于C ，取2,1x y =-=，满足22x y >，而x y <，即22x y >不能推出x y >，反之，取x 1,y 2==-，满足x y >，而22x y <，即x y >不能推出22x y >，所以“22x y >”是“x y >”的既不充分又不必要条件，C 不正确；对于D ，当方程2x 2x m 0-+=有一正一负根时，由方程两根之积可得0m <，反之，当0m <时，440m ∆=->，方程有两个根，并且两根之积为负数，两根异号，所以“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件，D 正确．故选：BD 三、填空题4．（2022·浙江浙江·高一期中）0x ∃>，12x x+>的否定是___________．【答案】0x ∀>，12x x+≤【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为0x ∃>，12x x+>是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即0x ∀>，12x x+≤，故答案为：0x ∀>，12x x+≤.题型七：含有一个量词的命题的否定的应用二、多选题1．（2021·江苏淮安·高一期中）若“R x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ可能的值是（）A ．0B ．1C ．D ．【答案】ABC【分析】由假命题的否定是真命题，利用二次函数性质得出结论．【详解】由题意x R ∀∈，不等式2210x x λ-+≥恒成立，所以280λ∆=-≤，λ-≤≤．故选：ABC ．三、填空题2．（2022·全国·高一）命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是_______．(填序号)①不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0②存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0③存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0④对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0【答案】③【分析】原命题是全称命题，否定是特称命题，根据特称命题的写法可得到结果.【详解】原命题是全称命题，否定是特称命题，则其否定应为:存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0.故答案为：③.题型八：根据全称或特称命题的真假判断复合命题的真假一、单选题1．（2021·全国·高一专题练习）若P ：命题“01200,2x x N x +∃∈>”的否定是“21,2x x N x +∀∈≤”，q ：命题“若0ab =，则0a =或0b =”的否定是“若0ab ≠，则0a ≠或0b ≠”.则下列命题为真命题的是（）A ．p ⌝B ．p q∧C ．()p q⌝∧D ．()p q ∧⌝【答案】D【分析】依题意得P 为真命题，q 为假命题，结合复合命题的真假判断方法即可得结果．【详解】P ：命题“01200,2x x N x +∃∈>”的否定是“21,2x x N x +∀∈≤”，为真命题；因为“若0ab =，则0a =或0b =”的否定是“若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠”，则q 为假命题，q ⌝为真命题所以()p q ∧⌝为真命题故选：D2．（2021·广东·广州外国语学校高一阶段练习）已知命题p ：∃x ∈R ，220mx +≤；命题q ：∀x ∈R ，2210x mx -+>.若p 、q 都为假命题，则实数m 的取值范围是()A ．[1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2]D ．[－1,1]【答案】A【详解】p ，q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，220mx +≤为假命题，得∀x ∈R ，220mx +>，∴0m ≥.由q ：∀x ∈R ，2210x mx -+>为假，得∃x ∈R ，2210x mx -+≤∴2(2)40m ∆=--≥，得1m ≤-或m 1≥.∴m 1≥.故选A.二、填空题3．（2021·江苏·高一单元测试）某中学采用小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下:若命题“x R ∃∈，220x x m ++≤”是假命题，求实数m 的取值范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题:若命题“x R ∀∈，220x x m ++>”是真命题，求实数m 的取值范围.你认为两位同学题中所求实数m 的取值范围一致吗?答:___________.(填“一致”或“不一致”)【答案】一致【分析】根据全称命题与存在命题的关系，以及命题的否定之间的逻辑关系，即可得到结论.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∃∈，220x x m ++≤”的否定为“x R ∀∈，220x x m ++>”，因为命题“x R ∃∈，220x x m ++≤”是假命题与命题“x R ∀∈，220x x m ++>”是真命题等价，所以两位同学题中所求实数m 的取值范围是一致的.故答案为：一致.4．（2022·贵州铜仁·高一期末）若命题“2,220x R x ax a ∃∈++-=是假命题”，则实数a 的取值范围是___________.【答案】21a -<<【分析】等价于2,220x R x ax a ∀∈++-≠，解2=44(2)0,a a ∆--<即得解.【详解】解：因为命题“2,220x R x ax a ∃∈++-=是假命题”，所以2,220x R x ax a ∀∈++-≠，所以222=44(2)4480,20,21a a a a a a a ∆--=+-<∴+-<∴-<<.故答案为：21a -<<三、解答题5．（2020·山东·枣庄市第三中学高一阶段练习）已知p ：x R ∀∈，210mx +>，q ：x R ∃∈，210x mx ++≤．（1）写出命题p 的否定q ⌝；命题q 的否定q ⌝；（2）若p ⌝和q ⌝至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）p ⌝：x R ∃∈，210mx +≤；q ⌝：x R ∀∈，210x mx ++>；（2）2m <.【解析】（1）直接利用“改量词，否结论”求解即可；（2）先求出p ⌝和q ⌝为真命题时，实数m 的范围，再利用p ⌝和q ⌝至少有一个为真命题转化为p ⌝真或q ⌝真，即可得出结果.【详解】（1）p ⌝：x R ∃∈，210mx +≤；q ⌝：x R ∀∈，210x mx ++>．（2）由题意知，p ⌝真或q ⌝真，当p ⌝真时，0m <，当q ⌝真时，240m ∆=-<，解得22m -<<，因此，当p ⌝真或q ⌝真时，0m <或22m -<<，即2m <．【点睛】本题主要考查了全称命题、特称命题的否定及复合命题的判定.属于较易题.巩固提升一、单选题1．（2022·河南·陕州中学高一阶段练习）命题“*x ∃∈N ，sin x x =”的否定是（）A ．*x ∃∈N ，sin x x ≠B ．*x ∀∈N ，sin x x =C ．x ∀∈N ，sin x x≠D ．*x ∀∈N ，sin x x≠【答案】D【分析】根据存在量词的命题的否定直接求解即可.【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以*x ∃∈N ，sin x x =的否定是*x ∀∈N ，sin x x ≠，故选：D2．（2021·全国·高一专题练习）若命题p ：0x ∃∈R ，20010x x -+≤，命题q ：0x ∀<，||0x >，则下列命题中是真命题的是()A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧⌝D ．p q⌝∧【答案】D【分析】根据二次函数性质判断命题p 的真假，根据绝对值的定义判断q 的真假，从而可逐项判断真假．【详解】对于关于x 的二次方程210x x -+=，∵140∆=-<，故210x x -+>恒成立，∴不存在0x ∈R ，使得20010x x -+≤，∴命题p 是假命题，命题p ⌝为真命题；当x<0时，||0x >，∴命题q 是真命题，命题q ⌝是假命题；故p q ∧为假命题，p q ∧⌝为假命题，p q ⌝∧⌝为假命题，p q ⌝∧为真命题．故选：D ．3．（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）命题“0x R ∃∈，200cos 2x x +<”的否定为（）A ．0x R ∃∈，200cos 2x x +>B ．0x R ∃∈，200cos 2x x +≥C ．x R ∀∈，2cos 2x x +>D ．x R ∀∈，2cos 2x x +≥【答案】D【分析】根据题意，写出命题的否定即可【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，故“0x R ∃∈，200cos 2x x +<”的否定为“x R ∀∈，2cos 2x x +≥”，故选：D4．（2022·全国·高一期末）若“2[1,2],10x x ax ∀∈-+≤”为真命题，则实数a 的取值范围为（）A ．2a ≥B ．52a ≥C ．52a ≤D ．1a ≤【答案】B【分析】利用参数分离法得到max 1a x x ⎛⎫≥+⎪⎝⎭，[1,2]x ∈，再求出1y x x=+在[1,2]上的最值即可．【详解】2[1,2],10x x ax ∀∈-+≤为真命题，∴max1a x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，[1,2]x ∈，∵1y x x =+在区间[1,2]上单调递增，max 115222x x ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，即52a ≥，∴实数a 的取值范围为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选B5．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）命题“R 10x x ∃∈+>，”的否定是（）A ．R 10x x ∀∈+≤，B ．R 10x x ∃∈+>，C ．R 10x x ∃∈+≤，D ．R 10x x ∀∈+>，【答案】A【分析】根据特称命题的否定形式为全称命题，可得答案.【详解】命题“R 10x x ∃∈+>，”为特称命题，它的否定是全称命题形式：即R 10x x ∀∈+≤，，故选：A6．（2021·安徽·池州市江南中学高一期末）已知命题():0,1e 1xp x x ∀>+>，则命题p 的否定为（）A ．()0,1e 1xx x ∀+ B ．()0000,1e 1xx x ∃+ C ．()0,1e 1xx x ∀>+ D ．()0000,1e 1xx x ∃>+ 【答案】D【分析】根据含有一个量词的命题的否定的方法求解即可.【详解】():0,1e 1xp x x ∀>+>的否定为()000:0,1e 1x p x x ⌝∃>+≤.故选：D.7．（2022·全国·高一专题练习）给出下列四个命题：①若x A B ∈⋂，则x A ∈或x B ∈；1x ∀>②，都有23x x >；a b >③的必要不充分条件的是000x a x b ∃<+≥，200023x R x x ∃∈+>④，的否定是“223x R x x ∀∈+≤，”；其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】本题考查命题真假性的判定，属于小综合题目，涉及知识点较多，属于中档题目.逐一判断即可．【详解】解：①若x A B ∈⋂则x A ∈且x B ∈，故①错误；②当1x >时，23x x <，故②错误；③a b >能推出000x a x b ∃<+≥，，但反过来也成立，故③错误；0x R ∃∈④，20023x x +>的否定为x R ∀∈，223x x +≤，故④正确．故选A ．8．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）命题p :存在一个自然数n 使n 2>2n +5成立.则p 的否定的符号形式及其真假为（）A ．∀n ∈N ，n 2≤2n +5.真B ． ∀n ∈N ，n 2≤2n +5.假C ．∀n ∈N ，n 2>2n +5.假D ． ∃n ∈N ，n 2>2n +5.真【答案】B【分析】对特称命题的否定为全称命题，再求解真伪即可.【详解】由于p ：存在一个自然数n 使得225n n >+，∴其否定符号为p ⌝：()2,25n n N n n ∀∈≤+，当n =5时，25255>⨯+，所以是假命题；故选：B.9．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知命题2:0,0p x x ∀>>，则非p 为（）A ．20,0x x ∀>≤B ．20,0x x ∃>≤C ．20,0x x ∀<≤D ．20,0x x ∃>≤【答案】D【分析】根据全称命题与存在性命题互为否定关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题互为否定关系，可得命题2:0,0p x x ∀>>，可得非p 为“20,0x x ∃>≤”.故选：D.10．（2022·江苏南通·高一期末）命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定是（）A ．1x ∃≥，21x <B ．1x ∃<，21x ≥C ．1x ∃≥，21x ≥D ．1x ∃<，21x <【答案】A【分析】直接用存在量词否定全称命题即可得到答案.【详解】因为用存在量词否定全称命题，所以命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定是“1x ∃≥，21x <”.故选：A11．（2022·全国·高一专题练习）在下列命题中，是真命题的是（）A ．2R,30x x x ∃∈++=B ．2R,20x x x ∀∈++>C ．2R,x x x∀∈>D ．已知{}{}2,3A aa n Bb b m ====∣∣，则对于任意的*,n m N ∈，都有A B =∅【答案】B【分析】可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/【详解】选项A ，2R,30x x x ∃∈++=，即230x x ++=有实数解，所以112110∆=-=-＜，显然此方程无实数解，故排除；选项B ，2R,20x x x ∀∈++>，2217720244x x x ++=++≥（，故该选项正确；选项C ，2R,x x x ∀∈>，而当0,00x =>时，不成立，故该选项错误，排除；选项D ，{}{}2,3A aa n Bb b m ====∣∣，当*,n m N ∈时，当a b 、取得6的正整数倍时，A B ⋂≠∅，所以，该选项错误，排除.故选：B.12．（2022·广东·盐田高中高一阶段练习）下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“2,10x R x ∀∈+<”是全称量词命题；③命题“2,210x R x x ∃∈++≤”的否定为“2,210x R x x ∀∈++≤”；④命题“a b >是22ac bc >的必要条件”是真命题；A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“2R 10x x ∀∈+<，”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题2:R,210p x x x ∃∈++≤，则2:R,210p x x x ⌝∀∈++>，故③错误；对于④：22ac bc >可以推出a b >，所以a b >是22ac bc >的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C 二、多选题13．（2020·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）下列四个命题中真命题为（）A ．∀x ∈R ，2x 2－3x ＋4>0B ．∀x ∈{1，－1，0}，2x ＋1>0C ．∃x ∈N *，x 为29的约数D ．对实数m ，命题p ：∀x ∈R ，x 2－4x ＋2m ≥0.命题q ：m ≥3.则p 是q 的必要不充分条件【答案】ACD【分析】A 利用配方即可判断，B 取1x =-代入判断；C 利用约数概念进行理解判断，D 命题p 可得()2480m ∆=--≤，结合充分、必要条件的概念加以判断．【详解】223232323420488x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝⎭，A 正确；∵1x =-，则2110x +=-<，B 不正确；29的约数有1和29，C 正确；∀x ∈R ，x 2－4x ＋2m ≥0，则()2480m ∆=--≤，即2m ≥p 是q 的必要不充分条件，D 正确；故选：ACD ．14．（2022·江苏淮安·高一期末）下面选项中正确的有（）A ．命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”B ．命题“∀x ∈R ，x 2+x +1<0”的否定是“∃x ∈R ，x 2+x +1>0”C ．“α=k π+β，k ∈Z ”是“tanα=tanβ”成立的充要条件D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件【答案】ACD【分析】选项A ，求出原命题的否命题后再进行判断；选项B ，将全称命题变为其否定形式的特称命题即可判断；选项C ，可以看条件和结论之间是否存在推演关系，即可做出判断；选项D ，可以看条件和结论之间是否存在推演关系，即可做出判断.【详解】对于A ：命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”，故A 正确；对于B ：命题“∀x ∈R ，x 2+x +1<0”的否定是“∃x ∈R ，x 2+x +1≥0”，故B 错误；对于C ：当“α=k π+β，k ∈Z ”时，“tanα=tanβ”成立，反过来，当“tanα=tanβ”成立，那么“α+β=k π，k ∈Z ”，即为“α=k π+β，k ∈Z ”.故“α=k π+β，k ∈Z ”是“tanα=tanβ”成立的充要条件；故C 正确；对于D ：设a ，b ∈R ，则“a ≠0，b =0”时，则“ab =0”，反过来，a ，b ∈R ，若“ab ≠0”时，则能推出“a ≠0”且“b ≠0”，故设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，故D 正确．故选：ACD ．15．（2022·重庆·高一期末）已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ⊆ð，则下列关系一定正确的是（）A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈B ．x A ∀∈，x B∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈【答案】AB【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.。
高一全称量词和存在量词知识点
高一全称量词和存在量词知识点一、全称量词与全称命题。
1. 全称量词。
- 定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。
- 例如：“所有的正方形都是矩形”，这里“所有的”就是全称量词。
2. 全称命题。
- 定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题。
- 一般形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可记为∀x∈M，p(x)。
- 例如：∀x∈R，x²≥0。
这个命题表示对于实数集R中的任意一个数x，x的平方都大于等于0。
3. 判断全称命题的真假。
- 要判断全称命题∀x∈M，p(x)是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立。
- 例如：判断命题“∀x∈Z，x²≥0”的真假。
因为整数集中的任何一个整数的平方都大于等于0，所以这个全称命题是真命题。
- 要判断全称命题∀x∈M，p(x)是假命题，只需在集合M中找到一个元素x₀，使得p(x₀)不成立即可。
- 例如：命题“∀x∈R，x > 0”是假命题，因为当x = 0时，0不大于0，即在实数集中找到了一个反例。
二、存在量词与特称命题。
1. 存在量词。
- 定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。
- 例如：“存在一个实数x，使得x²=2”，这里“存在一个”就是存在量词。
2. 特称命题。
- 定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题。
- 一般形式：存在M中的元素x₀，使p(x₀)成立，可记为∃x₀∈M，p(x₀)。
- 例如：∃x₀∈R，使得x₀²+1 = 0。
（这个命题实际上是假命题，但它是一个特称命题的形式）3. 判断特称命题的真假。
- 要判断特称命题∃x₀∈M，p(x₀)是真命题，只需在集合M中找到一个元素x ₀，使得p(x₀)成立即可。
- 例如：判断命题“∃x₀∈R，x₀² = 4”的真假。
当x₀ = 2或x₀=- 2时，x₀² = 4，所以在实数集中找到了满足条件的元素，这个特称命题是真命题。
全称量词和存在量词的概念
全称量词和存在量词的概念全称量词和存在量词，这听起来有点像数学里的高冷概念，可实际上它们就像生活里的小精灵，到处都在，只是我们可能没太注意罢了。
全称量词，就好比是那种“一网打尽”的说法。
像“所有的”“任意一个”这些词，那就是全称量词的小跟班。
比如说，“所有的猫都爱抓老鼠”，这里的“所有的”就是全称量词。
这就像是给一群猫画了个大圈圈，说这个圈里的每一只猫都有抓老鼠这个本事。
这时候可能有人会问了，真的所有猫都爱抓老鼠吗？也有那种娇生惯养的猫，看到老鼠就害怕呢。
这就说明啊，当我们用全称量词的时候，得特别小心，得确定这个说法真的能涵盖每一个个体才行。
这就好比你说“所有的花都香”，可有些花啊，那味道可奇怪了，甚至有点臭呢。
存在量词呢，就像是在一个大群体里找个特殊的存在。
像“存在一个”“至少有一个”这样的词就是存在量词。
比如说“存在一个学生数学特别好”，这就是说在一群学生当中，有那么至少一个学生，他的数学成绩是非常出色的。
这就像是在一堆宝藏里找一颗特别闪亮的宝石。
也许大部分宝藏都普通，但只要有那么一颗特别的，就可以用存在量词来说了。
又比如说“至少有一个人不喜欢吃辣椒”，在一群爱吃辣的人当中，总能找到那么一个对辣椒不感冒的人。
在生活里，我们经常会用到这两种量词的概念，只是没意识到。
就像家里妈妈说“所有的衣服都得洗干净”，这就是全称量词，她希望每一件衣服都干干净净的。
爸爸可能会说“存在一个地方可以修这把坏椅子”，他知道有那么一个地方能解决这个问题。
在科学研究里呢，这两个概念也特别重要。
科学家们要是研究某种植物对环境的影响，他们得先确定是“所有的”这种植物都有相同影响呢，还是“存在一个”特殊的情况。
要是没搞清楚，那研究结果可能就错得离谱了。
这就好比你盖房子，要是地基都没打对，房子肯定盖不好。
再说说学校里吧。
老师说“所有的同学都要交作业”，这就是用了全称量词，要每个同学都做到。
可有时候老师也会说“存在一些同学在某方面有天赋”，这就是在发现特殊的个体了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全称量词与存在量词编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2．能准确地使用全称量词和存在量词符“∀” “∃ ”来表述相关的教学内容；3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符“∀”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符“∃ ”表示，读作“存在 ”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ：x M ∀∈，()p xp 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p ：0x M ∃∈，0()p xp 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”.要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.(3) 正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个、 小于等于否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M中，使 ()p x 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题例1.指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符表示.（1） 对任意正实数2,20a a a -->；（2） 对某个大于10的正整数n ，1024n =.【解析】（1）命题（1）中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合.命题（1）可以写成“20,20a a a ∀>-->”.（2）命题（2）中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合.命题（2）可写成“*10,1024n n n N ∃>∈=.【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”，“任意”，“任何”，“存在”，“有的”，“至少有”等词语，或隐含有这些词语的意思.举一反三：【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1） 任何一个实数除以1仍等于这个数；（2） 等边三角形的三边相等；（3） 存在实数0x ，使2030x ->。
【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题【高清课堂：全称量词与存在量词395491例1】【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）∀x ∈R ，x 2+1≥1；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数.【答案】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。
类型二：判断全称命题、特称命题的真假例2.判断下列命题的真假：（1）4,12x N x ∀∈+≥；（2）300,1x Z x ∃∈<. 【解析】（1）由于0N ∈，当0x =时，412x +≥不成立，故(1)为假命题；（2）由于1Z -∈，当1x =-时能使31x <，所以（2）为真命题.【总结升华】（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【变式1】试判断下列命题的真假（1）01,2>+∈∀x R x ；（2）1,2≥∈∀x N x ；（3）3,3=∈∃x Z x ；（4）023,2=+-∈∀x x R x ；（5）01,2=+∈∃x R x ；【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ）①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例3.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假.（1）三角形的内角和为180°；（2）每个二次函数的图象都开口向下；（3）存在一个四边形不是平行四边形；（4）:p 2,20x R x ∀∈+>；（5）:p 200,10x R x ∃∈+=. 【解析】（1）是全称命题且为真命题.命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题.（2）是全称命题且为假命题.命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题.（3）是特称命题且为真命题.命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题.（4）是全称命题且为真命题.由于x R ∀∈都有20x ≥，故2220x +≥>，p 为真命题；p ⌝：200,20x R x ∃∈+≤，p ⌝为假命题 （5）是特称命题且为假命题.因为不存在一个实数x ，使210x +=成立，p 为假命题； p ⌝：2,10x R x ∀∈+≠，p ⌝为真命题.【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题.举一反三：【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假.（1）2,440x R x x ∀∈-+≥；（2）所有的正方形都是矩形；（3）2000,10x R x x ∃∈++≤；（4）至少有一个实数x 0，使得2020x +=.【答案】（1）p ⌝：2000,440x R x x ∃∈-+<（假命题）；（2）p ⌝：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；（3）p ⌝：2,10x R x x ∀∈++>（真命题）；（4）p ⌝：2,20∀∈+≠x R x （真命题）.【高清课堂：全称量词与存在量词395491 例5】【变式2】 “a 和b 都不是偶数”的否定形式是（ ）（A ） a 和b 至少有一个是偶数（B ） a 和b 至多有一个是偶数（C ） a 是偶数，b 不是偶数（D ）a 和b 都是偶数.【答案】A【变式3】(2015 湖北文)命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是A ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠-B ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=-C ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-D ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞=- 【答案】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-，故选C .类型四：含有量词的命题的应用例4．已知1:|1|23x p --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【解析】10x 2331x 12131x 22|31x 1:|p ≤≤-⇒≤-≤-⇒≤--≤-⇒≤-- q:x 2-2x+1-m 2≤0⇒[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0又∵m>0∴不等式的解为1-m≤x≤1+m∵p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p 是q 的充分不必要条件”∴不等式2|31x 1|≤--的解集是x 2-2x+1-m 2≤0(m>0)的解集的子集. 1m 2m 3,m 91m 10m9-≤-≥⎧⎧∴⇒∴≥⎨⎨+≥≥⎩⎩ ∴实数m 的取值范围是[)+∞,9【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.举一反三：【变式1】(2015 山东)若“]4,0[π∈∀x ，m x ≤tan ”是真命题，则实数m 的最小值为 。
【答案】1【解析】若“]4,0[π∈∀x ，m x ≤tan ”是真命题 则max )(x f m ≥，其中x x f tan )(= ]4,0[π∈x 函数x x f tan )(= ]4,0[π∈x 的最大值为11≥∴m即m 的最小值为1，所以答案应填1.【变式2】（2016 江苏模拟）若函数1()()22x f x =-，g （x ）=a （x －a+3）同时满足以下两条件：①x R ∀∈，f （x ）＜0或g （x ）＜0；②(1,1)x ∃∈-，f （x ）g （x ）＜0。