几何学范畴
数学各个研究方向简介
数学各个研究方向数论人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。
它们和起来叫做整数。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。
其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。
也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。
但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。
比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。
利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。
后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。
确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数论的发展简况自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。
自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。
在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。
后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。
因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。
到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。
解析几何学知识点总结
解析几何学知识点总结一、点、线、面的基本概念1. 点：点是几何学中的基本概念，它没有长、宽、高，只有位置，用来表示物体的位置。
在几何学中，我们经常用坐标系来表示点的位置。
2. 线：线是由一系列无限延伸的点构成的，它没有宽度，只有长度。
除了直线，还有曲线、射线等概念。
3. 面：面是由一系列线构成的，它有长度和宽度，但没有高度。
在几何学中，我们研究的一般是平面，即二维空间中的面。
二、直线和角1. 直线的性质：直线是无限延伸的，没有起点和终点。
直线上的任意两点确定了一条直线，直线是几何学中的基本要素。
2. 角：角是由两条射线共同起点构成的。
角的大小用度来表示，是几何学中重要的角度概念。
角的度数和弧度数可以相互转换，角的正弦、余弦、正切等三角函数也是很重要的。
三、多边形和圆1. 多边形：多边形是由有限个直线段构成的封闭图形，它有顶点、边和面。
在几何学中，我们所研究的多边形一般是指正多边形，它是边相等、角相等的多边形。
多边形的面积和周长是多边形的重要性质。
2. 圆：圆是一种特殊的曲线，是由到一个定点距离相等的所有点构成的。
圆是几何学中的重要图形，它的半径、直径、圆心、圆周长和面积都是圆的重要性质。
四、立体几何1. 立体图形：在几何学中，我们研究的不仅仅是平面图形，还有立体图形。
立体图形是有长度、宽度和高度的，像正方体、长方体、圆柱体、圆锥体和球体等图形都属于立体图形的范畴。
2. 立体图形的体积和表面积：立体图形的体积和表面积是立体图形的重要性质，它们是我们在实际应用中经常要用到的。
五、坐标系和向量1. 坐标系：在几何学中，我们经常用坐标系来表示点的位置。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系等。
2. 向量：向量是具有大小和方向的物理量，它是几何学中的重要概念。
向量的加法、减法、数乘、数量积和向量积都是向量的重要运算。
这些是几何学中的一些重要知识点，它们涵盖了几何学的基本概念和性质。
几何学是一门非常宝贵的学科，它在很多领域都有着重要的应用价值。
数学的三大核心领域
数学的三大核心领域之代数学范畴数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。
这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。
在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交*学科。
本章简要介绍数学三大核心领域中十几门主要分支学科的有关历史发展情况。
1、算术算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。
另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。
现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。
作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。
算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。
它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。
自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。
日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。
现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。
它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。
15世纪，它被改造成现在的形式。
在印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。
19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。
【高中数学】数学概论
【高中数学】数学概论数学是什么数学是一门研究事物的数量关系和空间形式的科学。
数学的产生和发展始终围绕着数和形这两个基本概念不断地深化和演变。
大体上说，凡是研究数和它的关系的部分，划为代数学的范畴；凡是研究形和它的关系的部分，划为几何学的范畴。
但同时数和形也是相互联系的有机整体。
数学是一门具有自身特点的高度综合性的科学。
抽象是它的第一个特征；数学思维的正确性体现在逻辑的严密性上，因此准确性是数学思维的第二个特征；第三个特点是应用广泛。
一切科学、技术的发展都需要数学，这是因为数学的抽象，使外表完全不同的问题之间有了深刻的联系。
因此数学是自然科学中最基础的学科，因此常被誉为科学的皇后。
数学在提出和解决问题方面形成了一门特殊的科学。
在数学发展史上，有很多例子说明数学问题是数学发展的主要源泉。
为了解决这些问题，数学家需要花费更多的精力和时间。
尽管仍有一些问题没有得到解答，但在这个过程中，他们创造了许多新概念、新理论、新方法，这些都是数学中最有价值的东西。
数学概论数学是一门研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
简而言之，它是研究数字和形式的科学。
由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。
在中国，最迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；至秦汉之际，即已出现完满的十进位制。
在不晚于公元一世纪的《九章算术》中，已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。
刘晖在他注释的九章算术中也提出用十进制小数来表示无理数平方根的奇数零部分，但直到唐宋时期（16世纪史蒂文之后的欧洲）才使用十进制小数。
在这本书中，刘晖用连接在圆中的正多边形的周长来近似圆的周长，这成为后世计算圆周率的通用方法。
虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。
数学的三大核心领域几何学范畴
数学的三大核心领域几何学范畴数学的三大核心领域——几何学范畴1、初等几何在希腊语中，“几何学”是由“地”与“测量”合并而来的，本来有测量土地的含义，意译就是“测地术”。
“几何学”这个名词，系我国明代数学家根据读音译出的，沿用至今。
现在的初等几何主要是指欧几里得几何，它是讨论图形(点、线、面、角、圆等)在运动下的不变性质的科学。
例如，欧氏几何中的两点之间的距离，两条直线相交的交角大小，半径是r的某一圆的面积等都是一些运动不变量。
初等几何作为一门课程来讲，安排在初等代数之后;然而在历史上，几何学的发展曾优先于代数学，它主要被认为是古希腊人的贡献。
几何学舍弃了物质所有的其它性质，只保留了空间形式和关系作为自己研究的对象，因此它是抽象的。
这种抽象决定了几何的思维方法，就是必须用推理的方法，从一些结论导出另一些新结论。
定理是用演绎的方式来证明的，这种论证几何学的代表作，便是公元前三世纪欧几里得的《原本》，它从定义与公理出发，演绎出各种几何定理。
现在中学《平面三角》中关于三角函数的理论是15世纪才发展完善起来的，但是它的一些最基本的概念，却早在古代研究直角三角形时便己形成。
因此，可把三角学划在初等几何这一标题下。
古代埃及、巴比伦、中国、希腊都研究过有关球面三角的知识。
公元前2世纪，希帕恰斯制作了弦表，可以说是三角的创始人。
后来印度人制作了正弦表;阿拉伯的阿尔·巴塔尼用计算sinθ值的方法来解方程，他还与阿布尔·沃法共同导出了正切、余切、正割、余割的概念;赖蒂库斯作了较精确的正弦表，并把三角函数与圆弧联系起来。
由于直角三角形是最简单的直线形，又具有很重要的实用价值，所以各文明古国都极重视它的研究。
我国《周髀算经》一开始就记载了周朝初年(约公元前1100年左右)的周公与学者商高的对话，其中就谈到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式;还记载了在周公之后的陈子，曾用勾股定理和相似图形的比例关系，推算过地球与太阳的距离和太阳的直径，同时为勾股定理作的图注达几十种之多。
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数学的三大核心领域——代数学范畴数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。
这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。
在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。
本章简要介绍数学三大核心领域中十几门主要分支学科的有关历史发展情况。
一、代数学范畴1、算术算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。
另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。
现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。
作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。
算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。
它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。
自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。
日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。
现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。
它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。
15世纪，它被改造成现在的形式。
在印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。
19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。
后来，皮亚诺进一步完善了格拉斯曼的体系。
算术的基本概念和逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。
尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此广泛，^_^---因此我们几乎离不开它。
范畴论与数学基础理论
范畴论与数学基础理论范畴论被认为是数学中最重要的分支之一，它为数学家们提供了一个全新的视角去理解数学中的概念和结构。
在范畴论中，对象、态射和范畴是三个基础概念，这些概念被公认为是范畴论的基础。
在范畴论中，对象是我们要研究的事物，而态射则是对象之间的关系，例如，两个数学结构之间的态射可以是一个映射或者一个同构。
而范畴则是由对象和态射相互组成的。
范畴的定义有几个基本的要素，包括对象、态射、恒等态射和态射的组合（也称为合成）。
恒等态射是一个对象到其自身的态射，它类似于矩阵中的单位矩阵。
而态射的组合则是指任何两个态射之间可以相互连接，并形成一个新的态射。
这种组合关系可以看作是范畴中的乘法。
例如，如果有三个对象A、B和C，以及两个从A到B的态射f和g，以及一个从B到C的态射h，则可以形成一个从A到C的态射h∘(g∘f)。
范畴论的一个重要应用是将数学中的概念和结构抽象出来，并将它们之间的关系表示为范畴中的态射和对象。
这种抽象化的方法不仅使得数学理论更加深入，也能够帮助数学家们更好地解决具体的数学问题。
范畴论在数学中的应用非常广泛，包括代数学、几何学、数学物理学等领域。
范畴论为这些领域提供了一个简洁的语言，能够更好地描述和理解这些学科中的结构和关系。
在代数学中，范畴论的应用特别广泛。
例如，范畴论可以用来描述群、环、域等代数结构之间的关系。
同时，范畴论也可以用来研究代数学中的变换和变换组等概念。
这些应用使得范畴论成为了代数学中不可或缺的一个工具。
在几何学中，范畴论的应用主要是指拓扑学。
范畴论可以用来描述拓扑空间之间的关系，例如，同伦、同胚等概念。
同时，范畴论也可以用来研究拓扑学中的代数结构，例如，同调代数等概念。
这些应用使得范畴论成为了拓扑学中的重要工具。
在数学物理学中，范畴论的应用主要是指量子场论。
范畴论可以用来描述量子场论中的粒子和相互作用等概念。
同时，范畴论也可以用来研究量子场论中的纠缠态等现象。
这些应用使得范畴论成为了数学物理学中的一项重要工具。
人教版九年级数学下册：27.3《位似》说课稿1
人教版九年级数学下册：27.3《位似》说课稿1一. 教材分析《位似》是人教版九年级数学下册第27.3节的内容，属于几何学的范畴。
这部分内容是在学生学习了相似三角形、相似多边形的基础上进行的，是几何学习中的重要组成部分。
位似是指两个图形在形状上相似，但大小不一定相同的现象。
通过学习位似，学生可以更好地理解图形的内在联系，提高空间想象力，为后续学习圆锥、圆柱等几何体的性质打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对相似三角形、相似多边形有一定的了解。
但是，对于位似的理解还需要进一步的引导和培养。
此外，学生的空间想象力各不相同，需要在教学过程中注意因材施教，引导学生主动探究，提高空间想象力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解位似的定义，掌握位似的性质，能运用位似解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：位似的定义，位似的性质。
2.教学难点：位似的性质的理解和运用，尤其是位似中心的确定。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、讨论法、案例教学法等，引导学生主动探究，提高空间想象力。
2.教学手段：多媒体课件、几何模型、黑板等。
六. 说教学过程1.导入：通过一个生活中的实例，引导学生思考位似的存在，激发学生的兴趣。
2.新课讲解：讲解位似的定义，通过几何模型和多媒体课件，展示位似的性质，引导学生动手操作，加深理解。
3.例题解析：分析几个典型的位似问题，引导学生运用位似性质解决实际问题。
4.课堂练习：设计一些练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调位似的性质和运用。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出位似的性质和关键点。
范畴论：抽象数学的哲学
范畴论是一门抽象数学中极其重要的学科，它的研究对象是数学中各种数学结构之间的关系和转化。
范畴论不仅仅是一种重要的工具，更是一种哲学思想方式。
范畴论的核心概念是“范畴”，范畴是由对象和态射组成的，其中对象可以是任意的数学结构，而态射则表示对象之间的关系和转化。
范畴论的基本思想是认为数学中的各种结构和概念都可以通过对象和态射的组合来描述和研究，从而揭示了数学的内在联系和本质。
范畴论的研究方法是通过定义和研究范畴、函子和自然变换等概念来研究不同数学结构之间的映射关系。
函子是一种将范畴之间的关系映射为另一种关系的特殊结构，它可以将一个范畴中的对象和态射映射到另一个范畴中的对象和态射上。
自然变换则描述了不同函子之间的关系和转化。
范畴论的研究方法提供了一种抽象的数学语言，使得数学研究者可以更加清晰地描述、分析和证明各种数学结构和概念之间的关系，从而将抽象数学推向了新的高度。
范畴论在数学中的应用非常广泛，几乎涉及到数学的各个分支，如代数学、几何学、拓扑学等。
范畴论提供了一种通用的框架和语言，使得不同数学领域中的各种数学结构和概念可以在一个统一的框架下进行描述和研究。
范畴论的应用不仅仅局限于数学内部，它还与计算机科学、物理学等领域有着广泛的联系和应用。
特别是在计算机科学中，范畴论的概念和方法被广泛应用于编程语言的设计和形式化验证等方面。
范畴论的哲学意义在于它提供了一种更加抽象和普遍的数学思维方式。
通过范畴论，数学研究者可以将各种数学结构和概念抽象为对象和态射，在这个抽象的层面上进行研究和推理。
这种抽象的数学思维方式可以帮助我们更好地理解和解释数学现象，揭示数学的内在联系和本质。
同时，范畴论的哲学思想也在一定程度上改变了传统的数学观念，提供了一种全新的数学语言和思维方式，对于培养抽象思维能力和数学思维能力具有重要意义。
总之，范畴论作为一门抽象数学中的重要学科，不仅仅是一种工具，更是一种哲学思想方式。
它通过定义和研究范畴、函子和自然变换等概念，揭示了数学中各种数学结构和概念之间的关系和转化，提供了一种通用的框架和语言，推动了抽象数学的发展。
为什么称欧几里德为“几何之父”
为什么称欧几里德为“几何之父”欧几里德，约公元前300年到公元前275年之间，是希腊数学家之一。
他是几何学的创始人，创造了欧几里得几何学体系并写成了《几何原本》这一经典著作，因此也被称为“几何之父”。
以下将简要阐述欧几里德成为几何之父的原因。
首先，欧几里德对几何学的贡献是无可替代的。
几何学的范畴涵盖空间中物体的形状、大小、位置和相互关系等方面。
几何学的核心就是证明，而欧几里得的《几何原本》就是证明几何学的基本定理和公理的著作，故欧几里得的贡献不仅仅是推进了几何学的研究，更重要的是建立了几何学研究的基础，为之后的数学研究提供了坚实的基础。
而且，在早期科学研究都缺乏系统性的基础知识的时期，欧几里得的几何学体系成为了后人学习的模板，被广泛应用于物理、天文等领域。
其次，欧几里得的几何学体系被认为是历史上最重要的几何学体系之一，这也是他被称为几何之父的重要原因之一。
几何学在欧几里得之前已经有过许多完整的体系和成果，但很多定理和公理仍然存在错误或模糊的地方。
欧几里得通过自己的研究，将前人的成果和自己的思考结合起来，建立了一个完整、可靠、系统的几何学体系。
这个几何学体系包括了104条定理，以及五个公理、五个公理陈述之后的通用陈述，“它们、在它们要求之外，没有别的附足物或合意物，只有它们本身”（原文中的陈述约等于“没有别的附加要求或者条件除了这些公理和定理本身”）这一定义。
这个体系，在很长时间内成为了几何学的统一标准，并在很大程度上影响了数学研究的发展。
此外，欧几里得对证明思维方式的建立和发展也是他成为几何之父的原因之一。
几何学依赖于证明，而证明的方式通常是基于一些基本原理推导出新的结论。
欧几里得在其《几何原本》中，阐述了严谨证明和逻辑推理的重要性，并将其作为一个基本思维方式放到了几何学中。
他通过数学归纳法、牛顿芝诺法、直接证明法等方法，让几何证明的过程变得更加简洁明了。
这种严谨证明的思想和方式，成为了后来数学证明的基本方法，不仅让几何学在数学研究中更为重要，同时也对证明思维方式的推广和发展做出了重要贡献。
《范畴学》课程简介
《范畴学》课程简介06191490 范畴学 3Category Theory 3-0面向对象：三、四年级本科生(春夏学期开课)预修要求：抽象代数(模论)，代数拓扑内容简介：范畴、函子和自然变换，对偶和范畴的一些构造，泛性质和极限，伴随函子，Abelian 范畴。
选用教材或参考书：Categories for the Working Mathematicians, Saunders Mac Lane, Springer-Verlag, 1997《范畴学》教学大纲06191490 范畴学 3Category Theory 3-0面向对象：三、四年级本科生(春夏学期开课)预修要求：抽象代数(模论)，代数拓扑一、教学目的和基本要求范畴学是S. Mac Lane 和S. Eilenberg 在1945年创立的。
它是Cantor 的集合论之后数学在语言上和思维上的重要发展。
代数拓扑，同调代数和代数几何是在这个环境中长大的。
经过近60 年的改善, 发展和吸收，它提供了一个将不同的数学分支看成为一个整体的方法，成为水平稍高一点的数学不可缺少的语言。
本课程的目的是学会用这个语言。
因为内容比较抽象，熟悉代数拓扑和抽象代数中的模论会对学习范畴学很有帮助。
二、课程主要内容及学时分配每周3学时，共16周。
范畴 6函子和自然变换 3对偶和范畴的一些构造9泛性质和极限12伴随函子12Abelian 范畴6三、相关教学环节安排: 布置作业四、教学方式: 除了授课以外，主要安排学生做报告，以提高学生的自学能力和表达能力。
五、考试方式及要求:口试. 总成绩作业占30%，做报告占40%, 口试30%.六、教材及主要参考书教材: Categories for the Working Mathematicians, Saunders Mac Lane, Springer-Verlag, 1997 主要参考书: Handbook of Categorical Algebra I: Basic Category Theory，Francis Borceux，Cambridge University Press, 1994 七、有关说明: 这门课的学生人数不能超过20.。
立体几何体的分类
立体几何体的分类立体几何体是我们日常生活中常见的物体，它们具有三个实际的尺寸：长度、宽度和高度。
在几何学中，立体几何体可以根据其形状和特征进行分类。
下面将介绍一些常见的立体几何体分类。
1. 三棱柱三棱柱是一种具有两个平行并且相等的底面的几何体。
其顶部和底部是多边形，由相等的直线（称为棱）连接。
根据底面形状的不同，三棱柱可以进一步分为三角柱、正方柱、六边形柱等。
2. 四棱锥四棱锥是一种具有四个异形侧面和一个平顶和底的几何体。
四棱锥可以通过四个三角形侧面和一个四边形底面来构成。
四棱锥可以根据底面形状的不同分为三角锥、正方锥、六边形锥等。
3. 圆锥体圆锥体是一种以圆为底面的几何体。
它具有一个尖顶和一个圆形底面，通过连接底面边缘和顶点的直线形成斜侧面。
圆锥也可以根据底面直径和高度的比例进行分类，例如：直圆锥和斜圆锥。
4. 圆柱体圆柱体是一种具有两个平行且相等的圆形底面的几何体。
它通过连接两个底面的相应点并围绕其边缘形成侧面。
根据底面半径和高度的比例，圆柱可以进一步分为圆柱和斜柱。
5. 球体球体是一种完全由曲线面围成的几何体，它的所有点到球心的距离相等。
球体没有明确定义的面或边缘，它只有一个半径。
球体在几何学中是一种特殊的立体几何体，与其他几何体不同。
6. 其他几何体除了上述常见的几何体分类，还有一些特殊的几何体值得一提。
例如，多面体是由多个平面共享的顶点和边组成，常见的例子包括正多面体和非均质多面体。
此外，棱镜、棱台、二十面体等也属于立体几何体的分类范畴。
总结立体几何体的分类可根据其形状和特征进行划分。
我们常见的分类包括：三棱柱、四棱锥、圆锥体、圆柱体、球体等。
此外，还有一些特殊的立体几何体，如多面体、棱镜等。
了解不同立体几何体的分类有助于我们更好地理解几何学原理，并在日常生活和学习中应用它们。
自然科学概论 第三章 数学及其应用
黎曼通过曲面理论研究，把几何学统一起来表述： 曲率为零的空间，是传统的欧几里得空间，可用欧几 里得几何描述其空间特性；曲率为负的空间是罗巴切 夫斯基空间，可用罗巴切夫斯几何描述其空间特性； 曲率为正的空间是黎曼空间，可用黎曼几何描述其特 性。由此可见，罗巴切夫斯基几何以及欧氏几何都是 黎曼几何的特例。
（二）常量数学阶段
公元前6世纪～16世纪，通常 认为是数学形成的时期，数学科 学完成了以常量为主要内容的框 架体系。这一时期，古希腊数学 家、中国数学家做出了突出贡献。
1、古希腊数学——自由的学问
• 如亚里士多德的《形而上学》中有大量关于科 学作为一种自由的探求的论述。他提到“既不提供 快乐、也不以满足必需为目的的科学”981b25）， 提到“为知识自身而求取知识”(982b1)，“为了 知而追求知识，并不以某种实用为目的” （982b22），“显然，我们追求它并不是为了其 它效用，正如我们把一个为自己、并不为他人而存 在的人称为自由人一样，在各种科学中唯有这种科 学才是自由的，只有它才仅是为了自身而存在。”
黎曼几何后来成为爱因斯坦广义相对论的数学工具。 爱因斯坦(A．Einstein，1879—1955年)自己也承认， “我特别强调刚才所讲的这种几何学的观点，因为要 是没有它，我就不能建立相对论。”按照相对论的观 点，宇宙结构的几何学不是欧几里得几何学而是接近 于非欧几何学，许多人采用了非欧几何作为宇宙的几 何模型。
欧几里得《几何原本》是古希腊 数学的集大成者，它充分发挥了希 腊哲学的优势， 借助演绎推理，展 现给人们一个完整的典范的学科体 系，奠定了几何学的基础并成为后 来数学领域2000年间的经典教科书， 对后世数学的发展起到了极大的推 动作用。
范畴论在数学中的应用研究
范畴论在数学中的应用研究范畴论是近年来在数学中被广泛应用的一种理论。
它的主要研究对象是范畴，而范畴则是由一些对象和它们之间的关系构成的。
在数学中，范畴论被应用到了各种不同的领域，包括代数、拓扑学、几何学等等。
本文将会探讨范畴论在数学中的应用研究。
一、范畴论主要概念在了解范畴论的应用之前，我们需要了解关于范畴论的一些主要概念。
在范畴论中，最基本的概念就是范畴。
一个范畴由两个基本构成部分组成：一组对象和一组连接对象的关系，这些关系可以用箭头表示。
箭头可以是单向的也可以是双向的。
例如，范畴可以是一组集合，箭头可以表示定义在这些集合之间的映射。
在一个范畴中，还有两个重要的概念：同态和自同态。
同态是指一个范畴到另一个范畴的映射，其中映射必须保持对象之间的关系。
自同态则是一个范畴到其自身的映射，同样也必须保持对象之间的关系。
二、范畴论在代数中的应用范畴论在代数中的应用最为广泛。
其中，离散数学中的代数结构是范畴论应用最多的领域。
代数结构是指集合中带有一些特定的结构，例如群、环、域等。
在这些结构中，范畴论被应用到了同态和自同态上。
例如，在一个群的范畴中，同态将一个群映射到另一个群，并且这个映射必须保持群中元素之间的关系。
自同态则将一个群映射到他自己，也必须保持群中元素之间的关系。
同样的，环、域等代数结构中，范畴论也有类似的应用。
三、范畴论在拓扑学中的应用在拓扑学中，范畴论也有着广泛的应用。
拓扑学是研究空间形态学的领域，其中对于空间的变换和组合的研究是非常重要的。
范畴论在拓扑学中主要应用于同调论。
同调论是研究空间中不同维度的“洞”的数量的。
这些“洞”可以是空隙、孔或其他一些有趣的结构。
在同调论中，范畴论被用作描述同调这一概念。
例如，在表示拓扑空间的范畴中，同调群是范畴中的同态，它将一个拓扑空间映射到他自己的同调群。
四、范畴论在几何学中的应用几何学是研究形状、大小、位置和维度等等的变化的一个领域。
范畴论在几何学中的应用主要在于拓扑几何学和代数几何学。
几何发展简史范文
几何发展简史范文几何学作为数学的一个重要分支，是研究空间和形状的科学。
几何学的发展可以追溯到古代文明，许多早期文明如埃及、巴比伦和古希腊都在几何学领域做出了重要贡献。
下面是几何学发展的简史。
公元前3000年左右，古埃及人开始应用几何学的概念来解决土地测量和建筑问题。
埃及人发展了许多几何图形的测量方法，例如三角形和圆形。
另一方面，古巴比伦人也在几何学领域取得了重要进展。
他们用几何学的原理来解决土地测量、建筑和农业方面的问题。
公元前6世纪的古希腊被认为是几何学的黄金时期。
希腊哲学家毕达哥拉斯是几何学的奠基人之一，他提出了著名的毕达哥拉斯定理，即直角三角形的斜边平方等于两直角边平方的和。
欧几里德是另一位希腊几何学家，他在其著作《几何原本》中系统地总结了古希腊几何学的基本原理和定理。
在古希腊几何学的基础上，印度和伊斯兰世界也分别取得了重要的几何学成就。
印度的数学家阿耶尔巴塔在其著作《仰面问题》中提出了许多几何学问题，并给出了解决方法。
同时，阿拉伯数学家穆罕默德·阿卜杜拉·马修也在几何学领域做出了重要贡献，他的著作《数学基础》被翻译成拉丁文后传入欧洲，对欧洲的几何学发展产生了深远影响。
到了16世纪，几何学经历了一场革命。
法国数学家勒内·笛卡尔提出了坐标几何学的概念，将几何学与代数学相结合，创立了解析几何学。
这种新的方法使得几何学的研究更加直观和易于推理，并为后来的数学发展奠定了基础。
19世纪的几何学发展无可争议地是非欧几何学的出现和发展。
德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯和俄国数学家尼古拉·罗巴切夫斯基独立地发展了非欧几何学的理论，他们的工作打破了古典几何学的框架，证明了几何学中的平行公设是不必要的。
这些发现对数学和哲学产生了深远的影响，也为几何学带来了新的研究领域。
20世纪的几何学发展进入了更加抽象和高度理论化的阶段。
具有革命性影响的工具是变换群理论，它将对称性和变化的研究纳入几何学的范畴。
拓扑学的由来
上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传 统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。
什么是拓扑学？
拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类 似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“ 一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956 年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。
拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏 重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一 个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又 有统一的趋势。
拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都 有广泛的应用。
1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很 快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小 岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么 这个问题就简化成能不能用一笔就把这个图形画出来。
欧拉考察了一笔画图形的结构特征。发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样 一个特点：每当你用笔画一条线进入中间的一个点时，你还必须画一条线离 开这个点。否则，整个图形就不可能用一笔画出。也就是说，单独考察图中 的任何一个点（除起点和终点外），它都应该与偶数条线相连；如果起点与 终点重合，那么，连这个点也应该与偶数条线相连。于是，欧拉得出结论——不 可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出 来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学 家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用 不同的颜色来涂满两个侧面。
几何是什么
什么是几何学？作为物理学的几何学初学平行公理时，数学老师强调两束光线存在永不相交也永不远离的投射方向，这大概是当时我最不会注意到的一句话。
多年以后，我开始认识到数学在形式化道路上一去不返，抽象的集合概念和现实世界没有半毛钱关系，而两束光线究竟存不存在永不相交也永不远离的投射方向，根本是不依赖于几何学是如何公理化的。
欧几里得几何也好，非欧几何也罢，都只是一种形式系统，几何学诞生的目的是为了解释现实世界，可证伪性使得它成为一种物理学，而非数学。
现实世界的时空结构已然限定了真实存在的几何，我们尽可以在理论上为所欲为，却没有人知道谁对谁错。
形式数学可以提供无数种几何空间，但是我们连宇宙空间是否有限、是否同胚于球体等等这些基本问题的答案都一无所知。
人类能观察到的空间实在太小了。
我们观察到的空间局域同构于欧式空间，不代表宇宙空间就是欧氏空间。
物理学还有很长的路要走，数学可以为物理学提供多种多样的理论选择，但是正确的几何只有一种，它会在后人无比强大的实验设施下被检验出来，其他几何理论会沦为辅助手段或者数学游戏，然而这一切都和现在活着的人无关。
作为数学的几何学初中的时候别人问我什么是几何学，我不加思索就回答说是研究空间中点线面等等对象的性质的数学分支。
这或许是初中阶段能给出的最好的回答了，当然这里边有现在的我给出的表达上的凝练。
换作今天，这个回答也并没有什么错误，只是“空间”、“点”、“线”、“面”这些概念变了。
当年为了学好平面几何，我总喜欢钻研一些复杂的题目，痴迷于繁杂的解题技巧。
然而走得越深，我越意识到这是一条没有尽头的路。
我开始回到几何公理体系上，试图自己动手建立几何大厦。
那是一段很美好的经历，我甚至不再在意食堂的饭菜有多难吃，喜欢的女生又被哪个早熟的男生挑逗。
后来我开始接触罗巴切夫斯基几何，一种替换掉平行公理的几何学。
在这种几何学里，过直线外一点可以存在多条直线与已知直线共面不相交。
受公理思想的影响，我并不去争执哪种几何对哪种几何错。
范畴论在数学中的应用
范畴论在数学中的应用数学是人类智慧的结晶，是用语言和符号来描述和研究自然界和人类社会现象的一门学科。
在数学的发展中，范畴论是一种相对较新的数学分支，但却广泛应用于各个数学领域中，并成为了数学中一种非常有用的工具。
范畴论是研究数学对象和它们之间的关系的学科，可以看作是将各个数学分支中的共性进行抽象总结的一种方式。
它是由Samuel Eilenberg 和 Saunders MacLane 在20世纪40年代提出的，旨在研究数学对象之间的映射关系，并将这些对象及其关系统一地描述为“范畴”。
范畴论提供了一种通用且抽象的方法来描述数学结构。
在具体的应用中，范畴论被用于研究拓扑学、代数学、几何学、逻辑学、数理逻辑等领域。
以拓扑学为例，范畴论提供了一种基础性的语言和工具来研究拓扑空间和连续映射之间的关系。
例如，拓扑空间之间的同胚关系可以用范畴论中的同构关系来描述。
同构是指两个范畴之间的一个映射，该映射在保持范畴中的结构和关系方面是一一对应的。
通过范畴论的同构概念，可以研究拓扑空间之间的相似性以及它们之间的关系。
同样地，范畴论在代数学中也有着广泛的应用。
例如，代数结构中的群、环、域等对象可以看作是范畴，而它们之间的同态可以看作是范畴之间的映射。
利用范畴论的基本概念和工具，可以进行更深入和系统化的代数研究，尤其是研究代数结构之间的同构和同态关系。
另外，范畴论在几何学中也有着非常重要的应用。
例如，范畴论可以用于探究拓扑学中的流形以及流形之间的映射关系。
此外，在流形，拓扑空间或代数结构中任何无穷维的情形下，范畴论都是至关重要的工具。
除了上述的几个数学分支，范畴论还可以应用于其他数学分支中，例如逻辑学、数理逻辑、公理集合论等方面。
由于其极其广泛的应用，范畴论成为了数学领域中非常重要的理论和工具。
在实际的数学研究中，范畴论往往被用于对某个数学对象进行更全面和深入的描述和研究。
例如，在代数学中，范畴论可以用于研究代数结构之间的相似性，寻找它们之间的同构关系，并通过同构关系划归为不同的范畴。
两平面夹角取值范围
两平面夹角取值范围
两平面夹角是一种古老的概念，属于几何学的范畴。
尤其是三角几何的研究，往往会讨论
两平面夹角的取值范围。
首先，应该说，两平面夹角的取值范围涵盖了正负180度，即可取正负180度的值。
这
也意味着，当两平面的夹角被定义为0度后，其夹角可以在-180度到+180度之间取值。
换一种说法，就是说，两个平面夹角只有在0度时才表明它们是垂直接触的，而超过0度时，其夹角则是锐角和钝角形式。
它们分别可以有正值（代表锐角）和负值（代表钝角）。
此外，当两平面夹角取值范围不等于0度时，它们之间的夹角称为异平面夹角。
这种夹角
的值只能在0度到180度之间。
如果两平面不相交，平面夹角的值会超过180度，这种
情况又称过角夹角。
最后，还应当说明的就是夹角的表示方法。
夹角的表示方法是通过两个平面的法向量的夹
角来表示，一个夹角的表示方法是：α＝（A，B），其中A、B分别为两个平面的法向量。
总之，两平面夹角的取值范围涵盖了-180度到180度之间的值，并可以表示为α＝（A，
B）或α＝（A，B），这取决于夹角的正负值以及它们之间是否相交。
因此，两平面的夹
角是一个重要的概念，可以在三角几何学中发挥重要作用。
隆锥的名词解释
隆锥的名词解释【导语】隆锥是数学中的一个概念，属于几何学的范畴。
本文将详细解释隆锥的含义、特点以及在实际生活中的应用。
通过实例和图示，帮助读者更好地理解和掌握这个概念。
【引子】在几何学中，有许多有趣且复杂的概念，其中之一就是隆锥。
隆锥是指以一个多边形为底面，且以锥体的中点为顶点所构成的几何体。
对于初学者来说，隆锥的形状可能有些抽象，但通过本文的解释和示意图，相信你会对它有更深入的认识。
【正文】一、什么是隆锥？隆锥是由一个多边形的各个顶点与锥体顶点相连而形成的几何体。
多边形被称为隆锥的底面，而锥体顶点则是这个几何体的顶点。
可以将隆锥看作由多边形拉长往上延伸而形成的几何体。
二、隆锥的特点1.底面多边形的形状多样：隆锥的底面可以是任意形状的多边形，如三角形、四边形、五边形等。
这意味着隆锥的形态有很大的多样性，能够满足各种几何问题的需求。
2.高度方向拉长：隆锥是由底面多边形往上延伸而形成的，因此它的高度是从底面到顶点的延伸方向。
考虑一个三角形底面的隆锥，当我们沿着三角形的边往上拉长，最终的结果就是一个尖锐的三角形锥体。
3.顶点与底面各顶点相连：隆锥的顶点与底面的各个顶点之间都有直线段相连。
这些直线段是隆锥的侧面，从底面顶点延伸到锥体顶点。
这个特点使得隆锥所呈现出的形态更具有连续性。
三、隆锥在实际生活中的应用1.花瓶的造型：许多花瓶的设计就是基于隆锥的形状。
底面的托盘部分可以是圆形或多边形，而在中部逐渐收窄成为一个尖锐的锥体。
这种设计不仅美观，而且稳定，能够保持花瓶的平衡。
2.建筑物的蓬顶：在一些建筑物的蓬顶设计中，设计师常常采用隆锥的形状。
这种设计不仅为建筑物带来了独特的外观，还能够提供良好的排水性能，防止雨水积聚造成损坏。
3.尖塔和尖顶：平时常见的尖塔和尖顶，例如教堂的尖塔和城堡的尖顶，也是由隆锥的形状构成的。
这种设计不仅能够增加建筑物的高度，还能够给人以崇高和庄重的感觉。
四、总结通过对隆锥的解释，我们了解到它是由底面多边形和顶点构成的几何体。
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几何学范畴
1、初等几何
在希腊语中，“几何学”是由“地”与“测量”合并而来的，本来有测量土地的含义，意译就是“测地术”。
“几何学”这个名词，系我国明代数学家根据读音译出的，沿用至今。
现在的初等几何主要是指欧几里得几何，它是讨论图形(点、线、面、角、圆等)在运动下的不变性质的科学。
例如，欧氏几何中的两点之间的距离，两条直线相交的交角大小，半径是r的某一圆的面积等都是一些运动不变量。
初等几何作为一门课程来讲，安排在初等代数之后；然而在历史上，几何学的发展曾优先于代数学，它主要被认为是古希腊人的贡献。
几何学舍弃了物质所有的其它性质，只保留了空间形式和关系作为自己研究的对象，因此它是抽象的。
这种抽象决定了几何的思维方法，就是必须用推理的方法，从一些结论导出另一些新结论。
定理是用演绎的方式来证明的，这种论证几何学的代表作，便是公元前三世纪欧几里得的《原本》，它从定义与公理出发，演绎出各种几何定理。
现在中学《平面三角》中关于三角函数的理论是15世纪才发展完善起来的，但是它的一些最基本的概念，却早在古代研究直角三角形时便己形成。
因此，可把三角学划在初等几何这一标题下。
古代埃及、巴比伦、中国、希腊都研究过有关球面三角的知识。
公元前2世纪，希帕恰斯制作了弦表，可以说是三角的创始人。
后来印度人制作了正弦表；阿拉伯的阿尔·巴塔尼用计算sinθ值的方法来解方程，他还与阿布尔·沃法共同导出了正切、余切、正割、余割的概念；赖蒂库斯作了较精确的正弦表，并把三角函数与圆弧联系起来。
由于直角三角形是最简单的直线形，又具有很重要的实用价值，所以各文明古国都极重视它的研究。
我国《周髀算经》一开始就记载了周朝初年(约公元前1100年左右)的周公与学者商高的对话，其中就谈到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式；还记载了在周公之后的陈子，曾用勾股定理和相似图形的比例关系，推算过地球与太阳的距离和太阳的直径，同时为勾股定理作的图注达几十种之多。
在国外，传统称勾股定理为毕达哥拉斯定理，认为它的第一个一致性的证明源于毕氏学派(公元前6世纪)，虽然巴比伦人在此以前1000多年就发现了这个定理。
到现在人们对勾股定理已经至少提供了370种证明。
19世纪以来，人们对于关于三角形和圆的初等综合几何，又进行了深入的研究。
至今这一研究领域仍然没有到头，不少资料已引申到四面体及伴随的点、线、面、球。
2、射影几何
射影几何学是一门讨论在把点射影到直线或平面上的时候，图形的不变性质的一门几何学。
幻灯片上的点、线，经过幻灯机的照射投影，在银幕上的图画中都有相对应的点线，这样一组图形经过有限次透视以后，变成另一组图形，这在数学上就叫做射影对应。
射影几何学在航空、摄影和测量等方面都有广泛的应用。
射影几何是迪沙格和帕斯卡在1639年开辟的。
迪沙格发表了—本关于圆维曲线的很有独创性的小册子，从开普勒的连续性原理开始，导出了许多关于对合、调和变程、透射、极轴、极点以及透视的基本原理，这些课题是今天学习射影几何这门课程的人所熟悉的。
年仅16岁的帕斯卡得出了一些新的、深奥的定理，并于9年后写了一份内容很丰富的手稿。
18世纪后期，蒙日提出了二维平面上的适当投影表达三维对象的方法，因而从提供的数据能快速算出炮兵阵地的位置，避开了冗长的、麻烦的算术运算。
射影几何真正独立的研究是由彭赛勒开创的。
1822年，他发表了《论图形的射影性质》一文，给该领域的研究以巨大的推动作用。
他的许多概念被斯坦纳进一步发展。
1847年，斯陶特发表了《位置几何学》一书，使射影几何最终从测量基础中解脱出来。
后来证明，采用度量适当的射影定义，能在射影几何的范围内研究度量几何学。
将一个不变二次曲线添加到平面上的射影几何中，就能得到传统的非欧几何学。
在19世纪晚期和20世纪初期，对射影几何学作了多种公设处理，并且有限射影几何也被发现。
事实证明，逐渐地增添和改变公设，就能从射影几何过渡到欧几里得几何，其间经历了许多其它重要的几何学。
3、解析几何
解析几何即坐标几何，包括平面解析几何和立体解析几何两部分。
解析几何通过平面直角坐标系和空间直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，从而建立起曲线或曲面与方程之间的一一对应关系，因而就能用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。
在初等数学中，几何与代数是彼此独立的两个分支；在方法上，它们也基本是互不相关的。
解析几何的建立，不仅由于在内容上引入了变量的研究而开创了变量数学，而且在方法上也使几何方法与代数方法结合起来。
在迪沙格和帕斯卡开辟了射影几何的同时，笛卡儿和费尔马开始构思现代解析几何的概念。
这两项研究之间存在一个根本区别：前者是几何学的一个分支，后者是几何学的一种方法。
1637年，笛卡儿发表了《方法论》及其三个附录，他对解析几何的贡献，就在第三个附录《几何学》中，他提出了几种由机械运动生成的新曲线。
在《平面和立体轨迹导论》中，费尔马解析地定义了许多新的曲线。
在很大程度上，笛卡儿从轨迹开始，然后求它的方程；费尔马则从方程出发，然后来研究轨迹。
这正是解析几何基本原则的两个相反的方面，“解析几何”的名称是以后才定下来的。
这门课程达到现在课本中熟悉的形式，是100多年以后的事。
象今天这样使用坐标、横坐标、纵坐标这几个术语，是莱布尼兹于1692年提出的。
1733年，年仅18岁的克雷洛出版了《关于双重曲率曲线的研究》一书，这是最早的一部空间解析几何著作。
1748年，欧拉写的《无穷分析概要》，可以说是符合现代意义的第一部解析几何学教程。
1788年，拉格朗日开始研究有向线段的理论。
1844年，格拉斯曼提出了多维空间的概念，并引入向量的记号。
于是多维解析几何出现了。
解析几何在近代的发展，产生了无穷维解析几何和代数几何等一些分支。
普通解析几何只不过是代数几何的一部分，而代数几何的发展同抽象代数有着密切的联系
4、非欧几何
非欧几何有三种不同的含义：狭义的，单指罗氏(罗巴切夫斯基)几何；广义的，泛指一切和欧氏(欧几里得)几何不同的几何；通常意义的，指罗氏几何和黎曼几何。
欧几里得的第5公设(平行公设)在数学史上占有特殊的地位，它与前4条公设相比，性质显得太复杂了。
它在《原本》中第一次应用是在证明第29个定理时，而且此后似乎总是尽量避免使用它。
因此人们怀疑第五公设的公理地位，并探索用其它公理来证明它，以使它变为一条定理。
在三千多年的时间中，进行这种探索并有案可查的就达两千人以上，其中包括许多知名的数学家，但他们都失败了。
罗巴契夫斯基于1826年，鲍耶于1832年发表了划时代的研究结果，开创了非欧几何。
在这种几何中，他们假设“过不在已知直线上的一点，可以引至少两条直线平行于已知直线”，用以代替第五公设，同时保留了欧氏几何的其它公设。
1854年，黎曼推出了另一种非欧几何。
在这种几何中，他假设“过已知直线外一点，没有和已知直线平行的直线可引”，用以代替第5公设，同时保留了欧氏几何的其它公设。
1871年，克莱因把这3种几何：罗巴契夫斯基—鲍耶的、欧几里得的和黎曼的分别定名为双曲几何、抛物几何和椭圆几何。
非欧几何的发现不仅最终解决了平行公设的问题——平行公设被证明是独立于欧氏几何的其它公设的，而且把几何学从其传统模型中解放出来，创造了许多不同体系的几何的道路被打开了。
1854年，黎曼发表了“关于作为几何学基础的假设的讲演”。
他指出：每种不同的(两个无限靠近的点的)距离公式决定了最终产生的空间和几何的性质。
1872年，克莱因建立了各种几何系统按照不同变换群不变量的分类方法。
19世纪以后，几何空间概念发展的另一方向，是按照所研究流形的微分几何原则的分类，每一种几何都对应着一种定理系统。
1899年，希尔伯特发表了《几何基础》一书，提出了完备的几何公理体系，建立了欧氏几何的严密的基础，并给出了证明一个公理体系的相容性(无矛盾性)、独立性和完备性的普遍原则。
按照他的观点，不同的几何空间乃是从属于不同几何公理要求的元素集合。
欧氏几何和非欧几何，在大量的几何系统中，只不过是极其特殊的情形罢了
5、拓扑学
1736年，欧拉发表论文，讨论哥尼斯堡七桥问题。
他还提出球面三角形剖分图形顶点、边、面之间关系的欧拉公式，这可以说是拓扑学的开端。
庞加莱于1895～1904年建立了拓扑学，采用代数组合的方法研究拓扑性质。
他把欧拉公式推广为欧拉—庞加莱公式，与此有关的理论现在称为同调理论和同伦理论。
以后的拓扑学主要按照庞加莱的设想发展。
拓扑学开始是几何学的一个分支，在二十世纪它得到了极大的推广。
1906年，弗雷歇发表博士论文，把函数作为一个“点”来看，把函数收敛描绘成点的收敛，这就把康托的点集论和分析学的抽象化联系起来了。
他在函数所构成的集合中引入距离的概念，构成距离空间，展开了线性距离空间的理论。
在这个基础上，产生了点集拓扑学。
在豪斯道夫的《点集论纲要》一书中，出现了更一般的点集拓扑学的完整想法。
第二次世界大战后，把分析引进拓扑，发展了微分拓扑。
现在的拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。
任何事物的集合都能在某种意义上构成拓扑空间，拓扑学的概念和理论已基本完组成为数学的基础理论之一，渗入到各个分支，并且成功地应用于电磁学和物理学的研究。