滕州市北辛中学 刘永明 第22讲 圆的有关概念和性质

课时课题：圆的有关概念与性质复习授课人：滕州市北辛中学刘永明课型：复习课教学目标：1．理解圆的有关概念,了解弧、弦、圆心角之间的关系（重点）.2．探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征（重点、难点）.3．探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．理解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．教学重点与难点：重点：掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．难点：综合运用垂径定理，圆心角、弧、弦之间相等关系定理以及圆周角和圆心关系定理解决问题。

．教法与学法指导：教法：教师指导学生自主探索，与直线类比，引出确定圆的条件问题，由易到难，让学生经历作圆的过程，从中探索确定圆的条件．学法：在教师指导下观察思考，通过自己的亲身体验，同学间的合作交流，师生共同归纳，最后当堂达标，体会成功的喜悦．课前准备：教师准备：多媒体课件、导学案．学生准备：圆规、三角板，练习本．教学过程：一、预习检测,查缺补漏师：三天前，我安排同学们预习，并完成课后练习.请你完成预习检测（课件展示）.（每题两位同学上黑板，说清考查知识点，写出推理过程.教师巡视，其目的是①注意启发优生的创造性思维;②帮助有疑难的学生;③在巡视时,把发现的典型错解投放到大屏幕上,供全体同学纠错、分析错误原因、反思解题技巧；3.对积极踊跃回答问题的学生要及时表扬激励，激发学生学习的积极性）1.(枣庄)如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C ，则AB ＝（ ） A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．8cm 生1:本题考查切线的性质；勾股定理；垂径定理.首先连接OC ，AO ，由切线的性质，可得OC ⊥AB ，由垂径定理可得AB =2AC ，然后由勾股定理求得AC 的长，继而可求得AB 的长． 解：如图，连接OC ，AO ，∵大圆的一条弦AB 与小圆相切， ∴OC ⊥AB ， ∴AC =BC =21AB ， ∵OA =5cm ，OC =3cm ，在Rt △AOC 中，AC ==-22OC OA 4cm ， ∴AB =2AC =8（cm ）．故选D ．师：此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法:遇切线,连接切点与圆心是关键． 2. （茂名）如图，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ，若CD =6，则DE =（ ）解：∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ，CD =6， ∴DE =21AB =21×6=3．故选A ．师: 本题考查的是垂径定理，即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 3. （广东）如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，∠ABC =25°，则∠AOC 的度数是 ．生3:本题考查圆周角定理的应用. 根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知圆周角的度数，即可求出所求圆心角的度数．解：∵圆心角∠AOC 与圆周角∠ABC 都对弧AC ， ∴∠AOC =2∠ABC ，又∠ABC =25°， 则∠AOC =50°． 故答案为：50师: 此题考查了圆周角定理的运用，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．4.（遵义）如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为 ．生4:本题考查垂径定理；三角形中位线定理.根据垂径定理得出AC =CP ，PD =BD ，根据三角形的中位线推出CD =21AB ，代入求出即可． 解：∵OC ⊥AP ，OD ⊥PB ，∴由垂径定理得：AC =PC ，PD =BD ， ∴CD 是△APB 的中位线，∴CD =21AB =21×8=4， 故答案为：4．师: 本题考查了三角形的中位线和垂径定理的应用，主要考查推理能力，题目比较典型，难度适中．【设计意图】有布置，就要有检查.本节课先让学生做预习检测，自主发现存在的问题，以便有更明确的目标进行复习、训练，教师在题后适当点拨，引导学生初步回顾各知识点的应用．二、 中考命题规律分析，展示目标师：圆的有关概念与性质是圆这一章的基础，是中考的必考内容之一.实施新课程以来，对本专题内容的考查有弱化的趋势，难度有所降低，在中考中所占比例约为4﹪.常以选择题、填空题的形式考查圆心角、圆周角和垂径定理的简单应用，以解答题的形式考查圆心角、圆周角、垂径定理与其它知识的综合应用.备考时，要深入理解与圆有关的角的特殊性、与圆有关的对称性，分析圆类试题解法的特殊性.由于本专题内容的综合性较强，所以复习时一定要加强与其他数学知识的联系，注意总结题型与图式，进一步提高几何论证能力和探究能力.请看本专题的考点及复习目标（课件展示）： 考点聚焦 复习目标考点频度 1圆的有关概念 理解圆与圆的有关概念,了解弧、弦、圆心角之间的关系 高频考点 2圆的有关性质 探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征高频考点 3确定圆的条件探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆低频考点【设计意图】意在让学生了解中考动向，对中考的热点、难点以及题型等做到心中有数.同时展示复习目标，在复习时做到有的放矢． 三、知识导航，扫清障碍 知识结构体系（课件展示）考点一：弧、弦、圆心角之间的关系师：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间有什么关系？生：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧所对应的各组量中，有一组量相等，那么，它所对应的其它各组量也分别相等.考点二：垂径定理及其推论师：叙述垂径定理及其推论.生1：垂径定理是：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的弧.生2：垂径定理推论：平分弦（这条弦不能是直径）的直径，垂直于弦，并且平分这条弦所对的弧.生3：垂径定理还有一个推论：弦的垂直平分线必过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧. 考点三：圆周角定理及其推论师：叙述圆周角定理及其推论.生1：圆周角定理是：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.生2：圆周角定理推论：同弧与等弧所对的圆周角相等；直径或半圆所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.考点四：确定圆的条件师：确定圆的条件是什么？生1：确定圆的条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.生2：不在同一直线上的三个点确定一个圆.这个圆是以这三点为顶点的三角形的外接圆，圆心是这个三角形的外心，三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等.外心是三角形三边的垂直平分线的交点.师：你们都很棒！都是祖国的栋梁.（对积极踊跃回答问题的学生及时表扬激励，激发学生学习的积极性）【设计意图】1.以问题串的形式呈现,既可以帮助学生梳理知识,又增强了学生回答问题的针对性.增进师生的交流,促进学生回顾反思;2.意在让学生温故知新，为下一步巩固训练，形成技能作铺垫.四、小组竞学、能力提升竞学活动一: 圆周角定理的运用技巧师：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.在同圆中利用圆周角定理进行角的转化、代换是非常方便的，这种代换比以往任何时候都要容易.因为有了圆周角，在同圆中圆周角可以向“任何位置”转换，这是圆周角的特殊性.请看中考试题（课件展示）（每题两位同学上黑板，说清考查知识点，写出推理过程.教师巡视……）：1. （泰安）如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB =6，点C 是优弧AB 上一点（不与A ，B 重合），则cos C 的值为 ．生1:本题考查圆周角定理及其推论、勾股定理、锐角三角函数的定义.首先构造直径所对圆周角，利用勾股定理得出BD 的长，再利用cos C =cos D =AD BD 求出即可． 解：连接AO 并延长到圆上一点D ，连接BD ， 可得AD 为⊙O 直径，故∠ABD =90°， ∵半径为5的⊙O 中，弦AB =6，则AD =10， ∴BD =86102222=-=-AB AD∵∠D =∠C ， ∴cos C =cos D 54108===AD BD师：此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义和圆周角定理，根据已知构造直角三角形ABD 是解题关键(反思解题技巧)．练一练：举一反三，触类旁通.看谁做的对又快（课件展示）：1.（枣庄）如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B．35 D ．45生1：本题考查圆周角定理及其推论、勾股定理、锐角三角函数的定义.与上题类似：不妨设x 轴与圆 交于另一点D ，连接C D ， ∵∠D OC =90° ∴DC 为⊙O 直径， ∴DC =10∴3522=-=OC CD OD ∵∠OBC =∠CDO ， ∴cos ∠OBC =cos ∠CDO 231035===CDO D2. （泸州）如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，∠B =60°，∠BOD =100°，则∠C 的度数为（ ）D解：∵∠BOD =100°， ∴∠A =21∠BOD =50°， ∵∠B =60°， ∴∠C =180°﹣∠A ﹣∠B =70°． 故选C ．师：此题考查了圆周角定理与三角形的内角和定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键注意化归思想的应用.如练一练的第一题2012枣庄中考试题(注意反思解题技巧)． 竞学活动二：垂径定理的应用技巧师：垂径定理是圆的重要定理之一，解决与弦、弧的中点有关问题时，常连接圆心角和中点，或过圆心作弦的垂线，以利用垂径定理构造直角三角形解决问题.请看中考试题（课件展示）： （每题两位同学上黑板，说清考查知识点，写出推理过程.教师巡视，其目的同上……）： 1. （新疆）如图，圆内接四边形ABCD ，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥BC 于E ． （1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE =4，AC =6，求DE ．生:本题考查垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理.（1）由AB 为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB 为直角；由OD 垂直于BC ，利用垂径定理得到E为BC 的中点，即BE =CE ，⌒ BD =⌒ CD ，由OD 垂直于BC ，AC 也垂直于BC ，利用垂直于同一条直线的两直线平行可得出OD 与AC 平行；（2）由OD 垂直于BC ，利用垂径定理得到E 为BC 的中点，由BE 的长求出BC 的长，由AB 为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB 为直角，在直角三角形ABC 中，由BC 与AC 的长，利用勾股定理求出AB 的长，进而求出半径OB 与OD 的长，在直角三角形BOE 中，由OB 与BE 的长，利用勾股定理求出OE 的长，由OD ﹣OE 即可求出DE 的长．解：（1）四个不同类型的正确结论分别为：∠ACB =90°；BE =CE ；⌒ BD =⌒ CD ；OD ∥AC ； （2）∵OD ⊥BC ，BE =4，∴BE =CE =4，即BC =2BE =8， ∵AB 为圆O 的直径，∴∠ACB =90°，在Rt △ABC 中，AC =6，BC =8， 根据勾股定理得：AB =10， ∴OB =5， 在Rt △OBE 中，OB =5，BE =4， 根据勾股定理得：OE =3， 则ED =OD ﹣OE =5﹣3=2．师: 此题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定，熟练掌握定理是解本题的关键．注意数形结合思想的应用(注意反思解题技巧)．【设计意图】学生对以往学过的知识有所遗忘，或者说对它的感觉仍旧停留在“雾里看花”状态，怎样拨开迷雾见真相？这需要一个从唤起记忆，逐渐熟悉到熟练的过程.通过设置基本题组，以任务驱动式，引导学生进行小组竞学，探求解题规律技巧，一方面检测学生不同学生的掌握情况.，同时注重基础的夯实，能力的提升．使不同的学生都得到更大的收获，都能获得成功的喜悦．培养学生的发散思维． 五、总结收获，提炼反思师：温故而知新.大家通过自学和小组合作交流，相信每个同学都有所感悟或收获．整理一下本节课的所学，写在《新课程复习指导丛书（枣庄版）数学》118页上．【设计意图】该环节是为了提高学生归纳问题的能力，鼓励学生积极表达自己的观点，充分体现以学生为主体，教师为主导的教学原则.本环节的设置使学生学会从系统的角度把握知识方法，努力使知识结构化、网络化，引导学生注意各知识点之间的联系. 六、当堂评价，深化所学师：熟能生巧，业精于勤.请你快速完成下列各题(课件展示)（采取“赏识教育”的做法, 将所有学生作业当堂批阅,给与很高的评价, 激励更多的学生走向讲台，展示自我）1. (枣庄)如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥于点E ，过点B 作O ⊙的切线，交AC 的延长线于点F .已知32OA AE ==，．（1）求CD 的长；（2）求BF 的长．考查知识点: 本题考查垂径定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质 解：（1）连结OC ．在Rt OCE △中，OC =OA =3，OE =O A －AE =1，∴CE ==∵CD⊥AB，∴CD=2CE=（2）∵BF是O⊙的切线，∴FB⊥AB．又CD⊥AB，∴CE∥FB．∴ACE AFB△∽△．∴CE AEBF AB=，即26BF=．∴BF=2.新课程复习指导丛书（枣庄版）数学120页1～6题3.新课程复习指导丛书（枣庄版）数学122页12、13题选做题：新课程复习指导丛书（枣庄版）数学123页15题【设计意图】当堂反馈不仅体现了分层次的教学原则.而且将复习链接到了中考，给了学生更广阔的提升空间，激励学生为了获得“展示”而积极投入到学习中，从而使每个学生都能学到了有价值的数学！2. 采取“赏识教育”的做法, 激励学生为了获得“展示”而积极的投入到学习中,提高运算技能技巧.培养学生的运算能力.七、布置作业1.课下探究（必做）：1.. ①预习新课程初中复习指导丛书（枣庄版）123～125页与圆有关的位置关系，完成填空；②完成新课程初中复习指导丛书（枣庄版）123～125页与圆有关的位置关系的巩固训练.2.书面作业（必做）:《新课程复习指导丛书（枣庄版）数学》122页14题3.选做题：《新课程复习指导丛书（枣庄版）数学》121页7～11题【设计意图】学生不预习（枣庄版初中复习指导丛书）不讲,不做练习（枣庄版初中复习指导丛书）不讲,学生自己能学会的不讲.只讲易错点、易混点、易漏点.拒绝低效课堂,向课堂45分钟要质量.板书设计：教学反思本节课采用“合作探究、小组竞学、当堂评价”的教学模式.小组竞学贯穿整个教学过程的始终，真正体现了“以学生为主体,以教师为主导，以练习为主线 ,以能力发展为主轴”的教学原则.立足于基础知识、基本技能、基本数学思想、基本活动经验的巩固和提高.符合学生的认知规律和教学活动规律，在教师巡视学生解题时，把典型错解当教材，供同学们分析错误原因，纠正错误，规范解题过程，反思解题方法.这实际就是一个很好的探究规范过程.有利于学生温故知新.再教建议：1．要让学生动起来.如在考点知识梳理时，要注意让学生读，画，演（写符号语言），练，使对知识的理解层层深入．确保每个学生都能全身心的投入.2．小组竞学合作探究或当堂评价时，要让小组长领导组内“一帮一”互助，当好教师的助手，帮助老师检查学生作业，帮助基础薄弱的学生解决疑难，确保所有学生都能掌握圆的有关概念、性质及应用．提高学习效率，使每个学生都能温故知新.。