整数规划-模型资料

问题的目标函
数为总利润求
nm
z
rij xij
i1 j1
的最大值．
nm
max z
rij xij ,
i1 j 1
n
xij X j ( j 1, 2,L
, m),
s.t.
i 1 m
ajX
j
M,
j 1
xij
0且为整数(i
1, 2,L
, n),
X j 0且为整数( j 1, 2,L , m).
x1, x2 0且x1, x2取整数13其lFra bibliotekngo语句如下：
MODEL: sets: row/1..2/:b; arrange/1..2/:c,x; link(row,arrange):a; endsets data: b=6,20;c=1,1;a=2,1,4,5; enddata [OBJ]max=@sum(arrange(j):c(j)*x(j)); @for(row(i):@sum(arrange(j):a(i,j)*x(j))<=b(i);); @for(arrange(j):x(j)>=0;); @for(arrange(j):@gin(x(j));); END
源的单位价格为 a j ( j 1, 2,L , m) ，该企业现有资金 M 元.
试问该企业应购买多少第 j 种资源(总量为 X j ），又 如何分配给所属的 n 个生产车间，使得总利润最大？
2
解 设决策变量为 xij (i 1, 2,L , n; j 1, 2,L , m) 表示分
配给第 i 个生产车间的第 j 种资源的资源量，均为非负整 数，第 j 种资源的需求总量 X j ( j 1, 2,L , m) 也都为整数．
@for(row(i):@sum(arrange(j):a(i,j)*x(j))>=b(i););
@for(arrange(j):x(j)>=0;);
@for(arrange(j):@GIN(x(j)););
END
12
例：一个简单的整数规划模型
max z x1 x2
2x1 x2 6 4x1 5x2 20
3
在这个问题中，所求解均是整数，初看起来， 似乎只要把已得到的带有分数或小数的解经过“ 舍入化整”就可以了，实际上这常常是不行的， 因为化整后不见得是可行解，或虽是可行解但不 一定是最优解。这种求最优整数解的问题就是整 数规划。
整数规划中如果所有的变量都限制为（非负） 整数，称为纯整数规划；如果仅一部分变量限制 为整数，称为混合整数规划；整数规划一种特殊 的情形是0-1规划，它的变量取值仅限于0和1。
解就是(A)的最优解，计算结束；
问题(B)有最优解 X * ，但不是(A)的可行解，转下一步。
8
2）将 X * 代入目标函数，其值记为 z ，并用观察
法找出（A）的一个可行解（整数解，不妨可取
x j 0( j 1,2, , n) ），求得目标函数值（下界 值），记为 z ，则（A）的最优值记为 z * ，即有 z z * z ，转下一步；
4
2. 整数规划模型的一般形式
n
max(min)z c j x j j 1
(A)
n
aij x j
(, )bi (i 1,2,, m)
j1
x
j
0,
x j为整数(
j
1,2,, n)
•问题是如何求解整数规划问题呢？ •能否设想先略去决策变量整数约束，即变为线性 规划问题求解，再对其最优解进行取整处理呢？ •实际上，可借鉴这种思想来解决整数规划问题．
整数规划方法
一.整数规划的一般模型 二.整数规划的求解方法 三.0-1整数规划 四.整数规划案例分析
1
一.整数规划的一般模型
1. 问题的提出：固定资源分配问题 设某企业有 n 个生产车间需要 m 种资源，对于第 i 个
生产车间分别利用第 j 种资源 xij 进行生产，单位资源可 以获得利润为 rij (i 1, 2,L , n; j 1, 2,L , m) ．若第 j 种资
5
二.整数规划的求解方法
1. 分枝定界法的基本思想（举例说明）
n
max(min)z c j x j j 1
(A)
n
aij x j (, )bi (i 1,2,, m)
j1
x
j
0, x j为整数(
j
1,2,, n)
n
max(min)z cj xj j 1
(B)
n
aij x j
j
1, 2,, n)
data:
b=b(1),b(2),…,b(m); c=c(1),c(2),…,c(n);
a=a(1,1),a(1,2),…,a(1,n),
... ... ... ...
a(m,1),a(m,2),…,a(m,n);
enddata
[OBJ] min=@sum(arrange(j):c(j)*x(j));
(, )bi (i 1, 2,, m)
j1
x
j
0(
j
1, 2,, n)
将原问题（Ａ）中整数约束去掉变为问题（Ｂ）, 求出（Ｂ）的最优解.
分枝定界法.ppt
6
如果不是原问题（Ａ）的可行解，则通过附加线性不 等式约束(整数)，将问题(B)分枝变为若干子问题
(Bi )(i 1,2, , I ) ，即对每一个非整变量附加两个互
11
3. 整数规划的lingo解法
MODEL: sets: row/1..m/:b; arrange/1..n/:c,x; link(row,arrange):a; endsets
n
min z c j x j j 1
n
aij x j bi (i 1, 2,, m)
j1
x
j
0,
x j为整数(
相排斥（不交叉）的整型约束，就得两个子问题. 继续求解定界，重复下去，直到得到最优解为 止.
7
2. 分枝定界法的一般步骤
1)将原整数规划问题（A）去掉所有的整数约束变为线 性规划问题（B），用线性规划的方法求解问题（B）:
• 问题(B)无可行解，则(A)也无可行解，停止；
问题(B)有最优解 X * ，并是(A)的可行解，则此
最小者为新的上界 z ，从所有符合整数约束条 件的分枝中找出目标函数值最大的为新下界 z
10
4）比较与剪枝：各分枝问题的最优值同 z 比较，如果其值 小于 z ，则这个分枝可以剪掉，以后不再考虑。
如果其值大于 z ，且又不是（A）的可行解，则继续分 枝 ， 返 回 （ 3 ）， 直 到 最 后 得 到 最 优 解 使 z* z ， 即 x*j ( j 1,2,,n) 为最优解。
9
3) 分枝：在问题(B)的最优解中任选一个不满足整
数约束的变量 x j b j ，附加两个整数不等式约束： x j [b j ] 和 x j [bj ] 1 到问题(B)中，构成两个新 的子问题 (B1 ) 和 (B2 ) ，求 (B1 ) 和 (B2 ) 的解。
定界：对每一子问题的求解结果，找出最优值